Notas Hidrogeno

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  • FAMCJimenezUNAMCaptulo 2

    El atomo de hidrogeno

    El atomo mas simple es el hidrogeno, con un solo electron. Por tanto hasido un campo de prueba basico para el desarrollo de la mecanica cuantica.Iniciaremos este captulo con un repaso de la solucion de la ecuacion deSchroedinger para el atomo de hidrogeno. La presentacion esta dividida endos partes. En la primera se resuelve la parte angular de la ecuacion deSchroedinger para campo central, esto es, para un potencial que dependeunicamente de la distancia al centro de fuerzas. Se demuestra que la parteangular del Hamiltoniano es proporcional al cuadrado del momento angularorbital. A continuacion se obtiene una solucion algebraica para los eigenvalo-res y las eigenfunciones de este operador. En la segunda parte se resuelve laecuacion radial resultante por series de potencias. Como resultado se obtienenexpresiones analticas para las funciones de onda del atomo de hidrogeno ypara los correspondientes eigenvalores. Esta solucion se puede encontrar envarios textos de mecanica cuantica o fsica moderna (por ejemplo McGervey[18] o Haken y Wolf [12]).

    Mas adelante en el captulo se discuten efectos relativistas en la estructuradel atomo de hidrogeno. En particular se estudia el espn del electron y suefecto en la estructura fina en los niveles de energa de hidrogeno. Se agregaluego un analisis del efecto del espn nuclear y la estructura hiperfina y seconcluye el captulo con una descripcion breve de efectos de electrodinamicacuantica en la estructura del atomo de hidrogeno.

    27

  • FAMCJimenezUNAM

    28 CAPITULO 2. EL ATOMO DE HIDROGENO

    2.1. Potencial central. Momento angular.

    En esta seccion suponemos que tenemos una partcula de masa quese mueve1 en el potencial central v(r). La ecuacion de Schroedinger para lafuncion de onda u de este sistema es

    h2

    22u+ v(r)u = Eu (2.1)

    Este es un problema con simetra esferica. Por tanto escribimos el Laplacianoen coordenadas esfericas (Haken y Wolf [12] p. 154):

    2 = 1r2

    r

    (r2

    r

    )+

    1

    r2

    [1

    sen

    (sen

    )+

    1

    sen2

    2

    2

    ](2.2)

    y suponemos que la funcion de onda se puede escribir como el producto:

    u(r, , ) = R(r)Y (, ) (2.3)

    Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuacion de Schroedinger resulta:

    h22

    [Yr2

    ddr

    (r2 dR

    dr

    )+ R

    r2

    {1

    sen

    (sen Y

    )+ 1

    sen22Y2

    }]+

    +v(r)RY = ERY (2.4)

    Dividiendo entre RY , multiplicando por r2 y agrupando terminos se obtiene:

    h22R

    ddr

    (r2 dR

    dr

    )+ r2[v(r) E] =

    = h2

    2Y

    {1

    sen

    (sen Y

    )+ 1

    sen22Y2

    }= h22

    2

    donde ya se introdujo la constante de separacion 2 (favor de no espantarsepor la forma de esta constante de separacion, todo quedara claro en breve).Entonces se deben resolver dos ecuaciones. Una ecuacion radial:

    h2

    2r2d

    dr

    (r2dR

    dr

    )+

    [v(r) +

    h22

    2r2

    ]R = ER (2.5)

    y una ecuacion angular independiente del potencial

    h2{

    1

    sen

    (sen

    Y

    )+

    1

    sen2

    2Y

    2

    }= h22Y (2.6)

    1Suponemos que el lector esta familiarizado con la reduccion del problema delmovimiento de dos masas al movimiento relativo de una masa reducida respecto alcentro de masa del sistema

  • FAMCJimenezUNAM

    2.1. POTENCIAL CENTRAL. MOMENTO ANGULAR. 29

    Armonicos esfericos.

    El objetivo de esta seccion es resolver esta ecuacion angular. Obtendremoslas eigenfunciones Y (, ) y los eigenvalores 2. Para ello nos desviaremos li-geramente de la solucion de una ecuacion diferencial y seguiremos un enfoquealgebraico. En el primer ejercicio del captulo se demuestra que en coorde-nadas polares las componentes del momento angular son:

    x = ih

    (sen

    + cot cos

    )

    y = ih(cos

    cot sen

    )(2.7)

    z = ih

    Con estas expresiones se puede demostrar (no lo haremos aqu porque ocu-para mucho espacio) que el cuadrado del operador de momento angular es:

    ~2 = 2x + 2y +

    2z = h2

    {1

    sen

    (sen

    )+

    1

    sen2

    2

    2

    }(2.8)

    Tambien se puede demostrar que ~2 conmuta con cualquiera de sus compo-nentes, por lo que es posible obtener eigenfunciones comunes de ~2 y una desus componentes, por ejemplo z. Es claro entonces que la ecuacion angular2.6 es la ecuacion de eigenvalores para el cuadrado del momento angular ~2.

    ~ 2 Y = h22Y (2.9)

    Se puede resolver esta ecuacion diferencial (nuevamente por separacionde variables) o se puede utilizar la siguiente construccion algebraica. Lascomponentes del operador de momento angular satisfacen las relaciones deconmutacion (es trivial demostrarlo usando coordenadas rectangulares):

    [x, y] = ihz

    [y, z] = ihx

    [z, x] = ihy

    [~2, x] = [~2, y] = [~

    2, z] = 0 (2.10)

  • FAMCJimenezUNAM

    30 CAPITULO 2. EL ATOMO DE HIDROGENO

    Definimos los operadores escalera:

    + = x + iy

    = x iy (2.11)

    Empleando las relaciones de conmutacion de las componentes del momentoangular se pueden obtener los siguientes conmutadores:

    [~ 2, ] = 0 (2.12)

    [z, ] = h (2.13)

    Veamos ahora el efecto de aplicar uno de estos operadores escalera a unaeigenfuncion (suponemos que existe, aunque todava no la conocemos) Ymde ~2 y z. Las etiquetas y m indican los eigenvalores correspondientes, estoes la funcion Ym satisface:

    ~ 2 Ym = h22Ym (2.14)

    z Ym = hmYm (2.15)

    El conmutador 2.12 nos dice que +Y,m es tambien eigenfuncion de ~2, con

    el mismo eigenvalor 2h2, esto es:

    ~ 2 (+Ym) = +(~2 Ym) = +h

    22Ym = h22(+Ym) (2.16)

    Con el conmutador 2.13 podemos obtener el efecto de aplicar z a esta fun-cion:

    z(+Ym) = (h+ + +z)Ym = h(m+ 1)+Ym (2.17)

    lo que nos dice que +Ym es tambien eigenfuncion de z con eigenvalor (m+1)h. De manera semejante se puede demostrar que Ym es eigenfuncionde ~2 y z con eigenvalores respectivos

    2h2 y (m 1)h. Si conocemos unaeigenfuncion de ~2 y z podemos obtener mas eigenfunciones de z con estosoperadores escalera2.

    Consideremos ahora la norma de +Ym. Debe ser positiva, por lo que:

    0 |+Ym|2d =

    (+Ym)

    (+Ym)d

    2Los operadores escalera generan eigenfunciones de z, pero no necesariamente norma-lizadas.

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    2.1. POTENCIAL CENTRAL. MOMENTO ANGULAR. 31

    =Y m(+)Ymd =

    Y m(

    2x +

    2y hz)Ymd

    =Y m(~

    2 2z hz)Ymd

    = h2(2 m2 m)|Ym|2d (2.18)

    resultando la desigualdad:

    0 2 m2 m (2.19)

    De manera similar, de la norma de Ym obtenemos

    0 2 m2 +m (2.20)

    Sumando estas dos desigualdades resulta

    2 m2 (2.21)

    Esto nos dice que el proceso de generar eigenfunciones con los operadoresescalera debe terminar despues de un numero finito de pasos. Esto es, paraun valor dado de debe haber valores maximo y mnimo dem que denotamoscomo mmax y mmin. Entonces al aplicar + a Ymmax debemos de cancelar lafuncion (obtener cero)

    +Ymmax = 0 (2.22)

    Aplicando el operador a esta expresion resulta:

    +Ymmax = h2(2 m2max mmax)Ymmax = 0 (2.23)

    por lo que

    2 = mmax(mmax + 1) (2.24)

    De manera similar se obtiene para el eigenvalor mmin:

    2 = mmin(mmin 1) (2.25)

    Restando estas dos igualdades se tiene:

    mmax(mmax + 1)mmin(mmin 1)= (mmax +mmin)(mmax mmin + 1) = 0 (2.26)

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    32 CAPITULO 2. EL ATOMO DE HIDROGENO

    El segundo termino en parentesis no puede ser cero y por lo tanto

    mmin = mmax (2.27)Tambien sabemos que podemos aplicar un numero entero de veces + para

    llegar de mmin a mmax. Por tanto la diferencia debe ser un numero entero, loque resulta en mmax = entero/2 = . El eigenvalor del cuadrado de momentoangular se escribe en terminos de esta como (ec. 2.24):

    h22 = h2(+ 1) (2.28)

    En este punto modificamos la notacion y escribimos las eigenfunciones demomento angular como Ym.

    Estas son propiedades generales del momento angular y sus eigenfuncionesque se obtuvieron de las relaciones de conmutacion. Ahora aplicamos estosresultados al caso del momento angular orbital ~ dado por los operadores 2.8.Las eigenfunciones de z satisfacen

    zYlm = ihYm

    = hmYm (2.29)

    Si escribimos Ym() como el producto ()() encontramos que la funcion() debe estar dada por:

    () = eim (2.30)

    Como esta funcion debe tener un valor unico para cada punto en el espaciose debe tener que exp(im( + 2)) = exp(im) por lo que m debe ser unentero. Por tanto para el momento angular orbital el valor de tambien debeser un entero.

    Por ultimo obtendremos expresiones analticas para las eigenfunciones delmomento angular orbital. Sabemos que para el maximo valor de mmax = se debe tener que +Y = 0. El operador + se escribe como la suma x+ iyde los operadores en la ecuacion 2.7 resultando:

    +ei() = he

    i

    {

    + i cot

    }ei() (2.31)

    = hei(+1){d

    d cot

    }() = 0 (2.32)

    Tenemos entonces que resolver la ecuacion diferencial para ():

    d

    = cos

    send (2.33)

  • FAMCJimenezUNAM

    2.1. POTENCIAL CENTRAL. MOMENTO ANGULAR. 33

    que puede ser facilmente integrada, resultando:

    () = Nsen (2.34)

    donde N es la constante de normalizacion, que resulta ser (Haken y Wolf[12]):

    N =14

    (2+ 1)!

    2!(2.35)

    Entonces, obtuvimos la eigenfuncion para el valor maximo de m = :

    Y(, ) =14

    (2l + 1)!

    2!eisen (2.36)

    y con el operador podemos generar las demas eigenfunciones. Recordemosque la funcion que resulta de aplicar a una funcion de momento angular noesta normalizada. Sin embargo, de la ecuacion 2.18 y su