Niveaubestimmende Aufgaben für den Mathematikunterricht ... · den Mathematikunterricht...

Niveaubestimmende Aufgaben für

den Mathematikunterricht Schuljahrgang 6

Arbeitsstand: 02.11.2004
Landesinstitut für Lehrerfortbildung, Lehrerweiterbildung und
Unterrichtsforschung von Sachsen-Anhalt (LISA)

Niveaubestimmende Aufgaben � Mathematik: Schuljahrgang 6

An der Erarbeitung der niveaubestimmenden Aufgaben haben mitgewirkt:

Christel, Kurt Gerbstedt

Ehricht, Sieglinde Halle

Dr. Prüfer, Sabine Eisleben

Dr. Pruzina, Manfred Halle (LISA)

Schmundt, Ulrich Stendal

Schuhmann, Rosmarie Halle (betreuende Dezernentin des LISA)

Siebert, Kornelia Halle


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Inhaltsverzeichnis

Seite 1 Zur Funktion der niveaubestimmenden Aufgaben.................................................... 4 2 Mathematische Kompetenzen � Zielniveau Schuljahrgang 6 ................................... 5 2.1 Allgemeine mathematische Kompetenzen ............................................................... 5 2.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen....................................................... 7 2.3 Anforderungsbereiche ............................................................................................. 9 3 Aufgabenbeispiele ..................................................................................................10 3.1 Zahlen ....................................................................................................................10 3.2 Gleichungen und Ungleichungen............................................................................17 3.3 Zuordnungen ..........................................................................................................19 3.4 Messen...................................................................................................................24 3.5 Raum und Form......................................................................................................32 3.6 Stochastik...............................................................................................................40 4 Zu ausgewählten Aufgaben unter dem Aspekt der Entwicklung

allgemeiner mathematischer Kompetenzen ............................................................47 4.1 Zur Kompetenz �Probleme mathematisch lösen� ....................................................47 4.2 Zur Kompetenz �Mathematisch argumentieren� ......................................................54 4.3 Zur Kompetenz �Mathematische Darstellungen nutzen� .........................................62


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1 Zur Funktion der niveaubestimmenden Aufgaben

Planungsgrundlage für den Mathematikunterricht sind die gültigen Rahmenrichtlinien für die

Sekundarschule und für das Gymnasium. Dort sind auch die Ziele und Inhalte für die

Schuljahrgänge 5 und 6 beschrieben.

Mit den vorliegenden niveaubestimmenden Aufgaben für den Schuljahrgang 6 wird der

Versuch unternommen, das Niveau zu beschreiben, das Schüler am Ende des Schuljahr-

ganges 6 im Regelfall erreicht haben sollen. Dabei wird davon ausgegangen, dass das

Zielniveau am Ende des 6. Schuljahrganges das Zielniveau am Ende des 4. Schuljahr-

ganges einschließt, ohne jeweils die entsprechenden Kompetenzen (s. Material

Niveaubestimmende Aufgaben für den Schuljahrgang 4) im Einzelnen erneut auszuweisen.

Die niveaubestimmenden Aufgaben für den Schuljahrgang 6 stellen eine Interpretation der

Rahmenrichtlinien im Land Sachsen-Anhalt dar und berücksichtigen zugleich die KMK -

Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss. Sie sollen den Mathematiklehrkräften

helfen, die am Ende des Schuljahrganges 6 zu erreichenden mathematischen Kompetenzen

als Ganzes zu erfassen und ihren Unterricht langfristig daran zu orientieren.

Ein besonderes Anliegen ist es, dass die Entwicklung von allgemeinen mathematischen

Kompetenzen im Zusammenhang mit den inhaltsbezogenen Kompetenzen als wesentliches,

ja letztlich wichtigstes Ziel im Mathematikunterricht begriffen wird und zu einer ent-

sprechenden Unterrichtsgestaltung führt.

Die Aufgaben im Kapitel 3 haben mehrere Funktionen zu erfüllen:

- Sie stellen eine Konkretisierung der im Kapitel 2 beschriebenen mathematischen

Kompetenzen dar.

- Sie können für die Unterrichtsgestaltung unmittelbar verwendet werden, z. B. bei der

Erarbeitung oder Festigung - ggf. je nach didaktisch-methodischer Intention modifiziert.

- Sie liefern Anhaltspunkte für die Durchführung von Lernkontrollen und bilden somit eine

Grundlage für die Analyse von Schülerleistungen und für die interne Evaluation.

Allerdings ist zu beachten, dass die Aufgaben in ihrer Gesamtheit das Zielniveau

beschreiben.

Das Material Niveaubestimmende Aufgaben für den Schuljahrgang 6 gilt sowohl für die

Sekundarschule als auch für das Gymnasium. Differenzierungen im Anspruchsniveau

bestehen sowohl quantitativ (erweiterte Unterrichtsinhalte) als auch qualitativ. Die rein

quantitativen Unterschiede werden dadurch berücksichtigt, dass die nur für das Gymnasium

geltenden Kompetenzen kursiv hervorgehoben und mit dem Zusatz �(Gym)� gekennzeichnet


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sind. Die qualitativen Unterschiede bei der Kompetenzentwicklung am Gymnasium im

Vergleich zur Sekundarschule werden darüber hinaus dadurch berücksichtigt, dass eine

größere inhaltliche Tiefe, eine breitere inhaltliche Vernetzung sowie generell ein höherer

Anspruch am Gymnasium zu verwirklichen ist.

Das Anspruchsniveau hängt wesentlich von der Art der Einbindung der Aufgaben in den

Lernprozess ab. Auch weitere Faktoren haben darauf Einfluss, wie z. B. Arbeitszeit, Umfang

der Hilfen bzw. der zugelassenen Hilfsmittel und nicht zuletzt der Erwartungshorizont.

2 Mathematische Kompetenzen – Zielniveau Schuljahrgang 6

Mathematische Allgemeinbildung muss sich im verständnisvollen Umgang mit Mathematik

und in der Fähigkeit zeigen, das �Werkzeug� Mathematik funktional beim Bewältigen von

mathematikhaltigen Anforderungen in verschiedenen Kontexten zu nutzen. Für eine

entsprechende Kompetenzentwicklung ist es hilfreich, zwei verschiedene, aber eng mitein-

ander verbundene Sichtweisen zu unterscheiden. Dabei handelt es sich zum einen um

allgemeine mathematische Kompetenzen und zum anderen um inhaltsbezogene mathem-

atische Kompetenzen.

Mit allgemeinen mathematischen Kompetenzen sind bestimmte Leistungsdispositionen zur

Lösung von Aufgaben gemeint, die Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnisse und

Verhaltenseigenschaften umfassen, die zwar fachspezifisch vom mathematischen Arbeiten

geprägt sind, aber nicht an spezielle mathematische Inhalte gebunden sind. Sie können aber

nur durch inhaltsbezogene mathematische Tätigkeiten entwickelt werden.

Mit inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind bestimmte Leistungsdispositionen

gemeint, die ebenfalls Fähigkeiten, Fertigkeiten, Kenntnisse und Verhaltenseigenschaften

umfassen, aber sich auf das Bewältigen von Anforderungen in speziellen mathematischen

Inhaltsbereichen beziehen.

2.1 Allgemeine mathematische Kompetenzen

In Anlehnung an die KMK-Bildungsstandards1 werden folgende allgemeine mathematische

Kompetenzen für den Schuljahrgang 6 hervorgehoben und beschrieben:

1 Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss.

Beschluss der KMK vom 04.12.2003


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Probleme mathematisch lösen Die Schülerinnen und Schüler

P 1 können Aufgabentexte inhaltlich erschließen, aufgabenrelevante Informationen

entnehmen sowie eine Aufgabensituation geeignet strukturieren, indem sie zum Beispiel informative Figuren erstellen und Tabellen anfertigen,

P 2 nutzen Strategien wie das Probieren, das Zurückführen auf Bekanntes und das Zerlegen in Teilaufgaben,

P 3 prüfen Ergebnisse insbesondere durch die Durchführung von Proben und Überschlägen, die Kontrolle am gegebenen Sachverhalt und den Vergleich mit eigenen Erfahrungen.

Mathematisch argumentieren Die Schülerinnen und Schüler A 1 können Begriffe, Sätze und Verfahren an Beispielen erläutern,

A 2 sind in der Lage, elementare Aussagen zu begründen, indem sie bekannte

Begriffe, Regeln oder Sätze anwenden,

A 3 können zu bekannten Sachverhalten die Wahrheit von Existenzaussagen durch die Angabe eines Beispiels und die Falschheit von Allaussagen durch die Angabe eines Gegenbeispiels begründen,

A 4 sind in der Lage, Lösungen und Lösungswege begründen.

Mathematische Darstellungen verwenden Die Schülerinnen und Schüler D 1 können aus Netzen und Schrägbildern von räumlichen Objekten Vorstellungen

über diese gewinnen,

D 2 können Daten in Tabellen, im Streifendiagramm oder im kartesischen Koordinatensystem darstellen und diese Darstellungen vollständig beschriften,

D 3 können aus Tabellen und grafischen Darstellungen Werte ablesen, Extremwerte und Tendenzen (insbesondere Zunahme, Konstanz, Abnahme) erkennen,

D 4 verstehen und verwenden vertraute symbolsprachliche Darstellungen,

D 5 stellen Überlegungen und Lösungswege verständlich mündlich und schriftlich dar.


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2.2 Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind nach ausgewählten

mathematischen Leitideen (siehe KMK-Bildungsstandards) und nach Inhaltsbereichen der

Rahmenrichtlinien2 dargestellt. Zahlen Die Schülerinnen und Schüler können: • natürliche und gebrochene Zahlen in verschiedenen Formen darstellen und nutzen,

• Grundrechenoperationen mit einfachen gebrochenen Zahlen sicher ausführen,

• gebrochene Zahlen vielfältig veranschaulichen und auf dem Zahlenstrahl darstellen,

• natürliche Zahlen auf Teilbarkeit untersuchen,

• Aufgaben, bei denen verschiedene Rechenoperationen miteinander verknüpft sind, im

Bereich der natürlichen Zahlen sicher lösen,

• Überschlagsberechnungen durchführen.

Gleichungen und Ungleichungen Die Schülerinnen und Schüler können: • die Begriffe �Variable� und �Lösung� sachgerecht verwenden,

• einfache Gleichungen und Ungleichungen im Bereich der natürlichen und im Bereich der

gebrochenen Zahlen durch inhaltliches Überlegen und systematisches Probieren lösen,

• Kontrollmöglichkeiten nutzen,

• erkennen, ob Gleichungen und Ungleichungen im angegebenen Zahlbereich lösbar sind. Zuordnungen Die Schülerinnen und Schüler können: • in ihrer Erfahrungswelt funktionale Zusammenhänge von Größen erkennen,

• Zuordnungen in sprachlicher, tabellarischer oder grafischer Form darstellen sowie als

Gleichung angeben,

• die Merkmale direkter (Gymnasium: auch indirekter) Proportionalität für Untersuchungen

und grafische Darstellungen nutzen,

• grafische Darstellungen interpretieren,

• Sach- und Anwendungsaufgaben im Zusammenhang mit proportionalen Zuordnungen

(z. B. mithilfe des Dreisatzes) lösen.

2 Rahmenrichtlinien Gymnasium Mathematik, Schuljahrgänge 5-12 (gültig ab 2003) sowie die Rahmenrichtlinien

Sekundarschule Mathematik, Förderstufe (gültig ab 1997); Kultusministerium des Landes Sachsen-Anhalt


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Messen Die Schülerinnen und Schüler können: • das Grundprinzip des Messens, insbesondere bei der Winkel-, Längen-, Flächen- und

Volumenmessung nutzen und dabei auch komplexe, unbekannte Figuren in einfache

bekannte Figuren zerlegen,

• Einheiten von Größen (insbesondere für Zeit, Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und

Winkel) situationsgerecht auswählen,

• Größen mit Hilfe von Vorstellungen über geeignete Repräsentanten schätzen,

• den Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken und Dreiecken (Gymnasium: auch von

Trapezen) sowie aus ihnen zusammengesetzten Figuren berechnen,

• das Volumen und den Oberflächeninhalt von Quadern berechnen,

• in ihrer Umwelt Messungen vornehmen, Maßangaben aus Aufgaben entnehmen, damit

Berechnungen durchführen sowie Ergebnisse in sinnvoller Genauigkeit angeben.

Raum und Form Die Schülerinnen und Schüler können: • Eigenschaften von Dreiecken und Vierecken bestimmen und Dreiecke und Vierecke

klassifizieren,

• Dreiecke und Vierecke unter Verwendung von Zirkel, Lineal und Geodreieck zeichnen

und konstruieren,

• von Quadern Netze sowie Schrägbilder zeichnen und Quader aus solchen Dar-

stellungen erkennen,

• Sätze zu Winkelbeziehungen und den Innenwinkelsatz in geometrischen Zusammen-

hängen anwenden,

• Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Figuren, wie Symmetrie und Kongruenz

erkennen und diese zur Lösung einfacher Probleme nutzen.

Stochastik Die Schülerinnen und Schüler können: • Daten in Strichlisten, Tabellen und Diagrammen erfassen, darstellen und interpretieren,

• den Durchschnitt und das arithmetisches Mittel berechnen und interpretieren.


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2.3 Anforderungsbereiche

Das erfolgreiche Bearbeiten von Aufgaben erfordert im Allgemeinen Kompetenzen in

unterschiedlicher Ausprägung. Diese werden zum einen durch die objektive Anforderungs-

struktur von Aufgaben und zum anderen durch den Bekanntheits- oder Vertrautheitsgrad der

Anforderung bestimmt.

Durch didaktische Analyse von Aufgaben kann man diese unterschiedlichen Anforderungs-

bereichen zuordnen. In der Praxis hat sich das folgende dreistufige Modell bewährt:

Anforderungsbereich I: „Reproduktionsleistungen“

Wiedergabe oder direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in

geübten Zusammenhängen (z. B. geübte Standardaufgaben, im Allgemeinen Aufgaben ohne

Modellbildung, einschrittige Begründungen).

Anforderungsbereich II: „Reorganisationsleistungen“

Bearbeiten bekannter Sachverhalte, wobei ein Verknüpfen verschiedener Kenntnisse,

Fähigkeiten und Fertigkeiten erforderlich ist (z. B. Verknüpfen geübter Standardverfahren in

vertrauten Kontexten, Modellbildung in Rahmen geübter Aufgabenklassen)

Anforderungsbereich III: „Problemlösungen“

Gegenüber Anforderungsbereich II erhöhter Komplexitätsgrad, wenig vertrauter Kontext oder

höherer Allgemeinheitsgrad (z. B. mehrschrittige Argumentationen, Folgerungen, Interpreta-

tionen, Modellbildung in neuen Situationen)

Der Komplexitätsgrad der kognitiven Anforderungen steigt bei Aufgaben aus diesen drei

Anforderungsbereichen deutlich an.

Obwohl die Zuordnung von Aufgaben zu Anforderungsbereichen nicht immer eindeutig ist,

sind die Anforderungsbereiche für die Unterrichtspraxis wichtig und nützlich. Zum einen

liefert dieses Modell Anhaltspunkte zur Realisierung des Unterrichtsprinzips der

systematischen Steigerung von Anforderungen an die Schülerinnen und Schüler. Zum

anderen kann im Rahmen von Lernkontrollen der Entwicklungsstand allgemeiner und

inhaltsbezogener mathematischer Kompetenzen durch Einbeziehung von Aufgaben aus

allen drei Anforderungsbereichen differenzierter erfasst werden.


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3 Aufgabenbeispiele Die folgenden Aufgabenbeispiele werden unter drei Aspekten betrachtet:

a) nach inhaltsbezogenen Kompetenzen durch Ordnung nach Leitideen bzw.

Inhaltsbereichen (vgl. Abschnitt 2.2),

b) nach Anforderungsbereichen,

c) nach allgemeinen mathematische Kompetenzen.

Das Lösen von Aufgaben ist stets ein ganzheitlicher Prozess, bei dem immer mehrere

Leistungs- und Verhaltensdispositionen zum Einsatz kommen. Bei der Zuordnung von

allgemeinen mathematischen Kompetenzen (aus Abschnitt 2.1) werden nur diejenigen

explizit genannt, die beim Lösen der Aufgabe dominant bzw. deren Entwicklung durch die

Bearbeitung der Aufgabe besonders unterstützt wird.

3.1 Zahlen

Anforderungsbereich I

Rechne im Kopf.

a) 43

+ 21

c) 1,5 + 100

3

e) 4 : 0,2 g) 345 : 1 000

1.

b) 67

� 32

d) 0,5 � 43

f) 71 : 0 h) 3,8

21⋅

P 2 2. Gib alle Teiler der Zahl 42 an und unterstreiche die Teiler, die Primzahlen sind.

P 2 3. Gegeben ist die Zahl 120578. a) Verändere die Ziffernfolge in dieser Zahl so, dass eine durch fünf teilbare Zahl

entsteht. Gib eine solche Zahl an. b) Verändere die Ziffernfolge in dieser Zahl so, dass eine durch vier teilbare Zahl

entsteht. Gib eine solche Zahl an. c) Begründe, warum die Zahl 120578 nicht durch drei teilbar ist.

A 2

4. Beate will ihr Zimmer neu streichen. Zur Herstellung der Farbe mischt sie 5 Liter weiße, 2 Liter gelbe und 1 Liter grüne Farbe. Wie groß ist der Anteil der weißen Farbe an der Gesamtmenge? Kreuze an.

P 1

25

85

35

53


11

5. Peter wohnt in Quedlinburg. Bei einem Rundgang durch die Innenstadt findet er an Häusern folgende Inschriften zu deren Baujahren:

�ANNO MDCCLXXI�, �ANNO MDCXC� und �ANNO MDCCCXIV�.

Ermittle das Baujahr des ältesten dieser Häuser.

D 4

6. a) Ordne den Punkten A und B jeweils einen gemeinen Bruch und einen Dezimalbruch zu.

b) Untersuche folgende Aussagen. Entscheide und trage ein: wahr � w; falsch � f.

Zwischen A und C liegen genau zwei natürliche Zahlen.

Zwischen A und B liegen genau 10 gebrochene Zahlen.

Zwischen A und B liegen unendlich viele gebrochene Zahlen.

A 2 7. Was bedeutet der Abstand zweier benachbarter Skalenstriche? Welcher Wert wird

angezeigt?

D 3

Ein voller Tank fasst 40 Liter.

° C b) a)


12

8.

Lies ab! a)

b)

c)

D 3 9. Claudia meint:

42 ist die nächstgrößere Zahl nach

41 . Was meinst du dazu?

A 3 10. Bilde einen Überschlag. a) 5,11856,4 ⋅ d) 235,68 : 77

b) 24,02,89 ⋅

e) 3,7 : 103,7

c) 7,22309,0 ⋅ f) 0,45 : 0,12

P 2


13

11. Am 10.02.04 wurden die folgenden Angaben aus dem Internet entnommen.

Webadresse: www.stala.sachsen-anhalt.de/gk/index.html Sachsen-Anhalt

Fläche in ha am 31.12.2002 2 044 478 Bevölkerung am 30.06.2003 2 535 833 © Statistisches Landesamt Sachsen-Anhalt, Halle (Saale), 2003

a) Gib an, worum es in der Tabelle geht, wer die Zahlen veröffentlicht hat und zu welchem Zeitpunkt die Daten erhoben wurden.

b) Gib die Größe der Fläche Sachsen-Anhalts in Hektar und in Quadratkilometern an. c) Runde die Bevölkerungszahl von Sachsen-Anhalt auf Tausender, Zehntausender und

Hunderttausender.

P 1 12. Am 10.02.04 wurde die nachfolgende Tabelle aus dem Internet entnommen.

Webadresse: www.destatis.de/jahrbuch/jahrtab1.htm.

Fläche und Bevölkerung

Bevölkerung* Fläche insgesamt männlich weiblich

Einwohner je km2

Land

km2 1 000 Anzahl

Jahr/Monat/Stichtag 31.12.2002 Baden-Württemberg 35 751,64 10 661 5 230 5 431 298

Bayern 70 549,32 12 387 6 061 6 327 176

Berlin 891,75 3 392 1 651 1 741 3 804

Brandenburg 29 476,67 2 582 1 276 1 306 88

Bremen 404,28 662 320 342 1 638

Hamburg 755,26 1 729 839 890 2 289

Hessen 21 114,88 6 092 2 985 3 107 288

Mecklenburg-Vorpommern 23 173,46 1 745 864 881 75

Niedersachsen 47 617,97 7 980 3 907 4 074 168

Nordrhein-Westfalen 34 082,76 18 076 8 799 9 278 530

Rheinland-Pfalz 19 846,91 4 058 1 991 2 066 204

Saarland 2 568,53 1 065 517 548 415

Sachsen 18 413,29 4 349 2 112 2 237 236

Sachsen-Anhalt 20 444,72 2 549 1 242 1 307 125

Schleswig-Holstein 15 762,90 2 817 1 376 1 440 179

Thüringen 16 172,21 2 392 1 174 1 218 148

Deutschland 357 026,55 82 537 40 345 42 192 231

* Ergebnisse der Bevölkerungsfortschreibung Aktualisiert am 1. Oktober 2003

Beantworte mithilfe der Tabelle folgende Fragen.

a) Welches Bundesland hat die wenigsten, und welches die meisten Einwohner? b) Welches Bundesland hat die kleinste, und welches die größte Fläche? c) Welches Bundesland hat die kleinste, und welches die größte Bevölkerungsdichte? d) Welche Plätze nimmt das Land Sachsen-Anhalt unter allen Bundesländern bezüglich

Bevölkerung, Fläche und Bevölkerungsdichte ein? e) In welchem Bundesland lebt ein knappes Viertel der Gesamtbevölkerung Deutschlands?

P 1


14

Anforderungsbereich II 13. Vergleiche, ohne auszurechnen.

a) 53

· 76

und 32

· 76

b) 53

: 76

und 53

: 67

c) 53

· 76

und 53

: 67

A 2 14. Auf einer Straßenkarte, auf der ein Zentimeter in Wirklichkeit drei Kilometern

entspricht, wird die Entfernung zwischen zwei Orten mit etwa 10 cm gemessen. Gib an, wie groß die Entfernung x dieser zwei Orte voneinander in Wirklichkeit sein könnte. 10 km < x < 30 km 30 km < x < 45 km 50 km < x < 100 km 100 km < x < 300 km

P 3

15. Es werden alle sechsstelligen Zahlen betrachtet, die sich aus den Ziffern 0; 1, 2; 5, 7

und 8 bilden lassen, wobei jede Ziffer in jeder Zahl genau einmal vorkommt.

a) Gib daraus die Zahlen mit folgenden Eigenschaften an und begründe. (1) die kleinste und die größte Zahl (2) drei verschiedene durch fünf teilbare Zahlen (3) vier verschiedene durch vier teilbare Zahlen b) Untersuche, ob unter diesen sechsstelligen Zahlen durch drei teilbare Zahlen sind. c) Schreibe die ersten 12 Zahlen der Größe nach auf. Beginne mit der kleinsten.

P 1, P 2 A 2 Diese Aufgabe wird unter Punkt 4.1 kommentiert.

16. Gib unter Verwendung jeder der Ziffern 1, 0, 5, 8, 2 und 7 alle durch 5 teilbaren Zahlen

an, die zwischen 100 000 und 110 000 liegen.

P 2 A 2 17. Beate will ihr Zimmer neu streichen. Zur Herstellung der Farbe mischte sie 5 Liter

weiße, 2 Liter gelbe und 1 Liter grüne Farbe. Sie stellt nun fest, dass sie zwei Liter Farbe mehr braucht. Wie viel Liter weiße, gelbe und grüne Farbe muss sie für eine neue Zusammensetzung verwenden, um dieselbe Mischung zu erhalten?

P 1 18. In der Innenstadt von Quedlinburg stehen zwei Fachwerkhäuser, deren Alter sich um

75 Jahre unterscheidet. Am älteren Haus ist die Inschrift �ANNO MDII� zu lesen. Wann wurde das andere Haus erbaut? Schreibe das Baujahr in römischen Ziffern.

P 3 D 4


15

19. Ordne den Punkten A, B und C jeweils einen gemeinen Bruch und einen Dezimalbruch

zu.

D 3 20. Anne wird gefragt, wie alt ihre drei Brüder sind. Sie antwortet mit einem Rätsel:

�Zusammen sind meine drei Brüder 43 Jahre alt. Jens ist drei Jahre jünger als Ron und Tom ist wiederum zwei Jahre jünger als Jens.� Ermittle das Alter von Annes Brüdern. Wie alt ist Anne?

P 2 D 5 21.

Die notwendigen Zahlen zur Lösung dieser Aufgabe sind der Tabelle aus 3.1, Aufgabe 12 zu entnehmen.

Es sollen die Bevölkerungszahlen der Bundesländer in einem Streifendiagramm darge-stellt werden. a) Wie groß wäre die Streifenlänge jeweils für Sachsen, Sachsen-Anhalt, Bayern und

Berlin, wenn 1 Million Einwohner einer Streifenlänge von 0,5 cm entspräche? b) Veranschauliche den Anteil der weiblichen Bevölkerung an der Gesamtbe-

völkerung Deutschlands in einem Streifendiagramm und beschrifte es.

P 1 D 2 Diese Aufgabe ist unter Punkt 4.3 kommentiert.

22.

Die Klasse 6a besuchen mehr als 20, aber weniger als 32 Kinder. In der 1. Oktoberwoche war genau ein Drittel aller Schülerinnen und Schüler an Grippe erkrankt. In der 2. Woche war genau ein Sechstel aller Kinder krank.

a) Ermittle, wie viele Kinder zur Klasse 6a gehören könnten. b) Kreuze an, welcher der Sätze die Entwicklung des Krankenstandes in der

Klasse 6a richtig darstellt. In der 2. Woche hatte sich die Anzahl der Kranken in der Klasse verdoppelt.

In der 2. Woche hatte sich die Anzahl der Kranken in der Klasse halbiert.

In der 2. Woche hatte sich die Anzahl der Kranken in der Klasse verdreifacht.

P 1, P 2, P 3 Anforderungsbereich III 23. Für 1,50 � sollen Brötchen zu 0,15 �, 0,20 � und 0,30 � gekauft werden. Jede

Brötchensorte soll mindestens einmal vorkommen und es soll kein Geld übrig bleiben. Gib alle Möglichkeiten für den Einkauf an.

P 2 D 5 24. Verändere in der Zahl 105827 jeweils eine der Ziffern so, dass keine Ziffer doppelt vor-

kommt, aber eine durch 9 teilbare Zahl entsteht. Zeige, wie viele Möglichkeiten es für die Bildung dieser Zahlen gibt.

P 2 D 5


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25. Auf der Skala der Tankanzeige im Auto kann man den Inhalt des Tanks ablesen. Herr

Schmidt benötigt für eine 100 km lange Strecke ca. 8,5 l Kraftstoff. Ermittle, wie weit Herr Schmidt mit der angezeigten Tankfüllung noch fahren kann, wenn der Tank 56 Liter fasst.

P 1, P 2 D 5 26. Auf einem Campingplatz wird ein Federballturnier durchgeführt.

64 Personen haben sich dafür angemeldet. Es wird ausgelost, wer gegeneinander spielt. Wer verliert, muss ausscheiden, der andere Spieler kommt eine Runde weiter. a) Ermittle die Anzahl der Spiele für dieses Turnier. b) Es stehen 4 Spielplätze zur Verfügung. Ein Spiel dauert ungefähr 10 Minuten.

Dazwischen sind jeweils Pausen von 5 Minuten vorgesehen. Wie lange wird das Turnier ungefähr dauern?

c) Wie viel Zeit kann für das Turnier eingespart werden, wenn statt der 4 Spielplätze 8 Spielplätze genutzt werden?

P 1 D 5 27. Im Schulgarten sollen Kopfsalat und Kohlrabi gepflanzt werden. Frau Baum kauft die

Pflanzen ein, von jeder Sorte die gleiche Anzahl. Nun kann die Auspflanzung be-ginnen. Jedem Kind gibt sie zuerst 15 Kopfsalatpflanzen und behält dann noch 50 Stück übrig. Dann erhält jedes Kind noch 18 Kohlrabipflanzen. Frau Baum behält acht Kohlrabipflanzen übrig. a) Ermittle, wie viele Kopfsalat- und Kohlrabipflanzen Frau Baum eingekauft hat. b) Gib an, wie viel Schülerinnen und Schüler an den Pflanzarbeiten beteiligt waren.

P 2 D 5 28. Färbe den Anteil, den die Bundesländer Nordrhein-Westfalen, Sachsen-Anhalt und

Bremen an der Gesamtbevölkerung Deutschlands ungefähr haben, jeweils in den Quadraten ein. Die notwendigen Zahlen zur Lösung dieser Aufgabe sind der Tabelle aus 3.1, Aufgabe 12 zu entnehmen.

P 2 D 5

Bremen

Sachsen-Anhalt

Nordrhein-Westfalen


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3.2 Gleichungen und Ungleichungen Anforderungsbereich I 1. Welche Zahlen erfüllen die Gleichungen?

a) 118:b2 =⋅ b) m + 208 = 105

c) 43

� k = 41

P 2, P 3 2. Setze für die Variablen Zahlen ein, so dass wahre Aussagen entstehen!

a) 75 + a2 = 100; a = b) =⋅ y5,3 0; y = c) 0x0 =⋅ ; x = d) x : 1 = 16 x = D 4

3. Stelle alle natürlichen Zahlen, die die Ungleichungen erfüllen, am Zahlenstrahl dar.

a) 72y12 <⋅

b) 213x4 <+⋅

D 4 4. Überprüfe, ob die angegebene Zahl jeweils Lösung der Gleichung ist. Begründe.

a) 152a =+ ;

53a =

b) 180x1,8 =⋅ ; x = 0,10

P 3 D 4 5. Finde durch Probieren heraus, welche Zahl a die folgende Gleichung erfüllt.

24 + a = 2 a +12

P 2 D 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 6 8 0 1 2 3 7 9 4


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Anforderungsbereich II 6. Löse folgende Gleichungen.

a) 232

3x =− b) 0,1x0,025 =+

P 2, P 3

7. Untersuche, ob folgende Aussagen wahr sind. a) Es gibt ein Zahlenpaar (x; y), welches die folgende Gleichung erfüllt.

x+ y = x

b) Es gibt nur ein Zahlenpaar (x; y), welches die folgende Gleichung erfüllt.

x : y = 1

A 3 Diese Aufgabe ist unter Punkt 4.2 kommentiert.

8. Gib die gebrochenen Zahlen an,

die die folgenden Gleichungen

erfüllen.

a) 191x =⋅

b) 0)3z(z =−⋅

c) x2 + 0,5 = 0,75

P 3 9. Zeige, welche der folgenden Zahlen die Ungleichung 7x2 <⋅ erfüllt.

0; 27 ; 0,7; 4; 3,5

P 3 10. Bei einem Rechteck ist eine Seite 5 cm länger als die andere. Der Umfang des

Rechtecks beträgt 42 cm.

a) Ermittle die Länge und die Breite des Rechtecks. b) Weise nach, dass deine Ergebnisse richtig sind.

P 1, P 2, P 3 11. In einer Klasse lernen doppelt so viele Mädchen wie Jungen. Insgesamt sind es 27

Schülerinnen und Schüler. Ermittle wie viele Mädchen die Klasse besuchen.

P 1, P 2, P 3 Anforderungsbereich III 12. In einem gleichschenkligen Dreieck sei ein Basiswinkel doppelt so groß, wie der Winkel

an der Spitze. Zeige, dass bei den gegebenen Voraussetzungen der Winkel an der Spitze stets 36 ° beträgt.

P 1, P 2, P 3 D 5


19

13. Welche Zahl erfüllt die folgende Gleichung 33a + 34 = 7a + 99 ?

Stelle dar, wie du die Lösung gefunden hast. P1, P 2, P 3 D 5

14. Das Produkt zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen ist 240.

a) Beschreibe diesen Sachverhalt mithilfe einer Gleichung. b) Ermittle die beiden Zahlen und stelle den Lösungsweg dar.

P 2 D 5 Diese Aufgabe ist unter Punkt 4.1 kommentiert.

15. Untersuche, ob folgende Aussagen wahr sind. a) Es gibt ein Zahlenpaar (x; y), welches die folgende Gleichung erfüllt.

1yx =⋅

b) Es gibt genau ein Zahlenpaar (x; y), das die folgende Gleichung erfüllt. x � y = y � x

A 3

3.3 Zuordnungen Anforderungsbereich I 1. Untersuche, ob direkte Proportionalität vorliegt.

Anzahl Brötchen 1 2 5 10 12 Preis 0,35 � 0,70 � 1,75 � 3,50 � 4,20 �

Menge von Äpfeln 1 kg 3 kg 5 kg 7 kg 10 kg Preis 0,80 � 2,40 � 3,50 � 5,10 � 7,00 �

P 2 A 4 2.

Eine Pumpe fördert 200 l Wasser in 50 Sekunden. a) Wie viel Liter Wasser fördert sie in einer Minute? b) Wie lange braucht die Pumpe, um 700 l zu fördern?

P 3 3.

Zum Abpumpen von Regenwasser aus einer Baugrube wird eine Pumpe eingesetzt, die pro Stunde 10 m3 Wasser fördert. Wie viel Zeit wird benötigt, wenn noch eine zweite Pumpe mit derselben Leistung eingesetzt wird?

A die doppelte Zeit wie mit einer Pumpe, B die Hälfte der Zeit wie mit einer Pumpe, C die zehnfache Zeit wie mit einer Pumpe, D die gleiche Zeit wie mit einer Pumpe.

Gym P 3

a)

b)


20

4. Anna soll auf dem Wochenmarkt Brötchen verkaufen. Um möglichst schnell den

jeweiligen Verkaufspreis ermitteln zu können, erstellt sie sich Tabellen.

Kornbrötchen 1 2 3 4 5 6 7 Preis in � 0,20

Mohnbrötchen 1 2 3 4 5 6 7 Preis in � 0,60

Abendbrötchen 1 2 3 4 5 6 7 Preis in � 0,60

a) Ergänze in den Tabellen die fehlenden Preise. b) Wie viel hat ein Kunde zu zahlen, der fünf Kornbrötchen, ein Mohnbrötchen und drei

Abendbrötchen kauft?

c) Welche Punktmenge im Diagramm gehört zu den Kornbrötchen, welche zu den

Mohnbrötchen? Beschrifte. d) Ergänze im Diagramm die Punktmenge für die Abendbrötchen. e) Wie könnte ein Term zur Berechnung des Preises für x Kornbrötchen lauten?

Kreuze an.

x ⋅ 0,20 Euro x + 0,20 Euro x : 0,20 Euro

P 2

Anzahl der Brötchen 1 2 3 4 5 6 7 8

0,40

0,80

1,20

1,60

2,00

2,40

x x x

x x

x x

x

x

x x

x

x

x

Brötchenpreise Preis in �


21

Anforderungsbereich II 5. Untersuche, ob direkte Proportionalität vorliegt. a) In die Vase wird gleichmäßig Wasser

eingefüllt. b) Eine brennende Kerze wird beob-

achtet.

A 2 D 3 Diese Aufgabe ist unter Punkt 4.2 kommentiert.

6. Familie Winter mietet eine Ferienwohnung. Für die Benutzung des Telefons muss sie

eine einmalige Grundgebühr von 5 � und für jede Gesprächsminute 0,25 � zahlen.

Telefonrechnung: Winter, Wilfried

Datum Beginn des Gesprächs Dauer des Gesprächs Stunden: Minuten: Sekunden

27.07.03 19:42:46 00:20:00 28.07.03 17:33:40 00:30:00 29.07.03 17:20:40 00:08:00 30.07.03 18:13:25 00:12:00

Grundgebühr: 5,00 � a) Wie hoch ist die Telefonrechnung für Familie Winter? Kreuze an.

4,60 � 21,23 � 30,25 � 22,50 �

b) Ermittle, wie lange ein anderer Urlauber telefoniert hat, der eine Telefonrechnung von 28,75 � bezahlen muss.

c) Gib für Telefonrechnungen dieser Ferienwohnung eine allgemeine Berechnungs-vorschrift an.

d) Welche der grafischen Darstellungen entsprechen nicht dem Sachverhalt dieser Aufgabe? Begründe.

P 1 A 2

Zeit

Höh

e de

r Ker

ze

Zeit

Höh

e de

s W

asse

rsta

ndes

I II III

Gesprächsdauer

Tele

fonk

oste

n

Gesprächsdauer Gesprächsdauer

Tele

fonk

oste

n

Tele

fonk

oste

n


22

7.

Führe einen Preisvergleich durch. Welche Sorte ist das günstigste Angebot?

Apfelsaft

Sorte A 1 l Flasche 0,62 � Sorte B

43

l Flasche 0,54 �

Sorte C 1

21 l Flasche

0,91 �

Sorte D 0,5 l Tüte 0,35 �

P 2 8.

Herr Friedrich und Frau Lutz tanken an verschiedenen Tankstellen. Er zahlt 25 � für 23 Liter Benzin, sie 34 � für 33 Liter Benzin. a) Stelle jeweils die Zuordnung �Tankmenge → Preis� in einem gemeinsamen

Koordinatensystem dar. b) Welche Informationen kannst du aus der grafischen Darstellung entnehmen?

D 2, D 3 Diese Aufgabe ist unter Punkt 4.3 kommentiert.

9. Zum Abpumpen von 25 m3 Regenwasser aus einer Baugrube wird eine Pumpe

eingesetzt, die pro Stunde 10 m³ Wasser fördert. Wie viel Zeit wird benötigt, wenn eine zweite Pumpe mit der derselben Leistung eingesetzt wird?

Gym P 1, P 2 Anforderungsbereich III 10. An einem Wandertag will eine Schulklasse ins Freibad gehen. Es gelten folgende

Eintrittspreise: Einzelkarte: 75 Cent Fünferkarte: 3 Euro Zehnerkarte: 5 Euro. Berechne die günstigsten Eintrittspreise für 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 20 Personen. Ermittle den günstigsten Eintrittspreis für deine Klasse.

P1, P 2, P 3


23

11. Zu einer Zuordnung gehört das geordnete Paar P (2; 4).

a) Ergänze die folgenden geordneten Paare so, dass sie gemeinsam mit dem gegebenen Paar zu einer direkt proportionalen Zuordnung gehören.

A (19; … ), B (0,07; ... ) , C ( ... ; 41 )

b) Gib zu P drei weitere Paare so an, dass sie gemeinsam zu einer indirekt proportionalen Zuordnung gehören.

c) Beschreibe für a) und b) jeweils einen Sachverhalt und gib für deren grafische Darstellung die Bezeichnungen der Achsen an.

Sachverhalt Bezeichnung der

waagerechten Achse Bezeichnung der senkrechten Achse

a)

b)

Gym P 1

12. Die nachfolgenden Nährwertinformationen (Eiweiß, Kohlenhydrate, Fette)

stammen von einer Müslipackung und einer Milchtüte.

a) Gib annähernd die Nährwertinformation für eine Mischung aus 50 g Müsli und 125 ml Milch an.

b) Der tägliche Energiebedarf einer zwölfjährigen Schülerin liegt bei etwa 10 000 kJ.

Ermittle, welchen Anteil ihres täglichen Energiebedarfs die Schülerin mit dieser Mischung (50 g Müsli und 125 ml Milch) bereits beim Frühstück gedeckt hat.

Ǿ Nährwertangaben je 100 g Müsli:

100 ml Milch enthalten durchschnittlich:

Brennwert 267 kJ (64kcal) Brennwert 1348 kJ 319kcal Eiweiß 3,3 g Eiweiß 10,9 g Kohlenhydrate 4,8 g

Fett 3,5 g Kohlenhydrate 49,3 g davon Zucker 5,1 g Calcium 120 mg (15% RDA*)

Fett 6,9 g davon ges. Fettsäuren 1,2 g *RDA = der empfohlenen Tagesdosis

Ballaststoffe 16,2 g davon Oligofruktose 4,8 g davon Inulin 1,3 g Natrium 0,03 g

P 1, P 2, P 3


24

3.4 Messen Anforderungsbereich I

Nenne jeweils eine Einheit, mit der man den Inhalt nachstehender Flächen angeben könnte.

1.

a) DIN A4-Blatt b) Fußballfeld

c) Briefmarke d) Land Sachsen-Anhalt

A 4

Gib jeweils einen Schätzwert für das Volumen der Gegenstände an. 2. a) Streichholzschachtel b) Bleistift

c) Fußball d) dein Klassenraum

A 4

3. Ergänze die Tabelle und erkläre.

Sachverhalt Vorsilbe der Einheit

Einheit Umrechnung

eine Masse von 15dt Tonne 15dt = Kilo 49 kg = eine Strecke von 600 km milli 350 mg = centi = 0,050 m eine Fläche von 12 ha Ar milli Liter

A 1 4. Zeichne folgende Wasserstände in die Messbecher ein.

a) 400 ml b) 43

l c) 83

l d) 1 Liter

D 2

ml

1000

750

500

250

ml

1000

750

500

250

ml

1000

750

500

250

ml

1000

750

500

250


25

5. Ergänze jeweils zu einer Skala und trage die nachfolgenden Messwerte ein.

a) Temperaturen beim Erhitzen von Wasser (0 °C bis 100 °C):

12 °C; 25 °C; 34 °C; 45 °C und 81 °C.

b) Geschwindigkeiten eines PKW (0 km/h bis 130 km/h):

50 km/h; 60 km/h; 75 km/h; 100 km/h; 130 km/h und 115 km/h.

c) Masse von Backzutaten (0 kg bis 1 kg):

400 g; 250 g; 125 g; 60 g und 0,8 kg

D 2 6.

a) Bezeichne alle Innenwinkel im Viereck mit griechischen Buchstaben. b) Miss alle Innenwinkel und gib deren

Größe an. c) Gib jeweils die Winkelart an.

D 3 7.

Ermittle den Flächeninhalt der Figuren. (Der Flächeninhalt eines "Kästchens" betrage 1cm2 )

P 2

A

D C

B

A1 = A2 = A3 =

A1

A2

A3


26

Von den vier Kisten ist die erste bis zum Rand mit Sand gefüllt. Kann man den Sand in jede der anderen Kisten vollständig umfüllen? Begründe. (1 Raumeinheit betrage 1 dm3)

8.

Kiste 2

Kiste 3

Kiste 4

A 4 D 1, D 5 Diese Aufgabe wird unter Punkt 4.2 kommentiert.

9. Gegeben ist das Dreieck ABC.

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks. AB = 9,0 cm BC = 10,0 cm AC = 8,5 cm CP = hc = 8,0 cm

P 2

Berechne die fehlenden Größen des Rechtecks EFGH.

10.

Aufgabe

Größe

a)

b) Seitenlänge e 24 cm 7 m Seitenlänge f 5 cm Flächeninhalt A 49 m2 Umfang u

P 2

11. Eine quaderförmige Kiste ist 2 m lang, 50 cm breit und 1 m hoch. Berechne, wie viel Kubikmeter Sand in die Kiste passen.

A 4

A B

C

P ⋅

E

G

F e

f

H

Kiste 1


27

12. a) Gib zwei verschiedene Möglichkeiten an, die Figur in Rechtecke zu zerlegen. b) Berechne den Flächeninhalt der Figur. Entnimm die Maße der Zeichnung.

P 2 13. Zeichne in das nebenstehende Raster ein Rechteck, welches den gleichen

Flächeninhalt wie die linke Figur besitzt.

P 3 A 4 Anforderungsbereich II

Das Bild des Bootes wurde aus einem Dreieck und einem Trapez zusammengesetzt.

14.

a) Kreuze die wahren Aussagen an und begründe.

Will man die Größe der sieben Winkel ermitteln, braucht man nur vier messen.

α 2 und δ ergeben zusammen 90°.

α 1 und β 1 ergeben zusammen 180°.

β 2 und γ2 ergeben zusammen 180°. b) Miss alle Winkel und gib jeweils die Winkelart an.

A 4

α1

γ1

α2 β2

γ2 δ

β1


28

15.

Gegeben sind die Figuren I bis IV. a) Gib von diesen Figuren diejenigen

an, die Flächen sind. b) Ermittle annähernd den Flächen-

inhalt der Figuren, die Flächen darstellen.

Der Flächeninhalt eines Kästchens betrage 1 cm2.

A 4 16. Vergleiche die Rauminhalte der Körper. Ordne, indem du mit dem Körper mit dem

kleinsten Rauminhalt beginnst. (Eine Raumeinheit betrage1cm3). Begründe. A B C

A 4 17. Gegeben sind Dreiecke ABC mit üblicher Bezeichnung.

a) Berechne den Umfang des Dreiecks ABC, wenn gilt: a = 5,7 mm, c = 10,3 mm, α = β .

b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wenn gilt: a = 0,7 km, ha = 34 m.

c) Die Grundseite b eines Dreiecks ABC ist doppelt so lang wie die Höhe hb . Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks für b = 9 cm.

P 2 D 5

I

III

II

IV


18. Die Vierecke ABCD und EFGH sind durch ihre Koordinaten gegeben.

(1) A (0; 3), B (1; 0,5), C (5; 3 ), D (1; 5,5) (2) E (5; 0,5), F (9; 0,5), G (7; 2,5), H (11; 2,5)

a) Zeichne diese Vierecke in ein Koordinatensystem.

(Eine Einheit betrage 1 cm). b) Berechne jeweils den Flächeninhalt und den Umfang dieser Vierecke.

P 1, P 2 D 2 19. Ermittle jeweils den Umfang und den Flächeninhalt der Figuren.

Entnimm die Maße der Abbildung. a) b)

P 2 20. Gegeben sind Quader mit den Kantenlängen a, b und c. Vervollständige die Tabelle.

Länge a Breite b Höhe c Volumen V Oberflächeninhalt Ao a) 1,5 m 20,0 m 3,0 m b) 5 cm 5 cm 125 cm3

P 2

Ein quaderförmiges Schwimmbecken ist 12,5 m breit, 25 m lang und 2,20 m tief. Es soll vollständig mit Fliesen ausgelegt werden. Der Fliesenleger fordert seine vier Lehrlinge auf, den Inhalt der zu fliesenden Fläche zu bestimmen. Die Lehrlinge legen ihm dafür Lösungsvorschläge vor. Beurteile diese Vorschläge. Vorschlag des 1. Lehrlings:

Vorschlag des 4. Lehrlings

Vorschlag des 2. Lehrlings:

21.

25 m 12,5 m

12,5 m12,5 m 2,2 m

A = 75 m ⋅ 2,2 m + 12,5 m ⋅ 25 m

Skizze: 25 m

29

Vorschlag des 3. Lehrlings:

A 4 D 4 Diese Aufgabe ist unter Punkt 4.2 kommentiert.

25 m

A = 2 ⋅ (12,5 m ⋅ 2,2 m + 25 m ⋅ 2,2 m + 12,5 m ⋅ 25 m)


30

Anforderungsbereich III 22. Welcher der angegebenen Schätzwerte entspricht am ehesten dem Rauminhalt der

dargestellten Körper? Begründe. Eine Raumeinheit betrage1 cm3. a) b) 10 cm3 20 cm3 16 cm3 30 cm3 30 cm3 45 cm3 40 cm3 80 cm3

D 1, D 5 23. Familie Siebert will ein Haus bauen. Für das Grundstück will sie maximal

35.000 Euro ausgeben. Berechne, für welches Grundstück das Geld reicht. a) b)

D 5

24. Untersuche, ob folgende Aussage wahr ist: �Rechtecke mit gleichen Flächeninhalten haben stets auch gleiche Umfänge.�

A 3

Preis pro Quadratmeter: 78,00 �

Preis pro Quadratmeter: 50,00 �

25 m

15 m

A1

40 m

18m20

m

A2


31

E

25. Gegeben sind folgende Figuren.

a) Zeige, dass die drei Figuren gleiche Umfänge besitzen. b) Gib eine weitere Figur mit gleichem Umfang an.

P 3 A 2 26. Der abgebildete Quader soll durch

ebene Schnitte so zerlegt werden, dass sein Volumen halbiert wird. a) Zeichne mindestens drei solcher

Schnitte in die Abbildung ein und bezeichne neu entstandene Punkte.

b) Gib von jedem neu

entstandenen Körper ein Paar zueinander paralleler Flächen an. (Schreibe z. B.: Rechteck ABCD ll Rechteck �)

D 1, D 5 27. Philipps Eltern bauen ein quaderförmiges Schwimmbecken. Die Baugrube ist 11 m

lang, 6 m breit und 1,50 m tief. Der Aushub besteht aus Muttererde und Kies. Die 16 m3 Muttererde können im Garten verteilt werden. Der Kies soll mit einem 6 m3 fassenden LKW abgefahren werden.

Ermittle, wie oft der LKW fahren muss.

P 1 28. Eine Transportkiste ist 0,80 m lang,

0,55 m breit und 65 cm hoch. Sie soll durch Stahlblechbänder verschlossen werden (siehe Abbildung).

Wie viel Meter Stahlblechband sind mindestens dafür bereitzustellen?

P 2

A B

C

G

F

D

H


32

3.5 Raum und Form Anforderungsbereich I 1. Bestimme die Größe von α und γ . Begründe.

a) b)

A 4

2. a) Spiegele die Figur an der Geraden s. b) Zeichne alle Symmetrieachsen in die

entstandene Gesamtfigur ein.

P 2

3. Trage die Punkte A (1; 4) und B (4; 7) in ein Koordinatensystem ein.

a) Ergänze einen Punkt C so, dass die Punkte A, B und C ein stumpfwinkliges Dreieck bilden. Zeichne dieses Dreieck und gib die Koordinaten von C an.

b) Ergänze einen Punkt D so, dass die Punkte A, B und D ein spitzwinklig-

gleichschenkliges Dreieck bilden. Zeichne dieses Dreieck und gib die Koordinaten von D an.

P 1 D 3

g

h

g h 43°

105°

γ

α

135°

α


33

4.

Konstruiere nach folgender Vorschrift. - Zeichne eine Strecke AB - Zeichne um A und B Kreisbögen (mit gleichem Radius), die sich scheiden - Bezeichne die entstandenen Schnittpunkte mit S1 und S2 - Zeichne durch S1 und S2 eine Gerade

Welche Gerade hast du konstruiert?

A 1 5. a) Zeichne in das Dreieck BCA die Mittelsenkrechten mc und mb ein.

b) Zeichne in das Dreieck DFE die Höhe he und hf ein.

P 2 6. Vom Dreieck ABC sind gegeben:

c = 4,5 cm, β = 110°, a = 5,5 cm Gib den Kongruenzsatz an, durch welchen das Dreieck ABC eindeutig vorgegeben ist.

A 1 7. Ergänze für die Dreiecke ABC die nachfolgende Tabelle.

Innenwinkel

der Dreiecke ABC Dreiecksart

längste Seite des Dreiecks

α β γ nach Seiten nach Winkeln 54° 78° 30° 105° 60° 60°

P 2 A 1 8. Vom Rechteck KLMN sind gegeben:

KL = k = 5,2 cm LM = l = 3,5 cm. Konstruiere das Rechteck KLMN und gib die Länge der Diagonalen dieses Rechtecks an.

P 2


34

9. Die Strecke KM kann im Gelände nicht

direkt gemessen werden. Ermittle KM durch eine maßstäbliche Konstruktion.

50°

40 m

32 m

K L

M

P 2 10. Die Vierecke ABCD und EFGH sind durch ihre Koordinaten gegeben.

(1) A (2; 4); B (3; 0); C (3; 8); D (2; 7) (2) E (4; 1); F (8; 1); G (10; 2); H (6; 2)

a) Zeichne diese Vierecke in ein Koordinatensystem. b) Gib jeweils die Vierecksart an.

A 1 11. Ermittle die Länge der Höhe ha des

Parallelogramms ABCD, indem du das Parallelogramm konstruierst.

AB = a = 5,0 cm, BC = b = 4,0 cm, α = 60°

P 2 12. Die Abbildungen zeigen das Schrägbild und das Netz eines Quaders.

a) Kennzeichne gegenüberliegende Flächen des Quaders im Netz gleichfarbig. b) Gib die Formeln zur Berechnung der Inhalte der einzelnen Flächen an.

A5

A1 A2 A3 A4

A6

A1 = A4 = A2 = ba ⋅ A5 = A3 = A6 =

D 1, D 4 13. Von einem Quader, dessen Höhe 5 cm

beträgt, ist vom Schrägbild bereits die Grundfläche gezeichnet. Zeichne das Schrägbild zu Ende.

D 1

a b

c

A B

C D


35

Anforderungsbereich II 14. Die Geraden g und h sind zueinander parallel.

a) Ermittle die Größe der Winkel .und βα

b) Ermittle die Größe der Winkel .und, γβα

P 2 15. Vervollständige die Sätze zu folgender Abbildung.

Der Punkt D ist nicht Spiegelbild des Punktes C an der Geraden s, denn ... Der Punkt F ist nicht durch eine Spiegelung des Punktes E an der Geraden s entstanden, denn ... Das Dreieck JKL ist nicht durch eine Spiegelung des Dreiecks GHI an der Geraden s entstanden, denn ... Die Strecke HI ist Spiegelbild der Strecke KL an der Geraden s, denn ...

A 2

S

H I

xx

x

x

C D

E

F

G

J

K L

g

h

30° α

130°

β h

g

125°

55°

55°

α

γ

β


36

16. a) Spiegele die 3 Dreiecke jeweils so, dass eine achsen- symmetrische Figur entsteht.

b) Zeichne alle

Symmetrieachsen in das entstandene Bild ein.

P 1, P 2 17. Konstruiere ein Rechteck ABCD nur mithilfe von Zirkel und Lineal. P 2

18. Halbiere alle Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks durch Konstruktion.

P 2

19. Begründe, dass im Dreieck UVW die Strecke WU , eine Höhe des Dreiecks ist.

A 2

20.

Prüfe, ob die Dreiecke ABC und DEF zueinander kongruent sind. Begründe.

A 2


37

21. Von einem Dreieck ABC sind jeweils zwei Stücke gegeben.

(1) a = 4,7 cm; b = 3,5 cm (2) b = 5,2 cm; γ = 40° a) Gib jeweils ein weiteres Stück so an, dass das Dreieck eindeutig konstruierbar

ist. b) Welche Sätze liegen deiner Entscheidung zu Grunde?

A 4 22. Die Giebelseite der Finnhütte hat die

Form eines gleichschenkligen Dreiecks (s. Abb.). Sie ist 8 m breit, die Dachflächen bilden jeweils einen Neigungswinkel von 44° zur Bodenplatte. Der untere Raum ist 2,75 m hoch. Ermittle durch eine Konstruktion die maximale Höhe des oberen Raumes.

P 1, P 2 23. Von einem Viereck ABCD sind gegeben:

a = 2,5cm, b = 3cm, d = 5cm; b II d; β = 90°

a) Konstruiere das Viereck ABCD. b) Gib die Vierecksart an.

A 1 24. Entscheide, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe.

a) Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat, so ist es stets ein Quadrat. b) Jedes Rechteck ist gleichzeitig auch ein Parallelogramm. c) Wenn ein Viereck eine Symmetrieachse hat, so ist es ein gleichschenkliges

Trapez.

A 3, A 4 25. Gib an, welche der Abbildungen keine Quadernetze darstellen. Begründe.

a) b) c) d)

A 4 D 1

44° 44° 2,75

m

8 m


38

26. Der Querschnitt von Wasserkanälen hat oft die Form eines gleichschenkligen Trapezes.

Von einem Kanal ist bekannt: Breite der Kanalsohle: 3,2 m, Kanaltiefe: 2,2 m, Böschungswinkel: 28°

Konstruiere diesen Kanalquerschnitt im Maßstab 1:100. Ermittle die Kanalbreite.

1 Kanalbreite 2 Kanalsohle 3 Böschungslänge 4 Kanaltiefe 5 Böschungswinkel

P 1, P 2 Diese Aufgabe wird unter Punkt 4.1 kommentiert.

27.

Ein See kann im Gelände nicht direkt vermessen werden. Ermittle die Länge des Sees (DC); fertige dafür eine maßstäbliche Zeichnung an.

P 1, P 2 Anforderungsbereich III 28.

Die Geraden g und h sind parallel zueinander. Ermittle die Größen der Winkel βα und .

P 2 A 2, A 4

g

h

3 α α

β

1

2

3 45

A B

C D

140

m

180

m

220 m

94° 130°


39

29.

Thomas baut einen Drachen nach folgender Skizze.

Wie groß müsste ein Papierbogen mindestens sein, damit dieser Drachen damit bespannt werden kann.

P 1, P 2

30. Das Dreieck ABC wird jeweils an einer

seiner Seiten gespiegelt. Es entstehen neue Figuren, die sich aus dem Originaldreieck und dem Bilddreieck zusammensetzen. Untersuche, welche der neuen Figuren den größten Flächeninhalt, welche der neuen Figuren den größten Umfang besitzt.

P 1 A 2 Diese Aufgabe wird unter Punkt 4.2 kommentiert.

31. Wo müsste beim Geländelauf das Ziel auf

dem Weg w markiert werden, wenn Anton von A und Bianca von B aus startet und beide die gleiche Strecke zurücklegen sollen? Ermittle den Punkt für das Ziel durch eine Konstruktion.

P 1, P 2 Diese Aufgabe wird unter Punkt 4.1 kommentiert.

32. In einem Dreieck beträgt die Größe eines Innenwinkels 30°, die Größe eines

Außenwinkels 105°. Welche Dreiecksart liegt vor? Begründe.

A 2 33. Für das Aufstellen von Leitern wird der Sicherheitshinweis gegeben, dass der

Anstellwinkel α nicht größer als 70° sein darf. Es werden Leitern mit 5 m, 7 m und 8,5 m Länge angeboten. Ermittle mithilfe einer Zeichnung, in welcher Höhe die Leitern (bei Einhaltung des Sicherheitshinweises) maximal an der Wand anliegen.

P 1, P 2 34. Zeige durch Konstruktion, dass mit den

gegebenen Stücken verschiedene (nicht kongruente) Vierecke ABCD entstehen können.

AB = a = 6,3 cm, BC = b = 2,6 cm,

CD = c = 4,8 cm, AC = e = 6,2 cm,

α = 62°

P 2 D 5

x

x

B

w

A


40

3.6 Stochastik Anforderungsbereich I 1. Die Tabelle zeigt eine Strichliste zu den Geburtstagen der Schülerinnen und Schüler

der Klasse 6a. a) Gib den Monat an, in dem die meisten Kinder Geburtstag haben. b) Wie viele Kinder der Klasse haben im 1. Halbjahr Geburtstag? c) Bestimme den Bruchteil der Klasse, der im 2. Halbjahr Geburtstag hat. JAN FEB MÄR APR MAI JUN JUL AUG SEP OKT NOV DEZ

IIII I III IIII I II III II IIII III

D 3 2. Im Mathematikunterricht wurde folgendes Säulendiagramm zu den Körpergrößen

aller Schüler und Schülerinnen der Klasse erarbeitet. Alle Messwerte wurden auf volle Zentimeter gerundet. a) Gib an, wie viele Jungen und Mädchen gemessen wurden. b) Kannst du aus dem folgenden Diagramm ablesen, wie viele Kinder 1,47 m groß

sind? c) Was kannst du noch aus dem Diagramm ablesen?

Körpergrößen der Schüler der Klasse 6c

D 3 Diese Aufgabe ist unter Punkt 4.3 kommentiert.


41

3. Die Zusammensetzung zweier Klassen ist in Diagrammen dargestellt.

a) Gib die Klasse an, in der der Anteil der Mädchen größer ist, als der der Jungen. b) Welche Klasse hat insgesamt mehr Schülerinnen und Schüler? c) Gib an, wie viele Mädchen bzw. Jungen laut Diagramm ungefähr in der

Klasse 6a lernen, wenn die Gesamtschülerzahl 30 beträgt. Klasse 6a Klasse 6b

D 3 4. Für die Bücherei ist eine Büchersendung angekommen. Sie enthält 24 Bücher in

deutscher, 18 in englischer, 12 in französischer und 9 in spanischer Sprache. Zeichne zu diesen Angaben ein Säulendiagramm.

D 2 5. Sabine ist beim Sportfest 2,75 m; 3,05 m und 3,35 m weit gesprungen. Wie groß war

Sabines durchschnittliche Sprungweite an diesem Tag? Runde sinnvoll.

P 2 6. Fünf Personen wiegen sich:

Ulrich: 50,5 kg Sabine: 48,5 kg Konny: 50,0 kg Rosi: 54,0 kg Kurt: 49,0 kg

Kreuze an, welcher der angegebenen Werte das Durchschnittsgewicht der Personen sein könnte und begründe. 50,4 kg 49,3 kg 53,0 kg 46,0 kg

P 2


42

7. Ordne den folgenden Diagrammen die richtige Überschrift zu.

A: Monatliche Durchschnittstemperaturen auf dem Fichtelberg (1213 m über NN) B: Temperaturen in Magdeburg C: Verlauf der Körpertemperatur von Alexander a) _____________________________________________

b) _____________________________________________

c) _____________________________________________

P 3 D 3


43

Anforderungsbereich II 8. Gib unter Einbeziehung des Diagramms mindestens drei Schlussfolgerungen für dein

tägliches Lernen an.

D 3, D 5

9. An einem Sommertag wurden mehrmals am selben Ort die Außentemperaturen

gemessen. Uhrzeit 6 Uhr 9 Uhr 12 Uhr 15 Uhr 18 Uhr 21 Uhr Temperatur 14° C 20° C 25° C 26° C 25° C 18° C

a) Zeichne mit den Zeit- und Temperaturangaben ein geeignetes Diagramm. b) Berechne die Durchschnittstemperatur für diesen Tag. Runde sinnvoll. c) Gib an, wann die Temperatur im Verlauf des Tages am niedrigsten bzw. am

höchsten gewesen sein könnte. d) Stell dir vor, du arbeitest in einer Wetterstation. Beschreibe rückschauend den

Wetterverlauf dieses Sommertages.

P 2 D 2, D 3, D 5


44

10. Das Statistische Landesamt veröffentlicht im Internet wichtige Zahlen, die sich auf

unser Bundesland beziehen. Die nachfolgende Tabelle zeigt Zahlen zu den Schulen Sachsen-Anhalts. Allgemein bildende Schulen in Sachsen-Anhalt (Auszug)

1995/96

1996/97 1998/99

2000/01 2002/03

Schulen insgesamt

1 559 1 544 1 476

1 347 1 294

Klassen insgesamt

18 678 18 426 17 387

15 105 12 961

Schüler insgesamt

390 210 386 369 353 912

307 616 270 229

Einschulungen

34 417 32 944 18 432

15 527 15 109

Quelle: Statistisches Landesamt Sachsen-Anhalt, 07.05.2003 a) Stelle die Anzahl der neu eingeschulten Kinder in Sachsen-Anhalt vom Schuljahr

1995/96 bis 2002/03 in einem Säulendiagramm dar.

Tipp: Runde die Schülerzahlen auf volle Tausender und wähle für 4 000 Kinder eine Einheit von 1 cm.

b) Berechne, wie viele Schülerinnen und Schüler im Jahr 2002/03 weniger als im Jahr 1995/96 eingeschult wurden.

c) Berechne wie viele Kinder ungefähr im Schuljahr 1995/96 und im Schuljahr 2003/03 durchschnittlich in einer Klasse lernten. Werte dein Ergebnis.

d) Ergänze die Tabelle unter Nutzung der angegebenen Symbole.

Symbol:

für 200 Schulen Symbol:

für 30 000 Schüler

Allgemeinbildende Schulen in Sachsen-Anhalt

1995/96 2002/03

Anzahl der Schulen

Anzahl der Schüler insgesamt

P 1, P 2 D 2, D 3


45

Anforderungsbereich III 11. Das Landesamt für Umweltschutz hat folgende Daten zu den größten Talsperren von

Sachsen-Anhalt veröffentlicht. (http://164.133.154.247/Internet/Home/Daten_und_Fakten/0/04/042/04216/Groesste_Talsperren_des_Landes.html)

Talsperre Kreis Stauraum1 Wasser- fläche2

max. Stauhöhe

gestauter Fluss

Mill. m3 ha m

Muldestausee (M)

Bitterfeld Mulde 118,0 605 6,4

Rappbodetalsperre (R)

Wernigerode Rappbode (Bode)

109,1 395 86,5

Talsperre Kelbra (K)

Sangerhausen Helme 35,6 1 430 6,9

a) Veranschauliche die Daten zu den Talsperren in der nachfolgenden Tabelle und

nutze dafür die angegebenen Symbole und das vorbereitete Diagramm. Stauraum: entspricht 10 Millionen m³ Wasserfläche entspricht 100 ha Stauhöhe: 1 cm entspricht 10 m

Talsperre Stauraum Wasserfläche maximale Stauhöhe

Muldestausee (M)

Rappbode- Talsperre (R)

Talsperre Kelbra (K)

b) Vergleiche die Talsperren miteinander. Formuliere mindestens drei Aussagen. 1einschließlich Totraum 2Vollstau

D 2, D 3, D 5

max

imal

e S

tauh

öhe

in m

10

R K M


46

12. Eine Münze wird nacheinander dreimal geworfen und das Ergebnis notiert. Eines der

möglichen Ergebnisse ist z. B. Zahl-Wappen-Wappen (Z; W; W). a) Gib alle möglichen Ergebnisse für den Fall an, dass eine Münze dreimal

nacheinander geworfen wird. b) Gib alle möglichen Ergebnisse für den Fall an, dass eine Münze viermal

nacheinander geworfen wird.

P 2 13. a) Gib alle Paare natürlicher Zahlen an, deren arithmetisches Mittel 8,5 ist.

b) Gib 3 Paare gebrochener Zahlen an, deren arithmetisches Mittel ebenfalls 8,5 ist. c) Begründe, dass es unendlich viele Paare gebrochener Zahlen gibt, deren

arithmetisches Mittel 8,5 ist.

P 2 A 4 14. Gib zu 4,8 und 5,3 eine dritte Zahl so an, dass das arithmetische Mittel der drei

Zahlen 5,7 ist.

P 2 15. In den Klassen 6/1 und 6/2 wurden die Körpermaße der Schülerinnen und Schüler

ermittelt. Für die Klasse 6/1 ergab sich 51,5 kg, für die Klasse 6/2 49,8 kg als Durchschnitt. Peter mit 50,8 kg und Susanne mit 48,3 kg wechseln in die Klasse des anderen. Kann es sein, dass beide Durchschnitte geringer werden?

P 1 A 4 16. Unter www.wetter.com wurde das folgende Diagramm für Magdeburg entnommen.

a) Bestimme den Tag, an welchem der Temperaturunterschied im Verlaufe des

Tages am größten (am geringsten) war. b) Untersuche, wie die Mittelwertkurve entstanden sein könnte.

A 4 D 3


47

4 Zu ausgewählten Aufgaben unter dem Aspekt der Entwicklung allgemeiner mathematischer Kompetenzen

Die Kommentare zu ausgewählten Aufgabenbeispielen geben Anregungen für einen

Unterricht, der den Erwerb allgemeiner mathematischer Kompetenzen (siehe 2.1) in den

Blick nimmt. Die Aufgaben berücksichtigen, dass Schülerinnen und Schülern kontinuierlich

selbstständiges Arbeiten im Unterricht abgefordert bzw. ermöglicht wird. Ein solcher

Unterricht kann durch folgende Phasen gekennzeichnet sein:

• Stellen einer Aufgabe und Sichern des Verstehens der Fragestellung,

• Selbstständiges Bearbeiten und eigenständiges Lösen der Aufgabe,

• Sammeln der verschiedenen Lösungen und Austausch darüber,

• Reflektieren über das, was mathematisch getan wurde.

Dabei sollten die Schülerinnen und Schüler lernen, auch direkt miteinander zu

kommunizieren. Ihre unterschiedlichen Lösungswege werden nicht nur akzeptiert, sondern

bewusst reflektiert. Fehler sollten zum Anlass genommen werden, über Gründe für diese

nachzudenken.

4.1 Zur Kompetenz „Probleme mathematisch lösen“ Im Mathematikunterricht geht es nicht nur um das Lösen von Standardaufgaben, sondern

auch um das Lösen von Problemaufgaben.

Unter einem �Problem� oder einer �Problemaufgabe� wird im Folgenden eine Aufgabe

verstanden, für die die Schülerin oder der Schüler keinen Lösungsweg kennt; das heißt, es

muss erst ein Lösungsweg entwickelt werden. Durch diese Begriffsfestlegung wird deutlich:

Eine Aufgabe kann für einen bestimmten Schüler ein sehr schwieriges, ja unlösbares

Problem sein, während sie für einen anderen Schüler ein lösbares oder eventuell gar kein

Problem ist.

Im Kapitel Aufgabenbeispiele der vorliegenden �Niveaubestimmenden Aufgaben �� gehört

ein nicht geringer Anteil an Aufgaben zur Kategorie Problemaufgaben, da das Hauptziel des

Mathematikunterrichts darin besteht, dass die Schülerinnen und Schüler lernen, ihr mathe-

matisches Wissen und Können in neuen Situationen anzuwenden. Anders gesagt: Es muss

die allgemeine mathematische Kompetenz �Probleme mathematisch lösen� entwickelt

werden.

Dies kann nur dadurch geschehen, dass Schülerinnen und Schüler Problemaufgaben

unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades zu lösen versuchen und diese Lösungsversuche

gründlich mit ihnen vor allem hinsichtlich der Methodenkompetenz ausgewertet werden.

Beim mathematischen Lösen von Problemen sollen die Schülerinnen und Schüler


48

insbesondere zeigen, dass sie Kenntnisse über heuristische Hilfsmittel und Strategien

besitzen und diese bewusst bei der Bearbeitung von Aufgaben anwenden. Dabei müssen

natürlich Aufgaben mit unterschiedlichem Anforderungsniveau - didaktisch und methodisch

gut auf die Lerngruppe abgestimmt � eingesetzt werden.

Im Folgenden werden einige Problemaufgaben unter dem Aspekt Entwicklung der Kompe-

tenz „Probleme mathematisch lösen� kommentiert.

Beispiel 1: Aufgabe 15 aus Abschnitt 3.1 Zahlen, AFB II Aufgabe: Es werden alle sechsstelligen Zahlen betrachtet, die sich aus den Ziffern 0; 1, 2; 5, 7 und 8

bilden lassen, wobei jede Ziffer in jeder Zahl genau einmal vorkommt.

a) Gib daraus die Zahlen mit folgenden Eigenschaften an und begründe.

(1) die kleinste und die größte Zahl

(2) drei verschiedene durch fünf teilbare Zahlen

(3) vier verschiedene durch vier teilbare Zahlen

b) Untersuche, ob unter diesen sechsstelligen Zahlen durch drei teilbare Zahlen sind.

c) Schreibe die ersten 12 Zahlen der Größe nach auf. Beginne mit der kleinsten.

Zielstellung in Hinblick auf allgemeine mathematische Kompetenzen: Alle Teilaufgaben erfordern ein gründliches inhaltliches Erschließen des Aufgabentextes

und ein Zurückführen auf bekannte Aufgabentypen.

In Teilaufgabe c) wird ein systematisches Variieren der letzten Ziffern verlangt.

! P 1, P 2

Hinweise zur Lösung:

a) Kleinste Zahl: 102578

Der höchste Stellenwert (Hunderttausend) muss mit der kleinsten Ziffer �besetzt� werden.

Damit eine sechsstellige Zahl entsteht, kommt dafür nicht die 0, sondern die 1 in Frage.

Der nächstkleinere Stellenwert (Zehntausend) muss dann mit der verbleibenden

kleinsten Ziffer, also 0, besetzt werden, usw.

Größte Zahl: 875210

Der höchste Stellenwert (Hunderttausend) muss mit der größten Ziffer �besetzt� werden,

also 8. Der nächstkleinere Stellenwert (Zehntausend) muss dann mit der verbleibenden

größten Ziffer, also 7, besetzt werden, usw.


49

Drei verschiedene durch fünf teilbare Zahlen: z. B. 875210, 872105, 875120

Damit eine Zahl durch fünf teilbar ist, muss die letzte Ziffer eine 0 oder 5 sein.

Vier verschiedene durch vier teilbare Zahlen: z. B. 875012, 785012, 127508, 175820

Eine Zahl ist nur dann durch vier teilbar, wenn deren letzte beide Ziffern eine durch vier

teilbare Zahl bilden.

b) Eine Zahl ist nur dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch drei teilbar ist.

Die Quersumme jeder dieser sechsstelligen Zahlen ist 23, d. h. sie ist nicht durch drei

teilbar. Folglich ist keine der sechsstelligen Zahlen durch drei teilbar.

c) 102578 102587 102758 102785 102857 102875

105278 105287 105728 105782 105827 105872

Kommentar: Im Sinne der Befähigung zum Problemlösen ist es, wenn die Schülerinnen und Schüler

genügend Gelegenheit haben, diese Zahlen z. B. durch Probieren zu finden.

Insbesondere müssen sie zunächst klare Vorstellungen gewinnen, wie die Menge der

betrachteten sechsstelligen Zahlen aussieht. Es geht also primär um das Aufgaben-

verständnis, das durch gründliches Analysieren des Aufgabetextes (sechsstellig � Ziffern

� genau einmal �) und durch das Aufschreiben von Beispielen und Gegenbeispielen

erreicht werden kann. Es sollten ggf. lediglich Denkimpulse gegeben werden, so dass die

Schüler möglichst selbst zu diesen richtigen �Zahlvorstellungen� kommen, die in den

Teilaufgaben Ausgangspunkt für die eigentliche Aufgabe sind.

Mehr noch als das Finden der Zahlen ist für die Entwicklung von Problemlösefähigkeiten

wichtig, wie die Schüler vorgegangen sind. Diese Beschreibungen können dann zu den

Begründungen führen.

Die Aufgabe kann vielfältig erweitert und variiert werden.

Im Interesse der Verinnerlichung von Methodenwissen ist es, wenn inhaltlich wie strukturell

ähnliche Aufgaben in gewissen Abständen immer wieder bearbeitet werden.

Als �Fortsetzungsaufgabe� eignet sich z. B.:

Es werden alle fünfstelligen Zahlen betrachtet, die sich aus den Ziffern 0; 2, 3; 6 und 7

bilden lassen, wobei jede Ziffer in jeder Zahl genau einmal vorkommt.


50

a) Gib daraus die Zahlen mit folgenden Eigenschaften an und begründe.

(1) die kleinste und die größte Zahl

(2) drei verschiedene durch fünf teilbare Zahlen

(3) vier verschiedene durch vier teilbare Zahlen

(4) eine weder durch zwei noch durch drei teilbare Zahl.

b) Untersuche, ob unter diesen fünfstelligen Zahlen durch sechs teilbare Zahlen sind.

c) Schreibe die letzten 12 Zahlen der Größe nach auf. Beginne mit der größten.

Beispiel 2: Aufgabe 26 aus Abschnitt 3.5 Raum und Form, AFB II

Aufgabe:

Der Querschnitt von Wasserkanälen hat oft die Form eines gleichschenkligen Trapezes.

Von einem Kanal ist bekannt: Breite der Kanalsohle: 3,2 m, Kanaltiefe: 2,2 m, Böschungswinkel: 28°

Konstruiere diesen Kanalquerschnitt im Maßstab 1:100. Ermittle die Kanalbreite.

1 Kanalbreite 2 Kanalsohle 3 Böschungslänge 4 Kanaltiefe 5 Böschungswinkel

Zielstellung in Hinblick auf allgemeine mathematische Kompetenzen: Vom anwendungsbezogenen Hintergrund ausgehend müssen die Schülerinnen und Schüler

den geometrischen Sachverhalt erkennen und in einer informativen Figur (�Planfigur�)

darstellen und die sachbezogene Aufgabe auf Bekanntes zurückführen.

! P 1, P 2

Hinweise zur Lösung: Anfertigen einer Planfigur

� drei unabhängige Stücke sind explizit gegeben;

� durch die Eigenschaft �gleichschenkliges Trapez� sind implizit zwei weitere Stücke

bekannt (Parallelität der Grundseiten; gleich lange Schenkel bzw. Achsensymmetrie)

! also insgesamt fünf Stücke

Maßstab 1 : 100, d. h. die Längenangaben für die Konstruktion sind: 3,2 cm; 2,2 cm.

1

2

3 4 5


51

Konstruktion, z. B.: (1) Strecke AB mit der Länge von 3,2 cm zeichnen (≙ Länge der Kanalsohle)

(2) Zeichnen einer Parallelen zur Strecke AB im Abstand von 2,2 cm (≙ Kanaltiefe) (3) Böschungswinkel α ist Nebenwinkel der Innenwinkel an der kürzeren Grundseite des

Trapezes ! 180° � 28° = 152°

Antragen dieses Innenwinkels in den Punkten A und B der Strecke AB

Die Schenkel dieser Winkel schneiden die Parallele in den Punkten C und D

Das Viereck ABCD ist das gesuchte gleichschenklige Trapez.

Messen der Länge der Strecke CD : 11,4 cm ! Die Kanalbreite beträgt 11,4 m. Kommentar: Das heuristische Hilfsmittel �Veranschaulichen in einer Planfigur� ist hier zwingend geboten.

Wenn entsprechende Problemlösefähigkeiten noch nicht so entwickelt sind bzw. das

Konstruieren von Trapezen wenig geübt ist, ist es ganz normal, dass Schülerinnen und

Schüler zunächst keine Lösungsidee haben.

Für die Entwicklung von Problemlösefähigkeiten ist in solchen Situationen entscheidend,

dass zunächst relativ allgemeine Denkimpulse gegeben werden, z. B.:

- Worin besteht hier die Schwierigkeit, um das Trapez konstruieren zu können?

- Was ist von der gesuchten Figur bekannt?

Dazu sollten sich möglichst viele Schüler äußern!

Das Verbalisieren ist beim Problemlösen nachgewiesenermaßen eine Methode, die einen

höheren Grad geistiger Durchdringung von Problemsituationen fördert. Durch die

Gesprächsführung sollte die Lehrkraft unbedingt verhindern, dass leistungsstarke

Schüler(innen) ggf. das Finden der Lösungsidee für die große Mehrheit der Schüler

abkürzen.

In diesem Zusammenhang können dann ggf. speziellere inhaltsbezogene Denkimpulse

gegeben werden, z. B.:

- Welche Eigenschaften hat ein (gleichschenkliges) Trapez?

- Kann man evtl. eine Hilfsfigur nutzen?

Aus diesem Unterrichtsgespräch sollten je nach Art der angesprochenen Schwierigkeiten

die Schüler ermutigt werden, Konstruktionsmöglichkeiten zu suchen, z. B.:

- Versuche mit einer Skizze die Konstruktion anzudeuten. Beginne mit einem

gegebenen Stück oder einer Eigenschaft.

In Vorbereitung der Auswertungs- und Reflektionsphase sollten einzelne Schüler(innen)

ihren Lösungsweg auf Folie darstellen. Dabei sollten auch unvollständige oder falsche

Lösungswege einbezogen werden. In der Auswertungs- und Reflektionsphase sollten

verschiedene Wege diskutiert werden; Vollständigkeit ist aber weder möglich noch nötig.


52

Beispiel 3: Aufgabe 14 aus Abschnitt 3.2 Gleichungen und Ungleichungen, AFB III Aufgabe: Das Produkt zweier aufeinander folgender Zahlen ist 240.

a) Stelle zu diesem Sachverhalt eine Gleichung auf.

b) Ermittle die beiden Zahlen und stelle den Lösungsweg dar.

Zielstellung in Hinblick auf allgemeine mathematische Kompetenzen: Die Aufgabe erfordert Strategien wie das (systematische) Probieren sowie Fähigkeiten,

Lösungsideen und -wege verständlich mündlich und schriftlich darzustellen.

! P 2, D 5

Hinweise zur Lösung: a) (1) x ⋅ y = 240 mit y = x + 1 oder y = x � 1

(2) x ⋅ (x + 1) = 240, bzw. x ⋅ (x � 1) = 240

b) (1) Finden der Zahlen durch Probieren:

Zahl Nachfolger der Zahl Produkt Wertung 0 1 0 viel zu klein 5 6 30 viel zu klein 10 11 110 zu klein 20 21 420 zu groß 15 16 240 genau richtig!

Die gesuchten Zahlen sind 15 und 16. Weitere Lösungen gibt es nicht. (2) Effektiveres Probieren durch inhaltliche Überlegungen: (I) Welche Produkte gleicher Zahlen (Quadratzahlen) liegen in der Nähe von 240?

225 = 15 ⋅ 15 < 240, 256 = 16 ⋅ 16 > 240. Probe: 15 ⋅ 16 = 240. Die gesuchten Zahlen sind 15 und 16.

(II) Welche Zahlen kommen als Faktoren infrage, wenn das Produkt der beiden

Zahlen die Endziffer Null hat?

Zahlen mit der Endziffer Null (10, 20, ...) und deren Vorgänger oder Nachfolger. Probieren: 10 ⋅ 9 = 90, 10 ⋅ 11= 110,

20 ⋅ 19 = 380, 20 ⋅ 21 = 410. Dieser Fall scheidet aus.

Zahlen mit der Endziffer 5 (5, 15, 25, ...) und deren Vorgänger oder Nachfolger. Probieren: 5 ⋅ 4 = 20, 5 ⋅ 6 = 30, 15 ⋅ 14 = 210, 15 ⋅ 16 = 240, 25 ⋅ 24 = 600, 25 ⋅ 26 = 650.

Die gesuchten Zahlen sind 15 und 16.


53

Kommentar: Da das Suchfeld der Aufgabe überschaubar ist, sollten die Schülerinnen und Schüler in

selbstständiger Arbeit zur Lösung finden und ihre Überlegungen übersichtlich darstellen. Die

schriftliche Darstellung des Lösungsweges sollte vor allem belegen, welche Zahlen

probeweise verwendet wurden. Eine tabellarische Darstellung kann dabei die Modellierung

des Sachverhaltes recht gut unterstützen.

Anhand ähnlicher Aufgaben kann die Strategie des Probierens trainiert und als wichtiges

Mittel des Problemlösens verinnerlicht werden.

Ähnliche Aufgaben:

Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen lautet 255. Ermittle die Zahlen.

Das Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen lautet 1 716. Ermittle die Zahlen.

Aus den niveaubestimmenden Aufgaben:

Aus 3.1 Zahlen, Nr. 11und 12, Nr. 20, 22, 23.

Beispiel 4: Aufgabe Nr. 31 aus Abschnitt 3.5 Raum und Form, AFB III Aufgabe: Wo müsste beim Geländelauf das Ziel

auf dem Weg w markiert werden, wenn

Anton von A und Bianca von B aus

starten und beide eine gleich lange

Strecke zurücklegen sollen?

Ermittle den Punkt für das Ziel durch eine

Konstruktion.

Zielstellung in Hinblick auf allgemeine mathematische Kompetenzen:

Ausgehend von einer gründlichen Analyse der Aufgabenstellung und des Sachverhaltes

müssen die Schülerinnen und Schüler die gegebene Figur eventuell ergänzen und mithilfe

von Sätzen und Eigenschaften von bekannter Figuren das Problem zu lösen.

! P 1, P 2 Hinweise zur Lösung: Finden des Zieles durch Probieren, Erzeugen von informativen Figuren: (1) z. B.: Festlegen eines beliebigen Punktes C auf der Geraden w; diesen Punkt so lange

auf w �verschieben�, bis gilt: AC = BC (durch Messen prüfen).

(2) z. B.: Das Finden der Lage des Zieles durch Probieren gestaltet sich effektiver, wenn die

Schüler erkennen, dass sich beide Kinder aufeinander zu und gleichzeitig zu w hin

bewegen müssen. Durch Zeichnen von Kreisbögen (mit gleichem Radius) um A und B,

die sich schneiden, entsteht eine Schar von Punkten, die sich w nähert. Der Punkt, der

x

x

B

w

A


54

auf w zu liegen kommt, ist das gesuchte Ziel. Konstruktion:

- Kreisbögen um A und B zeichnen, die sich schneiden

- Gerade durch die entstandenen Punkte zeichnen

- Schnittpunkt dieser Geraden mit w ist das gesuchte Ziel C.

Begründung

Alle Punkte, die auf der Mittelsenkrechten von AB liegen sind gleich weit von A und B

entfernt, deshalb ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von AB mit w der gesuchte

Punkt.

Kommentar: Schülerinnen und Schüler, die keinen Zugang zur Aufgabe finden, sollten zum Probieren

und Skizzieren angeregt werden, denn das Probieren (hier Skizzieren, Zeichnen, Messen)

bzw. das Erarbeiten einer Näherungslösung hilft häufig, Lösungsideen zu finden. So können

die Figuren, die beim Probieren entstanden sind (gleichschenklige Dreiecke), auf ihre

Eigenschaften untersucht werden und ihre Nützlichkeit für die Lösung des Problems

hinterfragt werden. Dabei können dann ggf. Impulse gegeben werden, wie:

- Welche bekannten Figuren treten auf?

- Welche Eigenschaften besitzen diese Figuren?

- Welche Eigenschaften davon sind für die Lösung des Problems relevant?

Ähnliche Aufgaben: Aus Abschnitt 3.5 Raum und Form, Nr. 19 und Nr. 35.

4.2 Zur Kompetenz „Mathematisch argumentieren“ Beim mathematischen Argumentieren verankern Schülerinnen und Schüler ihr

mathematisches Wissen sicherer. Sie lernen dabei Gedankengänge und Darstellungsweisen

kennen, die auch eine besondere Relevanz für das Argumentieren im Alltag besitzen. Auf

fachspezifische Weise sollten sie sensibilisiert werden, gedankliche Klarheit als Wert zu

empfinden und zu pflegen.

Bei der Befähigung zum Argumentieren kommt es darauf an, dass die Schülerinnen und

Schüler genügend Gelegenheit haben, Gedankengänge mündlich oder schriftlich

darzustellen. Schrittweise sind sie an die Verwendung der Fachsprache unter Verwendung

von mathematischer Symbolik heranzuführen. Von großer Bedeutung ist es,

Argumentationen zu beurteilen, in ihnen Lücken oder Fehler zu entdecken und zu beheben.


55

Beispiel 5: Aufgabe 7 aus Abschnitt 3.2 Gleichungen und Ungleichungen; AFB II Aufgabe:

Untersuche, ob folgende Aussagen wahr sind.

a) Es gibt ein Zahlenpaar (x; y), welches die folgende Gleichung erfüllt. x + y = x

b) Es gibt nur ein Zahlenpaar (x; y), welches die folgende Gleichung erfüllt. x : y = 1

Zielstellung in Hinblick auf allgemein mathematische Kompetenzen: Beide Aufgaben erfordern beispielgebundenes Argumentieren beim Untersuchen von

Existenzaussagen.

! A 3

Hinweise zur Lösung: a) (1) Argumentation auf konkreter Ebene unter Nutzung von Beispielen

Die Aussage ist wahr, denn (mindestens) ein Zahlenpaar erfüllt diese Gleichung.

Zum Beispiel das Paar: (2; 0).

Probe: 2 + 0 = 2.

(2) Argumentation auf allgemeiner Ebene unter stärkerer Nutzung der Symbolsprache

Die Aussage ist wahr, denn es gibt unendlich viele Paare, die diese Gleichung

erfüllen. Nämlich alle Zahlenpaare (x; 0), denn es gilt stets: x + 0 = 0.

b) (1) Argumentation auf konkreter Ebene unter Nutzung von Beispielen

Diese Aussage ist falsch, denn es gibt mehr als ein Zahlenpaar, welches die

Gleichung erfüllt.

Zum Beispiel die Paare: (2; 2), (4,8; 4,8).

Proben: 2 : 2 = 1, 4,8 : 4,8 = 1.

(2) Argumentation auf allgemeiner Ebene unter stärkerer Nutzung der Symbolsprache

Die Aussage ist falsch, denn es gibt unendlich viele Paare, die diese Gleichung

erfüllen. Nämlich alle Zahlenpaare, für die x = y, (x, y ≠ 0) gilt. Denn x : x = 1.

Kommentar: Im Sinne der Befähigung zum Argumentieren ist es, wenn die Schülerinnen und Schüler

Gelegenheit erhalten, ihr Wissen beim Untersuchen von Aussagen zu nutzen.


56

Zunächst ist der Aufgabentext gründlich zu analysieren und zu verstehen.

- es gibt ein ... → es ist ein zutreffendes Beispiel zu finden

- es gibt nur ein ... → es darf nur ein zutreffendes Beispiel existieren, ansonsten ist die

Aussage falsch.

Verstehen der Aussagen der Gleichungen:

- x + y = x, z. B. → zu einer Zahl wird eine 2. Zahl addiert, die Summe ist gleich der

ersten Zahl.

- x : y = 1, z. B. → der Quotient zweier Zahlen ist 1.

Die Ergebnisse der Untersuchung der Aussagen sollten die Schülerinnen und Schüler

schriftlich darstellen, damit alle Formulierungsversuche unternehmen. Argumentationsketten

unterschiedlicher Qualität können dann in der Auswertungsphase auf Vollständigkeit und

sprachliche Klarheit untersucht und ggf. verbessert werden. Auch Erfahrungen aus

Alltagsargumentationen sollten in diesem Zusammenhang im Unterricht beleuchtet werden.

Zum Beispiel ungerechtfertigte Verallgemeinerungen: �Alle Pflanzen sind erfroren, nur vier

haben den Frost überstanden.� Logische Fehler können an solchen Aussagen anschaulich

diskutiert werden.

Inhaltlich und strukturell ähnliche Aufgaben: Aus Abschnitt 3.2 Gleichungen und

Ungleichungen, Nr.8 und Abschnitt 3.5 Raum und Form, Nr. 25.

Beispiel 6: Aufgabe 8 aus Abschnitt 3.4 Messen, AFB I Aufgabe: Von den vier Kisten ist die erste bis zum Rand mit Sand gefüllt.

Kann man den Sand in jede der anderen Kisten vollständig umfüllen? Begründe.

(1 Raumeinheit entspricht 1 dm3)

Kiste 2

Kiste 3

Kiste 4

Zielstellung in Hinblick auf allgemeine mathematische Kompetenzen: Die Lösung der Aufgabe erfordert Klarheit zum Begriff Rauminhalt von Quadern und

Fähigkeiten, die Größe der Rauminhalte aus den Darstellungen zu ermitteln und

miteinander zu vergleichen. Des Weiteren sind Begründungen zu verbalisieren.

! A 4, D 1, D 5

Kiste 1


57

Hinweise zur Lösung: Der Sand kann in jede der Kisten umgefüllt werden, da alle Kisten das gleiche Volumen wie

Kiste 1 besitzen. Das Volumen beträgt jeweils 12 dm3.

(1) Erfassen der Kantenlängen der Kisten in einer Tabelle, Schließen auf das Volumen

Kiste1 Kiste2 Kiste3 Kiste4 Länge 3 dm 4 dm 2 dm 4 dm Breite 2 dm 3 dm 2 dm 1 dm Höhe 2 dm 1 dm 3 dm 3 dm Volumen 12 dm3 12 dm3 12 dm3 12 dm3

(2) Ermitteln des Volumens der Kisten durch Auszählen der Einheitswürfel (3) Prüfen, ob sich die Kisten 2 - 4 durch gedankliches Zerlegen und Zusammenfügen in die Form und Größe der Kiste 1 bringen lassen

Kiste 2 kann über die vordere Seitenfläche �halbiert� werden, beide �Teilkisten�

übereinander gesetzt, ergeben eine Kiste mit der gleichen Form und Größe wie Kiste 1.

Drehung der Kiste nach links → gleiche Lage wie Kiste 1.

Kiste 3 hat die gleiche Form und Größe wie Kiste 1, Kippung nach rechts → gleiche Lage

wie Kiste 1.

Kiste 4 kann über die größte Seitenfläche halbiert werden, beide �Teilkisten�

hintereinander gesetzt haben die gleiche Form und Größe wie Kiste 1, Kippung nach

rechts → gleiche Lage wie Kiste 1. Alle Kisten haben die gleiche Größe.

Der Sand lässt sich somit in alle Kisten umfüllen.

Kommentar: Das Erfassen der Kantenlängen der Kisten in einer Tabelle eignet sich gut, den

Mathematisierungsprozess zu unterstützen und die Aufgabensituation geeignet zu

strukturieren. Schülerinnen und Schülern, die keinen Zugang zur Aufgabe finden, kann dies

ein helfender Impuls sein. Die meisten Schüler der 5. und 6. Klasse besitzen noch starke

Vorstellungskraft und können zum Teil an vorgestellten Figuren geometrische

Untersuchungen durchführen. So sollte auch c) als wertvoller Lösungsweg eingeordnet

werden. Weisen doch Schülerinnen und Schüler hier nach, dass sie die Körper nicht nur vor

ihrem geistigen Auge vorstellen, sondern diese auch in der Vorstellung zerlegen und

zusammensetzen können. Die sprachliche Darstellung zu (3) erfordert ein hohes Maß an

Ausdrucksfähigkeit.

Weiterführende Aufgaben: Beschreibung weiterer Kisten, die das gleiche, das halbe, das doppelte Fassungsvermögen

wie Kiste 1 haben. Begründung.


58

Beispiel 7: Aufgabe 5 aus Abschnitt 3.3 Zuordnungen, AFB II Aufgabe : Untersuche, ob direkte Proportionalität zweier Größen vorliegt.

a) In die Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt

b) Eine brennende Kerze wird beobachtet.

Zielstellung in Hinblick auf allgemeine mathematische Kompetenzen: Das Lösen der Aufgabe erfordert das �Lesen� und Verstehen der gegebenen grafischen

Darstellungen zu den praktischen Sachverhalten. Beim Untersuchen sind die Eigenschaften

der direkten Proportionalität anzuwenden.

! A 2, D 3 Hinweise zur Lösung: (1) Argumentation auf anschaulicher Ebene unter Nutzung der gegebenen grafischen

Darstellung

a) Es liegt direkte Proportionalität vor, denn der Graph beginnt im Koordinatenursprung

und alle Punkte liegen auf einer Geraden.

b) Es liegt keine Proportionalität vor, es liegen zwar alle Punkte auf einer Geraden,

aber die Gerade verläuft nicht durch den Koordinatenursprung.

(2) Argumentation unter Nutzung von Alltagserfahrungen

a) Es liegt direkte Proportionalität vor, denn je länger das Wasser in die Vase einläuft,

umso höher ist dort der Wasserstand. In gleichen Zeitabständen ändert sich die

Höhe des Wasserstandes um den gleichen Wert.

b) Es liegt keine Proportionalität vor, denn je länger die Kerze brennt, umso kürzer wird

sie.

Kommentar Um das Potenzial der Aufgabe auszuschöpfen, sollten die beiden Sachverhalte unter

veränderten Bedingungen betrachtet werden, z. B.:

- Wasserfluss wird gestoppt,

- Form der Vase wird verändert,

- Kerze wird zu einem bestimmten Zeitpunkt ausgeblasen.

Zeit

Höh

e de

s W

asse

rsta

ndes

Höh

e de

r Ker

ze


59

Diese veränderten Bedingungen können durchaus auch von Schülerinnen und Schülern

benannt werden.

Bei der Deutung unterschiedlicher grafischer Darstellungen können die Schülerinnen und

Schüler die Eigenschaften der direkten Proportionalität flexibel anwenden.

Ähnliche Aufgaben:

Aus Abschnitt 3.3 Zuordnungen, Nr. 6d und 11

sowie Zuordnung von Graphen zu weiteren Sachverhalten und umgekehrt; Durchführen von

kleinen Experimenten zu ähnlichen Sachverhalten und deren Auswertung.

Beispiel 8: Aufgabe 21 aus Abschnitt 3.4 Messen, AFB II Aufgabe: Ein quaderförmiges Schwimmbecken ist 12,5 m breit, 25 m lang und 2,20 m tief. Es soll

vollständig mit Fliesen ausgelegt werden. Der Fliesenleger fordert seine vier Lehrlinge auf,

den Inhalt der zu fliesenden Fläche zu bestimmen. Die Lehrlinge legen ihm dafür

Lösungsvorschläge vor. Beurteile diese Vorschläge.

Zielstellung in Hinblick auf allgemeine mathematische Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler müssen zur Lösung dieser Aufgabe begründend

argumentieren und über die Richtigkeit des jeweiligen Vorschlags entscheiden.

! A 4, D 4

Hinweise zur Lösung: (Mögliche Begründungen)

Der Lösungsvorschlag des ersten Lehrlings ist richtig, denn das erste Produkt gibt den

Inhalt aller zu fliesenden Seitenflächen an, das zweite den der Bodenfläche.

Der Vorschlag des zweiten Lehrlings führt zur richtigen Lösung. Aus der Skizze ist zu

entnehmen, dass er die Inhalte der Seitenflächen und der Bodenfläche des

Schwimmbeckens mit den richtigen Maßen berechnen will.

Lösungsvorschlag Nr. 3 ist falsch. Der Inhalt der Bodenfläche ist einmal zu viel in der

Formel enthalten (evtl. formale Anwendung der Oberflächeninhaltsformel für einen Quader).

Der vierten Lehrling kann auch zum richtigen Ergebnis kommen, da er alle zu fliesenden

Flächen rechnerisch erfasst hat.

Kommentar: Zunächst müssen die Schülerinnen und Schüler den Sachverhalt erfassen und die

symbolisch bzw. bildlich dargestellten Vorschläge verstehen. Dabei kann das Anfertigen

einer eigenen Skizze hilfreich sein. So können dann ggf. eigene Lösungsansätze mit den

vorgegebenen verglichen sowie Beurteilungen vorgenommen werden.


60

Beispiel 9: Aufgabe 30, AFB III aus Abschnitt 3.5 Raum und Form Aufgabe: Das Dreieck ABC wird jeweils an einer

seiner Seiten gespiegelt. Es entstehen

neue Figuren, die sich aus dem

Originaldreieck und dem Bilddreieck

zusammensetzen.

Untersuche,

- welche der neuen Figuren den größten

Flächeninhalt,

- welche der neuen Figuren den größten

Umfang besitzt.

Zielstellung in Hinblick auf allgemeine mathematische Kompetenzen: Die Aufgabe erfordert von den Schülerinnen und Schüler gründliches Lesen und

Vorstellungsvermögen bzgl. der Bewegung (Spiegelung) von Figuren. Sie sollen möglichst

über inhaltliche Überlegungen und unter Zuhilfenahme bekannter Sätze argumentieren.

! P 1, A 2

Hinweise zur Lösung: Zum Flächeninhalt:

Durch die Spiegelung des Dreiecks ABC an seinen Seiten entstehen Bilddreiecke.

Der Flächeninhalt jeder neu entstandenen Figur ist die Summe aus den Inhalten der Fläche

des Originaldreiecks und des Inhalts der Fläche des Bilddreiecks. Original- und Bildfigur

sind jeweils zueinander kongruent. Der Flächeninhalt der neuen Figuren ist somit immer

A = 2 ⋅ ADreieck ABC .

Alle drei Figuren haben also den gleichen Flächeninhalt. Somit gibt es keine Figur mit einem

größten Flächeninhalt.

Zum Umfang

Der Umfang einer Figur berechnet sich aus der Summe aller Seitenlängen dieser Figur.

Für die Originalfigur gilt: a < c < b.


61

Fallunterscheidung

Spiegelung des Dreiecks an seiner

längsten Seite:

u = 2a + 2c

Spiegelung des Dreiecks an Seite c:

u = 2a + 2b

Spiegelung des Dreiecks an seiner kürzesten Seite:

u = 2b + 2c

Die Figur, die durch Spiegelung des Dreiecks an seiner kürzesten Seite entsteht, hat den

größten Umfang, da zur Ermittlung des Umfangs der neuen Figur die Längen der beiden

längsten Seiten des Ausgangsdreiecks in die Berechnung des Umfangs eingehen.

Kommentar: Für die Lösung der Aufgabe ist es sicher günstig, wenn die Schülerinnen und Schüler die

Aufgabe strukturieren und ihre Vorstellungen bzgl. der Spiegelung mithilfe von Skizzen

konkretisieren. Beim Vorstellen ihrer Lösungen kommt es darauf an, dass die Schüler

Fehler und Lücken in den Argumentationsketten möglichst selbst finden. Auch hier kann

eine ausreichende Anschauung hilfreich sein. Schülerlösungen, die auf dem Rechnen mit

konkreten Seitenlängen basieren, sollten als beispielgebundene Argumentationen

angenommen werden.

Die Aufgabe wird wesentlich anspruchsvoller, wenn kein konkretes Dreieck vorgegeben ist.

Dann muss auch bezüglich der Dreiecksart eine Fallunterscheidung durchgeführt werden.

Hier helfen Darstellungen (zum Beispiel in Tabellen) die Übersicht zu wahren.

Ähnliche Aufgaben:

Aus Abschnitt 3.2 Gleichungen und Ungleichungen, Nr. 13; aus 3.5 Raum und Form,

Nr. 34.


62

4.3 Zur Kompetenz „Mathematische Darstellungen nutzen“ Mathematisches Darstellen steht in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Argumentieren,

so ermöglichen und vereinfachen symbolsprachliche, grafische bzw. geometrische

Darstellungen die mathematische Kommunikation. Sie unterstützen mathematisches Denken

und haben gleichzeitig Bedeutung für die Entwicklung von Fähigkeiten im mathematischen

Modellieren bzw. im räumlichen Wahrnehmen und Vorstellen.

Der Umgang mit geometrischen Darstellungen hat für die Entwicklung des

Vorstellungsvermögens eine besondere Bedeutung. Mündliche und schriftliche

verbalsprachliche Erläuterungen, Beschreibungen oder Argumentationen zu Begriffen,

Verfahren o. Ä. sollten daher im Unterricht kontinuierlich abgefordert werden.

Beispiel 10: Aufgabe 21 aus Abschnitt 3.1 Zahlen, AFB II Aufgabe:

Die Bevölkerungszahlen der Bundesländer (siehe Tabelle Abschnitt 3.1) sollen in einem

Streifendiagramm dargestellt werden.

a) Wie groß wäre die Streifenlänge jeweils für Sachsen, Sachsen-Anhalt, Bayern und

Berlin, wenn 1 Million Einwohner einer Streifenlänge von 0,5 cm entspräche?

b) Veranschauliche den Anteil der weiblichen Bevölkerung an der Gesamtbevölkerung

Deutschlands in einem Streifendiagramm und beschrifte es.

Zielstellung in Hinblick auf allgemeine mathematische Kompetenzen: Die Aufgabe fordert das gezielte Suchen von Informationen aus der umfangreichen Tabelle.

Dazu müssen die Schülerinnen und Schüler die Zeilen und Spalten systematisch erkunden.

Sie weisen bei der Bearbeitung der Aufgabe nach, inwieweit sie die allgemeine

mathematische Kompetenz �Daten in Diagrammen darstellen� erworben haben.

! P 1, D 2

Hinweise zur Lösung: a) Bei der Entnahme der Informationen aus der sehr umfangreichen gegebenen Tabelle ist

insbesondere auf die �Einheit 1 000� zu achten.

Bezogen auf die Aufgabenstellung (1 Million entspricht 0,5 cm Streifenlänge) ist ein

Runden der Bevölkerungszahl sinnvoll, z. B. x, y Millionen).

Die berechneten Streifenlängen könnten auch noch auf Zehntel gerundet werden, wobei

dann auch das vorherige Runden beachtet werden sollte (sinnvolle Genauigkeit).


63

Es bietet sich eine Tabelle zur übersichtlichen Darstellung der Lösung an.

Bundesland Bevölkerungszahl

(gegeben)

Bevölkerungszahl

(gerundet)

Streifenlänge im Diagramm

Sachsen-Anhalt 2 549 000 rund 2,5 Mill. 2,5 ⋅ 0,5 cm = 1,25 cm

Sachsen 4 349 000 rund 4,3 Mill. 4,3 ⋅ 0,5 cm = 2,15 cm

Bayern 12 387 000 rund 12,4 Mill. 12,4 ⋅ 0,5 cm = 6,2 cm

Berlin 3 392 000 rund 3,4 Mill. 3,4 ⋅ 0,5 cm = 1,7 cm

b) Da die Gesamtbevölkerung rund 82 Millionen beträgt, ist zunächst ein für diese Aufgabe

zweckmäßiger Maßstab zu ermitteln. Hier könnte z. B. 1 cm für die Darstellung von

10 Millionen gewählt werden, der auch explizit angegeben werden sollte.

Kommentar:

Bei der Bearbeitung der Aufgabe ist es wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler zunächst

sehr selbstständig arbeiten sollten, um Erfahrungen hinsichtlich der Lösungsdarstellung

sowie der Wahl des Maßstabes zu sammeln. Ein zu zeitiges Orientieren durch den Lehrer

auf eine bestimmte Darstellungsform oder auf einen Maßstab verhindert,

dass entsprechende Einsichten selbst gewonnnen werden können.

Beispiel 11: Aufgabe 8 aus Abschnitt 3.3 Zuordnungen, AFB II Aufgabe: Herr Friedrich und Frau Lutz tanken an verschiedenen Tankstellen. Herr Friedrich bezahlt

25 � für 23 l Benzin, Frau Lutz 34 � für 33 l Benzin.

a) Stelle jeweils die Zuordnung �Tankmenge ! Preis� in einem gemeinsamen

Koordinatensystem dar.

b) Welche Informationen kannst du aus der grafischen Darstellung entnehmen?

Zielstellung in Hinblick auf allgemeine mathematische Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler müssen den vorgegebenen Sachverhalt in eine grafische

Darstellung übertragen, dabei ein Koordinatensystem erstellen und dessen Achsen geeignet

einteilen und beschriften sowie aus der Darstellung Werte ablesen und diese entsprechend

des Sachverhaltes deuten.

! D 2, D 3


64

Hinweise zur Lösung: a) Für die Darstellung im Koordinatensystem ist es sinnvoll, an der x-Achse die Tankmenge

(2 l entsprechen 1 cm) und an der y-Achse den Preis (2 � entsprechen 1 cm) anzutragen.

b) Folgende Informationen könnten z. B. entnommen werden:

- Die Tankstelle mit dem günstigeren Preis ist die von Frau Lutz.

- Der Preis beider Tankstellen für beispielsweise 30 l Benzin.

- Die Benzinmenge, die man an beiden Tankstellen für beispielsweise 20 Euro erhält .

Kommentar: Die Aufgabe ist gut geeignet, bewusst zu machen, dass grafische Darstellungen die

mathematische Kommunikation unterstützen können. Sie veranschaulichen mathematische

Zusammenhänge und können rechnerische Lösungen vollwertig ersetzen.

Die Bedeutung grafischer Lösungen sollte im Unterricht auch im Sinne von Lösungsvielfalt

reflektiert werden.

Inhaltlich ähnliche Aufgaben: Abschnitt 3.3 Zuordnungen, Nr. 2,

Abschnitt 3.6 Stochastik, Nr. 10 Beispiel 12: Aufgabe 2 aus Abschnitt 3.6 Stochastik, AFB I Aufgabe: Im Mathematikunterricht wurde folgendes Säulendiagramm zu den Körpergrößen aller

Schüler der Klasse erarbeitet. Alle Messwerte wurden auf volle Zentimeter gerundet.

a) Wie viele Mädchen, wie viele Jungen wurden gemessen?

b) Kannst du aus folgendem Diagramm ablesen, wie viele Kinder 1,47m groß sind?

c) Was kannst du noch aus dem Diagramm ablesen?

Körpergrößen der Schüler der Klasse 6 c


65

Zielstellung in Hinblick auf allgemeine mathematische Kompetenzen: Bei der Bearbeitung der Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler aus einem

Säulendiagramm Informationen entnehmen (Absolutzahlen, Tendenzen) sowie Grenzen

(z. B. keine genaueren Aussagen zu b) erkennen.

! D 3

Hinweise zur Lösung: a) Es wurden dreißig Kinder gemessen.

Zur Lösung der Aufgaben müssen die Schülerinnen und Schüler die Legende beachten.

Größe in cm Anzahl der Schüler davon Mädchen davon Jungen

130 - 135 3 1 2

136 - 140 1 1 0

141 - 145 8 4 4

146 - 150 9 6 3

151 - 155 7 2 5

156 - 160 2 1 1

30 15 15

15 + 15 = 30

b) 1,47 m liegt zwischen 146 cm und 150 cm.

! Wie viele Schüler 147 cm groß sind, ist nicht ablesbar.

c) z. B.:

- Kein Kind ist kleiner als 1,30 m.

- Kein Kind ist größer als 1,60 m.

- In der Klasse sind 30 Schülerinnen und Schüler.

- Es sind gleich viel Mädchen und Jungen.

- Die meisten Schülerinnen und Schüler sind zwischen 141 cm und 155 cm groß.

Kommentar: Auf die besondere Form des Säulendiagramms (�Klasseneinteilung�, �Stapelung� der

Säulen) sollte eingegangen werden. Es kommt dabei lediglich darauf an, dass die

Schülerinnen und Schüler in der Lage sind, solche Diagramme zu �lesen�. Diese Kompetenz

ist grundlegend. Daher sollte sie durch ähnliche Aufgaben immer wieder geschult werden.

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