固体地球惑星科学概論 2018 -...

固体地球惑星科学概論 20181. 固体地球惑星の構造 2. プレートテクトニクスの基礎概念 3. プレート運動とマントル対流 4. プレート運動論とプレートモデル 5. プレート境界過程 6. 海洋地殻の形成 7. 大陸地殻の形成 8. 固体地球内部の物質循環 9. コアの運動と地磁気 10.過去のプレート運動と造山運動 11.固体地球の進化 12.初期地球史 13.地球型惑星の形成 14.期末試験

1

プレート運動論とプレートモデル• プレート運動を数学的に記述するにはどうしたらよいか？

• プレートモデルにはどのような種類があり、それぞれの特徴は何か？

• プレートモデルが与えられた時、任意の点でのプレート運動はどのように計算したらよいか？

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オイラーの定理

The displacement of a rigid body on the surface of a sphere is equivalent to a rotation about an axis that passes through its center.

rigid

plate 運動は、地球中心を通る軸のまわ

りの回転で記述できる

Leonhard Euler(1707-1783)

剛体のプレートが地球の上を動くってどういうことだろう？

測地学会　Webテキスト　測地学

http://www.geod.jpn.org/web-text/#gsc.tab=0

3

オイラー定理の証明



•点Oを中心とする単位球を考える •球面上の点A, Bが剛体回転（相対位置が変わらない）してA’, B’に変位したとする

• AA’弧の垂直2等分線とBB’弧の垂直二等分線の交点をCとする

•大円AC=A’C, BC=B’C • AB=A’B’（剛体回転だから） •よって3辺が等しく△ABCと△A’B’Cは合同

剛体運動は∠ACA’(=BCB’)の回転で表せる4

収束型 convergent boundary

発散型 divergent boundary

すれ違い型 strike-slip boundary

オイラー極　Euler Pole

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剛体の回転変位：ベクトルではない



•剛体の回転変位は大きさと向きを持つ量である •しかし、有限の回転変位を合成（続けて回転）したとき、和の交換法則は成り立たない

剛体の有限回転はベクトルではない

回転行列A 回転行列B

回転行列A回転行列B

AB≠BA

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無限小回転の合成

単位行列

無限小回転の場合はベクトル量として扱ってよい

点Pが軸OAの周りに回転Aをし、続けて軸OBの周りに回転Bをする

非常に小さい回転を合成する場合はどうだろうか？

回転A, Bを続けて行うと

A, Bを行列で表すとき、A, Bともに非常に小さいので

A=E+ε1 B=E+ε2

AB=(E+ε1)(E+ε2)=E+ε1+ε2+ε1ε2≃E+ε1+ε2無視

回転B,Aを続けて行うとBA=(E+ε2)(E+ε1)=E+ε2+ε1+ε2ε1≃E+ε2+ε1

無視

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無限小回転の角速度

v=△r/△t=w×r

|v|=|w|・sinΔ・R

瞬間の角速度

変位速度はどうだろうか？

微小時間を考えると

質点(位置ベクトルr)の変位△rは

地球の場合、rの大きさは地球半径Rだから

回転 A=E+ε に対して　A-1=E-ε　At=E+εt　回転行列は直交行列、すなわちA-1=At ε=-εt

ε =0 −%&' %'(%&' 0 −%(&−%'( %(& 0

%)0 −%&' %'(%&' 0 −%(&−%'( %(& 0

*+,

=%'(, − %&'+%&'* − %(&,%(&+ − %'(*

%(&%'(%&'

×*+,

ε =0 −%&' %'(%&' 0 −%(&−%'( %(& 0

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%(&%'(%&'

×*+,

行列からベクトル積になる

△r=

ε=ω△ｔ

回転軸とのなす角

8

プレート運動と時間スケール

短時間ならばベクトル量として扱ってよい

AωB=AωC+CωB - プレートBに対するプレートAの運動は、プレートCに対するプレートA,Bの運動の合成から得られる＝境界を接していないプレート同士の相対運動も推定できる！

プレート運動は無限小回転の近似が使えるのだろうか？

プレート運動は最大でも10cm/yearのオーダーであるのに対し、地球半径6400kmなので、短時間ならば無限小回転とみなしてよい

1000万年単位のプレート運動を論じる場合は、変位が大きくなるのでベクトル量として扱ってはいけない

10 cm/yr * 10,000,000 year = 1000 km ~ 6400km (R)

地球史スケールのプレート運動復元は有限回転で9

演習

(1)点bでの海底拡大速度を求めよ。単位はmm/yr

(2)点cでのプレート収束速度を求めよ。

(3)プレート境界の中で、最も収束速度が速くなる点を図中に示せ。

(4)プレートBが固定されていると考えたとき、4000万年後のプレート境界を描け。

|BωA|= 5*10-7°/yr = 0.5°/my = 8.73*10-9 rad/yr

大円・小円はオイラー極に対して 10°間隔

オイラー極

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プレート運動モデルとは

プレートの定義（境界がどこにあるのか）

• オイラー極と回転角速度（スカラー）　　　　　　　　(φp, λp)　と　ω

• 回転ベクトル　　　　　　　　　ω(ωx,ωy,ωz)

それぞれのプレートの回転運動

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Current plate motions 3

1 I N T RO D U C T I O N

Four decades after the inception of the theory of plate tectonics,estimates of geologically current plate motions (Chase 1972, 1978;Minster et al. 1974; Minster & Jordan 1978; DeMets et al. 1990,1994a) continue to be used broadly for geological, geophysical andgeodetic studies. Increased shipboard, airborne and satellite cover-age of the mid-ocean ridge system over time has enabled steadyimprovements in the precision and accuracy of successive estimatesof plate angular velocities, making them ever more useful for esti-mating plate motion, for detecting zones of slow deformation, andfor determining the limits to the rigid plate approximation. Sincethe early 1990s, steady improvements in estimates of instantaneoustectonic plate velocities from Global Positioning System (GPS) andother geodetic data (e.g. Argus & Gordon 1990; Ward 1990; Ar-gus & Heflin 1995; Larson et al. 1997; Sella et al. 2002; Kreemeret al. 2003; Kogan & Steblov 2008; Argus et al. 2010) have enabledvaluable comparisons between geological and geodetic estimates ofcurrent plate motions and have set the stage for efforts to detect andlink recent changes in plate motions to the forces that cause thosechanges.

Herein we review available data that describe geologically currentplate motions and present a new closure-enforced set of angularvelocities for the motions of 25 tectonic plates (Figs 1 and 2). We

also determine best-fitting angular velocities for all plate pairs thatshare a boundary populated by data. Rates of seafloor spreadingand azimuths of oceanic transform faults supply ≈75 per cent ofthe kinematic information for the new set of angular velocities. Wetherefore use the name MORVEL (Mid-Ocean Ridge VELocity) forthe new set of angular velocities. Unlike its predecessors NUVEL-1and NUVEL-1A (DeMets et al. 1990, 1994a), few earthquake slipdirections are used in MORVEL. Moreover, GPS station velocitiesare used to estimate the motions of six smaller plates with few or noother reliable kinematic data, with care taken to avoid introducingany dependence between plate angular velocities that are determinedfrom geological data and angular velocities that are estimated fromgeodetic data.

Many new multibeam sonar, side-scan sonar and dense magneticsurveys of the mid-ocean ridges have become available since thepublication of NUVEL-1. Some of these surveys occurred in re-gions where few or no data were available before and thus providevaluable new limits on estimates of plate motions. Whereas manyNUVEL-1 spreading rates were estimated from isolated shipboardtransits of the mid-ocean ridges, most MORVEL spreading rates aredetermined from dense ship and airborne surveys. This enhancesour ability to identify the present and past locations of ridge-axisoffsets that can disrupt an anomaly sequence and corrupt estimatesof spreading rates. Nearly all the new spreading rates are estimated

Figure 1. (a) Epicentres for earthquakes with magnitudes equal to or larger than 3.5 (black) and 5.5 (red) and depths shallower than 40 km for the period1967–2007. Hypocentral information is from the U.S. Geological Survey National Earthquake Information Center files. (b) Plate boundaries and geometriesemployed for MORVEL. Plate name abbreviations are as follows: AM, Amur; AN, Antarctic; AR, Arabia; AU, Australia; AZ, Azores; BE, Bering; CA,Caribbean; CO, Cocos; CP, Capricorn; CR, Caroline; EU, Eurasia; IN, India; JF, Juan de Fuca; LW, Lwandle; MQ, Macquarie; NA, North America; NB, Nubia;NZ, Nazca; OK, Okhotsk; PA, Pacific; PS, Philippine Sea; RI, Rivera; SA, South America; SC, Scotia; SM, Somalia; SR, Sur; SU, Sundaland; SW, Sandwich;YZ, Yangtze. Blue labels indicate plates not included in MORVEL. Patterned red areas show diffuse plate boundaries.

C⃝ 2010 The Authors, GJI, 181, 1–80Journal compilation C⃝ 2010 RAS

MORVEL-1(DeMets et al., 2010)プレートの定義（境界がどこにあるのか）

13

(Le Pichon, 1968)

First global plate mode: 6 large plates

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standard model for 25 years…. NUVEL-1A

15

回転運動を記載するための２つの問題• 基準座標系はどのように置いたらよいのか

• いったいプレートは「どこに対して」運動しているとすればよいのか？

• 等速度運動を仮定したとして、どのくらいの期間の平均速度を求めるのか

• 速度を求めるための観測値は何か？

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相対運動モデルと絶対運動モデル

相対運動モデル relative motion model

絶対運動モデル absolute motion model

• あるひとつのプレート(基準プレート）に対する相対運動を記述する

• 一般的には太平洋プレートを基準にとる

• 仮想的な「不動の深部マントル」を基準とした相対運動を記述する

• メソスフェアは高粘性なのでそれほど激しく動かない • しかし、厳密には不動ではないし、直接観測が困難、誰も厳密に定義できない

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MORVEL-1(DeMets et al., 2010)

相対運動モデル relative motion model









plate pole latitude

pole longitude

ang. velocity[deg/my]

ωx[rad/my]

ωy ωz

PS(Phil Sea) 4.6°S 41.9°W 0.890 0.011527 -0.010331 -0.001254

太平洋プレートに対するフィリピン海プレートの相対運動

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絶対運動モデル：ホットスポット基準系

(Understanding Earth, Sliver&Jordan 2003)

• ホットスポットは下部マントルに固定されている（fixed hotspot)と仮定する

• ホットスポット海山列がプレート運動の方向と速度を記録している

長所：観測可能短所：ホットスポットが不動でない証拠続々

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hotspot-reference absolute plate modelホットスポット軌跡のないプレートは相対運動モデルを組み合わせて推定する

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絶対運動モデル：　NNR系　No Net Roration

• プレート群全体としては回転運動をしていないように、おのおののプレート運動速度を調整する（相対モデルで得られるプレート速度からプレート群全体の平均回転を求め、平均値をそれぞれから差し引く）

• 物理的には、リソスフェア全体に対しては特別なトルクが働いていないという意味を持つ

• 過去についても復元できる

!

x " vdss# = 0

現在、宇宙測地技術（GPSなど）で使われている座標系はNNRになるように構築されているので、こちらが主流に？

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no net rotation absolute plate model

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回転運動を記載するための２つの問題• 基準座標系はどのように置いたらよいのか

• いったいプレートは「どこに対して」運動しているとすればよいのか？

• 等速度運動を仮定したとして、どのくらいの期間の平均速度を求めるのか

• 速度を求めるための観測値は何か？

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運動速度はどれくらいのタイムスケール？

地質年代スケールの平均：古典的プレートモデル

宇宙測地技術を使った数十年の平均：新世代モデル

• 運動を決めるための主な観測事実は、トランスフォーム断層・断裂帯の走向（プレート運動方向）と地磁気縞状異常の同定（海底拡大速度）

• 百万年スケールの平均運動速度を求める

• 宇宙測地技術（主にGPSなどの衛星測地技術）を用いて得られた地殻変動データを利用

• 十数年程度のデータを平均して速度を決定

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古典的モデル:NUVEL-1(1A)　DeMets et al., 1990, 1994

Plate pole latitude pole longitude ang. velocity[deg/my]

ωx[rad/my] ωy ωz

Australia 60.080°N 1.742°E 0.9691.12365 0.009777 0.000297 0.016997

Antarctica 64.315°N 83.984°W 0.9093 0.000721 -0.006841 0.014302

Cocos 36.823°N 108.629°W 2.089 -0.009323 -0.027657 0.021853

N America 48.709°N 78.167°W 0.7829 0.001849 -0.008826 0.010267

Eurasia 61.066°N 85.819°W 0.8985 0.000553 -0.007567 0.013724

• 14 プレート • 速度は2百万年間の平均 • VLBIのデータと比べて速すぎたので、角速度だけ95%に（1Aモデル）

25

新世代モデル: REVEL-2000 (Sella et al., 2002)• GPS観測データのみを使って構築したモデル • 速度は10年の平均

26

（Sella et al., 2002)

地質学的スケールの平均速度とよく一致する

(プレート運動はかなり定常的といって良いか？）

古典的モデルと新世代モデルの比較

27

混在型：MORVEL-1(DeMets et al., 2010)









• 基本は地磁気縞異常から0.78my(きわめて拡大速度の遅い海嶺については3.16my)の平均の海底拡大速度を決定

• 小さいプレート等は、過去10年の衛星測地データを導入 • 25プレート、diffused boundaryを提案

platepole

latitudepole

longitudeang. velocity

[deg/my]ωx

[rad/my]ωy ωz

Cocos 42.2°N 112.8°W 1.676 -0.008392 -0.019987 0.019642

28




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任意の地点でのプレート運動の表現ある地点 x(φ, λ)におけるプレート運動を数値で表現する２つの方法

この点における接面（地球の表面に1点で接する）を想定して

• 2次元(通常は北向きと東向き）の速度ベクトルv(vx, vy)

• スカラー量の速さv と運動方向Ψ(通常は北から時計回り）

|v|=w × x = |w|・sinΔ・R

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オイラー極、地理北極、計算点の三角形で球面三角法を使う

!"#$%! 10/15&'()*+,-./!

0 123456789:;?@)ABCD&EFGHI1234J,KLM3N

O48.71°N, 281.83°EP,QR,-S 0.7829[deg/my]TUVWXY)Z,;ABCD1234

[\H]^&E9:_,`V&abcJd,e

!"#$%! 10/15&'()*+,-./!

0 123456789:;?@)ABCD&EFGHI1234J,KLM3N

O48.71°N, 281.83°EP,QR,-S 0.7829[deg/my]TUVWXY)Z,;ABCD1234

[\H]^&E9:_,`V&abcJd,e

v=w×x (vector product) x= Rcosφcosλ

y= Rcosφsinλ

z= Rsinφ 　(=|w||x|sinθ)

vx=wyz-wzy=R(wysinφ-wzcosφsinλ) vy=wzx-wxz=R(wzcosφcosλ-wxsinφ) vz=wxy-wyx=R(wxcosφsinλ-wycosφcosλ)

step2: 速度ベクトルを求める（直交座標）

計算方法２: 回転角速度ベクトルを使う

35

v (vx,vy,vz) を接面に投影するstep3: 速度ベクトルから運動方向と速さへ

接面の北向き、東向きの単位ベクトル

（直交座標系）

en=(sinφcos(λ-180°), sinφsin(λ-180°), cosφ) ee=(cos(λ+90°), sin(λ+90°),0)

vn=v・en 　内積 ve=v・ee |v|=sqrt(vn2+ve2) motion direction=atan(ve/vn)

計算方法２: 回転角速度ベクトルを使う

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