Núemeros fraccionarios y sus operaciones
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LECTURA 5.1
NÚMEROS FRACCIONARIOS Y SUS OPERACIONES.
Objetivo: Recordar el concepto de fracción, reconocer dos fracciones equivalentes, revisar las operaciones básicas con fracciones y su jerarquización de operaciones.
Ahora plantearemos el problema de dividir la unidad en partes. Queremos expresar qué parte de la tableta de chocolate representa cada una de las doce pastillas que la componen; o bien qué porción de un pastel se ha comido cada uno de los niños después de haberlo partido en 5 partes iguales.
Los números enteros no nos sirven, de manera directa, para expresar cada una de las 12 partes de la tableta de chocolate o cada pedazo de pastel. Para representar este tipo de cantidades se utilizan los números fraccionarios.
Para escribir las fracciones utilizamos un par de números enteros puestos uno encima del otro y separados por una rayita horizontal.
El número situado debajo de la rayita indica el número de partes en que hemos dividido la unidad y se llama denominador, ya que da el nombre a la fracción.
El número de arriba indica cuántas partes consideramos y se llama numerador de la fracción.
MATEMATICAS 0 PARA NEGOCIOS MTRA. JUDITH AGUILA MENDOZA
FRACCIÓN, es cada una de las partes en que dividimos una determinada cantidad que tomamos como unidad.
Cuando el número de partes que tomamos no supera el número de partes en que hemos dividido a la unidad, es decir, cuando el numerador es menor que el denominador , entonces se trata de una fracción propia.
Son fracciones propias:
506328,
1001,
2019,
53,
127
Cuando el numerador en mayor que el denominador entonces la fracción es impropia.
Una fracción impropia contiene siempre un número entero de veces a la unidad;
en el caso de los 37
de litro de refresco, la unidad esta contenida dos veces y una
tercera parte más de otra. En general toda fracción impropia se puede descomponer en
la suma de un número entero más una fracción propia, que recibe el nombre de
fracción mixta.
Una fracción cuyo numerador y denominador es igual se denomina fracción
unitaria.
Algunas afirmaciones que podemos hacer con respecto a las fracciones son:
1) Toda fracción propia es menor que la unidad
2) Toda fracción impropia es mayor que la unidad,
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3) Toda fracción unitaria es igual a la unidad
4) De varias fracciones que tengan igual denominador es mayor la que tenga mayor
denominador
5) De varias fracciones que tengan el mismo numerador es mayor la que tenga
menor denominador
6) Si a los 2 términos de una fracción propia (numerador y denominador) se les
suma un mismo número, la fracción nueva es mayor que la primera
7) Si el numerador o el denominador de una fracción es multiplicado por cierto
número, la nueva fracción queda multiplicada por dicho número y en caso que se
divida, queda dividida.
8) Si los 2 términos de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número,
la fracción no varía
9) Si a los 2 términos de una fracción propia se le resta un mismo número, la nueva
fracción es menor que la primera
10) Si a los dos términos de la fracción impropia se les suma el mismo número, la
fracción resultante es menor que la anterior, sin embargo, si se les resta un
mismo número la nueva fracción será mayor que su antecesora.
2.2.1. EQUIVALENCIA Y ORDEN DE FRACCIONES
Dos ó más fracciones son equivalentes cuando tienen diferente forma de presentación pero sin alterar su valor.
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21
, es equivalente a 42
, es equivalente a 63
Observando el ejemplo anterior puede concluirse que para obtener fracciones equivalentes, se multiplica o divide simultáneamente el numerador y el denominador de una fracción dada por un mismo número.
Del ejemplo anterior:
42
, es equivalente a 21
porque el numerador y denominador de 21
se multiplicó
por DOS.Al igual que:
63
, es equivalente a 21
porque esta fracción se multiplicó por TRES.
Con este procedimiento podemos encontrar un número muy grande de fracciones equivalentes.
Si nosotros quisiéramos saber si dos fracciones son equivalentes el procedimiento más adecuado y sencillo es el siguiente:
Analicemos si las siguientes fracciones son equivalentes:
128
32 =
Multipliquemos el numerador de una fracción por el denominador de la otra, y observemos si los productos son iguales:
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248324122 =×=× y
Orden de fracciones.
Para poder establecer el orden entre fracciones debemos considerar lo siguiente:
a) Si el denominador de las fracciones comparadas es el mismo, entonces el numerador es quien determinará cual de ellas es mayor.
b) Cuando se presentan fracciones de diferente denominador debemos tener cuidado para no tener errores de apreciación en el cálculo. Ejemplo:
32,
43
Primero.- Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda:
933 =×
Segundo.- Multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda:
824 =×
Tercero.- Se comparan los productos obtenidos, si el primero es mayor que el segundo, la primera fracción es mayor que la segunda. Pero si es menor, entonces la segunda será mayor que la primera.
Por lo tanto del ejemplo tenemos que:
32
43 >
OPERACIONES CON FRACCIONES.
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SUMA Y RESTA.
a) Fracciones con igual denominador.
En este caso sólo sumamos los numeradores, quedando el mismo denominador de la suma. Reflexiona y explica brevemente por qué?
Ejemplo:
523
514342
514
53
54
52 =+++=+++
b) Fracciones con diferente denominador.
Cuando en una adición de fracciones sus denominadores no son iguales, hay que convertirlos en fracciones equivalentes y posteriormente efectuar la suma. Por ejemplo:
=+32
21
Hay que convertirlas a fracciones que tengan un denominador común, esto se logra si multiplicamos y dividimos la primera por 3 y la segunda por 2, así tenemos:
64
2322
63
3231 =
××=
×× y de esta forma:
67
643
64
63 =+=+
El procedimiento anterior se convierte en formal cuando efectuamos el siguiente procedimiento:1°. Se calcula el mcm, de los denominadores.
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2°. El mcm se divide por cada denominador, y el cociente obtenido se multiplica por el numerador.
3°. Este último valor es el nuevo numerador.
Ejemplo:
=++43
65
32
1227
129108
12335224
43
65
32 =++=×+×+×=++
Para poder efectuar una resta con fracciones sólo es necesario considerar el signo ( -), con el mismo procedimiento de la suma.
Multiplicación y división.
Para la multiplicación, el proceso es multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.
El significado de la multiplicación de fracciones se puede representar con el siguiente ejemplo:
72
32:
214
7322
72
32 designifica=
××=×
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Obtenemos el mcm de los denominadores:3 3 4 2 6 21 2 2 3 3
1 1
1232
322312
2
=×=
××
mcm
es decir, tomamos dos terceras partes de dos séptimos.
La división , por ser inversa de la multiplicación, se resuelve de la siguiente manera: “el dividendo se multiplica por el inverso o recíproco del divisor”.
El inverso de una fracción se obtiene cuando el numerador y el denominador intercambian lugares.
Ejemplo:
815
2453
25
43
52
43
5243
=××=×=÷=
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.
Simplificar una fracción es convertirla en una fracción equivalente, dividiendo el numerador y el denominador, por el mismo divisor tantas veces como sea permitido hasta obtener la a fracción en forma más simple.
Ejemplo:
32
2416tan
32
2624
64
21228
128
2242
16
2416 ======= tolopor
Comúnmente el procedimiento se da en el siguiente orden: extraer MITAD, TERCERA, o cualquier otra fracción en forma alternada al numerador y denominador.
El procedimiento termina cuando el numerador y denominador no son divisibles entre el mismo número
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Ejercicios propuestos:
=
×÷
−+
=−
×
−+
=
−÷
+=
−÷×
−+
=÷
÷
××
+=÷=÷
=÷=÷=××=×
=−−=
+−=−
+=−+−
=−=+=++=++
56
653
4121
2
418
)20
325
1313
247
81
53
)191123
835)18
1512
193
81
62
41
71)17
125
43
32)16
46370
75
53)1519
2319)14
5213)13
512
1715)12
98
52)11
50311
7342
918)10
54
511)9
8813
104
2217)8
101
53
75)7
87
65
43)6
1205
907
451
303)5
103
31)4
3199)3
4222
712
215)2
72
76
71)1
21) Jorge prestó $ 195, ya le pagaron 32
de la deuda, ¿Cuánto dinero le deben
todavía?
22) Un oficinista trabaja 125
del día. ¿Qué fracción del día descansa?
23) El Sr. Martínez vende 52
de su terreno, alquila 73
y dona lo restante a una
asociación de beneficencia. ¿Qué porción de la finca donó?
24) Celia compra un televisor en $ 4,200. Paga la mitad en efectivo y el resto lo pagará en tres mensualidades; ¿Cuánto pagó en efectivo y cuánto tiene que pagar cada mes?
25) Comprueba si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes:
52,
31
156,
52
81,
42
115,
94
309,
103
1612,
43
324,
81
43,
32
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