NÚMEROS IRRACIONALES

Objetivo: Resolver operaciones que involucran números reales aplicando propiedades de las raíces en contextos cotidianos y matemáticos.

Conjuntos Numéricos

Q*z

ℝ

Ԛ

Los elementos del conjunto ℤ = {…,-2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan “Números Enteros

Los números racionales son todos aquellos números de la forma con a y b números enteros y b distinto de cero.

El conjunto de los números racionales se representa por la letra Ԛ. Y entre ellos tenemos los decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semi-periódicos.

.

¿ Que números pertenecen al conjunto Q*(irracionales)?

¿Y que pasa con los decimales infinitos no periódicos?

Números irracionales• Estos decimales infinitos no periódicos se les llama números irracionales.

• Algunos de estos números son el numero pi: 3,14159 26535...||

• El número de oro: 1,61803398…

• Número de Euler : 2,71828…..

¿Qué historia habrá tras estos números ?

Raíces • La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b números

racionales no negativos, son:

• Si 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏2 = 𝑎

• Partes de una raíz :

• Ejemplo: 9 = 3 ↔ 32 = 9

• Actividad : Completar

• a) = 11 ↔2=

• b) 169 = ↔2= 169

• C) 196 =

ACTIDAD COMPLEMENTARIA : Calcular las siguientes raíces cuadradas:

a) 36 =

b) 49 =

c) 4 =

d) 28 =

e) 2 =

¿Qué pasa con 28 y 2?

Son raíces inexactas y a continuación trabajaremos con ellas

La raíz n-ésima

• La raíz cuadrada de a es 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎2 = |𝑎|

• La raíz cúbica de a es 3 𝑎 ∙ 3 𝑎 ∙ 3 𝑎 = 3 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 =3𝑎3 = 𝑎

• raíz n-ésima de a

•𝑛 𝑎 ∙ 𝑛 𝑎 ∙ 𝑛 𝑎 ∙ ⋯ ∙ 𝑛−1 𝑎 ∙ 𝑛 𝑎 =

𝑛𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ ⋯ ∙ 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑎𝑛 =

𝑛𝑎𝑛

• Ejemplo : calcular las siguiente raíces

• A) 327 =

• B) 3−27 =

• C) 532=

• D) 5−32 =

Descomposición de raíces• Para operar con este tipo de números existen estrategias como la descomposición de raíces para

escribirlas con una cantidad sub radical distinta, por ejemplo:

• Ejemplo 20 = 4 ∙ 5 = 4 ∙ 5 = 2 ∙ 5 = 2 5

• Una técnica mediante la cual podemos descomponer cantidades sub radicales( radicando) es la descomposición de números primos .

• Ejemplo: 28 =

• Paso 1: escribimos nuestro radicando y buscamos

divisores de el que sean números primos ( ej: 2,3,5,7,11,….).

En este caso el primer divisor seria 2, realizando la división

28:2= 14 , el resultado se va anotando bajo nuestro radicando

Como se muestra a la derecha , hasta que esa cantidad sea 1.

Entonces 28 = 2 ∙ 2 ∙ 7 = 4 ∙ 7

28 2

14 2

7

1

7

Así 28=2 ∙ 2 ∙ 7

O 28 = 4 ∙ 7

Descomposición de raíces• Actividad : Descomponer las siguientes raíces

a) 60 =

b) 18 =

c) 72 =

d) 75 =

e)3108 =

f)432 =

Desafío personal

Suma de raíces • Suma de raíces

• Podemos sumar o restar dos raíces si tienen la misma cantidad subradical ( radicando) e igual índice, de la siguiente forma:

• 𝑝𝑛 𝑎 ± 𝑞𝑛 𝑎 = 𝑝 ± 𝑞 𝑛 𝑎 , 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ∈ ℝ+ ∪ 0 , 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ

• Es decir, se suman sus factores enteros aplicando la propiedad distributiva de los números reales.

• Ejemplo : 432 + 5

32 = 4 + 5

32 = 9

32

• Ejemplo : 752 − 15

52 = 7 − 15

52 = -8

52

• Ejercicios

• A) 6 5 − 4 5 − 8 5 =

• B) : 752 − 15

52 + 6

32 + 5

32 =

Propiedades de raíces • Propiedad 1; Multiplicación de raíces de igual índice 𝑛 𝑎 ∙

𝑛𝑏 =

𝑛𝑎 ∙ 𝑏

• Propiedad 2: División de raíces de igual índice𝑛𝑏

𝑛 𝑐=

𝑛 𝑏

𝑐

• Propiedad 3 :Raíz de una raíz𝑛 𝑚

𝑏 =𝑛∙𝑚

𝑏 =𝑛𝑚

𝑏

Ejemplo : 35 ∙

33 =

35 ∙ 3 =

315, recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos

315 =

35 ∙ 3=

35 ∙

33

Ejemplo : 49

418=

4 9

18=

4 1

2, recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos

4 9

18=

49

418

Ejemplo : 3 2

7 =3∙2

7 =67 , recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos

67 =

3∙27=

3 27

Resolver • Resolver aplicando las propiedades 1, 2 y 3 , mencionando cual de ellas utilizo

para desarrollar el ejercicio .

• Ejemplo : 68 ∙

68 =

68 ∙ 8 =

623 ∙ 23 =

626 = 2 propiedad 1

• Ejercicio

• A) 64 ∙

68 ∙

62 =

• B) 3204834

=

• C) 3 3 4

6 =

• D) 627

3 24

=

Desafío personal

Propiedades de raíces • Propiedad 4: Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice

𝑛𝑏𝑛 = |𝑏|

• Propiedad 5: Propiedad de amplificación𝑛𝑏𝑥 =

𝑛∙𝑚𝑏𝑥∙𝑚

=𝑛𝑚

𝑏𝑥𝑚

• Propiedad 6: Ingreso de un factor dentro de una raíz 𝑎𝑛𝑏 =

𝑛𝑏 ∙ 𝑎𝑛

Ejemplo : 333 = |3| , recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos |3| =

333

Ejemplo : 582 =

5∙382∙3 =

1586 ,recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos

1586 =

5∙382∙3 =

582

Observación : Esta propiedad es muy útil para igualar índices de raíces

Ejemplo 33 ∙

43 =

3∙434 ∙

4∙333 =

1234 ∙ 33 =

1237

Ejemplo : 342 =

42 ∙ 34 ,recordar que la igual se puede utilizar en ambos sentidos

42 ∙ 34 = 3

42

Ejercicios propuestos • Identifica si cada número pertenece o no pertenece al conjunto dado.

935144493

Desafío personal

Ejercicios propuestos

• Ejercicios: Seguir la estructura presentada en el esquema para descomponer las siguientes raíces cuadradas

• 𝑎) 72 b) 108 c) 250 d) 100000

• e) 75

16f)

48

50g)

162

45h) 0,27

• 𝑖) 4,5 j) 0,64

Desafío personal

Ejercicios propuestos • Ejercicios: Resuelve las siguientes expresiones descomponiendo raíces sumando y

restando

• 6 𝑥 − 4 𝑥 − 8 𝑥 =

• 28 − 63 + 112 − 17 7

• 7 5𝑥 − 4 20𝑥 + 3 125𝑥 =

• 216 + 81 − 7 121 =

• 5 24 − 4 600+ 10 54 =

• 2 108 − 5 162 + 3 242 =

Desafío personal

Ejercicios propuestos • Suma y resta de radicales. No olvidar de descomponer los radicales dados si es posible y

luego efectúe la adición o sustracción.

Ejercicios propuestos • Resolver los siguientes ejercicios y mencionar si perteneces al conjunto de los números racionales

o irracionales

• Ejemplo : 3

4∙ 5= 0,75 ∙ 2,236067977… es un numero irracional

• A) 1

4∙ 6 =

• B) 3

4+ 5 =

• C) 7 + 8 =

• D) 2 3 + 8 =

• E) 1 + 3 1 − 3 =

Recordar :Producto de binomios𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑎 ∙ 𝑑 + 𝑏 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑑

Desafío personal