CONSTRUCCIÓN DE UNA PRUEBA PARA LA MEDICION DEL NIVEL DE

RAZONAMIENTO GEOMETRICO

I. INTRODUCCION

Dentro de los temas de estudio establecidos en Colombia para los estudiantes de la

educación básica, se encuentra el estudio de las matemáticas, que por lo general tiende a

presentar problemas a la hora de su aprendizaje y aplicación, sin embargo cuando

observamos con un poco mas de especificidad encontramos que dentro del estudio de las

matemáticas se encuentra un campo que resulta confuso para un número considerable de

estudiantes, el estudio de la geometría.

La geometría se considera una de las ramas de la matemática de más importancia,

sin embargo, algunos estudios señalan que su valor dentro de las aulas de clase ha ido

siendo desplazado por otros temas matemáticos inclinados mas al estudio del algebra, es

por esto que se hace necesario evidenciar las posibles falencias que los estudiantes están

presentando en el campo de la geometría aplicada.

Para el estudio de la geometría se han abordado varios métodos, sin embargo el

métodos más comúnmente usado es el método de van hiele, el cual plantea que el

razonamiento geométrico se divide en cinco fases que nos dan cuenta del nivel de

razonamiento geométrico que poseen los estudiantes, además de esto, los esposos van hiele

plantean que el desarrollo de estas habilidades permite desarrollar habilidades de

pensamiento y es facilitador del desarrollo intelectual de los estudiantes.

El modelo de van hiele, permite que el docente haga una “radiografía geométrica”

para determinar el nivel de razonamiento geométrico en que los estudiantes se encuentran y

de esta manera aplicar estrategias que se encaminen a desarrollar habilidades en la

resolución de problemas geométricos tanto aplicados como teóricos.

EL MODELO DE RAZONAMIENTO GEOMETRICO DE VAN HIELE

El modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele, fue desarrollado por los esposos,

Dina y Pierre, Van Hiele, simultáneamente con la universidad de Utrecht (Rojas, C.), este

modelo se encuentra dividido en dos etapas, la primera está dirigida exclusivamente a los

estudiantes y permite realizar un acercamiento a los niveles de razonamiento geométrico en

que se encuentran los estudiantes, esta primera etapa se encuentra dividida en cinco niveles

y se denomina fases de razonamiento geométrico de Van Hiele, la segunda etapa, está

dirigida a las estrategias que deben usar los docentes para hacer efectivo el aprendizaje por

parte de los estudiantes, esta etapa consta de cinco fases, denominadas fases del

aprendizaje. (Rojas, C. 2005. Carreño & Climent, 2010. Barrera & Centeno, 2006.).

Según Fouz & Berritzegune, las fases de la primera etapa son denominadas de la

siguiente manera:

Nivel 0: Visualización o reconocimiento. Según los autores, este nivel posee tres

características que lo identifican, 1) los objetos se ven como un todo, es decir no hay una

diferenciación entre los objetos que componen una determinada figura, no logran

diferenciar los atributos que lo componen, 2) se hace una descripción del objeto

asimilándolo a objetos familiares y comunes, no existe un lenguaje apropiado a la

geometría para nombrar determinadas figuras y 3) no se reconocen de forma clara

componentes y propiedades de los objetos con los que se trabaja.

Nivel 1: Análisis. En este nivel, los estudiantes identifican componentes y propiedades de

los objetos y las figuras, sin embargo, aun no establecen relaciones entre propiedades o

entre figuras y no poseen la capacidad para clasificar las propiedades y los objetos.

Nivel 2: Ordenación o clasificación. Este nivel posee tres características, 1) los estudiantes

“describen las figuras de manera formal, 2) se realizan clasificaciones lógicas de manera

formal ya que el nivel de su razonamiento matemático ya esta iniciado y 3) siguen las

demostraciones pero no las entienden en cuanto a su estructura, esto se da porque su nivel

de razonamiento lógico es capaz de seguir pasos individuales de un razonamiento, pero no

de asimilarlo en su totalidad.”(Fouz & Berritzegune).

Nivel 3: Deducción formal. Se destacan algunos elementos por los cuales se puede

identificar la llegada a este nivel, durante este nivel el estudiante logra hacer deducciones y

demostraciones lógicas y formales, las relaciones se formalizan en conceptos axiomáticos,

logran llegar a resultados similares o iguales partiendo de proposiciones distintas y lo que

más caracteriza este nivel es que el estudiante logra crear una visión globalizadora de las

matemáticas y se puede observar un alto nivel de razonamiento geométrico.

Nivel 4: Rigor. “se puede trabajar la geometría de manera abstracta sin necesidad de

ejemplos concretos, alcanzándose el más alto nivel de rigor matemático.” (Fouz &

Berritzegune). Sin embargo, se considera que el estudiante que logre alcanzar un nivel 3,

posee suficiente capacidad de razonamiento geométrico, por lo tanto la mayoría de estudios

realizados sobre el tema evalúan los niveles 1,2 y 3.

La segunda etapa del modelo de Van Hiele, consiste en hacer una evaluación para

determinar en qué nivel de razonamiento geométrico se encuentra el estudiante y de esta

manera planear las estrategias a seguir por parte del docente, el modelo de Van Hiele,

señala que existen cinco fases denominadas fases de aprendizaje, estas fases se encuentran

orientadas al docente son de carácter educativo y varían de acuerdo a la estrategia utilizada

por el docente y el nivel en el cual se encuentra el estudiante para desarrollar niveles más

avanzados, es por esto que únicamente mencionaremos los niveles de la etapa de

aprendizaje. Fase 1: preguntas de orientación. Fase 2: orientación dirigida. Fase 3:

Explicación. Fase 4: orientación libre. Fase 5: integración.

APROXIMACION DEL TEMA EN OTROS ESTUDIOS

Son varios los acercamiento que se han realizado al tema de razonamiento geométrico,

entre ellos se encuentran, Bertha Barrera y Manuel Centeno de la Universidad de oriente en

Sucre, Venezuela, en este estudio, los autores observaron el nivel de razonamiento

geométrico en estudiantes de la licenciatura en educación integral, este estudio intentó

medir el nivel de razonamiento geométrico, utilizando como modelo guía el modelo de Van

Hiele para instruir a los docentes sobre el cómo enfrentar el problema de la falta de

razonamiento geométrico, los resultados de este estudio arrojaron que la mayoría de

estudiantes se encuentran en niveles bajos de razonamiento geométrico, es decir, en el nivel

1,2 y 3, mientras que en los niveles superiores solo una minoría alcanzo un buen

desempeño en razonamiento geométrico, según el modelo de Van Hiele.

Por su parte, Carlos Rojas, realizo una investigación con la universidad del norte en

la ciudad de barranquilla, Colombia. Este estudio fue diseñado en dos etapas siguiendo el

modelo de Van Hiele, la primera etapa consistía en aplicar una prueba antes del ingreso a la

universidad en estudiantes de licenciatura en pedagogía infantil, de esta manera se lograba

un diagnostico para determinar el nivel de razonamiento geométrico en el cual se

encontraban las estudiantes antes de su ingreso a la universidad. La segunda etapa consistía

en aplicar una prueba luego de haber cursado la asignatura geometría 1, para observar de

qué manera habían asimilado los conocimientos matemáticos adquiridos y como este

contribuye a la aplicación en el razonamiento geométrico.

Los resultados obtenidos en este estudio mostraron que la mayoría de estudiantes se

encuentra en el nivel 2, lo que indica que las estudiantes de licenciatura básica luego de

haber cursado la materia de geometría, no alcanzaron un nivel superior en el razonamiento

geométrico.

Los estudios mencionados anteriormente nos muestran que en general los

estudiantes poseen bajos niveles de razonamiento, esto se debe a diversos factores entre

ellos se podrían considerar, la falta de una estrategia efectiva para la enseñanza de la

geometría, el desplazamiento que ha sufrido la geometría, siendo reemplazada por otras

ramas de la matemática y la falta de empeño de los estudiantes al acercarse al tema de la

geometría.

En general los estudios revisados poseen resultados similares en donde la mayoría

de estudiantes se encuentran ubicados en los niveles del 0 al 2, y solo una minoría alcanza

niveles superiores, en especial el nivel 3.

II. PROPOSITO DE LA PRUEBA

Definición del atributo

De acuerdo a lo que hemos planteado, podríamos definir el razonamiento geométrico, como

un constructo psicológico, que posee características específicas, las cuales son adquiridas

por medio de la práctica ya sea de manera experimental o por medio de la experiencia.

El razonamiento geométrico, se concibe como un espiral de conocimiento y se

presenta de manera ascendente, es decir, es imposible caracterizar el razonamiento

geométrico como algo constituido por un solo nivel, sino que se consideran niveles bajos,

medios y altos de razonamiento geométrico, dado que estos niveles son jerarquizados es

imposible estar en un nivel superior in antes haber desarrollado los niveles básicos.

¿Qué se va a medir?

Lo que nosotros buscamos medir, es el nivel de razonamiento geométrico en que se

encuentran los estudiantes de último grado de secundaria en un colegio de Bogotá, según el

modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele.

¿Por qué se va a medir?

Dada la importancia del razonamiento geométrico en el desarrollo cognitivo, vemos la

necesidad de evaluar el nivel de razonamiento geométrico de los estudiantes, puesto que

este tiene incidencia en el desarrollo de habilidades de diversa índole, que van desde el

desarrollo de contenidos lingüísticos, hasta el desarrollo de capacidades de ubicación

espacial.

Por esto consideramos que el razonamiento geométrico debe ser estimulado en los

centros de educación superior, dada la importancia de este en el desenvolvimiento del

estudiante con respecto al desarrollo de otras habilidades cognitivas.

¿A quién va dirigido?

Nuestro interés es evaluar el desarrollo del razonamiento geométrico en estudiantes de

último grado de secundaria, inicialmente se realizara una prueba piloto para determinar

cuáles serán los ítems que formaran la prueba que más se adecua a la medición de los

niveles de razonamiento geométrico, el principal objetivo es lograr estandarizar la prueba

resultante de nuestra aplicación piloto y contribuir con la evaluación de estudiantes en el

área de la geometría, de esta manera generar propuestas de enseñanza con respecto al tema.

¿Cómo se va a medir?

La medición del nivel de razonamiento geométrico se hará mediante la aplicación de una

prueba compuesta de veinte (20) ítems con diferentes formatos, aunque todas de opción

múltiple que comprenderán los cuatro (4) primeros niveles de razonamiento geométrico

antes descritos, tomados del modelo de Van Hielen, la estructura de la prueba puede

observarse con mayor claridad en la Tabla 1. Para cada nivel se incluirán cinco (5)

preguntas seleccionadas del banco de entre los 10 ítems que mejor funcionamiento

presenten en la aplicación piloto que se efectuará con cuarenta (40) sujetos de una muestra

correspondiente a las características de la población a la que va dirigida la prueba

(estudiantes que hayan cursado el grado undécimo de la educación media). El tipo de

pregunta varía según el nivel que se esté evaluando. Así pues, en el primer nivel (0) se

encuentran preguntas de opción múltiple con única respuesta y con múltiples respuestas, las

cuales son útiles para evaluar aplicación y en algunos casos recuerdo de conceptos

(Herrera, 1996). En los siguientes dos niveles (1 y 2) se presentan únicamente preguntas de

opción múltiple con única respuesta pues se consideran suficientes para evaluar los cuatro

primeros niveles del dominio cognoscitivo de Bloom (1956, citado por Herrera, 1996) entre

los que se encuentran Análisis (4), Aplicación (3) Comprensión (2), que se corresponden en

gran medida con los niveles de razonamiento de Van Hiele que pretende medir esta prueba.

Finalmente en el último nivel se encuentran preguntas de los dos tipos anteriores y se

suman otras de análisis de relaciones con afirmaciones separadas por la palabra

“PORQUE” que son pertinentes para evaluar si el sustentante analiza valores de verdad y

consigue hacer deducciones lógicas apropiadas.

Todos estos ítems se evaluarán de la misma forma, asignando un (1) punto por acierto y

ningún punto (0) si no se acierta. Al final se determinará el nivel del sustentante por el

mayor nivel en el que haya tenido el máximo desempeño posible.

ESTRUCTURA DE LA PRUEBA

ELEMENTOS EXPLÍCITOSNIVEL 0Visualización o razonamiento

Figuras y objetos Única respuesta

2

Múltiplerespuesta

3

NIVEL 1Análisis

Partes y propiedades Única respuesta

5

NIVEL 2Ordenación o clasificación

Implicaciones entre propiedades Única respuesta

5

NIVEL 3Deducción formal

Deducción formal de teoremas Única respuesta

1

Múltiple respuesta

1

Análisis de relaciones

3

Tabla 1. Estructura de la prueba de razonamiento geométrico basada en el modelo de Van Hiele

Los sustentantes tendrán un cuestionario con un total de veinte (20) preguntas, una

hoja en blanco, en la cual podrán hacer las operaciones, cálculos o gráficas que consideren

pertinentes; un lápiz y una hoja de respuestas, en la cual deberán marcar una y solamente

una respuesta, la que consideren correcta para cada pregunta.

Todo este material será proporcionado por los examinadores y deberá ser devuelto a

los mismos al terminar la aplicación. De este material, el examen se hará solamente con las

respuestas consignadas en la hoja de respuestas, aunque también se sugiere como objeto de

interés y de análisis las observaciones que se puedan hacer en la Hoja de operaciones del

sustentante, por ejemplo en caso de encontrar un desempeño bastante bajo en la prueba.

Tipo de administración

La administración de esta prueba se hará de manera individual, donde cada sujeto tendrá

todo el material necesario y suficiente para desarrollarla, las instrucciones para responder al

cuestionario estarán incluidas en el cuadernillo de preguntas, antes de cada cambio de tipo

de pregunta se incluirán las instrucciones para responder a ese tipo de pregunta particular.

Solo se darán las indicaciones relacionadas con la importancia de devolver todo el material

de la prueba y contestar únicamente en la Hoja de respuestas entregada para ese fin.

Duración de la prueba

Esta prueba está pensada para ser respondida en un tiempo máximo de 30 minutos, sin

embargo no se sanciona si un sustentante entrega en un tiempo menor que este. Al cabo de

este lapso se solicitará al sustentante que entregue todo el material y se retire del sitio de

aplicación.

III. BANCO DE PREGUNTAS

A continuación se presenta un banco de cuarenta (40) preguntas para la prueba piloto, de las cuales se hará posteriormente una aplicación y un análisis para definir cuáles serán las que compongan la versión final de la prueba que constará solo de veinte (20) de estos ítems, los cinco (5) de cada nivel que muestren funcionar mejor y ser más discriminativos.

NIVEL 0 – VISUALIZACIÓN O RAZONAMIENTO

PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTALas preguntas que encontrará a continuación constan de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con las letras A, B, C y D. Marque la que considere que completa o responde de forma más adecuada al enunciado.

1. En geometría Euclidiana un par de líneas se consideran como paralelas si nunca se cruzan al extenderse en el infinito, con esta consideración un buen ejemplo de este tipo es:

a. Los meridianos que cortan la tierrab. Las órbitas de los planetasc. Las vías del ferrocarrild. Los lados de un triángulo isósceles

CLAVE C2. Un ejemplo de rectángulo es como el que se describe a continuación:

a. Un paralelogramo con ángulos que no son rectosb. La suma de dos rombos colocados uno sobre el otroc. La suma de dos cuadrados colocados uno al lado del otrod. Un paralelepípedo con ángulos rectos

CLAVE C3. Las manecillas de un reloj forman ángulos según vayan girando, los ángulos rectos

son los que se hallan en las esquinas de los cuadrados, ¿en cuál de las siguientes horas un reloj muestra un ángulo recto?

a. 12:00b. 3:00c. 6:00d. 8:00

CLAVE B4. El perímetro de una figura geométrica es equivalente a la suma de la medida de

todos sus lados, si se tiene un rectángulo cuyos lados más largos miden cada uno 4 y los cortos miden 2 cada uno, es posible decir que su perímetro es:

a. 8b. 12c. 4d. 6

CLAVE B5. Las figuras geométricas que están compuestas por tres (3) o más segmentos de

rectas se denominan polígonos y se nombran según el número de lados que tengan. Según lo anterior ¿cuál de las siguientes afirmaciones NO es correcta?

a. Un hexágono es un polígono de seis ladosb. Un heptágono es un polígono de siete ladosc. Un decágono es un polígono de doce ladosd. Un pentágono es un polígono de cinco lados

CLAVE C

PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTALas preguntas que encontrará a continuación constan de un enunciado y cuatro opciones relacionadas identificadas con los números 1, 2, 3 y 4. Solo 2 de estas opciones responden correctamente al enunciado. Seleccione la respuesta correcta de acuerdo con el cuadro que aparece a continuación:

Si 1 y 2 son correctas, marque la opción ASi 2 y 3 son correctas, marque la opción BSi 3 y 4 son correctas, marque la opción CSi 2 y 4 son correctas, marque la opción D

6. Observe las siguientes figuras, ¿cuáles de ellas denomina como polígonos?

CLAVE C7. Observe las siguientes figuras, ¿cuáles de ellas denomina como cuadrados?

CLAVE B8. Observe las siguientes figuras, ¿cuáles de ellas denomina como triángulos?

CLAVE D9. Observe las siguientes figuras, ¿cuáles de ellas NO son cuadriláteros?

CLAVE C10. Observe las siguientes figuras, ¿cuáles de ellas NO son polígonos?

CLAVE B

NIVEL 1 – ANÁLISIS

PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTALas preguntas que encontrará a continuación constan de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con las letras A, B, C y D. Marque la que considere que completa o responde de forma más adecuada al enunciado.

11. Los triángulos rectángulos tienen una particular característica y es el teorema de Pitágoras que dice que la suma del cuadrado de los catetos (lados cortos) es igual al cuadrado de la hipotenusa (lado más largo). Hipotenusa2 = Cateto12 + Cateto22. Verifique con este principio cuál de los siguientes es un triángulo rectángulo

a. 3, 4, 12b. 3, 5, 8c. 3, 4, 5d. 3, 13, 16

CLAVE C12. El volumen de un cubo es equivalente a elevar el largo de uno de sus lados al cubo

(x3). Si se sabe que los lados de un cubo miden 2, 3, 4; su volumen es:a. 24b. 8c. La figura no tiene volumend. La figura no es un cubo

CLAVE D13. Algunos polígonos regulares pueden agruparse para formar otros polígonos

regulares, esto se demuestra en el siguiente ejemplo:a. Se puede formar un círculo uniendo pentágonos pequeñosb. Se puede formar un hexágono uniendo triángulos pequeñosc. Se puede formar un triángulo uniendo cuadrados pequeñosd. Se puede formar un cuadrado uniendo pentágonos pequeños

CLAVE B14. Las colmenas de las abejas están construidas con hexágonos increíblemente

regulares apilados unos sobre otros de manera perfecta. Si cada hexágono se puede dividir exactamente en 6 triángulos para guardar en cada uno de ellos un huevecillo de abeja, una colmena que quiere guardar 42 huevos ¿Cuántos hexágonos necesitará?:

a. 8b. 12c. 6d. 7

CLAVE D15. La bisectriz de un ángulo es la línea que lo divide exactamente por la mitad y

genera dos ángulos congruentes, es decir, que tienen la misma medida. Al trazar la bisectriz de un ángulo de 75°, esta se encuentra a

a. 25°b. 37,5°c. 35°d. 39°

CLAVE B16. Un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos (90°), la diagonal de un cuadrado divide

uno dos de esos ángulos exactamente por la mitad, si se toma uno de los triángulos formados tras esa división, ¿qué ángulos tiene?

a. 90, 90, 45b. 90, 90, 0c. 45, 45, 45d. 45, 90, 45

CLAVE A17. Un rombo es una figura de cuatro lados de igual longitud cuyas diagonales son de

diferente longitud. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO es cierta en un rombo?a. Cada diagonal es bisectriz de dos ángulos del rombob. Las dos diagonales son perpendicularesc. Los ángulos opuestos tienen la misma medidad. Todos los ángulos tienen medidas diferentesCLAVE D

18. Si se toma una hoja de papel cuadrada y se dobla por la mitad dos veces, la forma que se obtiene en esta hoja de papel doblado es:

a. Un rectángulo la mitad de grande que el cuadrado originalb. Un cuadrado igual de grande que el cuadrado originalc. Un rectángulo igual de grande que el cuadrado originald. Un cuadrado la mitad de grande que el cuadrado original

CLAVE D

19. Para un rombo cuyos ángulos mayores miden 100º, ¿cuánto miden sus ángulos menores?:

a. 50ºb. 60ºc. 80ºd. 90º

CLAVE C20. La medida del diámetro de un círculo es igual a dos veces la medida de su radio, al

respecto es correcto decir que:a. El diámetro de un círculo toca dos puntos del círculob. El diámetro de un círculo pasa más de una vez por el centro del círculoc. El diámetro de un círculo toca solamente un punto del círculod. Un círculo solo tiene dos diámetros

CLAVE A

NIVEL 2 – ORDENACIÓN O CLASIFICACIÓN

PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTALas preguntas que encontrará a continuación constan de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con las letras A, B, C y D. Marque la que considere que completa o responde de forma más adecuada al enunciado.

21. Según sus ángulos los triángulos se clasifican en tres tipo: rectángulo, aquel que tiene un ángulo recto (90°), obtusángulo, aquel que tiene un ángulo obtuso (>90°) y acutángulo, aquel que tiene tres ángulos agudos (<90°). De acuerdo con esta clasificación cuál de los siguientes conjuntos de ángulos NO describe un triángulo acutángulo:

a. 95, 20, 65b. 60, 40, 80c. 45, 75, 60d. 30, 80, 60

CLAVE A22. Los poliedros son volúmenes formados por algún número de polígonos del mismo

tipo, así por ejemplo uniendo 6 cuadrados es posible formar un cubo. El número de líneas que tiene un cubo es:

a. 12b. 6c. 8d. 24

CLAVE A23. Una arista es un extremo en un polígono regular desde el cual se puede medir un

ángulo, así por ejemplo un triángulo tiene tres aristas, tres lados y tres ángulos. ¿Cuántas aristas tendría en total un cubo?

a. 4b. 6c. 8

d. 16CLAVE C

24. Decir que dos triángulos son congruentes es decir que la razón (división) de sus lados semejantes es equivalente. Por ejemplo el triángulo de medidas 3, 4, 5 es congruente con el triángulo de medidas 6, 8, 10. De esto se puede deducir que

a. Todos los triángulos son congruentes entre síb. Dos triángulos congruentes tienen los mismos ángulosc. Dos triángulos congruentes tienen ángulos distintosd. Todos los triángulos isósceles son congruentes

CLAVE B25. Los triángulos son figuras geométricas muy interesantes de estudiar, la suma de sus

tres ángulos es siempre igual a 180°, ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de ángulos NO podrían formar un triángulo?

a. 90, 45, 45b. 90, 50, 40c. 90, 90d. 90, 10, 80

CLAVE C26. Los triángulos según sus lados se clasifican en tres tipos, equiláteros si tienen sus

tres lados iguales, isósceles si tienen 2 lados iguales, y escalenos si todos sus lados son distintos. Cuáles de los siguientes NO son los lados de un triángulo escaleno:

a. 5, 4, 6b. 5, 2, 6c. 5, 6, 6d. 5, 10, 15

CLAVE C27. Los cristales de nieve se componen de figuras denominadas fractales, que son

unidades básicas que se va multiplicando muchas veces y crecen de forma exponencial. Por ejemplo, si en una rama la forma, que es una Y (crea dos (2) nuevas ramas), se multiplica tres (3) veces se obtienen ocho (8) ramas al final. Si en una rama la misma forma se multiplica 5 veces, se obtienen:

a. 16 ramasb. 10 ramasc. 5 ramasd. 32 ramas

CLAVE D28. Las pirámides de Egipto están construidas por cuatro caras triangulares y una base

cuadrada, en términos geométricos es correcto decir que:a. Las pirámides son poliedrosb. Las pirámides son polígonosc. Las pirámides son rectas paralelasd. Las pirámides son construcciones

CLAVE A29. Dos líneas rectas son paralelas si:

a. Ambas son paralelas a una tercerab. Ambas son perpendiculares a una tercera

c. Ambas tienen la misma pendiented. Todas las anteriores son ciertas

CLAVE D30. Si se sabe que la suma de los ángulos de todo triángulo da como resultado 180º y

que todo cuadrilátero equivale a la suma de dos triángulos, es correcto decir que:a. Todos los cuadriláteros tienen 180º en la suma de sus ángulos internosb. Algunos cuadriláteros tienen 360º en la suma de sus ángulos internosc. Todos los cuadriláteros tienen 360º en la suma de sus ángulos internosd. Algunos cuadriláteros tienen 180º en la suma de sus ángulos internos

CLAVE C

NIVEL 3 – DEDUCCIÓN FORMAL

PREGUNTAS DE ANÁLISIS DE RELACIONESLas preguntas que encontrará a continuación constan de una afirmación y una razón unidas por la palabra PORQUE. Usted debe juzgar tanto el grado de verdad o falsedad de cada una de ellas como la relación existente entre las misma y contestar en su hoja de respuestas según el cuadro siguiente

MARQUE LA OPCIÓN A, si ambas afirmaciones son verdaderas y la segunda es una razón o explicación correcta de la primeraMARQUE LA OPCIÓN B, si ambas afirmaciones son verdaderas, pero la segunda NO es una razón o explicación correcta de la primeraMARQUE LA OPCIÓN C, si la primera afirmación es verdadera pero la segunda es falsaMARQUE LA OPCIÓN D, si la primera afirmación es falsa pero la segunda es verdaderaMARQUE LA OPCIÓN E, si ambas afirmaciones son falsas

31. Un pentágono es un polígono regularPORQUEtodo polígono que se pueda inscribir en una circunferencia es un polígono regularCLAVE B

32. El volumen de un cilindro NO se puede calcularPORQUEun cilindro es solamente un polígono y no posee volumenCLAVE E

33. Un triángulo escaleno NO se puede inscribir en una circunferenciaPORQUEningún triángulo puede inscribirse en una circunferenciaCLAVE C

34. No es posible calcular el área de un círculoPORQUEUn círculo es una figura sin esquinasCLAVE D

35. Un mismo punto NO puede estar contenido en dos rectas distintasPORQUELos puntos son formas geométricas sin esquinasCLAVE E

PREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTALas preguntas que encontrará a continuación constan de un enunciado y cuatro opciones relacionadas identificadas con los números 1, 2, 3 y 4. Solo 2 de estas opciones responden correctamente al enunciado. Seleccione la respuesta correcta de acuerdo con el cuadro que aparece a continuación:

Si 1 y 2 son correctas, marque la opción ASi 2 y 3 son correctas, marque la opción BSi 3 y 4 son correctas, marque la opción CSi 2 y 4 son correctas, marque la opción D

36. Galileo Galilei demostró basándose en las medidas de las sombras producidas por un poste, que la tierra era en realidad redonda. Esto es posible ya que:

1. Las sobras forman siembre ángulos diferentes con respecto al poste2. Las sombras son rectas paralelas al poste3. Las sombras son siempre perpendiculares al poste4. Las sombras cambian de longitud según la posición del sol

CLAVE C37. Si se unen por su lado más largo dos triángulos que no son rectángulos es posible

obtener:1. Un rombo2. Un paralelogramo3. Un rectángulo4. Un cuadrado

CLAVE A38. Para que dos circunferencias sean concéntricas, es NECESARIO que

1. Sus áreas sean iguales2. Sus radios tengan el punto de origen común3. Sus diámetros tengan la misma medida4. Sus centros sean iguales

CLAVE DPREGUNTAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

Las preguntas que encontrará a continuación constan de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con las letras A, B, C y D. Marque la que considere que completa o responde de forma más adecuada al enunciado.

39. Se dice que la medida del radio de una circunferencia cabe aproximadamente seis (6) veces en su perímetro. Con esto es posible decir que:

a. Una circunferencia es un polígono de más de seis ladosb. El diámetro de una circunferencia cabe aproximadamente 12 vecesc. El diámetro de una circunferencia cabe aproximadamente 3 vecesd. Una circunferencia es un polígono de aproximadamente seis lados

CLAVE C

40. Si la hipotenusa de dos triángulos tiene igual longitud y uno de los ángulos que éstas llevan es también el mismo entonces es posible decir que:

a. Los dos triángulos son diferentesb. Los dos triángulos son equiláterosc. Los dos triángulos son igualesd. Los dos triángulos son congruentes

CLAVE A