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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas

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Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984

Volumen 95, julio de 2017, página 2

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil

hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de

interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,

aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,

Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Director

Israel García Alonso

Comité editorial

Hugo Afonso, Alicia Bruno, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Fátima García e Inés

Plasencia.

Consejo asesor

José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel

Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo,

Luis Rico y Xavier Vilella.

Portada. Autor: Marta Muñoz González. Título: “Parábola contra el muro”. (Primer Premio en Concurso

Fotografía y Matemáticas 2008)”.

Edita

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Apartado 329.

38200 La Laguna (Tenerife) España

Email: [email protected]

Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas

Juan Agustín Noda Gómez (Presidente), Ana Rosa Díaz Rodríguez (Vicepresidenta), Alfredo Monereo Muñoz

(Secretario General), Guacimara Pérez Cartaya (Tesorera), María Nila Pérez Francisco (Secretaria de actas).

Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Arístides Ramírez Martel (Gran

Canaria), Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), José Felipe Díaz Barrios (La Palma), Carmen Mª Tavío

Alemán (Tenerife), Carmen Sonia Fernández Valdivia (Lanzarote), Purificación Jurado Antúnez (El Hierro).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac

Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y

noviembre.

mailto:[email protected]

http://www.sinewton.org/




ISSN: 1887-1984

Volumen 95, julio de 2017, páginas 3-4

Índice

Editorial 5

Artículos

Actitudes, capacidades y aprendizajes en adolescentes que cursan el programa

de Matemáticas en un centro Kumon 7

L. Lluch

Evaluación del “Proyecto Newton. Matemáticas para la vida” en Educación

Infantil y Primer Ciclo de Primaria 25

H. Zamora, R. Aciego, A. Martín-Adrián y E. Ramos

Evaluación del Proyecto Newton. “Matemáticas para la Vida” de 3º a 6º de

Educación Primaria 43

A. López, R. Aciego, M. García-Déniz, D. García-Quintero y E. Ramos

Educación matemática infantil desde la perspectiva del conexionismo: Análisis

de una práctica educativa de aula 61

M. L. Novo, A. Berciano y Á. Alsina

Ansiedad, motivación y confianza hacia las Matemáticas en futuros maestros de

Primaria 77

R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa

Secciones

Experiencias de aula

TIPS de ruta 93

M.J. Casado Barrio

Mundo Geogebra

Constatación empírica y uso de propiedades para la validación de conjeturas

utilizando GeoGebra 107

M. Freyre y A. M. Mántica

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 95 julio de 2017

5

Problemas

Tenemos la solución a tus problemas. (Problemas Comentados XLVI) 123

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Juegos

También tenemos las del dominó 137

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Leer Matemáticas

Las matemáticas del amor. Hannah Fry 153

Reseña: A. Yanira Duque Hernández

Informaciones 155

Normas para los autores 159




ISSN: 1887-1984


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Israel García, Director de NNúúmmeerrooss

Llega el mes de julio y con él presentamos un nuevo volumen de la Revista Números. Si me

permite, voy a pedirle que se fije en la portada de nuestro volumen. Aparte de indicar que se trata de

un ganador del concurso de “Fotografía y Matemáticas”, podemos observar en ella la imagen de una

curva.

De siempre los matemáticos hemos estudiado y descrito las propiedades que presentan las

curvas que, de manera natural, aparecen a nuestro alrededor o que, gracias a la imaginación y el

desarrollo geométrico y algebraico, podemos idear y construir. Esta curva que vemos en la imagen es

una curva bien conocida por todos: la parábola. A nadie se le escapa su bella curvatura y la

singularidad de su vértice como valor máximo de la misma. Pero, ¿podemos asegurar con toda certeza

que se trata de una parábola? ¿Qué característica presenta que nos haga pensar que no es otra curva

diferente? Tal vez podría ser esa otra curva tan particular y utilizada en arquitectura: la catenaria. Y

aquí surge la duda, ¿cómo distinguimos si se trata de una parábola o una catenaria? Huygens descubrió

que no eran la misma curva, aunque no pudo dar con su expresión algebraica. Hasta ese momento, la

parábola había servido como modelo matemático de las curvas que generan las cuerdas o cadenas

cuando se sujetan por los extremos. El arco catenario no aparece en la construcción en Europa hasta el

siglo XVII, pues desde la época griega y romana se utilizaban las curvas derivadas del círculo como

elementos constructivos que, siendo más fáciles, eran menos estables. Gaudí utilizó la catenaria en sus

construcciones por sus propiedades de tensión y peso. La catenaria distribuye regularmente el peso

que soporta.

Aprovechando estos días de relax y descanso, dejo para el lector el análisis más concienzudo

que nos permita conocer con mejor exactitud qué curva realmente aparece en la imagen.

En este número de Números

Tenemos ante nosotros un volumen que presenta diferentes artículos muy interesantes con ideas

muy acertadas para mejorar el proceso de enseñanza y logran un aprendizaje de las matemáticas más

eficaz.

Lluch Molins abre este volumen con un artículo sobre las matemáticas en un centro Kumon. Se

denomina así a un método de enseñanza no reglada y sin carácter oficial donde el alumno es el

verdadero protagonista y el objetivo principal, que persigue que aprenda a estudiar de forma

autodidacta. Desde el área de matemáticas se persigue proporcionar al alumno una base sólida de

cálculo y desarrolla las habilidades necesarias para que afronte con éxito y confianza diferentes

contenidos matemáticos de Secundaria. En el artículo se explica la experiencia con este método y los

éxitos conseguidos.

Los dos trabajos siguientes, elaborados por diferentes autores, están ambos relacionados con el

“Proyecto Newton. Matemáticas para la vida”, centrados en Educación Infantil y Educación Primaria.

Este proyecto surge como iniciativa del Consejo Escolar de Canarias y la Sociedad Canaria Isaac

Newton de Profesores de Matemáticas para dar respuesta a los problemas detectados en la enseñanza

de las Matemáticas en Canarias como así se reflejó en el informe sobre la Realidad Educativa Canaria

2011. Estos trabajos vienen a poner de manifiesto la repercusión que el proyecto tiene tras su puesta en

Editorial I. García

6 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 95 julio de 2017

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marcha en diversos centros educativos de Canarias y cómo ayudan a los estudiantes en la adquisición

de la competencia matemática.

En el trabajo de Novo, Berciano y Alsina se realiza un estudio de investigación en el que se

analiza la diferencia en la adquisición del conocimiento cuando se presenta este integrado frente a la

adquisición cuando se presenta este conocimiento parcelado. Buscan que el conocimiento conectado

sea inherente ya que permite un conocimiento más profundo por parte de los estudiantes en las

primeras edades.

Nortes y Nortes realizan una investigación sobre la ansiedad, motivación y confianza hacia las

Matemáticas. Un interesante trabajo con estudiantes de Primaria, futuros profesores, y su relación con

el conocimiento matemático. La ansiedad hacia el conocimiento matemático es un componente

afectivo emocional que repercute en la futura formación que puedan producir en sus estudiantes.

También contamos con nuestras secciones fijas:

Experiencias de aula nos propone “TIPS de ruta”, actividad con la que se analiza y se proponen

rutas en cuya elaboración se conjuga el conocimiento matemático y las herramientas tecnológicas

actuales. Se ilustra el desarrollo de una actividad motivadora para los estudiantes y ofreciendo la

posibilidad de desarrollo de aprendizajes en servicio, ofertando los productos a la comunidad.

Mundo Geogebra por su parte nos presenta una serie de actividades a desarrollar utilizando este

software y teniendo objetivo enunciar propiedades de las diagonales del rectángulo.

Seguidamente contamos con los desafíos propuestos en las secciones de Problemas y Juegos,

para terminar con una lectura recomendadas para el próximo cuatrimestre.

Esperamos disfruten este nuevo volumen.




ISSN: 1887-1984


Actitudes, capacidades y aprendizajes en adolescentes que cursan el

programa de Matemáticas en un centro Kumon

Laia Lluch Molins (Universidad de Barcelona. España)

Fecha de recepción: 18 de septiembre de 2016

Fecha de aceptación: 16 de abril de 2017

Resumen En este artículo se reportan los resultados de un estudio interpretativo, desde el enfoque

cualitativo, cuyo objetivo es comprender y valorar desde un punto de vista socio-

educativo el trabajo que se realiza en el programa de Matemáticas según el método de

aprendizaje Kumon con adolescentes. La recogida de información se desarrolló a partir

de entrevistas dirigidas, observaciones de los participantes en el aula y del análisis

documental. Los informantes clave son trece alumnos, sus respectivas familias y la

dirección y el profesorado de un centro. En los resultados, se identificó que los

estudiantes trabajan autónomos y concentrados; a pesar de que la seguridad y la

motivación no son siempre las que se desean e, incluso, la constancia, la calificación y

posterior corrección de los ejercicios que se requiere no siempre se perciben con el

trabajo realizado en casa.

Palabras clave Adolescentes, Aprendizaje de las matemáticas, Estudio de caso, Metodología cualitativa,

Método Kumon

Title Analysis and assessment of the Mathematics program carried out with teenagers

with Kumon learning method

Abstract This article presents the results of an interpretative study report from the qualitative

approach, which aims to understand and value from a socio-educational point of view the

work done in the Mathematics program according to Kumon learning method with

teenagers. The data collection is developed from semi-structured interviews, participants’

observation in the classroom, and document analysis. Key informants are thirteen

students, their families and the management and teachers of the center. In the results, it is

shown that students work autonomously and consciously; although security and

motivation are not always those that are desired and even consistency, qualification and

subsequent corrections of the exercises required are not always perceived with the work

done at home.

Keywords Teenagers, Mathematics learning, Case study, Qualitative methodology, Kumon learning

method

1. Introducción

Mejorar el desarrollo cognitivo y desarrollar al máximo el potencial de cada alumno forman

parte de las inquietudes de cualquier maestro. La formación de un docente debería ser continua y

nunca se debería dejar de investigar. La educación debe avanzar, mejorar y adaptarse a los cambios a

través de la innovación y la investigación de nuevos métodos de intervención en el aula.

Actitudes, capacidades y aprendizajes en adolescentes que cursan el programa de Matemáticas

en un centro Kumon L. Lluch

8 NÚMEROS Vol. 95 junio de 2017

Este estudio tiene como objetivo general comprender y valorar desde un punto de vista socio-

educativo el trabajo que se realiza con los adolescentes en el programa de Matemáticas según el

método de aprendizaje Kumon. Teniendo presente el protagonismo que asume el alumnado en el

proceso de enseñanza-aprendizaje y la importancia de la capacidad de aprender a aprender –la cual se

vincula con las otras competencias-, el método Kumon persigue animar a los niños y a las niñas para

que quieran aprender y sean capaces de estudiar cualquier cosa que deseen o necesiten en un futuro.

Para ello, en este artículo se presenta el análisis de actitudes, capacidades y aprendizajes académicos

de los adolescentes de Educación Secundaria y Bachillerato, basado en un estudio de caso que nos

permite comprender las realidades concretas de estos alumnos, con perfiles e historias específicas y

complejas.

Es por esta razón que una de las inquietudes es comprender los motivos que justifican una

menor presencia de alumnos en el centro a medida que avanzan los cursos. Tal y como podemos ver

en el siguiente gráfico (véase figura 1), que muestra los alumnos que trabajan con el programa de

matemáticas (77,93%), el número de estudiantes por curso escolar disminuye una vez se inicia la

Educación Secundaria. A rasgos generales, según la etapa educativa, el número de estudiantes en el

centro Kumon objeto de estudio de Educación Secundaria, Bachillerato y Universidad (29,20%) es

menor que el número de estudiantes de Educación Infantil y Educación Primaria (70,79%).

Figura 1. Distribución de los alumnos del centro Kumon que trabajan con el programa de Matemáticas

(febrero de 2016). Elaboración propia.

Desde el punto de vista socio-educativo, este estudio contribuye a comprender cómo los

adolescentes de un centro Kumon viven y perciben el aprendizaje con este método de aprendizaje. Por

esta razón, se analizan diferentes trayectorias académicas de estudiantes mayores de 12 años. En este

sentido, la presente investigación puede ser de interés para todos los profesionales de la educación que

compartan los principios que inspiran y modulan este método de aprendizaje.

2. El método Kumon

Kumon es un método de enseñanza no reglada y sin carácter oficial, localizado en 49 países de

todo el mundo; un método de aprendizaje a largo plazo que desarrolla una serie de habilidades y

capacidades en los alumnos a través de dos programas: Lectura y Matemáticas. Con esta metodología,

0,0% 0,7%

1,4% 0,0%

7,9%

5,7%

13,6%

15,7%

8,6%

3,6%

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Curso escolar



9 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 95 junio de 2017

el origen de la cual data en 1954, el alumno es el verdadero protagonista y el objetivo principal, que

logre aprender a estudiar de forma autodidacta.

Concretamente, el programa Kumon de Matemáticas es un programa integral de aprendizaje que

proporciona al alumno una base sólida de cálculo y desarrolla las habilidades necesarias para que

afronte con éxito y confianza diferentes contenidos matemáticos de Secundaria. Este parte desde

aprender a contar y a escribir números, y llega incluso más allá del cálculo integral y diferencial. Este

programa está compuesto por 20 niveles, que corresponden a más de 4.000 hojas de estudio en forma

de cuadernillos y están especialmente diseñados con ejemplos, indicaciones y notas que guían al

alumno para un aprendizaje autónomo y a un ritmo constante. Cada nivel del programa de

Matemáticas amplía de manera gradual las habilidades adquiridas en el anterior, lo que garantiza una

buena comprensión y la posibilidad de practicar lo aprendido. Kumon concede máxima importancia a

que el alumno entienda el procedimiento de las operaciones y, por ello, a su capacidad de elegir la

manera más eficaz de resolver cada ejercicio. Esto se consigue por medio de la orientación

individualizada, que permite al estudiante desarrollar agilidad mental y exprimir al máximo su

potencial de aprendizaje (Mejía, 2006, p. 284). En esencia, este programa contribuye al desarrollo de

los estudiantes por medio de la adquisición de habilidades de aprendizaje autodidacta.

2.1. Objetivos de aprendizaje

Formar personas responsables y competentes mediante la búsqueda del potencial de cada

individuo y el desarrollo máximo de sus capacidades, y contribuir así a la sociedad es el objetivo

principal de Kumon. Los objetivos específicos que cualquier alumno debe lograr con los dos

programas que ofrece el método de origen japonés son los que se describen a continuación (Kumon

Instituto de Educación, 2015, p. 9).

Aprender por sí mismo. Se proporcionan las herramientas necesarias para aprender por uno

mismo, con el objetivo último de que el alumno adquiera una capacidad que le será de ayuda

durante toda la vida. Con esta filosofía, el alumno adquiere la competencia de aprender a

aprender y la capacidad de autorregulación académica estudiadas en numerosas

investigaciones1.

Hábito de estudio. La finalidad es que el alumno sea capaz de gestionar su tiempo, planificar

y adoptar una actitud y un comportamiento positivos ante el estudio. Con tan sólo unos

minutos de dedicación al día, a largo plazo, se desea que el alumno termine percibiendo la

tarea como una actividad más incorporada en su día a día. Desde Kumon no existe el

establecimiento de límites en el aprendizaje por edad o diagnóstico, si no que la programación

realizada se va reajustando a la evolución que tenga cada alumno a lo largo de su recorrido en

el centro (Kumon Instituto de Educación de España, 2015).

Concentración. Con los programas de Kumon, se espera que el alumno aprenda a dar la

máxima utilidad a las horas que invierte en estudiar y organizar mejor el día a día. Más

importante que la cantidad de tiempo dedicado al estudio es que, en este periodo, el trabajo se

lleve a cabo con plena concentración.

Confianza en uno mismo. Se persigue desarrollar confianza en sí mismo, que el alumno crea

en sus propias posibilidades; la cual cosa le permite enfrentarse a los nuevos retos con

1 Abarca, 2011; Allueva y Bueno, 2011; García Palacios, 2012; González Clavero, 2016; Hernández, 2011;

Hernández y Ortega, 2014; Jornet, García-Bellido y González-Such, 2012; María-Consuelo y Flores, 2010;

Pintrich 1995, 1998, Salmerón-Pérez y Gutiérrez-Braojos, 2012; Sanmartí, 2007, 2009, 2010; Stobart, 2010;

Zimmerman 1986, 1988, 1990; entre otras investigaciones.




seguridad y optimismo, superar el miedo a equivocarse y aprender a no frustrarse y a no

desistir.

Motivación para aprender. Un alumno que es capaz de aprender nuevos contenidos por sí

mismo y aprovechar al máximo su tiempo de estudio entiende el aprendizaje como un proceso

natural y desarrolla una actitud positiva ante cualquier tarea (Harter, 1984); además, se siente

a gusto y cómodo con aquello que él realiza (Farias y Pérez, 2010).

Es por este motivo que, en Kumon, se parte de la base que todos pueden avanzar, a pesar de que

no todos aprendan lo mismo ni en el mismo tiempo, sino que cada uno progresa a su ritmo. Se

pretende que el estudiante atribuya sentido a los beneficios de trabajar a partir del autodidactismo.

2.2. Principios metodológicos

Por otra parte, a continuación, se detallan los principios metodológicos (Kumon Instituto de

Educación, 2015, p. 10), con que se trabaja en Kumon. En primer lugar, una vez se quiere empezar

con el método, se lleva a cabo una evaluación inicial –a partir del test de diagnóstico- con que se prevé

su base (se determinan los contenidos que domina y con los que se encuentra totalmente cómodo,

según el tiempo de ejecución) y se inicia por el punto de partida fácil y adecuado que le corresponde

(primer paso para individualizar la tarea del alumno). Ausubel (1978) señala la importancia del

individuo cuando dice: “el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno

sabe. Averígüese esto y enséñese en consecuencia”. Este aspecto le permitirá fijarse sus propias metas

y perseguirlas con firmeza, del mismo modo que prevé el concepto de Zona de Desarrollo Próximo

(ZDP), introducido por Lev Vygotsky desde 1931. De este modo, se reafirma su confianza para hacer

la tarea, al igual que así es más fácil trabajar cada día.

En segundo lugar, algunos factores como el tiempo de ejecución en realizar la tarea diaria

(cuadernillo) por parte del alumno, el tipo de errores que comete o cómo afronta la resolución de estos

errores, ayudan al profesor a decidir el material que mejor se ajusta a sus necesidades. Es así como hay

individualización del aprendizaje, la cual exige la “adaptación de los contenidos a los intereses y

necesidades del alumno” (Mejía, 2006, p. 283), como la idea defendida por Montessori (1912), la cual

resume que todos los niños pasan por unas etapas determinadas durante su desarrollo, pero no todos

ellos las pasan al mismo tiempo.

En tercer lugar, es de carácter esencial destacar la constancia con la que se ha de trabajar, un

poco cada día. El alumno asiste al aula dos veces por semana, aunque trabaja todos los días del año

durante aproximadamente media hora por programa, incluidos los fines de semana y los periodos de

vacaciones.

En cuarto lugar, el propio material didáctico está diseñado para que el alumno aprenda por sí

mismo, sin explicaciones; con autonomía. Los nuevos contenidos se fundamentan en los

conocimientos y las habilidades que el alumno ha ido adquiriendo con anterioridad; centrando la

atención en la forma en que se responsabiliza de su trabajo y motivando para que sea autónomo

también en las rutinas que rodean su estudio. Como nos precisa Zimmerman (1989, 1994), los

alumnos pueden considerarse autorregulados en la medida en que sean -desde un punto de vista meta-

cognitivo, motivacional y conductual- participantes activos en su propio proceso de aprendizaje.

En quinto lugar, otro principio metodológico estrechamente relacionado con el mencionado

ahora es el hecho de aprender de los errores. La operación de señalar los aciertos y errores

(calificación) inmediatamente después de terminar la tarea mediante los libros correctores permite al





alumno encargarse de analizar las causas y corregir el error. De este modo, se pierde el miedo a

equivocarse y se entienden los errores como una herramienta de mejora (De la Torre, 2013).

En sexto lugar, cabe destacar que los mejores resultados: a largo plazo. Se establece una

previsión de estudio individualizada para cada alumno atendiendo a la evolución y el desarrollo de sus

capacidades, según los niveles del programa de Matemáticas. Según Freire (1999), al realizar esta

clasificación entre niveles, los estudiantes llegan a aceptar sus dificultades y destrezas, motivándolos a

desarrollar su aprendizaje a su propio ritmo, sin sentirse distintos al resto. El autodidactismo "es un

proceso lento y largo que requiere disciplina, trabajo sistemático y conocimiento especializado de la

disciplina o actividad", define Agüero (2006, p. 31).

Para finalizar, en séptimo lugar, añadir la implicación de las familias en la educación de sus

hijos como último e imprescindible principio metodológico. Y es a través de la comunicación que se

vela proporcionar las herramientas posibles para desarrollar al máximo el potencial de aprendizaje de

los alumnos. Por lo tanto, todo ello implica un compromiso a largo plazo; pues el método “los

involucra directamente en el desarrollo de las habilidades de sus hijos y la importancia de saber

elogiarlos” (Mejía, 2006, p. 284).

3. Metodología del estudio

Partiendo de la cuestión planteada, ¿Por qué a partir del inicio de la Educación Secundaria

disminuye progresivamente el número de estudiantes en el centro Kumon?, a continuación, es el

momento de definir la planificación metodológica de esta investigación.

El presente estudio se enmarca dentro de una investigación educativa de corte cualitativo,

concretamente, en el denominado estudio de caso (Del Rincón et al., 1995; Stake, 2005; Muñiz, 2010;

Álvarez y Maroto, 2012). La investigación llevada a cabo es idiográfica (Gilgun, 1994, en Muñiz,

2010), puesto que “implica la descripción amplia, profunda del caso en sí mismo, sin el propósito de

partir de una hipótesis o teoría, ni de generalizar las observaciones” (Muñiz, 2010, p. 1). El estudio de

caso pretende la comprensión de la realidad objeto de estudio abordando “de forma intensiva una

unidad” (Muñiz, 2010, p. 1), esto es, tal y como señala Stake (2005, p. 11), persigue “el estudio de la

particularidad y de la complejidad de un caso singular, para llegar a comprender su actividad en

circunstancias importantes”.

Así se propuso un estudio interpretativo desde el enfoque cualitativo que contribuyera a

comprender cómo los adolescentes que acuden a un centro Kumon viven y perciben el aprendizaje con

el método. La recogida de información a partir del estudio de casos se desarrolla a partir de técnicas e

instrumentos combinados: entrevistas semi-estructuradas o dirigidas en las que se plantean cuestiones

iniciales que guían la entrevista de manera flexible; observaciones de los participantes en el aula

registradas a partir de escalas y diarios de campo que permiten contrastar y triangular la información

recogida; y el análisis documental para la identificación de los estudiantes participantes en relación a

aspectos relevantes para el estudio de su progresión (nivel escolar, fecha de nacimiento, fecha de

matrícula, permanencia en cuánto al tiempo de estudio, nivel inicial -punto de partida fácil-, nivel

actual, progresión en cuanto a niveles superados, y si trabaja o no con contenidos por encima de su

nivel escolar). Además, se ha llevado a cabo un análisis documental oficial con recogida de

información cuantitativa y datos de interés del propio centro.

A continuación, se detalla una tabla que resume la planificación metodológica de acuerdo a los

objetivos específicos que establecemos en este estudio (véase tabla 1).




Objetivo general

1. Comprender y valorar desde un punto de vista socio-educativo el trabajo desarrollado con adolescentes en

torno al programa de Matemáticas en un centro Kumon.

Objetivos específicos: Dimensiones: Recogida de

información:

Informantes

clave y colectivo:

1.Conocer y valorar las

actitudes y

capacidades

desarrolladas por los

estudiantes:

autonomía,

motivación, confianza

en uno mismo y

concentración.

Autonomía

- Aprender por sí mismo, autodidactismo

- Atribución de sentido (cómo se concibe

el método Kumon y su utilidad)

Motivación para aprender

- Fijarse y perseguir propias metas

Confianza en uno mismo

Actitud frente al aprendizaje

Actitud frente a los errores

Seguridad

Capacidad de concentración

Entrevistas semi-

estructuradas

individuales.

Observación

participante:

diario de campo y

escala individual.

Estudiantes de

más de 12 años.

Dirección y

profesorado del

centro.

Familias de los

estudiantes.

2. Conocer y valorar los

aprendizajes

académicos adquiridos

por los estudiantes:

rendimiento escolar y

hábito de estudio.

Rendimiento escolar

- Punto de partida fácil

- Capacidad y agilidad de cálculo

- Tiempo de ejecución de los ejercicios

- Evolución del estudiante con respecto a

los niveles del programa de

Matemáticas y con respecto a su nivel

escolar: Trabajo con contenidos por

encima de su nivel escolar

Hábito de estudio, constancia

- Realización diaria del Kumon

Análisis

documental: Libro

de notas e

informes

semestrales de

evolución de cada

estudiante.

Observación

participante:

diario de campo y

escala individual.

Estudiantes de

más de 12 años.

Tabla 1. Metodología de la investigación.

3.1. Técnicas e instrumentos

El estudio de los objetivos de investigación nos lleva a plantear la recogida de información a

través de técnicas e instrumentos combinados. En primer lugar, se han elaborado entrevistas semi-

estructuradas o dirigidas, en las que planteamos unas cuestiones iniciales que guían la entrevista de

manera flexible. Es así como se facilita que puedan emerger preguntas espontáneas, teniendo en

cuenta que “las mejores preguntas son aquellas que surgen de la propia conversación” (Del Olmo y

Osuna, en Ballesteros, 2014, p. 54).

El guion inicial de entrevista ha sido adaptado a la tipología de informantes, en función de los

objetivos específicos que se tratan de analizar en cada colectivo. A modo de ejemplo, a continuación,

se incluye un extracto del guion de cuestiones dirigidas a los estudiantes participantes:

1. ¿Cuál es el motivo (o motivos) por el cual empezaste a trabajar con el programa de

Matemáticas de Kumon? ¿Consideras que has trabajado o desarrollado este aspecto?

2. ¿Consideras favorable el nivel por donde empezaste el estudio en Kumon (punto de partida

fácil)?

3. ¿Cómo percibes el trabajo inicial (construcción de la base) del método Kumon con

contenidos matemáticos ya conocidos por ti?

4. Actualmente, ¿trabajas con contenidos por encima de tu nivel escolar?





5. ¿Consideras que el hecho de aprender por ti mismo, sin explicaciones por parte de las

profesoras, te permite estar motivado para aprender (fijarte y perseguir propias metas)?

6. ¿Crees que trabajar con el método Kumon te permite adquirir capacidades y actitudes para

ser un alumno excelente?

7. ¿Te gusta trabajar con el método Kumon?

8. ¿Qué es el método Kumon para ti?

9. ¿Qué consideras que te aporta trabajar con el método Kumon cada día?

10. ¿Te sientes autónomo cuando trabajas?

11. ¿Te sientes motivado para aprender?

12. ¿Te sientes seguro y con confianza en ti mismo?

13. ¿Cuál es tu actitud frente a los errores en los ejercicios?

14. ¿Consideras que trabajas concentrado?

15. En tu opinión, ¿crees que los resultados académicos que has obtenido en el instituto o

superior reflejan el verdadero trabajo autónomo que realizas en Kumon? Razona tu

respuesta.

16. ¿Cuál es el papel de tu familia con el trabajo del método Kumon?

17. ¿Te gustaría ser alumno concluyente2? ¿Cuánto tiempo crees que requerirías?

18. ¿Cuáles son los motivos que te animan a seguir en el centro? Si quisieras decir algún motivo

por el cual abandonaríais el estudio con el método Kumon, ¿cuál sería? ¿Habría alguno

más?

19. ¿Consideras oportuno añadir algo más?

Para su consiguiente transcripción, y con el fin último de conseguir un registro detallado del

proceso, se contó con el consentimiento para grabar la entrevista dirigida. De este modo, en primera

instancia, se contempla que el resultado de este trabajo de campo en forma de texto escrito, narrado,

refleje el “proceso de construcción” del discurso (Del Olmo, 2008), y puede enriquecer mucho el

posterior análisis de información y elaboración de las reflexiones finales del estudio.

Junto con las entrevistas, se ha completado la recogida de información con la observación a

través de escalas y diarios de campo, con el objetivo último de completar y contrastar la información

oral con la observación directa en el aula. Creemos que combinar formas de registros sistematizados o

estructurados (escalas) con los registros abiertos (diarios) nos aporta posibilidades de manejar y

triangular las aportaciones de ambos instrumentos y aluden a la variedad de puntos de vista que

convergen en la realidad del estudio (Flick, 2004).

Las escalas contemplan la valoración del grado de frecuencia de la conducta (nunca – alguna

vez – frecuentemente – siempre). Se componen de dieciséis ítems (véase tabla 2) relacionados con las

dimensiones a analizar que vimos en la tabla 1, referidas a los alumnos, y que obedecen a lo recogido

en el estado de la cuestión de la investigación. Estos instrumentos han sido completados en el aula a lo

largo de tres semanas, después de cada sesión.

2 Finalizar todos los niveles del programa de Matemáticas de Kumon (concluir el nivel O).




Grado de

frecuencia

Conducta

observada3 Variable a analizar

Nu

nca

Alg

un

a v

ez

Fre

cuen

tem

ente

Sie

mp

re

1. Pregunta a las profesoras

cuando tiene una duda

necesaria.

Actitud y capacidad del

estudiante: autonomía y

confianza en uno mismo.

2. La predisposición frente la

tarea y el estudio es positiva.


estudiante: confianza en uno

mismo.

3. Trabaja concentrado en el

aula de inicio a fin del

cuaderno.


estudiante: capacidad de

concentración.

4. Se muestra motivado y

dispuesto a seguir

aprendiendo con el estudio en

Kumon.


estudiante: motivación para

aprender.

5. Se muestra autónomo y

seguro en la realización de la

tarea.


estudiante: autonomía.

6. Cree en sus propias

posibilidades y capacidades.


estudiante: confianza en uno

mismo.

7. Cuando se encuentra frente a

contenidos nuevos

(autodidactismo), muestra una

actitud de interés, seguridad y

confianza.


estudiante: autonomía,

motivación para aprender y


8. Percibe la tarea como una

actividad más incorporada en

su día a día.

Aprendizaje académico: hábito

de estudio, constancia.

9. Muestra agilidad para ejecutar

la tarea: capacidad de cálculo

y agilidad en el cálculo.

Aprendizaje académico:

capacidad y agilidad de

cálculo.

10. Extrae sus propias

conclusiones y estrategias de

resolución.




capacidad y agilidad de

cálculo.

11. Requiere ayuda para la

corrección de la tarea.


habilidades de comprobación.

3 Las conductas observadas se anotan en el diario de campo, según una referencia numérica.





12. De manera autónoma, se

corrige los ejercicios

realizados en el aula.





13. Realiza los cuadernos en casa.

Aprendizaje académico: hábito

de estudio, constancia,

rendimiento escolar.

14. Corrige correctamente los

cuadernos en casa, sea de

manera autónoma o por parte

de la familia.





15. Cuando comete un error,

marca el ejercicio erróneo y él

mismo se encarga de analizar

las causas y de corregirlo.





16. Gracias a los procesos de

supervisión, calificación y

corrección del trabajo, pierde

el miedo a equivocarse y

entiende los errores como una

herramienta de mejora.




estudiante: autonomía,


Tabla 2. Extracto de escala

Con el fin de contextualizar y dotar de mayor significado a la información recogida en las

escalas nos apoyamos en el diario de campo (véase figura 2), el cual ha sido escrito de manera

individual a lo largo de tres semanas, después de cada sesión en el aula, con una periodicidad de cuatro

días por semana.

ALUMNO/A: ______________________________ FECHA: ___/___/______ HORA: ___:___

EDAD: ____(años) CURSO ESCOLAR: __________

INICIO EN KUMON (fecha de matriculación): ___/___/______

NIVEL KUMON4: _____ (inicial – punto de partida fácil) - NIVEL KUMON: _____ (actual)

CONDUCTAS OBSERVADAS:

Figura 2. Diario de campo. Adaptación de Registro Descriptivo de Castillo, S. y Cabrerizo, J. (2010: 158).

3.2. Informantes

El trabajo se ha realizado gracias a la participación voluntaria de los siguientes informantes. En

primer lugar, la directora del centro Kumon. En segundo lugar, ocho alumnos de Educación

Secundaria, tres de Bachillerato y dos estudiantes de Universidad. Inicialmente, fueron seleccionados

4 En todos los Libros de notas mensualmente se actualiza una gráfica de evolución del estudiante, donde también están

trazadas líneas según: su nivel escolar según el estándar internacional (KIS), 6 meses por encima de su nivel escolar

(ASHR1), 2 años por encima de su nivel escolar (ASHR2) y 3 años por encima de su nivel escolar (ASHR3).




aleatoriamente nueve alumnos según criterios de clasificación (interés por la metodología, capacidad

lógico-matemática, posibilidad de participación de la familia), según diferentes cursos escolares

(Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato o Universidad) y según diferentes meses de

permanencia. Sin embargo, el número de participantes se amplió para aportar diferentes narraciones y

tener una visión más compleja del trabajo desarrollado con adolescentes en torno al programa de

Matemáticas en el centro Kumon. Y, en tercer lugar, también han participado sus respectivas familias.

3.3. Plan de análisis de datos e interpretación de la información recogida

La tarea de analizar las narraciones obtenidas mediante los instrumentos de recogida de

información completados tiene como fin “interpretar el contenido y reconstruir el sentido general del

material” (Medina et al., 2014, p. 106). Para ello, se han llevado a cabo varias lecturas de los textos

impresos con mucha atención y concentración, evitando distracciones, pausas e interrupciones, y se

han clasificado los elementos de un conjunto, buscando lo que tienen en común según el marco teórico

inicial (Ballesteros, 2007, p. 391), según un procedimiento inductivo, estableciendo, así, categorías o

<<códigos>> (Miles y Humberman, 1984, 1994, en Medina et al., 2014, p. 107). Asimismo, junto al

fragmento se ha anotado una referencia de la ubicación en el texto del cual ha sido extraído, siguiendo

la siguiente estructura: (tipo de instrumento - Informante clave) como, por ejemplo, (entrevista –

Estudiante P.). De este modo, se han establecido y explicado relaciones y comparativas entre los

distintos discursos de los colectivos participantes (Mayring, 2001, en Medina et al., 2014, p. 107-108).

4. Resultados

A continuación, se detalla el tratamiento de los resultados y la interpretación de la información

recogida; las categorías de los cuales aluden a los objetivos específicos que vertebran la presente

investigación. La predisposición de los resultados de esta manera alude a una construcción de la

narrativa sobre la base de los testimonios e incluso con el cruce con otros instrumentos.

Conocer y valorar las actitudes y capacidades desarrolladas por los estudiantes: autonomía,

motivación, confianza en uno mismo y concentración

Con el fin de contribuir a este objetivo, se preguntó a los informantes clave acerca de los

motivos principales por los cuales deciden empezar a trabajar con el método Kumon. Por su parte, la

directora nos señaló la adquisición y la mejora de las siguientes capacidades: la constancia, la

organización y la autonomía. Destaca también que “a ciertas edades, el Kumon no es que no sea

efectivo, sino que es cuestión de voluntad” (entrevista - Directora), puesto que, así también lo afirman

algunas familias, “vienen por el boca a oreja. Vienen porque tienen interés propio, al observar los

beneficios de sus amigos, colegas, compañeros… Y como ven que a él le va bien, se motivan para

proponerse el mismo reto” (entrevista - Directora).

Los tres aspectos comentados por la directora del centro son el denominador común de los

diferentes motivos que nos han aportado las familias y los estudiantes, indicando que han sido

trabajados y desarrollados: “no tenía seguridad” (entrevista – Familia S. G.), “las mates me costaban

muchísimo” (entrevista – Estudiante M. R. P.), “por problemas de concentración” (entrevista –

Estudiante M. G.), “conocer otra forma de estudiar, en la que el refuerzo positivo se considere

importante y necesario para fomentar la autoconfianza del alumno” (entrevista – Familia J.), y,

asimismo, por “decisión de la propia alumna. Una amiga estaba apuntada y la animó” (entrevista –

Familia M. F.).





Durante el trabajo con los estudiantes en el centro Kumon, nos comenta la directora, se les hace

ver que son responsables últimos de su aprendizaje y que su progresión depende de ellos. Afirma,

también, que “se nota tanto esta autonomía, que vienen a gusto”; hay plena ilusión “de darse cuenta

que son capaces de avanzar y de deducir por ellos mismos” (entrevista – Directora), y este aspecto se

observa, principalmente, cuando trabajan por encima de su nivel escolar, nos indica. Los alumnos

participantes en esta investigación demuestran tener autonomía (véase figura 3, según escalas de

estudiantes) y son conscientes de ello. Esta idea se refuerza con respuestas obtenidas en entrevistas a

los estudiantes: “no me gusta mucho que estén encima de mí, si no soy yo la que dice necesito ayuda”

(entrevista – Estudiante N.), “totalmente autónoma, a veces me atasco; entonces miro atrás y me doy

cuenta de dónde está el error y cómo solucionarlo” (entrevista – Estudiante T.), y “el hecho de deducir

por mí misma, lo hago también siempre en el cole” (entrevista – Estudiante M. G.). Así como en las

observaciones en el aula: “Por sí sola, tiene el hábito de pasar los resultados de los cuadernillos

realizados en casa en su propio cuaderno de notas” (diario de campo).

Figura 3. Recuento de frecuencias (en porcentajes) sobre las dimensiones estudiadas en cuanto a la actitud y

capacidad del estudiante, concretamente, sobre su autonomía (febrero de 2016). Elaboración propia.

Además de la autonomía, atribuyen al método Kumon la mejora de la capacidad de

concentración, la confianza en uno mismo y la seguridad: “su actitud a la hora de trabajar en sus

estudios es muy parecida a la de Kumon. Los resultados son mejores al mejorar su concentración”

(entrevista – Familia M. C.), “antes siempre dejaba los deberes con algunos ejercicios sin hacer […]

Tengo más confianza en levantar la mano y decir la respuesta correcta […] Ahora con Kumon también

las actividades las sé hacer yo […] y me siento seguro” (entrevista – Estudiante S. G.),

“Frecuentemente, dibuja una cara feliz () en cada página cuando toda esta la ha realizado

correctamente, además de escribir un 100% bien grande y un ¡Muy bien!” (diario de campo), “le

enseña a ser perseverante y luchar para alcanzar una meta que siempre tiene recompensa” (entrevista –

Familia P.), “saber hacer este problema sin agobiarme y yendo paso por paso […] y valorarlo como lo

he hecho yo, y sola” (entrevista – Estudiante M. M.), “me ha permitido, por una parte, desarrollar

pensamiento matemático –antes totalmente ausente- y, por otra parte, y sobre todo, experimentar que

no hay personas buenas o malas en matemáticas, sino que todo tiene que ver con la manera de

aprender […]. Me ha permitido un gusto por las matemáticas que de otra manera no hubiera adquirido

nunca” (entrevista – Estudiante T.). Esta última estudiante resume que “el aprendizaje de manera

autónoma es un reto, pero incide totalmente en la motivación. El hecho de dirigir tu aprendizaje y ser

66,67%

44,44% 33,33%

22,22% 22,22%

55,56%

33,33%

55,56% 44,44%

66,67% 77,78%

44,44%

Se muestra

autónomo y seguro

de la realización

de la tarea.

Pregunta a las

profesoras cuando

tiene una duda

necesaria.

Corrige

correctamente los

cuadernos en casa,

sea de manera

autónoma o por

parte de la familia.

De manera

autónoma, se

corrige los

ejercicios

realizados en el

aula.

Extrae sus propias

conclusiones y

estrategias de

resolución.

Cuando se

encuentra frente a

contenidos nuevos

(autodidactismo),

muestra una

actitud de interés,

seguridad y

confianza.

Po

rcen

taje

Dimensiones estudiadas en cuando a la autonomía del estudiante

Nunca Alguna vez Frecuentemente Siempre




consciente de todo el proceso es un elemento esencial para la motivación. Cuánto más ves que

aprendes, más ganas tienes de aprender y de ir avanzando hacia niveles que te permitan plantear

nuevos retos y desafíos a superar” (entrevista – Estudiante T.).

Sin embargo, la seguridad del alumno no es siempre la que en Kumon se desea; “se muestra

insegura cuando alguna profesora-orientadora está cerca de J.; pues pregunta si lo ha hecho bien antes

de empezar otro ejercicio” (diario de campo).

Aunque hay quien afirma que el hecho de aprender por uno mismo les permite estar motivados

para aprender y “para resolver problemas más difíciles no solamente en matemáticas, sino en otras

materias” (entrevista – Familia M. G), se han encontrado dos tipos de actitudes acerca de la

metodología de origen japonés y su utilidad. Por una parte, hay quien reconoce que Kumon les ha

ayudado en todo su ámbito académico en el instituto o superior de manera global, integral, porque

“son muchas cosas; no solo el aprendizaje de matemáticas, sino la capacidad de estudio, seguridad,

hábito y constancia” (entrevista – Familia M. G.), “el perfeccionamiento de habilidades en las

matemáticas, sumado al crecimiento personal (auto-superación, obtención de virtudes y habilidades) y

diversión en el conocimiento” (entrevista – Estudiante R.); y, por otra están los que atribuyen a las

matemáticas exclusivamente la utilidad del método Kumon, puesto que manifiestan que les ha

permitido “calcular más rápido […] solo me ha ayudado en mates, aunque la concentración en todo”

(entrevista – Estudiante J.), “me ha aportado organizarme en matemáticas […] y que me gusten más

las mates” (entrevista – Estudiante M. C.), “me sentía con una seguridad. […] Las mates no me irán

mal si hago Kumon” (entrevista – Estudiante M. M.).

Tampoco es unánime lo que los alumnos adolescentes apuntan acerca del método: “es un rollo

cuando repites […] A mí me gusta avanzar” (entrevista – Estudiante P.), “normalmente miro el

corrector porque es difícil” (entrevista – Estudiante M. G.), “a veces dudo un poco, pero al practicar se

resuelven las dudas” (entrevista – Estudiante T.), “no me acuerdo que tengo que hacer Kumon […] Me

da palo hacerlo” (entrevista – Estudiante J.) o “siempre había pensado que era nefasta en matemáticas

[…] la visión que tiene Kumon de los errores permite verlos como oportunidad de aprendizaje no

como un problema” (entrevista – Estudiante T.).

Con respecto a su motivación mostrada en el aula para aprender con el método Kumon (véase

figura 4, según escalas de estudiantes), la han justificado por “el hecho de tener más confianza y […]

el seguir y no rendirme nunca” (entrevista – Estudiante S. G.). “Es un reto de superación para ellos. Y

cuando consiguen superar las dificultades sin ayuda les motiva a seguir adelante sin miedo y se sienten

orgullosos de ellos mismos” (entrevista – Familia M. C.).

Figura 4. Recuento de frecuencias (en porcentajes) sobre la dimensión de motivación para aprender: Se encuentra

motivado y dispuesto a seguir aprendiendo con el estudio en Kumon (febrero de 2016). Elaboración propia

11,11%

22,22%

66,67%

Nunca Alguna vez Frecuentemente Siempre

Po

rcen

taje

Dimensión estudiada en cuanto a la motivación para aprender





A pesar de que aparece la palabra obligación en algunas ocasiones –“él viene más como… como

obligado” (entrevista – Familia N. y C.)-, se manifiesta voluntad e iniciativa propia en los alumnos: “Yo

creo que el Kumon lo hacemos porque nosotros queremos, por voluntad; y no porque te tengan que obligar

[…] no es una cosa que tus padres te lo tengan que hacer ver, como obligado” (entrevista – Estudiante M.

M.). “El método Kumon te brinda todas esas posibilidades (organización, seguridad, actitud favorable

frente a los errores), pero también tiene que estar la disposición de cada uno a aprender más y el entorno

tanto familiar como social, que dé apoyo al alumno o alumna” (entrevista – Estudiante T.).

Bajo el punto de vista de la directora del centro, la actitud que demuestran los estudiantes es:

“me motivo muy deprisa, pero me desmotivo también muy deprisa”, como, por ejemplo, “Muestra

motivación por el nuevo nivel empezado (O); último del programa de Matemáticas” (diario de campo)

o “muestra interés para los futuros temas” (diario de campo). Mientras que la actitud frente al estudio

con contenidos nuevos, no conocidos, es de “me desespero” (entrevista – Directora): “desde que ha

empezado el nivel E, se muestra en el aula con una posición de cansancio, apoyando en su mano la

cabeza […] ha habido algún día en que no ha traído la tarea realizada en casa, por el motivo que se la

habrá dejado en su habitación” (diario de campo).

Sin embargo, en relación a su actitud frente a los errores, algunos de los estudiantes se sienten

indiferentes frente a los errores que cometen en los ejercicios; otros los aceptan y afirman que

procuran mejorar y recordar ese fallo para no cometerlo de nuevo; y otros incluso se quedan

sorprendidos e incluso se enfadan y “a veces los errores son muy tontos, porque en el Kumon de hoy

he tenido tres errores que eran de despiste” (entrevista – Estudiante P.).

Conocer y valorar los aprendizajes académicos adquiridos por los estudiantes: rendimiento escolar

y hábito de estudio

Con el fin de indagar sobre la evolución del estudiante con respecto a los niveles del programa

de Matemáticas de Kumon y con respecto a su nivel escolar, se preguntó a los informantes sobre los

motivos que hacen mantener la inscripción de los mismos. La directora aporta que éstos “continúan

porque observan una progresión, obtienen beneficios progresivamente […] se les ayuda a aprender

[…] y todo esto que se llevan no afecta solamente a la asignatura de matemáticas; sino que la propia

organización, constancia, autonomía y organización les permite sentirse capaces en todo su ámbito

escolar” (entrevista – Directora).

Con lo que respecta a los estudiantes, estos nos han indicado argumentos por los cuales siguen

en el centro enfocados a su rendimiento escolar como, por ejemplo: “empecé a subir las notas y estoy

muy contenta” (entrevista – Estudiante M. R. P.), “porque mis padres me animan mucho. […] si esto

ya lo tengo, pues podría estudiar más para las otras cosas y todo sería menos complicado” (entrevista –

Estudiante P.), “me ha abierto la curiosidad de ir más allá, si he llegado hasta aquí, ¿dónde más podría

llegar?” (entrevista – Estudiante T.) y “es un mínimo esfuerzo constante con lo que puedes llegar a ser.

[…] Yo creo que Kumon ha sido como mi reto con las mates. Porque a mí no me gustaban nada, y me

empiezan a gustar, pero… […] Aún queda algo pendiente, en plan superarlo todo. Aunque yo creo que

cuando lo supere todo me encantarán las mates” (entrevista – Estudiante N.).

Por su parte, las familias participantes aportaron -como argumentos o motivos que les animan a

seguir- respuestas más centradas en el personal del centro y en la evolución global del estudiante; “el

trato es a la vez que profesional, afectivo y personalizado” (entrevista – Familia P.), “les veo el

cambio, les veo mejor” (entrevista – Familia N. y C.).




De los estudiantes adolescentes que han participado en esta investigación, con más de doce

meses de permanencia en el centro Kumon, un 8,33% trabaja con contenidos de su nivel escolar,

según el estándar internacional de Kumon (KIS); un 16,66% trabaja con contenidos 6 meses avanzados

(ASHR1); y un 16,66% con contenidos 3 años avanzados (ASHR3). Esto implica que un 58,33% de los

adolescentes participantes está trabajando con contenidos ya conocidos y trabajados previamente, es

decir, aún no trabajan con el autodidactismo (véase figura 5).

Figura 5. Distribución de los alumnos (en porcentajes) del centro Kumon con más de 12 meses de permanencia según

el tipo de contenido con el cual trabajan del programa de Matemáticas (febrero de 2016). Elaboración propia.

Teniendo en cuenta que “nos proponemos que en un año con el estudio de Kumon lleguen a lo

que actualmente trabajen en el instituto” (entrevista – Directora), se ha querido indagar acerca de su

interés por trabajar por encima de su nivel escolar y las respuestas han sido distintas. Ha habido

alumnos que se han mostrado indiferentes al preguntarles si querían superar su nivel escolar como, por

ejemplo “me da igual (superar su nivel escolar), yo sigo las normas y que me guíen” (entrevista –

Estudiante S. G.). Otros reconocen estar trabajando con contenidos por encima de su nivel escolar y

coinciden en todo lo que les aporta: “aquí ya lo he hecho y me acuerdo de las cosas” (entrevista –

Estudiante M. C.).

Y también hay estudiantes que afirman ser autónomos, estar motivados, trabajar concentrados,

pero que les gustaría trabajar por encima (o han trabajado durante un período de tiempo por encima),

puesto que “así vas al cole con una base de lo que tienes que hacer porque ya sé hacer lo que me vas a

explicar” (entrevista – Estudiante M. F.) o “no he llegado al nivel del cole, pero sí que poco a poco,

como un edificio […] y ya voy, por ejemplo, por la segunda planta” (entrevista – Estudiante N.). Esta

última adolescente participante, ha superado 12 niveles del programa de Matemáticas en 40 meses, ha

afirmado que “hay cosas que en el cole no lo he aprendido aún, y en Kumon he aprendido otras

técnicas más lógicas” puesto que “en el cole se hacen más largas y en Kumon son como más

reducidas, que vas a entenderlo. En el cole no, lo entiendes, pero este paso, que no se me olvide

porque es necesario, que en realidad no lo es, pero miran el proceso. Lo tienes que hacer para que

luego, en el examen…” (entrevista – Estudiante N.).

En el mismo sentido, algunas familias conciben el hecho de trabajar por encima de su nivel

escolar como “perfecto, le da seguridad” (entrevista – Familia M. G.), “casi que mejor, porque están

como más preparados cuando llegan al colegio” (entrevista – Familia N. y C.). Por el contrario, otras

afirman que “no es ese nuestro objetivo” (entrevista – Familia M. R.) o “no creo que sea un problema,

porque las materias de clase son diferentes al refuerzo de cálculo que se realiza en Kumon” (entrevista

– Familia J.).

58,33%

8,33% 16,66% 16,66%

Con contenidos por

debajo de los

contenidos escolares

actuales

Contenidos escolares

(KIS)

6 meses por encima

de su nivel escolar

(ASHR1)

2 años por encima de

su nivel escolar

(ASHR2)

3 años por encima de

su nivel escolar

(ASHR3)

Po

rcen

taje

Tipo de contenido





Por otra parte, la directora destaca como uno de los obstáculos de la evolución del estudiante

adolescente con respecto a los niveles del programa de Matemáticas y con respecto a su nivel escolar,

y que asegura remarcar durante la entrevista inicial con las familias, es el hecho que “como el nivel

escolar actual (escolar) se encuentra a bastante distancia del punto de partida fácil (de Kumon),

muchos estudiantes se encuentran motivados al principio pero quizás se les hace muy largo el trayecto

hasta lo que trabajan en el instituto” (entrevista – Directora). De hecho, el 69,23% de los estudiantes

participantes en este estudio empezó a trabajar con el nivel inicial 2A, como su punto de partida fácil y

adecuado; el objetivo del cual se centra en desarrollar su capacidad de estudio y su habilidad de

cálculo aprendiendo a sumar hasta 10. Por este motivo, afirma que “otros también lanzan la toalla

solamente empezar, pues no ven el porqué de empezar con niveles tan fáciles para ellos” (entrevista –

Directora).

Ante esta situación, se optó por preguntar a los estudiantes y a las familias participantes acerca

de su valoración sobre el nivel inicial (punto de partida fácil) y su percepción sobre el trabajo inicial

(construcción de la base) según los principios metodológicos del método. Tanto un aspecto como el

otro se percibe de manera positiva por la capacidad y agilidad en el cálculo mental y por el tiempo de

ejecución de los ejercicios; “me resultó muy fácil, pero necesario. […] les sorprende verme hacer

Kumon, tan ágil y tan rápido” (entrevista – Estudiante T.).

Sin embargo, esta facilidad se traduce en percibir que “me hubiera empezado más adelante,

porque era muy fácil” (entrevista – Estudiante C.), “si ya lo sé hacer, ¿por qué lo tengo que volver a

hacer?” (entrevista – Estudiante M. G.) o “¿Cómo me ponen sumas y restas? […] Yo pensaba que nos

estaban tomando el pelo” (entrevista – Estudiante N.). Esta última aportación continúa añadiendo que

“No es que no me gustase, pero esa agilidad ya fue un bueno, al menos ya he conseguido algo. Y esa

agilidad la notaba mucho. […] Al principio […] no me apetecía, pero no, después ya fue venga, lo

hago que son cinco minutos” (entrevista – Estudiante N.).

Por otra parte, es esencial puntualizar uno de los obstáculos más frecuentes y relacionado con el

trabajo con contenidos básicos: “a veces nos hemos encontrado situaciones en que no se acordaban de

la resta llevando o de las divisiones de dos cifras” (entrevista – Directora) y estos contenidos forman la

base del programa de matemáticas de Kumon y, si no se tienen superados, “les hacen tener lagunas en

nuevos contenidos en el instituto” (entrevista – Directora).

En general, los estudiantes también nos han hablado de la constancia, del trabajo diario;

percibiendo que Kumon “es una manera de enseñarte a estudiar, quizás no una manera tan directa,

pero sí muy indirectamente, es una manera de decirte debes estudiar cada día” (entrevista – Estudiante

M. M.). En ocasiones concretas, la constancia se adapta a cada estudiante como, por ejemplo, “en

época de exámenes, N. no asiste al centro, sino que trabaja desde casa (el estudiante C. recoge su

material)” (diario de campo).

No obstante, el esfuerzo diario no siempre es el deseable cuando han de trabajar fuera del aula:

“Observando los ejercicios realizados en casa, en ciertas ocasiones hay alguno sin completar” (diario

de campo), “su progreso en Kumon se ve afectado por su no-trabajo en casa. Solamente tenemos

constancia e información de su estudio los dos días que asiste en el centro (miércoles y jueves); nunca

se excusa para justificar por qué no lo trae” (diario de campo) y “puntuales veces ha copiado las

soluciones del corrector directamente” (diario de campo). Respecto al uso del corrector-solucionario,

se les motiva a hacer un buen uso del mismo: “Observando los ejercicios realizados en casa, en ciertas

ocasiones hay alguno con la anotación siguiente He mirado el corrector. Asimismo, en el aula, tiene la

tendencia de preguntarnos antes de abrir el libro solucionario si puede consultarlo; a pesar de saber

que se puede consultar en casos necesarios sin previo aviso” (diario de campo).




Sabiendo la responsabilidad que comporta la realización diaria del Kumon, se indagó acerca de

los motivos por los cuales abandonarían el estudio con el método Kumon. En la mayoría de las

entrevistas, nos han afirmado que “no lo voy a dejar” (entrevista – Estudiante C.); afirman que los

motivos serían por no poder compaginar el trabajo de Kumon con los estudios u otras extraescolares,

si hubiera la necesidad de dedicar tiempo a otros objetivos, o porque reconocen el hábito de estudio y

necesario diario; “es muy esclavo el hecho de tenerlo que hacer cada día […] y durante las

vacaciones” (entrevista – Estudiante M. F.). Otro estudiante, que se matriculó hace 4 meses, señala

que “si viese que estoy cerca del O… entonces, ¿para qué? Quizás, a lo mejor, estos niveles cerca del

O ya no me van a servir” (entrevista – Estudiante S. G.).

Asimismo, retomamos uno de los aspectos que también ha salido como motivo por el cual

deciden matricularse en el centro: “hay estudiantes que vienen con un objetivo” (como, por ejemplo:

“alfabetizarse e intentar comprender textos”, “no sabía más que sumar y restar”, “entrar en un

determinado tipo de bachillerato”, “paso de bachillerato a la universidad”); con la cual cosa, una vez lo

logran, deciden abandonar el centro (entrevista – Directora). Evidentemente, esto requiere un esfuerzo

con las familias en la reunión inicial para dejar claro los objetivos y los principios metodológicos de

Kumon. Los resultados se obtienen a largo plazo y “nuestro objetivo no es repasar los contenidos, no

es una clase de repaso, Kumon va más allá” (entrevista – Directora). A modo de ilustración, destacar

por la propia experiencia en el centro Kumon que, en la primera reunión inicial con la familia, el

estudiante adolescente no suele estar presente; a pesar de que sí que se enfatiza sobre la importancia

del trabajo durante las vacaciones; “para que no llegue este periodo y abandonen el estudio […]

aunque siempre nos adaptamos según la situación” (entrevista – Directora).

Finalmente, destacar que se les cuestionó si les gustaría ser concluyentes de Kumon, esto es,

lograr superar el último nivel del programa de Matemáticas (nivel O). La mayoría de los informantes

clave ha afirmado que sí lo desearía por la satisfacción y el conocimiento que les aportaría, con tal de

“no dejarlo a medias” (entrevista – Estudiante N. y entrevista – Estudiante S. G.) y “aunque es mucho

trabajo, creo que las habilidades que desarrollas en los dos programas te ayudan en muchos aspectos

de la carrera profesional de cada uno, además del desarrollo de las habilidades básicas como son la

autoestima, la seguridad, la autonomía y la motivación por aprender” (entrevista – Estudiante T.).

Sin embargo, algunos estudiantes han conocido el significado de ser concluyente a partir de la

entrevista y no todos ellos han confesado que lo tienen como meta u objetivo personal; “Si llego,

llego; y si no, pues también” (entrevista – Estudiante J.). También se planteó el interrogante a los

adolescentes y a las familias sobre cuánto tiempo creen que requieren para ser concluyentes y, los que

se atrevieron a predecir, coincidieron en la respuesta: año y medio o dos años (entrevista – Familia P.,

entrevista – Estudiante M. C., entrevista – Estudiante N., entrevista – Estudiante P., entrevista –

Estudiante C., entrevista – Estudiante M. F., entrevista – Estudiante T. y entrevista – Estudiante R.).

5. Conclusiones y discusión

En este proceso interpretativo, se evidencia que, siendo ellos los responsables últimos de su

aprendizaje, los estudiantes trabajan autónomos y concentrados; a pesar de que la seguridad y la

motivación no son siempre las que se desean. Asimismo, hay dos tipos de atribuciones de sentido

acerca de la metodología de origen japonés; por una parte, los que atribuyen que Kumon les permite

mejorar y desarrollarse en todo su ámbito escolar y, por otra parte, los que conciben su utilidad

exclusivamente en la asignatura de matemáticas. No obstante, los adolescentes apuntan que la

capacidad y la agilidad en el cálculo mental se han desarrollado desde el principio, gracias al trabajo

diario.





En cuanto a sus aprendizajes académicos, el nivel inicial por donde empiezan a trabajar los

alumnos en Kumon es bastante inferior con respecto a su nivel escolar actual; por ello, no se cumple la

proyección de que en un año empiecen a trabajar por encima de su nivel escolar de manera

autodidacta. De ahí que la comunicación, la negociación y la adaptabilidad son aspectos necesarios

durante la dinámica en el aula para elogiar y motivar a los estudiantes. Incluso la constancia, la

calificación y posterior corrección de los ejercicios que requiere esta metodología no siempre se

perciben con el trabajo que se realiza en casa.

El hecho de aplicar esta metodología de investigación en el estudio ha permitido profundizar en

el caso en sí mismo, con una amplia descripción que ha abarcado muchas variables. No hay respuestas

concluyentes ni se puede inferir qué aspectos son los causantes de la disminución progresiva del

número de estudiantes de Secundaria o superior en el centro; sino que únicamente nos permite

identificar aspectos que suelen darse en estas trayectorias de abandono: la larga distancia que hay entre

el punto de partida fácil y el nivel escolar (instituto o superior), la no-presencia del adolescente en la

entrevista inicial con la familia, el hecho de no entender el porqué del trabajo con contenidos fáciles,

que ya conocen, o con contenidos por encima de su nivel escolar, entre otros. Somos conscientes,

además, que en nuestro ámbito son numerosos los factores que no se pueden analizar y que

obstaculizan la generalización de los resultados.

Sin embargo, este estudio constituye una aproximación de interés que permite derivar líneas de

mejora –como, por ejemplo, la posibilidad de llevar a cabo la entrevista inicial con la familia y con el

adolescente, la proyección de estudio para proponerse llegar a su nivel escolar y concluir el programa

de Matemáticas, la realización constante de reuniones de seguimiento para plantearse objetivos a

lograr por año, y el trabajo en colaboración con los centros escolares-. Todas estas propuestas deberían

estar focalizadas en la búsqueda de una orientación más efectiva.

En la misma línea, esta investigación también permite establecer propuestas de investigación

sobre cuestiones que se quedan sin responder respecto al trabajo con el método Kumon y los

adolescentes. Nos referimos a las actitudes de desmotivación que muestran algunos de ellos, al

principio de no trabajar un poco cada día ni de calificar-corregir correctamente los ejercicios, y a la

limitada participación que se le brinda a la familia. De ahí la importancia de investigar en la práctica,

vinculando sistematicidad, reflexión y acción; y la continuidad que abre este estudio.

Bibliografía

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en Maestro en Educación Primaria, mención en Atención a la Diversidad (Universidad de Barcelona) y

Máster en Innovación e Investigación en Educación, especialización en Innovación e Investigación en

Didáctica (Universidad Nacional de Educación a Distancia).

Dirección electrónica: [email protected]

http://www.psico.edu.uy/sites/default/files/cursos/1_estudios-de-caso-en-la-investigacion-cualitativa.pdf





ISSN: 1887-1984


Evaluación del “Proyecto Newton. Matemáticas para la Vida” en Educación

Infantil y Primer Ciclo de Primaria

Haridian Zamora (Universidad de La Laguna. España)

Ramón Aciego (Universidad de La Laguna. España)

Antonio Martín-Adrián (Consejería de Educación del Gobierno de Canarias. España)

Eladio Ramos (Consejo Escolar de Canarias. España)

Fecha de recepción: 12 de noviembre de 2016


Resumen Se evalúa el efecto del “Proyecto Newton. Matemáticas para la vida” en Infantil y

Primer Ciclo de Educación Primaria. En un primer estudio, desde una aproximación

cualitativa, se recoge la valoración del profesorado (12 docentes) y se observa la

dinámica de trabajo en el aula de aproximadamente 200 alumnos de cinco centros

diferentes: 1 con larga participación en el Proyecto; 3 de nueva incorporación; y un grupo

control. En un segundo estudio, desde una aproximación cuantitativa, se evalúa el

rendimiento del alumnado en una prueba de resolución de problemas de cálculo mental,

utilizando un diseño cuasiexperimental y trasversal: grupo consolidado, dos años

participando en el programa (N = 27); grupo de nueva incorporación (N = 28); y grupo

control (N = 29).

Palabras clave competencia matemática, cálculo mental, competencia socio personal, educación infantil,

educación primaria.

Title Evaluation of “Project Newton. Mathematics for Life" in Early Childhood

Education and First Cycle Primary

Abstract It evaluates the effect of the “Newton Project. Mathematics for Life” on the teachers and

students of Pre-school education and first cycle of Primary Education. In a first study,

from a qualitative approach, assessment of teachers (12 teachers) is collected and work

dynamics is observed in the classroom of about 200 students from five different schools:

1 with long involvement in the project; 3 new addition; and one control group. In a

second study, from a quantitative approach, student performance is evaluated on a test of

problem solving mental arithmetic, using a quasi-experimental and traversal design:

Consolidated group, 2 years participating in the program (N = 27); new addition group

(N = 28); and control group (N = 29).

Keywords Mathematical competence, mental arithmetic, personal skill, Pre-school education,

Primary Education.

1. Introducción

La competencia matemática es la capacidad para resolver correctamente tareas matemáticas.

Dicha competencia, debe estar complementada por la comprensión, tanto de las técnicas necesarias

Evaluación del “Proyecto Newton. Matemáticas para la vida” en Educación Infantil y Primer

Ciclo de Primaria. H. Zamora, R. Aciego, A. Martín-Adrián y E. Ramos

26 NÚMEROS Vol. 95 julio de 2017

para la resolución de la tarea, como de las relaciones entre los distintos contenidos y procesos

matemáticos que se trabajen. Es decir, se considera que, en matemáticas, la competencia y la

comprensión son conceptos cognitivos que se complementan, y para alcanzarlos, será necesario un

proceso de crecimiento paulatino, en el que se tenga en cuenta las diferentes dimensiones de las

matemáticas (Godino, 2002).

En lo que a este trabajo respecta, se aborda y evalúa por primera vez desde el “Proyecto

Newton. Matemáticas para la vida”, la competencia matemática en Educación Infantil y Primer Ciclo

de Primaria. De un modo general, las competencias matemáticas propuestas en el Programa para la

Evaluación Internacional de Alumnos de la OCDE (PISA, por sus siglas en inglés) son: Pensamiento y

Razonamiento, Argumentación, Comunicación, Construcción de Modelos, Representación y uso de

operaciones y lenguaje técnico, simbólico y formal y Planteamiento y Resolución de problemas.

Concretamente, en la etapa de Educación Infantil, las competencias de pensamiento y razonamiento,

se pueden desarrollar. También la competencia de argumentación, pero de manera más limitada. Por

tanto, la competencia matemática en Educación Infantil podría llevar consigo procesos de

pensamiento, razonamiento y argumentación (De Castro, Molina, Gutiérrez, Martínez y Escorial,

2012). Concretamente, el Proyecto Newton destaca la importancia de trabajar la competencia

matemática desde estos niveles. Sobre todo, se defiende que una condición fundamental en estas

edades es la manipulación. Sin ella, la consolidación posterior no será posible.

Actualmente, según el marco legislativo español, los contenidos educativos correspondientes al

primer y segundo Ciclo de Educación Infantil se estructuran en los siguientes ámbitos de experiencia y

desarrollo:

Primer Ciclo (Decreto 201/2008, 30 de septiembre, BOC nº 203, de 9 de octubre de 2008) y

segundo Ciclo (Decreto 183/2008, 29 de julio): Conocimiento de sí mismo, la autonomía personal, los

afectos y las primeras relaciones sociales. Descubrimiento y conocimiento del entorno. Los diferentes

lenguajes: comunicación y representación.

Por su parte, con respecto a los contenidos matemáticos de la etapa de Educación Primaria, se

destaca lo siguiente (BOC nº156, 13 agosto 2014):

La finalidad de las matemáticas en esta etapa es elaborar las bases del razonamiento lógico-

matemático en los alumnos, sin centrarse únicamente en la enseñanza del lenguaje simbólico-

matemático. De este modo, la educación matemática podrá cumplir su función formativa,

contribuyendo al desarrollo cognitivo, instrumental y funcional. En cuanto al proceso de aprendizaje,

se trabajará en base a experiencias y el alumnado empleará diversos recursos y materiales

didácticos, manipulativos y tecnológicos. Además, se trabajará en la estimación de cálculos, medidas

y cantidades, así como en la predicción de resultados de encuestas, experimentos o investigaciones.

Con ello se pretende que el alumnado interiorice tanto los significados de los conceptos que está

manejando, como las predicciones o suposiciones que él mismo elabora a cerca de la tarea que está

realizando. Asimismo, se debe fomentar la interacción entre iguales, entre alumnado y docente, y

promover el aprendizaje cooperativo. Además, se pretende dar mayor importancia a la evaluación

cualitativa frente a la cuantitativa.

Con la información recogida en este punto, conviene considerar la afirmación, formulada por

Alsina et al. (2009), de que, al menos hasta ese momento en España, el conocimiento de matemáticas

en el profesorado de las etapas de Infantil y Primaria, no quedaba garantizado si se tenía en cuenta el

peso de los contenidos de matemáticas en los planes de estudio de las titulaciones de formación del

profesorado. Además, señalaban que muchos de los profesores de matemáticas habían tenido pocas

oportunidades de profundizar en lo esencial de dicha materia durante su formación inicial. Asimismo,




de Profesores de Matemáticas Vol. 95 julio de 2017

dijeron que en aquel momento se habían producido ciertas reformas en esas titulaciones que hacían

pensar en un cambio al respecto: estos estudios pasaban a ser de cuatro cursos académicos y, además,

se preveía la especialización en matemáticas en algunas universidades.

Esto que se planteaban Alsina et al. (2009), hace 7 años, se ve actualmente agravado, pues en

este momento, ni los maestros de Educación Infantil ni los de Primaria, tienen ningún tipo de

especialidad.

Una vez estudiados los currículos de ambas etapas educativas, veremos ahora si concuerdan o

no, según las investigaciones realizadas, con el desarrollo madurativo de los niños.

Autores como Lesh y English (2013) afirman que el nivel de dificultad de una tarea puede ser

sensiblemente modificado simplemente adecuando el estilo del lenguaje, utilizando símbolos,

diagramas o gráficos, con modelos más concretos, o con experiencias basadas en metáforas. Esta es

una vieja reivindicación formulada hace ya algún tiempo por Bruner (1960): A cualquier niño se le

puede enseñar cualquier concepto, en cualquier momento, si el concepto se presenta en una forma que

sea apropiada para su nivel de desarrollo. También Resnick (1983) ponía el acento en que la

enseñanza debe centrarse en aspectos cualitativos, y que el aprendizaje, por su parte, se puede

comenzar a impartir cuanto antes, pues los niños desde muy pequeños están preparados para aprender.

Las dos condiciones necesarias son que los niños y niñas: (a) encuentren sentido al problema

utilizando sus propias experiencias; y (b) que tomen consciencia de que hay varias maneras diferentes

de pensar sobre un problema dado y, de este modo, serán ellos mismos capaces de evaluar las

fortalezas y debilidades de cada alternativa. Lesh y English (2013) ponen ejemplos de problemas

enmarcados en contextos de personajes de cuentos y utilizando objetos manipulables (palillos de

helado, pajitas de refrescos, tablero de puntos, piezas de circuitos de trenes…). La investigación sobre

el uso de modelos y perspectivas de modelado (models & modeling perspectives) (Lesh y Doerr,

2003) muestra que, si los niños reconocen claramente la necesidad de utilizar un tipo específico de

descripción matemática, diagrama, artefacto o herramienta, y si están en condiciones de evaluar las

fortalezas y debilidades de maneras alternativas de pensar, entonces a menudo, incluso los más

pequeños, son capaces de producir herramientas y artefactos impresionantemente potentes,

reutilizables y compartibles en la que los "objetos" matemáticos que están descritos implican mucho

más que simples recuentos. Para ello, el tipo de ayuda que resulta más efectiva es, generalmente,

aquella que estimula la reflexión más que la guía dirigida.

El “Proyecto Newton. Matemáticas para la vida” nació en el curso 2012/2013 con el principal

objetivo de llevar a cabo una propuesta que generara un cambio real, efectivo y generalizable tanto en

el aprendizaje, como en la enseñanza de las matemáticas. Para ello, centrándonos concretamente en

Infantil y 1º y 2º de Primaria, el proyecto propone una metodología cuyo principal referente es

Constance Kamii (Kamii, 1985, 1989, 1994; Kamii & Russell, 2010, 2012), quien defiende la

importancia de fomentar la autonomía de los niños, promoviendo habilidades como el respeto, el turno

de palabra, levantar la mano para participar en el aula, etc. Asimismo, el Proyecto propone la

estimulación del cálculo mental con las “Regletas de Cuisenaire” (juego de piezas de diez tamaños, de

1 a 10 cm., y diferentes colores) (ver figura 1). El uso de esta herramienta permite que el alumnado

aprenda la descomposición de los números e iniciarlos en las actividades de cálculo y que el

aprendizaje se convierta en algo tangible y manipulativo, lo cual es muy importante en las primeras

etapas de aprendizaje. Además, se introducen tareas que ayudan a la contextualización de actividades

matemáticas en situaciones cotidianas (Consejo Escolar de Canarias, 2015; ZZZ, 1999).

Por último, resulta oportuno hacer referencia a que este Proyecto, a través de la evaluación de

los resultados que se han obtenido de 3º a 6º de Primaria, ha encontrado efectos positivos tanto en el

profesorado, como en el alumnado. En cuanto al profesorado, cabe destacar el alto consenso en valorar

la acción formativa con un alto nivel de interés y utilidad. En cuanto a la evaluación del efecto de la




acción formativa en el alumnado, ha quedado constata la adquisición de los procesos implicados en la

resolución de problemas del alumnado de 3º a 6º de Primaria cuyo profesorado participó en la acción

formativa.

Lo que aún no había cubierto en este proyecto es la evaluación del efecto de la acción formativa

en el alumnado de Educación Infantil y Primer Ciclo de Educación Primaria. Consecuentemente, esta

investigación plantea los siguientes objetivos:

Conocer, una vez más, la valoración que el profesorado de Educación Infantil y de 1º-2º de

Educación Primaria hace de la acción formativa en la que participan.

Evaluar el efecto de la acción formativa en el alumnado de Educación Infantil y de 1º-2º de

Educación Primaria, tanto desde una aproximación cualitativa como cuantitativa. En la

aproximación cualitativa, además del efecto en la competencia matemática, se analizará su

efecto en la competencia socio personal.

2. Método

2.1. Participantes

2.1.1. Estudio 1: Aproximación cualitativa

Valoración del profesorado

Para el estudio sobre la valoración de la acción formativa por parte de los docentes, los

participantes son 12 profesores y profesoras. Concretamente 8 tutores y 4 no tutores. Estos docentes

pertenecen a 3 centros de Educación Infantil y Primaria de la isla de Tenerife.

Observación de la dinámica de trabajo en el aula

Participan 200 alumnos aproximadamente que se sitúan entre los cursos de Infantil y Primer

Ciclo de Primaria, pertenecientes a 5 colegios diferentes: 1 con larga experiencia con el Proyecto, 3

centros de nueva incorporación, y 1 colegio como grupo control o de contraste.

2.1.2. Estudio 2: Análisis cuantitativo. Resolución de problemas de cálculo mental

Para la realización del estudio cuantitativo sobre cálculo mental, los participantes son 84

alumnos y alumnas de 2º de Primaria pertenecientes a 4 colegios: un centro con una larga experiencia

de cuatro años participando en el Proyecto (grupo consolidado, N = 27), un centro de nueva

incorporación (N = 28), y dos centros que conformaron el grupo control (N = 29).

2.2. Descripción de la acción formativa

Para conocer de la dinámica de las acciones formativas que se realizan con el profesorado, se

toma como referencia el Informe Ejecutivo del Proyecto Newton (Consejo Escolar de Canarias, 2015).

Además, se acude a una acción formativa dirigida a docentes de Infantil, 1º y 2º de Primaria y se

mantienen diferentes entrevistas con los formadores.

En la reunión establecida con uno de los formadores, explica detalladamente las pautas y

técnicas que, entiende, se deben seguir en el aula. Así como los contenidos que resultan





imprescindibles impartir en estas edades, destacando la numeración, el cálculo, la geometría y la

resolución de problemas. Remarca la importancia de la utilización de material tangible en

matemáticas. Asimismo, apunta que los ejercicios que se les deben presentar a los alumnos y a las

alumnas deben estar adaptados a su edad, así como a su entorno y vida cotidiana, facilitando de este

modo su comprensión y finalmente su resolución. Además, cada ejemplo de ejercicio que propone, lo

explica con el material que se debe utilizar. Esos ejercicios los resuelve de manera clara, detallando

cada paso que se debe realizar con el alumnado y precisando otros modos de resolución si se viera

oportuno.

En relación a las reuniones de formación, éstas se llevan a cabo dos veces al mes con una

duración de 3 horas cada una. En ellas se comentan las técnicas que se han utilizado en el aula el

último mes y, a su vez, se plantean las tareas que se llevarán a cabo el mes siguiente, enseñando a los

maestros y a las maestras los recursos didácticos necesarios para ponerlas en práctica. Con las

diferentes sesiones formativas, se promueve también que el profesorado en formación se convierta en

formador, creando de esta manera un proceso de intercambio e innovación entre docentes, con el fin

de compartir, aprender, enseñar y comprender. Asimismo, uno de los principales objetivos que se

plantea es que el profesorado consiga potenciar la autonomía de los alumnos, dándoles la oportunidad

de confrontar los distintos puntos de vista respecto a la resolución de una tarea (Kamii, 1985, 1989,

1994; Kamii & Russell, 2010, 2012).

Una vez conocidas las bases de la acción formativa del proyecto, se acude a algunas de estas

sesiones, manteniendo también entrevistas con los formadores. A continuación, se describe una de

estas acciones formativas:

En el inicio de la sesión, el formador pregunta a los maestros y a las maestras si se ha podido

llevar a cabo lo abordado en la sesión anterior, se comentan brevemente los resultados obtenidos y se

resuelven las dudas que les hayan podido surgir en sus aulas.

A lo largo de la sesión, el formador plantea nuevas operaciones o pequeños problemas,

resolviéndolos tanto en la pizarra como con los materiales que se nombrarán a continuación.

Desde un primer momento se insiste en que los alumnos no tienen que saber matemática

mecánica, sino matemática comprendida. Se argumenta que hoy en día los niños y las niñas

reproducen y contestan lo que su maestro o maestra espera, pero sin haber comprendido los conceptos.

Se comenta, asimismo, como las matemáticas de primaria se basan en la composición y

descomposición de números. Para ello se insiste en la necesidad de utilizar materiales tangibles, que el

alumno o alumna pueda tocar y manipular. Algunas de estas herramientas, que ya han sido trabajadas

en sesiones anteriores, son:

Regletas, cuyo color ayuda a los niños a crear imágenes mentales, además de su tamaño, el cual

dependerá también del número al que represente. (Ver figura 1)




Figura 1: “Regletas de Cuisenaire”

Bloques de base 10, que se utilizan para trabajar con los sistemas de numeración en 1º de

primaria.

El formador remarca que, aunque estas técnicas requieren tiempo para acostumbrarse y trabajar

con ellas, son mucho más útiles que las que se suelen proponer en las fichas o en los libros

convencionales (más mecánicas), pues fomentan el razonamiento. Argumenta que los niños y las niñas

que trabajan con este material, lo graban mentalmente y luego operan con la imagen mental de éste.

En cuanto a la adecuación de los conceptos con las edades, se recuerda que 3 años es la edad de

los hábitos, control de esfínteres, controlar el llanto, saber escuchar, etc., por lo que la resolución de

problemas se recomienda para el resto de cursos de Educación Infantil y Primaria. La estructura o

proceso que se propone para resolver adecuadamente un problema es el siguiente:

1. Comprender: a estas edades esta fase se hace en común.

2. Pensar: se desarrollan las estrategias de pensamiento. Tales como:

Modelización con material tangible: la manipulación siempre es la entrada al

razonamiento.

Ensayo-Error: el alumno prueba a resolverlo de una manera (1ª hipótesis), si consigue lo

que se le pide bien, si no, debe volver a probar (otra hipótesis). En este sentido, hay que

fomentar que los niños tengan argumentos, el error no importa, es una fuente de

aprendizaje, aun así, hay que hacer que el alumno se pare para que piense y diga algo

con algún motivo, argumentos, de esta forma se crea en los niños y las niñas el hábito

de opinar con alguna razón: “el por qué es el razonamiento que se ha utilizado para

llegar al qué”. En caso de equivocación, la nueva hipótesis que obtenga el alumno

puede tener en cuenta la anterior o no, por esta razón, el maestro o la maestra siempre

debe fomentar a que sí se tenga en cuenta. De esta manera se le enseña a aprender de la

DATOS OBJETIVO

RELACIÓN





experiencia. Con ello también se le ayuda al ensayo-error inteligente, lo que provocará

que el alumno o la alumna no resuelva los problemas matemáticos de manera arbitraria

o sin criterio, sino que será más certero y tendrá en cuenta su experiencia. En estas

edades los niños y las niñas no saben lo que es pensar, por eso hay que expresar en voz

alta todo lo que se hace, y poco a poco se irá interiorizando.

3. Ejecutar: fase en la que el alumno o alumna lleva a cabo la o las operaciones.

4. Responder: es importante siempre hacer una comprobación de la respuesta.

A continuación, el formador propone varios ejemplos de problemas para resolver a partir de esta

estructura, nombrando los materiales que se podrían utilizar en cada caso (regletas, cubos…). Añade

que los problemas propuestos ayudarán al alumnado a que, cuando lleguen a tercer curso, sepan la

secuencia de los hábitos mentales que deben manejar.

Resulta importante comentar que el profesorado que recibe la acción formativa expresa que,

gracias a este tipo de procedimientos, se ha logrado que a sus alumnos y alumnas les gusten las

matemáticas, prefiriendo esta asignatura antes que otras.

Llegados a este punto se muestra, a modo de ilustración y de manera esquemática, los

contenidos tratados en esta sesión de formación con los maestros y maestras de Infantil y Primer Ciclo

de Primaria:

Estructura aditiva (suma y resta).

Composición y descomposición de los números de 1 cifra.

Composición y descomposición del 10.

Completar a la decena más cercana. El número que quería ser 10.

Preponderancia de lo oral, previo a los símbolos escritos, en Infantil.

Resolución de problemas en Infantil y 1º Ciclo de Primaria:

o Adaptación al modelo del Proyecto Newton.

Estrategias iniciales a incorporar. Modelización y ensayo-error.

Uso de materiales estructurados y no estructurados: regletas, tapas, cubos de base 10, cubos

encajables, números Montessori, etc.

Resulta conveniente apuntar que, en una conversación mantenida con el formador, éste comenta

que las acciones formativas las prepara concretando ciertos puntos que se deben tratar forzosamente,

pero que luego el transcurso de la sesión debe ser espontáneo y fluido, atendiendo a aquellas

cuestiones que puedan ir surgiendo en la propia dinámica.

2.3. Evaluación de la acción formativa

2.3.1. Estudio 1: Aproximación cualitativa

2.3.1.1. Valoración del profesorado

Instrumentos

Para la evaluación del Proyecto Newton por parte del profesorado, se utiliza un cuestionario en

el que se miden diferentes variables: interés, aprovechamiento, fortalezas, dificultades y propuestas de

mejora. Además, este mismo cuestionario le da al profesorado la oportunidad de comentar alguna

experiencia de haber llevado al aula lo aprendido. Para este estudio sólo se toman los datos sobre

interés y aprovechamiento.




Diseño

Diseño descriptivo, en el que se valora tanto el interés como el aprovechamiento de los docentes

con respecto al Proyecto.

Procedimiento

Se entregan los cuestionarios a los docentes y posteriormente se recogen para su análisis.

Análisis de datos

Se realiza un análisis de frecuencias de su interés y aprovechamiento.

2.3.1.2. Observación de la dinámica de trabajo en el aula

Instrumentos

Hoja de registro, de elaboración propia, en la que se rastrea aspectos sobre competencias en la

Resolución de Problemas y competencias Sociopersonales. En este registro se pretende plasmar tanto

la amplitud como la frecuencia de las diferentes variables a medir (Ver tablas 1 y 2).

Diseño

Se obtiene una descripción dinámica de las observaciones, registrando la frecuencia (número de

veces que se da la conducta) y amplitud (número de alumnos que realizan la conducta) (ver tablas 1 y

2) de las conductas realizadas por los alumnos en sus aulas. Siguiendo una perspectiva transversal, la

observación se realiza en grupos que se diferencian en el tiempo que llevan implicados en el Proyecto

(consolidado, nueva incorporación y control).

Procedimiento

Las observaciones, se realizan en las aulas durante sesiones ordinarias de matemáticas. Desde

un primer momento, se le pide al profesor o profesora que dediquen la sesión a tareas de Resolución

de Problemas. Los observadores se sitúan en un rincón relativamente apartado de la clase y se limitan

a observar. Durante el trascurso de la clase, se toma nota de los procedimientos utilizados para

resolver las tareas y ejercicios (competencia matemática), así como de las interacciones del grupo

(competencia sociopersonal).

Análisis de datos

Se lleva a cabo un análisis de los datos que se registrados durante las observaciones.

2.3.2. Estudio 2: Análisis Cuantitativo. Resolución de problemas de cálculo mental

Instrumentos

Se utiliza una prueba, de elaboración propia, con cinco problemas matemáticos de cálculo

mental. Para resolver correctamente los cuatro primeros: el primer ejercicio requiere realizar una

suma; el segundo restar; el tercero multiplicar; y el cuarto dividir. Para responder adecuadamente el

último ejercicio, han de darse cuenta de que faltan datos, por lo que deben explicar que con los datos





proporcionados el ejercicio no tiene solución. En cada problema, el acierto se contabiliza como 1 y

tanto el error como dejar el ejercicio en blanco, puntúa 0. Los problemas que los alumnos debían

resolver son los siguientes:

1. Lucía tiene cuatro caramelos y Marcos le regala 2. ¿Cuántos caramelos tiene ahora?

2. María tiene cinco euros y le da dos a Susana. ¿Cuántos le quedan?

3. Pedro tiene 4 paquetes de caramelos y en cada uno hay 5 caramelos. ¿Cuántos caramelos hay

en total?

4. Jesús tiene 6 euros y los reparte en partes iguales a tres amigos. ¿Cuánto le da a cada uno?

5. Ramón tiene cuatro caramelos y Sergio un caramelo. ¿Cuántos perros tienen los dos?

Diseño

Estudio transversal en el que se contrastan dos grupos, atendiendo al tiempo que lleven

implicados en la acción formativa del Proyecto Newton (Consolidado, dos años; Nueva Incorporación,

ocho meses formando parte del proyecto); y un grupo control. Se trata de un estudio cuasiexperimental

dado que los participantes no se escogen aleatoriamente sino atendiendo a su relación temporal con el

Proyecto.

Procedimiento

Se concierta con los centros el día de pase de pruebas en cada uno, para su aplicación basta con

una sola sesión. Una vez en el colegio, se le pide colaboración al profesorado para el pase de pruebas.

Los alumnos (todos de 2º de Primaria) colocan sus mesas de manera individual, se les explica en qué

consiste la prueba y a continuación proceden a su cumplimentación.

Análisis de datos

Se lleva a cabo un Análisis de Varianzas (ANOVA) entre los tres grupos: consolidado; nueva

incorporación; y control.

3. Resultados

3.1. Estudio 1: Aproximación Cualitativa

3.1.1. Valoración del profesorado

El 100% del profesorado valora el grado de interés de la acción formativa como alto (16,7%) o

muy alto (83,3%). Con respecto al nivel de aprovechamiento también el 100% de los docentes lo

valoran como alto (41,7%) o muy alto (58,3%). (Ver Figura 2).




Figura 2: Grado de Interés y Aprovechamiento valorado por los profesores

3.1.2. Observación de la dinámica de trabajo en el aula

Para registrar la amplitud de la clase que realiza una conducta determinada, se utilizan 3 figuras

diferentes: una línea vertical para indicar que lo realiza un solo alumno; un cuadrado cuando lo realiza

un pequeño grupo de la clase y un rectángulo cuando lo realiza toda, o la mayor parte del aula. Para

contabilizar la frecuencia, basta con contar cuántas de estas figuras se han registrado (ver tablas 1 y 2).

Para describir las observaciones que se realizan en las diferentes aulas, se establece un orden

para favorecer la comprensión. En primer lugar, se hace una descripción de las condiciones físicas del

aula, a continuación, se describe la dinámica del aula, explicando la competencia de los alumnos en

Resolución de Problemas. Por último, se explican las competencias Sociopersonales observadas.

Centro consolidado

En este centro se evalúa una clase de 1º de Primaria. La luminosidad del aula es adecuada y las

mesas están dispuestas algunas formando una L y otras formando un grupo, todos realizan la misma

actividad. Llevan a cabo diversos ejercicios durante la sesión en los que se ven reflejadas las

matemáticas. Utilizan material como regletas, tapas, el cuadro de la centena, etc. (ver tabla 1), trabajan

también con el dinero: van dos alumnos a la venta (simbólica) del colegio, para ello llevan una hoja de

registro en la que deben apuntar el producto comprado y su precio, luego se comenta con todos los

compañeros en la pizarra. En cuanto a las soluciones que dan a los diferentes problemas que se les

plantean, no sólo las razonan, sino que incluso varios alumnos saben y dicen las estrategias que

utilizan. Además, es una clase muy participativa y que expresa su opinión (ver tabla 2). Respeta tanto

el turno de palabra como a sus compañeros y se ayudan entre ellos, saliendo incluso a la pizarra

cuando algún compañero lo necesita.

Centros de nueva incorporación

Se observan aulas de tres colegios distintos de nueva incorporación al Proyecto Newton: una

clase de 4 años, otra de 5 años, una de 1º de Primaria y dos aulas de 2º de Primaria.

En un colegio se evalúa el aula de los alumnos y alumnas de 4 años. Tiene tanto una

luminosidad como un orden destacables, con las mesas distribuidas en grupos y dispone de distintas

zonas del aula para realizar diversas actividades, por ejemplo, un área de juego al final de la clase, en

la cual se sitúa un pequeño y simbólico supermercado. En cuanto a la dinámica de la sesión, cada





grupo de mesas hace una actividad diferente, y hay que destacar que, aunque la mayoría responde a la

profesora casi sin pensar bien el problema, utilizan las regletas para la mayoría de las actividades que

llevan a cabo (ver tabla 1), dándoles a cada una el valor correcto que le corresponde. También la

profesora utiliza los sellos de las regletas para los cuales, los niños tienen que averiguar su valor con la

ayuda de las mismas, realizan incluso sumas. Es una clase bastante participativa (ver tabla 2).

En otro de los centros se evalúan tres aulas: una de Infantil de 5 años, otra de 1º de Primaria y

una de 2º de Primaria.

La clase de Infantil de 5 años, a pesar de tener mucho material, se aprecia bastante ordenada, la

luminosidad es adecuada y las mesas están colocadas por pequeños grupos. Cabe destacar la cantidad

de material didáctico que utilizan: regletas, geoplanos, calculadora (tutorizados por los alumnos de

primero), tangram (ver tabla1). Además, es una clase que se muestra muy interesada en participar (ver

tabla 2) y, aunque las actividades se plantean y comentan todas en voz alta, su realización es

individual. En 1º de primaria las mesas están colocadas en forma de círculo y la profesora se mueve

por toda la clase. En cuanto al orden y luminosidad, son ambos adecuados. Este curso ya trabaja la

geometría, las medidas naturales, los números decimales y además saben diferenciar varios tipos de

línea. Durante la sesión se plantean diferentes problemas y los alumnos exponen las diferentes

operaciones que se pueden realizar para llegar a la misma solución. Se observa que cuando intentan

resolver un problema y no pueden, recurren a las regletas o calculadora. Esta clase muestra ser menos

participativa que las observadas anteriormente (ver tabla 2). En cuanto al aula de 2º de Primaria, al

igual que el resto, está bien iluminada y ordenada, las mesas distribuidas por grupos. Hay que destacar

de este alumnado la gran capacidad de razonamiento ante los diversos problemas que le plantea la

profesora, además utilizan adecuadamente el material necesario (ver tabla 1), sobre todo las regletas

que las usan prácticamente para todos los ejercicios. Otro dato interesante es que la mayor parte de la

sesión discurre en inglés, ante lo cual los alumnos se les ve muy acostumbrados y se desenvuelven

muy bien, incluso comprendiendo los datos que les aportan los problemas. Asimismo, destacar que es

un grupo muy activo y participativo (ver tabla 2) y que, en cuanto al trabajo en equipo, aunque las

tareas son individuales, siempre se realizan en voz alta y se comprueban las soluciones con los

compañeros.

En el último centro de nueva incorporación se observa también una clase de 2º de Primaria,

distribuidas las mesas por grupos, con luminosidad adecuada y ordenada, dando la impresión de

amplitud. Cada grupo de mesas conformaba un equipo de trabajo, y los diferentes problemas que

plantea el docente son resueltos en equipo, es decir, el profesor plantea un problema para toda la clase

el cual se debe resolver por grupos. Cada grupo tiene el símbolo de un animal y durante la sesión el

profesor los llama según el animal que les corresponde, animando y dinamizando la sesión

continuamente, pasando por cada grupo para que los alumnos le expliquen la solución. Para la

resolución de los problemas utilizan diferentes materiales como dinero simbólico, calculadora, etc.

algunos problemas también los escenifican en la pizarra. De este grupo se debe señalar su gran

capacidad para trabajar en equipo (ver tabla 2).

Centro control

En este colegio se observan 3 aulas: Infantil de 5 años, 1º de Primaria y 2º de Primaria. En el

aula de 5 años, la luminosidad es adecuada y cuenta con bastante material, sin embargo, no es

demasiado espaciosa. Los niños están distribuidos por grupos. Durante toda la sesión trabajan el

número 9, por lo tanto, la solución que los alumnos deben dar es siempre 9. Resulta llamativo que

trabajando con las regletas, no les den el valor correspondiente a cada una. De hecho, la profesora las

llama “palitos” sin diferenciarlas ni por su tamaño ni por su color. Aunque todos trabajan el número 9,

cada conjunto de mesas lo hace con materiales diferentes como plastilina (tienen que hacer 9 bolitas) o

puzles (fichas en las que mediante un velcro los alumnos y alumnas deben colocar el número 9 en su




lugar, dentro de una pequeña serie de números) que cuando la profesora lo indica, se rota de mesa. La

clase de 1º de Primaria, tiene buena luminosidad y está ordenada, las mesas están dispuestas en forma

de U orientada hacia la mesa del profesor, el cual se sitúa dentro de esa U de pie durante toda la sesión

acercándose a las mesas de los alumnos, con respecto a la dinámica de la sesión, todos los niños

realizan la misma actividad al mismo tiempo. En otras ocasiones, resuelven problemas por parejas,

cada pareja uno diferente. El profesor proyecta en la pizarra electrónica el libro que los niños están

utilizando en la mesa. Para la resolución de problemas siguen la estructura: Datos-Operación-

Solución, además el profesor les ayuda haciendo algún dibujo aclarativo en la pizarra. También

utilizan el ábaco individualmente y, por ejemplo, en el caso de un problema relacionado con libros,

utilizan éstos para resolverlo. En cuanto a las regletas, los alumnos conocen su valor, pero el profesor

considera que es más rápido utilizar los dedos por lo que no usan este tipo de material (ver tabla 1).

Cabe añadir que la clase es muy participativa y que trabajan en equipo cómodamente (por parejas) (ver

tabla 2). Finalmente, la clase de 2º de Primaria tiene una adecuada luminosidad, es amplia y está

ordenada. Las mesas están colocadas por parejas orientadas hacia la pizarra. La sesión discurre de un

modo bastante monótono. Los alumnos se levantan para resolver los problemas en la pizarra digital

pero la profesora no permite que se equivoquen, antes de que el niño o niña cometa algún error, ella le

dice la solución. Además, si el alumno no sabe la solución, también se la dice, sin darle la oportunidad

de pensar o razonar. Trabajan la geometría diferenciando entre figuras planas y en 3D: la docente pone

en la pizarra electrónica los dibujos de las figuras y un audio con la explicación. A continuación, la

profesora refuerza dicha explicación. Los enunciados de los problemas también se plantean a través de

audios. A pesar de la monotonía de la sesión, los niños son bastante participativos (ver tabla 2).

Variables

Centros Respuesta

anticipada

Comprensión

de datos

Utilizan

material

Piensan el

posible

resultado

Razona la

solución

Solución

alternativa

Consolidado

(1º primaria)

Nueva inc.

(4 años)

Nueva inc.

(5 años)

Nueva inc.

(1º primaria)

Nueva inc.

(2º primaria)

Nueva inc.

(2º primaria)

Control

(5 años)

Control

(1º primaria)

Control

(2º primaria)

: Representa a un solo alumno : Representa a un pequeño grupo

: Representa a un grupo amplio o la totalidad de la clase

Tabla 1: Registro de la Competencia en Resolución de Problemas





Variables

Centros

Respetan

turno de

palabra

Respetan y

ayudan a

compañeros

Expresan

su opinión

Participan

activamente

Escuchan a

los demás

Trabajan

en equipo

Consolidado

(1º primaria)

Nueva inc.

(4 años)

Nueva inc.

(5 años)

Nueva inc.

(1º primaria)

Nueva inc.

(2º primaria)

Nueva inc.

(2º primaria)

Control

(5 años)

Control

(1º primaria)

Control

(2º primaria)

: Representa a un solo alumno : Representa a un pequeño grupo

: Representa a un grupo amplio o la totalidad de la clase

Tabla 2: Registro de las Competencias Sociopersonales




3.2. Estudio 2. Análisis cuantitativo: Resolución de Problemas de Cálculo Mental

En cuanto al análisis de los resultados de los 84 alumnos (grupo consolidado, N = 27; nueva

incorporación, N = 28; y grupo control, N = 29) evaluados en los ejercicios de cálculo mental, no se

aprecian diferencias significativas en ninguno de los grupos con respecto a los dos primeros

problemas, cuya operación consiste en sumar y restar respectivamente (ver tabla 3 y figura 3). Sin

embargo, al analizar los tres últimos ejercicios que deben resolver los niños (multiplicar, dividir y un

ejercicio en el que se tiene que identificar que no tiene solución), sí se observan diferencias

significativas (p≤ .001). Las diferencias en los ejercicios de multiplicar y dividir están en el grupo

consolidado, que es el que obtiene un resultado significativamente mejor que los otros dos grupos. Por

su parte, en el ejercicio 5 que se corresponde con identificar que el problema no se puede resolver, es

Cálculo Exp.1

Consolidado

Exp.2 Nueva

incorporación

Control Significación (p)

General Múltiple

Cálculo 1

(+) Dt

1.00

(.00)

.82

(.39)

.86

(.35)

.82 (1).168

(2).835

(3).061

Cálculo 2

(-) Dt

.89

(.32)

.82

(.39)

.76

(.44)

.455 (1).351

(2).766

(3).742

Cálculo 3

(x) Dt

.81

(.40)

.43

(.50)

.24

(.44)

.000*** (1).000***

(2).206

(3).004**

Cálculo 4

(/) Dt

.81

(.40)

.36

(.49)

.21

(.41)

.000*** (1).000***

(2).327

(3).000***

Cálculo 5

(Sin sol.) Dt

.89

(.32)

.25

(.44)

.00

(.00)

.000*** (1).000***

(2).007**

(3).000***

p ≤ 0.05 (*), p ≤ 0.01 (**), p ≤ 0.001 (***)

Contrastes:

(1) Consolidado vs control

(2) Nueva incorporación vs control

(3) Consolidado vs nueva incorporación

Tabla 3: Media de los ejercicios de Cálculo Mental1

1 La tabla recoge los siguientes valores estadísticos: Media ( ), valor obtenido al sumar todos los resultados y

dividir entre el número total de alumnos; Desviación Típica (Dt), medida del grado de dispersión de los datos

con respecto a la media; Significación (p), cuanto menor sea su valor, más fuerte será la evidencia de que la

diferencia no se debe a una mera coincidencia.





0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Cálculo1(+)

Cálculo 2(-) Cálculo 3 (x) Cálculo 4(÷) Cálculo 5(Sin.sol)

Consolidado (N = 27)

N. Incorporación (N = 28)

Control (N = 29)

p ≤ 0.05 (*), p ≤ 0.01 (**), p ≤ 0.001 (***)

Figura 3: Medias de los ejercicios de cálculo mental

4. Discusión y conclusiones

Se cuenta con un informe que analiza el efecto de la acción formativa “Proyecto Newton.

Matemáticas para la vida” en los alumnos y alumnas de Educación Infantil y 1º y 2º de Educación

Primaria, aspecto que hasta ahora no se había abordado debido a la dificultad que conlleva la

evaluación en estas edades. Además, los resultados de esta investigación, muestran la efectividad de

dicho proyecto, no sólo a través de los datos obtenidos en el alumnado, sino también gracias a la

positiva valoración realizada por el profesorado con respecto al interés y aprovechamiento del mismo.

Como se ha venido mencionando a lo largo de este trabajo, y tal como defiende este Proyecto,

resulta de gran importancia trabajar las matemáticas desde edades tempranas. No tanto con conceptos

teóricos sino con materiales manipulativos y tangibles, pues cuanta mayor sea esa manipulación,

mayor será la interiorización y asimilación de los conceptos matemáticos (Bruner, 1960; Consejo

Escolar de Canarias, 2015; Lesh y Doerr, 2003; Lesh y English, 2013; Resnick, 1983).

Con respecto a la valoración de la acción formativa por el profesorado, cabe destacar los buenos

resultados obtenidos, pues el 100% de ellos, tanto tutores como no tutores, consideran alto o muy alto

el interés y el aprovechamiento del mismo. Por ello, como fortaleza podríamos extraer su disposición

y actitud abierta a incorporar nuevos procedimientos, sin embargo, una debilidad detectada ha sido que

una vez en el aula, no todos los docentes utilizan el material recomendado. Ante ello, se insiste en su

utilización y se reitera las ventajas y avances que se logran en los alumnos.

En relación a los alumnos, por primera vez se ha conseguido registrar la acción formativa en

aulas de Infantil y Primer Ciclo de Primaria. Por un lado, con el estudio cualitativo se han observado,

en general, resultados favorables que demuestran la efectividad de este Proyecto, sobre todo en

aspectos que tienen que ver con el manejo de las matemáticas, destacando la gran agilidad y

*

**




desenvoltura que muestra el alumnado cuyo profesorado se ha implicado en la acción formativa,

utilizando los materiales adecuados en cada momento. Las diferencias observadas se dan sobre todo

entre los grupos experimentales (independientemente de si se trata de consolidado o nueva

incorporación) en contraste con el control o de comparación. Sin embargo, en el ámbito de

competencias sociopersonales no se detectan diferencias relevantes, pues en general todos los alumnos

observados muestran buenos hábitos en el aula como ayudar a sus compañeros, respetar el turno de

palabra, participar activamente en clase, etc. Por otro lado, con respecto al estudio cuantitativo se

detectan diferencias significativas en aquellos ejercicios que implican mayor dificultad

(multiplicación, división y problema sin solución), especialmente a favor del grupo consolidado. Estos

resultados muestran la superioridad del grupo consolidado con respecto tanto al grupo control como al

grupo de nueva incorporación, aunque en este último caso la significación en el ejercicio de

multiplicar es ligeramente menor. Además, hay que añadir que el grupo de nueva incorporación sólo

ha sido superior al control en el ejercicio de identificar que el problema no tenía solución. Por último,

cabe destacar la importancia de los resultados obtenidos sobre este último ejercicio. Ningún alumno

del grupo control supo responder a este problema, lo que demuestra que nunca han practicado este tipo

de ejercicios. Esta cuestión pone de manifiesto la veracidad de lo que había explicado un formador del

Proyecto Newton y que fue comentado al principio de este informe, relacionado con que hoy en día los

niños reproducen y contestan lo que el maestro espera, pero sin haber comprendido los conceptos.

Frente al resultado del grupo control, el 89% de los alumnos del centro consolidado sí que ha

detectado que dicho problema no se podía resolver por no disponer de los datos necesarios para ello.

Por su parte, el 25% del grupo de nueva incorporación también ha sabido responder adecuadamente

este ejercicio, lo cual demuestra dos cosas; por un lado, que este alumnado se ve beneficiado de la

acción formativa del Proyecto, y por otro que, aunque ha obtenido mejor resultado que el grupo

control, sigue siendo una media bastante inferior a la del grupo consolidado. Ello es un indicador de

que cuanto más tiempo lleva el profesorado implicado en esta formación, más familiarizado estará con

esta dinámica de trabajo y mejores resultados obtendrá su alumnado. Por todo ello, se puede concluir

que el “Proyecto Newton. Matemáticas para la vida” también resulta positivo para los más pequeños

del colegio, favoreciendo un mejor desarrollo de sus competencias matemáticas.

Bibliografía

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Resnick, L. B. (1983).Mathematics and science learning: A new conception [Abstract]. Science, 220

(4596), 477-478.

María Haridian Zamora Marrero. Graduada en Psicología en la Universidad de La Laguna, Campus de

Guajara, s/n. 38205 La Laguna, Santa Cruz de Tenerife.


Ramón Aciego de Mendoza Lugo. Profesor Titular de Psicología Evolutiva y de la Educación,

Universidad de La Laguna, Campus de Guajara, s/n. 38205 La Laguna, Santa Cruz de Tenerife. Entre sus

temas de investigación, actualmente centra su atención en: Resolución de problemas matemáticos:

procesos psicológicos e implicaciones instruccionales; Ajedrez como recurso educativo; Estrategias y

programas para el crecimiento personal y desarrollo de valores en adolescentes.


Antonio Ramón Martín Adrián. Maestro, especialista en matemáticas y formador de formadores.

Consejería de Educación del Gobierno de Canarias.


Eladio Ramos. Doctor en Psicología, coordinador técnico educativo del Consejo Escolar de Canarias y

profesor de la UNED. Ha impartido docencia en la Universidad, en Primaria y en Adultos y ha sido

orientador en distritos educativos de Tenerife. Su formación y experiencia como docente e investigador se

ha centrado en inteligencia emocional, clima escolar, competencias, convivencia, educación en valores y

atención a la diversidad cultural.









ISSN: 1887-1984


Evaluación del Proyecto Newton. “Matemáticas para la Vida” de 3º a 6º de

Educación Primaria

Atteneri López y Ramón Aciego (Universidad de La Laguna. España)

Manuel García-Déniz (Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. España)

Domingo García-Quintero (Consejería de Educación del Gobierno de Canarias. España)

Eladio Ramos (Consejo Escolar de Canarias. España)



Resumen Se evalúa el impacto del “Proyecto Newton Matemáticas para la vida” en el profesorado

y alumnado de 3º a 6º de Educación Primaria (Tenerife, España). Se constata el interés y

el aprovechamiento que despierta la acción formativa en el profesorado. Para evaluar su

impacto en el alumnado, se realiza un diseño trasversal y cuasiexperimental, con cuatro

grupos: consolidado, cuatro años de participación en el Proyecto (N = 76), casi-

consolidado, entre tres y dos años de participación (N = 210); de nueva incorporación (N

= 63); y un grupo control (N = 89). Se detectan mejoras estadísticamente significativas,

tanto en los procesos de resolución de problemas como en la adaptación escolar, en el

alumnado cuyo profesorado participa en la formación. Estas mejoras se incrementan a

medida que su profesorado lleva más tiempo implicado en el Proyecto.

Palabras clave Competencia matemática, resolución de problemas, adaptación escolar, educación

primaria.

Title Evaluation of Project Newton. "Mathematics for Life" from 3rd to 6th of Primary

Education

Abstract It evaluates the impact of the “Newton Mathematics Project for life” for teachers and

students 3rd to 6th the primary school (Tenerife, Spain). Teachers are interested in the

project and his exploitation. To assess their impact on students, a transversal and quasi-

experimental design is done with four groups: consolidated (N = 76), nearly-

consolidated (N = 210), new incorporation (N = 63) and control (N = 89). It is found

statistically significant improvements on the processes of problem solving and school

adjustment in students whose teachers participated in this formative action. These

improvements will increase as teachers take longer involved in the project.

Keywords Mathematical competence, problems solving, school adaption, primary school

1. Introducción

El aprendizaje es un proceso mediante el cual nuevos conocimientos son asimilados dentro de la

estructura conceptual del que aprende (Saldarriaga, 2012).

Esta investigación se centra concretamente, en el aprendizaje de las matemáticas.

Evaluación del Proyecto Newton. “Matemáticas para la Vida” de 3º a 6º de Educación Primaria A. López, R. Aciego, M. García-Déniz, D. García-Quintero y E. Ramos


La competencia matemática se define como la capacidad de un individuo de identificar y

entender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundamentados,

utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas, y satisfacer las necesidades de la vida personal

como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo (PISA, 2003). Esta competencia activa una

serie de procesos que pueden agruparse en tres categorías: reproducción (operaciones matemáticas

simples), conexión (combinación de ideas para resolver problemas con una solución directa) y

reflexión (uso del pensamiento matemático amplio) (Organización para la Cooperación y el Desarrollo

Económico, 2014).

La finalidad de la asignatura de Matemáticas en la Educación Primaria es construir los

fundamentos del razonamiento lógico-matemático en los alumnos/as de esta etapa, y no únicamente

centrarse en la enseñanza del lenguaje simbólico-matemático (Boletín Oficial de Canarias, 2014).

Respecto al currículo en matemáticas, en Educación Primaria, se valoran las siguientes

competencias (Boletín Oficial de Canarias, 2014):

Comunicación lingüística (CL), indica las relaciones numéricas y geométricas y la descripción

verbal y escrita de los razonamientos y procesos matemáticos con un lenguaje correcto y el

vocabulario matemático preciso.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT) mediante la

resolución de diferentes situaciones de aprendizaje que propicien el empleo de las matemáticas

dentro y fuera del aula, y en relación con otras asignaturas

Competencia digital (CD), proporciona destrezas asociadas a los procesos de análisis y de

síntesis, de razonamiento, de clasificación, de reflexión y de organización.

Aprender a aprender (AA), facilita el desarrollo de esquemas mentales que ayudan a organizar

el conocimiento.

Competencias sociales y cívicas (CSC), se refiere al trabajo en equipo y a las dinámicas de

interacción social.

Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEE), es la resolución de problemas y el trabajo

científico, que implica la capacidad de transformar las ideas en actos.

Conciencia y expresiones culturales (CEC), pone en juego la iniciativa, imaginación y

creatividad, que favorecen la comprensión de determinadas producciones artísticas.

Estas competencias curriculares se reflejan en cinco bloques: “Procesos, métodos y actitudes en

matemáticas”, “Números,” “Medida”, “Geometría" y "Estadística y Probabilidad”. Durante el

desarrollo de estos temas se practica la resolución de problemas, que es objeto de estudio en esta

investigación.

Muchos alumnos y alumnas presentan dificultades en la resolución de problemas, a pesar de no

manifestar dificultades para ejecutar las operaciones aritméticas implicadas en el problema. Esta

discrepancia entre la ejecución de operaciones y la resolución de problemas puede ser explicada por

diferentes factores: por las variables propias del problema, por el conocimiento conceptual necesario

para resolverlo, y también, por el tipo de estrategias que ponen en marcha para resolver el problema,

ya que se suelen saltar la comprensión y emplean estrategias más superficiales, como, la estrategia de

la palabra clave (recibir o conseguir se asocia a suma) (Hegarty, Mayer y Monk, 1995; Nesher y

Teubal, 1975; Verschaffel, De Corte y Pauwels, 1992). También pueden guiarse por los números que

aparecen en el problema para decidir la operación. Así, si los números son 78 y 54 se podría pensar en

una suma o una multiplicación, pero si son 78 y 3 la operación más probable sería la división,

infiriendo las operaciones a partir del tamaño de los números (Sowder, 1988). O bien seleccionar los

números y dejarse guiar por la operación más reciente enseñada en clase o simplemente ejecutar una

operación con la que uno se siente más competente. Incluso cuando los problemas introducen




información numérica irrelevante esta tiende a ser utilizada en las operaciones ejecutadas por los

estudiantes (Littlefield & Rieser, 1993).

El uso de las estrategias superficiales puede estar mediatizado por los materiales curriculares,

entre los que cabe destacar el libro de texto. Los problemas que aparecen en los libros tienden a ser

agrupados y formulados de tal forma que la utilización de estrategias superficiales puede llevar a una

ejecución correcta del problema. Usualmente, los enunciados de estos problemas tienen una intención

educativa y son situaciones creadas por los expertos para estimular el aprendizaje de los estudiantes o

evaluarlo (Gaigher, Rogan & Braun, 2007). Casi todos los problemas matemáticos se pueden resolver

directamente aplicando reglas, fórmulas y procedimientos mostrados por el profesor o dados en el

libro. Esto puede hacer pensar que el pensamiento matemático consiste en aprender, memorizar y

aplicar reglas, fórmulas y procedimientos (Lester, Garofalo & Kroll, 1989). Es importante interiorizar

determinados contenidos para hacer frente a la resolución de problemas.

Sin embargo, los problemas deben ser desafíos matemáticos que han de resultar atractivos,

capaces de focalizar la atención del alumnado en actividades de su interés. Serán abiertos y con

soluciones únicas o múltiples. Han de admitir distintas estrategias en la búsqueda de la solución, y

presentarse en distintos formatos (sólo texto, sólo gráficos, mixtos, manipulativos, orales, etc.).

También se ha de tener en consideración que en la resolución de problemas intervienen

procesos internos como esfuerzo, concentración, perseverancia, creatividad, autoconfianza,

autoconcepto, motivación. En este sentido, el constructivismo, de acuerdo con Ausubel (1976),

considera que una de las condiciones indispensables para que sea posible el aprendizaje significativo

es que el alumno manifieste una disposición para aprender el nuevo contenido y que dicha disposición

se revele en una manera profunda de encarar la tarea (Entwistle, 1998). Es decir, que la intención del

alumnado sea fundamentalmente comprender aquello que estudia y que para conseguir este objetivo

busque relacionar el nuevo contenido con aquello que ya sabe, perseverando en este intento hasta

conseguir un determinado tipo de comprensión.

Alsup (2005) comparó la instrucción tradicional y la constructivista en matemáticas. En su

estudio demuestra que la segunda ofrece ventajas para reducir la ansiedad hacia las matemáticas.

Pugalee (2001) investigó sobre la relación entre las matemáticas y la meta-cognición. Validó

que la escritura de los estudiantes sobre sus procesos matemáticos al solucionar problemas, muestra

evidencias de comportamientos meta-cognitivos. Los resultados sugieren la conveniencia de incluir la

escritura de los procesos como parte integral del plan de estudios de las matemáticas.

Se puede concluir que más que enseñar a los alumnos/as a resolver problemas, se trata de

enseñarles a pensar matemáticamente. Es decir, a que sean capaces de abstraer y aplicar ideas

matemáticas a un amplio rango de situaciones. Este es el principal objetivo del Proyecto Newton:

Matemáticas para la vida, desde 3º a 6º de primaria. El Proyecto surge tras analizar los resultados de

la evaluación de la competencia matemática en el alumnado canario (Evaluación General de

Diagnóstico 2009. Ministerio de Educación, 2010). En cuanto a la competencia matemática del

alumnado perteneciente a Educación Primaria, el promedio de España equivale a 500 puntos, mientras

que Canarias presenta una puntuación global correspondiente a 463 puntos, 37 por debajo de la media

del Estado. Además, los resultados muestran que el mayor porcentaje de alumnado de Canarias se

agrupa en los niveles de rendimiento más bajos (nivel menor o igual a 1 con un 26 por ciento) y en el

nivel intermedio bajo (nivel 2 con un 38 por ciento). Hay un porcentaje de alumnado muy escaso que

domina las habilidades y destrezas matemáticas con notable eficacia (nivel 5 con un 3 por ciento).

Asimismo, estos datos revelan que el alumnado de Educación Primaria presenta mayores problemas en



las tareas relacionadas con los procesos de conexión y de reflexión, resultando más sencillo reproducir

ejercicios ya practicados.

Las bases del Proyecto Newton Matemáticas para la vida, se fundamentan en las aportaciones

de Pólya (1945,1954) y de Schoenfeld (2010, 2013), los cuales remarcan que para entender una teoría,

se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza se centra en el proceso de

descubrimiento más que en el simplemente desarrollo apropiado de los ejercicios. Para involucrar a

sus estudiantes en la solución de problemas, sustentan su método en los siguientes cuatro pasos:

entender el problema, configurar un plan, ejecutar dicho plan y mirar hacia atrás y verificar el

resultado con la vida real.

En estos pasos se apoya el Proyecto Newton para el proceso de resolución de problemas,

considerando las siguientes fases:

Fase 1: Comprender, en este paso se busca y clasifica toda la información del problema. Para

ello se utilizan: datos, objetivos, relaciones y representaciones gráficas. En la acción formativa se le

explica al profesorado que lo importante de esta fase es que sus alumnos/as aprendan a sintetizar la

información, quedándose con lo esencial del problema.

Fase 2: Pensar, consiste en seleccionar estrategias. Estas son de tres tipos: Auxiliares, como la

simplificación y la analogía. Las básicas: modelización, organización de la información y ensayo y

error. Y las específicas: buscar patrones, eliminar, ir hacia atrás y generalizar. Estas estrategias son los

caminos que llevan a encontrar la solución.

Fase 3: Ejecutar las acciones, que las propias estrategias indican.

Fase 4: Responder, para ello, primero se comprueba, luego se analiza la solución y se elabora la

respuesta.

Estas cuatro fases son idénticas a las utilizadas por Polya o Schoenfeld, incluso por Guzmán

(2014) y otros profesores que han desarrollado métodos para la resolución de problemas. Sin embargo,

se presentan algunas diferencias que hacen el Proceso más cercano a los alumnos. Se incorpora un

grupo de estrategias extraídas de ideas procedentes del Shell Center for Mathematical Educaction y se

diferencian de las simples técnicas de trabajo utilizadas en otras propuestas. Se distingue así la

estrategia de organizar la información de las diversas técnicas que pueden ser utilizadas como parte

central de ella: la técnica partes-todo para problemas aritméticos, por ejemplo. Se remarca de manera

muy particular la primera fase del proceso, comprender, insistiendo en la idea de búsqueda de

información y su clasificación en datos, objetivo y relación, en especial de esta última, ya que su

conocimiento facilitará la elección de estrategia y la ejecución de la misma. Se insiste también en

asociar cada estrategia y cada técnica a una herramienta lógica. El aprendizaje de estas herramientas es

vital para el buen desarrollo del proceso.

Se establece una dinámica grupal para la resolución de los problemas en clase. Gran grupo en

los primeros aprendizajes, pasando después a pequeños grupos de trabajo colaborativo. El final del

aprendizaje del proceso se establece en el momento que los alumnos son capaces de atacar los

problemas de forma individual y manteniendo, sin embargo, las fases del proceso en los rastros que

deja en su cuaderno. El alumnado ha de expresar continuamente su pensamiento y justificar sus

decisiones. El profesor o la profesora escuchará atentamente y preguntará para que todos los

pensamientos de los alumnos salgan a flote. La última fase del proceso permite que cada equipo de

alumnos presente sus resultados y razonen sus argumentos resolutivos ante el resto de la clase, que

también participará de forma activa demandando respuestas a sus dudas o incomprensiones.




El Proyecto Newton también ofrece la posibilidad de aprender “acompañado”. Además de las

sesiones de formación, se realizan otras en el aula con la presencia activa del ponente y se estimula la

posibilidad de acompañarse ellos mismos en las sesiones habituales de trabajo de resolución de

problemas con los alumnos.

Aunque se da cada trimestre una batería de problemas que pueden utilizar con sus alumnos y

alumnas, se ofrece la posibilidad de estudiarlos y adaptarlos a las características de su alumnado y a

sus propios criterios. Los profesores y profesoras de un mismo centro o de centros cercanos deberán

reunirse con frecuencia para seleccionar los problemas a aplicar, resolverlos con diferentes estrategias

o adaptarlos, de manera que cuando se produzca su aplicación en la clase se tengan todas las

respuestas posibles a las dudas que nos puedan plantear los alumnos.

Además, el proyecto, se centra en la formación del profesorado, ya que en distintas

investigaciones se ha puesto de manifiesto que el factor más importante para asegurar aprendizajes

efectivos en el área de Matemáticas es la preparación de la clase por parte del profesor (Quintanilla,

Labarrere & Araya, 2000). La clase debe prepararse de modo que los estudiantes vayan construyendo

su propio conocimiento. El docente ha de actuar como orientador o guía. Es preciso que se motive y se

le proporcione al alumnado el material y los recursos necesarios para llegar al propósito esperado,

dejándoles la iniciativa a ellos.

En cuanto a los propósitos de esta investigación, por una parte, destacar que el objetivo general

consiste en evaluar el Proyecto Newton “Matemáticas para la vida” desde 3º a 6º de primaria en el

curso 2015-2016, ya que se ha evaluado durante los cuatro años anteriores (Consejo Escolar de

Canarias, 2015). Concretamente, se podrían agrupar los objetivos específicos en dos categorías:

Por un lado, los objetivos que coinciden con las evaluaciones anteriores de este proyecto

(Consejo Escolar de Canarias, 2015):

- Conocer la propuesta metodológica del proyecto.

- Analizar la satisfacción del profesorado con la acción formativa.

- Analizar el impacto de la acción formativa en los procesos de resolución de problemas del

alumnado.

Por otro lado, los nuevos objetivos que se incorporar en la presente evaluación:

- Analizar el impacto de la acción formativa en los procesos de resolución de problemas del

alumnado, dependiendo del tiempo que su profesorado lleve participando en el Proyecto.

- Analizar el impacto de la acción formativa en la adaptación escolar del alumnado.

2. Método

2.1. Participantes

El Proyecto Newton, para llevar a cabo la acción formativa, se divide en dos grupos de

formadores. Por un lado, seis imparten formación al profesorado de Infantil, 1º y 2º de Primaria. Esta

acción formativa se centra en el cálculo mental, el uso de materiales tangibles como regletas y el



fomento de competencias sociopersonales como la autonomía, la participación y la toma de

decisiones. Por otro lado, seis formadores se encargan de la acción formativa en la resolución de

problemas de los docentes desde 3º de Primaria a Secundaria. Concretamente, esta investigación se

centra en Educación Primaria (desde 3º a 6º).

Los centros que participan en el Proyecto, desde 3º a 6º de Primaria se encuentran en el nordeste

del Hierro y en las zonas del casco, del norte y del sur de Tenerife (Canarias, España).

Para llevar a cabo esta evaluación se toman los resultados de seis colegios. Estos, se distribuyen en

grupo experimental consolidado, casi-consolidado, nueva incorporación, y grupo control (ver tabla 1).

Grupo Frecuencia Porcentaje

Consolidado 76 17.4

Casi – consolidado 210 47.9

Nueva incorporación 63 14.4

Control 89 20.3

Total 438 100

Tabla 1. Frecuencia de los grupos participantes en la evaluación

En relación a la evaluación del Proyecto por parte del profesorado, participan 12 docentes, de

los cuales 10 son tutores y 2 no lo son (ver figura 1).

2.2. Acción formativa

En el proyecto se realizan acciones formativas a los docentes que imparten clases desde Infantil

a Secundaria. Concretamente nos centraremos en la acción formativa del profesorado de 3º a 6º de

Primaria.

Para conocer cómo se llevan a cabo las acciones formativas, partimos del Informe Ejecutivo

2012-2015 del Proyecto Newton, Matemáticas para la vida (Consejo Escolar de Canarias, 2015).




Además, se entrevista al formador principal, ya que es el que imparte mayor número de horas de

formación, y se realiza la observación de una sesión de formación.

La acción formativa consiste en una reunión mensual, es decir, tres reuniones por trimestre,

desarrolladas en horario de tarde con una duración aproximada de 3 horas, realizadas en un colegio

céntrico de la zona.

El material utilizado es, fundamentalmente, pizarra normal y/o digital, proyector y pantalla. En

algunas ocasiones, se utilizan recursos didácticos (regletas, geoplano, bloques lógicos) o materiales

reales para realizar modelizaciones.

La formación tiene como objeto el dominio práctico de los contenidos. Por ello, en estas

sesiones, por una parte, se plantea la tarea para realizar en el aula y se proporcionan los recursos

necesarios para ponerlas en prácticas. Además, se les pregunta si han resuelto los problemas en la

clase y se les anima a que comenten la dinámica llevada a cabo. Posteriormente, el formador invita a

identificar todas las alternativas posibles, haciendo especial hincapié en cómo debe orientar a su

alumnado en cada fase. Por otra parte, se aportan pautas al profesorado para buscar problemas

adecuados, adaptarlos a su grupo (nivel y edad de los alumnos), analizarlos y resolverlos. De este

modo, el profesorado podrá confeccionar una amplia batería de problemas, que tendrá a su

disposición. También se pone especial atención en la actitud del profesor. Este no debe dar respuestas,

sino incitar a su búsqueda. Debe estar atento al modo de trabajo de cada alumno y alumna,

interviniendo sólo cuando lo considere necesario para abrir un nuevo camino o para desatascar el ya

emprendido. Siempre estimulando, proponiendo nuevas preguntas que hagan avanzar el proceso,

dando positividad a todas las respuestas, pero pidiendo mayor concreción en la argumentación. Debe

preparar minuciosamente los problemas que va a presentar, no solo para conocer todas las respuestas

posibles y todos los caminos que conducen a ellas, sino también los posibles errores que se puedan

cometer y las vías que puede proponer para encarrilar el proceso.

Las sesiones formativas y el desarrollo de la actividad en el aula están apoyados por una

plataforma educativa Moodle, donde se resuelven las dudas y se ofertan nuevos problemas y

actividades para reforzar y evaluar el trabajo en el aula. Además, disponen de un curso preparatorio,

en el que se les facilitan vídeos de cómo llevar a cabo las fases y estrategias del proceso en el aula.

Una ventaja del Proyecto es que el profesorado va creciendo con el alumnado, ya que el primer

año, se imparten tres acciones formativas por trimestre. En cambio, en el segundo año, esta formación

es menos frecuente y el trabajo comienza a ser más autónomo. En el tercer año del proyecto esta

autonomía es aún más evidente, ya que la formación se hace una vez por trimestre, donde se les

facilitan 10 problemas por trimestre, graduando el nivel de dificultad a medida que avanza el curso.

Al profesorado se le pide que una vez a la semana dedique una sesión de Matemáticas a la

resolución de problemas, siguiendo la metodología trabajada en las acciones formativas. De este

modo, aunque no se trabaje en todas las sesiones de matemáticas la resolución de problemas, la

metodología del proyecto si se ve reflejada en el resto de sesiones, debido a que se desarrollan

habilidades, tales como, trabajo en equipo, participación, habilidades comunicativas, etc.

2.3. Evaluación de la acción formativa

Instrumentos

Las pruebas que se han empleado para obtener información sobre la valoración del profesorado,

los procesos de resolución de problemas y la adaptación escolar, son las siguientes:



Para la valoración del Proyecto por parte del profesorado que recibe la acción formativa se

emplea una escala tipo likert (1, muy bajo; 2, bajo; 3, alto; 4, muy alto), que recoge el grado de interés

y el aprovechamiento.

Para el registro de los Procesos en la Resolución de Problemas, a los alumnos se les presenta

un problema que deben resolver dejando el rastro de cómo han realizado el problema. Para ello se le

formulan preguntas como: ¿Cuáles son los datos que me dan? ¿Cuál de estas tres formas

(modelización, ensayo y error y organización de la información) crees que puede ayudarte para

resolver el problema? ¿Por qué has elegido esa forma?... Una vez realizados los ejercicios, se registra

la constatación o no (SI = 1; No = 0) tanto de los aspectos generales como de las fases de la resolución

de problemas (véase tablas 2 y 3).

Para la evaluación de la adaptación escolar se emplea el Test Autoevaluativo Multifactorial de

Adaptación Infantil (TAMAI) (Hernández, 1983). Dicha prueba consta de 175 proposiciones con las

que se evalúa la Inadaptación Personal, Social, Escolar, Familiar y Actitudes Educadoras de los

padres. Sin embargo, para la investigación solo se emplea la escala de adaptación escolar compuesta

por 20 items en negativo y 11 en positivo. Su estructura factorial queda conformada, por un lado, por

el factor de aversión a la instrucción (actitud y comportamiento negativo hacia el aprendizaje), que a

su vez integra a los subfactores: hipolaboriosidad (baja aplicación y rendimiento), hipomotivación

(baja motivación o interés por los contenidos escolares) y la aversión al profesorado (actitud negativa

hacia los profesores en general). Por otro lado, por el factor de indisciplina (mal comportamiento en

clase). En adelante, se citarán los diferentes factores utilizando el término equivalente en positivo:

adaptación escolar, actitud hacia la instrucción, laboriosidad, motivación, actitud hacia el profesorado

y disciplina. Sin bien, en la anotación numérica habrá de tener en cuenta que menor puntuación refleja

mejor adaptación.

Diseño

Para analizar la satisfacción del profesorado con la acción formativa se realiza un diseño

descriptivo.

Para analizar el impacto de la acción formativa en los procesos de resolución de problemas y en

la adaptación escolar del alumnado, se lleva a cabo un estudio transversal, ya que la valoración se hace

en un único momento temporal. El diseño es cuasiexperimental, debido a que no se asignan

aleatoriamente los participantes a las condiciones experimentales (Montero & León, 2007). Se han

considerado tres grupos experimentales: consolidado (alumnado cuyo profesorado lleva cuatro años

implicado en el proyecto), casi-consolidado (dos o tres años) y nueva incorporación (se incorporó en el

presente curso). Se realiza un contraste entre los diferentes grupos experimentales, además de con un

grupo control, donde no se ha llevado a cabo la acción formativa. Dichos análisis se realizan tanto en

la evaluación de los procesos de resolución de problemas como en la autovaloración de la adaptación

escolar. Por lo tanto, la variable independiente es el grupo al que se pertenece (consolidado, casi-

consolidado, nueva incorporación y control). Las variables dependientes son en cuanto al proceso de

resolución de problemas: aspectos generales, comprender, pensar, ejecutar, responder y total de los

procesos. En cuanto a la adaptación escolar: actitud hacia la instrucción, laboriosidad, motivación,

actitud hacia el profesorado, disciplina y adaptación escolar.

Procedimiento

La cumplimentación de las pruebas por el alumnado se realizó en tres semanas desde el 25 de

abril hasta el 9 de mayo. Para ello, se le pidió colaboración al profesorado para realizar el paso de las

mismas en unas condiciones óptimas. Primero, se separaron las mesas, a continuación, se les explicó




en qué consistía la tarea: en primer lugar, resolver un problema y, en segundo lugar, responder al

cuestionario sobre su actitud hacia la escuela.

Al profesorado se le solicitó que cumplimentase el cuestionario en la última sesión de

formación.

Análisis de datos

Para analizar la valuación del profesorado se realiza un análisis de frecuencias de las variables

interés y aprovechamiento.

Para analizar el efecto de la acción formativa en el alumnado se realiza un Análisis de Varianzas

(ANOVA) entre los grupos experimentales y el grupo control, tanto en las variables de procesos de

resolución de problemas como de adaptación escolar.

Todos los análisis se llevan a cabo con el programa estadístico SPSS22.

3. Resultados

3.1. Valoración del profesorado

El 100 por ciento del profesorado valora como alto (50 %) o muy alto (50 %) el grado de interés

de la acción formativa. En el nivel de aprovechamiento se observan los siguientes porcentajes, 50%

alto, 25% muy alto y 25% bajo (ver figura 2).

3.2. Efecto de la acción formativa en el alumnado

Procesos implicados en la resolución de problemas

En cuanto al análisis de los procesos de resolución de problemas, se pueden apreciar diferencias

significativas entre los grupos en todos los procesos (ver tabla 2 y figura 3). Al observar las medias se

comprueba que se da un desarrollo gradual, es decir, la consolidación de los procesos en el alumnado

aumenta a medida que el profesorado lleva más tiempo implicado en la acción formativa.



En relación al total de procesos, se aprecian diferencias significativas (p < .001) respecto al

grupo control en el grupo experimental consolidado y en el experimental casi-consolidado. Además,

hay diferencias entre el experimental casi-consolidado y el experimental consolidado F (3) = 28.842 p

≤ .019. En cambio, esta discrepancia no es tan destacada entre el grupo de nueva incorporación y el

control.

En cuanto a los aspectos generales, resaltar que hay diferencias significativas entre los grupos,

como se puede apreciar al observar las medias. Las principales discrepancias se observan en el grupo

control F (3) = 24.231p ≤ .000, en relación con el consolidado y el casi-consolidado (ver tabla 3). Sin

embargo, no se encuentran diferencias significativas en este proceso entre el grupo control y el

experimental de nueva incorporación F (3) = 24.231p ≥ .105

Respecto a la fase de comprender, hay diferencias significativas entre los grupos (p < .001).

Resaltar que las diferencias entre el experimental consolidado y el casi-consolidado, solo se dan en la

estrategia “define bien la relación”, la cual también es diferente en el control F (3) = 19.964 p ≤ .000.

El grupo control además se diferencia del consolidado y el casi-consolidado en el resto de variables F

(3) = 28.174 p ≤ .000.

En relación a la fase de pensar, se aprecian diferencias menores que en el resto de procesos F (3)

= 2.941 p ≤ .033 Sin embargo las discrepancias siguen la misma dirección, puntuando el grupo

consolidado mayor que el control. Estas diferencias solo se establecen entre el grupo control y el

experimental consolidado F (3) = 2.941 p ≤ .011

También, existen diferencias significativas entre los grupos respecto a la fase de ejecutar. En las

variables “diseña un diagrama adecuado a la estrategia”, “es correcto”, “sabe utilizarlo” se establecen

discrepancias entre el grupo experimental consolidado y los otros tres grupos, siendo las tres

significativas. En esta fase tampoco hay diferencias significativas entre el grupo control y el

experimental de nueva incorporación.

En cuanto a la fase de resultados, el desajuste se produce en el grupo control y el experimental

de nueva incorporación respecto al experimental consolidado, en ambos casos F (3) = 28.842 p ≤ .000

Así mismo, resaltar que al comparar el grupo control y el experimental de nueva incorporación no se

establecen diferencias F (3) = 28.842 p ≥ .989.

Fase Consolidado Casi-

Consolidado

Nueva

incorporación Control

Significación

General Múltiple

Aspectos

generales

.61 .61 .43 .34 .000***

(1) .000***

(2) .000*** DT (.29) (.28) (.28) (.27)

Comprender .54 .44 .31 .21

.000***

(1) .000***

(2) .000***

(3) .038* DT (.24) (.27) (.25) (.24)

Pensar .37 .27 .30 .17

.033* DT (.49) (.44) (.46) (.38)

Ejecutar .66 .55 .44 .33

.000*** (1) .000***

(2) .000*** DT (.27) (.24) (.29) (.26)

Responder .45 .40 .22 .23

.000*** (1) .000***

(2) .000*** DT (.32) (.30) (.24) (.22)

Total .57 .50 .36 .32

.000*** (1) .000***

(2) .000*** DT (.21) (.19) (.23) (.19)

p ≤ .05 (*), p ≤ .01 (**), p ≤ .001 (***)

Significación múltiple: (1) Consolidado vs. control; (2) Casi-consolidado vs. control; (3) Nueva incorporación vs. control

Tabla 2. Media de los procesos de resolución de problemas




1 La tabla recoge los siguientes valores estadísticos: Media ( ), valor obtenido al sumar todos los resultados y

dividir entre el número total de alumnos; Desviación Típica (DT), medida del grado de dispersión de los datos

con respecto a la media; Significación (p), cuanto menor sea su valor, más fuerte será la evidencia de que la

diferencia no se debe a una mera coincidencia.

-------------------------------------------------

colocar tabla 3 aproximadamente aquí

-------------------------------------------------

Escala de adaptación escolar

Se registran diferencias significativas en todos los factores de adaptación escolar, excepto en la

actitud hacia el profesor y la motivación. Aunque en este último sí se registra una tendencia en la

misma dirección que en el resto de factores (ver tabla 4 y figura 4). Concretamente en la puntuación

global de adaptación escolar se observan diferencias significativas del grupo control en relación al

consolidado y al casi-consolidado, en ambos casos F (3) = 7.962 p ≤ .01. Además, no se dan

diferencias entre estos dos grupos F (3) = 7.962 p ≥ .945.

Respecto a la actitud hacia la instrucción, se dan discrepancias significativas entre los grupos.

Concretamente se establecen diferencias entre el grupo control y el grupo experimental consolidado F

(3) = 5.834 p ≤ .008. Dicha diferencia también se da entre el grupo control y el casi-consolidado F (3)

= 5.834 p ≤ .008. Por el contrario, no hay discrepancias entre el control y el de nueva incorporación F

(3) = 5.834 p ≥ .997.

En cuanto al factor de laboriosidad también se registran diferencias significativas entre los

grupos F (3) = 9.922 p ≤ .000. Destaca la discrepancia que se establece entre el grupo experimental

consolidado y el casi-consolidado respecto al control.



En relación a la motivación por la escuela no hay diferencias significativas. No obstante, se

observa una tendencia en la misma dirección que los factores anteriores.

Respecto a la actitud hacia el profesorado, es la única variable en la que no existen diferencias

significativas, ni tendencia, entre los grupos.

En cuanto a la disciplina se puede observar, que existen diferencias significativas entre los

grupos en este factor. Esta discrepancia se da en el grupo experimental de nueva incorporación (p <

.001) y el control (p < .001) en relación con el grupo experimental consolidado. (p<.001) Esto también

se produce entre el grupo casi-consolidado y el control.


Consolidado

Nueva


Significación

General Múltiple

ADAPTACIÓN

ESCOLAR 3.03 3.31 5.65 5.48

.000*** (1) .002**

(2) .002** DT (4.08) (3.45) (4.91) (5.64)

Actitud hacia la

instrucción 2.49 2.70 4.30 4.20

.001** (1) .008**

(2) .008** DT (3.35) (2.96) (3.92) (4.40)

Laboriosidad .57 .68 1.33 1.56

.000*** (1) .000***

(2) .000*** DT (1.07) (1.12) (1.69) (1.86)

Motivación 1.60 1.72 1.72 2.22

.062 DT (2.04) (2.14) (2.14) (2.39)

Actitud hacia el

profesorado .32 .30 .35 .42

.327 DT (.84) (.65) (.91) (1.04)

Disciplina .53 .62 1.35 1.28

.000*** (1) .001***

(2) .001*** DT (.98) (1.08) (1.65) (1.70)

p ≤ .05 (*), p ≤ .01 (**), p ≤ .001 (***)


Tabla 4. Medias y desviaciones típicas de cada grupo en cada factor de adaptación escolar.

Figura 4. Medidas de la adaptación escolar




4. Discusión y conclusiones

Los resultados confirman la eficacia de la acción formativa implementada en el “Proyecto

Newton. Matemáticas para la Vida”. Se constata una valoración positiva sobre el interés y la utilidad

que ésta ha despertado en el profesorado formado. Además, se aprecian mejoras significativas en los

procesos de resolución de problemas y en la adaptación escolar de su alumnado. Mejoras que se

incrementan a medida que el profesorado lleva más tiempo implicado con el Proyecto.

Concretamente, en cuanto a la valoración de la acción formativa por el profesorado destaca el

alto consenso en considerar ésta con un alto o muy alto nivel de interés y aprovechamiento, lo cual

ratifica los resultados obtenidos en evaluaciones anteriores (Consejo Escolar de Canarias, 2015). Cabe

hacer una distinción entre el interés y el aprovechamiento. El 100% del profesorado indica que la

acción formativa le ha despertado un interés entre alto o muy alto. Sin embargo, la cifra se reduce al

75% del profesorado que estima el aprovechamiento como alto o muy alto. En este sentido, hay que

precisar que este 25% que puntúa como bajo son profesores no tutores, los cuales tienen menos

oportunidad de llevarlo a la práctica.

En cuanto a la evaluación del efecto de la acción formativa en el alumnado, se constata que éste

realiza más adecuadamente los procesos de resolución de problemas a medida que su profesorado

lleva más tiempo implicado con el Proyecto. Las diferencias son especialmente significativas a favor

del alumnado cuyo profesorado lleva más de un curso académico implicado en el mismo.

Como datos especialmente llamativos, destaquemos que cerca del 60 por ciento de los alumnos

y alumnas, cuyo profesorado lleva más de un curso académico en el Proyecto, encuentran la respuesta

correcta. En el grupo de nueva incorporación menos, el 25 por ciento. Y en el grupo control, solo el 18

por ciento. Sin embargo, solo el 38 por ciento del grupo consolidado, el 36 por ciento del casi-

consolidado, el 25 por ciento del de nueva incorporación y, tan solo, el 12 por ciento del control logra

expresar por escrito de forma clara, coherente y secuenciada las justificaciones de sus decisiones.

Estos resultados mantienen cierta consonancia con los obtenidos en otros estudios (Hegarty, Mayer &

Monk, 1995; Nesher & Teubal, 1975; Verschaffel, De Corte & Pauwels, 1992) donde se observa que

muchos alumnos y alumnas presentan dificultades para resolver problemas, a pesar de no presentar

dificultades para ejecutar las operaciones aritméticas implicadas en él. O con el estudio de Vicente,

Dooren & Verschaffel (2008) que resalta la dificultad del alumno en la comprensión del problema, ya

que una vez han elegido la operación a realizar, tienden a aplicarla automáticamente y el resultado

obtenido entienden que es la respuesta al problema, sin verificar que tiene sentido en relación a la

pregunta del problema.

Los alumnos del grupo control tienen un cierto conocimiento de la resolución de problemas

tradicional. Esto explica que alcancen niveles adecuados en la mayoría de las estrategias de ejecución.

Este grupo selecciona bien algunos elementos, aunque luego no los utilizan o no saben explicar por

qué hicieron esa elección. Lo que les diferencia de los alumnos del Proyecto reside más en las

justificaciones que estos sí hacen y la búsqueda de diagramas apropiados que tampoco realizan.

En cuanto a la adaptación escolar, también se constata una autopercepción del alumnado de

mejor adaptación a medida que su profesorado lleva más tiempo implicado con el Proyecto. Esto se

observa, particularmente, en que este alumnado estima que su aplicación hacia el estudio, su

rendimiento y su comportamiento en clase es mejor. De nuevo, las diferencias son especialmente

significativas a favor del alumnado cuyo profesorado lleva más de un curso académico implicado en el

mismo. Estos datos podrían corroborar las conclusiones a las que llega Entwistle (1998), en las que

expone que el aprendizaje significativo requiere de una actividad cognitiva compleja para elegir los

esquemas de conocimiento previos convenientes, aplicarlos a la nueva situación, revisarlos y



modificarlos, acceder a su reestructuración, evaluarlo, etc. Para llevar a cabo este aprendizaje, el

alumno debe estar motivado porque, aunque es más útil y gratificante, requiere de mayor esfuerzo y

que en ocasiones las experiencias educativas previas de los alumnos les han enseñado que resulta

suficiente un aprendizaje superficial.

El argumento anterior, podría condensar en cierta medida algunas de las principales

conclusiones de nuestra investigación. Efectivamente, el “Proyecto Newton. Matemáticas para la

vida” hace hincapié en el aprendizaje significativo, el cual necesita un tiempo para consolidarse, pero

tras él, los resultados parecen avalar avances importantes en la capacidad de resolución de problemas,

al tiempo que una actitud más favorable hacia el aprendizaje, en nuestros alumnos y alumnas.

Con los alumnos del Proyecto Newton se realiza en muy poco tiempo y de forma muy sutil, un

cambio en la manera de afrontar el resto de aprendizajes de la clase de matemáticas. Poco a poco va

incorporando a su hacer diario muchas de las técnicas que practica en la resolución de problemas,

convirtiéndose en un alumno más interesado, más investigador y más crítico con su propio

aprendizaje. El profesorado también observa con agrado que sus alumnos y alumnas quieren “más

matemáticas” y “más tareas del tipo Proyecto Newton” porque le resultan interesantes las tareas

repetitivas.

Reconocimiento

El presente estudio se realiza en el marco del Acuerdo de Colaboración del Consejo Escolar de

Canarias con la Universidad de La Laguna. Se agradece la participación y disponibilidad del

profesorado, alumnado y Centros, tanto los implicados en el Proyecto como el grupo control o de

contraste.

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Atteneri López García. Graduada en Psicología en la Universidad de La Laguna, Campus de Guajara,

s/n. 38205 La Laguna, Santa Cruz de Tenerife.


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http://www.oecd.org/pisa/

http://mathshell.org/




Ramón Aciego de Mendoza Lugo. Profesor Titular de Psicología Evolutiva y de la Educación,

Universidad de La Laguna, Campus de Guajara, s/n. 38205 La Laguna, Santa Cruz de Tenerife. Entre sus

temas de investigación, actualmente centra su atención en: Resolución de problemas matemáticos:

procesos psicológicos e implicaciones instruccionales; Ajedrez como recurso educativo; Estrategias y

programas para el crecimiento personal y desarrollo de valores en adolescentes.


Manuel García-Déniz. Maestro de Primera Enseñanza, especialista en matemáticas y formador de

formadores. E-mail: [email protected]. Tfno.: 922923148. Consejo Escolar de Canarias, C/

Consistorio, 20. 38201 La Laguna, Santa Cruz de Tenerife. Fax: 922923159. Ha sido Secretario General

de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas “Isaac Newton” y Vicepresidente de la Asociación

Europea de Enseñantes (AEDE-Sección Canaria). Autor de dos secciones fijas en la revista Números

sobre resolución de problemas, uso didáctico del juego y didáctica de la geometría

Domingo García-Quintero. Maestro, licenciado en Pedagogía e Inspector de Educación.


Eladio Ramos. Doctor en Psicología, coordinador técnico educativo del Consejo Escolar de Canarias y

profesor de la UNED. Ha impartido docencia en la Universidad, en Primaria y en Adultos y ha sido

orientador en distritos educativos de Tenerife. Su formación y experiencia como docente e investigador se

ha centrado en inteligencia emocional, clima escolar, competencias, convivencia, educación en valores y

atención a la diversidad cultural.


ANEXO


Consolidado

Nueva


Significación

General Múltiple

ASPECTOS

GENERALES

.61 .61 .43 .34 .000***

(1) .000***

(2) .000*** DT (.29) (.28) (.28) (.27) Cumplimenta los

cuatro pasos del

proceso en el

orden correcto.

.89 .88 .69 .72 .003**

(1) .006**

(2) .002** DT (.309) (.330) (.408) (.452)

Encuentra la

respuesta correcta

.57 .59 .25 .18 .000***

(1) .000***

(2) .000*** DT (.499) (.494) (.439) (.386) Expresa por

escrito de forma

clara coherente y

secuenciada, las

justificaciones de

sus decisiones

.38 .36 .25 .12

.000*** (1) .001***

(2) .000***

DT (.489) (.482) (.439) (.331)

COMPRENDER .54 .44 .31 .21

.000*** (1) .000***

(2) .000***

(3) .038* DT (.24) (.27) (.25) (.24)

Localiza y

clasifica los datos

y el objetivo

.80 .79 .63 .39 .000***

(1) .000***

(2) .000***

(3) .002** DT (.401) (.408) (.485) .491

Define bien la

relación .09 .20 .06 .02

.000*** (2) .000***

DT (.291) (.397) (.246) (.149)

Indica ya algún .71 .34 .24 .21 .000*** (1) .000***







tipo de diagrama DT (.457) (.474) (.429) (.412)

PENSAR .37 .27 .30 .17

.033* DT (.49) (.44) (.46) (.38)

Justifica

adecuadamente su

estrategia

.37 .27 .30 .17 .033*

DT (.486) (.443) (.463) (.376)

EJECUTAR .66 .55 .44 .33

.000*** (1) .000***

(2) .000*** DT (.27) (.24) (.29) (.26) Diseña un

diagrama

adecuado a la

estrategia

.34 .10 .13 .07 .000*** (1) .000***

(.478) (.301) (.336) (.252)

Es correcto .49 .26 .16 .13

.000*** (1) .000***

(2) .049* DT (.503) (.441) (.368) (.343)

Sabe utilizarlo .53 .30 .19 .17

.000*** (1) .000***

(2) .042* DT (.503) (.461) (.396) (.376) Utiliza

conocimientos

matemáticos

adecuadamente

.72 .86 .62 .72 .000*** (2) .023*

DT (.450) (.351) (.490) (.452)

Es organizado .92 .89 .81 .73

.001*** (1) .002**

(2) .001*** DT (.271) (.313) (.396) (.446)

Llega a una

solución

.95 .90 .71 .73 .000***

(1) .000***

(2) .000*** DT (.225) (.294) (.455) (.446)

RESPONDER .45 .40 .22 .23

.000*** (1) .000***

(2) .000*** DT (.32) (.30) (.24) (.22)

Comprueba la

solución

.20 .10 .05 .00 .000***

(1) .000***

(2) .01** DT (.401) (.307) (.215) (.000)

Hace un análisis

de la solución con

respecto al

contexto

.43 .40 .21 .31

.014*

DT (.499) (.491) (.408) (.467)

Elabora la

respuesta

.71 .69 .40 .37 .000***

(1) .000***

(2) .000*** DT (.457) (.465) (.493) (.486)

p ≤ 0.05 (*), p ≤ 0.01 (**), p ≤ 0.001 (***)


Tabla 5. Media de los procesos de resolución de problemas




ISSN: 1887-1984


Educación matemática infantil desde la perspectiva del conexionismo:

Análisis de una práctica educativa de aula

María Luisa Novo (Universidad de Valladolid. España)

Ainhoa Berciano (Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. España)

Ángel Alsina (Universidad de Girona. España)


Fecha de aceptación: 02 de mayo de 2017

Resumen En este artículo se analizan las características de una actividad diseñada desde la

perspectiva del conexionismo y su nivel de eficacia para desarrollar el pensamiento

matemático de los niños de las primeras edades. Desde este enfoque, se sustituye un

desarrollo lineal de los contenidos por un desarrollo global, de manera que en una misma

actividad se trabajan varios conceptos a la vez. Para realizar el análisis se presenta una

práctica docente realizada con 23 alumnos de 3 años. El análisis realizado ha permitido

observar la presencia de conexiones conceptuales (entre conceptos), prácticas (con la

vida cotidiana) y docentes (con otras disciplinas). Se concluye que la

enseñanza‐aprendizaje de las matemáticas en Educación Infantil desde la perspectiva del

conexionismo contribuye a la comprensión profunda del conocimiento.

Palabras clave Educación matemática, práctica educativa, Educación Infantil, Conexionismo.

Title Early Childhood Education from the perspective of connectionism education.

Analysis of an educational practice classroom.

Abstract This article describes the characteristics of an activity designed from the perspective of

connectionism and its effectiveness to develop children’s mathematical thinking at the

earliest ages. From this perspective, a linear development of contents is substituted by a

global development, so that in the same activity several concepts appear at once. For the

analysis, a teaching practice carried out with 23 students of three years is presented. The

analysis allowed to observe the presence of conceptual connections (between concepts),

practical connections (with daily life) and teaching connections (with other disciplines).

We conclude that the teaching and learning of mathematics in early childhood education

from the perspective of connectionism contributes to deeper understanding of knowledge.

Keywords Mathematics education, educational practice, Early Childhood Education,

Connectionism.

1. Introducción

En la etapa de Educación Infantil los niños deberían interpretar el conocimiento como un todo y

no como disciplinas desconectadas unas de otras. El currículum español vigente refuerza esta idea de

enseñanza fundamentada en las conexiones entre los distintos contenidos:

Educación matemática infantil desde la perspectiva del conexionismo: Análisis de una práctica

educativa de aula M. L. Novo, A. Berciano y Á. Alsina


“Los contenidos de una área adquieren sentido desde la complementariedad con el resto

de las áreas, y tendrán que interpretarse en las propuestas didácticas desde la globalidad

de la acción y de los aprendizajes. Así, por ejemplo, el entorno no puede ser comprendido

sin la utilización de los diferentes lenguajes y del mismo modo, la realización de

desplazamientos orientados tiene que hacerse desde el conocimiento del propio cuerpo y

de su ubicación espacial” (ORDEN ECI/3960/2007, de 19 de diciembre, p. 1023).

Peña, Novo, Delgado y Marqués (2015) presentan un trabajo desde este enfoque en el que se

escoge la ciudad como un contexto de aprendizaje para integrar muchos contenidos y construir

conexiones desde las ciencias experimentales, la educación artística y las matemáticas, realizando

distintas “miradas” a una realidad que les resulta familiar.

En el ámbito de la educación matemática infantil, diversos autores han señalado la necesidad de

aprender matemáticas de forma globalizada a partir de contextos significativos para los niños de las

primeras edades: explorando el entorno, jugando, tocando, cantando, contando cuentos, haciendo

dramatizaciones, etc. para ir descubriendo progresivamente el espacio, los números, las medidas…

(Saá, 2002; Alsina, 2011; Marín, 2013; entre otros). De esta forma, los niños llegan a apreciar las

matemáticas porque las observan en su alrededor, las practican, juegan con ellas, permitiendo que en

la escuela se aprenda lo que los niños saben de modo intuitivo y adquieran nuevos conocimientos a

través de actividades matemáticas más eficaces.

Este planteamiento metodológico implica que el pensamiento matemático no se asocie a un

conocimiento ajeno a la realidad; sino que se considere como una capacidad del ser humano para

tomar decisiones según ciertas reglas y métodos estructurados y así poder adaptarse a un entorno que

cambia continuamente. Para tal fin, el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados

Unidos (NCTM, 2000) propone trabajar los contenidos matemáticos a través de los procesos

matemáticos de resolución de problemas, razonamiento y prueba, comunicación, conexiones y

representación, que deben formar parte de la educación integral de los niños. En relación a las

conexiones, se subraya que:

Los programas de enseñanza de todas las etapas deberían capacitar a los estudiantes para:

reconocer y usar las conexiones entre ideas matemáticas; comprender cómo las ideas matemáticas

se interconectan y construyen unas sobre otras para producir un todo coherente; reconocer y

aplicar las matemáticas en contextos no matemáticos. (NCTM, p.68).

En este sentido, parece necesario sustituir prácticas docentes tradicionales que son poco

beneficiosas para fomentar el aprendizaje considerando las conexiones. Los Principios para la Acción

(NCTM, 2015 pp.2-3) se hacen cargo e identifican esas prácticas obsoletas, destacando que, en

muchas ocasiones, “el foco está puesto en el aprendizaje de procedimientos sin ninguna conexión con

el significado, comprensión o las aplicaciones que requieren esos procedimientos”.

Desde la Educación Matemática Realista (EMR) se preconiza también la visión de la enseñanza

de las matemáticas centrada en las conexiones. Por esta razón, Freudenthal (1991) plantea que uno de

los seis principios de la EMR es, precisamente, el principio de interconexión. Dicho principio subraya

la necesidad de considerar las relaciones que existen entre los diferentes bloques de contenido

matemático (números, geometría, medida…), en lugar de interpretarlos de forma aislada.

Considerando los fundamentos anteriores, el objetivo de este trabajo es presentar una actividad

que ha sido diseñada desde la perspectiva del conexionismo. De forma más concreta, se establecen las

características que debe tener una actividad diseñada desde esta perspectiva y se analiza su eficacia

para desarrollar el pensamiento matemático de los niños de las primeras edades.





2. Un acercamiento al Conexionismo

A lo largo de la historia han surgido distintos modelos de aprendizaje, teorías que brindan

marcos de referencia para dar sentido a las observaciones ambientales, que sirven como puente entre la

investigación y la realidad educativa. Cada modelo tiene sus características y su explicación para los

distintos procesos que ayudan a aprender al ser humano, y que se han aplicado y se aplican en el

ámbito educativo. Para cualquier profesional que se dedique a la educación, y en concreto a la

educación matemática, es evidente que puede desarrollar mejor su trabajo si es consciente de los

distintos marcos de aprendizaje.

En este artículo se asume, como marco de aprendizaje, el conexionismo, que puede situarse

como un nuevo puente entre las llamadas ciencias cognitivas y las neurociencias (Caño y Luque,

1995). En la Figura 1 se puede percibir que existen características que comparten el conexionismo y el

cognitivismo y también se muestra en qué se diferencian.

Figura 1. Semejanzas y diferencias entre conexionismo y cognitivismo (Novo, 2015, p.85)

La diferencia más importante entre el conexionismo y el cognitivismo es que en el

conexionismo se deja de lado un procesamiento lineal de la información percibida (propio del

cognitivismo) y se sustituye por procesamientos múltiples, destacando la importancia de las relaciones

entre los elementos percibidos. Este procesamiento múltiple lleva a percibir la adquisición del

conocimiento como una red neuronal interconectada, en la que cada conexión se podría concebir como

un canal con varias direcciones. Según Crespo (2007) las entradas y las iteraciones que sean necesarias

producirán diferentes salidas, lo que permite restablecer progresivamente las relaciones conceptuales.

Los procesos que suelen aparecer en los modelos conexionistas, siguiendo a McLeod, PlunKeett

y Rolls, (1998), son cinco:

1. Las neuronas se entienden como elementos interconectados cuya información se distribuye en

paralelo. Admiten variaciones de los datos recibidos e interactúan con las demás neuronas.




2. Las neuronas son las encargadas de transmitir los datos de unas a otras para conseguir ofrecer

un resultado que surge de la serie de “entradas” recibidas. Algo parecido sucede en las redes

conexionistas: se pone en marcha un estado de activación en las unidades de procesamiento como

resultado de las percepciones recibidas que se va a propagar, posteriormente, a otras unidades. La base

del conocimiento está en esa masa cambiante de conexiones (Canseco, 2007).

3. El cerebro está organizado en diversas capas. Las neuronas están distribuidas en estratos

independientes. Las informaciones recibidas se van transmitiendo de una capa a la siguiente y entre

varias. La estructura de las redes conexionistas suele reflejar esta misma organización.

4. La fuerza de conexión de las neuronas es variable. Según el peso y la fuerza de conexión de

las neuronas así serán los cambios producidos, las relaciones entre las distintas neuronas han de ser

eficaces para obtener un potencial de acción que se siga propagando. En las redes conexionistas existe

una relación multiplicativa entre la respuesta de salida de una unidad emisora y la fuerza de conexión

entre las unidades emisora y receptora.

5. La fuerza de conexión provoca el aprendizaje. Las neuronas reciben continuamente estímulos

del exterior que se van procesando y modificando. Los cambios que se van produciendo son la base de

la memoria y el aprendizaje. En las redes conexionistas, el aprendizaje consiste en cambios de los

pesos de las conexiones entre las unidades. Estos cambios se producen a causa de las diversas

percepciones, que siguiendo determinados mecanismos producen las distintas respuestas.

Según Cobos (2005), la conclusión es que la información recibida se codifica a través de las

neuronas de forma distribuida, ya que se necesitan varias neuronas para que seamos capaces de

representar un objeto. Además, esas neuronas sirven para formar parte de la representación de otros

objetos. De alguna manera, todas las redes conexionistas funcionan de forma similar ya que su

arquitectura consiste en el modo en que sus unidades actúan y en la estructura que presenta la red.

Siemens (2004), por otra parte, menciona que la capacidad de conectar, asociar y recrear son las

señas de identidad del conexionismo. Además, el aprendizaje se concibe como un procedimiento para

conectar diversas informaciones. La facultad de seguir aprendiendo es más importante que lo que ya se

domina y es necesario impulsar las conexiones para favorecer el aprendizaje duradero. La competencia

para percibir las conexiones entre diversos ámbitos, ideas y conceptos es primordial.

El resultado más importante en el conexionismo es, pues, la manera de procesar la información,

destacando la importancia de las conexiones entre los objetos observados que crean una red neuronal

interconectada. Así, a pesar de que no se puede trabajar directamente con las neuronas desde la

enseñanza experimental, se puede tomar el modelo conexionista como inspiración en el análisis del

aprendizaje de los conceptos matemáticos en Educación Infantil y como modelo de enseñanza. En este

sentido, Devlin (2002) señala que las matemáticas tienen todavía que abrir muchas “puertas”. Para este

autor, casi todos los aspectos de nuestra vida de alguna manera están conectados con ellas, ya que sus

distintos niveles de abstracción son la esencia primaria del pensamiento, de la comunicación, del

cálculo, de la sociedad y de la vida.

3. Conexionismo y educación matemática infantil

Novo (2015), en el marco de una tesis doctoral que analiza los procesos de enseñanza-

aprendizaje de las matemáticas en educación infantil desde la perspectiva del conexionismo, considera

diversos aspectos para poder llevar a cabo prácticas matemáticas desde esta perspectiva. Para esta





autora, la integración neuronal en paralelo sugiere que la manera en la que han de trabajar los niños al

realizar sus actividades no es secuencial, sino que, para ser capaces de evocar los conceptos

matemáticos, necesitan trabajarlos de distintas maneras (tocando los materiales, viéndolos,

oyéndolos,…), pero no aisladamente, sino de forma conectada.

Desde este punto de vista, las percepciones son fundamentales: del mundo exterior llegan

diferentes estímulos (visuales, sonoros, táctiles, olfativos,…) que son fundamentales para atraer la

atención del niño y que no siempre se interpretan de la misma manera. El aprendizaje juega un papel

muy importante en la interpretación que se da a esas sensaciones. Lovell (1999, pp. 25-26) señaló que:

“los conceptos parecen proceder de las percepciones, del contacto real con objetos y situaciones

vitales, de experiencias sufridas y de distintas clases de acciones realizadas.”

Desde la perspectiva del conexionismo, pues, así como las informaciones de las capas

cerebrales van transmitiéndose de una capa a la siguiente, los conceptos matemáticos se sustentan unos

sobre otros pasando, poco a poco, de los más sencillos a los más complicados, en la línea de las

jerarquías de aprendizaje que en su momento planteó Gagné (1970), o las trayectorias de aprendizaje

que sugieren Sarama y Clemens (2009). En este sentido, según Rumelhart y McClelland (1992, p.

304) “cada huella de memoria está distribuida en muchas conexiones diferentes y cada conexión

interviene en muchas huellas de conexión distintas”.

Desde este marco, los conceptos matemáticos, acciones o relaciones entre objetos matemáticos

y cotidianos se conciben como pequeñas “unidades de aprendizaje” denominadas “neuronas” que

adquiere el niño en su día a día. A este respecto, es importante aclarar que las “neuronas” no han de

entenderse como elementos aislados, sino que están dotadas de la plasticidad suficiente para

evolucionar gracias a interactuar con otras según la fase de aprendizaje en la que nos encontremos. A

modo de ejemplo, si como “unidad de aprendizaje” consideramos el conteo, es claro que su tamaño,

pensado como “neurona”, aumentará según el niño vaya aprendiendo una cantidad mayor de números.

Igualmente, la adquisición de información nueva dentro de la “unidad de aprendizaje conteo”

proporciona al niño una serie de estrategias y habilidades que hasta ahora no poseía, dando lugar a

conexiones nuevas, tanto a la hora de identificar colecciones, como representaciones simbólicas del

cardinal de los mismos o realizar primeras tareas de ordenación o correspondencia término a término

entre colecciones.

Así, pues, el enfoque del conexionismo recuerda a un planteamiento más bien categórico de las

matemáticas en el que el niño va creando relaciones más profundas a través de la interiorización de

propiedades intrínsecas a los objetos matemáticos, que a su vez hacen que algunos de ellos tengan un

mayor “peso” en esta macro-estructura e incite a plantear nuevas preguntas que ayuden al niño a

avanzar en su aprendizaje, siempre desde el enfoque de la experimentación con el entorno que le

rodea, haciendo uso de todos sus sentidos y partiendo de su interés y curiosidad.

Desde este enfoque, surgen diversos interrogantes: ¿qué aspectos deberían considerarse para

planificar y gestionar prácticas de enseñanza de las matemáticas en las primeras edades desde el

conexionismo?; ¿todos los contextos de enseñanza-aprendizaje favorecen la creación de redes

neuronales interconectadas que contribuyan, en última instancia, a una mayor comprensión del

conocimiento matemático?; ¿qué beneficios conlleva este planteamiento respecto a los métodos de

enseñanza más habituales en las aulas?, entre otros.

Para poder dar respuesta a estos interrogantes, el conexionismo recomienda el establecimiento

de relaciones diversas que favorecen la actividad neuronal. Hay determinadas prácticas matemáticas

que contribuyen en mayor medida que otras al aprendizaje de forma conectada, por lo tanto, es




necesario considerar los diferentes tipos de estímulos que interactúan en la adquisición de los

conceptos. Ya se ha comentado en un principio la necesidad de interpretar el conocimiento como un

todo y no como disciplinas desconectadas unas de otras. Así, pues, para llegar a conseguir mejores

frutos en el desarrollo del pensamiento matemático desde las primeras edades, el NCTM (2000, p.

136) sugiere que “la conexión más importante en los primeros aprendizajes matemáticos es la

existente entre las matemáticas, intuitivas, informales, que los niños han aprendido a través de sus

experiencias y las que están aprendiendo en la escuela”, otorgando un papel protagonista a los

conocimientos previos que los niños adquieren en el marco de experiencias informales (en su vida

cotidiana, jugando, cantando, etc.). Junto con este planteamiento, también sugieren que “los niños

conectan frecuentemente ideas matemáticas nuevas con las anteriores, mediante el uso de objetos

concretos” (NCTM, 2000, p. 136).

A partir de estas ideas, Alsina (2011, 2012) plantea distintos tipos de conexiones y diversos

contextos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en Educación Infantil. En concreto, este autor

propone dos grandes tipos de conexiones: a) las conexiones entre los diferentes bloques de contenido

matemático y entre los contenidos y los procesos matemáticos (conexiones intradisciplinares); b) las

conexiones de las matemáticas con otras áreas de conocimiento y con el entorno (conexiones

interdisciplinares).

Por otra parte, Novo (2015) plantea otros tipos de conexiones, que mantienen similitudes

importantes con las anteriores:

Conexiones conceptuales: son las encargadas de producir nexos entre contenidos matemáticos

diversos (identificaciones de cualidades sensoriales, de cantidades de la serie numérica, de

formas, de situaciones espaciales, de aspectos de medida, de semejanzas y diferencias entre

escenas; agrupaciones según un criterio; asociación de número y cantidad; discriminaciones de

cantidades, de formas, de aspectos de medida; relaciones diversas como emparejamientos de

objetos iguales, clasificaciones, seriaciones, ordenaciones, comparaciones de objetos;

representaciones gráficas sencillas; e iniciación al lenguaje matemático). Se vinculan a las

conexiones entre contenidos matemáticos planteadas por Alsina (2012, p. 9), “en las que los

bloques de contenidos constituyen un campo integrado de conocimiento”.

Conexiones prácticas: establecen relaciones entre las matemáticas y el entorno. En muchas

ocasiones se presentan las matemáticas relacionadas con aspectos cotidianos, en concreto la

utilidad de los números en el día a día. Se considera también la utilización de cuentos, juegos

y material didáctico en la actividad de aula, favoreciendo el desarrollo de aspectos lógicos,

numéricos, geométricos, etc. Se vinculan principalmente a las conexiones entre las

matemáticas y la vida cotidiana planteadas por Alsina (2012, p. 14), donde “se trata de

descubrir las matemáticas que hay en la vida cotidiana para favorecer que los niños y niñas

aprendan a verlas, a interpretarlas, a comprenderlas, para que progresivamente puedan

desarrollarse mejor en este contexto”

Conexiones docentes: son las encargadas de establecer vínculos entre diversos conceptos

matemáticos a través de una metodología activa y de vivenciar las experiencias matemáticas

vinculadas con otras materias: psicomotricidad, música, lengua, etc. Se vinculan a las

conexiones entre las matemáticas y otras disciplinas planteadas por Alsina (2012, p. 12), que

parte de la base que “una actividad es interdisciplinar cuando se usan diferentes disciplinas

para construir saberes adecuados, sin infravalorar los conocimientos de ninguna de las

disciplinas usadas”.

Alsina (2011), señala que las conexiones matemáticas tienen distintas funciones: 1) función

formativa (cuando los niños y niñas pueden conectar ideas matemáticas, su comprensión mejora); 2) función





instrumental (permite utilizar el conocimiento matemático en otras disciplinas), 3) función aplicada

(relaciona las matemáticas con la vida cotidiana); y 4) función evaluativa (estudia cómo evoluciona la

construcción del pensamiento matemático de los más pequeños). A partir de los aspectos descritos, se

analizan las características de una actividad diseñada desde esta perspectiva y su nivel de eficacia para

desarrollar el pensamiento matemático de los niños de las primeras edades.

4. Análisis de una práctica matemática en Educación Infantil basada en el conexionismo

La práctica que se analiza a continuación está extraída del estudio realizado sobre las tareas

docentes del profesorado de un colegio público y que se enmarca dentro de una tesis doctoral

presentada en la Universidad de Valladolid por Novo (2015).

4.1. Contexto de la actividad

La experiencia docente ha sido llevada a cabo en el Colegio Público “Federico García Lorca”.

Se ha elegido dicho colegio porque ya se había tenido un primer contacto con el centro en un trabajo

previo a esta investigación. Se había realizado una entrevista a dos de las maestras del equipo de

educación infantil y se constató la evidencia de su interés por la innovación educativa y, por tanto,

abiertas a nuevos modelos de enseñanza-aprendizaje que estén fundamentados teóricamente. Además,

al plantear la posibilidad de realizar experiencias matemáticas desde la perspectiva del conexionismo

todo el equipo de infantil estaba de acuerdo.

Todas las profesoras tenían especial interés por la docencia en matemáticas, trabajaban “un

calendario matemático” confeccionado por todas ellas. Cada día de la semana, para cada nivel de

educación infantil, se realizaba la experiencia que marcaba dicho calendario. En el curso 2011-2012 y

2012-2013 además del Plan de formación del centro, participaron en el Proyecto Fiaval (colaboración

con un centro educativo portugués) y Programa Arce “Aprender a cooperar, cooperar para aprender”

(proyecto del MEC para intercambiar experiencias con un colegio de Palma de Mallorca).

Para el análisis que detallamos a continuación se ha elegido una implementación de esta

metodología llevada al aula de 3 años, con un total de 23 niños y niñas de primero de educación

infantil.

Para la recogida de datos y su posterior análisis hemos usado como instrumentos: una grabación

en vídeo de catorce minutos de duración, registros de la profesora que ha llevado a cabo la

implementación y anotaciones de una observadora externa (encargada también de realizar la

grabación).

4.2. ¿Cómo se realiza la actividad?

Previamente a la actividad que a continuación detallamos, es conveniente remarcar que los

alumnos ya han realizado tareas previas de descubrimiento y exploración de los objetos que

conforman la experiencia (cuadrados, círculos, triángulos y cantidades de elementos 1, 2 y 3), han

trabajado con materiales manipulativos y han hecho pequeñas indagaciones sobre estos objetos

buscándolos en el aula, describiendo sus características y fomentando la relación de la matemática con

la vida cotidiana a través del entorno cercano.

La actividad consta de dos partes: en la primera parte los alumnos clasifican formas

geométricas, identifican y discriminan formas, cuentan y reconocen cantidades elementales de




elementos (1, 2, 3); y en la segunda realizan “sudokus”. En ambos casos, los alumnos están sentados

en el suelo formando un corro.

Para la primera parte la maestra dispone de un aro rojo pequeño y otro aro amarillo grande,

distintas formas geométricas de mismo tamaño pero distinto color (tres cuadrados rojos, tres cuadrados

azules y tres círculos verdes) y tres tarjetas con las grafías de los números 1, 2 y 3.

Para la segunda parte los materiales elegidos son un tablero grande verde con nueve casillas

para realizar un “sudoku” con las formas, hojas con tableros tres por tres y ternas de tarjetas

identificativas pequeñas de distintas formas y colores, pero del mismo tamaño (círculos verdes,

círculos rojos, cuadrados azules oscuros, cuadrados azules claros, cuadrados rojos y triángulos

amarillos). También se dispone de etiquetas con imágenes de múltiples objetos de la vida cotidiana

para colocar en tablas tres por tres en hojas para trabajo individual.

La secuencia de intervención docente ha tenido en cuenta una serie de etapas/fases

ejemplificadas a continuación y que se podrían trasladar fácilmente a otro tipo de actividad:

Presentación de las formas geométricas en la alfombra de la asamblea (círculos y cuadrados).

Descubrimiento de las cualidades de las formas de la alfombra, por turnos (los alumnos

reconocen las formas y las describen, comentando cuántas hay, de qué color son, qué tamaño

tienen,…).

Colocación de las formas en los aros por turnos, siguiendo las indicaciones de la maestra; por

ejemplo, en el aro pequeño un círculo y en el aro grande dos cuadrados. En esta parte, la

maestra formula distintas preguntas para ayudar a descubrir e identificar las formas

solicitadas.

Periodo de diálogo entre la maestra y los niños, dando lugar a “conversaciones matemáticas”

sobre las experiencias vividas.

Asociación de la cantidad con las formas geométricas en la que los niños se inician en la serie

numérica del 1, el 2 y el 3. Una vez colocadas las formas en los aros, deben asociar la tarjeta

correspondiente al cardinal de los conjuntos contenidos en el aro pequeño y en el aro grande.

En un tablero tres por tres hay que completar un “sudoku de formas” entre todos (círculos,

cuadrados y triángulos), en el que en cada fila y en cada columna no se puede repetir la misma

forma geométrica con el mismo color.

Necesidad de llevar las experiencias colectivas a una experiencia personal. Realización del

sudoku de formas de modo individual.

Conexión con la vida cotidiana. Se trabajan los sudokus con elementos de la vida cotidiana.

Mostramos a continuación la transcripción de la primera parte (los nombres de los alumnos son

ficticios):

Maestra: “Todos calladitos ¿vale?, sólo sale el que yo vaya diciendo, vamos a ir por turnos todos,

¿vale? “Empezamos en María1 ¿de acuerdo? para allá, hacia allá vamos a ver María1, vamos a ir

poniendo en el círculo pequeño círculos y en el círculo grande cuadrados ¿vale? Venga. En el

círculo pequeño, círculos.” Hay una niña que interrumpe la comunicación cuando la maestra pide

a María1 que coloque círculos en el aro pequeño y, por ello, la profesora le pide que se esté

quieta.

Maestra: “Estate quieta María2, vamos.

María1 se acerca a las formas geométricas, que están apiladas, y elige un círculo verde y lo

coloca en el aro pequeño, se retira a su sitio.

Maestra: “Venga, María3, rápido, en el pequeño círculos, en el grande, cuadrados, ¿Dónde lo

ponemos?”





María3 elige un cuadrado azul, se queda un poco pensando y lo coloca en el lugar adecuado.

Maestra: “Muy bien.María4 ahora vas a poner tú otro cuadrado, pero me vas a decir qué figura

coges y ¿por qué la pones ahí? Venga tienes que decirlo.”

María4 se acerca a coger una figura y la maestra le dice:

Maestra: “María4, esa es igual que la que tenemos, coge otra que sea distinta, vale, ¿qué figura

coges?”

María4: “El triángulo.”

Maestra:” Mira para allá y díselo a la observadora externa. ¿Qué figura has cogido? ¿Es un

triángulo? ¿Es un círculo o un cuadrado? ¿Qué es?

La profesora con sus indicaciones ayuda a María4 a reconocer el cuadrado.

María4: “Cuadrado.”

Maestra: “¿Por qué es un cuadrado? porque tiene,…”

María4: “Cuatro lados.” Maestra: “Vamos a verlos, márcalos.”

María4 va pasando sus dedos por los lados y, a la vez, en voz alta, va diciendo los números.

María4: “Uno, dos, tres, cuatro.”

Maestra: “Esto son cuatro esquinitas, ¿vale? Ponle donde van los cuadrados.”

María4 sitúa el cuadrado rojo encima del azul.

Maestra: “Pero no le pongas encima, ponle al lado que le vamos a ver.”

Figura 2. Los cuadrados en el círculo amarillo y los círculos en el círculo rojo

Maestra: “Bueno pues nos vamos a fijar en lo que hemos puesto aquí. María5, ven aquí, te voy a

dar unos cartelitos y tú me pones uno o dos si hay un cuadrado, dos cuadrados o un círculo o dos

círculos, a ver, espera, que no te he dicho lo que hay que hacer, sepárate un poquito, voy a poner

aquí tres numeritos y los círculos coge el número que hay, de círculos, ¿cuántos hay?”

La maestra coloca tres tarjetas donde aparecen escritos el 1, el 2 y el 3 y María5 coge el número 3.

Figura 3. Asociación de número y cantidad




Maestra: “Ese, a ver, María5, ¿qué número es? ¿Le conoces? ¿Cómo se llama?”

María5: “El tres.”

Maestra: “Pero el tres, ¿hay tres círculos?”

María5: “No.”

Maestra: “No, pues, fuera, no nos vale, coge los círculos que hay.”

María5 se acerca a las tarjetitas y, esta vez, escoge el 1.

María5: “Uno.”

Maestra: “Uno, pues muy bien. Lo pones delante, estupendo.”

María5 se acerca al aro pequeño rojo con un círculo y coloca el 1 al lado.

Maestra: “María6, ven aquí.”

María6 es de otro país y todavía no conoce muy bien el idioma. La maestra se acerca

al aro grande amarillo con dos cuadrados y señalando el 2 y el 3…

Maestra: “María6, ¿Cuántos hay aquí? ¿Este o este?”

María6: “Uno.”

Maestra: “No, uno no, dos, ¿cuál es el dos?”

María6 señala con el dedo la tarjeta del 2.

María6: “Ése.”

Maestra: “Ése, pues, ponle ahí, fenomenal. Vete para allá.”

Para llevar a cabo la segunda parte de la actividad, la maestra retira los aros y los cartelitos de

los números y se queda con el círculo verde y los dos cuadrados, el rojo y el azul, y saca un tablero

con una cuadrícula de tres por tres. Posteriormente, la maestra explica la dinámica del juego, “sudoku

de formas”. En todas las filas y columnas deben estar los tres elementos y no repetir ninguno.

Figura 4. Sudoku de formas

Primeramente, se resuelve el sudoku en la asamblea, en la que, por turnos, se pone una pieza

cada vez; luego filas enteras, por turnos. Finalmente, el tablero entero es cumplimentado por algún

alumno. Y se pasa al trabajo individual, ampliando las tarjetas con distintas formas y colores. También

se utilizan etiquetas de objetos diversos para seguir completando “sudokus”.





Figura 5. Sudoku completado por todos los niños y las niñas y trabajo individual (izquierda y derecha respectivamente)

4.3. Análisis de los conceptos conexionados

Una vez mostradas las dos partes de la actividad, pasamos a analizar las conexiones que en ellas

se encuentran y que los niños han podido trabajar previamente en el aula. Para mostrar con mayor

facilidad el análisis, tal como se ha indicado en el marco teórico, estas conexiones deben clasificarse

en dos tipos distintos: las “neuronas” (o “unidades de aprendizaje”), en las que determinaremos qué

conceptos matemáticos se trabajan o qué acciones realizan los niños con respecto a estos conceptos y

“los nexos entre las neuronas”, es decir, los “puentes entre unidades de aprendizaje”, propiamente

llamadas conexiones, que se entienden como las relaciones establecidas a través de acciones realizadas

por los niños entre los distintos tipos de unidades de aprendizaje.

En la primera parte se han identificado conexiones entre conceptos y procesos matemáticos.

Como “unidades de aprendizaje” relacionados con conceptos matemáticos se han encontrado

evidencias entorno a las formas geométricas (triángulos, cuadrados, círculos), tamaños de formas

(grande, pequeño), números (1, 2, 3) y conceptos asociados con la localización “en el círculo” como

equivalente a “dentro del círculo”). Y en relación a las “unidades de aprendizaje” asociadas a procesos

o acciones matemáticas se han localizado las siguientes:

Identificaciones de formas.

Comprensión de normas y retos para comprender en qué consiste una clasificación.

Discriminación y trazado de formas planas: círculo y cuadrado (esta acción viene precedida de

la instrucción de la maestra, que pide a los niños que cojan una forma geométrica).

Ubicación en el espacio (una vez cogida y clasificada la figura correspondiente, deben

colocarla en el sitio correspondiente).

Identificación de los números 1 , 2 y 3.

Interés por el conteo y la cardinación.

Abstracción matemática, argumentación y comunicación. Se incide en que los alumnos

comuniquen el resultado de sus acciones usando lenguaje matemático adecuado, y se fomenta

que escuchen las explicaciones de los demás. Cuando la maestra pregunta por qué es un

cuadrado la forma geométrica a María4, la alumna explica y comprueba que tiene un

cuadrado).

A lo largo de toda la actividad precedente, la maestra construye los “puentes” necesarios entre

las distintas “unidades de aprendizaje”, esto es, plantea las preguntas adecuadas para que los niños

establezcan conexiones que relacionen en paralelo conceptos matemáticos con otros conceptos




matemáticos o con acciones matemáticas y acciones matemáticas con otras acciones matemáticas.

Teniendo en cuenta la clasificación de Novo (2015), estas conexiones pueden ser clasificadas en:

Conexiones conceptuales: discriminación, clasificación y trazado de formas. Asociación de

número y cantidad (a modo de ejemplo, cuando la maestra pide a María5 que asocie un

número a cada conjunto dependiendo de su cardinal). Identificación y trazado de los números

1 y 2. Realización de la serie numérica de los números 1 y 2.

Conexiones prácticas: interés por conocer los números y su utilidad. Importancia de la

comunicación utilizando el lenguaje matemático adecuado y animando a prestar atención a las

justificaciones de los otros niños.

Conexiones docentes: Abstracción matemática y argumentación favorecidos por los nexos

establecidos por la profesora. Metodología activa en la que participan todos los niños, en la

asamblea practicando todas las conexiones entre los conceptos que se han indicado

anteriormente.

Análogamente, en la segunda parte de la actividad, un análisis pormenorizado nos permite

establecer las siguientes conexiones:

Como “unidades de aprendizaje” relacionadas con conceptos matemáticos se tienen formas

geométricas de diversos colores (cuadrados rojos, cuadrados azules y círculos verdes), ampliando a

más formas y colores realizando actividades parecidas, conceptos asociados a la orientación (“coloca

al lado de…”, “pon en fila…”), en la realización de los “sudokus”, cumplimentando tablas tres por tres

en las que cada forma o cada etiqueta de objeto figura una sola vez.

Como “unidades de aprendizaje” asociadas a procesos o acciones matemáticas:

Identificaciones de formas geométricas.

Comprensión de las normas ante el planteamiento del juego del “sudoku” (la profesora explica

cómo se tiene que completar).

Uso del lenguaje matemático adecuado para discriminar las formas planas.

Ubicación espacial (una vez elegida la figura geométrica se sitúa al lado de la que

corresponde).

Localización. Detrás de cada tarjeta identificativa de los “sudokus individuales” hay un

símbolo. Cada tarjeta tiene dos caras delante y detrás, cuando van a guardar las tarjetas en

bolsitas con su correspondiente tabla, se colocan “por delante o por detrás” de la tabla).

Discriminación del primero y último (al ir rellenando los “sudokus” por filas)

Razonamiento y prueba: Discriminación de las distintas filas (acción que consiste en ir

completando con las formas o los objetos cada tira).

Comunicación: se fomenta que escuchen las explicaciones de los demás.

Cumplimentación de tablas (“sudokus”, tres por tres siguiendo criterios de color y forma, por

ejemplo eligiendo tres colores entre (rojo, verde, amarillo, azul) y tres formas entre (círculo,

cuadrado triángulo, rectángulo). Otras se completan con etiquetas de objetos relacionados con

el entorno de los niños y las niñas, como aparece en la figura 6.

Identificación de objetos iguales.

Reconocimiento de “símbolos iguales” (las nueve etiquetas de cada “sudoku individual” se

guardan en una funda con su tabla, aparece dibujado el mismo símbolo detrás de cada tarjeta

identificativa y en dicha lámina).





Figura 6. Recogida del material didáctico

Como en la primera parte de la presente actividad los niños vuelven a establecer conexiones

tanto entre conceptos como entre conceptos y acciones matemáticas gracias a pequeñas sugerencias de

la maestra, verbalizando todas las situaciones experimentadas. A modo de ejemplo la maestra sugiere

a uno de los niños que reúna las piezas que faltan para completar la última fila y colocar en el lugar

correspondiente. Las acciones que los niños conexionan son la discriminación de última y la ubicación

de una sola tarjeta en el sitio adecuado. Análogamente según Novo (2015), estas conexiones pueden

ser clasificadas en:

Conexiones conceptuales: discriminación de formas geométricas. Ubicadores espaciales:

delante, detrás, primero, último. Identificación de objetos iguales. Realización de tablas según

color y forma.

Conexiones prácticas: comprensión de las normas ante el planteamiento del juego del

“sudoku”. Comunicación: se fomenta que escuchen las explicaciones de los demás. Uso del

lenguaje para matemático para discriminar las formas.

Conexiones docentes: razonamiento y prueba para discriminar las distintas filas (acción que

consiste en ir completando con las formas o los objetos cada tira). Metodología interactiva en

la que todos los niños participan con los demás y con la profesora que es la que establece los

nexos para ayudar a argumentar, razonar… Importancia del paso de las experiencias en la

asamblea al trabajo individual para poder comprobar el desarrollo del pensamiento lógico

matemático de los más pequeños.

5. Consideraciones finales

En este artículo se ha presentado una actividad que ha sido diseñada desde la perspectiva del

conexionismo. Se han encontrado evidencias relativas a los tres tipos de conexiones planteadas por

Novo (2015).

En relación a las conexiones conceptuales, se ha observado como los niños realizan

asociaciones de cantidad, identificaciones de aspectos numéricos, identificaciones de formas,

identificaciones de aspectos iguales, discriminaciones de formas, trazado de números, realización de

tablas, etc. Poco a poco, pues, los alumnos van adquiriendo de forma progresiva la noción de cantidad,

y están más familiarizados con el conteo. Cabe señalar que el material utilizado (“sudokus”) ha




motivado y facilitado la realización de la actividad, y ha permitido establecer conexiones entre los

conceptos.

Respecto a las conexiones prácticas, se ha percibido que mediante las actividades motrices se

facilita la adquisición de las nociones relativas a la posición relativa en el espacio (los niños colocan

los objetos dentro de… con sus manos). En algunas ocasiones, los niños no son capaces de expresar

con palabras determinadas nociones, pero sí que las expresan con las manos, en otras actividades, con

el cuerpo, etc. También se ha observado que descubren los objetos y sus características mediante la

manipulación, a través de los sentidos. Asimismo, en la actividad analizada, continuamente se han

producido relaciones con situaciones de la vida cotidiana para contar, repasar grafías, completar lo que

falta, indicar cuántos hay, buscar la tarjeta que indica cuántos objetos se tienen, comprobar

contando,…Todo ello ha favorecido la enseñanza-aprendizaje de los números.

Finalmente, en relación a las conexiones docentes, se ha podido comprobar que a los niños no

les cuesta trabajar varios conceptos de forma simultánea en situaciones en las que la maestra plantea

diversos interrogantes, cuando estos están bien planteados. En este sentido, es necesario indicar que

cuando se produce una situación de dificultad por parte de varios niños, a menudo no es debido a que

la actividad sea dificultosa porque conexiona varios contenidos, sino porque la maestra no expresa

adecuadamente esa actividad. En ocasiones, la maestra suele utilizar sinónimos o expresiones que los

niños no acaban de entender y eso puede llevar al fracaso de la actividad. El lenguaje, pues, debería ser

muy preciso. En nuestro estudio, por ejemplo, se ha observado que la maestra intenta utilizar un

lenguaje lo más ajustado posible a la actividad que se desarrolla, introduciendo el vocabulario nuevo

necesario para que los niños se familiaricen con él y lo incorporen a sus expresiones habituales. Por

ello, es frecuente que en sus conversaciones, en los rincones, juegos o en el patio, utilicen términos y

expresiones que se han trabajado en el aula. Siguiendo todavía con el análisis de la comunicación en el

aula, se ha observado también que en términos generales, a los niños les cuesta expresar lo que

realmente viven, por falta de vocabulario, sobre todo en el primer nivel. En cambio, los alumnos de

tercer curso son ya capaces de relatar correctamente sus vivencias y explicar adecuadamente las

experiencias realizadas. Otro dato interesante es que cuando en el desarrollo de una actividad, un

grupo bastante numeroso de alumnos no consigue la realización correcta de la misma, suele ocurrir

que los niños entienden mejor las aclaraciones (explicaciones, interpretaciones) de sus propios

compañeros que las repeticiones de la profesora. Se deduce, pues, que fomentar las interacciones entre

los propios niños puede favorecer el éxito de la actividad. Finalmente, en relación a la representación

escrita, se comienza trabajando representaciones plásticas y gráficas de las distintas propiedades

trabajadas. En un principio estas representaciones son muy simples (tarjetas identificativas y

pictogramas) pero son fundamentales para poder pasar a la etapa simbólica. Estos procesos ayudan a

interpretar diferentes códigos, estableciendo relaciones entre los elementos que los componen y las

relaciones generadas favorecen el establecimiento de conexiones.

Una vez analizados los distintos tipos de conexiones, se concluye con una breve valoración

acerca del aprendizaje de los alumnos y del papel de la maestra. En cuanto al rendimiento del alumno

se valora fundamentalmente mediante su observación sistemática. En este seguimiento se comprueban

todas las funciones de las conexiones planteadas por Alsina (2011): formativa, instrumental, aplicada

y evaluativa.

Los niños que han sido capaces de precisar un mayor número de diferencias entre objetos, de

establecer más relaciones o de precisar más detalles en una observación, han presentado mayor

facilidad para asimilar conceptos abstractos. Se ha observado también que todos los aprendizajes que

resultan más complicados para los alumnos, se deberían presentar de forma periódica y con diferentes

tipos de actividades para favorecer su adquisición.





La actividad analizada ha proporcionado una progresión en el conocimiento de los conceptos

trabajados, logrando su interiorización y ayudando a su evocación posterior. Cada vez han seguido

instrucciones más complejas porque la docencia es más transversal, pero a la vez se han producido

aprendizajes de conceptos conexionados entre sí y, por tanto, aprendizajes más eficaces. Los alumnos

han identificado mejor los códigos. Ha aumentado su curiosidad por conocer cosas nuevas, por

descubrir, experimentando, lo que les rodea, sentando las bases de su pensamiento lógico matemático.

En las “conversaciones matemáticas” se ha notado una mayor anticipación de respuestas acertadas.

Además, el hecho de que los niños hayan podido emitir respuestas sobre diversos contenidos, que

están conexionados, en un intervalo temporal corto, ha favorecido una actitud de respeto y valoración

sobre las intervenciones de sus compañeros.

Por último, en lo que se refiere al papel de la maestra en la gestión de la práctica educativa de

aula, se puede afirmar que su realización ha permitido que los niños hayan estado atentos y, cuando

esto no ha ocurrido, no es tanto porque se trate de una actividad con conexión de conceptos, sino

porque están centrados en algún material que les atrae, en un compañero o en cualquier otro aspecto

por insignificante que parezca. Las tareas docentes se han desarrollado en un clima de seguridad,

confianza, participación y colaboración. Tanto los niños como la maestra han sentido que pertenecen a

un grupo de trabajo. En un clima distendido, acogedor y participativo, los niños se han sentido

cómodos, y no han tenido reparos en preguntar y comentar cualquier cosa que se les ocurre.

En síntesis, esta forma de trabajar en el aula ha favorecido la comprensión profunda de todos los

conocimientos matemáticos experimentados, que es una de las principales finalidades de la educación

matemática infantil.

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el 13 de octubre de 2016, de http://www.elearnspace.org/ Articles/connectivism.htm

María Luisa Novo. Profesora de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Valladolid. Su

interés mayor es la investigación en Educación Matemática Infantil y en la formación del profesorado en

este nivel educativo y en Educación Primaria.


Ainhoa Berciano. Profesora del Departamento de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias

Experimentales de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Sus líneas de

investigación se centran en la enseñanza-aprendizaje de la matemática en Educación Infantil y en la

formación de profesorado.


Ángel Alsina. Profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Girona. Sus líneas de

investigación están centradas en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en las primeras edades

y en la formación del profesorado. Ha publicado artículos y libros sobre cuestiones de educación

matemática, y ha llevado a cabo actividades de formación permanente del profesorado de matemáticas en

España y América Latina.


http://www.trainingandpractice.hu/?q=en/egyebek

http://www.elearnspace.org/%20Articles/connectivism.htm





ISSN: 1887-1984




Ansiedad, motivación y confianza hacia las Matemáticas en futuros

maestros de Primaria

Rosa Nortes Martínez-Artero (Universidad de Murcia. España)

Andrés Nortes Checa (Universidad de Murcia. España)


Fecha de aceptación: 03 de junio de 2017

Resumen La ansiedad es un componente afectivo emocional que condiciona el desarrollo de la

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Para conocer la ansiedad, la motivación y la

confianza hacia las matemáticas de los futuros maestros se tomó a lo largo de cuatro

cursos académicos una muestra de 829 alumnos de 2.º, 3.º y 4.º del Grado de Maestro de

Primaria a los que se les aplicó tres cuestionarios, utilizando una escala Likert de 1 a 5.

El nivel de ansiedad, ligeramente superior al valor neutral, se mantiene a lo largo de los

cuatro cursos académicos y sube ante los exámenes. Tanto la confianza como la

motivación de los estudiantes es alta, la ansiedad en mujeres es mayor que en hombres

siendo las diferencias significativas y mientras que las mujeres están más motivadas los

hombres tienen mayor confianza en las matemáticas.

El que en el periodo de los cuatro años académicos una de cada dos futuras maestras y

uno de cada cuatro futuros maestros tenga ansiedad por encima del valor neutral es

negativo, pero que las alumnas cuando terminan sus estudios tengan menos ansiedad y

mayor confianza y motivación hacia las matemáticas es altamente positivo.

Palabras clave Ansiedad, motivación, confianza, matemáticas, maestros.

Title Anxiety, motivation and confidence toward mathematics in pre-service mathematics

teachers

Abstract Anxiety is an affective and emotional behaviour which conditions the development of the

teaching and the learning of mathematics. In order to know the anxiety, the motivation

and the confidence of pre-service teachers, 829 Primary Education students—2nd, 3rd

and 4th years—were administered 3 questionnaires, using a 1-5 Likert scale. The level of

anxiety, slightly over the neutral value, stays the same throughout the four academic

years and increases during the examination period. The students' confidence and

motivation is high, anxiety in women is significantly higher than in men, and while

women are more motivated men feel more confident in mathematics. The fact that one in

two pre-service female teachers and one in four male teachers experience a level of

anxiety over the neutral value is a negative aspect. However, the fact that, after

completing their degree, female students decrease their level of anxiety and increase their

confidence and motivation towards mathematics is highly positive.

Keywords Anxiety, motivation, confidence, mathematics, teacher.

Ansiedad, motivación y confianza hacia las Matemáticas en futuros maestros de Primaria R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa


1. Introducción

La medida del dominio afectivo matemático supone un aspecto de vital importancia en la

investigación matemática y la ansiedad hacia las matemáticas es un componente básico de las

emociones y por tanto del dominio afectivo matemático (Palacios, 2016).

PISA 2012 revela que “los países y economías donde los alumnos solían referir niveles más

altos de ansiedad son también aquellos donde el rendimiento de estos en dicha materia es menos

bueno” (OECD, 2015, p. 1). En dicho informe se menciona que uno de cada tres alumnos se pone

nervioso ante un problema de matemáticas y en casi todos los países y economías participantes las

chicas revelaron mayor ansiedad frente a las matemáticas que los chicos, resultando las diferencias

significativas.

La ansiedad en Matemáticas está directamente relacionada con las percepciones que el alumno

tiene sobre sus posibilidades para las Matemáticas y ante una prueba o examen muchas personas

tienen reacciones de ansiedad que generalmente producen un deterioro en el rendimiento, aunque la

ansiedad ante los exámenes disminuye conforme se acrecientan los sentimientos de autoeficacia y

aumenta la seguridad personal (Nortes y Martínez, 1996).

2. Marco teórico

Las emociones, creencias y actitudes son factores claves para comprender el comportamiento en

matemáticas de los futuros maestros, porque influyen en el aprendizaje matemático como un sistema

regulador, como un indicador de la situación de aprendizaje, como fuerzas de inercia o resistencias al

cambio y como vehículo de conocimiento. (Maroto, 2015). Las emociones son difíciles de identificar,

las creencias pueden ser sobre la disciplinan y sobre el propio estudiante y las actitudes tiene una gran

trascendencia en el proceso educativo.

La ansiedad hacia las matemáticas se caracteriza, según Auzmendi (1992), por un bloqueo

afectivo que puede surgir por la falta de adecuación del método de enseñanza de las matemáticas o de

la ausencia de esquemas adecuados para la resolución de problemas.

Algunos trabajos recientes son los de Muñoz y Mato (2007), Rosario, Núñez, Salgado,

González-Pienda, Valle, Joly y Bernardo (2008), Sánchez, Segovia y Miñán (2011), Pérez-Tyteca

(2012), Pérez-Tyteca, Monge y Castro (2013), Palacios, Hidalgo, Maroto y Ortega (2013), Caballero

(2013), Sánchez-Mendías (2013), Nortes y Nortes (2014), Maroto (2015), Marbán, Maroto y Palacios

(2016) y Gómez-Chacón (2016) que reafirman la importancia que tiene el estudio del dominio afectivo

en la enseñanza y el aprendizaje de los futuros maestros.

Muñoz y Mato (2007) consideran la ansiedad como la raíz de muchos casos de rechazo escolar

y a una muestra de 1220 alumnos de 1.º a 4.º de ESO de A Coruña (586 chicas y 634 chicos) aplicaron

un cuestionario elaborado por ellos, de fiabilidad alfa de Cronbach de 0,95, en donde el primer factor a

medir era “ansiedad ante la evaluación”, obteniendo una media de 3,669 y en los cinco factores

“ansiedad total” una media de 3,123 en una escala Likert de 1 a 5.

Rosario et al. (2008) consideran la ansiedad ante los exámenes dependiendo del grado en que la

situación del examen sea percibida como amenazadora, experimentando el alumno un incremento en

el nivel de ansiedad. Los hombres tienden a afrontar las situaciones de examen como un desafío no

implicándose si se perciben incapaces, mientras que las mujeres encaran las situaciones de examen

como más amenazadoras, evidenciando comportamientos ansiosos. Estas conclusiones las obtienen en




una investigación en dos muestras independientes de 533 y 796 alumnos de 1.º, 2.º y 3.º de E.S.O. En

el primer estudio, en donde el 48,4% son chicos y el 51,6% son chicas, encontraron diferencias en

ansiedad ante los exámenes en función del sexo, siendo las chicas más ansiosas que los chicos y

disminuyendo la ansiedad en la medida en que aumenta el rendimiento en matemáticas. En el segundo

estudio se ratifican los resultados del primero.

Sánchez et al. (2011) aplican la escala de ansiedad a las matemáticas de Fennema-Sherman

(1976) a una muestra de 71 alumnos, futuros maestros de primaria, en donde el 73,24% eran mujeres y

el 26,76% hombres de edad media 21 años. Obtienen como Ansiedad hacia las matemáticas 2,739 en

una escala Likert de 1 a 5. Clasifican los resultados en tres categorías: ansiedad media los

pertenecientes a (M-DT, M+DT), baja los inferiores a este intervalo y alta los superiores a dicho

intervalo, concluyendo que solo el 19,72% de los estudiantes se sitúan en el nivel bajo de ansiedad, y

que cuando estos estudiantes sean los responsables de la docencia podría ser uno de los factores que

contribuirá a la aparición de actitudes de rechazo hacia las matemáticas.

Pérez-Tyteca (2012) en su tesis doctoral utilizó una muestra de 1242 alumnos de 26 titulaciones

en la Universidad de Granada que empezaban estudios universitarios, de ellos 39% hombres y 61%

mujeres de edad media 19,7 años y edades comprendidas entre 18 y 52 años. Les aplicó, entre otros, el

cuestionario de ansiedad hacia las matemáticas de Fennema-Sherman, en una escala Likert de 1 a 5,

obteniendo una ansiedad media de 2,731 y una desviación típica de 0,80. Los hombres eran 464 y

obtuvieron de media 2,518 y DT=0,783, mientras que las 726 mujeres obtuvieron de media 2,868 y

DT=0,781, siendo la diferencia por sexo significativa. Entre estas titulaciones se encontraba la de

Primaria con 177 alumnos, el 14,3% del total de la muestra, que obtuvo una media de 2,917, siendo en

hombres de 2,766 y en mujeres 2,954. La titulación Maestro de Primaria se encuentra en el grupo de

titulaciones con niveles más altos de ansiedad (sexto de veintiséis), un 70% declara ponerse nervioso

en los exámenes y un 80% siente preocupación por su capacidad para resolver los problemas. En la

muestra las mujeres tienen mayor ansiedad ante las matemáticas que los hombres y a mayores

contenidos matemáticos en la titulación cursada menor ansiedad. La autoconfianza en matemáticas es

de 3,239 en la muestra y de 2,995 en Primaria, siendo mas alta en mujeres que en hombres y

significativa.

Pérez-Tyteca et al. (2013) en el estudio que realizan de Afecto y Matemáticas mencionan

“dentro del conjunto de estudiantes que realizan el paso de la educación secundaria a la universitaria,

existe correlación negativa entre su ansiedad matemática y su autoconfianza” (p. 66). Y que los

alumnos que sienten ansiedad cuando estudian matemáticas tienden a no interesarse en su estudio ni

disfrutar con ellas, considerando la ansiedad matemática como un estado afectivo caracterizado por la

ausencia de confort que puede experimentar un individuo en situaciones relacionadas con las

matemáticas, sufriendo más ansiedad las mujeres que los hombres.

Palacios et al. (2013) consideran la ansiedad como un sentimiento de tensión, miedo o

aprehensión que conlleva conductas. A una muestra de 1064 alumnos de 6.º EP., 1.º, 2.º, 3.º y 4.º de

ESO y 1.º Bachillerato, de edad media 13 años y 8 meses, 53% hombres y 47% mujeres les aplican,

entre otras, la escala de ansiedad matemática (EANS) de 16 ítems. Llegan a la conclusión de que “a

mayores niveles de ansiedad, menos rendimientos en matemáticas” y que “una parte del rechazo a la

escolarización podría ser explicado por niveles altos de ansiedad matemática” (p. 106).

Caballero (2013) en su tesis doctoral utilizó una muestra de 60 maestros en formación inicial

(MFI) de la universidad de Extremadura en Badajoz, pertenecientes al tercer curso de la Diplomatura

de Maestro de Primaria del curso 2008/09 de los que 14 son hombres y 46 mujeres, siendo el 91,67%

menores de 25 años y en donde dos de cada tres han estudiado el bachillerato de Humanidades y

CCSS. Les aplicó, entre otros, el Cuestionario de dominio Afectivo de Resolución de Problemas (alfa

de Cronbach de 0,617) que consta de 21 ítems con una escala Likert de 1 a 4. Un 46,67% presenta una



ansiedad moderada, un 38,33% una ansiedad acusada ante la Resolución de Problemas de

Matemáticas (RPM) y tan solo un 15% no experimenta ansiedad o lo hace en grado bajo.

Sánchez-Mendías (2013) para su tesis doctoral tomó una muestra de 488 estudiantes de los once

grupos que estudian el primer curso de la carrera universitaria de Grado en Educación Primaria en la

universidad de Granada. El 38,1% son hombres y el 61,9% mujeres, no superiores a 20 años son el

74,4%, de media 20,09 años, de intervalo de 18 a 50 años. Les aplicó, entre otras, la escala de

Ansiedad hacia las Matemáticas de Fennema-Sherman (1976). La ansiedad hacia las matemáticas fue

de 2,76, ante la disciplina de 2,68, ante la resolución de problemas de 2,66 y ante la evaluación de

2,94. Y en autoconfianza un 3,32, todo ello en una escala Likert de 1 a 5. El género influye

significativamente en las puntuaciones obtenidas siendo la ansiedad más alta en mujeres que en

hombres.

En Nortes y Nortes (2014) a una muestra de 149 alumnos de la licenciatura y el grado de

Matemáticas de distintas universidades españolas, en donde el 49% eran hombres y el 51% mujeres,

de edad media 20,973 y edades comprendidas entre 17 y 28 años, se les aplicó, entre otras, la escala de

Ansiedad ante las Matemáticas de Fennema-Sherman. La ansiedad media fue de 2,007, la ansiedad

global de 1,714, la ansiedad ante la resolución de problemas de 2,093 y ante los exámenes de 2,501 en

una escala Likert de 1 a 5. Las alumnas más ansiosas que los alumnos en la resolución de problemas y

ante un examen, con diferencias significativas y los futuros docentes más ansiosos que los no que no

se van a dedicar a la docencia.

Maroto (2015) en su tesis doctoral considera como primer objetivo caracterizar el dominio

afectivo-matemático de los maestros en formación y para ello utiliza las respuestas dadas por 2130

maestros en formación de diez centros universitarios (658 hombres, 1272 mujeres). Aplica, entre otras,

una escala de Ansiedad (EANM) formada por 20 ítems y su objetivo es “medir el grado de

desasosiego, miedo o angustia de los futuros docentes hacia las matemáticas” (p. 178). La fiabilidad de

esta escala la midió con 1193 alumnos, obteniendo un alfa de Cronbach de 0,95 y los resultados

obtenidos en una escala tipo Likert de 0 a 4 traducidos a una escala de 1 a 10 resulta una ansiedad de

4,25. Hay diferencias significativas por sexo, más ansiosas mujeres (4,37) que hombres (3,91) y al

finalizar los estudios del grado los maestros en formación no tienen menos ansiedad que cuando los

iniciaron (4,39 frente a 4,17).

Marbán et al. (2016) para conocer si la formación didáctico-matemática que reciben los

estudiantes del Grado de Educación Primaria modifica la ansiedad matemática realizaron un estudio

sobre una muestra incidental de 627 estudiantes pertenecientes a cinco universidades españolas. Los

resultados obtenidos indican que la formación recibida no ha reducido los niveles de ansiedad que los

estudiantes presentaban al inicio de sus estudios en relación con las matemáticas.

En un estudio reciente Gómez-Chacón (2016) indica que la significatividad de la interacción

ante los dominios cognitivo y afectivo durante el aprendizaje matemático se ha observado en trabajos

relacionados con: 1) diferencias individuales, 2) en los procesos de aprendizaje de un individuo frente

a una tarea, 3) en el estudio interacción cognitiva y afecto y 4) que tienen en cuenta conjuntamente

aspectos culturales, sociales y personales.

3. Objetivo

El objetivo de este trabajo es conocer la ansiedad, la motivación y confianza hacia las

Matemáticas de los futuros maestros de primaria considerando una muestra a lo largo de cuatro cursos

académicos en donde participan alumnos de 2.º, 3.º y 4.º del Grado de Maestro de Primaria, cursos en




los que se imparte la materia de Enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas, utilizando la escala de

Ansiedad ante las Matemáticas de Fennema-Sherman (1976) y dos subescalas de Auzmendi (1992),

contrastando con otros estudio anteriores. La muestra es incidental.

4. Método

4.1. Muestra

Alumnos y alumnas, estudiantes de 2.º, 3.º y 4.º, del Grado de Maestro de Primaria de la

Universidad de Murcia matriculados los cursos 2012/13, 2013/14, 2014/15 y 2015/16, en número de

829, de los que 213 son hombres y 616 mujeres, siendo 380 de 2.º, 273 de 3.º y 176 de 4.º, de edad

media 21 años y 8 meses y edades comprendidas entre 17 y 53 años.

4.2. Instrumentos

Escala de Ansiedad de Fennema-Sherman (1976). Consta de 12 ítems unos formulados de

forma positiva y otros de forma negativa, según una escala Likert de 1 a 5 en donde 1 es totalmente en

desacuerdo para los formulados de forma positiva y 1 es Totalmente de acuerdo para los formulados

de forma negativa.

A los ítems formulados en negativo (AN1, AN2, AN3, AN4, AN5 y AN6) se les ha asociado su

valor complementario al totalizar (de 1 es 5 y de 2 es 4) para seguir el criterio de que a mayor

puntuación mayor ansiedad. Los 12 ítems formulados de forma positiva de la Escala de Fennema-

Sherman vienen en la Tabla 1.

ANSIEDAD ANTE LAS MATEMÁTICAS

AN1 Le tengo miedo a las matemáticas.

AN2 No me gustaría nada hacer más cursos de matemáticas.

AN3 Normalmente me preocupo sobre si soy capaz de resolver problemas

de matemáticas.

AN4 Casi siempre me pongo nervioso en un examen de matemáticas.

AN5 Normalmente no estoy tranquilo en los exámenes de matemáticas.

AN6 Normalmente no estoy tranquilo en las clases de matemáticas.

AN7 Normalmente las matemáticas me ponen incómodo y nervioso.

AN8 Las matemáticas me ponen incómodo, inquieto irritable e impaciente.

AN9 Me pongo malo cuando pienso en resolver problemas de matemáticas.

AN10 Cuando hago un problema de matemáticas se me queda la mente en

blanco y no soy capaz de pensar claramente.

AN11 Una prueba de evaluación de matemáticas me da miedo.

AN12 Las matemáticas me hacen sentir preocupado, confundido y nervioso.

Tabla 1. Cuestionario de Fennema-Sherman (1976)

Se agrupan en tres subescalas: 1) Ansiedad hacia las Matemáticas en General: 1, 2, 6, 7, 8 y 12;

2) Ansiedad hacia la Resolución de Problemas: 3, 9 y 10; y 3) Ansiedad hacia los Exámenes: 4, 5 y 11.



Subescalas de Motivación y Confianza del Cuestionario de Actitud hacia las Matemáticas de

Auzmendi (1992). Están formadas por tres ítems cada una en donde unos están formulados de forma

positiva y otros de forma negativa, y se han codificado de modo que una puntuación mayor vaya

asociada a unas actitudes más positivas y viceversa. Forman una escala de Likert de 1 a 5. Para

Auzmendi (1992) el factor Motivación puede interpretarse como “la motivación que siente el

estudiante hacia el estudio y utilización de las matemáticas” (p. 87) y el factor Confianza puede

interpretarse “como el sentimiento de confianza que provoca la habilidad en matemáticas” (p. 87). El

índice original de fiabilidad de Cronbach de Motivación es 0,560 y el de Confianza de 0,498. Se

presentan los ítems en la Tabla 2 en donde los tres ítems de motivación están redactados de forma

negativa.

MOTIVACIÓN HACIA LAS MATEMÁTICAS

M1 La matemática es demasiado teórica para que pueda servirme de algo.

M2 Las matemáticas pueden ser útiles para el que decida realizar una

carrera de “ciencias”, pero no para el resto de los estudiantes.

M3 La materia que se imparte en las clases de Matemáticas es muy poco

interesante.

CONFIANZA HACIA LAS MATEMÁTICAS

C1 Tener buenos conocimientos de Matemáticas incrementará mis

posibilidades de trabajo.

C2 Me provoca una gran satisfacción el llegar a resolver problemas de

Matemáticas.

C3 Si me lo propusiera creo que llegaría a dominar bien las Matemáticas.

Tabla 2. Subescalas de Motivación y Confianza de Auzmendi (1992)

4.3. Procedimiento

A principio de los cursos académicos 2012/13, 2013/14, 2014/15 y 2015/16 en la primera

semana de clase se les aplicó a los alumnos una serie de pruebas para conocer su relación afectivo-

cognitiva con las Matemáticas. Dos de las pruebas fueron el Cuestionario de Ansiedad de Fennema-

Sherman (1976) y la Escala de Actitud de Auzmendi (1992) que incluye las subescalas de Motivación

y Confianza. En el análisis de los resultados se utiliza el paquete estadístico Systat 13.0

5. Resultados

5.1. Estadísticos

El índice alfa de fiabilidad de Cronbach del cuestionario de Ansiedad es 0,885, el de Motivación

es 0,557 y el de Confianza es de 0,363. El hecho de que estos dos últimos índices sean bajos puede

estar ocasionado porque son factores poco diferenciados y específicos. Al considerar conjuntamente

Motivación y Confianza su índice es 0,602.

La media y la desviación típica de los 12 ítems de Ansiedad, se presentan en la Tabla 3 en

donde todos tienen de mínimo 1 y de máximo 5, siendo el número de alumnos 829.




AN1 AN2 AN3 AN4 AN5 AN6

Media 3,176 2,993 3,693 3,920 3,686 2,706

DT 1,163 1,180 1,113 1,074 1,147 1,068


Media 2,802 2,519 2,452 2,627 2,917 2,779

DT 1,132 1,103 1,100 1,041 1,146 1,161

Tabla 3. Estadísticos por ítems de Ansiedad

El ítem con menor puntuación es AN9 (Me pongo malo cuando pienso en resolver problemas

de matemáticas) y el de mayor puntuación AN4 (Casi siempre me pongo nervioso en un

examen de Matemáticas).

El ítem con las respuestas más concentradas es AN10 (Cuando hago un problema de

matemáticas se me queda la mente en blanco y no soy capaz de pensar claramente) y con las

respuestas más dispersas el AN2 (No me gustaría nada hacer más cursos de matemáticas).

En la Tabla 4 se presentan la media y desviación típica de los seis ítems, tres de Motivación y

tres de Confianza de los 829 alumnos en donde la puntuación mínima es 1 y la máxima es 5.

MOTIVACIÓN CONFIANZA

M1 M2 M3 C1 C2 C3

Media 3,919 4,163 3,461 3,753 4,344 3,800

DT 0,931 0,885 0,914 0,886 0,945 0,892

Tabla 4. Estadísticos por ítems de Motivación y Confianza

El ítem C2 (Me provoca una gran satisfacción el llegar a resolver problemas de Matemáticas)

tiene la puntuación más alta y más dispersa.

El ítem M3 (La materia que se imparte en las clases de Matemáticas es muy poco interesante)

tiene la puntuación más baja.

El ítem M2 (Las Matemáticas pueden ser útiles para el que decida realizar una carrera de

“ciencias”, pero no para el resto de los estudiantes) tiene las respuestas más concentradas.

En las Tablas 5 y 6 se presentan los estadísticos por variable tanto generales como por género,

siendo la edad de los alumnos entre 17 y 53 años, 829 los participantes, 213 hombres y 616 mujeres.

EDAD ANS ANG ANP ANE MO CO

Media 21,68 3,015 2,834 2,910 3,504 3,844 3,966

DT 4,776 0,744 0,826 0,801 0,918 0,662 0,602

Tabla 5. Estadísticos por variables

En Ansiedad ante las Matemáticas (ANS) por encima de la puntuación neutral 3 hay 416

futuros maestros, el 50,18% del total de la muestra.

En Ansiedad hacia las Matemáticas en General (ANG), por encima de 3 hay 314, el 37,88%.



En Ansiedad ante Problemas (ANP), por encima de 3 hay 306, el 36,91%.

En Ansiedad ante Exámenes (ANE), por encima de 3 hay 564, el 68,03%.

En Motivación (MO), por encima de 3 hay 707, el 85,28%.

En Confianza (CO), por encima de 3 hay 757, el 91,31%.

HOM EDAD ANS ANG ANP ANE MO CO

Media 22,415 2,676 2,522 2,634 3,059 3,717 4,002

DT 5,085 0,701 0,754 0,720 0,939 0,645 0,580

MUJ

Media 21,425 3,132 2,942 3,005 3,657 3,888 3,954

DT 4,642 0,723 0,823 0,806 0,860 0,663 0,610

Tabla 6. Estadísticos por variables y sexo

En hombres ANS por encima 3 hay 67 hombres, el 31,46%, del total de alumnos y en mujeres

349, el 56,66%, del total de alumnas.

En hombres ANG por encima de 3 hay 50, el 23,47%, y en mujeres 264, el 42,86%.

En hombres ANP por encima de 3 hay 48, el 22,54%, y en mujeres 258, el 41,88%.

En hombres ANE por encima de 3 hay 104, el 48,83% y en mujeres 460, el 74,68%.

En hombres MO por encima de 3 hay 177, el 83,10% y en mujeres 530, el 86,04%.

En hombres CO por encima de 3 hay 199, el 93,43% y en mujeres 558, el 90,58%.

En las Tablas 7 y 8 se presentan los estadísticos por variable, tanto ansiedad total como ansiedad

general, ansiedad ante problemas y ansiedad ante exámenes y en actitud la motivación y la confianza.

En la Tabla 7 resultados globales y en la Tabla 8 por género de los cursos académicos (CA) 2012/13,

2013/14, 2014/15 y 2015/16.

CA N ANS ANG ANP ANE MO CO

12/13 309 3,022 2,880 2,901 3,468 3,782 3,866

13/14 197 3,000 2,779 2,969 3,536 3,860 3,927

14/15 142 2,976 2,800 2,833 3,424 3,939 4,108

15/16 181 3,050 2,841 2,921 3,591 3,858 4,068

MUES 829 3,015 2,834 2,910 3,504 3,844 3,966

Tabla 7. Medias por Curso Académico

La Ansiedad ante las Matemáticas (ANS) varía en 74 milésimas de unos cursos a otros.

La Ansiedad hacia las Matemáticas en General (ANG) se encuentra en todos los cursos por

debajo de 3 (valor neutral).

La Ansiedad ante la Resolución de Problemas (ANP) no llega a 3.

La Ansiedad ante los Exámenes (ANE) supera en todos los casos el valor neutral 3.

Tanto la Motivación (MO) como la Confianza (CO) de los futuros maestros es alta, situándose

en torno al valor 4.




CAH N ANS ANG ANP ANE MO CO

12/13 60 2,736 2,608 2,683 3,117 3,628 3,828

13/14 52 2,566 2,365 2,647 2,955 3,808 3,981

14/15 42 2,627 2,488 2,571 2,934 3,802 4,111

15/16 59 2,747 2,596 2,616 3,181 3,667 4,119

MUES 213 2,676 2,522 2,634 3,059 3,717 4,002

CAM

12/13 249 3,091 2,946 2,953 3,553 3,819 3,875

13/14 145 3,155 2,928 3,085 3,745 3,878 3,908

14/15 199 3,122 2,932 2,943 3,630 3,997 4,107

15/16 122 3,196 2,959 3,068 3,790 3,951 4,044

MUES 616 3,132 2,942 3,005 3,657 3,888 3,954

Tabla 8. Medias por Curso Académico y sexo

En hombres (CAH) Ansiedad ante las Matemáticas (ANS) y sus subescalas están por debajo

del valor 3, excepto en dos cursos en donde la ansiedad ante los exámenes (ANE).

En Motivación y Confianza, tanto en hombres (CAH) como en mujeres (CAM), en todos los

cursos es superior a 3,5.

Las alumnas, aunque con valores muy próximos a los alumnos, están más motivadas que sus

compañeros.

En Ansiedad ante las Matemáticas, solo en Ansiedad hacia las Matemáticas en General las

alumnas están por debajo del valor neutral 3.

En las Tablas 9 y 10 se presentan los estadísticos por variable tanto generales como por género

de los cursos 2.º, 3.º y 4.º del Grado de Maestro de Primaria.


2.º 380 3,043 2,861 2,971 3,524 3,882 3,963

3.º 273 3,052 2,888 2,900 3,526 3,735 3,951

4.º 176 2,898 2,691 2,794 3,424 3,932 3,996

MUES 829 3,015 2,834 2,910 3,504 3,844 3,966

Tabla 9. Medias por Curso del Grado de Maestro de Primaria

La Ansiedad ante las Matemáticas de los alumnos de 4.º es menor que en los alumnos de 2.º.

La ansiedad general, ante problemas y ante exámenes es en 4.º inferior a 2.º

La Confianza y Motivación más altas las tienen los alumnos de 4.º curso.




2.º 90 2,680 2,548 2,663 3,040 3,678 3,963

3.º 68 2,672 2,500 2,583 3,083 3,672 4,020

4.º 55 2,676 2,506 2,648 3,061 3,836 4,042

MUES 213 2,676 2,522 2,634 3,059 3,717 4,002

CAM

2.º 290 3,156 2,959 3,067 3,675 3,945 3,963

3.º 205 3,178 3,016 3,005 3,673 3,756 3,928

4.º 121 2,999 2,775 2,859 3,590 3,975 3,975

MUES 616 3,132 2,942 3,005 3,657 3,888 3,954

Tabla 10. Medias por Curso del Grado de Maestro de Primaria y sexo

Los alumnos de 4.º curso están más motivados y tiene mayor confianza en las Matemáticas

que los de 2.º y 3.º

La ansiedad ante los exámenes (ANE) más baja la tiene los alumnos de 2.º curso.

La ansiedad hacia las Matemáticas en General (ANG) y la ansiedad ante la resolución de

problemas (ANP) más baja la tienen los alumnos de 3.º.

Menor ansiedad ante las matemáticas las alumnas de 4.º que las de 2.º.

Menor ansiedad hacia las Matemáticas en general, ante problemas y ante exámenes tienen las

alumnas de 4.º respecto a las de 2.º

Mayor confianza y motivación las alumnas de 4.º que las de 2.º.

5.2. Correlación de Pearson

En la Tabla 11 se presentan las correlaciones de Pearson más altas entre los ítems de ansiedad y

en la Tabla 12 las correlaciones entre las variables analizadas.

AN7-AN8 AN4-AN5 AN11-AN12 AN8-AN12 AN7-AN12 AN9-AN10 AN10-AN12

r 0,727 0,685 0,680 0,647 0,639 0,619 0,614

p <.001 <.001 <.001 <.001 <.001 <.001 <.001

Tabla 11. Correlaciones entre ítems de Ansiedad más altos

Todas las correlaciones entre ítems son significativas excepto AN2-AN3.

Las correlaciones entre los ítems de Motivación son bajas (la mayor M1-M2 es 0,375), aunque

todas son significativas.

En Confianza todas las correlaciones son significativas, siendo la más alta C1-C3 con 0,176.

ANS-ANG ANS-ANP ANG-ANP ANG-ANE ANG-ANE ANP-ANE MO-CO

r 0,929 0,816 0,816 0,675 0,653 0,574 0,368

p <.001 <.001 <.001 <.001 <.001 <.001 <.001

Tabla 12. Correlaciones entre variables de Ansiedad, Confianza y Motivación




Las tres subescalas de la escala de ansiedad correlacionan muy alta con ansiedad hacia las

matemáticas (ANS) y entre ellas.

Ansiedad correlaciona negativamente con motivación y confianza. A mayor motivación menor

ansiedad (r=-0,226, p<.001) y a mayor confianza menor ansiedad (r=-0,316, p<.001).

Todas las correlaciones son significativas menos Motivación-Ansiedad Exámenes (r=-0,085,

p=.223).

5.3. T de Student

Para ver si existen diferencias por género en los ítems de ansiedad, motivación y confianza se

aplicó una t-Student cuyos resultados aparecen en las Tablas 13 y 14. En la Tabla 15 se presentan por

género y probabilidad de las variables estudiadas.


HOM 2,676 2,854 3,296 3,479 3,169 2,385

MUJ 3,349 3,041 3,758 4,073 3,865 2,817

p <.001 .047 <.001 <.001 <.001 <.001

HOM 2,484 2,263 2,178 2,432 2,559 2,455

MUJ 2,912 2,607 2,547 2,708 3,041 2,891

p <.001 <.001 <.001 <.001 <.001 <.001

Tabla 13. Medias de ítems por género de la escala de Ansiedad

En todos los ítems de la escala de Ansiedad de Fennema-Sherman hay diferencias

significativas por género. Mayor ansiedad en alumnas que en alumnos.

MOTIVACIÓN CONFIANZA

M1 M2 M3 C1 C2 C3

HOM 3,634 4,033 3,474 3,765 4,305 3,925

MUJ 4,018 4,208 3,456 3,748 4,357 3,756

p <.001 .013 .804 .811 .489 .017

Tabla 14. Medias de ítems subescalas de Motivación y Confianza

En Motivación en dos de los tres ítems tienen las alumnas mayor puntuación que los alumnos,

siendo significativa la diferencia.

En Confianza en un ítem mejor los alumnos que las alumnas.

SEXO EDAD ANS ANG ANP ANE MO CO

HOM 22,415 2,676 2,522 2,634 3,059 3,717 4,002

MUJ 21,425 3,132 2,942 3,005 3,657 3,888 3,954

p .010 <.001 <.001 <.001 <.001 .001 .319

Tabla 15. Medias por variables Ansiedad, Motivación y Confianza



Los alumnos que participan en el estudio tienen un año más de edad media que las alumnas,

que es significativo.

En todas las escalas de ansiedad las alumnas tienen más ansiedad que los alumnos, siendo las

diferencias significativas.

Las alumnas están más motivadas que los alumnos, siendo la diferencia significativa.

Los alumnos tienen más confianza en las matemáticas que las alumnas, no siendo la diferencia

significativa.

5.4. Análisis de la varianza

Se ha aplicado un Análisis de la Varianza, calculando una F de Snédecor, tanto por Curso del

Grado de Maestro de Primaria (CGMP) como por Curso Académico (CA), de forma global y por

género, siendo los resultados:

Ansiedad por Curso del Grado de Maestro de Primaria (CGMP), (F=2,785, p=.062) no es

significativa.

Motivación por CGMP (F=5,922, p=.003) es significativa a favor de 2.º y 4.º.

Confianza por CGMP no es significativa (F=0,313, p=.732).

Ansiedad por curso académico no es significativa (F=0,298, p=.827).

Confianza por curso académico no es significativo (F=1,943, p=.121).

Motivación por curso académico es significativo (F=7,667, p<.001) a favor de los dos últimos.

5.5. Recta de regresión múltiple

Para ver si las tres subescalas de Ansiedad entran como variables independientes en la ecuación

de Ansiedad ante las Matemáticas (variable dependiente), se aplica una recta de regresión múltiple

resultando que las tres son significativas (p<.001) configurando la expresión de la Tabla 16.

RECTA DE REGRESIÓN MÚLTIPLE VE

ANS = 0,021 + 0,495 ANG + 0,252 ANP + 0,245 ANE 97,80

Tabla 16. Recta de regresión múltiple

Las variables ANG, ANP y ANE resultan muy significativas al aplicar una F de Snédecor

(F=12286,227, p<.001).

La Ansiedad ante las Matemáticas en función de la Ansiedad en General, la Ansiedad ante la

resolución de Problemas y la Ansiedad ante Exámenes tiene una varianza explicada del

97,80% del total.

5.6. Análisis por conglomerados

Mediante este análisis se intenta agrupar a los alumnos tratando de lograr la máxima

homogeneidad en cada grupo y la mayor diferencia entre los grupos. Se han establecido tres grupos y

como medida de disimilitud la distancia euclidiana. Los conglomerados de Ansiedad, Motivación y

Confianza se presentan en la Tabla 17.




ANSIEDAD MOTIVACIÓN CONFIANZA

G1 G2 G3 G1 G2 G3 G1 G2 G3

Min. 1,000 2,667 3,583 1,000 2,667 3,667 1,333 3,000 4,000

Máx. 2,583 3,500 5,000 2,333 3,333 5,000 2,667 3,667 5,000

Media 2,119 3,084 3,975 1,968 3,113 4,160 2,343 3,484 4,331

DT 0,356 0,248 0,347 0,482 0,251 0,411 0,361 0,239 0,320

N 243 387 199 21 206 602 36 273 520

% 29,31 46,68 24,0 2,53 24,85 72,62 4,34 32,93 62,73

Tabla 17. Conglomerados en Ansiedad, Motivación y Confianza

El grupo inferior G1 en Ansiedad (29,31%) debería de corresponderse con el grupo superior

G3 de Motivación (72,62%) y Confianza (62,73%). Como eso no ocurre no podemos asegurar

que esta distribución en conglomerados pueda resultar útil en el estudio.

Más del 60% de los participantes tienen una motivación alta y una confianza alta hacia las

Matemáticas, pero tan solo tres de cada diez tiene una ansiedad baja ante las Matemáticas.

6. Discusión y Conclusiones

En la Escala de Fennema-Sherman (1976), tanto en el presente estudio como en el de Sánchez-

Mendías (2013) y en mujeres de Pérez-Tyteca (2012) el ítem con puntuación más alta es AN4 (Casi

siempre me pongo nervioso en un examen de matemáticas) mientras que la puntuación más baja es

AN9 (Me pongo malo cuando pienso en resolver problemas de Matemáticas) en nuestro estudio y en

el de Pérez-Tyteca (2012) es AN8 (Las matemáticas me ponen incómodo, inquieto irritable e

impaciente) y en el de Sánchez-Mendías (2013) es AN6 (Normalmente estoy intranquilo en las clases

de Matemáticas). En los 12 ítems las diferencias son significativas con mayor ansiedad en las alumnas,

siendo en el estudio de Pérez-Tyteca (2012) también significativas con más ansiedad para mujeres. El

nivel de ansiedad se ha reducido tras la formación matemáticas recibida, en contra de lo obtenido por

Mato (2015) y Marban et al. (2016) en que aumentaba. Es importante el resultado obtenido en el ítem

de confianza C2 (Me provoca una gran satisfacción el llegar a resolver problemas de matemáticas) en

donde la media 4,344 es el valor más alto de los ítems de confianza y motivación.

En el estudio realizado la media de ansiedad se sitúa en 3,015, en Pérez-Tyteca (2012) en la

titulación de maestros en 2,91 y en Sánchez-Mendías (2013) en 2,76, todos ellos medidos con la

misma escala de Fennema-Sherman, lo que viene a indicar que hay en los futuros maestros una

ansiedad moderada. Que aumenta ante la resolución de problemas a 3,50, y en el estudio de Pérez-

Tyteca (2012) a 3,57 y en el de Sánchez-Mendías (2013) a 2,60. Y en Exámenes en mujeres en el

presente estudio se eleva a 3,66, en Pérez-Tyteca (2012) a 3,31 y en Sánchez-Mendías a 3,14.

Considerando las puntuaciones de Ansiedad (ANS) y desglosando por Ansiedad hacia las

Matemáticas en General (ANG), Ansiedad ante Problemas (ANP) y Ansiedad ante Exámenes (ANE),

las puntuaciones más altas en ansiedad en este estudio y en otros (Rosario et al. 2008, Pérez-Tyteca,

2012; Sánchez-Mendías, 2013; Nortes y Nortes, 2014 y Maroto, 2015) las tienen las mujeres frente a

los hombres, siendo la diferencia significativa. De todas las medias la más alta es en mujeres de

nuestro estudio ante exámenes. Considerando por género en las tres subescalas de los estudios

referenciados las diferencias son significativas, teniendo más ansiedad las alumnas.

En Ansiedad hacia las matemáticas con puntuación superior a 3 (valor neutral) hay más de la

mitad de los futuros maestros, llegando en el caso de ansiedad ante los exámenes al 68%. Por sexo en



hombres por encima de 3 hay uno de cada cuatro, mientras que en mujeres una de cada dos, siendo

ante exámenes uno de cada dos alumnos y tres de cada cuatro alumnas. Los hombres tienen mayor

confianza y las mujeres mayor motivación, siendo en este caso significativa (p=.001). También

Maroto (2015) obtuvo que los hombres tienen más confianza que las mujeres, siendo la diferencia

significativa.

Por curso académico la ansiedad (ANS) más alta se da en el curso 15/16 y la más baja en el

14/15, con pequeñas variaciones y ocurre igual ante exámenes (ANE). Mayor ansiedad en mujeres que

en hombres en todos los cursos académicos.

Por cursos del Grado de Maestro en todas las variables los alumnos de 4.º tienen menos

ansiedad que los de 2.º y mayor motivación y confianza, que es contrario a lo obtenido por Maroto

(2015) en donde al finalizar los estudios del grado los maestros en formación no tienen menos

ansiedad que cuando iniciaron sus estudios y “la formación que estamos dando a los futuros maestros

no hace mejorar las emociones matemáticas con las que acceden a los estudios de grado” (p. 295).

En el análisis de la varianza llevado a cabo, la ansiedad, aunque es menor en 4.º que en 2.º

considerando los tres cursos del grado no resulta significativa, al igual que ocurre con confianza. Si lo

es la motivación favorable a 2.º y 4.º y significativa. Y por curso académico la ansiedad no tiene

diferencias significativas en los cuatro cursos, tampoco la confianza, pero si la tiene motivación

favorable a los cursos 14/15 y 15/16.

Las correlaciones entre Ansiedad y las subescalas son altas, todas ellas significativas, mientras que la

correlación entre Motivación y Confianza no tiene valor alto, aunque si es significativa. Como era de

prever la ansiedad correlaciona negativamente con motivación y confianza, lo que nos indica que un

alumno con ansiedad ante las matemáticas está poco motivado y tiene poca confianza en las matemáticas.

En la recta de regresión múltiple las tres subescalas (ANG, ANP y ANE) actúan como variables

independientes en la expresión de la ansiedad hacia las matemáticas (ANS) considerada como variable

dependiente, viendo que las tres subescalas aplicando la t-Student resultan significativas (p<.001) y

que la ecuación obtenida explica el 97,8% de la varianza total.

Sánchez-Mendías (2013) obtiene tres conglomerados en donde el 30,94% de los alumnos tienen

Ansiedad baja, media el 40,57% y alta el 28,48%. Con Autoconfianza baja el 28,07%, media el 41,39%

y alta el 30,53%, comprobando que en la mayoría de los casos los sujetos que conforman el perfil de

Ansiedad baja también pertenecen al perfil de Confianza alta. En el estudio realizado el porcentaje de

estudiantes con Ansiedad baja, Motivación alta y Confianza alta no se corresponden, dando a entender

que hay alumnos con Confianza y Motivación alta que no pertenecen al grupo de Ansiedad baja.

¿Qué conclusiones podemos obtener del presente estudio con futuros maestros de primaria? Estamos

de acuerdo con Martínez (2008) cuando dice que en el aula los estudiantes construyen actitudes positivas,

neutras y negativas, siendo éstas las que conducen hacia el rechazo a las matemáticas. Y Pérez-Tyteca

(2012) aporta un dato preocupante cuando manifiesta que los futuros maestros serán los encargados de

enseñar matemáticas a las nuevas generaciones y precisamente se encuentran entre los alumnos con mayor

ansiedad matemática, sextos en una lista de veintiséis titulaciones diferentes. Y Sánchez-Mendías (2013)

considera que un buen maestro se debe caracterizar por una baja ansiedad y una alta confianza, porque “la

ansiedad es la raíz de muchos casos de fobia o rechazo escolar y la necesidad de prevenirla se comprende

cuando se piensa en los efectos que el fracaso escolar llega a tener” (p. 222).

La ansiedad y la falta de motivación y confianza se genera desde los primeros niveles

educativos. Las experiencias negativas vividas en la asignatura de matemáticas y la metodología




utilizada por algunos profesores hacen que los bloqueos vayan aumentando en el estudiante ante el

desconocimiento de cómo proceder ante la resolución de un problema matemático, situándose en un

camino de difícil retorno. Además, cuando los alumnos llegan a la Universidad e inician los estudios

del Grado de Maestro de Primaria los profesores del Área de Didáctica de las Matemáticas no siempre

utilizan adecuadamente los recursos a su alcance dentro del dominio afectivo.

Porque “lo cognitivo y afectivo parecen ser indivisibles y ambos tienen responsabilidades en las

actuaciones evaluativas emitidas por los sujetos ante determinados objetos, personas o situaciones”

(Martínez, 2008, p. 251). Si añadimos que un porcentaje elevado de alumnos muestra una clara

desmotivación hacia las matemáticas y que según Ruiz de Gauna et al. (2013, p. 12) “constituye un

tercio del alumnado, futuros maestros, que esperan recibir una enseñanza práctica ligada a los contenidos

que debe impartir”, que aprueban la materia uno de cada dos estudiantes (Nortes y Nortes, 2016), que un

74,31% son mujeres y que tres de cada cuatro alumnas tienen una ansiedad ante los exámenes superior a

la neutra, aunque más del 85% de los futuros maestros se muestren motivados y con confianza,

estaremos describiendo la situación real de los estudios del Grado de Maestro de Primaria.

Como aportaciones del presente estudio están las ligeras diferencias obtenidas a lo largo de los

cuatro cursos en Ansiedad, Motivación y Confianza de los alumnos del Grado de Maestro de Primaria,

con valores mejorables en la primera y altos en las otras dos. Se ratifican las investigaciones anteriores

de que las mujeres tienen más ansiedad que los hombres y al ser mujeres tres de cada cuatro

estudiantes hace necesario e imprescindible rebajar su nivel de ansiedad ante las Matemáticas. El

hecho de que las futuras maestras cuando finalizan sus estudios tienen menos ansiedad que cuando los

iniciaron, más confianza y más motivación ante las Matemáticas es un resultado altamente positivo.

En general es necesario rebajar el grado de ansiedad de las futuras maestras. Para ello es preciso

que inicien el Grado de Maestro de Primaria con unos conocimientos básicos en Matemáticas y en

Resolución de Problemas que eviten la angustia, el miedo, los nervios, los agobios… hacia la

asignatura y que puedan cursar la Didáctica de las Matemáticas con actitudes positivas que permitan

entusiasmarse con las Matemáticas y transmitirlo posteriormente a sus futuros alumnos. Para ello

Gómez-Chacón (2016) destaca en la determinación de la interacción cognición y afecto en

matemáticas: la estructura del afecto local, la conceptualización del trabajo matemático, las decisiones

metodológicas y el análisis implicativo de datos.

Los alumnos que acceden al Grado de Maestro de Primaria tienen confianza y están motivados

hacia las Matemáticas y para reducir los niveles de ansiedad y aumentar la confianza en sí mismos, se

propone que refuercen sus conocimientos de matemáticas escolares. Para ello, en la primera parte de la

asignatura inicial de Matemáticas y su didáctica, mediante clases activas se trabaje por grupos los

conceptos fundamentales de matemáticas y la resolución de problemas, comentando las estrategias

utilizadas, dando mayor peso a los procedimientos que a los resultados, analizando las dificultades y

los errores y aprendiendo de ellos.

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Primaria. Tesis doctoral inédita. Universidad de Granada, Granada.

Rosa Nortes Martínez-Artero. Profesor Ayudante Doctor de la Facultad de Educación de la Universidad

de Murcia. Pertenece al Departamento de Didáctica de las Ciencias Matemáticas y Sociales. Líneas de

investigación relacionadas con la formación inicial de maestros. Últimas publicaciones: “Resolución de

problemas, errores y dificultades en el Grado de Maestro de Primaria” (Revista de Investigación

Educativa, 34.1) y “¿Qué pensaban los estudiantes de las diplomaturas de maestro de educación primaria

sobre las clases de ciencias de sus prácticas de enseñanza?” (Enseñanza de las Ciencias, 34.1).


Andrés Nortes Checa. Profesor de la Facultad de Educación de Universidad de Murcia. Pertenece al

Departamento de Didáctica de las Ciencias Matemáticas y Sociales. Líneas de investigación relacionadas

con la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.


https://uvadoc.uva.es/bitstream/10324/16201/1/Tesis815-160222.pdf

http://www.mecd.gob.es/inee/PISA-in-focus.html

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ISSN: 1887-1984


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TIPS de ruta

María Jesús Casado Barrio (Instituto de Enseñanza Secundaria F. Daviña Rey. Lugo. España)

Resumen TIPS de Ruta es un proyecto de movilidad desarrollado durante el curso 2015-2016 en

las materias de matemáticas y tecnología de la información y la comunicación, cuya

misión es fomentar el respeto por la movilidad sostenible y segura a partir del estudio de

modelos matemáticos de rutas temáticas. Como productos finales se obtuvieron mapas de

rutas en formato metrominuto, una aplicación para dispositivos Android y distintas

actividades publicadas en los blogs del proyecto, además de entradas en la wikipedia.

Una parte se realizó conjuntamente con profesoras portuguesas a través de un proyecto

eTwinning con el nombre de TIPS de movilidad España-Portugal.

Palabras clave Rutas, movilidad, metrominuto, geogebra, eTwinning, proyecto.

Abstract TIPS de ruta is a mobility project developed during the 2015-2016 course in math and

information technology and communication, whose mission is to promote respect for

sustainable and safe mobility from the study of mathematical models of routes themes.

As final products route maps were obtained in metrominuto format, an application for

Android devices and various activities posted on the blogs of the project, and Wikipedia

entries. A party was held jointly with Portuguese teachers through an eTwinning project

with the name of TIPS of mobility Spain-Portugal.

Keywords Routes, mobility, metrominuto, geogebra, eTwinning, project.

1. Introducción

En el año 2012 la Consejería de Educación gallega propone a su red de centros una iniciativa

basada en el aprendizaje por proyectos, el “Plan Proxecta”. La idea inicial es promover la innovación a

través de programas educativos que desarrollen el aprendizaje por competencias, la educación en

valores y el trabajo interdisciplinar del profesorado. En un principio recoge diversos programas que ya

existían en otras consejerías, e incluye alguno nuevo, agrupándolos bajo un mismo marco legal.

Para una parte del profesorado, entre los que me incluyo, la idea de trabajar con una cobertura

de formación y un reconocimiento a través de horas de innovación, nos pareció una oferta interesante,

ya que estábamos aplicando en nuestras aulas esta metodología por cuenta propia sin más aval que

nuestra propia experiencia.

Este fue el principio de partida de una serie de proyectos que en el IES Daviña Rey hemos

venido desarrollando, de los que he sido coordinadora, y que han tenido como eje fundamental la

búsqueda de modelos matemáticos de situaciones reales, y su aplicación dentro y fuera del aula.

A lo largo de estos cuatro años hemos ido creando distintas estrategias de trabajo y formado un

grupo de colaboradores que participan, bien en la parte local (Plan Proxecta), o bien en la parte

internacional (proyecto etwinning).

TIPS de ruta M.J. Casado Barrio


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Existen temáticas clave que por su relevancia social son recurrentes en proyectos escolares,

aparecen en páginas de organismos e instituciones, e incluso disponen de materiales de aula muy

completos, cualquier profesor que quiera aplicarlos en sus clases puede hacerlo de forma sencilla. Sin

embargo no todos presentan el enfoque curricular que sería necesario para que se considere integrado

y permita formar parte de los estándares evaluables de una materia.

En nuestro caso, el bloque uno del currículo, procesos, métodos y actitudes en matemáticas, es

totalmente abordable desde una metodología por proyectos, con algunos criterios de evaluación muy

ligados a este aspecto como por ejemplo “Valorar la modelización matemática como un recurso para

resolver problemas de la realidad cotidiana, evaluando la eficacia y limitaciones de los modelos

utilizados o construidos”. Pero para los demás bloques es necesario hacer una adaptación de las

actividades que se proponen en los materiales existentes en la red, analizando qué estándares se

trabajan en cada una de ellas e introduciendo las modificaciones que sean necesarias.

La resolución de problemas es una parte de la competencia matemática que tradicionalmente se

relega a la habilidad de resolver ejercicios pautados. Estos se presentan agrupados por contenidos

matemáticos lo que implica desligarlos de contextos reales, habida cuenta de que en el mundo real los

problemas son heterogéneos y por lo tanto no están asociados a un único concepto.

Otra cuestión de interés es la interdisciplinaridad, que también se intenta evitar para que la

dificultad de la resolución sea exclusiva de la materia, esta situación caduca en el momento en que

nuestros alumnos ponen un pie en la calle y entran en la vida laboral.

El aprendizaje por proyectos va en contra de ambas actitudes y presenta las matemáticas como

un conjunto, dentro de un contexto real y como un valor necesario, útil, imprescindible y básico, no

sólo dentro de la vida escolar (para otras materias) sino también en su día a día.

Durante el curso 2015-2016 nuestro proyecto versó sobre el tema “Movilidad sostenible y

segura”. Este programa está promovido por la Dirección General del Tráfico, organismo que

proporciona abundante información en su portal web además de formación específica para docentes.

Su principal objetivo es incentivar la participación de alumnado y profesorado en la mejora de la

movilidad en los dos aspectos indicados, en su entorno más cercano y en los desplazamientos

habituales. El programa liga de modo directo con los objetivos de la secundaria y del bachillerato, de

hecho este tema está nombrado de forma específica como objetivo para bachillerato en el Real Decreto

1105/2014, de 26 de diciembre, en su artículo 25, apartado n)1.

La movilidad tiene una fuerte conexión con las ciencias sociales (mapas y lugares), con la física

(magnitudes asociadas al movimiento), con la economía (coste del transporte, sostenibilidad), con la

biología (medio ambiente, aparato locomotor), con la educación física (caminar como deporte,

bicicleta), y con contenidos a tratar en todas las materias como la salud. El tema es demasiado amplio

para abordar en todos sus aspectos, por ello es preciso buscar actividades que combinen distintos

enfoques, con las matemáticas como elemento vertebrador.

El planteamiento inicial de un proyecto tiene una serie de etapas que, a nuestro juicio, son las

siguientes:

Justificación/motivación (misión, objetivos y título del proyecto)

1 Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial.




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Participantes (alumnado, profesorado, organismos y expertos)

Posibles actividades relacionadas con el currículo de las materias y calendario

aproximado (temporalización).

Metodología y recursos necesarios para su desarrollo (presupuesto).

Evaluación (procesual y final).

En la fase uno, motivación, buscamos un título que represente qué queremos conseguir con el

proyecto, ha de ser original, creativo y fácil de recordar. Esta tarea nos llevó a “TIPS de ruta”,

(consejos para mejorar la movilidad, y creación de rutas, bajo distintas temáticas y con distintas

finalidades). En el caso del proyecto eTwinning el título fue “TIPS de movilidad España-Portugal”.

Una vez que se han decidido los participantes, la selección de actividades pasa por una revisión

del currículo de las materias implicadas, (en este caso matemáticas, 1º y 2º de ESO, y tecnología de la

información y la comunicación, 4º y 1º de bachillerato TIC); y de su cronología, además de

colaboraciones de agentes externos.

Después de una búsqueda en la red obtuvimos una larga lista de problemas que, si bien

aportaron ideas, no guardaban una secuencia didáctica, así que nos centramos en dos o tres procesos

que conectasen con todos los bloques del currículo para elaborar un producto final. Así nos

centramos en la creación de rutas, y en su modelo matemático, los mapas.

La metodología se basó en el trabajo colaborativo, y combinó actividades individuales y en

grupo tanto dentro como fuera del aula, este formato fue compartido por alumnado y profesorado. El

equipo docente se reunía una vez a la semana para coordinar las tareas de cada materia que

convergerían en el producto final. Para llevarlo a cabo se precisaron medios tecnológicos que

permitiesen el trabajo simultáneo entre personas desde distintos lugares, el intercambio de ficheros, y

el almacenamiento conjunto de los materiales utilizados. Así mismo se buscó la difusión a través de

soportes web (públicos y privados).

Habitualmente utilizamos tres herramientas: el paquete de google (drive, gmail, blogger, maps,

youtube …), el aula virtual del centro (aula moodle con acceso sólo para profesores y alumnos), y

Twinspace (portal de trabajo para los proyectos eTwinning). En todos los proyectos creamos blogs

que apoyan la difusión, carpetas compartidas con los ficheros generados en el proceso, y actividades

dentro del moodle privado con los resultados de las evaluaciones. Además, utilizamos software

específico de matemáticas y programación para tareas concretas, geogebra, hojas de cálculo, App

Inventor … y en este empleamos también aplicaciones para el análisis de rutas como endomondo y

wikiloc. Otras herramientas de comunicación que utilizamos de forma más esporádica, fueron skype o

whatsapp.

La evaluación de las actividades se realizó durante todo el curso escolar, con instrumentos de

distintos tipos (pruebas, observación, rúbricas), que combinaron el análisis de la expresión oral y

escrita, y la presentación de resultados/productos en público. Las calificaciones formaron parte de la

nota del trimestre y se integraron en la nota global del curso. También se realizó una evaluación del

proyecto, al finalizar, en la que se recogieron sugerencias, el grado de alcance de los objetivos, así

como el de satisfacción de los participantes. Esto se hizo tanto para la parte local como para la

realizada con el alumnado extranjero.

Para nosotros es muy importante que los proyectos sean intracurriculares; no tiene sentido su

tratamiento ocasional, como propuesta extraescolar, para participar en un concurso o sin formar parte

de las calificaciones. Creemos que este tipo de enfoques minusvaloran las actividades y hacen que el

alumnado no se tome en serio el tema del programa. Esto no es incompatible con que una parte del



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proyecto contenga actividades extraescolares, de hecho es recomendable; o que una vez realizado, si

se estima oportuno, se presente a un concurso, como una evaluación externa que nos aportará una

valoración final del trabajo realizado; pero esto no debe verse como un objetivo sino un incentivo.

2. TIPS de ruta. Objetivos del proyecto

En las líneas anteriores ya se ha ido adelantando qué se pretende en el aprendizaje por

proyectos, de hecho existen unos objetivos comunes a todos ellos que podemos resumir en los

siguientes:

Motivar al alumnado con un proyecto actual, innovador, integrador y abierto la toda la

comunidad educativa, que le ayude a formarse como ciudadano responsable.

Cambiar el papel del alumnado para que adopte una actitud activa frente a los problemas

de su entorno, aportándole herramientas tecnológicas que le permitan cambiar esta

situación y comunicarse con otras personas en la búsqueda de un bien común.

Romper los muros del aula y sacar al exterior las actividades realizadas utilizando los

medios de publicación de la web 2.0.

Identificar, formular y resolver problemas del entorno a partir de su experiencia

cotidiana, utilizando para ello las matemáticas, la informática y los recursos de los que

dispone el centro.

Elaborar nuevos materiales didácticos relacionados con el tema a tratar que faciliten la

labor educativa de otros docentes.

Experimentar nuevas formas de organizar el trabajo a partir de almacenes en la nube y

sitios de recursos compartidos (cloud computing).

Desarrollar un aprendizaje innovador, autónomo y cooperativo a partir de las nuevas

tecnologías.

Hacer un uso responsable de la red y del hardware de conexión (dispositivos móviles,

tabletas, ordenadores); discriminando la información obtenida y respetando los derechos

de autor y de imagen.

Para este proyecto en particular añadimos

Sensibilizar a los ciudadanos en general y a nuestros alumnos en particular sobre la

importancia de la seguridad y de la sostenibilidad en sus desplazamientos como

viajeros y como peatones, principalmente los escolares.

Concienciar a la comunidad educativa de la posible prevención de accidentes de

movilidad a partir del análisis de sus causas, dando a conocer las conductas de riesgo y

explicando cómo evitarlas.

Generar sinergias entre el centro, los organismos locales y las familias, para lograr los

objetivos anteriores.

Buscar similitudes y diferencias de movilidad entre la zona de los dos centros

participantes de Portugal y de España.

3. TIPS de ruta: Actividades

3.1. Metrominutos

Las actividades realizadas combinan distintas estrategias de aprendizaje: organización,

planificación, comprensión, elaboración y ensayo, y evaluación. El producto final que hizo el papel de




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columna vertebral fue el metrominuto i. Para los que no conozcan este tipo de mapas un metrominuto

es un mapa sinóptico, similar a los mapas de metro, que fue ideado por el ayuntamiento de Pontevedra,

y que en su inicio se pensó como mapa pedestre para difundir rutas por esta ciudad que fuesen de fácil

recorrido indicando las distancias en metros y los tiempos en minutos, de ahí su nombre.

El proyecto, en sus dos vertientes, local e internacionalii, tuvo una primera presentación ante el

alumnado a cargo del profesor en prácticas del máster de secundaria José Antonio López Pérez,

ideario del logo M3 y constructor del primer diseño. Hay que señalar que en nuestro centro, la

integración del profesorado en prácticas en los procesos docentes pasa por su inclusión en los

proyectos que desarrollamos siempre que sea posible.

Cuando se planteó la primera actividad, dentro del bloque de funciones para el curso de segundo

de ESO, se pensó en un recorrido limitado por el centro de Monforte, ubicado en un mapa dentro de

un diagrama cartesiano y utilizando como herramienta geogebra. Este mapa se incluyó dentro de una

situación de aprendizaje, para que el alumnado trabajando en equipo lo analizase y completase.

Simultáneamente comenzamos la publicación en el blog del proyecto de las tareas que íbamos

realizando. En la entrada MetroMinuto Monforte [M3]: Actividad en equipo orientada a

competenciasiii

, se explica con todo detalle el proceso de elaboración, aplicación y evaluación, así

como los estándares asociados y las posibles ampliaciones que se implementaron más adelante,

metrominutos temáticos.

Figura 1. Primer mapa de rutas realizado con geogebra

En este primer mapa el punto (0,0) es la Plaza de España, y los demás puntos se eligen por su

vinculación a los lugares donde vive nuestro alumnado, intentando que haya valores en todos los

cuadrantes. Aquí ya vimos la necesidad de que fuesen ellos quienes decidiesen qué puntos deberían

estar o no y cómo situarlos en función del destino final del mapa. Así, el metrominuto escolar contiene

los centros educativos de Monforte y otros puntos necesarios para conectarlos mediante rutas, pero su

centro de coordenadas no es la Plaza de España porque la distribución de éstos no lo aconseja.

Recordamos que no se trata de un mapa a escala sino de un mapa sinóptico.

https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/metrominutoquees.html

https://twinspace.etwinning.net/13138/home

https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/metrominuto-monforte-actividad-equipo-competencias-lomce.html

https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/metrominuto-monforte-actividad-equipo-competencias-lomce.html



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A modo de resumen estas serían las etapas de elaboración de los mapas:

Búsqueda de los puntos más relevantes de cada tema (incluye realización de rutas a pie

para la captación de puntos en el terreno)

Colocación de estos puntos en un software de geometría: geogebra

Conexión de los puntos mediante segmentos para elaborar las rutas.

Búsqueda de información sobre las distancias entre puntos en google maps.

Cálculo de tiempos a partir de esas distancias tomando como velocidad 5km/h (esta

referencia es la más común pero se puede variar)

Anotación de tiempos y distancias en un mapa borrador

Elaboración del mapa final (portada) y de la contraportada, en nuestro caso con el

software PowerPoint

Publicación en distintos soportes de los mapas en tamaño A3 y A4.

En el curso escolar 2015-2016 se publicaron tres metrominutos, escolar, de emergencias y de

rutas saludables.

El primero (figura2) y el segundo (figura 3) fueron más sencillos, tienen menor número de

puntos con referencias muy claras. El mapa escolar contiene los centros educativos que figuran en la

página de la consejería de educación de Galicia a los que se suman los puntos clave para su conexión

(cruces, …); el mapa de emergencias contiene los hospitales y farmacias, el centro de salud y los

lugares con desfibrilador (datos proporcionados por el 061), entre los que se incluye nuestro instituto.

Para su publicación se realizaron previamente las inscripciones en el depósito legal de Lugo y una vez

imprimidos se repartieron en centros educativos, farmacias y locales sanitarios.

Figura 2. Mapa de rutas escolares




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Figura 3. Mapa de Emergencias

El tercero (figuras 4 y 5) fue más complicado porque se elaboró sin puntos a priori. En el

proceso se tardaron tres meses y se implicó a distintos organismos oficiales como el ayuntamiento y la

policía local, así como a expertos en la materia. Nuestro objetivo era proporcionar a la ciudadanía

monfortina una serie de rutas para caminar que tuviesen además elementos de interés (naturaleza,

monumentos,…). Para ello tuvimos que investigar las que ya existían, si estaban o no señalizadas, sus

características (distancias, perfil, iluminación, dificultad,…), recorrerlas a pie, decidir si las añadíamos

al mapa o no, plasmarlas en un formato digital, extraer el modelo matemático de cada una de ellas

realizando la transformación del trazado real a líneas poligonales, y finalmente, hacer con todas ellas

el mapa sinóptico, el metrominuto, con un diseño geométrico lo más visual posible y con maquetación

atractiva.

Figura 4. Mapa de rutas saludables hecho con geogebra



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Todo el proceso está documentado en las distintas entradas del blog “Tips de ruta-aula”. En él

se incluyen actividades para cada etapa y bloque temático con tareas que se pueden extraer de las rutas

como por ejemplo, paseos aleatorios, estudios funcionales, proporciones, relaciones algebraicas, …

(ver las entradas del blog funcionesiv, probabilidad

v, estadística

vi, álgebra

vii y geometría

viii).

Los mapas pueden descargarse en este enlaceix que da acceso a una carpeta donde se encuentran

otros archivos como la versión con google maps y una hoja de cálculo con información adicional.

Figura 5. Mapa de rutas saludables

Una de las actividades de funciones elaboradas a partir del metrominuto consistió en el estudio

de las tarifas de taxi locales. Recientemente acababa de publicarse una nueva tarifa en el boletín oficial

de la provincia según la cual el precio de un trayecto (además de incluir la bajada de bandera) está en

función de los kilómetros recorridos, el número de maletas que se transportan, el horario diurno o

nocturno, y si es día laborable o festivo. Este precio incluye un tramo de carencia de mil quinientos

metros, que a la hora de convertir en una función nos lleva a un modelo a trozos. Las distancias

monfortinas son relativamente pequeñas por lo que la mayoría de los trayectos tienen el mismo precio,

están en la zona de carencia, esto coincidía con la experiencia personal de las personas consultadas. La

representación gráfica de las tarifas se hizo con geogebra y sus resultados fueron utilizados en dos

situaciones de aprendizaje distintas, por un lado el proyecto etwinningx, donde españoles y

portugueses hicieron una comparativa de las tarifas a partir de recorridos entre centros educativos de

Barreiro (Portugal) y de Monforte (España) obtenidos de sus mapas escolares. La segunda situación

fue la app para android que el alumnado de informática de cuarto de ESO diseñó con su profesor Luis

Vázquez López basada en el mapa de emergencias, los de segundo colaboraron explicando a los de

cuarto los precios de los taxis para rutas entre el hospital y las farmacias. La app M3Farmaciasxi se

puede descargar de Google play y muestra la farmacia de guardia de distintos lugares y su

localización, además de otras cuestiones de interés.

http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/metrominuto-monforte-actividad-equipo-competencias-lomce.html

http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/04/rutas-y-probabilidades.html

http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/06/opinion-sobre-la-movilidad-en-monforte.html

http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/05/rutas-y-algebra.html

http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/06/geometria-de-la-ruta.html

https://drive.google.com/folderview?id=0B_AkJQPX09X1UldWTk0tNThLSU0&usp=sharing

https://drive.google.com/open?id=0BzR7SnV5OrpwMFpCcmlTSEgzdnM




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Figura 6. Menú App M3Farmacias y portada del mapa de emergencias

3.2. La medida y su valor en la experiencia.

Después de publicar el mapa de rutas saludables la siguiente actividad fue recorrer una de ellas,

optamos por la ruta número cinco. El recorrido cinco (en rojo en la imagen), de forma pentagonal,

recibe el nombre de “Mirador del Monte de Distriz”xii

porque este es el punto más representativo. Una

de las peculiaridades de sus tramos es que hay una relación de progresión aritmética en sus longitudes

(1200, 1400, 1600, 1800 y 2000 m), esta cuestión se utilizó para plantear una situación algebraica. La

suma de todo el trayecto es de 8 km, una cantidad importante para recorrer a pie, y si añadimos que

tiene una pendiente considerable en la subida al mirador tenemos otro concepto matemático

importante de la vida real.

Figura 7. Recorrido realizado en la salida escolar por la ruta número cinco



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Cuando se planteó en clase qué ruta del mapa debíamos hacer a pie desde el instituto se valoró

cuál era la distancia total a recorrer desde el centro educativo, los posibles trayectos y el esfuerzo que

representaban los tramos con pendiente. En principio la ruta cinco pareció viable, pero llegado el

momento se propuso al alumnado tomar un atajo para la subida principal (en la figura 7 puede verse

este atajo, es una captura de pantalla del mapa creado ex proceso para esta salidaxiii

). La respuesta fue

negativa, querían hacer el recorrido completo, y se sentían perfectamente capaces de realizarlo.

Finalmente tomamos el atajo y gracias a esto y al descanso hecho en el mirador para tomar un

tentempié pudimos terminar el largo paseo. Hasta ese momento no fueron conscientes de la magnitud

que representan los ocho mil metros, a los que se añadió el trayecto desde el instituto, y la pendiente

del diez por ciento. Este último dato, la pendiente de subida, dio lugar a varias tareas de aula. Su

desarrollo está volcado en las entradas del blog que muestran la geometría de la rutaxiv

y su

preparaciónxv

.

Figura 8. Atajo para la subida al mirador por la ruta número cinco

3.3. Búsqueda de información, recopilación de datos y colaboración en red

La recopilación de información asociada a la elaboración de los mapas fue compleja, era

necesario elaborar rutas reales y ponerlas en soporte digital partiendo de cero, una tarea demasiado

ardua para alumnado del primer ciclo de ESO, pero la web wikiloc nos facilitó el proceso. En ella

encontramos rutas que otras personas habían realizado y compartido, disponibles para embeber y

descargar, y con posibilidad de modificar. En otro de los blogs del proyecto, “TIPS de ruta”xvi

,

dedicado al público en general, publicamos distintas rutas seleccionadas en esta web a partir de las

cuales se hicieron recorridos que nos llevaron a la selección final del metrominuto de rutas saludables.




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Los alumnos, por parejas, eligieron una ruta para evaluar, la recorrieron durante las vacaciones

de Semana Santa, tomaron datos de tiempos de recorrido y otros elementos como señales, e

iluminación, sacaron fotos y la volcaron en un dibujo manual, y finalmente la pasaron a un archivo de

geogebra. El resto de la información fue compartida en un documento de google drive con el que se

elaboró una presentación para mostrar en clase y al resto del centro educativo el día de las letras

gallegas: descripción de la ruta y mapa real frente a modelo matemático.

En nuestras tareas de investigación sobre la elaboración de rutas observamos que los mapas

peatonales del estilo del metrominuto están alcanzando relevancia entre las actividades que realizan

las instituciones preocupadas por la movilidad sostenible, sin embargo este concepto todavía no

figuraba como tal en la wikipedia. Pensamos que un subproyecto interesante dentro de la materia de

TIC de bachillerato podría ser la publicación de esta palabra. Se hicieron entradas en cuatro idiomas,

castellano, gallegoxvii

, catalánxviii

e inglésxix

. La primera ha sido borrada, intentaremos volver a

publicarla, las demás, de momento, siguén operativas.

Simultáneamente conocimos la existencia de emapicxx

, una plataforma que realiza encuestas

geolocalizadas a través de la cual realizamos un sondeo sobre los medios de transporte utilizados para

ir al instituto. A través de ella conocimos a su responsable, el profesor de la UDC Alberto Varela

García, este nos pidió colaboración en el proyecto de investigación GEOMOVExxi

, cuya finalidad es el

análisis de la movilidad escolar, en el cual también participamos.

Figura 9. Captura de pantalla de emapic

4. TIPS de ruta: proyecto sin final

Si algo tienen en común los proyectos que hemos realizado hasta el momento en nuestro centro

educativo es su valor social, esto les imprime un carácter de continuidad; no se pueden finalizar, ni dar

por completados porque su periodo de vigencia no caduca. Las actividades elaboradas se suman a las

que introducimos con los nuevos temas y van conformando un currículo de matemáticas con valores

éticos, susceptibles de ser retomadas o ampliadas en cualquier momento.

El curso pasado recibimos el primer premio de innovación educativa en Galicia, motivado en

parte por el compromiso que venimos manteniendo desde hace cuatro años con el trabajo por

proyectos. El dinero del premio lo hemos destinado a un viaje educativo en el que aprovechamos para

realizar actividades de movilidad (representación gráfica de la función a trozos del trayecto del

autobúsxxii

, figura 9) y del tema de este curso, alimentación saludablexxiii

. La más relevante fue una cata

https://emapic.es/survey/227osla

http://cartolab.udc.es/geomove/



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alimentaria en la empresa de investigación AZTIxxiv

, en ella conocimos una aplicación de la estadística

en la industria apenas explorada en nuestras aulas que nos dio nuevas ideas. La movilidad y la vida

saludable van de la mano, por ello seguimos trabajando en equipo con el departamento de educación

física y en breve publicaremos un metrominuto que llevará el gasto energético en kilocalorías de cada

ruta elaborado por el alumnado de tercero de ESO.

Figura 10. Gráfica del trayecto de autobús

Otros incentivos que evalúan los resultados de TIPS de ruta positivamente han sido la obtención

del sello de calidad europeo del proyecto etwinning y el primer premio de la IV edición del concurso

de proyectos de educación vial de la DGTxxv

. En este último se valoraban también los estudios que

realizamos de la movilidad del entorno del centro y de nuestra ciudad. A partir de razones,

proporciones, funciones, cambios de unidades, medidas, magnitudes, geometría, álgebra, estadística

… estudiamos las matemáticas de la vida y las ponemos en práctica, dentro y fuera del aula,

difundiendo en blogs y medios de comunicación las actividades y distribuyendo los productos finales

(mapas, calendarios …) en todos los lugares que visitamos.

Caminamos y nos alimentamos midiendo y valorando si estos resultados son correctos no solo

en el cálculo realizado también para nuestra salud, estas son nuestras fuentes de motivación. En

definitiva, utilizamos las matemáticas como un medio para mejorar la calidad de vida.

Bibliografía

Son numerosas las páginas web que se han consultado para la elaboración del proyecto, los enlaces

están publicados en los artículos de nuestros blogs “TIPS de ruta” y “TIPS de ruta-aula” a los que

se hace referencia al final. Destacamos dos páginas por su relevancia en este artículo

Plan Proxecta recuperado de http://www.edu.xunta.es/portal/node/16723

Metrominuto de Pontevedra: http://www.pontevedra.eu/movete/metrominuto/plano-distancias-e-

tempos

http://www.edu.xunta.es/portal/node/16723

http://www.pontevedra.eu/movete/metrominuto/plano-distancias-e-tempos

http://www.pontevedra.eu/movete/metrominuto/plano-distancias-e-tempos




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María Jesús Casado Barrio. Instituto de Enseñanza Secundaria Francisco Daviña Rey. Monforte de

Lemos (Lugo). España. Catedrática de Matemáticas de Enseñanza Secundaria y experiencia profesional

de 27 años de docencia.

Dirección Electrónica: [email protected]

i https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/metrominutoquees.html

ii https://twinspace.etwinning.net/13138/home

iii https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/metrominuto-monforte-actividad-equipo-competencias-

lomce.html iv

http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/metrominuto-monforte-actividad-equipo-competencias-

lomce.html v http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/04/rutas-y-probabilidades.html

vi http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/06/opinion-sobre-la-movilidad-en-monforte.html

vii http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/05/rutas-y-algebra.html

viii http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/06/geometria-de-la-ruta.html

ix https://drive.google.com/drive/folders/0B_AkJQPX09X1UldWTk0tNThLSU0

x https://twinspace.etwinning.net/13138/pages/page/93318

xi http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/m3farmacias.html

xii https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/search/label/Monte%20de%20distriz

xiii https://www.google.com/maps/d/viewer?mid=1JUgJZVLR_4rz1w1oxt16SilafmY&usp=sharing

xiv https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/06/geometria-de-la-ruta.html

xv https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/05/preparando-la-ruta-5.html

xvi http://tipsderuta.blogspot.com.es/2016/03/senderismomonfortewikiloc.html

xvii https://gl.wikipedia.org/wiki/Metrominuto

xviii https://ca.wikipedia.org/wiki/Metrominut

xix https://en.wikipedia.org/wiki/Metrominuto

xx https://emapic.es/survey/227osla

xxi http://cartolab.udc.es/geomove/

xxii https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/12/de-tips-de-ruta-comacinco.html

xxiii https://comacinco.blogspot.com.es/

xxiv https://comacinco.blogspot.com.es/2016/12/catando.html

xxv https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2017/01/primer-premio-iv-edicion-concurso-de.html




http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/04/rutas-y-probabilidades.html

http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/06/opinion-sobre-la-movilidad-en-monforte.html

http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/05/rutas-y-algebra.html

http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/06/geometria-de-la-ruta.html

https://twinspace.etwinning.net/13138/pages/page/93318

http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/m3farmacias.html

https://gl.wikipedia.org/wiki/Metrominuto

https://ca.wikipedia.org/wiki/Metrominut

https://en.wikipedia.org/wiki/Metrominuto

https://emapic.es/survey/227osla

http://cartolab.udc.es/geomove/

https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2017/01/primer-premio-iv-edicion-concurso-de.html


ISSN: 1887-1984


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Constatación empírica y uso de propiedades para la validación de

conjeturas utilizando GeoGebra

Magali Freyre

Ana María Mántica

Resumen Se presenta el análisis de una actividad cuyo propósito es que estudiantes de 14 y 15 años

enuncien las propiedades de las diagonales del rectángulo utilizando GeoGebra. Se

observan documentos regulatorios, el protocolo del software, grabaciones de audio y

video, las conclusiones obtenidas y el intercambio producido. Se estudian las conjeturas

de las propiedades y los procesos de validación de dos grupos. Los alumnos hacen

constataciones empíricas, efectuando mediciones con la herramienta Distancia o

longitud, en un caso para comprobar lo anticipado y en otro para establecer la conjetura.

No recurren a propiedades geométricas para inferir y validar el resultado. Si bien el

software admite una modificación continua del dibujo de la pantalla generando otros

dibujos asociados a la misma figura, no sienten la necesidad de utilizar el arrastre.

Palabras clave GeoGebra – Rectángulo - Propiedades – Conjeturas - Validación

Title Empirical verification and use of properties for the validation of conjectures using

GeoGebra

Abstract It is provided the analysis of an activity that is solved by students of 14 and 15 years old.

The activity aims to mention the properties of the diagonals or the rectangle using

GeoGebra. Curriculum designs, construction protocol software files, audio and video

records, conclusions obtained and the exchange of ideas produced, are considered for the

analysis. It is considered the study of conjectures about properties and processes of

validation of two groups of students. They do empirical proofs using Distance or length

tool. They perform measurements for two objectives, to check ideas already expected and

to make conjectures. Students don´t use geometric properties to infer and validate the

result. Even though the software allows them to make continuous changes in the drawing

that appears on the screen, they don´t deem necessary to use this dragging capability.

Keywords GeoGebra – Rectangle - Properties – Conjectures - Validation

1. Introducción

Se presenta una actividad realizada por un grupo de estudiantes con edades de 14 y 15 años de

segundo año de escuela secundaria de la ciudad de Santa Fe (Argentina), a partir de una consigna que

pretende que se enuncien las propiedades de las diagonales del rectángulo utilizando GeoGebra. Se

expone el análisis previo y el de su implementación. En este último se analizan particularmente las

conjeturas acerca de las propiedades y los procesos de validación llevados a cabo por los alumnos,

teniendo en cuenta el recurso empleado para su producción.

Los estudiantes trabajaron previamente con el software GeoGebra, realizando construcciones de

paralelogramos y rectángulos. También verificando las propiedades del paralelogramo por lo que

conocen las herramientas básicas de la Apariencia Geometría y el modo de determinar otras en

Constatación empírica y uso de propiedades para la validación de conjeturas utilizando GeoGebra M. Freyre y A. M. Mántica


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función de las pestañas y de la ayuda que brinda el software. Es importante el uso regular de software,

esto permite a los alumnos desarrollar conocimientos matemáticos e informáticos (vinculados al uso

del software) y articularlos.

2. Marco de referencia

Exponemos brevemente los principales referentes considerados para el análisis que se presenta

en este artículo.

De Villiers (2003) presenta para definir un conjunto de conceptos geométricos, en general y en

particular los cuadriláteros, dos tipos de clasificaciones: jerárquicas y particionales. Las jerárquicas

son aquellas en las que los conceptos más particulares son subconjuntos de los más generales. Las

particionales, en cambio, refieren a aquellas en las que los subconjuntos de conceptos son disjuntos

entre sí. Las clasificaciones jerárquicas se basan en definiciones más económicas lo que posibilita una

simplificación del sistema deductivo. Si se define un concepto A como subconjunto de otro concepto

B, por la clasificación jerárquica no es necesario volver a demostrar las propiedades del concepto B

para A. También permiten que se desarrolle una perspectiva global que es útil dado que posibilita una

mejor comprensión de la relación entre los conceptos, en cuanto la intersección de algunos conceptos

generales, produce las propiedades de algunos conceptos particulares. Las dificultades que manifiestan

los alumnos relacionadas con las clasificaciones jerárquicas tienen que ver con su carácter lingüístico

y funcional. Lingüístico porque implica una interpretación correcta del lenguaje usado en esta

clasificación; y funcional ya que implica una comprensión acerca de qué aspectos hacen que este tipo

de clasificaciones resulte más útil que las particionales en algunos casos. Algunas dificultades están

relacionadas con el significado de la palabra “es” en oraciones como “un cuadrado es un rectángulo”.

Se entiende “es” como “es lo mismo que” o “es equivalente a”. Podría explicitarse: “un cuadrado es un

rectángulo especial” lo que podría ser más claro para los estudiantes. Teniendo en cuenta estas

dificultades, es conveniente proponer actividades en las que los alumnos se involucren eligiendo la

clasificación que crean conveniente, probando todas las propiedades que sean necesarias, para así

arribar a la conveniencia de las clasificaciones jerárquicas. El trabajo con software de geometría

dinámica (SGD) contribuye a que los alumnos vean y acepten la posibilidad de realizar inclusiones

jerárquicas modificando las construcciones y encontrando casos particulares.

Respecto al trabajo con este tipo de recursos, Arcavi y Hadas (2000) afirman que el desempeño

en los ambientes dinámicos favorece la visualización, aspecto fundamental en el aprendizaje de los

conceptos geométricos. Trabajar con SGD brinda a los estudiantes la posibilidad de construir figuras,

visualizarlas y transformar las construcciones. Sostienen que el carácter dinámico de estos software

contribuye a desarrollar en los estudiantes el hábito de transformar un ejemplo particular y de este

modo estudiar sus variaciones, obtener pistas de lo que se mantiene constante y por tanto puede

facilitar justificaciones intuitivas de conjeturas matemáticas que pueden ser base para la realización de

pruebas cada vez más formales. A través de la experimentación los alumnos pueden comparar,

cambiar y modificar las figuras. Esta facilidad de obtener muchos ejemplos favorece la producción de

conjeturas y generalizaciones. La retroalimentación es realizada por el software mismo. Cuando se

generan desigualdades entre las expectativas de una cierta acción y los resultados de esa acción, se

produce una sorpresa que convoca al alumno a reanalizar su conocimiento, aspecto fundamental para

el logro de aprendizajes significativos. El hecho de que la retroalimentación provenga directamente del

ambiente computacional la hace más efectiva que la que podría realizar el profesor, no solo porque

carece de juicios de valor sino porque posibilita la reflexión, la verificación y revisión de predicciones,

motivando la necesidad de una demostración. Las actividades que se propongan en el aula y la forma

de implementarlas deben considerar que se provoquen conflictos e inconsistencias que motiven

encontrar maneras de resolverlos. “El reto es encontrar situaciones en las cuales el resultado de la




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actividad sea inesperado o contra-intuitivo, de tal forma que la sorpresa (o el desconcierto) generado

cree una clara diferencia con las predicciones explícitamente enunciadas” (p.26).

Con respecto a la utilización de SGD en la clase de matemática, Laborde (1997) sostiene que

amplía el campo de experimentación brindado por el trabajo con lápiz y papel. Mientras este último

está limitado a la imprecisión del trazado y otras razones materiales, el software ofrece distintos tipos

de representación gráfica integrando conocimientos geométricos.

En un contexto de lápiz y papel, el alumno puede dar la vuelta al papel y ver

el dibujo en diferentes posiciones, pero no puede hacer variar los elementos

variables más que trazando otro dibujo, es decir, emprendiendo otra acción

basada en sus conocimientos. (Laborde, 1997, p.40)

El desplazamiento por manipulación directa de estas representaciones se basa en propiedades

geométricas y por tanto ofrece al alumno retroacciones que son exteriores a sus acciones. La

interpretación del sujeto es fundamental para entender las relaciones entre dibujo y objeto geométrico.

El contexto, los conocimientos y la naturaleza misma del dibujo influyen en la caracterización del

objeto geométrico, en cuanto “…las propiedades espaciales del dibujo no pueden ser interpretadas

como que remiten a propiedades del objeto: al dibujo está ligado un dominio de interpretación”

(Laborde, 1997, p.36).

Esteley, Marguet y Cristante (2012) sostienen que GeoGebra es un recurso para enseñar

Matemática que ofrece múltiples opciones. Así, "...permite proponer a los alumnos tareas de

investigación y experimentación, que en la mayoría de los casos no requerirán demasiados

conocimientos técnicos ya que bastará con conocer algunas herramientas básicas y algunos comandos

sencillos para afrontarlas" (p.21). Desde su aspecto geométrico, el SGD asume dos principios básicos:

dudar de lo que se ve y ver más de lo que se ve. El primero se refiere a la duda acerca de lo que se

percibe en una imagen estática, y la posibilidad de confirmar invariantes haciendo uso del arrastre. El

segundo se refiere a la posibilidad de estudiar relaciones que no están presentes a simple vista en la

figura, permitiendo construcciones auxiliares y mediciones que favorecen un proceso de

experimentación.

Novembre, Nicodemo y Coll (2015) sostienen que la utilización de una herramienta tecnológica

en la clase de matemática abre la posibilidad de abordar problemas que serían imposibles sin su ayuda

y permite adoptar un enfoque experimental de la Matemática que cambia la naturaleza de su

aprendizaje. Afirman que no siempre es necesario pensar en nuevos problemas, sino que resulta

interesante analizar de qué manera se pueden resolver los problemas con nuevas herramientas. En este

sentido es importante que los docentes se planteen qué es lo que cambia en la enseñanza y el

aprendizaje cuando se resuelve un problema conocido utilizando tecnología, cuáles son los aportes de

la tecnología y, qué conocimientos tecnológicos y matemáticos son necesarios para un nuevo abordaje

de la enseñanza de la matemática

Respecto al estudio de las propiedades de figuras geométricas, Itzcovich y Broitman (2001)

sostienen que esto requiere conocerlas y poder disponerlas para validar conjeturas; lo cual implica un

proceso más complejo que conocerlas perceptivamente y saber sus nombres. Contribuye a que se

desarrolle un modo de pensar geométrico, que supone una anticipación de un resultado utilizando

propiedades disponibles, y poder afirmar que este resultado es correcto porque dichas propiedades lo

garantizan. “En geometría el modo de demostrar la validez de una afirmación no es empírico (por

ejemplo, midiendo o dibujando), sino racional (a través de argumentos)” (p.3). El papel de la

construcción resulta fundamental teniendo en cuenta que el solo hecho de que los alumnos miren

dibujos que representan figuras geométricas no garantiza que identifiquen sus propiedades. Las

actividades de construcción favorecen esta identificación de ciertas características y propiedades de los



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objetos geométricos que, por su utilidad en los procesos deductivos, adquieren importancia. “El

desafío de las construcciones es considerar las propiedades ya conocidas de las figuras y tener en

cuenta los datos dados. Exige a los alumnos tomar decisiones acerca del procedimiento de

construcción y los instrumentos a utilizar” (p.21).

2. Metodología

La propuesta se implementa en un segundo año de escuela secundaria al que concurren 34

alumnos. Se acuerda con el docente del curso los días para implementar la actividad y se comunica a

los alumnos que la misma se enmarca en un trabajo de investigación que requiere que sea grabada en

audio y video. Se cuenta con el consentimiento de los estudiantes y las autoridades para desarrollar

dos clases consecutivas de ochenta minutos de duración cada una y difundir en congresos y revistas

especializadas en educación matemática el análisis del material recogido.

La institución cuenta con una sala especial que tiene disponibles 20 netbooks y un proyector.

Para el trabajo con software específico se recurre al responsable del manejo de la sala a fin que realice

su instalación. Estos recursos se disponen reservando previamente la sala.

La docente nos informa que en clases previas desarrolla las propiedades de lados, ángulos y

diagonales del paralelogramo. Para la construcción de paralelogramos y elaboración de conjeturas de

propiedades, hacen uso del software GeoGebra. Con respecto a la definición de rectángulo, utiliza una

clasificación jerárquica al definirlo como paralelogramo con un ángulo recto.

La consigna planteada por el equipo de investigación consta de una primera parte que consiste

en el trabajo de construcción de un rectángulo con GeoGebra y se realiza en parejas (17), con una

netbook por binomio. Se utiliza el software GeoGebra que se encuentra instalado en las netbooks

distribuidas en Argentina en el marco del programa Conectar Igualdad, creado en abril de 2010.

Estudios de este tipo se han realizado en otros entornos dinámicos tales como Cabri, Sketchpad, entre

otros.

El docente guía a los alumnos para que validen sus construcciones a través del arrastre, a fin de

asegurarse que están correctamente elaboradas. A continuación, se conjeturan las propiedades de las

diagonales del rectángulo. La segunda parte de la consigna, en grupos de cuatro, consiste en discutir y

validar las propiedades de las diagonales conjeturadas por cada binomio.

Algunos de estos grupos en el encuentro siguiente exponen al resto de la clase sus conclusiones.

Para la recogida de datos se utilizan grabaciones de audio de las interacciones en los grupos de

cuatro, grabaciones de video de la puesta en común y el archivo de GeoGebra correspondiente a cada

construcción. El protocolo de construcción que ofrece el software permite la reconstrucción de lo

actuado por cada binomio y es utilizado como insumo para el análisis.

Lo que brinda información más significativa relacionada a los procesos de validación, en este

caso, es el protocolo del software y lo expuesto por los grupos.

Las conclusiones a las que arribaron los distintos grupos se pueden encontrar en Freyre y

Mántica (2015) presentadas en el marco de las IV Jornadas de Enseñanza e Investigación Educativa en

el campo de las Ciencias Exactas y Naturales.

En este artículo se elabora el estudio de dos casos, un grupo de cuatro estudiantes que realiza

una constatación de su conjetura a través de la medición y otro que valida utilizando propiedades




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disponibles. Para este análisis se tienen en cuenta lo que proporciona el protocolo del software,

grabaciones de audio y video, las conclusiones a las que arribaron, el intercambio producido en la

puesta en común a la luz del marco de referencia considerado.

3. Análisis de la propuesta implementada

En este punto se presenta el análisis previo, que no es exhaustivo, realizado por los docentes que

diseñan la propuesta y el análisis de su implementación, tomando para este caso en particular lo

realizado por los dos grupos. La tarea propuesta, se elabora teniendo en cuenta las características del

trabajo con clasificaciones jerárquicas y el uso del arrastre que proporciona el software.

La consigna de la tarea es:

Construye con GeoGebra un rectángulo. Nombra los vértices , , , y .

Traza sus diagonales. Nombra al punto de intersección.

¿Qué propiedades cumplen las diagonales? Justifica tus afirmaciones.

3.1. Análisis previo

Presentamos en este apartado las posibles soluciones que pueden plantear los estudiantes en

función de sus conocimientos previos. Considerando que son alumnos de segundo año de secundaria y

teniendo en cuenta los documentos regulatorios, suponemos que han trabajado teorema de Pitágoras,

criterios de congruencia de triángulos, transformaciones rígidas, propiedades de los ángulos

determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal, definiciones de paralelogramo y de

rectángulo, propiedades de lados, ángulos y diagonales de un paralelogramo.

Figura 1

Detallamos los posibles procedimientos de validación sobre la conjetura: “ es punto medio de

las diagonales.”

Hacer uso de la herramienta Distancia o longitud que permite medir la longitud de los

segmentos para determinar su igualdad.

Utilizar la herramienta Medio o centro y verificar que es el punto medio de y .



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Hallar el simétrico de un vértice con respecto al centro utilizando la herramienta Simetría

central y verificar que es el otro extremo del segmento.

Considerar que el rectángulo es un paralelogramo, y como en todo paralelogramo las

diagonales se cortan en su punto medio, en el rectángulo también.

Recurrir a la comparación de triángulos empleando criterios de congruencia.

Presentamos dos posibles procedimientos:

1-

= por ser lados opuestos del rectángulo, el ángulo es igual a por ser opuestos por el

vértice. por ser alternos internos entre las paralelas y y la transversal .

por ser complementos de ángulos iguales. Los triángulos y son iguales por

tener dos ángulos y un lado igual. Por lo tanto todos sus lados son iguales, = y = . En

este procedimiento se utiliza la propiedad de que el rectángulo tiene ángulos rectos.

2-

= por ser lados opuestos del rectángulo, el ángulo es igual a por ser opuestos por el

vértice. = por ser alternos internos entre las paralelas y y la transversal . Los

triángulos y son iguales por tener dos ángulos y un lado igual. Por lo tanto todos sus lados

son iguales, = y = .

En estos procedimientos se utilizan las propiedades que el rectángulo tiene ángulos rectos y que

los lados opuestos son congruentes.

Detallamos los posibles procedimientos de validación sobre la conjetura: “Las diagonales son

iguales.”

Utilizar la herramienta Distancia o longitud para determinar la igualdad de los segmentos

y .

Hacer uso de la herramienta Rotación para hacer un giro con centro y ángulo para

determinar que = y como es punto medio, = y = . Por lo tanto

= .

Recurrir a Circunferencia (centro, punto) para trazar una circunferencia de centro o que pase

por a y una de centro que pase por . Luego,

- Utilizar el arrastre para obtener distintos rectángulos y comprobar visualmente que las

circunferencias coinciden. Por lo tanto = por ser diámetros de la circunferencia.

- Comprobar desde la vista algebraica que las ecuaciones de ambas circunferencias son iguales. Por lo

tanto = por ser diámetros de la circunferencia.

Recurrir a Circunferencia (centro, punto) para trazar una circunferencia de centro que pase

por . Luego, utilizar la herramienta Relación para verificar que el punto pertenece a la

circunferencia. El punto pertenece por ser punto medio de , y por lo mismo. Por lo

tanto = por ser diámetros de la circunferencia.

Utilizar el teorema de Pitágoras y la definición de rectángulo




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= por ser lados opuestos del rectángulo

=

= = 1 recto.

Por el Teorema de Pitágoras,

Utilizar los criterios de congruencia para comparar triángulos:

El triángulo es igual al triángulo por:

= por ser lados opuestos del rectángulo.

=

= = 1 recto.

De lo anterior, por el criterio que afirma que dos triángulos son congruentes si tienen dos lados

y el ángulo comprendido congruentes, podemos decir que = .

3.2. Análisis de la implementación

Para comenzar, se considera el grupo A, constituido por los binomios 1 y 2, que utiliza la

medición para fundamentar sus conjeturas.

El protocolo de construcción del archivo de GeoGebra del binomio 1 nos muestra que utilizan

las siguientes herramientas: Punto, Segmento, Recta paralela, Recta perpendicular, Punto de

intersección y Polígono para la construcción del rectángulo. Segmento para trazar las diagonales, y

para determinar la longitud de las mismas, la herramienta Distancia o longitud.

Para trazar la circunferencia circunscripta al rectángulo utilizan la herramienta Circunferencia

(centro, punto).

Con la opción Texto expresan como conclusiones:

Las diagonales de un rectángulo miden lo mismo.

La circunferencia pasa por todos los puntos.

Las diagonales se cortan en un punto medio.

El binomio 2 utiliza las mismas herramientas que el binomio 1 para la construcción del

rectángulo, el trazado de diagonales y la determinación de las longitudes de estas últimas.

Emplea también la herramienta Ángulo para realizar la marca de los ángulos interiores del

rectángulo, cuestión que luego no es retomada en las conclusiones.

Con la opción texto expresan:

Las diagonales de un rectángulo miden lo mismo.

La circunferencia pasa por todos los puntos.

Las diagonales se cortan en el punto medio de la figura.

El audio permite afirmar que no hubo interacción entre los integrantes del grupo al respecto de

validar lo que afirmaron.



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En la puesta en común, en la primera instancia exponen lo realizado proyectando el archivo del

binomio 1.

Figura 2. Exposición del grupo A

Se transcribe lo manifestado por el grupo en la puesta en común1.

A:2 Marcamos las diagonales, las medimos con una de las herramientas y nos dio que medían

lo mismo, por eso pusimos las diagonales de un rectángulo miden lo mismo.

Después marcamos la circunferencia y pusimos que pasa por todos los puntos.

Y de las diagonales…pusimos que se cortaban en un punto medio porque se cortan justo en la

mitad. También los ángulos miden 90°.

La docente interviene preguntando por qué se puede decir que se cortan en su punto medio

tratando de que los estudiantes validen las afirmaciones realizadas.

A: Las medimos y después medimos el segmento , , y .

Otra pregunta de la docente es por qué se puede afirmar que son iguales.

A: También lo medimos.

Se les pregunta cómo afirman que la circunferencia pasa por todos los puntos.

A: Hicimos la circunferencia desde este punto, y cuando llegamos al otro punto… también por

el hecho de que cada segmento de las diagonales mide lo mismo, entonces si vos hacés la

circunferencia, te va a dar… Era para verificar que estaba bien hecho

D: ¿Por qué necesitaban verificar?

A: Para saber si estaba bien hecho.

1 La forma lingüística empleada es la variedad dialectal del español rioplatense

2 A: refiere a las expresiones textuales en la puesta en común de los alumnos y D: a las de la docente




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Los estudiantes no logran establecer la relación entre el dibujo del rectángulo realizado y el

objeto geométrico que representa el rectángulo y manifiestan la necesidad de constatar que los ángulos

son de 90° a pesar de utilizar herramientas del software que lo aseguran, como lo es Recta

perpendicular.

La construcción realizada no responde a un dibujo prototipo del rectángulo (con los lados que

forman el ángulo recto en posición horizontal y vertical). La posición del dibujo en la pantalla está

fuera del dominio de interpretación de los dibujos de un rectángulo para los estudiantes. Esto puede

haber llevado a constatar que los ángulos interiores del rectángulo construido son rectos.

Figura 3. Construcción en GeoGebra del grupo A

Las retroacciones que ofrece el entorno informático a través del desplazamiento resultan útiles

para el planteo y validación de conjeturas. En este caso, pareciera que no utilizan el arrastre para

validar su conjetura de que las diagonales son iguales. El único procedimiento que afirman haber

utilizado es el de medir con la herramienta Distancia o longitud en el rectángulo construido. Si bien

esto no se visualiza en el protocolo los alumnos lo manifiestan en la puesta en común. Es decir, para

afirmar que las diagonales son iguales es suficiente efectuar una medición en un rectángulo

determinado, pero para constatar que la circunferencia pasa por los vértices del rectángulo necesitan

corroborarlo midiendo los segmentos que quedan determinados al cortarse las diagonales, aun cuando

es una propiedad del paralelogramo, y por tanto del rectángulo, que las diagonales se cortan en su

punto medio.

Los alumnos realizan constataciones empíricas. No se evidencian procedimientos anticipatorios

a la experiencia de medir, ya que no se utilizan propiedades conocidas para validar sus conjeturas.

Itzcovich y Broitman (2001) sostienen que luego de realizar la construcción es interesante promover el

análisis de las propiedades utilizadas, "... que expliciten las propiedades en las que se apoyaron" (p.21)

Consideramos ahora lo realizado por el grupo B, conformado por los binomios 3 y 4, quienes

utilizan propiedades para validar sus afirmaciones.

El binomio 3, en el protocolo de construcción evidencia haber utilizado las herramientas Punto,

Segmento, Recta paralela, Recta perpendicular, Punto de intersección y Polígono para la construcción



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del rectángulo. La herramienta Segmento para determinar las diagonales y Ángulo para marcar los

ángulos interiores del rectángulo.

Con la herramienta Circunferencia (centro, punto) traza una circunferencia con centro en el

punto de intersección de las diagonales que pasa por un vértice del rectángulo y otra con el mismo

centro que pasa por un vértice consecutivo al anterior.

Con la opción Texto expresan como conclusiones:

Todos sus ángulos miden 90º

Su circunferencia pasa por todos los puntos

El binomio 4 utiliza para la construcción del rectángulo las herramientas Punto, Segmento,

Recta paralela, Recta perpendicular, Punto de intersección y Polígono para la construcción del

rectángulo. Utiliza la herramienta Ángulo para constatar la perpendicularidad de las rectas.

Con la herramienta Distancia o Longitud mide los lados y las diagonales del rectángulo y luego

los segmentos de las diagonales que quedan determinados por el punto de intersección. Trazan la

circunferencia circunscripta al rectángulo con la herramienta Circunferencia (centro, punto).

Con la herramienta Texto, en el archivo se pueden ver las siguientes conclusiones:

Hay la misma distancia entre el punto en donde se encuentran las dos diagonales hasta el

vértice es la misma siempre.

Si se realiza una circunferencia tomando como punto inicial donde se cortan las diagonales, la

circunferencia pasará por todos los vértices.

Miden lo mismo porque es un rectángulo y lo controlamos con la función distancia o longitud

No se ve en los estudiantes que utilicen la función de arrastre que proporciona GeoGebra para

constatar que la figura conserva las propiedades, moviendo sus elementos primitivos.

Se expresa en el audio de este grupo lo siguiente:

Las diagonales miden lo mismo porque es un rectángulo y lo comprobamos con la función

distancia, longitud, las medimos y miden lo mismo, eso se justifica solo, no sé por qué, es un

rectángulo. Se cortan en su punto medio, nos fijamos con la misma función, y medimos la distancia

del punto medio al vértice y nos dio la misma distancia del otro vértice al punto medio.

Si se hace una circunferencia desde donde se cortan las dos diagonales, pasa por los vértices.

La validación en este caso se produce a modo de respuesta de la consigna y no como una

interacción entre los integrantes. Puede apreciarse que la interacción no se da entre los cuatro

estudiantes, sino que son los del binomio 4 los que intercambian al respecto de la consigna.

En la puesta en común los integrantes del grupo B explican cómo obtuvieron las conclusiones

proyectando el archivo del binomio 4.




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Figura 4. Exposición del grupo B

A: Si vos hacés una circunferencia, el borde de la circunferencia va a pasar por todos los

vértices del rectángulo.

Sus ángulos miden 90º ya que es un rectángulo y sus diagonales se cortan en un punto.

Las diagonales son el diámetro de la circunferencia y si vos tomás desde el punto medio que se

cortan las diagonales hasta que llegue a la circunferencia es el radio.

Se produce un intercambio entre la docente y los estudiantes con el propósito de que expresen

cómo validan lo que afirman.

D: ¿Cómo hicieron para marcar la circunferencia?

A: Marcamos el punto medio de las diagonales y le pusimos letra , después pusimos

circunferencia, y de ahí marcamos el punto y nos dio la circunferencia.

D: ¿Cómo saben entonces que es el diámetro?

A: Porque lo medimos, aparte lo habíamos dado en un curso pasado.

D: ¿Qué habían dado en un curso pasado?

A: Si trazás una línea que pase por el punto medio y que toque los dos extremos de una

circunferencia va a ser el diámetro.

D: ¿Cómo sabían que D es punto de la circunferencia?

A: Con una tecla que dice relación y apretamos la diagonal y la circunferencia.

D: La conclusión es que las diagonales miden lo mismo… ¿Sacaron alguna otra conclusión?

A: Si, que los ángulos miden 90º porque es un rectángulo y que las diagonales se cortan en un

punto.



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D: ¿En qué punto?

A: El del medio, el punto .

D: ¿Y eso cómo lo saben, que se cortan en el punto medio?

A: Si vos medís la diagonal y después medís desde el vértice que marcás la diagonal hasta el

medio, es la misma distancia que si lo hacés del otro lado.

D: Ustedes me dijeron que ese es un diámetro de la circunferencia, y que el punto es en el

que se cortan las diagonales y que todos los puntos A, B, C y D están en la circunferencia. Si digo

que se cortan en el punto medio. ¿Qué son , , y de la circunferencia?

A: Radios

D: ¿Y cómo son los radios de una circunferencia?

A: Iguales

D: ¿Qué podríamos decir entonces?

A: Que la diagonal sería el diámetro y la mitad de la diagonal sería el radio.

Figura 5. Construcción en GeoGebra del grupo B

Los alumnos no afirman que es diámetro de la circunferencia recurriendo a la propiedad

disponible de las diagonales del paralelogramo. Utilizan la definición de diámetro de una

circunferencia, lo mismo afirman de la otra diagonal, previa constatación de que los vértices son

puntos de la circunferencia con la herramienta Relación.

Los estudiantes utilizan la propiedad de los diámetros de una circunferencia para afirmar que las

diagonales son iguales. En este procedimiento de tipo anticipatorio relacionan la actividad propuesta




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con conocimientos desarrollados anteriormente. No obstante miden para comprobar que su afirmación

es verdadera.

Puede observarse que no utilizan la opción que brinda el software de arrastre para determinar

distintos rectángulos, a partir del construido, para conjeturar que los vértices pertenecen a la

circunferencia de centro en el punto de intersección de las diagonales y que pasa por uno de ellos. No

afirman la propiedad por el trazado "a ojo", sino que utilizan una herramienta que les brinda el

programa que es Relación.

4. Reflexiones finales

Teniendo en cuenta el análisis expuesto se puede decir que las validaciones realizadas por los

alumnos son constataciones empíricas, a partir del uso de la herramienta Distancia o longitud.

Efectúan mediciones en un caso para establecer conjeturas y en otro para comprobar lo anticipado.

Para los estudiantes del primer grupo es suficiente con lo que les devuelve el software al

respecto de medir para afirmar que las diagonales son iguales. Este procedimiento sólo permite

constatar lo que ocurre en este ejemplo particular del rectángulo. “No se recurre a ninguna propiedad

geométrica que dé cuenta de la necesariedad del resultado obtenido, ni hay certeza geométrica de que

pudiera provenir de concatenar propiedades que permiten inferir tal resultado” (Itzcovich, 2005, p.46).

En el segundo caso los alumnos utilizan la herramienta Relación para comprobar que las

circunferencias construidas son las mismas, y hacen uso de la propiedad que todos los diámetros de

una circunferencia son iguales para conjeturar que las diagonales del rectángulo son iguales. No

obstante utilizan la herramienta Distancia o longitud para constatar la igualdad de las mismas.

Los estudiantes no hacen uso de lo que De Villiers (2003) denomina clasificación jerárquica,

"...para validar la propiedad que las diagonales se cortan en su punto medio, no aparece como

argumento utilizado por los alumnos que el rectángulo es un paralelogramo y por esa razón cumple

con la propiedad" (Freyre y Mántica, 2015, p.10). La propiedad de los diámetros de una circunferencia

es disponible para los alumnos, es decir forma parte de su "caja de herramientas". La propiedad de las

diagonales del paralelogramo mencionada es un contenido desarrollado previamente, sin embargo los

alumnos no recurren a la misma para resolver la actividad analizada.

Para que los estudiantes reconozcan las ventajas de las clasificaciones jerárquicas, es necesario

que se involucren en un proceso de elaboración de definiciones y clasificaciones realizando pruebas

formales de todas las propiedades, tal como afirma De Villiers (2003). Los alumnos no tienen

oportunidad de apreciar las cualidades de estas clasificaciones puesto que generalmente no se exigen

pruebas formales de las propiedades, solo se las enuncia. Esto se relaciona con una dificultad

funcional, ya que los alumnos no comprenden en qué aspectos las clasificaciones jerárquicas son más

útiles que las particionales. Las clasificaciones jerárquicas posibilitan formular teoremas de modo más

económico y simplifican la sistematización y deducción de propiedades, pero esto no es usual en la

escuela secundaria.

La posibilidad de experimentación que ofrece el entorno informático, parece no haber sido

utilizada por los alumnos. Para que los estudiantes puedan comprender todas las potencialidades que

brinda el software es importante que interpreten lo que implica una construcción en un SGD.

Si bien el software ofrece una modificación continua del dibujo en la pantalla generando otros

dibujos asociados a la misma figura, los estudiantes no hacen uso del recurso de desplazamiento que



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como plantea Laborde (1997) es beneficioso en cuanto a las retroacciones que permite: "(...) la ventaja

de ello es que estas retroacciones proceden de un dispositivo externo al sujeto e independiente del

profesor y, de esta manera, son susceptibles de hacer evolucionar al sujeto" (p.40).

Este software de geometría dinámica no sólo permite a los estudiantes construir figuras a partir

de su definición o del conocimiento de ciertas propiedades y visualizarlas, sino que también les

permite transformar construcciones en tiempo real. “Este dinamismo puede contribuir hacia la

formación del hábito de transformar (o bien mentalmente o por medio de una herramienta) un ejemplo

particular, para estudiar las variaciones, visualmente da indicios de invariantes, y posiblemente facilita

las bases intuitivas para dar justificaciones formales de conjeturas y proposiciones matemáticas”.

(Arcavi y Hadas, 2000, pp. 25-26)

Una cuestión a destacar es que pareciera que los estudiantes no sienten la necesidad de utilizar

el arrastre, herramienta propia de los software de geometría dinámica que permite al menos verificar,

las afirmaciones realizadas a partir de mediciones, con una variedad de figuras que se obtienen a partir

del arrastre de los puntos libres. En el caso de la actividad planteada se supone que el estudiante, al no

utilizar el arrastre, está constatando que las diagonales son iguales en un único rectángulo. No

obstante, afirma que esto se cumple en todos los rectángulos.

Laborde (2015) afirma que los estudiantes no comprenden que cuando realizan la construcción

tienen cuestiones geométricas que considerar, que al no hacerlo y tomar un punto libre y desplazarlo

hay elementos que no lo van a seguir. No comprenden por qué pasa esto, qué ha cambiado y cómo

interpretarlo geométricamente. Es difícil que comprendan que el desplazamiento cambia el tamaño de

la figura, pero no su forma.

Es fundamental estudiar la relación entre el conocimiento geométrico del estudiante, los aportes

que brinda el software y la mirada crítica que pueden construir sobre las respuestas que devuelve el

SGD. Sessa, Borsani, Cedrón, Cicala, Di Rico y Duarte (2015) sostienen que es importante “…

comprender cómo se van apropiando los estudiantes del “arrastre” como técnica de trabajo y cómo van

advirtiendo sus limitaciones” (p.159). Esto requiere de un trabajo específico con el arrastre,

relacionado con sus posibilidades y características.

Bibliografía

Arcavi, A. y Hadas, N. (2000). El computador como medio de aprendizaje: ejemplo de un enfoque.

International Journal of Computers for Mathematical Learning 5: 25-15.

De Villiers, M. (1994). The role and function of a hierarchical classification of the quadrilaterals. For

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Esteley, C., Marguet, I. y Cristante, A. (2012) Explorando construcciones geométricas con GeoGebra.

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construcciones con GeoGebra. Actas de las IV Jornadas de Enseñanza e Investigación Educativa

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http://jornadasceyn.fahce.unlp.edu.ar/convocatoria/actas-2015/trabajos-

matematica/Freyre.pdf/view

Sessa, C., Borsani, V., Cedrón, M., Cicala, R., Di Rico, E. y Duarte, B. (2015) La transformación del

trabajo matemático en el aula del secundario a partir de la integración de las computadoras. En D.

Herrera (Ed.) Prácticas pedagógicas y políticas educativas. Investigaciones en el territorio

bonaerense. (pp.137-164). UNIPE. Editorial Universitaria: Buenos Aires.

http://www2.famaf.unc.edu.ar/publicaciones/documents/serie_b/BMat61.pdf




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A

Itzcovich, H. (2005). Iniciación al estudio didáctico de la geometría. De las construcciones a las

demostraciones. Buenos Aires: Libros del Zorzal.

Itzcovich, H. y Broitman, C. (2001) Orientaciones didácticas para la enseñanza de la Geometría en

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Laborde, C. (1997) Cabri-Geómetra o una nueva relación con la Geometría. En Puig L. (Ed.)

Investigar y enseñar. Variedades de la educación matemática. 33-48. Grupo Editorial

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CABA. Recuperado el 5 de noviembre de 2016, de

http://escuelasdeinnovacion.conectarigualdad.gob.ar/mod/page/view.php?id=875

Ana María Mántica. Profesora de la cátedra Didáctica de la Matemática de la Facultad de Humanidades

y Ciencias de la Universidad Nacional del Litoral. Argentina. Docente investigadora en temas referidos a

la enseñanza de la matemática en distintos niveles del sistema educativo que ha realizado publicaciones

sobre la temática en distintas revistas especializadas nacionales e internacionales.


Magali Freyre. Profesora en Matemática. Ayudante en la cátedra Didáctica de la Matemática de la

Facultad de Humanidades y Ciencias de la Universidad Nacional del Litoral. Profesora de Matemática en

los niveles secundario y superior no universitario. Ha participado como expositora en congresos y

jornadas especializados nacionales e internacionales.


Marcador

http://escuelasdeinnovacion.conectarigualdad.gob.ar/mod/page/view.php?id=875






ISSN: 1887-1984


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Tenemos la solución a tus problemas (Problemas Comentados XLVI)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Damos algunas soluciones a los problemas y ejercicios propuestos en anteriores artículos,

siguiendo los cuatro pasos de comprender, pensar, ejecutar y responder. En ellos está

presente el razonamiento lógico, la ordenación de los datos, la modelización o la

comprobación de los resultados. Se propone a los lectores, resolver los propuestos en el

XXXIII Torneo de Matemáticas para 2º de la ESO de 2017, y en el XI para alumnos de

6º de primaria. Nuestras propuestas terminan con dos problemas de enunciado sencillo,

pero que pueden dar mucho “juego” en el aula.

Palabras clave Resolución de problemas. Fases de Comprender, Pensar, Ejecutar y Responder.

Ejercicios Torneos matemáticos para 2º de la ESO y para 6º de Primaria. Problemas de

enunciado sencillo.

Abstract We give some solutions to the problems and exercises proposed in previous articles,

following the four steps of understanding, thinking, executing and responding. Logical

reasoning, data sorting, modeling or checking of results are present in them. It is

proposed to the readers, to solve the proposed ones in the XXXIII Tournament of

Mathematics for 2º of the ESO of 2017, and in the XI for students of 6º of Primary. Our

proposals end up with two simple statement problems, but they can give a lot of "play" in

the classroom.

Keywords Problem resolution. Phases of Understanding, Thinking, Running and Responding.

Exercises Mathematical tournaments for 2nd of ESO and for 6th of Primary. Simple

statement problems.

En nuestro anterior artículo, como es habitual, presentamos algunos problemas interesantes que

propusimos para ser resueltos por nuestros lectores. Pasado el tiempo entre artículo y artículo

ofrecemos aquí nuestra visión de la resolución de dichos problemas, con nuestro habitual estilo.

El examen

Un examen consta de 50 preguntas, cada una con cuatro posibles respuestas. Por cada

respuesta correcta se dan 3 puntos y por cada respuesta incorrecta se quita un punto. Las

preguntas no respondidas no puntúan. Un alumno que respondió a 42 preguntas tiene 58

puntos.

¿Cuántos aciertos tuvo?

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de

Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]



Problemas Comentados XLVI J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


P

R

O

B

L

E

M

A

S

Proceso de resolución

Fase I. Comprender

Datos: Al responder 42 preguntas se obtienen 58 puntos.

Objetivo: Cuántos aciertos.

Relación: Cada respuesta correcta da 3 puntos; cada respuesta incorrecta quita 1 punto.

(Las características del examen no intervienen en el problema: 50 preguntas, 4 posibles

respuestas para cada pregunta, las preguntas no contestadas no puntúan. Es información incoherente.)

Diagrama: Modelo; tabla; partes/todo.

Fase II. Pensar

Estrategia: MODELIZACIÓN; ENSAYO Y ERROR; ORGANIZAR LA INFORMACIÓN

(con diferentes técnicas: aritmética o algebraica)

Fase III. Ejecutar

Por modelización: El modelo podría tener 42 tarjetas que representarían cada una de las

preguntas contestadas en el examen. Y 126 fichas que representarían los puntos que se hubiesen

ganado en el caso de acertarlas todas. La manera de ejecutar sería colocar 3 fichas en cada tarjeta.

Después se procede a ir quitando 3 fichas de una tarjeta y 1 más de otra. Esto representaría la

penalización por cada pregunta fallada. Pararíamos en el momento en que nos quedasen 58 fichas

exactamente sobre las tarjetas.

Las tarjetas con 3 y 2 puntos serían las acertadas. El resto las falladas.

Por razonamiento aritmético: El diagrama podría ser el de partes/todo. Pero el todo tendría

como etiqueta los puntos posibles obtenidos (126). Y las partes tendrían como etiquetas los puntos

realmente obtenidos (58) y los puntos que faltan (en blanco). De ahí sale la resta. Después un segundo

diagrama con la nueva etiqueta obtenida como etiqueta del total. Las partes no sabemos cuántas son,

pero sí sabemos que son todas iguales y que su etiqueta ha de ser el número de puntos perdidos en

cada pregunta fallada (4).

42 x 3 = 126 puntos posibles 126 – 58 = 68 puntos que faltan

Cada pregunta fallada pierde 3 + 1 = 4 puntos

68 : 4 = 17 preguntas falladas 42 – 17 = 25 preguntas acertadas

Si se utilizan operaciones combinadas ha de tenerse en cuenta que cada parte tiene dos atributos.

Puedo utilizar cada atributo por separado (dos diagramas independientes) o conjuntamente (un único

diagrama). En este último caso se encuentra la solución algebraica o la solución aritmética con

operaciones combinadas.




P R

O B

L E

M A

S

Por razonamiento algebraico: x preguntas acertadas; 42 – x preguntas falladas; 58 preguntas

contestadas

El diagrama partes/todo se construiría así

x 42 – x

Y la ecuación se plantearía así

Solución: 25 aciertos

Fase IV. Responder

Comprobación: 42 – 25 = 17 preguntas falladas; 25 x 3 = 75 puntos ganados; 17 x 1 = 17

puntos perdidos; 75 – 17 = 58 asignados en la calificación final.

Análisis: Solución única.

Respuesta: El alumno contestó bien 25 preguntas del examen.

El segundo problema propuesto era de lógica y procedía del Rally Matemático Transalpino.

Las casas adosadas

En cinco casas adosadas de colores diferentes, viven cinco personas de nombre y

nacionalidad distintos. Cada uno practica un deporte diferente a los otros y tiene un

cantante preferido.

Se sabe además que:

1. Ángel es americano.

2. El francés habita en la casa roja.

3. Sandro está siempre nadando en la

piscina.

4. David habita en la casa rosada.

5. El portugués es un gimnasta.

6. En la casa naranja se escuchan

canciones de Madonna.

7. El italiano escucha siempre a los

Beatles.

8. La casa naranja está pegada a la

izquierda de la amarilla.

9. En la casa del centro, el cantante

preferido es Vasco Rossi.

10. El suizo habita en la primera casa a la

izquierda.

11. David habita la casa pegada a la del

jugador de tenis.

12. Valerio escucha siempre a Pavarotti.

13. El portugués odia a Madonna.

14. El suizo habita la casa al lado de la

celeste.

15. Mario habita junto a un futbolista.

¿Quién escucha siempre a Adriano Celentano? ¿Quién practica el esquí?

Explicad vuestro razonamiento.

3 -1

58



P

R

O

B

L

E

M

A

S


Fase I. Comprender

Datos

Colores: Roja Rosada Naranja Amarilla Celeste

Nombres: Ángel David Valerio Mario. Sandro

Nacionalidades: Americano Francés Portugués Italiano Suizo.

Deportes: Natación Gimnasia Tenis Fútbol Esquí.

Cantantes: Madonna Beatles Vasco Rossi Pavarotti Adriano Celentano

Objetivo: Conocer quién escucha siempre a Adriano Celentano y quién practica el esquí.

Relación: Las 15 pistas.

Diagrama: Una tabla de verdad de doble entrada.

Casa 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

Color

Nombre

Nacionalidad

Deporte

Cantante

Fase II. Pensar

Estrategia: ORGANIZAR LA INFORMACIÓN; ELIMINAR; ENSAYO Y ERROR

Fase III. Ejecutar

Elaboramos la tabla donde vamos a sentar las informaciones en orden de certeza. Tener en

cuenta que hay dos tipos de informaciones: positivas (indican un SÍ y el resto NO) y las negativas

(sólo indican un NO).


Color

Nombre

Nacionalidad

Deporte

Cantante

Pistas

Se comienza con las informaciones ciertas (verdaderas, claras y precisas) y hemos añadido una

fila para ir anotando las pistas.

Tabla 1: Pistas 9, 10 y 14.

9.- En la casa del centro, el cantante preferido es Vasco Rossi.

10.- El suizo habita en la primera casa a la izquierda.




P R

O B

L E

M A

S

14.- El suizo habita la casa al lado de la celeste.


Color Celeste

Nombre

Nacionalidad Suizo

Deporte

Cantante Vasco Rossi

Pista 10 14 9

A medida que se completa el esquema, es siempre posible encontrar las sucesivas indicaciones

ciertas. Para ello volvemos a revisar (en orden) las pistas desechadas en el pase anterior y que

podemos relacionar con la información ya tabulada.

Tabla 2: Pistas 8 y 6.

8.- La casa naranja está pegada a la izquierda de la amarilla.

6.- En la casa naranja se escuchan canciones de Madonna.

La pista nº 8 nos indica una de dos posibilidades. La casa naranja es la 3ª o es la 4ª. La pista nº 6

nos indica que no puede ser la 3ª ya que conocemos el cantante que gusta allí, y no es Madonna.


Color Celeste Naranja Amarilla

Nombre

Nacionalidad Suizo

Deporte

Cantante Vasco Rossi Madonna

Pista 10 14 9 8 + 6 (8+6)


Sólo hay dos opciones para las casas 1ª y 3ª. Roja y Rosada.

2.- El francés habita en la casa roja.

En la 1ª hay un Suizo, por tanto la Roja es la 3ª. Por exclusión la Rosada es la 1ª. Ya tenemos

los colores de las casas, pues por la pista 4:

4.- David habita en la casa rosada.

11.- David habita la casa pegada a la del jugador de tenis.


Color Rosada Celeste Roja Naranja Amarilla

Nombre David

Nacionalidad Suizo Francés

Deporte Tenis


Pista 10, 4 14, 11 9, 2 (8+6) (8+6)



P

R

O

B

L

E

M

A

S

Tabla 4: Pistas 5 y 13.

5.- El portugués es un gimnasta.

13.- El portugués odia a Madonna.

Hay tres opciones para el portugués: vivir en la 2ª, en la 4ª o en la 5ª casa. La pista nº 5 nos dice

que no es en la 2ª casa (su habitante juega tenis) ni en la 4ª (su habitante escucha a Madonna). Por

tanto sólo queda la 5ª casa.



Nombre David

Nacionalidad Suizo Francés Portugués

Deporte Tenis Gimnasia


Pista 10, 4 14, 11 9, 2 (8+6) (8+6), (5+13)


7.- El italiano escucha siempre a los Beatles.

El Italiano puede vivir en la 2ª o en la 4ª casa, pero como el que vive en la 4ª escucha a los

Beatles; ha de ser en la 2ª entonces.

12.- Valerio escucha siempre a Pavarotti.

Para escuchar a Pavarotti nos quedan los habitantes de la casa 1ª y 5ª. El de la 1ª no puede ser,

pues se llama David. Tiene que ser el Portugués.



Nombre David Ángel Valerio

Nacionalidad Suizo Italiano Francés Americano Portugués

Deporte Tenis Gimnasia

Cantante Celentano Beatles Vasco Rossi Madonna Pavarotti

Pista 10, 4 14, 11, 7 9, 2 (8+6), 1 (8+6), (5+13), 12

Y por exclusión, David escucha a Celentano.

Para completar la fila de las nacionalidades tenemos que:

1.- Ángel es americano.

Tabla 6: 3 y 15.

3.- Sandro está siempre nadando en la piscina.

Sólo hay una casa en la que falten a la vez el nombre y el deporte: la casa 3ª.

15.- Mario habita junto a un futbolista




P R

O B

L E

M A

S

El único nombre que falta por completar es el de la 2ª casa y además ya sabemos el deporte de

David.



Nombre David Mario Sandro Ángel Valerio


Deporte Fútbol Tenis Natación Gimnasia


Pista 10, 4, 15 14, 11, 7, 15 9, 2, 3 (8+6), 1 (8+6), (5+13), 12

Solución



Nombre David Mario Sandro Ángel Valerio


Deporte Fútbol Tenis Natación Esquí Gimnasia


Pista 10, 4, 15 14, 11, 7, 15 9, 2, 3 (8+6), 1 (8+6), (5+13), 12

Sólo hay que leer la tabla para encontrar la respuesta a cualquier pregunta. En la última fila

podemos comprobar, también, que hemos usado todas las pistas.

Fase IV. Responder

Comprobación: Leer de nuevo todas las pistas y verificar que son coherentes con la solución.

Análisis: La solución es única.

Respuesta

David escucha siempre a Adriano Celentano. Ángel practica el esquí.

El tercer problema propuesto también provenía del Rally Matemático Transalpino. Aquí

ofrecemos su resolución.

Sala de baile

Un rey debe reestructurar la sala de baile de su castillo que tiene una planta cuadrada, con

mosaicos cuadrados, todos del mismo tamaño y enteros, tal que recubran todo el piso sin

tener que recortar ningún mosaico.

El arquitecto dice a su rey: “Podéis escoger entre tres tipos de mosaicos: pequeños de 20

cm de lado, medianos de 25 cm de lado y grandes de 30 cm de lado.

- Si utilizáis los pequeños se necesitan más de 3000.

- Si utilizáis los medianos se necesitan menos de 4000.

- Si utilizáis los grandes se necesitan más de 2000.

¿Cuáles son las dimensiones de la sala de baile?

Explicad vuestra solución.



P

R

O

B

L

E

M

A

S


Fase I. Comprender

Datos: Una sala de planta cuadrada. Mosaicos cuadrados, todos del mismo tamaño y enteros. Se

puede escoger entre tres tipos de mosaicos: pequeños de 20 cm de lado, medianos de 25 cm de lado y

grandes de 30 cm de lado.

Objetivo: Cuáles son las dimensiones de la sala de baile.

Relación: Si se utilizan los mosaicos pequeños se necesitan más de 3000. Si se utilizan los

mosaicos medianos se necesitan menos de 4000. Si se utilizan los mosaicos grandes se necesitan más

de 2000.

Diagrama: Representación gráfica de funciones. Tabla simple.

Fase II. Pensar

Estrategia: MODELIZACIÓN (mediante Geogebra); ENSAYO Y ERROR; ORGANIZAR LA

INFORMACIÖN

Fase III. Ejecutar

Entender que se trabaja solamente sobre la longitud del pasillo y sobre la dimensión del lado de

un mosaico. Traducir las tres primeras informaciones en términos de cálculo: búsqueda de múltiplos

comunes a 20, 25, 30, es decir: 300, 600, 900, 1200… o bien búsqueda de números que se pueden

obtener con sumas reiteradas de 20, 25, o 30. Esta búsqueda puede ser hecha por ensayo y error, o por

comparación. Trabajar en centímetros.

Por modelización:

Utilizar como modelo tecnológico el programa Geogebra.

Representar las tres funciones (parábolas) que representan la cantidad de baldosas de cada tipo

que puede haber.

Representar también los límites impuestos en la cantidad en forma de rectas paralelas al eje X.

En el momento en que, al mover el cursor, los valores sean enteros los tres y estén en los límites

señalados estaremos ante la solución del problema.

Por ensayo y error:

Darse cuenta que el lado de cada mosaico debe estar contenido exactamente en el lado del

cuadro de la sala de baile. Luego, el lado de ese cuadrado debe ser divisible por 20, 25 y 30. Si no es

así los resultados darán decimales, es decir, los mosaicos no serán enteros.




P R

O B

L E

M A

S

Utilizar una tabla simple.

lado P (20) Área P >3000 M (25) Área M <4000 G (30) Área G >3000 Fallos

300 15 225 12 144 10 100 2 fallos

3000 150 22500 120 14400 100 10000 1 fallo

2100 105 11025 84 7056 70 4900 1 fallo

1200 60 3600 48 2304 40 1600 1 fallo

1500 75 5625 60 3600 50 2500 correcto

1200 90 8100 72 5184 60 3600 1 fallo

Por organizar la información (razonamiento aritmético):

Darse cuenta que el lado de cada mosaico debe estar contenido exactamente en el lado del

cuadro de la sala de baile. Luego, el lado de ese cuadrado debe ser múltiplo de 20, 25 y 30. Si no es así

los resultados darán decimales, es decir, los mosaicos no serán enteros.

20 = 22·5; 25 = 5

2; 30 = 2 · 3 · 5 1MCM (20, 25, 30) = 2

2 · 3 · 5

2 = 300 cm ( 3 m)

300:20 = 15 152 = 225 no es mayor que 3000

300:25 = 12 122 = 144 sí es menor que 4000

300:30 = 10 102 = 100 no es mayor que 2000

Se producen dos fallos en las condiciones (acotaciones) del problema.

Habrá que utilizar un valor mayor que 300. Habrá de ser un múltiplo de 300.

M (300) = 300, 600, 900, 1200, 1500, 1800,..…

Para el valor de 1500, tenemos:

1500 : 20 = 75 752 = 5625 sí es mayor que 3000

1500 : 25 = 60 602 = 3600 sí es menor que 4000

1500 : 30 = 50 502 = 2500 sí es mayor que 2000

Se cumplen las tres condiciones (acotaciones) del problema.

Por tanto, la solución del problema es que el lado del cuadrado de la sala de baile es de 1500

cm, o sea 15 m.

Solución: 15 m, o 1500 cm

Fase IV. Responder

Comprobación

15002 = 1500 x 1500 = 2250000



P

R

O

B

L

E

M

A

S

202 = 20 x 20 = 400 2250000 : 400 = 5625 > 3000

252 = 25 x 25 = 625 2250000 : 625 = 3600 < 4000

302 = 30 x 30 = 900 2250000 : 900 = 2500 > 2000


Respuesta

La sala de baile es un cuadrado de 15 m (o 1500 cm) de lado. Un cuadrado de 15 m x 15 m.

El cuarto problema sometido a los lectores para su resolución se obtuvo web Mates y Más.

Veamos su resolución.


Fase I. Comprender

Datos: Nueve números colocados en orden. Sólo conocemos dos de ellos: el 3 que ocupa el

primer lugar, y el 8 que ocupa el sexto lugar. El resto está representado mediante las letras B, C, D, E,

G, H, I. La suma de cualesquiera tres números consecutivos es 18.

Objetivo: Calcular el valor numérico de la letra H.

Relación: Cada letra representa un número, que no tiene que ser diferente a todos los anteriores.

Diagrama: El ofrecido por el problema.

3 B C D E 8 G H I




P R

O B

L E

M A

S

Fase II. Pensar

Estrategia: ORGANIZAR LA INFORMACIÓN; ELIMINAR

Fase III. Ejecutar

Procediendo de manera razonada podremos llegar a encontrar los siete números desconocidos.

Para ello utilizaremos una y otra vez el único dato conocido: La suma de cualesquiera tres

números consecutivos es 18.

3 + B + C = B + C + D = 18 3 = D

3 B C 3 E 8 G H I

3 + E + 8 = 18 E = 7

3 B C 3 7 8 G H I

C + 3 + 7 = 18 C = 8 7 + 8 + G = 18 G = 3

3 B 8 3 7 8 3 H I

3 + B + 8 = 18 B = 7 8 + 3 + H = 18 H = 7

3 7 8 3 7 8 3 7 I

Y, finalmente, aunque solo se necesita para comprobar: 3 + 7 + I = 18 I = 8

3 7 8 3 7 8 3 7 8

Solución: H vale 7

Fase IV. Responder

Comprobación: Realizar las siete sumas de tres valores consecutivos posibles y verificar su

corrección.

3 + 7 + 8 = 18; 7 + 8 + 3 = 18; 8 + 3 + 7 = 18; 3 + 7 + 8 = 18; 7 + 8 + 3 = 18; 8 + 3 + 7 = 18; 3 + 7 + 8 = 18.


Respuesta: El valor de la letra H es 7

Entre este artículo y el anterior han sucedido muchas cosas. Entre ellas la celebración de los

Torneos de Resolución de Problemas que organiza la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores

de Matemáticas, el de Primaria y el de Secundaria. Les mostramos tres de los problemas ofertados a

los alumnos, porque nos parecieron curiosos, porque los alumnos presentaron soluciones interesantes y

porque queremos contrastar sus reflexiones sobre ellos con las que ofrecieron nuestros muchachos y



P

R

O

B

L

E

M

A

S

muchachas. En el próximo artículo los comentaremos. Mientras, queridos

lectores, (si así lo desean) pueden enviarnos sus propias soluciones.

Del XXXIII Torneo de Matemáticas para alumnado de 6º de

Primaria, celebrado en todas las Islas Canarias el 1 de abril de 2017.

Viaje por Italia

Aldo y Bruno organizan un viaje por Italia en bicicleta. Bruno ha planeado recorrer 50

kilómetros por día. Aldo está planeando viajar 50 km en el primer día y aumentar la

distancia recorrida 1 km cada día. En otras palabras, recorrerá 50 km en el primer día, 51

el segundo, 52 el tercero, y así sucesivamente. Bruno parte el 1 de abril, Aldo parte el 3

de abril. ¿En qué día Aldo alcanzará a Bruno? (En la respuesta indica la fecha del

día)

Del XXXIII Torneo de Matemáticas para alumnado de 2º de Educación Secundaria

Obligatoria, Segunda Fase, celebrado en Tenerife el 12 de mayo de 2017 con participación de los 22

alumnos seleccionados en la Primera Fase..

Jardín matemático

En el dibujo aparece el plano del jardín cuadrado que se va a

construir en la entrada de la Casa Museo de las Matemáticas.

La zona coloreada, que está encerrada en uno de los cuatro

cuadrados en los que está dividido, y tiene un lado que es la

diagonal y otro que es la mitad del lado de ese cuadrado, mide

5 m2 y es la zona que está plantada ya de rosales.

El triángulo ABC, limitado por el vértice superior izquierdo, y

la mitad de los dos lados opuestos del jardín, será la superficie

que ocuparán todos los rosales cuando esté acabado el jardín.

Calcula la superficie del jardín completo y también la superficie de la zona donde

irán los rosales.

Razona tu respuesta.

Numb3rs

Cuando paseaban por la ciudad tres matemáticos, observaron que el conductor de un

automóvil infringió el reglamento de tráfico. Ninguno de los tres recordaba el número (de

cuatro cifras) de la matrícula, pero como los tres eran matemáticos, cada uno de ellos

advirtió alguna particularidad de dicho número.

Larry advirtió que las dos primeras cifras eran iguales.

Amita se dio cuenta de que también coincidían las dos últimas cifras.

Y, por último, Charlie aseguraba que todo el número de cuatro cifras era un cuadrado

exacto.

¿Puede determinarse el número de la matrícula del automóvil valiéndose tan sólo de

estos datos?

Explica detalladamente tu razonamiento.




P R

O B

L E

M A

S

Además de los anteriores queremos someter a su resolución estos dos problemas obtenidos del

Proyecto Newton y procedencia remota del Rally Matemático Transalpino. Quisiéramos que pensaran,

de manera especial, en una forma de resolverlos por MODELIZACIÓN. Los comentaremos en el

próximo artículo.

Camellos y dromedarios

Cleopatra ha dibujado camellos y dromedarios, en total ha hecho 23 jorobas y 68 patas.

Cleopatra sabe que los camellos tienen dos jorobas y que los dromedarios tienen sólo una.

Luego dibujó un hombre en la grupa de cada camello.

¿Cuántos hombres ha dibujado Cleopatra en total?

Explica cómo encontraste tu respuesta.

Concurso de pesca

Alfredo, Carlos y Blas participan en un concurso de pesca. Al terminar el concurso

descubren que: Blas ha pescado 7 truchas más que Alfredo; Carlos ha pescado el doble de

las truchas pescadas por Blas y que es también el triple de las pescadas por Alfredo.

¿Cuántas truchas ha pescado cada uno de los tres amigos?

Explica tu razonamiento.

Por último, un par de problemas más.

El primero geométrico, de breve enunciado y que se puede resolver aplicando los primeros

conceptos que se enseñan en esta disciplina. Está tomado de García Ardura, M.; Problemas gráficos y

numéricos de Geometría; Madrid 1964.

El segundo se basa en uno de los problemas publicado por Adrián Paeza en su obra Matemagia.

Área de un rombo

La diagonal mayor de un rombo mide 20 cm y el radio de la

circunferencia inscrita 6 cm. Calcular la superficie del rombo.

Suma de parejas

En una bolsa opaca se introducen 15 bolas numeradas con los números pares 2, 4, 6, …,

28 y 30. Se extraen n bolas. ¿Qué valor mínimo debe tener n para asegurarnos de que al

menos hay un par de bolas que suman 36? ¿Y para que sumen 28?

Y no podía ser menos. Una vez más volvemos a insistir: resuelvan los problemas, singulares y

alejados de los cotidianos; utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista,

sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de

la clase en que probaron el problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen uso en el aula.

Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Vamos, anímense… ¡Si es divertido!

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista

.

Un saludo afectuoso del Club Matemático.

N Ú M E R O S

Revista de Didáctica de las

Matemáticas




ISSN: 1887-1984


J U

E G

O S

También tenemos las del dominó

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Soluciones a los problemas y ejercicios propuestos en nuestro anterior artículo, primero

de esta serie sobre dominós. Problemas de lógica y de cálculo combinatorio asociados a

los juegos de dominó. Conversión en fracciones de las fichas de dominó y cálculos que

se pueden hacer con ellas. Número de fichas y totales de puntos para los juegos de

dominó con 7, 8,… palos.

Palabras clave Juegos de dominó. Número de fichas de dominós. Cantidad de puntos de las fichas del

dominó. Problemas de lógica y cálculo combinatorio con dominós.

Abstract Solutions to the problems and exercises proposed in our previous article, first in this

series on dominoes. Logic and combinatorial computation problems associated with

domino games. Conversion into fractions of dominoes and calculations that can be done

with them. Number of chips and total points for domino games with 7, 8,... sticks.

Keywords Domino games. Number of dominoes. Number of domino chip points. Problems of logic

and combinatorial calculus with dominoes.

Decíamos, hace ya dos artículos atrás, que presentábamos un puzle muy interesante para realizar

con las fichas del dominó. Y hace uno solamente les dábamos algunas pistas para ayudar a los que aún

no habían encontrado la solución. Era el siguiente.

Tablero dominó

En este tablero de la figura 1 están contenidas las 28

fichas del dominó (el 0 equivale al espacio en blanco y hay

tantas fichas como combinaciones de números más las 7

"dobles"), unas en horizontal y otras en vertical. Se trata de

definir los contornos de todas las piezas (como la marcada del

[0|0]) de manera que estén todas y encajen perfectamente.

Llegó el momento de ofrecerles nuestros resultados,

detallados, como siempre, y siguiendo nuestro esquema de

resolución. Presentamos un segundo camino para encontrar las

soluciones mediante árboles que permiten visualizar los

razonamientos. Contrástelas con la suya.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de

Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]

Figura 1



https://2.bp.blogspot.com/-CVr2j0o1beI/V2Fbv1I1MPI/AAAAAAAAT7Q/kPAOoKbtSzETUE1tr-oiCET4LAT01wsagCLcB/s1600/domin%C3%B3.jpg


J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


J

U

E

G

O

S

Proceso de resolución:

Comprender

Datos: Un tablero 7x8 con números escritos en las casillas (el cero es el blanco). Las 28 fichas

del dominó doble-seis.

Objetivo: Definir los contornos de todas las piezas (como la marcada del [0|0]).

Relación: Deben estar todas las fichas y encajar perfectamente, sin espacios vacíos ni

superposiciones.

Diagrama. El que nos ofrece el problema. Una lista.

Pensar

Estrategia: organizar la información de manera sistemática; ensayo y error

Ejecutar

1. Hacer una lista ordenada de las 28 fichas del dominó.

2. Eliminar de la lista el [0|0], que ya está colocada.

3. Buscar en el tablero aquellas fichas que aparezcan una sola

vez: son el [5|5] y el [1|2]. Eliminarlas de la lista. (Figura 2)

4. Analizar cuáles son las mejores

posibilidades para realizar un ensayo y

error a partir de una ficha dada. Son el

[3|3], el [4|4] y el [2|2]. Sólo ofrecen dos

posibilidades de ser colocadas (figura 3).

5. Elegimos una de ellas. Por

ejemplo, el [2|2]. Y consideramos como

ensayo su posición en la parte inferior

derecha del tablero. (Figura 4)

6. Buscamos, a partir de la

lista, qué fichas quedan

determinadas de forma lógica. Se

encuentran [6|6], [5|6], [4|6] y

[3|5]. Eliminarlas de la lista

(figuras 4 y 5).

7. Ver si es posible colocar

alguna más repasando la lista. No

se puede.

Figura 2 Figura 3

Figura 4

Figura 5

Título del artículo J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz



J U

E G

O S

8º. Hacer un nuevo ensayo. Por ejemplo, con el [3|3]. Elegir la posición [3|3] horizontal.

9. Repetir la acción descrita en el punto 6º. Se encuentran [2|3], [0|4], [1|6], [0|6], [0|5], [2|4] y

[0|2]. (Figuras 6 y 7)

10. Al analizar la tabla para buscar alguna de las fichas restantes

encontramos que la ficha [2|5] no puede ser colocada. Eso indica que el

ensayo [3|3] no era correcto.

11. Volvemos atrás, a la

posición de la figura 2, y

realizamos ahora el ensayo [3|3]

en la posición vertical.

12. Repetimos la acción descrita en el punto 6º. Se encuentran [1|3], [1|1] y [1|5]. Se eliminan de la

lista. (Figura 8 y Figura 9)

13. Con el resto de la lista

tratamos de colocar alguna ficha

más de modo lógico. No podemos.

14. Es el momento de hacer un

nuevo ensayo, esta vez con la ficha

[4|4]. Elegimos la posición vertical.

15. Eso permite colocar la

totalidad de las fichas restantes,

con la curiosidad de que las fichas [1|1] y [1|5], que se colocan

al final, pueden ser colocadas en dos posiciones. Tenemos dos

soluciones.

Solución: Tenemos, pues, dos soluciones (Figura 10).

Figura 10

Figura 7 Figura 6

Figura 8

Figura 9




J

U

E

G

O

S

Responder

Comprobación: Verificar que todas las fichas del dominó aparecen en

el tablero.

Análisis: Hemos encontrado dos soluciones para los ensayos realizados.

No obstante, hemos dejado sin explorar el ensayo [4|4] en posición horizontal.

No podemos por tanto asegurar que son las únicas soluciones. Habrá que

probar.

Al hacerlo encontramos fácilmente la configuración de la figura 11 en la que sólo nos quedan

por colocar seis fichas. Las mostradas en la figura 12

Elegimos probar la ficha [0|3], primero en la posición

vertical inferior y, después, en la posición horizontal superior.

Y, curiosamente, cada una de ellas nos da una solución

correcta. Hay dos soluciones más. Cuatro en total.

Figura 13

Respuesta:

Hay cuatros soluciones que marcan las 28 fichas del dominó sobre el tablero

proporcionado. Ver figura 14.

Solución 1 Solución 2 Solución 3 Solución 4

Figura 14

Figura 11

Figura 12




J U

E G

O S

Junto a la solución obtenida por este razonamiento, ofrecemos otra manera de llegar a la misma,

siguiendo otra secuencia lógica. Comenzamos como antes buscando las fichas que no estén repetidas,

como es el doble blanco o doble cero (Tablero 1),

Vemos que los dominós [5|5] y [1|2]

tampoco se repiten (Tablero 2). Y no hay más.

0

5

1

0

5

2

Ahora buscamos un dominó que se repita el mínimo de veces, en dos ocasiones; tal es el caso

del [3|3] o el [1|4]. Nos centramos en el [3|3] de la esquina superior derecha. Hay dos opciones:

comenzar con la ficha en vertical o en horizontal.

Cuando comenzamos con la ficha horizontal llegamos en pocos pasos a un bloqueo, después de

considerar todas las posibilidades de las fichas que contactan con la [3|3] (Tablero 2,1), como

podemos ver en la siguiente secuencia donde la ficha [4|0] se ha de tomar obligadamente, al no ser

posible la [0|0], que ya está colocada. También podemos buscar que dominós no aparecen repetidos, y

que son: [0|2], [2|5], [3|6], [5|6], [0|3] y [0|6] (Tablero 2,1,1).

Pero también podemos darnos cuenta al estudiar qué fichas no se repiten, que no aparece la

[4|4], o que si elegimos continuar con la [0|2] no hay continuación. Por tanto, comenzar con la ficha

[3|3] horizontal no es una buena elección.

Tablero 2,1 Tablero 2,1,1 Tablero 2,1,2

1 3 4 4 0 2 3 1 3 4 4 0 2 3 1 3 4 4 0 2 33 2 3 4 0 3 3 3 2 3 4 0 3 3 3 2 3 4 0 3 3

0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 56 5 0 6 0 1 5 6 5 0 6 0 1 5 6 5 0 6 0 1 5

2 4 1 4 3 5 6 2 4 1 4 3 5 6 2 4 1 4 3 5 64 5 0 1 5 4 2 4 5 0 1 5 4 2 4 5 0 1 5 4 21 1 3 6 1 6 2 1 1 3 6 1 6 2 1 1 3 6 1 6 21 5 0 4 2 6 6 1 5 0 4 2 6 6 1 5 0 4 2 6 6

3 3 2 3 4 0 0 6

5 1 4 4

No hay continuación

No es posible colocar la

0 2 3 3 3

3

Cogemos la fichaNo hay continuación La ficha No es válida

Tablero 1

Tablero 2

1 3 4 4 0 2 3

1 3 4 4 0 2 3

3 2 3 4 0 3 3

3 2 3 4 0 3 3

0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 5

6 5 0 6 0 1 5

6 5 0 6 0 1 5

2 4 1 4 3 5 6

2 4 1 4 3 5 6

4 5 0 1 5 4 2

4 5 0 1 5 4 2

1 1 3 6 1 6 2

1 1 3 6 1 6 2

1 5 0 4 2 6 6

1 5 0 4 2 6 6




J

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G

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S

Veamos con la ficha [3|3] en vertical de la esquina superior derecha (Tablero 2,2). En este caso

continuamos con la [3|6], que tiene menos opciones que la [2|3], por ejemplo. Esto hace que la ficha

[2|3] pueda ser una de las tres que se muestran en el Tablero 2,2,1 arriba a la izquierda.

Esta decisión no lleva a la siguiente secuencia de piezas construida en forma de árbol.

Siguiendo el árbol vemos que alguno de los itinerarios conduce a bloqueos, no hay una continuación.

Las soluciones encontradas provienen de que en alguna intersección del árbol es posible elegir

las piezas en horizontal o en vertical, como se puede comprobar.

Poniendo sólo el recorrido válido, vemos que aparecen cuatro soluciones.

Tablero 2,2 Tablero 2,2,1 Tablero 2,2,2

1 3 4 4 0 2 3 1 3 4 4 0 2 3 1 3 4 4 0 2 33 2 3 4 0 3 3 3 2 3 4 0 3 3 3 2 3 4 0 3 3

0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 56 5 0 6 0 1 5 6 5 0 6 0 1 5 6 5 0 6 0 1 52 4 1 4 3 5 6 2 4 1 4 3 5 6 2 4 1 4 3 5 6

4 5 0 1 5 4 2 4 5 0 1 5 4 2 4 5 0 1 5 4 21 1 3 6 1 6 2 1 1 3 6 1 6 2 1 1 3 6 1 6 21 5 0 4 2 6 6 1 5 0 4 2 6 6 1 5 0 4 2 6 6

2 3 2 1 3 4 4 4 0 2 5 1

5 6 0 53 3 0 2 3 2 1

3 6 3 3 4 4 0 2 0 1

3 4 5 6 3 5

2 2 30 1

No hay continuación única

Probamos con

Por tener menos opciones

1

5

1 X 6 1 4 1 0 4 0

5 2 6 3

5 6 2 6 6 4 3 4 X 1

2 6 5 1 0



0 0 2 4 4 5 1 1 1 5

3 6

2 4 1 11 4 5 1 5

0

2 3 25

3 3 0 2 13 6 3 3 4 4 0 2

4 5 6

Probamos con

Por tener menos opciones




J U

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O S

Los tableros 0M y 0J muestra dos soluciones obtenidas, cada una, por uno de los métodos expuestos.

Pero también habíamos propuestos otros problemas para solucionar, siempre con el juego del

dominó. Veamos sus soluciones.

¿Cuántas piezas tiene un dominó determinado?

La resolución no está en el proceso de contarlas, sino en utilizar una estrategia adecuada, por

ejemplo, BUSCAR PATRONES. Su puede comenzar viendo cuántas piezas tiene cada dominó,

empezando por los más pequeños (el dominó que llega al doble 4 tiene quince piezas, el que llega al

doble 5 tiene veintiuna piezas, etc.). Después establecer la relación entre ambas variables y construir el

patrón. GENERALIZAR después y hallar una fórmula general. Veamos, pues, algunas cuestiones

resolubles también mediante la combinatoria.

De esa forma podemos llegar a una fórmula general como la siguiente:

Al aplicarla obtenemos los siguientes valores:

Palos Juego Número de fichas

7 6-6 7 x 8 / 2 = 56 / 2 = 28

8 7-7 8 x 9 / 2 = 36

10 9-9 55

13 12-12 91

16 15-15 136

1 4 1 0 4 0 06 3 6

0 1 5 6 2 6 6 4 3

2 6 5

2 4 4 5 1 1 1 5

2 4 1 14 5 1 5

Tablero 0 M Tablero 0 J

1 3 4 4 0 2 3 1 3 4 4 0 2 33 2 3 4 0 3 3 3 2 3 4 0 3 3

0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 56 5 0 6 0 1 5 6 5 0 6 0 1 52 4 1 4 3 5 6 2 4 1 4 3 5 6

4 5 0 1 5 4 2 4 5 0 1 5 4 21 1 3 6 1 6 2 1 1 3 6 1 6 21 5 0 4 2 6 6 1 5 0 4 2 6 6




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G

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S

¿De cuántas formas pueden colocarse en hilera todas las fichas de un juego completo (doble

seis), sometidas a la regla habitual de que los extremos de piezas en contacto tengan valores

iguales?

De un juego completo de 28 fichas de dominó queremos tomar dos que casen. ¿De cuántas

formas distintas podemos hacerlo?

En el dominó dos fichas casan cuando tienen extremos iguales. Ej.: el 2-5 casa con el 5-0.

La respuesta es que se trata de 252 formas distintas. Provienen de separar el estudio en los dos

casos posibles:

(1) que una ficha sea un doble, lo que da 7 x 6 casamientos

(2) que ninguna sea doble, lo que da 21 x 10 casamientos.

Eso nos da un total de 7 x 6 + 21 x 10 = 42 + 210 = 252.

Si ignoramos la blanca doble (o doble 0) podemos considerar las 27 fichas

restantes del dominó como una fracción menor o igual que uno.

Por ejemplo, la ficha de la figura sería 2/6.

¿Cuánto suman las 27 fichas de un dominó, consideradas como fracciones?

Tomamos 27 fichas del dominó doble seis,

excluido el doble cero. Debemos considerar cada

una como una fracción menor o igual que uno.

Y tener en cuenta que para sumar fracciones

éstas deben tener el mismo denominador.

Se trata de un problema muy antiguo de combinatoria con el

dominó. Sería muy arrogante por nuestra parte desarrollar aquí un estudio del problema cuando

Martin Gardner nos ofreció dicho trabajo desde hace mucho

tiempo. A los lectores interesados en cotejar su solución con la de Gardner los remitimos a la

siguiente publicación: “Circo matemático”, Martin Gardner,

ALIANZA Editorial. Un análisis muy interesante, basado en la

teoría de Grafos.




J U

E G

O S

Podemos utilizar una tabla para formar las fichas del dominó. Y utilizar la estrategia de

ORGANIZAR LA INFORMACIÓN.

Las fichas del dominó más usual (doble 6: siete palos) son:

En total, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 fichas.

Se transforman en fracciones tomando el primer

número como numerador y el segundo como

denominador. Se excluye el [0|0] por originar la

fracción 0/0 que no tiene sentido en matemáticas a estos

niveles.

Las fracciones que tiene numerador cero tienen

un valor cero. Son seis. Solamente hemos de sumar las

21 restantes. Para hacerlo de forma cómoda bastará con

agrupar entre sí (organizar la información) las que

tienen el mismo denominador.

Sumando las 21 fracciones correspondientes a las

fichas no nulas:

1/1 + (1/2 + 2/2) + (1/3 + 2/3 + 3/3) + (1/4 + 2/4 + 3/4 + 4/4) + (1/5 + 2/5 + 3/5 + 4/5 + 5/5) +

(1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6) = 1/1 + 3/2 + 6/3 + 10/4 + 15/5 + 21/6 = 1 + 3/2 + 2 + 5/2 + 3 + 7/2

= (1 + 2 + 3) + (3/2 + 5/2 + 7/2) = 6 + 15/2 = 27/2 = 13 + 1/2 = 27/2

Para comprobar esta solución podemos realizar la misma operación sin simplificar los

resultados parciales hasta tener el resultado final:

1/1 + 1/2 + 2/2 + 1/3 + 2/3 + 3/3 + 1/4 + 2/4 + 3/4 + 4/4 + 1/5 + 2/5 + 3/5 + 4/5 + 5/5 + 1/6 +

2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = (60 + 30 + 60 + 20 + 40 + 60 + 15 + 30 + 45 + 60 + 12 + 24 + 36 + 48 +

60 + 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60)/ 60 = 810/60 = 81/6 = 27/2.

La solución es única. El problema puede ser generalizado a los distintos tipos de dominó (doble

9, doble 12, etc.).

La respuesta, por tanto, es: Las 27 fichas (distintas del [0|0]) de un dominó común suman 27/2.

Determine la suma de todos los puntos que contienen las fichas del dominó.

La suma de todos los puntos del dominó doble seis es de 168. Podemos recurrir a la fuerza bruta

para calcularlo, es decir, realizar la suma de todos los puntos ficha por ficha. Desde luego no es lo más

inteligente, ni educativo y sí muy, pero que muy, aburrido.

Utilizaremos otra manera. Supongamos que disponemos de dos juegos de dominó, en total 56

fichas.

Las dividimos en 28 parejas, cada una formada por dos fichas de diferente juego y de tal manera

que la suma de los puntos en cada dos cuadrados de diferentes fichas sea igual a 6. Por ejemplo: [3|5]

y [3|1]; [6|4] y [0|2]; [0|6) y [6|0]; [3,3] y [3|3]. Esto es bastante sencillo de realizar. Podemos

continuar y hacerlo con todas las fichas.

0-0 0-1 0-2 0-3 0-4 0-5 0-6

1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6

2-2 2-3 2-4 2-5 2-6

3-3 3-4 3-5 3-6

4-4 4-5 4-6

5-5 5-6

6-6




J

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G

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S

Cuando hayamos terminado de emparejar el juego tendremos que la suma de puntos en cada par

de fichas será igual a 12. Como tenemos 28 parejas el cálculo de la suma de puntos en los dos juegos

del dominó será igual a 28 x 12 = 336.

Las fichas de un solo juego contendrán la mitad de puntos, es decir, 168 puntos.

Número de puntos = (p + 1) p (p – 1) / 2 = (nº de fichas) (p – 1)

Juego Total de puntos

6-6 8 x 7 x 6 / 2 = 4 x 42 = 168

7-7 252

9-9 495

12-12 1092

15-15 2040

Como ejercicio podemos pedir el cálculo para supuestos juegos de dominó de 8-8, de 10-10, etc.

Juego Total de puntos

8-8 8 x 9 x10 / 2 = 90 x 4 = 360

10-10 660

11-11 858

13-13 1365

14-14 1680

…

Todas estas cuestiones y muchas más, pueden también estudiarse para el dominó del doble 9,

con la ventaja de que están todas las cifras.

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Y un último, de lógica.

Cuatro amigos, Andrés, Benito, Carlos y Daniel, juegan al dominó. Comenzando por Andrés,

cada uno ha puesto dos fichas. Las que ha puesto Andrés suman 23 puntos, las puestas por

Benito 20, las de Carlos 18 y las Daniel 16. La tercera ficha que coloca Andrés es el 6-2. ¿Cuáles

son las otras ocho fichas colocadas? ¿En qué orden se colocaron?

Veamos primero que fichas pueden dar lugar a esas sumas:

1ª jugada 2ª jugada 3ª jugada

Andrés (23) 6|6 6|5 6|2

Única manera de sumar 23 puntos 6|5 6|6

Benito (20) 6|4 5|5 Para sumar 20 en sus dos jugadas, y teniendo en

cuenta lo jugado por Andrés. 5|5 6|4

Carlos (18) 5|4 6|3

Para sumar 18 en sus dos jugadas. 6|3 5|4

Daniel (16)

4|4 5|3 o 6|2 Para sumar 16 en sus dos jugadas iniciales.

5|3 4|4 o 6|2

No tiene el 6|2, porque lo tiene Andrés

Sabemos que Carlos, el tercero en jugar, coloca una ficha con un 2 o un 6 libre, y que Benito, en

su turno, ha colocado una ficha que también deja un 2 o un 6.

Veamos, en un árbol, como pudo haberse desarrollado el juego.

Primera jugada Extremos

libres

Segunda jugada Extremos

libres

Tercera jugada

A B C D A B C D A

5|4 5|3 6 y 3 6|5 5|5 6.3 pasa 6 y 5 (*)

6|6 6|4

4|4 4 y 4 Pasa (*)

6|3 5|4 4|4 4 y 4 (**)

5|3 4 y 5 6|5 5|5

4|5 Pasa (*)

4|5 5|3 3 y 5 Pasa (*)

6|4

5|4 4|4 4 y 4 Pasa (*)

6|5 4|6 6|3 3|5 5 y 6 6|2

5|4 4.4 4 y 6 6|6

6|4 Pasa (*)

5|5 3|5 5 y 5 Pasa (*)

6|3

5|3 3 y 3 Pasa (*)

(*) No se cumple la condición de jugar las ocho fichas que suman los puntos expuestos en el

enunciado.

(**) Pese a que se han jugado las ocho fichas, no le es posible a Andrés jugar el [6|2].




J

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E

G

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S

Y también los correspondientes a puzles.

Cada par de piezas de dominó cumple con una regla. Respetándola, ¿qué número debe ir

en la parte inferior del último dominó?

El patrón que encontramos es que, en cada par de fichas, el número de arriba de la primera es

igual a la suma de los otros tres.

Por tanto, la respuesta consiste en averiguar el valor desconocido ? de la parte inferior de la

última ficha -al que llamaremos x-, se plantea y resuelve de la siguiente manera|

6 = 1 + 4 + x x = 6 – 5 = 1

En este tipo de puzle se trata de encontrar

un patrón que cumplan todas las fichas conocidas

y extender a la ficha que falta por completar. Hay

muchos patrones posibles y lo importante es la

justificación de dicho patrón. Para encontrar un

patrón deben conectarse las fichas completas

como parte de una sucesión o los cuadrados

individuales de las fichas como dos sucesiones

independientes o buscar alguna conexión entre las

dos filas de fichas, … En fin, que puede haber

muchas posibles soluciones.

Ésta podría ser una de ellas.

Las tres fichas de la fila superior ofrecen

dos sucesiones independientes| 1 – 2 – 3

(diferencia 1 creciente) y 6 – 4 – 2 (diferencia 2

decreciente).

Las tres fichas de la fila inferior deben

mantener ese patrón. Por tanto| 5 – 6 – 0 (después

del 6 viene el blanco) y 4 – 2 – 0.

Solución: La ficha que falta es la [0|0].

Con un poco de razonamiento podemos

encontrar esta solución.




J U

E G

O S

A la izquierda la solución al problema del cuadrado mágico propuesto

en la imagen de la derecha al final del párrafo anterior.

El puzle del dominó lógico

Les recordamos el tablero que el Komando

matemático tiene entre sus materiales y que

presentamos en el anterior artículo. Su resolución sigue

un proceso semejante al expuesto al principio, en el

TABLERO DOMINÓ, por lo que no exponemos su

solución de forma detallada. No obstante, aquellos de

nuestros lectores interesados en ella nos lo hacen saber

y gustosamente se la enviamos en un correo.

3 1 0 3 3 4

3 4 0 3 4 1

0 4 2 2 2 4

2 2 2 1 1 3

0 1 1 0 4 0

Ha resultado ser un problema sencillo. Ya habíamos dicho que se trata de un puzle del

Komando Matemático, utilizado con niños de Primaria.

En el puzle llamado DO-MI-NÓ, tenemos los valores de cada

parte de las fichas que deben ir situadas por filas y por columnas, las

divisiones del tablero según las fichas a colocar y, finalmente, las

fichas que han de situarse. Se incluye un ejemplo ya colocado. El

propio puzle nos indica la técnica a utilizar en el razonamiento y

control de las fichas colocadas.

Representamos el tablero con la posición de las fichas definidas

por colores y situamos la que nos dan como ejemplo.

1

4

4

3

1

1

4




J

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Si observamos los datos de las dos filas superiores y de la columna de la derecha, vemos que la

ficha de arriba ha de ser 4-3 y que, además, el espacio restante debe ser el 1 sobrante de esa columna.

Seguiremos razonando. Puede que tengamos que utilizar ensayo y error.

En la fila central nos quedan por colocar un 1 y dos 2. En la tercera

columna ambos números son posibles de colocar en la ficha de color naranja,

que ya tiene un 1 colocado.

Primera opción|

Colocamos el 2 en la ficha naranja. En la verde irán el 1 y el 2 restantes.

Pero eso no puede ser porque se repetiría la ficha 2-1, ambas en la fila central.

Segunda opción|

En esta opción no hay duda acerca de la colocación de los números.

Colocado el 1 en la ficha naranja, la ficha verde es 2-2.

No olvidemos controlar siempre los números ya colocados y saber así

los pendientes de colocar.

En la segunda fila (contada desde arriba) nos quedan por colocar dos 3

y un 4. En la ficha violeta no podemos colocar un 3 y un 4 porque se repetiría la ficha 3-4 ya colocada

(azul). Por lo tanto, la ficha violeta es 3-3 y el cuadro azul restante un 4.

En la cuarta fila (desde arriba) nos quedan por colocar dos 1 y un 2.

En la ficha violeta no podemos colocar los dos 1 porque tendríamos la ficha

1-1 ya colocada. Por tanto, ha de ser la ficha 1-2 y el cuadro azul restante el

otro 1. Para saber el orden de colocación de la ficha violeta (1-2 o 2-1)

analizaremos los datos que nos quedan. En la segunda columna no podemos

poner un 1 porque no hay.

Para completar la ficha azul sólo nos queda

una posibilidad, la 1-3, que cuadra con los datos restantes. Y eso nos lleva

también a completar la ficha azul restante de esa

primera columna con un 4.

Las dos fichas verdes que quedan por

colocar son ahora muy sencillas de razonar. Por

los datos que restan de las filas sabemos que son

4-2 o 2-4 y 3-2 o 2-3. Los datos de las columnas

nos lo aclaran. Son 2-4 y 3-2.

Y de esta manera llegar a la solución indicada a continuación.

4

3

1 2 2 1

1

4

4

3

2 2 1 1

1

4

4

4 3 3 3

2 2 1 1

1

4 4

4 3 3 3

2 2 1 1

1 2 1 1

4

4 4

4 3 3 3

2 2 1 1

1 2 1 1

3 4 4 2 4 4

4 3 3 3

2 2 1 1

1 2 1 1

3 3 2 4




J U

E G

O S

Sobre las soluciones del puzle de desvanecimiento (vanishing puzle) de Jean Claude Constantin,

él mismo nos las ofrece.




J

U

E

G

O

S

El puzle que presentamos en la revista números 94 y en el que cada fila y columna pedíamos

que sumen el mismo número de puntos colocando las piezas expuestas en el tablero amarillo de la

figura, tiene una resolución sencilla.

La combinación de puzle geométrico plano y de puzle aritmético nos da pistas para su solución.

Hay cuatro piezas formadas por cuatro dominós adosados con forma de cruz y otras dos que

tienen forma de flecha; las dos piezas restantes las forman dos dominós adosados. Así que en total

tenemos los 28 dominós de un juego de doble seis.

Sabemos que los puntos totales de un dominó de este tipo

son 168 y nuestro tablero supone que haya ocho filas y ocho

columnas; por tanto, cada línea ha de sumar 168/8 puntos, es decir

21 puntos

Vemos que las piezas en cruz y las cuadradas son las que

pueden ocupar los centros de los lados del tablero, mientras que las

flechas han de ir en las esquinas. Es cuestión ahora de combinar las

piezas de tal manera que dos flechas y una cruz o dos flechas y un

cuadrado colocados en un lado del tablero, sumen 21 puntos. No es

difícil llegar a la solución mostrada.

Se nos ha ido el espacio del artículo. Así que será en el próximo donde comentaremos el uso del

dominó como material didáctico, los dominós no rectangulares y las variantes que se alejan un poco

como el Mah-jongg. Y también, claro, más problemas y puzles relacionados con el dominó.

Como siempre| estamos a su disposición y agradeceremos enormemente sus comentarios y

aportaciones.

Hasta el próximo

pues. Un saludo.

Club Matemático

N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas




ISSN: 1887-1984


L E

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M A

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M Á

T I C

A S

Las matemáticas del amor. Patrones, pruebas y la búsqueda de la

ecuación definitiva.

Hannah Fry

EDITORIAL EMPRESA ACTIVA

Colección: TED ORIGINAL

ISBN: 978-84-994-4927-2

128 páginas

Año 2015

Las matemáticas del amor, patrones, pruebas y la búsqueda de la ecuación definitiva, nos

ofrece un viaje fascinante por los patrones que definen la vida amorosa, arrojando luz sobre la

compleja dinámica del romance y la belleza que subyace en la matemática. Un volumen que pertenece

a la colección de libros TED y que cuenta con magníficas ilustraciones de la artista alemana Christine

Rösch.

Las matemáticas del amor. Hannah Fry Reseña: A. Yanira Duque Hernández


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A

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La doctora Hanna Fry es matemática en el Centro de Análisis Espacial avanzado del University

College London. En su trabajo emplea los modelos matemáticos para estudiar pautas en el

comportamiento humano, desde los disturbios y el terrorismo hasta el comercio y el consumo. La

matemática y divulgadora es conocida por sus intervenciones en diferentes medios de comunicación y

en espacios, más allá de las instituciones educativas.

El libro está dividido en nueve capítulos independientes, de fácil lectura y con cierta dosis de

humor, que abordan algunas de las preguntas más comunes y complejas que rodean al amor: ¿Cuáles

son las probabilidades de encontrar el amor? ¿Cuál es la probabilidad de que dure? ¿Hasta qué punto

la belleza es importante? ¿Cuándo hay que sentar la cabeza? ¿Puede la teoría de juegos ayudarnos a

decidir si llamar o no?

En el prefacio, la autora aclara que no es una experta en el amor. El objeto que se planteó al

escribir este libro era dilucidar la belleza y la importancia de las matemáticas y las pautas que rigen el

amor, para que al conocer un poco mejor las matemáticas del amor nos inspirara un poco más de amor

por las matemáticas.

En el primer capítulo, se explora las probabilidades matemáticas de encontrar la pareja ideal,

con resultados mucho más alentadores que las estimaciones realizadas por el matemático Peter

Backus, que calculó que hay más civilizaciones extraterrestres que mujeres elegibles para él en la

Tierra. Backus utilizó una fórmula conocida como la ecuación de Drake, llamada así por su creador

Frank Drake y desglosó la estimación en muchas conjeturas pequeñas, para establecer que sólo hay

veintiséis mujeres en todo el mundo con las que estaría dispuesto a salir. Fry vuelve a realizar las

estimaciones, de una manera menos quisquillosa, para concluir que Backus tendría casi mil posibles

parejas en toda la ciudad.

En el capítulo cuatro, Fry nos describe cómo las matemáticas pueden ayudar en la búsqueda de

pareja a través de páginas web. Se analiza el algoritmo usado en la web de citas gratuita OkCupid,

fundada por un grupo de matemáticos y situada junto con Amazon y Netflix como uno de los motores

de recomendación de uso más generalizado en Internet. El capítulo termina con el estudio del efecto

que tienen las preferencias personales y la selección de las imágenes utilizadas en la web en el éxito

del emparejamiento.

En el capítulo siete nos propone aplicar un área de las matemáticas, “la teoría de la decisión” (y

más concretamente "la teoría de la parada óptima"), a la búsqueda de pareja. La fórmula predice

cuántas posibles parejas tienes que rechazar antes de encontrar a la pareja perfecta. Así sabremos en

qué momento debemos dejar de buscar y quedarnos con la persona candidata que encontremos.

El último capítulo analiza el trabajo del psicólogo John Gottman, que estudia la felicidad de las

parejas a largo plazo, y cómo influyó la incorporación del matemático James Murray en las

investigaciones de Gottman y su equipo. Fry presenta dos fórmulas ecuaciones tes desarrolladas por

los investigadores para explicar estos patrones de comportamiento humano.

En definitiva, un libro dirigido a todo tipo de lectores, que presenta de una forma sencilla,

amena e interesante la relación entre el amor y las matemáticas.

A. Yanira Duque Hernández (Coordinación Área de Tecnología Educativa CEU)




ISSN: 1887-1984


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Congresos

28º Seminario de Educación Matemática

Fecha: 9 y 10 de Abril del 2017.

33º Encuentro de Profesores de Matemáticas

Fecha: 10, 11 y 12 de Abril del 2017

Convoca: Asociación de Profesores de Matemáticas.

Lugar: Viseu. Portugal.

Información: http://profmat2017.ipv.pt/

Fecha: 20,21,22 y 23 de Abril de 2017.

Lugar: CEP Las Palmas. Gran Canaria. Islas Canarias. España.

Convoca: Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas.

Información: http://www.sinewton.org/web/

http://profmat2017.ipv.pt/

http://www.sinewton.org/web/


I

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A

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O

N

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S

Fecha: 10 al 14 de Julio de 2017.

Lugar: Madrid. España.

Convoca: Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemática.

Organiza: Federación Española de Profesores de Matemáticas.

Información: http://www.cibem.org/

Fecha: 24-28 de Julio de 2017.

Lugar: Universidad Mc Gill. Montreal. Canada.

Convoca: Mathematical Council of the America.

Información: https://mca2017.org/es

XXI Simposio de la Sociedad Española

de Investigación en

Educación Matemática

Fecha: 6,7, 8 y 9 de septiembre del 2017.

Lugar: Facultad de Educación. Universidad de Zaragoza. España.

Organiza: Departamento de Matemáticas de la Universidad de Zaragoza.

Información: http://www.seiem.es

http://www.cibem.org/

https://mca2017.org/es

http://www.seiem.es/



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XLIII Semana de las

Matemáticas del Instituto

de Matemáticas del PUCV

Fecha: Del 23 al 27 de octubre del 20178.

Lugar: Valparaíso. Chile.

Organiza: El Instituto de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.

Información: http://ima.ucv.cl/congreso/sm2017/

Fecha: Del 29 de Octubre al 1 de Noviembre del 2017.

Lugar: Cali. Colombia.

Convoca: Red de Educación Matemática de América Central y el Caribe.

Información: http://ii.cemacyc.org

Fecha: Del 11 al 15 de Diciembre de 2017.

Lugar: Buenos Aires. Argentina.

Organiza: Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad

de Buenos Aires.

Información: http://uma2017.dm.uba.ar/

http://ii.cemacyc.org/

http://uma2017.dm.uba.ar/


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Seminario:

"Experiencias en el

Aula con Geogebra"

Fecha: Del 17 al 19 de Diciembre de 2017.

Lugar: Castro-Urdiales, Cantabria.

Organizadores: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas e Instituto

Geogebra de Cantabria.

Información: http://www.ciem.unican.es/experiencias-de-aula-con-geogebra

Congreso Internacional

de Matemáticos

ICM 2018

Fecha: Entre el 1 y el 9 de Agosto de 2018.

Lugar: Centro de Convenciones Riocentro. Río de Janerio. Brasil.

Información: http://www.icm2018.org/portal/abertura/

Fecha: Del 15 al 19 de Julio del 2019.

Lugar:Valencia. España.

Convoca: La Sociedad Española de Matemáticas Aplicadas (SEMA).

Información: http://iciam2019.com/

http://www.ciem.unican.es/experiencias-de-aula-con-geogebra

http://www.icm2018.org/portal/abertura/

http://iciam2019.com/




ISSN: 1887-1984

Volumen 95, julio de 2017, página 159

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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité

editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected]

3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de

revisión o publicación en ninguna otra revista.

4. Se presentarán dos versiones del artículo. Una versión con toda la información y otra “versión

ciega”, en la que se hayan eliminado todas las referencias a los autores del trabajo. Tanto en el

cuerpo como en la bibliografía.

5. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:

Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista.

Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía.

Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección

electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de

evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.

Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno

de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha

de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.

Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave;

también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.

Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos.

Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar

el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.

Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones.

Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de

texto (no enviarlas por separado).

Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el

autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).

Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:

o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y

científicos en los niños. Madrid: Morata.

o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole

number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics

Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a

conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008).

Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de

febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

6. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de

colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo

se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

7. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial.

Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor

con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios

propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en

un periodo no mayor de 6 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado

que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.

mailto:[email protected]/numeros

http://www.sinewton.org/numeros/

NN ÚÚ MM EE RR OO SS - sinewton.org · Gaudí utilizó la catenaria en sus construcciones por sus...

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