Obsah přednášky :

Obsah přednášky :

typy pohybů tělesa

posuvný pohyb

rotační pohyb

geometrie hmot

Doba studia :

asi 1,5 hodiny

Cíl přednášky :

seznámit studenty se základními typy pohybu tělesa,s kinematikou a dynamikou posuvného a rotačního pohybu

Základy mechaniky, 14. přednáškaPosuvný a rotační pohyb tělesa.

Pohyb tělesa

posuvnýpohyb

šroubovýpohyb

sférickýpohyb

obecný rovinnýpohyb

rotačnípohyb

obecný prostorovýpohyb

posuvnýpohyb prostorový pohyb

rovinný pohyb :

Všechny body tělesase pohybují v navzájemrovnoběžných rovinách.

Základy mechaniky, 14. přednáška

Pohyb tělesa

posuvnýpohyb

Žádná přímka tělesa nemění svůj směr.


Pohyb tělesa

rotačnípohyb

Jedna přímka tělesa nemění svou polohu.


Pohyb tělesa



Pohyb tělesa

posuvnýpohyb



Pohyb tělesa

sférickýpohyb

Jeden bod tělesa nemění svou polohu.


Pohyb tělesa

šroubovýpohyb

posuv

rotace

Těleso rotuje okolo osya současně se posouvá ve směru této osy.


Pohyb tělesa



Pohyb tělesa

posuvnýpohyb

šroubovýpohyb

sférickýpohyb


rotačnípohyb


posuvnýpohyb

prostorový pohyb

rovinný pohyb

Jaký

koliv

poh

yb tě

lesa

je je

den

z tě

chto

6 ty

pů p

ohyb

u.


Posuvný pohyb.


x

z

y

A

P

1, 2, 3 stupně volnosti

x,y,z - pevný (nehybný)souřadný systém;počátek P

,, - tělesovýsouřadný systém- pevně spojenýs tělesem;počátek

//x, //y, //z

A - běžný bod tělesa


Posuvný pohyb.


x

z

y

A

r

Ar

Ar

P


rA - polohový vektorbodu A vůči xyz

r - polohový vektorbodu vůči xyz,poloha tělesav prostoru

rA - polohový vektorbodu A vůči ,poloha bodu Auvnitř tělesa

AA rrr


Posuvný pohyb.


x

z

y

A

Pr

Ar

Ar

AA rrr

AAA rrrv

0rA

vvA


derivace podle času

Polohový vektor rA má velikost a směr.Velikost je konstantní s ohledem na nedeformovatelnost tělesa

- těleso se nemůže protáhnout, platí vždy (pro absolutně tuhé těleso).Směr je konstantní s ohledem na definici posuvného pohybu

- platí pouze pro posuvný pohyb.


Posuvný pohyb.


x

z

y

A

Pr

Ar

Ar

AA rrr

avva AA

AAA rrrv

0rA

vvA

aaA

Všechny body se pohybují po stejné trajektorii,stejnou rychlostí, se stejným zrychlením.





Posuvný pohyb.



Pohyb posuvný přímočarý.


Posuvný pohyb.



Pohyb posuvný kruhový.

R


Posuvný pohyb.



Pohyb posuvný cykloidní.


Posuvný pohyb - dynamika.

iFam

Pohybová rovnice posuvného pohybu tělesaje shodná s pohybovou rovnicí hmotného bodu.Všechny body tělesa mají stejné zrychlení.



amD

0DFi

dm

dmdm

dm

a

aa

adD

D

dDdD

dD

T

d’Alembertův princip má stejnou podobu jako u hmotného bodu.

Vzniká otázka kde leží působiště d’Alembertovy síly.

dm

dmdm

dm

dG

G

TdG

dG

dG

Poznámka k rovnicím rovnováhy :

pro soustavu sil s různým působištěm musí být

samozřejmě splněna i momentová rovnice rovnováhy.

Tíhová síla G je výslednicí nekonečněmnoha elementárních tíhových sil dG.Elementární tíhová síla dG=dm·g.Gravitační zrychlení g má ve všech bodech stejnou velikost i směr.

D’Alembertova síla D je výslednicí nekonečněmnoha elementárních d’Alembertových sil dD.Elementární d’Alembertova síla dD=dm·a.

Zrychlení a má ve všech bodechstejnou velikost i směr.



amD

0DFi

d’Alembertův princip má stejnou podobu jako u hmotného bodu.

dm

dmdm

dm

a

aa

adD

D

dDdD

dD

T

Vzniká otázka kde leží působiště d’Alembertovy síly.

dm

dmdm

dm

dG

G

TdG

dG

dG

Z analogie mezi rozložením elementárních tíhových sil dG a elementárních d’Alembertových sil dD vyplývá :

D’Alembertova síla D působí v těžišti.

Poznámka k rovnicím rovnováhy :

pro soustavu sil s různým působištěm musí být

samozřejmě splněna i momentová rovnice rovnováhy.

Správně působí ve středu hmotnosti. Je-li těleso malé (ve srovnání se Zemí), je gravitační zrychlení g ve všech bodech tělesa shodné. Střed hmotnost a těžiště pak splývají v jeden bod.



iFam

r

G

BA

m

at

T

b

r

G

b

r

CD

BA

mT

cosGam t

02

0 r

g2 sinsin

Za účelem sestavení(a následného řešení)pohybové rovnicelze těleso nahradithmotným bodem ...kterýmkoliv - všechnybody se pohybují postejné trajektoriistejnou rychlostía se stejným zrychlením.

cosgmrm

cosr

g

cosr

g

d

d

022

0 gr2rrv sinsin

dr

gd cos

00

dr

gd cos

002

21

r

gsin

pohybová rovnice



amD

0DFi

G

T

Dt

Dn

SCSD

CD

BA

y

x

b

r

G

b

r

CD

BA

mT

02

0

2nn

tt

rg

2rm

rmamD

gmamD

sinsin

cos

0Fxi 0Fyi 0M i

CS DS cosrg

d’Alembertův princip

Do těžiště zavedeme d’Alembertovu sílu - tečnou a normálovou složku.

Ze tří rovnic rovnováhy vyřešíme :1) pohybovou rovnici,2) reakční síly.



iFam amD

0DFi

b

r

G

b

r

CD

BA

mT

Pro sestavení (a následné řešení) pohybové rovnicelze hmotu soustředit do jednoho bodu a řešit pohyb hmotného bodu.

Pro řešení sil (nejčastěji reakcí) je třeba počítat s rozměry tělesaa uvažovat soustavu sil s různým působištěm.D’Alembertovu sílu pak zavádíme do těžiště.


každý bod se pohybujepo kružnici o poloměru R

Rotační pohyb.

Jedna přímka tělesa nemění svou polohu (osa rotace).1 stupeň volnosti

o

, r

R

S

ta

v

na

dt

d

2

2

dtd

dtd

Rv

Ra t

Ra 2n

dd

21

dd 2

Rs

rv

ra t

va n

úhel natočení

úhlová rychlost

úhlové zrychlení

r polohový vektor

v obvodová rychlost

at tečné zrychlení

an normálové zrychlení


Rotační pohyb - dynamika.

iFam

2nn

tt

rdmadmdD

rdmadmdD

d’Alembertův princip

nt DdDdD

m

tD rdmrrdDM

m

2D dmrM

dm

an

at

dDt dDn

r m

S

nahrazení silové soustavy

V dynamice nevystačíme s pohybovou rovnicí hmotného bodu !

Z tělesa vybereme hmotový element dm.Tomu přiřadíme tečné a normálové zrychlení at a an.Zavedeme elementární d’Alembertovy síly dDt a dDn (tečnou a normálovou).Provedeme ekvivalentní nahrazení silové soustavy nekonečně mnoha elementárních d’Alembertových sil jednou silou a momentem. moment setrvačnosti [kg·m2]

m

2S dmrI



T2

Tnn

TTtt

SD

rmamD

rmamD

IM

aTn

aTt

S T

Dt

Dn MD

m, IS rT

výsledný silový účinek(působiště ve středu rotace !)výsledný momentový účinek

doplňkový (d’Alembertův) moment MD působí proti směru úhlového zrychlení .

doplňkové (d’Alembertovy) síly Dt a Dn

působí proti směru zrychlení těžiště aTt a aTn.

m - hmotnost tělesaIS - moment setrvačnosti

ke středu rotace S - úhlová rychlost - úhlové zrychleníaTt - zrychlení těžiště, tečná složkaaTn - zrychlení těžiště, normálová složkarT - vzdálenost těžiště od středu rotace



T2

Tnn

TTtt

SD

rmamD

rmamD

IM

S

Dt

Dn MD x

y

Ry

Rx

0M

0F

0F

Si

yi

xi

SiS MI

pohybová rovnice

xR

yR

řešení reakcí z rovnic rovnováhy

doplňková (d’Alembertova) síla- tečná a normálová složka

doplňkový (d’Alembertův) moment

akční síly (zatížení)

reakce

doplňkové účinky

včetně doplňkových sil !

neobsahuje reakce ani doplňkové síly

včetně doplňkového momentuneobsahuje doplňkový moment



S

IS - moment setrvačnosti [kg·m2]

- úhlové zrychlení [rad/s2]

MSi - součet momentů vnějších silke středu rotace [N·m]

akční síly (zatížení)

SiS MI

pohybová rovnice



2212

21

K rdmvdmdE

kinetická energie

m

2221

m

221

K dmrrdmE

2S2

1K IE

dmv

r

m

S

Z tělesa vybereme hmotový element dm.Tomu přiřadíme rychlost v a kinetickou energii dEK.Kinetickou energii tělesa určíme integrováním přes celé těleso.

221

K vmE

ISmomentsetrvačnosti


analogie mezi posuvným a rotačním pohybem

rotační pohybposuvný pohyb

Z porovnáním kinematiky a dynamiky posuvného a rotačního pohybuvyplývá analogie (podobnost) mezi oběma pohyby.Tato analogie spočívá v tom, že jednotlivým fyzikálním veličinám, vztahujícím se k posuvnému pohybu, odpovídají jiné veličiny, vztahující se k rotačnímu pohybu. Vztahy mezi nimi pak jsou shodné.Jestliže ve vztazích, týkajících se posuvného pohybu, nahradíme jedny veličiny druhými, dostaneme analogické vztahy, týkající se rotačního pohybu.




dráha [m, mm]s, x, ... ~ úhel [rad, °]

rychlost [m/s]v ~ úhlovárychlost

[rad/s]sv

zrychlení [m/s2]a ~ úhlovézrychlení

[rad/s2]

dsdv

vsva

dd

příklad - rovnoměrně zrychlený pohyb

002

21

0

stvtas

vtav

002

21

0

tt

t

~

~




síla [N]F, G, ... ~ moment síly [N·m]M

hmotnost [kg]m ~ moment setrvačnosti

[kg·m2]I

pohybová rovnice

~ pohybová rovnice iFam

iMI

doplňková síla

doplňkový momentamD

IMD~




~hybnost hmoty

moment hybnosti

vmp IL[kg·m/s] [kg·m2/s]

~impuls síly

impuls momentu

t

0

dtFI

[N·s] [N·m·s] t

0

M dtMI

~změna hybnosti

změnamomentu hybnosti

Ippp 01

M01 ILLL

~kinetická energie

221

K vmE 221

K IE kinetická energie

~práce sdFA práce dMA[N·m]

[J][J]

[N·m]

~výkon vFP výkon[W] MP [W]

změna kinetická energie AEEE 0K1KK [J ~ N·m]


m

2 dmrIdm

r

m

S

geometrie hmot

moment setrvačnosti

r = konst

2

m

2

m

2 rmdmrdmrI

tenká obruč


m

2 dmrIdm

r

m

S

geometrie hmot


x dx

dm

m

m

2 dmxI dxm

dmdx

mdm

0

2

0

2 dxxm

dxm

xI

3m

3xm

I3

0

3

2m31

I

prizmatická tyč rotující okolo osy, procházející koncem tyče


m

2 dmrIdm

r

m

S

geometrie hmot


m

2 dmxI dxm

dmdx

mdm

2

2

22

2

2 dxxm

dxm

xI/

/

/

/

431m

8831m

3xm

I3332

2

3

/

/

2m121

I

prizmatická tyč rotující okolo osy, procházející středem tyče

x dx

dm

m


m

2 dmrI

geometrie hmot


m

h

r dr

R

hdrr2hdSdVdm

válec rotující okolo své osy

dr2··r

dS


m

2 dmrI

geometrie hmot


2Rm21

I

m

h

r dr

R

hdrr2hdSdVdm

hRm

hSm

Vm

2

drrRm

2hdrr2hR

mdm 22

4R

Rm

24r

Rm

2drrRm

2drrRm

2rI4

2

R

0

4

2

R

0

32

R

02

2

válec rotující okolo své osy


2T emII

geometrie hmot


m

e

k posunuté ose

Steinerova věta

IT - moment setrvačnostik ose procházející těžištěm (těžištní

osa),I - moment setrvačnosti

k rovnoběžně posunuté ose.

T

ITI


geometrie hmot

r

m

tenká kruhová deska

241

T rmI

a

m

b

2121

xT bmI _

tenká obdélníková deska

x

z y 22121

zT bamI _2

121

yT amI _

r

ma

2312

41

T armI

válec

r

m

2103

T rmI

kužel jehlan

a

m

b

22201

T bamI

r

m

koule2

52

T rmI


geometrie hmotfiremní literatura


geometrie hmot3D CAD modelování

PRINT MASS PROPERTIES ASSOCIATED WITH THE CURRENTLY SELECTED VOLUMESTOTAL NUMBER OF VOLUMES SELECTED = 1 (OUT OF 1 DEFINED)***********************************************SUMMATION OF ALL SELECTED VOLUMES TOTAL VOLUME = 0.11537E+08 TOTAL MASS = 0.92296E-01 CENTER OF MASS: XC=-0.14674E-03 YC= 0.0000 ZC= 0.0000 *** MOMENTS OF INERTIA *** ABOUT ORIGIN ABOUT CENTER OF MASS PRINCIPAL IXX = 1752.3 1752.3 1752.3 IYY = 1752.3 1752.3 1752.3 IZZ = 3392.2 3392.2 3392.2 IXY = 0.55354E-03 0.55354E-03 IYZ = 0.46905E-04 0.46905E-04 IZX = -0.62350E-04 -0.62350E-04 PRINCIPAL ORIENTATION VECTORS (X,Y,Z): 0.993 -0.116 0.000 0.116 0.993 0.000 0.000 0.000 1.000 (THXY= -6.635 THYZ= 0.000 THZX= 0.000)


Obsah přednášky :

typy pohybů tělesa

posuvný pohyb

rotační pohyb

geometrie hmot


Obsah přednášky :

Documents

Transcript of Obsah přednášky :