А.М. РОМАНОВСКАЯ

М.В. МЕНДЗИВ

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Учебное пособие

Омск

2010

1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОМСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Омский государственный технический университет

А.М. РОМАНОВСКАЯ

М.В. МЕНДЗИВ

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Учебное пособие

Омск

2010

2

ББК 22.183.47

УДК 519.857

Р 69

Рецензенты:

Алексеенко Е.Н., к.ф.-м.н.,доцент кафедры высшей математики

Омского филиала ФГОУ ВПО Академии бюджета

и казначейства Минфина России

Стратилатова Е.Н.,к.ф.-м.н.,доцент кафедры «Математика

и информатика» Омского института (филиала) РГТЭУ

Романовская, Адель Матвеевна

Р69 Динамическое программирование: Учебное пособие.

Романовская А.М., Мендзив М.В.– Омск: Издатель

Омский институт (филиал) РГТЭУ, 2010. – 58 с.

ISBN 978-5-91892-030-5

Приводится разработанная авторами методика изло-

жения раздела «Динамическое программирование». Де-

тально разобран ряд задач прикладного содержания.

Предназначено для студентов технических и эконо-

мических вузов, изучающих методы оптимизации.

ISBN 978-5-91892-030-5

ББК 22.183.47

УДК 519.857

© Романовская А.М., Мендзив М.В., 2010.

© Омский институт (филиал) РГТЭУ, 2010.

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .................................................................................. 4

§1. Управляемая динамическая система с дискретным

временем .................................................................................. 6

§2. Аддитивная целевая функция. Общая задача

динамического программирования. ...................................... 7

§3. Принцип оптимальности. Алгоритм решения задачи

динамического программирования ....................................... 9

§4. Задача об оптимальном маршруте .............................. 11

§5. Построение оптимальной последовательности

операций в коммерческой деятельности ............................ 14

§6. Выбор оптимального маршрута перевозки грузов ... 17

§7. Задача об оптимальном распределении средств между

предприятиями ...................................................................... 19

§8. Двумерная модель распределения средств ................ 29

§9. Оптимальная стратегия замены оборудования .......... 35

§10. Задача о повышении надежности радиоэлектронной

аппаратуры ............................................................................. 39

Приложения ........................................................................... 48

Задачи для самостоятельного решения ........................... 48

Ответы ................................................................................ 55

Задания для контрольной работы .................................... 56

Литература ............................................................................. 58

4

ВВЕДЕНИЕ

Широкий класс задач техники, экономики, для кото-

рых применяются математические методы, – задачи опти-

мизации. Приведем три примера.

1. В распоряжении инженера, конструирующего ап-паратуру заданного назначения, имеется набор конструк-

торских решений. Каждому варианту конструкторского

решения отвечает определенное числовое значение показа-

теля качества (например, надежности). Требуется выбрать

такое конструкторское решение, при котором показатель

качества достигает оптимального решения.

2. В распоряжении инженера, занимающегося произ-водством аппаратуры заданного назначения, имеется набор

технологических решений. Каждому варианту техническо-

го решения отвечает определенное числовое значение по-

казателя качества (например, стоимость затрат). Требуется

выбрать вариант, которому отвечает оптимальное значение

показателя качества.

3. В распоряжении планирующей организации име-ется набор вариантов распределения ресурсов между пред-

приятиями. Требуется выбрать вариант, которому отвечает

оптимальная суммарная прибыль от произведенной про-

дукции.

Многие задачи оптимизации вкладываются в сле-

дующую общую схему.

I. Имеется набор способов действий – допустимых управлений.

II. Имеется целевая функция («прибыль», «убыток»)

),(uSS где u пробегает допустимые управления. Требу-

ется выбрать управление, которому отвечает оптимальное

значение целевой функции.

Совокупность методов оптимизации называется ма-

тематическим программированием. В данном пособии из-

5

ложен один из широко применяемых методов оптимиза-

ции, разработанный в 50-е годы Р. Беллманом [1, 2], – ди-

намическое программирование. Методика изложения от-

личается от принятой в других руководствах [3, 6]. Вве-

денный в самом начале язык динамических систем позво-

ляет кратко и четко сформулировать постановку задачи,

алгоритм решения. Детально разбирается ряд конкретных

прикладных задач.

6

§1. Управляемая динамическая система с дискретным временем

Пусть имеется объект, способный развиваться во

времени, переходя от состояния к состоянию. Такой объект

будем называть динамической системой. Множество всех

возможных состояний динамической системы будем назы-

вать пространством состояний динамической системы или

фазовым пространством (фаза - состояние).

Если смена состояний происходит в отдельные дис-

кретные моменты времени, то динамическая система назы-

вается динамической системой с дискретным временем.

Далее будем рассматривать только такие системы, поэтому

термин «с дискретным временем» опускаем. Моменты

времени, в которые происходит смена состояний, будем

обозначать

0 1, , , ,nt t t .

Предположим, что развитие динамической системы

происходит следующим образом.

1. В начальный момент времени 0t система находит-

ся в фиксированном состоянии 0.

2. Переход 1k k от состояния в момент 1kt к со-

стоянию в момент kt (от 0t к 1,t от 1t к 2 ,t ...) осуществля-

ется так.

Имеется набор управлений (способов действий), ка-

ждый из которых позволяет перейти от состояния 1k к

одному из возможных состояний; обозначим это состояние

,k выбранное управление – ku (см. рис. 1), т.е. на каждом

шаге указана связь:

),,( 1 kkk u (1)

7

Предполагается, что на каждом шаге 0 1[ , ],t t 1 2[ , ],t t

свой набор управлений.

После фиксированного числа n шагов развитие сис-

темы прекращается («система выключается»).

Набор состояний

0 1, , , ,n (2)

через которые проходит динамическая система в процессе

развития, будем называть траекторией. Подчеркнем, что

начальное состояние 0 у всех траекторий одно и то же.

Динамические системы такого класса будем называть

управляемыми динамическими системами.

§2. Аддитивная целевая функция. Общая задача динамического программирования

Пусть имеется управляемая динамическая система.

Предположим, что выбор той или иной траектории оцени-

вается показателем качества (доходом, затратами) :S

).,,,( 21 nuuuSS

Будем предполагать, что суммарный доход S равен

сумме доходов на каждом шаге:

,21 nfffS (3)

где kf доход на k-м шаге; kf зависит от состояния в на-

чале k-го шага и выбранного на k-м шаге управления :ku

).,( 1 kkkk uff (4)

n ku

1k k 0

0t 1kt kt nt t

Рисунок 1

8

Подставляя (4) в (3), получим

.),(1

1

n

kkkk ufS (5)

Функция (5) называется аддитивной целевой функцией.

Задача динамического программирования ставится

следующим образом.

I. Имеется управляемая динамическая система, что означает:

1) выделено конечное число n шагов; 2) на каждом шаге указаны все возможные состояния

),( k через которые проходит динамическая система, при-

чем начальное состояние 0 фиксировано;

3) на каждом шаге заданы управления ),( ku причем

указана связь (1), по которой состояние к концу шага одно-

значно определяется состоянием в начале шага и выбран-

ном на этом шаге управлением.

II. Задана аддитивная целевая функция, то есть на каждом шаге заданы доходы (затраты) для всех возможных

состояний и для всех возможных управлений (функции 4)

и функция (5).

Решить задачу динамического программирования оз-

начает найти набор управлений nuuu ,,, 21 так, чтобы це-

левая функция (5) достигла максимума:

?),,,(max; 21 nuuuS

В случае, если показатель качества в (5) есть не до-

ход, а затраты, целевая функция (5) минимизируется:

?),,,(min; 21 nuuuS

Каждой траектории (2) динамической системы от-

вечает определенное значение целевой функции (5). Тра-

ектория, которой отвечает максимальное (минимальное)

значение целевой функции, называется оптимальной

9

траекторией. Очевидно, задача динамического програм-

мирования заключается в отыскании оптимальной траек-

тории.

§3. Принцип оптимальности. Алгоритм решения задачи динамического программирования

Пусть имеется управляемая динамическая система и

аддитивная целевая функция (5). Предположим, что к на-

чалу k-го шага система оказалась в состоянии 1k (рис. 2).

Оставшийся путь до конца система может проходить

по различным траекториям в зависимости от выбора по-

следующих управлений. Каждой траектории отвечает свой

суммарный доход, т.е. доход на участке ].,1[ nk Обозна-

чим этот доход через kS

.1 nkkk fffS

Тогда через )( 1*

kkS обозначим максимальный суммар-

ный доход, начиная с k-го шага и до конца, т.е. на участке

1k

n

k

k

k

k

ku

ku

ku ku

Рисунок 2

10

],1[ nk и назовем его условным максимальным дохо-

дом, очевидно, он зависит от состояния .1k Справедлива

формула

)},(),({max)( * 111*

kkkkku

kk SufSk

(6)

где максимум берется по всем возможным управлениям на

k-м шаге, k состояние, в которое переходит система из

состояния 1k под действием управления :ku

),,( 1 kkk u

где ),( 1 kk u определяется (1).

В самом деле, имеем

,)(),(max

]),([max),(max

)(maxmax

][max)(

][

}{

][

*11

11,,

1

1,,

1,,,

1*

1

1

1

kkkkku

nkkkuu

kkku

nkkuuu

nkkuuu

kk

Suf

fufuf

fff

fffS

k

nkk

nkk

nkk

что и требовалось.

Доказано следующее утверждение.

Теорема (принцип оптимальности). При построении

оптимальной траектории нужно выбирать управление на

каждом шаге так, чтобы доход на этом шаге плюс макси-

мальный доход на последующих шагах был наибольшим.

Управление, на котором реализуется максимум в (6),

будем обозначать )( 1*

kku и называть условным опти-

мальным управлением на k-м шаге.

11

Доказанное правило лежит в основе алгоритма реше-

ния задачи динамического программирования, состоящего

из двух этапов.

I этап (движение от конца к началу). Начиная с кон-

ца последовательно находим

);(),(;);(),();(),( 0*10

*12

*12

*11

*1

* uSuSuS nnnnnnnn

для всех возможных на соответствующих шагах состояний

с использованием на каждом шаге, начиная с n-1-го, фор-

мулы (6). *nS вычисляется непосредственно по формуле

).,(max)( 11*

nnnu

nn ufSn

(7)

II этап (движение от начала к концу). Двигаясь от

начала, существенно используя закрепленность начального

состояния, строим безусловную оптимальную траекторию

Здесь )].(,[ * 1**

1*

kkkk u

Далее рассмотрим примеры решения различных по

своей природе задач, которые можно вложить в схему ди-

намического программирования.

§4. Задача об оптимальном маршруте

Из всевозможных маршрутов, соединяющих точки A

и B (рис. 3), выбрать тот, на котором сумма чисел («по-

терь»), стоящих на звеньях, была бы наименьшей. Пункты,

через которые может проходить маршрут, обозначены на

рис. кружочками.

0 *1

*2 .

*n

)( 0*1 u )(

*1

*2 u

12

1316

1116 12

19

14

11 9 5 5

17 7 310 4 3

5

9

5

1

1

34

3

7

5 2

8 6

442

7 10 2

1

A

B

0

1

2

3 4 5 6

Рисунок 3

Данную задачу можно было бы решить, подсчитав

суммарные потери на всех возможных маршрутах, и вы-

брать тот, на котором эта потеря наименьшая. Очевидно,

возможных маршрутов достаточно много. Покажем, что

применение принципа оптимальности Беллмана сильно

упрощает решение данной задачи.

Вложим данную задачу в схему динамического про-

граммирования.

I. Строим управляемую динамическую систему:

1) под первым шагом будем понимать переход сис-

темы из кружка, соответствующего точке ,A в один из

кружков, обведенных нижней пунктирной линией. Сле-

дующий шаг – переход системы из одного из двух кружков

в один из кружков, обведенных следующей пунктирной

линией и т.д. Имеем конечное число 6n шагов;

13

2) под состояниями будем понимать кружки (пунк-ты), через которые проходит маршрут. Они заданы на каж-

дом шаге, причем начальное состояние 0 фиксировано,

соответствует одному кружку (точке A ). Конечным со-

стоянием будет также единственный кружок, соответст-

вующий точке ;B

3) под управлением ku будем понимать выбор гори-

зонтали ( ) или вертикали ( ). Из рис. 3 видно, что при

выбранных состояниях и управлениях каждое состояние в

начале k-го шага (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6) и конкретное управле-

ние на этом шаге однозначно определяет состояние к кон-

цу k-го шага.

II. Строим аддитивную целевую функцию.

Под величиной затрат на каждом шаге будем пони-

мать потери на соответствующих возможных переходах

(рис. 3). Тогда под целевой функцией будем понимать

суммарные потери при переходе от 0 к ;6 очевидно,

что они равны сумме потерь на каждом шаге, что озна-

чает аддитивность целевой функции. Решить данную за-

дачу означает найти набор управлений на каждом шаге,

который доставляет минимум функции

?,,min 61 uuS

Решение. Двигаясь последовательно от конца к на-

чалу, записываем цифры в кружки – минимальные поте-

ри на оставшейся части траектории до конца при усло-

вии, что траектория проходит через данный кружок.

Стрелки означают управление из данного кружка, при

котором реализуется данная потеря, при этом сущест-

венно используются цифры в кружках, полученные на

предыдущих шагах.

14

9 5

7

4

10 9 = min4 +

10 +{ 7

5

Далее, двигаясь от начала к концу, существенно ис-

пользовав закрепленность начального состояния, строим

оптимальную траекторию. Число 16, стоящее в кружке,

соответствующем начальному состоянию, равно мини-

мальной потере, т.е. .16min S

§5. Построение оптимальной последовательности операций в коммерческой деятельности

Пусть на оптовую базу прибыло n машин с товаром

для разгрузки и m машин для загрузки товаров, направ-

ляемых в магазины. Материально ответственное лицо оп-

товой базы осуществляет оформление документов по опе-

рациям разгрузки или загрузки одной машины, а затем пе-

реходит к обслуживанию другой машины. Издержки от

операций обусловлены простоем транспорта, типом опера-

ции (прием или отгрузка товара) и не зависит от конкрет-

ной машины. Необходимо спланировать последователь-

ность операций обоих видов таким образом, чтобы сум-

марные издержки по приему и отправке товаров для всех

машин были минимальными.

Из условия следует, что состояние экономической

системы характеризуется двумя параметрами: количеством

принятых и оформленных машин по разгрузке товаров и

количеством машин, отправляемых с товаром в магазины.

Поэтому решение будем искать на плоскости ,XOY огра-

ниченной прямоугольником, который является областью

15

допустимых состояний системы. Если по оси X отложить

число n разгруженных машин, а по оси Y число m за-

груженных товаром машин, то можно построить на плос-

кости граф состояний процесса, в котором каждая вершина

характеризует состояние операции приема и отгрузки то-

вара на оптовой базе. Ребра означают выполнение работы

по приему или отправке товара на очередной машине. Ка-

ждому ребру можно сопоставить издержки, связанные с

выполнением операции по разгрузке или загрузке машины.

Очевидно, поставленная задача свелась к той же за-

даче динамического программирования, что и задача об

оптимальном маршруте, т.е. управляемая динамическая

система и аддитивная целевая функция по смыслу совпа-

дают. Рассмотрим конкретный пример.

Пример. Пусть ,6n ,4m известны затраты по

выполнению каждой операции, которые показаны на реб-

рах графа (рис. 4). Точка 0S определяет начало процесса,

точка 1S конечное состояние, соответствующее приему и

отправке всех машин.

Решение. Решаем данную задачу аналогично задаче об

оптимальном маршруте (рис. 4). Минимальные издержки

minF соответствуют следующей оптимальной траектории:

)( 11233345660 SAABCDDDDES

и равны: 88min F . Таким образом, в соответствии с реше-

нием оптимальное управление процессом разгрузки и загруз-

ки машин товаром состоит в следующем: на первом шаге сле-

дует оформить документы по разгрузке одной машины, на

втором – по загрузке одной машины, далее обслуживать три

машины по разгрузке товара, три машины по загрузке и на по-

следующих двух шагах оформить документы по разгрузке

двух машин. При этом минимальные суммарные издержки по

приему и отправке товаров для всех машин равны 88.

16

A6

A5

A4

A3

A2

66

14

52

13

39

12

271

017

76

87

8B

7B

6B

5B

4B

3

251

03

41

24

613

58

12

70 8

78

99

C7

C6

C5

C4

C3

D3

D4

D5

D6

D7

69

10

59

85

19

42

834 1

011

910

10

78

1167

95

87

51

744

0

A1

S1

98

8

10

11

B2

B1

1113

918 1

011

C2

C1

D1

E1

D2

E2

E3

E4

E5

E6

10

28

12

22 12

11

939

1334 1

414

13

121

09

11

88

12

76

116

81

06

39

57

13

53

14

48

S0

загр

узк

а m

раз

гру

зка

n

01234

01

23

45

6

Ри

сун

ок 4

17

§6. Выбор оптимального маршрута перевозки грузов

Пусть транспортная сеть состоит из 10 узлов. На рис. 5 по-

казаны сеть дорог и стоимость перевозки единицы груза

между пунктами сети. Ребра являются вариантами воз-

можного выбора решения. Необходимо определить мар-

шрут доставки груза из пункта 1 в пункт 10, обеспечиваю-

щий наименьшие транспортные расходы.

1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7 86

8

4 6

9

75

35

6 10

9 4

11

0

1

2

3

4

Рисунок 5

В задаче имеется ограничение – двигаться по изо-

браженным на схеме маршрутам можно только слева на-

право, т.е. попав, например, в пункт 8, мы имеем право пе-

реместиться только в пункт 10 и не можем возвратиться

обратно в 5-й или 6-й.

Вложим данную задачу в схему динамического про-

граммирования.

I. Строим управляемую динамическую систему:

1) под первым шагом будем понимать переход сис-темы из пункта 1 в один из пунктов 2, 3, 4. Под вторым

шагом – переход системы из пунктов 2, 3, 4 в один из

пунктов 5, 6 и т.д. Имеем конечное число 4n шагов;

2) под состояниями будем понимать пункты, из кото-рых состоит транспортная сеть. Они, очевидно, заданы на

18

каждом шаге, причем начальное состояние 0 фиксирова-

но, соответствует пункту 1;

3) под управлением на каждом шаге будем понимать ребра, соединяющие соответствующие кружки данного

шага. Из рис. 5 видно, что при выбранных состояниях и

управлениях каждое состояние в начале k-го шага (k = 1, 2,

3, 4) и конкретное управление на этом шаге однозначно

определяет состояние к концу k-го шага.

II. Строим аддитивную целевую функцию.

Под величиной затрат на каждом шаге будем пони-

мать стоимость перевозки единицы груза между пунктами

сети. Они заданы для всех возможных состояний и всех

возможных управлений. Тогда под целевой функцией бу-

дем понимать суммарные стоимости перевозок при пере-

ходе от 0 к ;4 очевидно, они равны сумме стоимостей

перевозок на каждом шаге, что означает аддитивность це-

левой функции. Решить данную задачу означает найти на-

бор управлений на каждом шаге, который доставляет ми-

нимум целевой функции

?,,,min 4321 uuuuS

Р е ш е н и е .

1

2

5

3

4

6

7

8

9

10

7 86

8

4 6

9

75

35

6 10

9 4

11

20

19

15

9

7

12

15

21 11 Рисунок 6

Двигаясь последовательно от конца к началу находим ми-

нимальные потери из данного кружка и до конца при усло-

19

вии, что траектория проходит через данный кружок, и за-

писываем их рядом с соответствующим кружком. Стрелки

означают управление из данного кружка, при котором реа-

лизуется данная потеря (см. рис. 6).

Далее, двигаясь от начала к концу, существенно ис-

пользуя закрепленность начального состояния, строим оп-

тимальную траекторию.

Таким образом, оптимальный маршрут доставки гру-

за: 108631 (на рис. 6 он показан жирными

стрелками). При этом минимальные затраты на перевозку

груза из пункта 1 в пункт 10 равны 20, .20min S

§7. Задача об оптимальном распределении средств между предприятиями

Планируется распределение начальной суммы

средств 0X между n предприятиями ,,,, 21 n при-

чем средства выделяются только в размерах, кратных оп-

ределенному и заданному числу. Предполагается, что вы-

деленные предприятию k в начале планового периода

средства x приносят доход ).(xfk

Будем считать, что:

1) доход, полученный от вложения средств в пред-приятие, не зависит от вложения средств в другие пред-

приятия;

2) доход, полученный от разных предприятий, выра-жается в одинаковых единицах;

3) общий доход равен сумме доходов, полученных от распределения средств по всем предприятиям.

Определить, какое количество надо выделить каж-

дому предприятию, чтобы суммарный доход был макси-

мальным.

20

Обозначим через kx количество средств, выделяе-

мых предприятию k . Тогда математическая модель дан-

ной задачи имеет вид:

kxnnn xfxfxfxxxS max)()()(),,,( 221121

при условиях

,021 Xxxx n

где kx – натуральное, .,,2,1 nk

Вложим сформулированную задачу в схему динами-

ческого программирования. Для этого надо построить

управляемую динамическую систему и показать, что целе-

вая функция является аддитивной. Для этого введем искус-

ственно дискретное время. Будем условно считать, что

вначале выделяем средства предприятию 1 , затем

n ,,2 . Тогда под k-м шагом будем понимать выделе-

ние средств предприятию k . Получим n шагов.

Под состоянием k будем понимать остаток денеж-

ных средств по завершению k-го шага или их наличие к

началу k+1-го шага.

Под управлением на k-м шаге ku будем понимать ко-

личество средств kx , выделяемых на k-м шаге (т.е. пред-

приятию k ). Формулы (1) для нашей задачи имеют вид

.,,2,1,1 nkukkk (8)

Под величиной дохода на k-м шаге, очевидно, будем

понимать заданные функции дохода )( kk uf , причем

,)(1

n

kkk ufS

что означает аддитивность целевой функции.

21

Начальное и конечное состояния жестко закреплены,

а именно:

.0,00 nX

Получили задачу динамического программирования,

решить которую означает найти оптимальный набор

управлений на каждом шаге, т.е. такой набор управлений

**2

*1 ,,, nuuu , на котором .maxS

Теперь к решению задачи можно применить общую

схему решения задачи динамического программирования.

Формулы (6), (7) для нашей задачи имеют вид:

),()(max)( 10

1*

1

nnnn

unn fufS

nn

(9)

.1,,2,1

)],()([max)( 1*

10

1*

1

nk

uSufS kkkkku

kkkk

(10)

Здесь учтено соотношение (8), из которого также вы-

текает ограничение на ku :

.1,,2,1,0 1 nku kk

Кроме того, очевидно, что .0 0Xk

Рассмотрим конкретный числовой пример. Решить

поставленную задачу по следующим данным:

1) 2000 X млн. руб.; 2) 4n ; 3) средства выделя-

ются только в размерах, кратных 40 млн. руб.; 4) функции

дохода для каждого предприятия даны в табл. 1.

Таблица 1

х )(1 xf )(2 xf )(3 xf )(4 xf

40

80

120

160

200

8

10

11

12

18

6

9

11

13

15

3

4

7

11

18

4

6

8

13

16

22

Решение.

I этап. Находим )( 3*4 S , )( 2

*3 S , )( 1

*2 S , )( 0

*1 S по

формулам (9), (10) для всех возможных значений k (k = 1,

2, 3). Согласно условию задачи, состояния k на любом

шаге могут принимать одни и те же значения: 0, 40, 80,

120, 160, 200.

По формуле (9)

),()(max)( 34440

3*4

34

fufSu

т.е. из табл. 1 имеем значения, приведенные в табл. 2.

Таблица 2

3 )( 3*4 S )( 3

*4 u

0

40

80

120

160

200

0

4

6

8

13

16

0

40

80

120

160

200

Из формулы (10) при 3k

)].()([max

)]()([max)(

32*433

0

3*433

02

*3

23

23

uSuf

SufS

u

u

Полагая теперь последовательно 2 = 0, 40, 80, 120,

160, 200, получаем:

;0)0()0()0( *43*3 SfS

;4303)0()40(

440)40()0(max

)40()([max)40(

*43

*43

3*433

400

*3

3

Sf

Sf

uSufSu

23

;7

404)0()80(

743)40()40(

660)80()0(

max

)80()([max)80(

*43

*43

*43

3*433

800

*3

3

Sf

Sf

Sf

uSufSu

;9

707)0()120(

844)40()80(

963)80()40(

880)120()0(

max

)120()([max)120(

*43

*43

*43

*43

3*433

1200

*3

3

Sf

Sf

Sf

Sf

uSufSu

;13

11011)0()160(

1147)40()120(

1064)80()80(

1183)120()40(

13130)160()0(

max

)160()([max)160(

*43

*43

*43

*43

*43

3*433

1600

*3

3

Sf

Sf

Sf

Sf

Sf

uSufSu

24

.18

18018)0()200(

15411)40()160(

1367)80()120(

1284)120()80(

16160)200()0(

16133)160()40(

max

)200()([max)200(

*43

*43

*43

*43

*43

*43

3*433

2000

*3

3

Sf

Sf

Sf

Sf

Sf

Sf

uSufSu

Полученные значения запишем в табл. 3.

Таблица 3

2 )( 2*3 S )( 2

*3 u

0

40

80

120

160

200

0

4

7

9

13

18

0

0

40

40

0

200

Аналогично имеем 2k ;

)];()([max

)]()([max)(

21*322

0

2*322

01

*2

12

12

uSuf

SufS

u

u

;000)0()0()0( *32*2 SfS

25

;6

606)0()40(

440)40()0(max

)40()([max)40(

*32

*32

2*322

400

*2

2

Sf

Sf

uSufSu

;10

909)0()80(

1046)40()40(

770)80()0(

max

)80()([max)80(

*32

*32

*32

2*322

800

*2

2

Sf

Sf

Sf

uSufSu

;13

11011)0()120(

1349)40()80(

1376)80()40(

990)120()0(

max

)120()([max)120(

*32

*32

*32

*32

2*322

1200

*2

2

Sf

Sf

Sf

Sf

uSufSu

26

;16

13013)0()160(

15411)40()120(

1679)80()80(

1596)120()40(

13130)160()0(

max

)160()([max)160(

*32

*32

*32

*32

*32

2*322

1600

*2

2

Sf

Sf

Sf

Sf

Sf

uSufSu

.19

15015)0()200(

17413)40()160(

18711)80()120(

1899)120()80(

19136)160()40(

18180)200()0(

max

)200()([max)200(

*32

*32

*32

*32

*32

*32

2*322

2000

*2

2

Sf

Sf

Sf

Sf

Sf

Sf

uSufSu

27

Таблица 4

1 )( 1*2 S )( 1

*2 u

0

40

80

120

160

200

0

6

10

13

16

19

0

40

40

80

80

40

1k . Учитывая, что 0 принимает только одно значение,

имеем

.24

18018)0()200(

18612)40()160(

211011)80()120(

231310)120()80(

24168)160()40(

19190)200()0(

max

)200()([max)200(

*21

*21

*21

*21

*21

*21

1*211

2000

*1

1

Sf

Sf

Sf

Sf

Sf

Sf

uSufSu

Все найденные значения *kS , *ku из табл. 2 – 4 зане-

сем в табл. 5

28

Таблица 5

k 4k 3k 2k 1k

)( 3*4 S

)( 3*4 u

)( 2*3 S

)( 2*3 u

)( 1*2 S

)( 1*2 u

)( 0*1 S

)( 0*1 u

0

40

80

120

160

200

0

4

6

8

13

16

0

40

80

120

160

200

0

4

7

9

13

18

0

0

40

40

0

200

0

6

10

13

16

19

0

40

40

80

80

40

24

40

II этап. Найдем оптимальные управления на каждом

шаге, начиная с первого, пользуясь табл. 5:

Здесь мы учли, что 0 закреплено и равно 200, поэтому

40)200(*1 u является оптимальным управлением на 1-м

шаге, следовательно, однозначно находим из (8)

,16040200*10*1 u

тогда из табл. 5 однозначно находим

80)160()( *2*1

*2 uu и т.д.

Итак, искомый набор оптимальных управлений

)40,40,80,40(),,,( *4*3

*2

*1 uuuu , при этом

.24)(),,,( 0*1

*4

*3

*2

*1max SuuuuSS

Ответ. Максимальный доход при распределении между

данными четырьмя предприятиями 200 млн. руб. составля-

ет 24 млн. руб. и будет получен, если первому предпри-

ятию выделить 40 млн. руб., второму выделить 80 млн.

руб., а третьему и четвертому – по 40 млн. руб.

0

=

200

*1

=

160

*2

=

80

*3

=

40

40*1 u 80*2 u 40

*3 u 40

*4 u

.*4

=

0

29

§8. Двумерная модель распределения средств

Планируется деятельность двух предприятий в тече-

ние n лет. Начальные средства составляют 0X . Средства

x , вложенные в предприятие I, приносят к концу года до-

ход )(1 xg и возвращаются в размере ,)(1 xx аналогич-

но, средства x , вложенные в предприятие II, дают доход

)(2 xg и возвращаются в размере .)(2 xx По истечении

года все оставшиеся средства заново распределяются меж-

ду предприятиями I и II, новых средств не поступает, и до-

ход в производство не вкладывается.

Требуется найти оптимальный способ распределения

имеющихся средств.

Вложим данную задачу в схему динамического про-

граммирования.

I. Построим управляемую динамическую систему:

1) под k-м шагом будем понимать k-й год планируе-

мого периода. Имеем n шагов;

2) под состоянием k будем понимать остаток де-

нежных средств к концу k-го шага или их наличие в начале

k+1-го шага;

3) под управлением ku будем понимать количество

средств, вкладываемых в предприятие I. Тогда количество

средств, вкладываемых в предприятие II, будет равно

kk u1 . Откуда получаем

,0,0, 1000 kkk uXX (11)

и формула (1) имеет вид

).()( 121 kkkk uu (12)

II. Строим аддитивную целевую функцию.

Доход на k-м шаге вычисляется по формуле

30

)()(),( 1211 kkkkkk uguguf (13)

и целевая функция

n

kkkk ufS

11 ).,(

Задача состоит в нахождении такого набора

),,,( 21 nuuu , при котором maxS .

Рассмотрим конкретный пример задачи распределе-

ния средств.

Составить оптимальный план ежегодного распреде-

ления средств между двумя предприятиями в течение

трехлетнего планового периода при следующих условиях:

1) начальная сумма составляет 400; 2) вложенные средства

в размере x приносят на предприятии I доход )(1 xg и воз-

вращаются в размере 60% от x ; а на предприятии II – со-

ответственно )(2 xg и 20%; 3) ежегодно распределяются

все наличные средства, получаемые из возвращенных

средств; 4) функции )(1 xg и )(2 xg заданы в табл. 6.

Таблица 6

)(xg x

50 100 150 200 250 300 350 400

)(1 xg 6 10 15 26 28 38 45 49

)(2 xg 8 12 20 28 35 40 46 48

Решение.

Для данного примера 4000 и все k

),,2,1( nk могут принимать значение 0, 50, 100, ... ,

400.

Формулы (12) имеют вид

).(2,06,0 1 kkkk uu (14)

31

I этап. Находим, начиная с конца, все )( 1*

kkS и

)( 1*

kku )1,2,3( k по следующим формулам, вытекаю-

щим из формул (9) – (11), (13), (14).

)].()([max)( 322310

2*3

23

ugugSu

(15)

))](2,06,0(

)()([max)(

1*

1

1210

1*

1

kkkk

kkku

kk

uuS

ugugSkk

(16)

Результаты всех вычислений заносим в табл. 7.

Таблица 7

k )( 2*3 S

)( 2*3 u

)( 1*2 S

)( 1*2 u

)( 0*1 S

)( 0*1 u

0 0 0 0 0

50 8 0 10,8 50

100 14 50 20,4 50

150 20 0 28,4 100

200 28 0 42,4 200

250 35 0 51,6 200

300 41 50

350 46 0,

50,

400 54

200,

300

200 99,08 350

Имеем по формуле (15) и из табл. 6:

;0)]0()0([max)0( 2100

*3

3

ggSu

;806)0()50(

80)50()0(max

)]50()([max)50(

21

21

3231500

*3

3

gg

gg

ugugSu

32

;14

010)0()100(

86)50()50(

120)100()0(

max

)]100()([max)100(

21

21

21

32311000

*3

3

gg

gg

gg

ugugSu

;20

015)0()150(

810)50()100(

126)100()50(

200)150()0(

max

)]150()([max)150(

21

21

21

21

32311500

*3

3

gg

gg

gg

gg

ugugSu

)]200()([max)200( 32312000

*3

3

ugugSu

и т.д.

По формуле (16) находим

;00)0()0(

)]0()0()([max)0(

21

*32221

00

*2

2

gg

SugugSu

.8,10

8,406)30()0()50(

6,180)10()50()0(max

))]50(2,06,0()50()([max)50(

*321

*321

22*32221

500

*2

2

Sgg

Sgg

uuSugugSu

33

Здесь )10(*3S и )30(*3S нашли приближенно, пользу-

ясь формулами линейной интерполяции, а именно:

;6,15

08

5

)0()50(

5

050)10(

*3

*3*

3*3

SSSS

.8,4)10(3)310()30( *3*3

*3 SSS

Аналогично находим

.4,20

2,9010)60()0()100(

4,686)40()50()50(

2,3120)20()100()0(

max

))]100(2,06,0()100()([max)100(

*321

*321

*321

22*32221

1000

*2

2

Sgg

Sgg

Sgg

uuSugugSu

Здесь

;4,66,14)40(;2,36,12)20( *3*3 SS

;2,92,185

)50()100()50(

5

5010050)60(

*3

*3*

3

*3

*3

SSS

SS

и т.д.

34

.08,99

76,9876,49049)240()0()400(

08,9908,46845)220()50()350(

4,924,421238)200()100()300(

8,848,362028)180()150()250(

2,852,312826)160()200()200(

8,768,263515)140()250()150(

6,736,234010)120()300()100(

4,724,20466)100()350()50(

56,6456,16480)80()400()0(

max

))]400(2,06,0(

)400()([max)400()(

*221

*221

*221

*221

*221

*221

*221

*221

*221

11*2

12114000

*10

*1

2

Sgg

Sgg

Sgg

Sgg

Sgg

Sgg

Sgg

Sgg

Sgg

uuS

ugugSSu

II этап. Найдем оптимальные управления на каждом

шаге, начиная с первого, пользуясь табл. 7 и формулами (14):

Итак, нами получен следующий оптимальный план рас-

пределения средств между двумя предприятиями по годам:

Предприятие 1-й год 2-й год 3-й год

I 350 200 24

II 50 20 100

При этом может быть получен максимальный доход

.1,99max S

0

=

400

*1

=

220

*2

=

124

*3

=

34

24*3 u 200*2 u 350

*1 u

35

§9. Оптимальная стратегия замены оборудования

Одной из экономических проблем, с которыми при-

ходится встречаться на практике, является определение

оптимальной стратегии в замене старого оборудования.

Старение оборудования включает в себя его физический и

моральный износ, в результате чего растут производствен-

ные затраты по выпуску продукции на старом оборудова-

нии, увеличиваются затраты на его ремонт и обслужива-

ние, а вместе с тем снижается производительность и так

называемая ликвидная стоимость.

Наступает момент, когда старое оборудование более

выгодно продать, заменить новым, чем эксплуатировать

ценой больших затрат.

Оптимальная стратегия замены оборудования состо-

ит в определении оптимальных сроков замены. Критерием

оптимальности при определении сроков замены служит

прибыль от эксплуатации оборудования. Условимся счи-

тать, что решения о замене оборудования принимаются

периодически в начале каждого промежутка (года, месяца

и т.д.), на которые разбит плановый период.

Основной характеристикой оборудования является

его возраст. От возраста оборудования зависят эксплуата-

ционные расходы, затраты на производство, производи-

тельность и ликвидная стоимость.

Конкретно задача о замене оборудования ставится

следующим образом.

Определить оптимальные сроки замены оборудования в

течение n лет, при которых прибыль от эксплуатации обору-

дования максимальна, если известны: p – начальная стои-

мость оборудования; )(tR – стоимость производимой продук-

ции на оборудовании возраста t лет; )(tr – ежегодные затра-ты на эксплуатацию оборудования возраста t лет; )(t – лик-

36

видная стоимость оборудования возраста t лет. Предполага-

ются, что к началу планового периода оборудование является

новым.

Вложим данную задачу в схему динамического про-

граммирования.

I. Построим управляемую динамическую систему:

1) под k-м шагом будем понимать k-й год планируе-

мого периода. Имеем n шагов;

2) под состоянием k будем понимать возраст обо-

рудования к концу k-го шага или к началу k+1-го шага. От-

сюда вытекает, что на каждом шаге состояние k может

принимать следующие значения:

;0;,,2,1,0 0 k (17)

3) в качестве управления ku на каждом шаге высту-

пают решения о замене и сохранении оборудования.

Обозначим через u решение о сохранении оборудо-

вания; u – решение о замене оборудования.

Формула (1) для данной задачи имеет вид

.,1

,11

uu

uu

k

kk

k

(18)

II. Построим аддитивную целевую функцию.

Под доходом на k-м шаге будем понимать прибыль от

эксплуатации оборудования на k-м шаге. Согласно усло-

вию задачи она, в зависимости от управления, будет выра-

жаться следующим образом:

.)()0()0(

)()(),(

1

11

1uuприpR

uuприRuf

kk

kkk

kkk

r

r(19)

Очевидно, прибыль за n лет составит

37

.),(1

1

n

kkkk ufS

Рассмотрим конкретный пример задачи о замене обо-

рудования.

К началу текущей пятилетки на предприятии уста-

новлено новое оборудование. Зависимость производитель-

ности этого оборудования от времени его использования

предприятием, а также ежегодные затраты на эксплуата-

цию оборудования возраста t приведены в табл. 8.

Таблица 8

0 1 2 3 4 5

)(tR 80 75 65 60 60 55

)(tr 20 25 30 35 45 55

Зная, что затраты, связанные с приобретением и ус-

тановкой нового оборудования, идентичного с установ-

ленным, составляют 40 тыс. руб., а заменяемое оборудова-

ния списывается, составить такой план замены оборудова-

ния в течение пятилетки, при котором общая прибыль за

данный период времени максимальна.

Решение. В данном конкретном примере число ша-

гов 5n , функция 0)( t и 40p , функции )(tR и )(tr

заданы табл. 8.

I этап. Находим, начиная с конца, все )( 1*

kkS и

)( 1*

kku (k = 5, 4, 3, 2, 1) по формулам (9), (10) для всех

возможных значений k (17) и полученные значения запи-

сываем в табл. 9, при этом следует учесть, что формулы

(19) для нашего примера имеют вид

.20402080

)()(),(

11

1uuпри

uuприRuf

k

kkk

kkk

r

38

При 5n и из формулы (10)

.20

)()(max),(max)(

5

544

5454*5

55 uuпри

uuприRufS

uu

r

Давая k всевозможные значения (17), с учетом

табл.8, заполним первые три столбца табл. 9.

Таблица 9

k

)( 4*5 S

)( 4*5 u

)( 3*4 S

)( 3*4 u

)( 2*3 S

)( 2*3 u

)( 1*2 S

)( 1*2 u

)( 0*1 S

)( 0*1 u

0 60 u 110 u 145 u 180 u 215 u

1 50 u 85 u 120 u 155 u

2 35 u 70 u 105 u, u

3 25 u 70 u

4 20 u

5

Для нахождения всех остальных )( 1*

kkS и )( 1*

kku

(k = 4, 3, 2, 1) используем формулу (10):

.705020)1(20

)1()()(max

)}(),({max)(

4*5

43*533

4*54343

*4

4

4

uuприS

uuприSR

SufS

u

u

r

Давая k всевозможные значения (17), с учетом

табл.8, заполним четвертый и пятый столбцы табл. 9. Да-

лее заполняем все остальные столбцы таблицы аналогично.

Следует учесть, что в последних столбцах, соответствую-

щих 1k , достаточно положить 00 .

II этап. Строим оптимальную траекторию, начиная с

первого шага, пользуясь табл. 9 и формулами (18) и учи-

тывая, что 00 .

39

Итак, искомый набор оптимальных управлений

),,,,( uuuuu , при этом 215)( 0*1max SS .

Ответ. Максимальная прибыль, равная 215 тыс. руб.,

будет достигнута предприятием в течение пятилетки, если

заменить оборудование новым только на четвертом году

данного периода.

§10. Задача о повышении надежности радиоэлектронной аппаратуры

Говорят, что случайная величина подчинена экс-поненциальному закону распределения, если

,1)( tetP (20)

где 0 – параметр экспоненциального закона. Предположим, что некоторая аппаратура рассчитана

на время T . Надежностью аппаратуры называется вероят-

ность того, что за расчетное время аппаратура не выйдет

из строя.

Пусть – время безотказной работы аппаратуры, тогда

),( TPp

где p – надежность аппаратуры.

uu *4

2

0

=

0

*1

=

1

*2

=

2

*3

=

3

uu *1 uu *2 uu

*3

*4

=

1

uu *5 .*5

=

40

Предположим, что время безотказной работы подчи-

нено экспоненциальному закону (20), тогда надежность

аппаратуры p вычисляется по следующей форме:

.)(1 TeTPp (21)

Рассмотрим следующую задачу.

Система состоит из трех блоков (рис. 7). В первый

блок входят 4 функциональных узла, во второй – 5 функ-

циональных узлов, в третий – 3 функциональных узла.

Время безотказной работы каждого функционального узла

подчиняется экспоненциальному закону со следующими, в

зависимости от блока, параметрами:

,1005,0,102,0,101,0 321 rrr (22)

Для приобретения запасного оборудования выделено

пять условных денежных единиц. Стоимость одного функ-

ционального узла первого и третьего блоков равна двум

денежным единицам, одного функционального узла вто-

рого блока – одной денежной единице. Найти количество

запасных узлов каждого типа, при котором надежность

системы в целом будет максимальна, исходя из расчетного

времени 100T ч.

Составим математическую модель данной задачи.

Обозначим количество запасных узлов k-го типа через ku

(k = 1, 2, 3). Найдем надежность всей системы. Надежность

k-го блока вычисляется по правилам теории вероятности

[7] с учетом (21), (22) следующим образом:

)..()1.()0.(

)100(

k

kk

uоткPоткPоткP

узловuоткажетчасовзаpp

41

Откуда

1 1 1

2 2 22

3 3 3

44 1 3 1 1

1 1 4 1 1 4 1 1 1 1

55 1 4 2 2

2 2 5 2 2 5 2 2 2

33 1 2 0,5 0,5

3 3 3 3 3 3 3 3 3 2

, , 1 ;

, , 1 ;

, , 1

u u u

u u u

u u u

P p C p q C p q p e q e

P p C p q C p q p e q e

P p C p q C p q p e q e

(23)

u1

u2

u3

I II III

Рисунок 7

Надежность системы в целом, учитывая независи-

мость работы блоков, равна [7]:

.321 pppp

42

Тогда математическая модель имеет вид

?),,(

max;

,,0,,

,522

321

321

321

321

uuu

pppp

целыеuuu

uuu

Для того чтобы полученную задачу можно было ре-

шить методом динамического программирования, перей-

дем от этой задачи к следующей эквивалентной задаче:

,,0,,

,522

321

321

целыеuuu

uuu (24)

min;)()()( 332211 ufufufS

?),,( 321 uuu

Здесь pS ln , kkk puf ln)( . Очевидно, что

.minlnmaxlnmax ppp

Результаты вычислений )(ufk по формулам (23) запишем

в табл. 10.

Таблица 10

u )(1 uf )(2 uf )(3 uf

0 018,01 p 3,999 00005,02 p 10,002 225,03 p 1,493

1 144,01 p 1,936 001,02 p 6,505 659,03 p 0,417

2 469,01 p 0,758 02,02 p 3,911 939,03 p 0,063

3 097,02 p 2,338

4 475,02 p 0,745

5 958,02 p 0,043

Вложим эту задачу в схему динамического программиро-

вания. Введем искусственно дискретное время. Будем ус-

43

ловно считать, что запасное оборудование приобретается

сначала для первого блока, затем для второго, а затем для

третьего блока.

I. Построим управляемую динамическую систему:

1) под k-м шагом будем понимать приобретение за-пасного оборудования для k-го блока. Получим три шага;

2) под состоянием k будем понимать остаток денеж-

ных средств по завершению k-го шага или их наличие к

началу k+1-го шага. Тогда состояния k могут принимать

следующие значения:

;5,5,4,3,2,1,0 0 (25)

3) под управлением на k-м шаге будем понимать ku .

Формулы (1) для данной задачи имеют вид

.2,,2 323212101 uuu (26)

Откуда вытекает, что

.2,,2 231201 uuu

II. Строим аддитивную целевую функцию.

Под величиной потерь на k-м шаге будем понимать

функции )( kk uf , тогда целевой функцией будет функция S

из (24), которая является аддитивной.

Решение.

Формулы (8), (9), с учетом формул (26), имеют вид

),(min)( 32

*3 ufS

u

(27)

)].2()([min)(

)],()([min)(

0*21

20

*1

*32

*2

0

uSufS

uSufS

u

u

(28)

44

I этап. Находим )( 1*

kkS по формулам (27), (28) для

всех возможных значений k , определяемых (25). Резуль-

таты вычислений заносим в табл. 11.

Таблица 11

3-й шаг 2-й шаг 1-й шаг

k

)( 2*3 S

)( 2*3 u

)( 1*2 S )( 1

*2 u

)( 0*1 S )( 0

*1 u

0 1,493 0 11,49 0

1 1,493 0 7,998 1

2 0,417 1 5,404 2

3-й шаг 2-й шаг 1-й шаг

k

)( 2*3 S

)( 2*3 u

)( 1*2 S )( 1

*2 u

)( 0*1 S )( 0

*1 u

3 0,417 1 3,831 3

4 0,063 2 2,238 4

5 0,063 2 1,539 5 5,535 0

По формулам (27) имеем

,493,1)0()(min)0( 33302

*3

3

fufSu

,493,1)0()(min)1( 33312

*3

3

fufSu

,417,0)}1(),0(min{)(min)2( 333322

*3

3

ffufSu

,417,0)}1(),0(min{)(min)3( 333332

*3

3

ffufSu

,063,0)}2(),1(),0(min{)(min)4( 3333342

*3

3

fffufSu

.063,0)}2(),1(),0(min{)(min)5( 3333352

*3

3

fffufSu

45

По формулам (28) имеем

;495,11)0()0()]0()([min)0( *322*322

0

*2

2

SfuSufSu

;998,7

998,7)0()1(

495,11)1()0(min

)]1()([min)1(

*32

*32

2*322

1

*2

2

Sf

Sf

uSufSu

;404,5

404,5)0()2(

998,7)1()1(

419,10)2()0(

min

)]2()([min)2(

*32

*32

*32

2*322

2

*2

2

Sf

Sf

Sf

uSufSu

;831,3

831,3)0()3(

404,5)1()2(

922,6)2()1(

419,10)3()0(

min

)]3()([min)3(

*32

*32

*32

*32

2*322

3

*2

2

Sf

Sf

Sf

Sf

uSufSu

46

;238,2

238,2)0()4(

831,3)1()3(

328,4)2()2(

922,6)3()1(

065,10)4()0(

min

)]4()([min)4(

*32

*32

*32

*32

*32

2*322

4

*2

2

Sf

Sf

Sf

Sf

Sf

uSufSu

;536,1

536,1)0()5(

238,2)1()4(

755,2)2()3(

328,4)3()2(

568,6)4()1(

065,10)5()0(

min

)]5()([min)5(

*32

*32

*32

*32

*32

*32

2*322

5

*2

2

Sf

Sf

Sf

Sf

Sf

Sf

uSufSu

.535,5

756,8)1()2(

767,5)3()1(

535,5)5()0(

min

)]25()([min)5(

*22

*21

*21

1*211

52

*1

1

Sf

Sf

Sf

uSufSu

47

II этап. Строим оптимальную траекторию, начиная с

начала:

Оптимальный набор управлений (0, 5, 0).

Ответ. Количество запасных узлов для второго блока

равно 5, а для остальных блоков равно 0.

0 =

5

*1

=

5

*2

=

0

.*3

0*3 u 5*2 u 0*1 u

48

ПРИЛОЖЕНИЯ

Задачи для самостоятельного решения

1. Из всевозможных маршрутов, соединяющих точки А и В, выбрать тот, на котором сумма чисел, стоящих на звень-

ях, была бы наименьшей. Пункты, через которые может про-

ходить маршрут, обозначены на рисунке кружочками.

а) 14 13 12

7

9

11

7

9

911

10

10

8 7

8 9

121312

7 6 8

10

A

B

12

10

10

1112

1 9

1010

10

11

7

8

10

14

9

8

б) 13 12 10

15

12

14

20

12

1918

1112

15 14

13 14

9810

14 12 12

B

11

12

13

1010

10 13

15

13

11

13

21

15

11

12

12

13

10

11

10

15

18

14

13

14

13

8

10

9

10

19

13

12

11

18

A

15

10

12

1513

9 10 13

14

15

16

19

17

15

49

в) 13 12 11

6

8

10

6

8

810

99

7 6

7 8

111211

6 5 7

B

11

9

9

1011

10 8

97

8

9

6

7

9

12

8

7

89

9

10

8

9

8

13

12

710

10

11

12

11

12

13

13A

9

2. Определить оптимальную последовательность операций по приемке и отпуску товаров на предприятии

оптовой торговли, позволяющую минимизировать сум-

марные издержки при условиях, приведенных в виде мат-

рицы вариантов связей и затрат по каждой операции.

а) 10 8 9

12

14

1112

131010

10

1811 13

19 20

14131215 14 13

S1

1510

121513

9 10

11

11

13

1212

21

15

1314

12

13

10

15

1413

18

14

1616

12

9

10

1118

19

13

1917

S0

10

4

3

2

0

1

0 1 2 3 4 5 6

m

n

отгрузка товаров

приемка товаров

50

б)

16

1714

121112

11

1013 14

18 18

201519 S1

1513

14128

12 11

18

2015

18

22

2216

16

S0

13

3

2

0

1

0 1 2 3 4

m

n

отгрузка товаров

приемка товаров

в)

18

2018

151313

12

1215 12

21 21

241822 S1

2015

191310

11 17

21

2419

22

27

2519

16

S0

15

3

2

0

1

0 1 2 3 4

m

n

отгрузка товаров

приемка товаров

3. На заданной сети дорог имеется несколько маршру-тов по доставке груза из пункта А в пункт В. Стоимость пере-

возки единицы груза между отдельными пунктами сети про-

ставлена у ребер. Необходимо определить оптимальный

маршрут доставки груза из пункта А в пункт В, который

обеспечил бы минимальные транспортные расходы.

51

а)

1

2 5

3

4

6

9

10

11

14

3

9 2

4

8

6

6

55

75

8

109

5

12

102

3

8

7

8

66

5

66

36

13

А В

б)

1

2

6

3

47

8

9

10

11

169

11

12 18

10

9

12

9

14

910

8

14

12

13

16

5

10

10

16

16

А В

в)

1

4

7

5

6

8

9

10

11

127

88

12 10

9

5

10

9

11

11

15

12

15

10 112

3

13

5

14

10А В

52

4. Найти оптимальное распределение 0X средств

между n предприятиями при условии, что прибыль )(xf ,

полученная от каждого предприятия, является функцией от

вложенных в него средств x . Вложения кратны x , а

функции )(xf заданы таблично.

а)

1200 X ,

4n ,

20x .

б)

50 X ,

3n ,

1x .

в)

60 X ,

3n ,

1x .

x )(xf1 )(xf2 )(xf3 )(xf4

20 9 11 13 12

40 17 33 29 35

60 28 45 38 40

80 38 51 49 54

100 46 68 61 73

120 68 80 81 92

x )(xf1 )(xf2 )(xf3

1 2,2 2 2,8

2 3 3,2 5,4

3 4,1 4,8 6,4

4 5,2 6,2 6,6

5 5,9 6,4 6,9

x )(xf1 )(xf2 )(xf3

1 0,14 0,9 0,11

2 0,26 0,17 0,20

3 0,39 0,22 0,29

4 0,45 0,26 0,37

5 0,50 0,27 0,44

6 0,53 0,28 0,48

53

5. Найти оптимальное распределение начальной сум-

мы средств 0X между двумя отраслями производства I и II в

течение n лет, если даны функции доходов )(1 xg и )(2 xg

для каждой отрасли, функции возврата )(1 x и )(2 x . По

истечении года только все возвращенные средства перерас-

пределяются, доход в производство не вкладывается.

а) 000400 X ед.; 4n ; xxg 4,0)(1 ; xxg 3,0)(2 ;

xx 5,0)(1 ; xx 8,0)(2 .