ník bakalá ského studia, p ednášky Janas 2010,2011 Téma...
38
1 Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky Janas 2010,2011 Téma 4, plošné konstrukce, desky • Plošné konstrukce, desky • Rozdělení desek •Předpoklady a řešení tenkých desek • Metody řešení tenkých desek
Transcript of ník bakalá ského studia, p ednášky Janas 2010,2011 Téma...
1
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky Janas 2010,2011
Téma 4,plošné konstrukce, desky
• Plošné konstrukce, desky• Rozdělení desek• Předpoklady a řešení tenkých desek• Metody řešení tenkých desek
2
DeskyIdealizují se jako rovinný obrazec (nejčastěji ve vodorovnérovině), může mít otvoryZatížení působí pouze kolmo ke střednicové rovině a může být vyvoláno � idealizovanými bodovými silami (momenty)� idealizovanými liniovými silami (momenty)� idealizovanými plošnými silami� vlastní tíhou� změnou teploty
Vazby působí kolmo ke střednicové rovině a mohou být � bodové (proti posunům)� liniové (proti posunům a pootočením)� plošné
3
Desky, příklady
4
Desky, příklady podpor desek
5
Desky, příklady
6
Pravoúhlé desky, volba souřadného systému
7
Desky, rozděleníDesky lze rozdělit dle rozměrů :� membrány h/l < 1/80,� velmi tenké desky h/l = 1/50 až 1/80,� tenké desky h/l = 1/10 až 1/50,� hrubé desky h/l = 1/5 až 1/10,� prostorová tělesa h/l > 1/5.Dle deformace:� s malými deformacemi |wmax| <1/300 a současně |wmax| <h/4 a
|ϕmax| < π/60 � se středními, případně velkými deformacemi |wmax| > 1/300,
řešení patří k nelineárním úlohám pružnosti
8
Desky, tenké desky s malými deformacemi, předpoklady řešení
Autorství lineární teorie desek se přisuzuje Kirchhoffovi.Je založeno na těchto předpokladech:1. Deformace střednicové plochy jsou malé.2. Normálová napětí σz jsou v porovnání s napětím σx a σy malá a
zanedbávají se.3. Body ležící před deformaci na normále ke střednici leží na ní i po
deformaci (tzv. špendlíková hypotéza). Nemění se také jejich vzdálenost εz =0. Důsledkem je, že
� přetvoří lze vyjádřit jako funkci ohybové plochy w(x,y), � γxz=γyz=0. 4. Body na střednicové ploše desky mají nulové normálové napětí a
přemísťují se pouze ve směru osy z (podmínkou je symetrie tvaru a materiálu desky.
9
Desky, příklady reálného průběhu napětí σz
Schéma rozložení napětí při plošném zatížení a),
reálný průběh napětí σz na obr. b).
10
Tenké desky, předpoklady o deformaci
Střednice desky se pohybuje pouze ve směru osy z.
Normála ke střednici n před zatížením zůstává normálou i po zatížení n´.
Posunutí bodu K v rovině xyležícího mimo střednici do bodu K´ lze vyjádřit jako funkci u=f1(w), obdobně v=f2(w).
11
Tenké desky, řešení
0
0
0
: vztahyéGeometrick
2
2
=∂∂
∂−=∂∂+
∂∂−
∂∂=
∂∂+
∂∂=
=∂∂
∂−=∂∂+
∂∂−
∂∂=
∂∂+
∂∂=
=∂∂=
∂∂−=−=
∂∂−=−=
zy
wz
y
w
y
wz
zy
w
z
v
zx
wz
x
w
x
wz
zx
w
z
u
z
w
y
wzzv
x
wzzu
yz
xz
x zy
γ
γ
εϑϑ
. funkcí průhybovou vyjádřenoje deformacesložek Šest
2 2
2
2
2
2
w(x,y)
yx
wz
x
v
y
u
y
wz
y
v
x
wz
x
uxyx y ∂∂
∂−=∂∂+
∂∂=
∂∂−=
∂∂=
∂∂−=
∂∂= γεε
12
Tenké desky, řešení, pokračování
( ) ( )
( )
( )
yx
wzEE
x
w
y
wzEE
y
w
x
wzEE
GEE
xyxy
xyy
xx
xyxyxyyyxx
y
∂∂∂
+⋅−=
+=
∂∂+
∂∂
−⋅−=+
−=
∂∂+
∂∂
−⋅−=+
−=
=−=−=
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
1)1(2
,11
,11
,1
,1
: vztahyFyzikální
µγ
µτ
µµ
µεεµ
σ
µµ
µεεµ
σ
τγµσσεµσσε
Z těchto rovnic a z geometrických vztahů lze odvodit:
13
Tenké desky, řešení, pokračování
( )
( )
( )
∞⇒====
≠≠≠−−=
∂∂∂
+⋅−=
+=
∂∂+
∂∂
−⋅−=+
−=
∂∂+
∂∂
−⋅−=+
−=
≠≠≠−
GGG
E
yx
wzEE
x
w
y
wzEE
y
w
x
wzEE
xzyz
xzyzyxz
xyxy
xyy
xx
xyx
xzyz
y
y
pro 0 ,0 rovnováhy.podmínky li-platí
,0 ,0 dále a 01
takéje
,1)1(2
,11
,11
0 ,0 ,0 liJe
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
τγτ
γ
ττµσµσε
µγ
µτ
µµ
µεεµ
σ
µµ
µεεµ
σ
τσσ
Je zde určitý nesoulad s Kirchhofovou teorií
14
Tenké desky, řešení, pokračování
( ) ( )
( ) )(412
platí obdobně
)(412
)(212
1)1(
1
)1( ,
1 Protože
0 rovnováhy rovnice Z
22
2
22
2
2
2
22
3
2
3
3
3
2
2
33
3
3
2
2/
2/2
2
2
2
2/
2
2/
wy
zhE
wx
zhE
wx
zE
y
w
x
w
x
Ezdz
yx
w
yx
w
x
wEz
yx
wEz
yxy
w
x
wEz
x
σ
dzyxyxz
zyx
zy
zx
zx
yxx
yxxzx
yxxzx
zxyxx
z
h
z
h
z
h
z
h
∆∂∂
−−
−=
∆∂∂
−−
−=∆∂∂
−=
∂∂+
∂∂
∂∂
−
∂∂∂−+
∂∂∂+
∂∂
−=
∂∂∂
+−=
∂∂
∂∂∂+
∂∂
−−=
∂∂
∂∂
−∂
∂−=⇒∂
∂−
∂∂−=
∂∂
=∂
∂+∂
∂+
∂∂
−
−−
−
∫=∫
∫
µτ
µµτ
µµµ
µτ
µτ
µµ
τσττστ
ττσ
15
Desky, průběh složek napětí a složek měrných vnitřních sil
Kladný smysl vnitřních sil je zřejmý z obr. Na tzv. kladných ploškách jsou orientovány ve směru kladných os x,y (ohybové momenty vyvolávají tah ve spodních vláknech a kladné kroutící momenty majísměr kladných tečných napětí). Na záporně orientovaných ploškách je to opačně.
16
Desky, odvození složek měrných vnitřních sil
Měrné vnitřní síly mají význam intenzity vnitřních sil, jsou vztaženy k jednotkovédélce příslušného řezu. Označují se malými písmeny. Je jich celkem pět. Dva měrné ohybové momenty – mx, my, jeden měrný kroutící moment mxy a dvěměrné posouvající síly qx, qy.
tuhostdesková )1(12
)1(
, ,
2
3222/
2/
2/
2/
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22/
2/
3
22
2
2
22/
2/
2
2
2/
2/
3
3
1
311
⇒−
=∂∂
∂−−=∂∂
∂
=
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂−=
=
=
−−
−−−
+−=∫
∂∂+
∂∂
−−
∂∂+
∂∂
∫−
−=∫
µµτ
µµ
σ
µ
µµ
µµ
EhD
yx
wD
yx
wm
x
w
y
wDm
y
w
x
wDm
dzzm
h
h
h
hxy
yx
h
h
h
h
h
hxx
zEzdz
y
w
x
wzE
y
w
x
wEzdz
xy
17
Desky, odvození složek měrných (posouvajících) vnitřních sil
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
tuhostdesková )1(12
412
612248812
3412
412
2
3
332/
2/
2/
2/
2
3
3
3
23
2
2
2
3
2
3333
2
2/
2/
32
2
2/
2/
22
2
2/
2/
⇒−
=
∂∂∂+
∂∂−=∆
∂
∂
−−
−==
∂∂∂+
∂∂−=∆
∂
∂⋅
−−=∆
∂
∂
+−+−
−=
=∆∂
∂
−
−−=
=∆∂
∂
−−
−=
==
∫∫
∫
∫
−−
−
−
−
µ
µτ
µµ
µ
µ
τ
EhD
yx
w
y
wDdzw
yz
hEdzq
yx
w
x
wDw
x
hEw
x
hhhhEq
wx
zzhEq
dzwx
zhE
q
dzq
h
h
h
hyzy
x
x
x
xzx
h
h
h
h
h
h
18
Desky, transformace složek měrných vnitřních sil, hlavní momenty
2/
2/
2/
2/
2/
2/
zdzmzdzmzdzmh
hxyxy
h
hyy
h
hxx ∫∫∫
−−−=== τσσ
Měrné momenty byly odvozeny integrací složek napětí
, což lze maticově zapsat:
[ ] zdzmm
mm
mh
hyyx
xyx
yyx
xyx
∫−
=
=2/
2/
000
0
0
000
0
0
στ
τσ
Pootočíme-li souřadné osy x a y a úhel a, dostaneme osy x´a y´.
Těm budou odpovídat složky napětí σx´,σy´a τxy´a momenty mx´, my´a mxy´.
19
Desky, transformace složek měrných vnitřních sil, hlavní momenty
22 2
2
1
1
2
2
2,1
y
xy
y
xy
xy
yxyx
mm
mtgα
mm
mtgαm
mmmmm
−=
−=+
−±
+=
( ) αα
αααααα
2sin21
2cos
2sincossin
2sinsincos
´´
22
´
22
´
yxy
xyyx
xyyx
mmmm
mmmm
mmmm
xyx
y
x
−−=
++=
++=
Hlavní momenty a směry normál k plochám, kde působí jsou:
Pro transformaci složek napětí a momentů můžeme použít identické vztahy:
Maximální měrné krouticí momenty m3,4, se kterými spolupůsobíohybové momenty (mx+my)/2 jsou:
221
4,3
mmm
−±=
20
Výpočet složek napětí v descePlatí-li pro výpočet momentu mx a napětí σx:
( )( )
( ) zh
m
Eh
zEz
D
E
m
y
w
x
wz
E
y
w
x
wDm
xx
x
x
x
x
332
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
121
1121
je 1
=⇒−
−⋅⋅=−
=
∂∂+
∂∂
−−=
∂∂+
∂∂−=
σµ
µµ
σ
µµ
σ
µ
Složky napětí v desce lze vypočíst dle vztahů:
zh
m
zh
m
zh
m
xy
xy
y
y
xx
3
3
3
12
12
12
=
=
=
τ
σ
σ
21
Desky, složky měrných vnitřních sil na okraji desky
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
sincos
2sin)(21
2cos
2sinsincos 22
yxn
yxn
xyyxn
qqq
mmmm
mmmm
xyt
+=
−−=
++=
22
Desky, podmínky rovnováhy
xyy
qqQxqQ
yxx
qqQyqQ
xyy
mmKxmK
yxx
mmKymK
xyy
mmMxmM
yxx
mmMymM
yyy
xxx
xyxyxy
xyxyxy
yy
xxx
dd ,d
dd2 ,d1
dd ,d3
dd2 ,d1
dd3 ,d3
dd ,d1
43
4
y
2
∂∂
+==
∂∂+==
∂∂
+==
∂∂
+==
∂∂
+==
∂∂+==
yxpF dd=
23
Desky, podmínky rovnováhy, pokračování
04 2 1
02
d42
d32143
02
d22
d14321
3 =++−+−
=++−+−
=++−+−
FQQQQ
yQ
yQKKMM
xQ
xQKKMM
24
Desky, podmínky rovnováhy, pokračování, desková rovnice
D
yxpyxw
D
p
y
w
yx
w
x
w
py
ym
yxxm
x
m
py
q
x
q
x
m
y
m
y
m
x
m
FQQQQ
yQ
yQKKMM
xQ
xQKKMM
yx
yxxyyxyx
),(),( respektive ,
4
4
22
42
4
4
obdržíme úpravě po a 2
222
2
2
:dostaneme třtředo rovnicdvou prvních Dosazením
0 ,q ,q
:je 04 2 1
02
d42
d32143
02
d22
d14321 rovnic úpravě Po
yx
3
=∆∆=∂
∂+∂∂
∂+∂
∂
−=∂
∂+
∂∂∂
+∂
∂
=+∂∂
+∂∂
∂∂
+∂
∂=
∂∂
+∂
∂=
=++−+−
=++−+−
=++−+−
25
Desky, desková rovnice pro pravoúhlé desky
je ),(
),( respektive ,
24
4
22
4
4
4
D
yxpyxw
D
p
y
w
yx
w
x
w =∆∆=∂∂+
∂∂∂+
∂∂Desková rovnice
• parciální diferenciální rovnice 4. řádu,
• lineární
• nehomogenní (má pravou stranu)
• eliptického typu
Pro p=0 jde o biharmonickou rovnici. Každá biharmonickáfunkce odpovídá průhybové ploše desky zatížené jen na okrajích.
26
Okrajové podmínky deskyŘešení rovnice desky musí odpovídat daným okrajovým podmínkám (vždy dvě na okraji).Okraj vetknutý: na okraji nulový průhyb i pootočení
xyx
xy
i
i
mx
wDm
x
wDm
m
yx
w
y
w
y
w
y
w
x
ww
µµ
ϑ
=∂∂−=
∂∂−=
=∂∂
∂=∂∂==
∂∂=
∂∂
=∂∂==
2
2
2
2
2
2
2
x
nulový jemoment kroutící
0 a 0...
platí také,0 ,0
27
Okrajové podmínky desky,okraj prostě podepřený
Na okraji nulový průhyb a nulový moment mx.
0. ,0
0 proto a 0,
0...
platí také,0 ,0
2
2
2
2
2
2
2
2
x
=∂∂=
=∂∂=
∂∂−=
=∂∂==
∂∂=
∂∂
==
x
ww
x
w
x
wDm
y
w
y
w
y
w
mw
x
i
i
Deformační vyjádření OP:
28
Okrajové podmínky desky,okraj prostě podepřený, pokračování
Desková rovnice umožňuje plnit na okraji pouze dvěpodmínky. Mělo by zde být ještě třetí podmínka mxy=0.Řeší se tzv. doplněnou posouvající silou.
y
m
y
yxmyyxmqqym xyxyxy
yxxxy ∂
∂=
∆−∆+
=∆⇒=∆⋅∆+→∆
),(),(0 lim
0
∂∂∂−+
∂∂−=
∂∂
+=
2
3
3
2
)2(
:je síla Tato
yx
w
x
wDq
y
mqq
x
xyxx
µ
29
Okrajové podmínky desky, okraj volný
Na nezatíženém okraji by měly být splněny tři podmínky, a to:
0 ,0 ,0 === xyxx mqm
Předepisujeme však jen dvěpodmínky:
0 ,0 == xx qm
30
Desky, metody řešeníPřímé řešení deskové rovnice v uzavřeném tvaru neexistuje. Aplikují se přibližné metody, ke kterým např. patří: � Navierovo řešení, založené na rozvoji funkce zatížení a průhybu do Fourierových řad� Metoda sítí� Metoda konečných prvků
31
Deskový pásJe nejjednodušší případ deskové konstrukce
32
Desky, příklady
33
Desky kruhové
34
Tlusté desky, Mindlinova teoriePředpoklady σz=εz=0 a u(x,y,0)=v u(x,y,0)=0 zůstávají v platnosti.
Body normály ke střednicové rovině zůstávají po deformaci na přímce. Ta již obecně není normálou ke střednicové rovině. Platí:
),(),(
),(),(
yxy
wyx
yxx
wyx
yy
xx
ϕϑ
ϕϑ
+∂∂=
+∂∂=
Vedle neznáme w, jsou zde ještě neznámé ϕx a ϕy, respektive ., yx ϑϑ
35
Tlusté desky, Mindlinova teorie, pokračování
Místo jedné neznámé máme dle Mindlinovy teorie neznámé tři. Pro tenké desky se momenty počítaly dle vztahů:
( )yx
wDyxm
x
w
y
wDyxm
y
w
x
wDyxm xyyx ∂∂
∂−−=
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1),( ),( ),( µµµ
Pro tlusté desky se počítají:
∂∂+
∂∂−−=
∂∂+
∂∂
−=
∂∂
+∂
∂−=
yxDm
xyDm
yxDm
xyxy
xyy
yxx
ϑϑµ
ϑµϑϑ
µϑ
2
1
Měrné posouvající síly jsou:
−
∂∂=
−∂∂= yyxx y
wGhq
x
wGhq ϑϑ
2,1
2,1
36
Tlusté desky, Mindlinova teorie, pokračování
Místo jedné deskové rovnice, v níž vystupovala jediná neznámáw(x,y), máme nyní z podmínek rovnováhy tři rovnice
( ) ( )
( ) ( )
kde
2,1
06,0
11
06,0
11
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
yx
pGhy
w
x
w
y
w
D
Gh
yyx
x
w
D
Gh
xyx
yx
yyy
xxx
∂∂
+∂
∂=Φ
−=Φ−
∂∂+
∂∂
=
−
∂∂+
∂Φ∂++
∂∂
+∂∂
−
=
−∂∂+
∂Φ∂++
∂∂+
∂∂−
ϑϑ
ϑµϑϑ
µ
ϑµϑϑµ
37
Tlusté desky, okrajové podmínky
Prosté podepření:
• okraj x= konst: w=mx=mxy=0
• okraj y= konst: w=my=mxy=0
Vetknutí:
• okraj x=y= konst: w=ϑx= ϑy=0
Volný okraj:
•okraj x= konst: mx=mxy=qx=0
• okraj y= konst: my=mxy=qy=0
Doplňkové posouvající síly se zde nezavádějí
38
Použitá literatura[1] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II. Nakladatelství VUT Brno,
1993.
