JOSIP JURIĆTOMISLAV KOŠOROG MATO KOKANOVIĆDRAŽEN KAPETINIĆ

INES KLEŠIĆ

Elektrotehnički fakultet Osijek

01.12.2011OSNOVE AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

ANALIZA PROCESAVježba broj 1

I. Cilj vježbe: Određivanje matematičkog modela procesa. Linearizacija diferencijalnih jednadžbi u statičkoj radnoj točki. II. Opis vježbe: Na slici 1.1 prikazan je toplinski izmjenjivač čiji je zadatak regulacija temperature ϑ i 1tekućine 1 pomoću zagrijane vode koja struji kroz toplinski izmjenjivač i preko stijenke cijevi predaje toplinu tekućini.

Sl. 1.1. Načelna shema postrojenja toplinskog izmjenjivača.

Prijenos topline s ogrijevnog medija na grijani medij opisan je jednadžbama:

ρ1c1V1dϑ i 1

dt=¿ ρ1c1Q1ϑu1- ρ1c1 Q1ϑ i 1+αA¿ -ϑ i 1) (1-1)

ρ2c2V2d ϑ i 2

dt=¿ ρ2c2Q2ϑu2- ρ2c2Q2ϑ i 2+αA¿ -ϑ i 1) (1-2)

gdje je: ϑu1 = 35 °C - temperatura tekućine 1 u na ulazu u toplinski izmjenjivač, ϑu 2= 90 °C - temperatura vode na ulazu u toplinski izmjenjivač, ρ1 = 900 kg/m3 - gustoća tekućine 1, c1 = 3500 J/kgK - specifični toplinski kapacitet tekućine 1, V1 = 0.003 m3 - unutarnji volumen cijevi kojom tekućina A protječe kroz toplinski izmjenjivačρ2 = 1000 kg/m3 - gustoća vode, c2 = 4200 J/kgK - specifični toplinski kapacitet vode, V2 = 0.008 m3 - volumen vode u toplinskom izmjenjivaču,

1-1

α = 85 W/m2K - efektivni koeficijent prijenosa topline, A = 2 m2 - efektivna površina izmjene topline u izmjenjivaču,Kako bi se izmjena topline kontinuirano odvijala, potrebno je osigurati protok tekućine. Protok vode Q2

osigurava crpka pogonjena asinkronim elektromotorom. Brzinom vrtnje elektromotora upravlja se pomoću frekvencijskog pretvornika. Ovisnost protoka Q2 o upravljačkom signalu opisana je jednadžbom:

Tcd Q2

dt=−Q2+Kc u (1-3)

gdje je :

Kc - pojačanje elektromotornog pogona i crpke Tc - vremenska konstanta elektromotornog pogona i crpke

Protok Q1 tekućine 1 mijenja se u ovisnosti o otvorenosti regulacijskog ventila x ugrađenog na dovodnoj cijevi, koji predstavlja poremećajnu veličinu. Ovisnost protoka Q1 o otvorenosti ventila x izraženoj u postocima opisana je izrazom:

Q1=Kvx (1-4)

gdje je:

Kv - konstanta (pojačanje) ventila

Matematičkim modelom koji se postavlja u okviru ove vježbe, pronalaze se nelinearne i linearne ovisnosti temperature tekućine 1 na izlazu toplinskog izmjenjivača ϑ i 1 o upravljačkoj veličini u.

Tab.1.1. Parametri procesa

1-2

Parametri procesa 5ϑu 1[°C] 35ϑu2[°C] 90ρ1 [kg/m3] 900ρ2 [kg/m3] 1000c1 [J/kgK] 3500c2[J/kgK] 4200V1[m3] 0,003V2[m3] 0,008α [W/m2K] 85A[m2] 2Kv[m3/s] 5,0*10-6

Kc[m3/Vs] 3,0*10-5

Tc[s] 0,55Parametri radne točkeϑ i 10[°C] 40x0[%] 45Promjena napona na pogonskom motoru Δu[V]

0,0964

III. Priprema za vježbu:

a) Odrediti diferencijalne jednadžbe koje opisuju proces

b) Prikazati nelinearni matematički model pomoću blokovske sheme

c) Odrediti sve parametre radne točke: protok tekućine 1 Q10, protok vode Q20, temperaturu vode na izlazu toplinskog izmjenjivača ϑ i 20 te upravljački signal u0

d) Linearizirati sve nelinearne jednadžbe koje se nalaze u modelu za određenu radnu točku

e) Odrediti prijenosnu funkciju ϑ i 1 (s)/U(s) koristeći linearizirani model

f) Odrediti pojačanje procesa

g) Prikazati linearizirani matematički model pomoću blokovske sheme

a) Diferencijalne jednadžbe koje opisuju proces:

ρ1 c1V 1

d ϑ i 1

dt=¿ ρ1c1Q1ϑu1- ρ1c1 Q1ϑ i 1+αA¿ -ϑ i 1) (1-1)

ρ2 c2V 2

dϑ i 2

dt=¿ ρ2c2Q2ϑu2- ρ2c2Q2ϑ i 2+αA¿ -ϑ i 1) (1-2)

T c

dQ2

dt=−Q2+K c u (1-3)

Q1=K v x (1-4) d ϑ i 1

dt= 1

ρ1 c1V 1[ρ¿¿1 c1Q1 ϑu 1−ρ1c1Q1 ϑ i1+α A (ϑ i 2−ϑ i1)]¿ (1-5)

d ϑ i 2

dt= 1

ρ2 c2V 2[ ρ2c2 Q2ϑu 2−ρ2 c2 Q2ϑ i2+α A (ϑ i2−ϑ i 1)] (1-6)

d Q2

dt= 1

T c[−Q2+ K c u] (1-7)

Q1=K v x (1-8)

1-3

b) Prikazati nelinearni matematički model pomoću blokovske sheme :

Sl. 1.2. Blokovska shema nelinearnog matematičkog modela

c) Odrediti sve parametre radne točke: protok tekućine 1 Q10, protok vode Q20, temperaturu vode na izlazu toplinskog izmjenjivača ϑi20 te upravljački signal u0 .

Za radnu točku vrijedi:

d ϑ i 1

dt=

d ϑ i 2

dt=

dQ2

dt=0

(1-9)

Q10=K v x0=5∗10−6∗45 %=0,000225 m3

s(1-10)

Iz (1-5) slijedi:

0= 1ρ1c1V 1

[ ρ¿¿1c1 Q1ϑ u1−ρ1 c1 Q1ϑ i 1+α A (ϑ i2−ϑ i 1)]¿ (1-11)

1-4

Pa je ϑi20:

ϑ i 20=ρ1 c1 Kv x0( ϑ i10−ϑu 1)+α Aϑ i10

α A=60,8456℃=334 K (1-12)

Iz (1-6) slijedi:

0= 1ρ2c2V 2

[ ρ2 c2Q2ϑ u2−ρ2 c2Q2 ϑ i 2+α A(ϑ i 2−ϑ i 1)] (1-13)

Pa je Q20:

Q20=

αA (ϑ i20−ϑ i10)ρ2 c2(ϑ u2−ϑ i20)

=2,8941∗10−5 m3

s (1-14)

Iz (1-7) slijedi:

0= 1T c

[−Q2+K c u] (1-15)

Pa je u0:

u0=Q20

K c=0,9647 V (1-16)

d) Linearizirati sve nelinearne jednadžbe koje se nalaze u modelu za određenu radnu točku:

V 1

d ∆ ϑ i1

dt=(ϑ u 1−ϑ i 10 ) ∙ ∆Q1+(−Q10−K 1 )∙ ∆ ϑ i 1+K1 ∙ ∆ ϑ i2 (1-17)

V 2

d ∆ ϑ i2

dt=(ϑ u 2−ϑ i 20 ) ∙ ∆ Q2+(−Q20−K2 ) ∙∆ ϑ i 2+ K2 ∙ ∆ ϑ i2 (1-18)

T c

d ∆ Q2

dt=−∆ Q2+K c ∆ u (1-19)

∆ Q1=K v ∆ x (1-20)

e) Odrediti prijenosnu funkciju ϑi1(s))/U(s) koristeći linearizirani model:

1-5

Gs (s )=ϑ i 1(s)U (s )

=K c

αAρ1 c1

(1+sTc )∙ [(s ∙ V 2+Q20+αAρ2c2 ) ∙(s ∙V 1+Q10+

αAρ1c1 )− α2 A2

ρ1 c1 ρ2 c2 ]

(1-21)

Gs (s )=ϑ i 1(s)U (s )

= 4,72 ∙ 10−8

1,32 ∙ 10−5 s3+2,534 ∙10−5 s2+2,449 ∙10−6 s+1,718∙ 10−8 (1-22)

f) Odrediti pojačanje procesa:

Gs (s )= 4,72 ∙10−8 /1,718 ∙10−8

(1,32∙10−5 s3+2,534 ∙10−5 s2+2,449 ∙ 10−6 s+1,718∙10−8)/1,718 ∙10−8

(1-23)

K = 4,72*10-8/1,718*10-8 = 2,7474 (1-24)

g) Prikazati linearizirani matematički model pomoću blokovske sheme:

Sl. 1.3. Blokovska shema lineariziranog matematičkog modela

1-6

III. Rad na vježbi:

a) Pomoću MATLAB-funkcije STEP odredite odziv na skokovitu pobudu lineariziranog modela procesa prikazanog prijenosnom funkcijom dobivenoj u točki e) priprema za vježbu

Kod u MATLAB-u:

>> B=[4.72e-8];>> N=[1.32e-5 2.534e-5 2.449e-6 1.718e-8];>> pf=tf(B,N) Transfer function: 4.72e-008----------------------------------------------------------1.32e-005 s^3 + 2.534e-005 s^2 + 2.449e-006 s + 1.718e-008 >> step(pf)

Sl. 1.4. Odziv lineariziranog modela na skokovitu pobudu

b) Na temelju blokovske sheme izrađene u točkama b) i g) priprema za vježbu, izradite simulacijske modele razmatranog procesa u SIMULINK-u.

1-7

Sl. 1.2. Blokovska shema nelinearnog matematičkog modela

Sl. 1.3. Blokovska shema lineariziranog matematičkog modela

c) Simulacijom odredite odziv lineariziranog i nelinearnog modela procesa na skokovitu pobudu za zadane promjene upravljačke veličine Δu i prikažite ih pomoću naredbi MATLAB-a :

Kod u MATLAB-u:

>> plot(t,thetai1_lin)>> hold on>> plot(t,thetai1_nl)

1-8

Sl. 1.5. Odziv linearnog i nelinearnog modela na skokovitu pobudu Δu

d) Usporedite odzive nelinearnog i lineariziranog modela procesa, te komentirajte valjanost lineariziranog modela procesa za različite promjene upravljačke veličine:

Sl. 1.6. Odziv linearnog i nelinearnog modela na skokovitu pobudu 0.5Δu

1-9

Sl. 1.7. Odziv linearnog i nelinearnog modela na skokovitu pobudu 2Δu

Sl. 1.8. Odziv linearnog i nelinearnog modela na skokovitu pobudu 5Δu

1-10

ZAKLJUČAK:

Linearni i nelinearni model procesa se ne razlikuju u blizini radne točke. Što je manja promjena upravljačke veličine to se i linearizirani model više približava nelinearnom modelu. Za veća odstupanja upravljačke veličine od radne točke linearni model je sve netočniji i sve više odstupa od nelinearnog modela.

1-11