Catenaria Del Conductor

CATENARIA DEL CONDUCTOR


Un conductor libremente suspendidoentre dos soportes describe una curvaque es fcilmente deducible ydenominada catenaria.


Sea el pequeo conductor de longituddl, de peso unitario wc (kg/m), conproyecciones en los ejes dx y dy.


T.cos = Toy = C cosh( x/C)


Por tanto, estando el conductor en equilibrio, la sumade las fuerzas resultantes en los ejes X e Yrespectivamente sern nulas; es decir:

Fx=0 y Fy=0 que son representadas por las ecuaciones: (T+dT)cos(+d)= T.cos (T+dT)sen( +d)= T.sen + wcdxal desarrollar el coseno y seno trigonomtricos de la

suma (+d), obtenemos: (T+dT)(cos.cosd - sen .send )= T.cos (T+dT)(sen .cosd + cos .send )= T.sen + wcdx


siendo la variacin del ngulo ( 0) muypequeo, entonces podemos aproximar yescribir:

cosd = 1

send = du

por lo que las igualdades se transforman en:

(T+dT)(cos - sen d ) = T.cos

(T+dT)(sen + cos d ) = T.sen + wcdx


efectuando el producto indicado en las ecuaciones,obtenemos:

T.cos - T.sen d + d T.cos - dT.sen d = T.cos T.sen + T.cos d + dT.sen + dT.cos d = T.sen + wcdx

en donde eliminando trminos iguales y tomando encuenta que:

d(T.cos )= -T.sen d + dT.cos d(T.sen ) = T.cos d + dT.sen

entonces:

d(Tcos ) - dT.sen d = 0d(Tsen ) + dT.cos d = wcdx


en el lmite, para una muy pequea variacin de T; entonces dT0, por tanto:

d(T.cos ) = 0 ....................(1)

d(T.sen ) = wcdx ..............(2)


Siendo T la tension o el tiro (KG) en el punto delconductor de abscisa x, formando un ngulo de grados con la horizontal; la ecuacin (1) nosindica que el valor T cos es una constante, porcuanto su diferencial es nulo; y entonces podemosafirmar que:

" El tiro horizontal (en KG) en cualquier punto delconductor es constante a lo largo de l".

Sea, entonces To ese valor constante, es decir:

T.cos = To ...............(3)

de donde: T = To/ cos


Si esta ecuacin, la reemplazamos en laecuacin (2)

d(T.sen ) = wcdx ..............(2)

obtenemos:


Siendo To constante y pasando dx al primer

miembro de la ecuacin (6) obtenemos:

ECUACION DE LONGITUD DEL CONDUCTOR

En Lneas deTransmisin dePotencia, es necesarioconocer la longitud delconductor suspendidoentre dos puntos, porcuanto la longitud totalse emplear paraestimar el costo inicialdel proyecto.

Sea:

dl = (dx)2 + (dy)2

Ahora:

y = C cosh( x/C)

dy = senh( x/C) dx

Entonces:

dl = (dx)2 + (senh( x/C) dx)2

dl = (dx)2 + (senh( x/C) dx)2

dl = (1)2 + (senh( x/C) )2 dx


Como:

cosh 2 ( ) - senh 2 ( ) =1

Si sustituimos:

dl = cosh 2 (x/C ) - senh 2 (x/C ) + (senh( x/C) )2 dx

dl = cosh (x/C ) dx


Sea "a el vano o distancia horizontal entre los dos puntos de suspensin.

Integremos la ecuacin

anterior:

dl= cosh( x/C) dx

dl= 2 cosh( x/C) dx

a

+a/2

-a/2

0

+a/2


l= 2 C senh ( a /2C)

Que representa la longitud total del conductor

instalado con sus extremos al mismo nivel.

ECUACION DE FLECHA

Denominamos flecha a la mxima distancia verticalentre el segmento que une los extremos delconductor y ste.

En el caso de conductores a nivel, la flecha se ubicaa medio vano y sobre el eje de ordenadas.

Este concepto es muy importante, ya que losconductores son instalados en el campo teniendodisponible la Tabla de Flechas para el tendido.

La flecha es la diferencia de Ordenadas entre lospuntos de suspensin y la ordenada del vrticedel conductor

ECUACION DE FLECHA

f= yB C

f = C cosh(a/2 C ) C

f = C [cosh(a/2 C ) 1]

Fjense que como lastorres estn a nivel el vanose ubica en ele medio de lacatenaria

flecha

C

ECUACION DE FLECHAPodemos encontrar una frmula aproximada que calcule la

flecha, si tenemos en cuenta la expansin de Taylor para el

coseno hiperblico:

Entonces f = C[1 + (a/2 C )2/2 ! 1]= a2/8 C

f = a2W/8 To

Si consideramos que el peso unitario W es constante, entonces

deducimos que si el tiro To (en KG) aumenta, entonces la

flecha disminuye; esto tambin se dice que a mayor tensin

entonces menor flecha, de la misma forma que a mayor

parmetro.

TENSION o TIRO Y ESFUERZO EN EL CONDUCTOR

La expresin y.w es el producto de la ordenada del punto de

abscisa x del conductor por el peso por unidad de longitud

cuyo valor resulta en Kg y representa el tiro en el punto de

abscisa x; es decir:

TIRO Y ESFUERZO EN EL CONDUCTOR

ESFUERZO EN EL CONDUCTOR

Otro concepto que es necesario definir es elesfuerzo, el cual frecuentemente es utilizadoen reemplazo del Tiro, en razn que susvalores son ms pequeos. El esfuerzo delconductor, lo definimos como el cociente dedividir el tiro por la seccin.

= T/A Siendo A la seccin transversal delconductor en mm2 y T el tiro en Kg encualquier punto del conductor.


Y como la tensin en un punto x es:

l

l l


Conocer el valor del tiro o tensin en elextremo del conductor, es necesario porque permite conocer el mximo valor deKilogramos a que se ver sometido elsoporte y como se sabe, la componentehorizontal de este Tiro es To, valoresindispensables para realizar el diseo deestructuras. Para conductores a nivel, eltiro en los extremos del conductor soniguales, por que se encuentran ubicadosen la misma ordenada. Por lo que esdeseable que las estructuras estninstaladas a la misma cota paraaprovechar este efecto. El tiro en unpunto cualquiera est dado por laecuacin y para:

x = xb = +a/2 Entonces:


mm2 del conductor

PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO

como dato el tiro en el extremo:

Tb= Tmax

PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO

CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO

b h

Vano virtualA


En el perfil topogrfico de una lnea de transmisin de potencia,los vanos no necesariamente son a nivel, incluso por las

caractersticas geogrficas (por ejemplo en zonas andinas o la

costa) , pueden disearse lneas que obligan a calcular por

separado vanos contiguos con marcados desniveles.

El presente se analizar el comportamiento de un cable encondiciones de desnivel y deducir los parmetros adicionales

que

debern tomarse en cuenta para un anlisis exacto.

La ecuacin de la catenaria evidentemente es la misma, pero eneste caso los puntos de suspensin (extremos del cable A y B) se

encuentran desplazados verticalmente dentro de la misma curva.


Por tanto la ecuacin del cable ser siempre: y =C cosh (x/C)

Siendo el parmetro: C =To/w

A fin de establecer uniformidad en cuanto a la simbologa a utilizar, lafigura anterior nos indica los parmetros necesarios y sus ubicaciones, los

cuales emplearemos.

En la figura, xA representa la abscisa en donde se encuentra el punto desuspensin izquierdo del cable; en forma anloga xB representa la abscisa

del extremo derecho, respecto al sistema de ejes coordenados cartesianos.

As mismo, h es el desnivel (en metros) y b el vano real

Llamaremos vano virtual al segmento A'B que es el vano si el soporte en A estara en la posicin A a nivel con el soporte en B.

ECUACION DE CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO

Un Pequeo trozo de cable (dl)

desnivelado con proyecciones dx

y dy sobre los ejes coordenados.

Tomando un diferencial de

longitud (dl) del cable, la longitud

del mismo ser :

dl = (dx)2 + (dy)2

Como:

y = C cosh( x/C)

dy = senh( x/C) dx

Entonces al igual que el caso

anterior:

dl = cosh (x/C ) dx

ECUACION DE CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO

La integral ser ahora

dl= cosh( x/C) dx

donde se obtiene que:

l= C [ senh (xB/C) - senh (xA/C) ]

xB

xA

ECUACION DE LA LONGITUD DELCONDUCTOR

Para hallar la longitud tenemos:

dl= 2 cosh( x/C) dx

De donde se obtiene

l= C [senh ( xB /C) - senh ( xA /C) ]

Al observar la ecuacin anterior ,

se verifica que para encontrar la

longitud del cable es necesario

conocer las abscisas de los

extremos y el par metro C (o tiro

en el vrtice).

xB

xA

ECUACION DE DESNIVEL

En la figura adjunta, se muestra el desnivel h en un cable suspendido de los extremos A y B y en las

condiciones dadas de instalacin, dicho desnivel h resulta ser la diferencia de ordenadas:

h = y B - y ADe donde se obtiene, a partir de la ecuacin general y =C cosh (x/C) que:

h= C cosh (xB/C) - C cosh (xA/C)

Al observar la ecuacin anterior , severifica que h puede ser positivo,negativo o cero

ECUACION DE DESNIVEL

LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL

anteriores


desnivel

Lo=

Lo2 + h2


L = ( lo2 + h2)

L= lo sec


lo=

L= lo sec = lo

FLECHA EN FUNCION DEL DESNIVEL

M

N

FLECHA EN FUNCION DEL DESNIVEL

N

Como f o= C [cosh(a/2 C ) 1]

f = f o [cosh(Xm/ C ) 1]

SAETA

La saeta se define

como la distancia

vertical entre el

punto de

suspensin ms

bajo del cable y

su vrtice. Su

ubicacin fsica es

mostrada en la

figura adjunta.

SAETA

s = ya -C

s = xa2 / 2C como c= To/w entonces:

S = xa2 w / 2To

SAETA

s = ya -C

CALCULAR EL PAR METRO DE LA CATENARIA Y EL VERTICE ( C )

Si disponemos de los datos fsicos de vanos y desnivel, as como el dato adicional de longitud del

cable; es posible calcular el par por unidad de longitud de la catenaria y el vrtice del cable.Sea , la ya definida Lo = ( L

2 - h2) = 2Csenh(a/2C)

continuara

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