ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-------------------

NGUYỄN THỊ HUỆ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG

ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội, Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-------------------

NGUYỄN THỊ HUỆ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG

ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Mã số: 60.46.01.06

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. PHAN VIẾT THƯ

Hà Nội, Năm 2014

Mục lục

Mở đầu 3

Lời cảm ơn 5

1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Nới rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Các khái niệm của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Định lý Stone - Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Tích phân theo quan điểm của lý thuyết độ đo 11

2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Một số tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm 15

3.1 Tích phân theo phương pháp Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Tích phân trên Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.2 Trung bình Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

3.2 Mở rộng tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Tính đo được Daniell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Tính đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.2 Tính đo được trên không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả tích Lebesgue-Caratheodory 20

3.5 Tính chất Maximality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Tài liệu tham khảo 24

2

Mở đầu

Lý thuyết độ đo và tích phân là nền tảng xây dựng cho nhiều môn khoa học

chuyên ngành như: Lý thuyết xác suất, giải tích hàm . . . . Ở chương trình đào

tạo đại học, cao học đã bước đầu nghiên cứu về lý thuyết độ đo, tích phân.

Trong luận văn này sẽ sử dụng các kết quả cơ bản về độ đo và tích phân ở bậc

Đại học và Cao học để nghiên cứu sâu hơn về Tích phân theo quan điểm độ đo.

Ngoài ra, luận văn tập trung nghiên cứu về cách tiếp cận tích phân theo quan

điểm của giải tích hàm.

Ta đã biết rằng lớp hàm khả tích Riemann rất hẹp bao gồm các hàm số mà

tập các điểm gián đoạn có thể bỏ qua đựơc. Còn các hàm số đo được tổng quát

thì nói chung có thể không khả tích Riemann (ví dụ như hàm số Dirichlet). Để

vượt qua được sự hạn chế ấy, Lebesgue đã chia miền lấy tích phân thành các

tập nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng với giá trị gần nhau của f(x), theo

quan điểm cơ bản đó Lebesgue đã xây dụng một khái niệm tích phân tổng quát

hơn, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn. Ngoài ra, khi chuyển

giới hạn dưới dấu tích phân của tích phân Lebesgue không cần đòi hỏi khắt khe

về điều kiện hội tụ đều như tích phân Riemann, từ đó đưa ra được nhiều kết

quả quan trong như tính hội tụ đơn điệu, hội tụ bị chặn. . . .

Tuy nhiên, nếu muốn mở rộng định nghĩa tích phân vào những lĩnh vực phức

tạp hơn như xét tính tuyến tính, tích phân trên không gian Banach. . . thì tích

phân Lebesgue gặp khó khăn. Do đó, luận văn tập trung nghiên cứu phương

pháp tiếp cận tích phân bằng giải tích hàm, sử dụng tính tuyến tính và cấu trúc

liên tục của tích phân sơ cấp để xây dựng tích phân trên Daniell

I∗ (f) = infI∗ (h) : h ∈ E↑, f ≤ h

3

Khi đó I∗ có được các tính chất như: I∗ là hàm không giảm; I∗ là tuyến tính;

I∗ là hàm σ - cộng tính dưới. Ngoài ra, tương ứng với tích phân trên I∗ là trung

bình Daniell

‖.‖∗ : RΩ→ [0,∞] cho bởi f 7→ I∗ (|f |)

với các tính chất cơ bản như tính thuần nhất tuyệt đối, tính cộng tính dưới đếm

được. Các đinh lý hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội theo trung bình ... cũng dễ dàng

được chứng minh.

Điều đặc biệt của tích phân Daniell là xây dựng tích phân trước rồi mới định

nghĩa khái niệm độ đo. Khi đó, độ đo Lebesgue đạt được như là tích phân của

hàm chỉ tiêu. Các tính chất cơ bản như σ – cộng tính, tính đo được của tập

Borel là hệ quả của tích phân. Tính đo được Daniell mô tả cấu trúc địa phương

của quá trình khả tích Daniell và sử dụng tích phân Daniell dễ dàng chứng minh

được định lý biểu diễn Riesz cho phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian

C(X) của các hàm liên tục trên không gian tôpô compact X.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm

ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày những kiến thức

cơ bản về độ đo, mở rộng độ đo và các kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ

sở để xây dựng nội dung các chương tiếp theo.

Chương 2: Tích phân theo quan điểm độ đo. Chương này trình bày

cách xây dựng tích phân của hàm đo được - tích phân Lesbegue, các định lý về

chuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tích phân Riemann và tích phân Lebesgue

trên R và một số tính chất của tích phân.

Chương 3: Tích phân: Tiếp cận bằng giải tích hàm. Chương này là

phần chính của luận văn, trình bày cách xây dựng tích phân trên Daniell, trung

bình Daniell và các tính chất, khái niệm đo được Daniell, sự tương đương giữa

khả tích Lebesgue và khả tích Daniell, tính chất maximality.

4

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới PGS.TS. Phan Viết Thư người đã tận tình hướng dẫn tác giả.

Cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy cô trong

tổ bộ môn "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" trường Đại học Khoa học

Tự Nhiên đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.

Đồng thời tác giả cũng gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp trong Khoa Khoa

học Cơ bản, ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ đã giúp đỡ và tạo điều kiện

tốt nhất để tác giả hoàn thành khóa học.

Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,

bạn bè đã luôn bên tác giả cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả. Cảm ơn các bạn

trong lớp đã góp ý giúp đỡ tác giả trong luận văn này.

Do lần đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế

về ngoại ngữ, thời gian nên khi làm luận văn không tránh khỏi những sai sót.

Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quí thầy cô

và bạn đọc.

Hà nội, tháng 08 năm 2014

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Huệ

5

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.5. Một hàm cộng tính đếm được µ : F → [0,∞) trên F được

gọi là độ đo nếu với mọi dãy An ⊂ F từng đôi không giao nhau thì

µ(

∞⋃k=1

Ak) =

∞∑k=1

µ (Ak)

Bộ ba (Ω, F, µ) được gọi là không gian có độ đo.

Nếu µ(Ω) = 1 thì µ được gọi là độ đo xác suất và (Ω, F, µ) gọi là không gian

xác suất.

1.2 Nới rộng độ đo

1.2.1 Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue

Định nghĩa 1.8. Không Ω là một không gian mẫu. Một độ đo ngoài trên Ω

là một hàm µ∗ : P(Ω)→ [0,∞) thỏa mãn:

(i) µ∗ (∅) = 0.

(ii) Nếu A ⊂ B ∈ Ω thì µ∗ (A) ≤ µ∗ (B) (Tính đơn điệu tăng).

(iii) µ∗(∞⋃n=1

An) ≤∞∑n=1

µ∗ (An) (Tính chất nửa σ - cộng tính dưới).

6

Định lý 1.2. Cho Ω là một tập không rỗng. Cho một tập khác rỗng E ⊂

P(Ω), ∅ ∈ E, và một hàm h : E → R+ với h (∅) = 0 định nghĩa

µ∗ (A) = inf∑n

h(An) : A ⊂⋃n

An, An ∈ E (1.1)

thì µ∗ là một độ đo ngoài.

Định lý 1.3. Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên Ω. Tập hợpMµ∗ tất cả các tập

µ∗ - đo được là một σ - đại số và chứa tất cả các tập µ∗ - bỏ qua được. Ngoài ra

(Ω, Mµ∗, µ∗) là một không gian có độ đo đủ.

Định lý 1.4. (Mở rộng của Caratheodory) Giả sử rằng µ là hàm tập không

âm cộng tính dưới đếm được trên nửa vành E thỏa mãn µ (∅) = 0. Thì µ được mở

rộng thành một độ đo đủ trên σ - đại số Mµ chứa σ(E).

1.2.2 Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes

Trong phần này ta sẽ trình bày độ đo trên không gian Borel (Rd, B(Rd)).

Cho F : Rd → R là hàm liên tục phải tức là limx→a+

F (x) = F (a). Với a ≤ b và

1 < j < d

Định lý 1.6. Giả sử rằng F là liên tục phải và có số gia không âm tức là

µ ((a, b]) =d∏j=1

∆j (aj , bj)F ≥ 0 với mọi khoảng d-chiều (a,b] bất kỳ. Thì µ nhận

một mở rộng thành độ đo trên σ - đại số B(Rd)⊂ Mµ.

1.2.3 Độ đo Hausdorff trong không gian Metric

Giả sử (X, d) là một không gian metric và giả sử rằng g : R + → R + là hàm

không giảm với g(0) = 0 . Định nghĩa h : (X)→ R + là hàm A 7→ g(diam(A)) với

diam(∅) = 0 và diam(A) = sup d(x, y), x; y ∈ A nếu A 6= ∅.

Với mỗi δ > 0 đặt Eδ là tập hợp các tập có đường kính lớn nhất là δ thì hàm

tập Hgδ định nghĩa bởi:

Hgδ (A) = inf

∑n∈N

g(diam(An): A ⊂⋃n

An, An ∈ Eδ

là độ đo ngoài.

Từ Eδ ⊂ Eδ′ ,∀δ < δ′ nên A 7→ Hg (A) := supδ>0Hgδ (A) cũng là một độ đo ngoài.

Định nghĩa 1.11. Một độ đo ngoài µ∗ trên không gian metric thỏa mãn

7

µ∗ (A ∪B) = µ∗ (A) + µ∗ (B) nếu d (A,B) > 0.

được gọi là độ đo ngoài metric.

Chú ý: Nếu A,B ⊂ X và d(A,B) = infd(x, y) : x ∈ A, y ∈ B > 0 thì

Hgδ (A ∪B) = Hg

δ (A) +Hgδ (B)

Định lý 1.8. (Caratheodory) Nếu µ∗ là độ đo ngoài metric thì mọi tập Borel

là µ∗ - đo được.

1.3 Hàm đo được

Định nghĩa 1.12. (i) Cho các không gian đo (X, S) và (Y , R). Ánh xạ

f : X → Y gọi là ánh xạ đo được nếu với mọi A ∈ R ta có

f−1 (A) = x ∈ X : f (x) ∈ A ∈ S

(ii) Cho không gian có độ đo (X,S, µ). Hàm số f : X → [−∞,+∞] được gọi

là µ - đo được nếu với mọi tập Borel B ⊂ R ta có

f−1 (B) = x ∈ X : f (x) ∈ B ∈ S(µ)

Định lý 1.12. (Egorov) Cho (fn) , f là các hàm đo được sao cho fn → f µ

- hầu khắp nơi. Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại tập A với µ(Ac) < ε sao cho fn hội

tụ đều tới f trên A.

Định lý 1.12. Cho (Ω,F) là không gian đo được và (S, d) là không gian

metric. Nếu fn ⊂ SΩ dãy hội tụ các hàm đo được thì f = limnfn là hàm đo

được.par

1.4 Các khái niệm của giải tích hàm

1.4.1 Định lý Stone - Weierstrass

Định nghĩa 1.14. Cho E và V là họ các hàm thực hoặc phức xác định trên

Ω.

8

(i) E gọi là vành thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ thực hoặc phức

đối với cộng từng điểm và phép nhân vô hướng và nó là đóng dưới với phép

nhân từng điểm.

(ii) V là dàn véctơ thực hoặc phức nếu nó là không gian véctơ đối với phép

cộng và phép nhân vô hướng theo từng điểm, và f ∧ g := min f, g ∈ V;

f ∨ g := max f, g ∈ V với mọi hàm thực f, g ∈ V.

(iii) Một họ các hàm V gọi là đóng với phép chặt cụt nếu f ∧ 1 ∈ V với mọi

hàm thực f ∈ V.

Định lý 1.15. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn trên một tập nào đó. Nếu

E là một vành hoặc một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt thì bao đóng đều E

của E cũng là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt.

Định lý 1.16. (Định lý Stone Weierstrass) Giả sử S là một không gian

Hausdorff compact và E ⊂ C(S) là một vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt

cụt. Giả thiết rằng E tách các điểm tức là s 6= t trong S thì tồn tại φ ∈ E thỏa

mãn φ (s) 6= φ (t) thì ta có:

(i) Nếu E không có không điểm chung z ∈ S thì hợp bao đóng đều E = C(S).

(ii) Nếu E có không điểm chung duy nhất z ∈ S thì E = φ ∈ C(S): φ (z) = 0 .

1.4.2 Các lớp đơn điệu của hàm số

Định nghĩa 1.16. Cho Ω là tập không rỗng bất kỳ

(i) Một tập V ⊂ RΩ là một lớp đơn điệu (Tương ứng: Lớp đơn điệu bị chặn)

nếu nó đóng dưới giới hạn từng điểm của dãy hội tụ đơn điệu (hội tụ bị

chặn).

(ii) Một tập V của các hàm phức hoặc thực bị chặn là lớp bị chặn nếu nó đóng

dưới giới hạn theo từng điểm của dãy hội tụ bị chặn; Khi đó, với fn ⊂ V

thỏa mãn sup ‖fn‖u <∞ và f (x) = limn fn (x) với mọi x thì f ∈ V.

(iii) Tập hợp M ⊂ RΩ là lớp phép nhân thực nếu nó đóng dưới với hữu hạn

phép nhân.

9

(iv) Một tập M ⊂ CΩ hàm phức là lớp các phép nhân phức nếu nó đóng dưới

với hữu hạn phép nhân và dưới số phức liên hợp.

Định lý 1.18. (Lớp hàm thực đơn điệu). Cho V là không gian véctơ thực

của các hàm (Tương ứng: Hàm bị chặn) chứa hàm hằng và nó là lớp đơn điệu

(Tương ứng: Đơn điệu bị chặn). Nếu M ⊂ V là lớp nhân của các hàm bị chặn

thì V chứa tất cả hàm đo được giá trị thực σ(M).

Định nghĩa 1.17. Họ V ⊂ RΩ là dãy đóng nếu giới hạn của một dãy hội tụ

trong V cũng thuộc V.

Cho họ E ⊂ RΩ, giao của tất cả các dãy đóng chứa E là dãy đóng bé nhất

chứa E và được gọi là bao đóng của E , kí hiệu là EΣ.

Bổ đề 1.3. Giả sử E là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt. khi

đó:

(i) EΣ cũng là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt.

(ii) Nếu E ∈ RΩ đóng kín đối với các phép toán +,−, .,∨,∧,∧1 hoặc |.| thì EΣ

cũng vậy.

(iii) Tập hợp R(E) các tập con trong EΣ trùng với σ vành R(E) sinh bởi

φ−1 ((r,∞)) : φ ∈ E, r > 0

.

(iv) f ∈ EΣ nếu và chỉ nếu f−1 (I) ∈ R (E) với mọi khoảng trong R\ 0.

Đặt MR(E) là tập hợp các hàm thực đo được của σ(E).

10

Chương 2

Tích phân theo quan điểm của lý

thuyết độ đo

Trong giải tích cổ điển, ta đã nghiên cứu tích phân Riemann và các ứng dụng

của nó. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp có những hàm đo được đơn giản

nhưng không khả tích Riemann. Do đó, Lebesgue đã đưa ra phương pháp mới

là chia miền lấy tích phân thành các tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm

ứng với những giá trị gần nhau của f(x). Khi đó, ta có thể dùng những hàm bậc

thang để xấp xỉ f(x).

2.1 Tích phân Lebesgue trìu tượng

Định nghĩa 2.1. Giả sử rằng s là một hàm đơn giản, đo được không

âm, a1, a2, ...an là tập hợp tất cả các giá trị khác nhau của s. Khi đó s =n∑k=1

ak1s=ak. Với mỗi E ∈ F, tích phân của s trên E đối với độ đo µ xác định

bởi ∫E

sdµ :=

n∑k=1

akµ (E ∩ Ak) (2.1)

Định nghĩa 2.2. Với mọi hàm đo được f : Ω → [0,∞] thì tích phân của f

trên E được cho bởi∫E

fdµ = sup∫E

sdµ : 0 ≤ s ≤ f với s là hàm đơn giản (2.3)

11

Định nghĩa 2.3. Một hàm giá trị phức hoặc giá trị thực mở rộng đo được

f trên Ω là khả tích nếu∫Ω

|f |dµ <∞.

Tập tất cả hàm khả tích trên Ω kí hiệu là L1 (Ω,F, µ).

2.2 Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue

Trong giải tích và xác suất ta thường phải chuyển giới hạn dưới dấu tích phân.

Đối với tích phân Riemann việc chuyển qua giới hạn như thế đòi hỏi nhiều điều

kiện khắt khe như điều kiện hội tụ đều. Đối với tích phân Lebesgue vấn đề này

sẽ được giải quyết đơn giản hơn.

Định lý 2.2. (Hội tụ đơn điệu) Cho fnn là dãy các hàm đo được thỏa mãn

(i) 0 ≤ ... ≤ fn (ω) ≤ fn+1 (ω) ≤ ... ≤ ∞,∀ω ∈ Ω.

(ii) limn→∞

fn (ω) = f (ω) ,∀ω ∈ Ω.

Thì f là đo được và

limn→∞

∫Ω

fndµ =

∫Ω

fdµ (2.6)

Hệ quả 2.2. (Beppo Levi) Cho fn : Ω→ [0,∞] là dãy các hàm đo được, thì∫Ω

∞∑n=1

fndµ =

∞∑n=1

∫Ω

fndµ (2.10)

Hệ quả 2.3. Giả sử f : Ω→ [0,∞] là hàm đo được và đặt

ηf (E) =

∫E

fdµ,E ∈ F (2.11)

thì ηf là một độ đo trên F và với mọi hàm đo được g : Ω→ [0,∞] ta có∫Ω

gdηf =

∫Ω

gfdµ (2.12)

Định lý 2.3. (Bổ đề Fatou) Nếu fn : Ω → [0,∞] là dãy các hàm đo được,

thì ∫Ω

limn

infnfndµ ≤ lim

ninfn

∫Ω

fndµ (2.13)

12

Định lý 2.5. (Hội tụ bị làm trội của Lebesgue) Cho fnn và gnn là dãy

các hàm đo được (thực hoặc phức) hội tụ theo từng điểm µ - h.c.c thỏa mãn

f = limnfn µ - h.c.c, g = lim

ngn µ - h.c.c và

|fn| ≤ gn µ- h.c.c. (2.16)

Giả sử rằng

limn

∫gndµ =

∫gdµ <∞ (2.17)

thì f ∈ L1 và

limn→∞

∫Ω

|fn − f | dµ = 0; limn→∞

∫Ω

fndµ =

∫Ω

fdµ <∞ (2.18)

2.3 Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R

Định nghĩa 2.5. Một hàm f : [a, b]→ R là khả tích Riemann nếu

supP∈P

L (f, P ) = infP∈P

U (f, P ) (2.19)

Giá trị duy nhất A(f) trong (1.23) gọi là tích phân Riemann của f trên [a, b].

Định lý 2.8. Giả sử rằng f là khả tích Riemann trên [a, b] và đặt M([a, b])

là σ - đại số Lebesgue. Thì f ∈ L1([a, b],M([a, b]), λ) và f là liên tục λ - hầu chắc

chắn. Hơn nữa, A(f) =∫

[a,b]

fdλ.

Định lý 2.9. (Lebesgue) Một hàm f là khả tích Riemann trên [a, b] nếu và

chỉ nếu f là hàm bị chặn, liên tục λ - hầu chắc chắn trên [a, b]. Khi đó nó khả

tích theo nghĩa Lebesgue và hai tích phân bằng nhau.

2.3.1 Một số tính chất của tích phân

Cho f là hàm từ E × [a, b] → R. Ta giả thiết rằng hàm x 7→ ft (x) = f (x, t)

đo được với mỗi t ∈ [a, b], ft ∈ (ME ,B;R,BR) và ta quan tâm đến tính chất của

hàm

t 7→∫E

f (x, t) dµ (x)

với µ là một đo đo dương trên B.

13

Định lý 2.10. (Tính liên tục) Giả sử limt→t0

f (x, t) = l (x) với mọi x ∈ E, t0 ∈

[a, b], |f (x, t)| ≤ g (x), g µ – khả tích với mọi t ∈ [a, b]. Khi đó

limt→t0

∫E

f (x, t) dµ (x) =

∫E

l (x) dµ (x).

Định lý 2.11. (Tính khả vi) Với các điều kiện sau đây:

(i) Tồn tại t0 ∈ [a, b] sao cho x 7→ f (x, t0) là µ – khả tích trên E.

(ii) ∂f∂t tồn tại trên E × [a, b].

(iii) Tồn tại hàm g µ – khả tích trên E sao cho:∣∣∣∂f∂t (x, t)

∣∣∣ ≤ g (x) với mọi

t ∈ [a, b].

Khi đó, hàm số t 7→ F (t) =∫E

f (x, t) dµ (x) khả vi trên [a, b] và ta có:

dF (t)

dt=

d

dt

∫E

f (x, t) dµ (x) =

∫E

df

dt(x, t) dµ (x)

Định lý 2.12. (Tính khả tích Riemann) Với các điều kiện sau:

(i) t 7→ f (x, t) liên tục trên [a, b] với mọi x ∈ E.

(ii)Tồn tại g µ – khả tích trên E sao cho: |f (x, t)| ≤ g (x).

Khi đó, hàm số t 7→ F (t) =b∫a

[∫E

f (x, t) dµ (x)]dt =∫E

[b∫a

f (x, t) dt]dµ (x).

14

Chương 3

Tích phân: Cách tiếp cận theo giải

tích hàm

Cách tiếp cận tích phân trực tiếp của Daniell sử dụng sự tuyến tính và cấu

trúc liên tục của tích phân sơ cấp và không dùng lý thuyết độ đo. Phương pháp

của Daniell mở rộng tích phân sơ cấp tới tập lớn nhất có thể của các hàm mà

tính tuyến tính và hội tụ bị trội được thỏa mãn.

3.1 Tích phân theo phương pháp Daniell

Cho Ω là một tập hợp, E là tập không rỗng các hàm thực bị chặn trên Ω và

là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là một vành.

Định nghĩa 3.1.

(i) Một tích phân sơ cấp trên E là phiếm hàm tuyến tính giá trị thực trên E.

(ii) Tích phân sơ cấp I là dương nếu I (f) ≥ 0 khi 0 ≤ f ∈ E.

(iii) Tích phân sơ cấp I là δ - liên tục nếu I (fn) 0 khi E 3 fn 0.

3.1.1 Tích phân trên Daniell

Bổ đề 3.1. Giả sử rằng E là một dàn véctơ. Khi đó, không gian E↑ là đóng

đối với:

(i) Phép cộng.

15

(ii) Nhân với vô hướng không âm.

(iii) inf hữu hạn.

(iv) sup đếm được.

Định nghĩa 3.2. Tích phân trên của hàm h ∈ E↑ được định nghĩa bởi

I∗ (h) = sup I (φ) : φ ∈ E , φ ≤ h (3.1)

Tích phân trên của hàm thực f bất kỳ trên Ω được định nghĩa bởi

I∗ (f) = infI∗ (h) : h ∈ E↑, f ≤ h

(3.2)

Rõ ràng I∗ (φ) = I (φ) nếu φ ∈ E. Sự biểu diễn (3.1) và (3.2) là trùng nhau trên

E↑.

Định lý 3.1. Giả sử rằng E là một dàn véctơ. Thì tích phân trên I∗ của

Daniell có các tính chất sau:

(i) I∗ không giảm và thuần nhất dương.

(ii) Nếu hn ⊂ E↑ là dãy không giảm thì I∗ (hn) I∗(supnhn).

(iii) I∗ là tuyến tính trên E↑.

(iv) I∗ là σ - cộng tính dưới tức là, nếu fn ≥ 0 thì I∗(∑n

fn) =∑n

I∗ (fn).

3.1.2 Trung bình Daniell

Định nghĩa 3.3. Giả sử E là một dàn véctơ. Trung bình Daniell của tích

phân sơ cấp (E,I) là ánh xạ ‖.‖∗ : RΩ→ [0,∞] cho bởi f 7→ I∗ (|f |).

Định lý 3.2. Trung bình Daniel ‖.‖∗ là hữu hạn trên E. Ngoài ra,

(i) Tính thuần nhất tuyệt đối: Với mọi a ∈ R và f ∈ RΩ, ‖af‖∗ = |a| ‖f‖∗.

(ii) Tính vững: Nếu |f | ≤ |g| thì ‖f‖∗ ≤ ‖g‖∗.

(iii) Cộng tính dưới đếm được: Nếu fn là dãy các hàm giá trị thực suy rộng

không âm thì ‖∑n

fn‖∗ ≤∑n

‖fn‖∗.

16

(iv) Nếu 0 ≤ φn ∈ E và supn‖n∑k=1

φk‖∗ <∞ thì limn‖φn‖∗ = 0.

(v) Với mọi φ ∈ E, |I (φ)| ≤ ‖φ‖∗.

Định nghĩa 3.4. Cho E ⊂ RΩ là không gian véc tơ các hàm bị chặn. Một

phiếm hàm ‖.‖ trên RΩlà hữu hạn trên E và thỏa mãn (i)-(iv) trong định lý 3.2

được gọi là trung bình đối với E.

Định lý 3.4. Cho E là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc một vành.

Nếu ‖.‖ là một trung bình đối với E thì

(i) F = f ∈ RΩ: ‖f‖ <∞ là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt.

(ii) (F , ‖.‖) là không gian đủ có nửa chuẩn.

(iii) Nếu fn ⊂ F và limn‖f − fn‖ = 0 thì có một dãy con fnk hội tụ theo

từng điểm tới f - hầu chắc chắn.

(iv) Bao đóng của E trong (F , ‖.‖) kí hiệu bởi L1(‖.‖) là dàn véctơ đóng với phép

chặt cụt.

Các hàm số trong L1(‖.‖) được gọi là khả tích đối với trung bình ‖.‖.

3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình

Định lý 3.5. (Định lý hội tụ đơn điệu) Giả sử rằng fn ⊂ L1 là dãy tăng

hoặc dãy giảm thỏa mãn supn‖fn‖ < ∞. Nếu fn hội tụ theo từng điểm tới f thì

f ∈ L1 và limn‖f − fn‖ = 0.

Hệ quả 3.1. Nếu E là một dàn véctơ thì E↑⊂ F ⊂ L1.

Định lý 3.6. (Hội tụ bị làm trội Daniell Lebesgue) Giả sử fn ⊂ L1 hội tụ

hầu chắc chắn đến f . Giả sử có g ∈ F thỏa mãn |fn| ≤ g hầu chắc chắn với mọi

n. Thì f ∈ L1 và limn‖fn − f‖ = 0.

Bổ đề 3.5. Giả sử f ∈ L1 và a ∈ (0,∞) thì 1f>a, 1f<−a, 1f≤−a, 1f≥a

là khả tích.

Định lý 3.7. Cho (E , I) là một tích phân sơ cấp và ‖.‖∗ là trung bình của

Daniell thì

17

‖A‖∗ = inf‖B‖∗ : A ⊂ B ∈ E↑

= inf

‖B‖∗ : A ⊂ B ∈ L1

với mọi A ∈ F . Ngoài ra, nếu A ∈ F thì có tập B ∈ E↑↓∩ L1 thỏa mãn A ⊂ B và

‖A‖∗ = ‖B‖∗.

3.2 Mở rộng tích phân

Giả sử rằng (E ,I) là tích phân sơ cấp và đặt ‖.‖ là trung bình trội của tích

phân cơ bản tức là |I (φ)| ≤ ‖φ‖ ,∀φ ∈ E .

Khi đó, I nhận được một mở rộng tới (L1 ,‖.‖) bằng cách cho

I (f) = limnI (φn) (3.8)

với mọi φn ⊂ L1 thỏa mãn ‖f − φn‖ → 0.

Định lý 3.9. Giả sử ‖.‖ là trung bình trội trên tích phân cơ bản (E,I).

(i) Mở rộng của I lên (L1,‖.‖) là tuyến tính, dương và bị làm trội bởi trung bình

tức là,

I (af + g) = aI (f) + I (g) , a ∈ R; f, g ∈ L1 (3.9)

I (f) ≥ 0 nếu f ∈ L+1 (3.10)

|I (f)| ≤ I (|f |) ≤ ‖f‖ (3.11)

(ii) Mở rộng I thỏa mãn định lý hội tụ đơn điệu: Nếu 0 ≤ fn ∈ L1 và supnI (fn) <

∞ thì limnI(|fn − sup

nf |) = 0.

(iii) Nếu E là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc dàn vành, ‖.‖∗ là trung

bình Daniell thì I (f) = I∗ (f) với mọi f ∈ L1+(‖.‖∗). Ngoài ra I (h) = I∗ (h)

với mọi h ∈ E↑.

3.3 Tính đo được Daniell

Định lý 3.11. Cho f ∈ L1 và ε > 0. Tồn tại một tập U ∈ E↑ với ‖U‖ < ε và

một hàm g ∈ Eu (bao đóng đều của E) thỏa mãn f = g, ‖.‖ - hầu chắc chắn trên

U c.

18

Định lý 3.12. Cho fn ∈ L1 và giả sử rằng fn hội tụ đến f hầu chắc

chắn trên một tập con A ∈ L1. Thì với mọi ε > 0 có L1 3A0 ⊂ A thỏa mãn

‖A\A0‖ < ε và fn hội tụ đều đến f trên A0.

3.3.1 Tính đo được

Tính đo được mô tả cấu trúc địa phương của quá trình khả tích.

Định nghĩa 3.7. Một hàm f ∈ RΩ là đo được đối với trung bình ‖.‖ nếu với

mọi A ∈ L1 và ε > 0 có L1 3A0 ⊂ A và g ∈ Eu thỏa mãn ‖A\A0‖ < ε và f = g

trên A0. Tập B ⊂ Ω là đo được nếu 1B là đo được.

Hệ quả 3.2. Giả sử D là tập trù mật trong L1. Một hàm giá trị thực f là đo

được nếu và chỉ nếu với mọi tập A ∈ L1 và ε > 0 có L1 3A0 ⊂ A với ‖A\A0‖ < ε

thỏa mãn f là giới hạn đều của một dãy trong D.

Bổ đề 3.6. Giả sử rằng fn ⊂ RΩ là dãy các hàm đo được. Thì với A ∈

L1 và ε > 0 tồn tại L1 3 B ⊂ A và một dãy gn ⊂ Euthỏa mãn ‖A\B‖ < ε và

fn = gn trên B.

Định lý 3.13. (Định lý Egorov) Cho fn ⊂ RΩ là dãy các hàm đo được hội

tụ đến f hầu chắc chắn. Thì f là đo được;

Ngoài ra, với mọi A ∈ L1 và ε > 0 thì có L1 3 B ⊂ A với ‖A\B‖ < ε thỏa mãn

fn hội tụ đều đến f trên B.

Định lý 3.14.

(i) LớpMR các hàm thực đo được là một dàn đại số đóng với phép chặt cụt và

chứa EΣ.

(ii) Nếu f ∈MR và ϕ : R −→ R là liên tục thì ϕ f ∈MR.

(iii) Lớp M các tập con đo được của Ω là một σ - đại số.

Kết quả tiếp theo phân loại đầy đủ không gian L1 theo tính đo được hữu hạn

của trung bình.

Bổ đề 3.7. Một tập A ∈M nếu và chỉ nếu A ∩B ∈ L1 với mọi B ∈ L1.

Định lý 3.15. Một hàm f ∈ RΩlà khả tích nếu và chỉ nếu có f ′ ∈ F ∩MR

với ‖f − f ′‖ = 0 và f 6= 0 là σ - hữu hạn. Do đó, EΣ ∩ F ∈ L1. Ngoài ra,

19

nếu (E, I) là một tích phân sơ cấp và ‖.‖∗ là trung bình của Daniel thì ta có

L1(‖.‖∗) = F ∩MR.

Định lý 3.16. Giả sử rằng D ⊂ R là trù mật. Khi đó, f ∈ MR nếu và chỉ

nếu f > d ∈M với mọi d ∈ D.

3.3.2 Tính đo được trên không gian mêtric

Định nghĩa 3.8. Cho (E, I) là tích phân sơ cấp và ‖.‖ là trung bình trội

hơn I. Giả sử rằng E là một không gian metric. Một hàm f ∈ EΩ là đo được nếu

với mọi A ∈ L1 và ε > 0 có A0 ∈ L1 với ‖A\A0‖ < ε với f là E - liên tục đều. Ta

ký hiệu bởi ME là không gian các hàm đo được nhận giá trị trên E.

Định lý Egorov nhận được một mở rộng trong trường hợp tổng quát.

Định lý 3.17. Giả sử fn là một dãy các hàm đo được nhận giá trị trên

E hội tụ hầu chắc chắn đến f . Thì f là hàm đo được. Ngoài ra, với mọi A ∈ L1

và ε > 0 có L1 3 A0 ⊂ A với ‖A\A0‖ < ε sao cho sự hội tụ là đều trên A0.

3.4 Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả

tích Lebesgue-Caratheodory

Trung bình của Daniell ‖.‖∗ xác định với hàm cộng tính đếm được I trên

vành R=R(E) tạo bởi hàm sơ cấp E . Phương pháp Lebesgue-Caratheodory mở

rộng tích phân I thành độ đo đủ µ trên σ - đại số Mµ ⊃ σ(E) thông qua độ đo

ngoài

µ∗ (E) = inf∑n

I (Rn) : E ⊂⋃n

Rn , Rn ∈ R (3.12)

Định lý 3.18. Giả sử rằng (E,I) là một tích phân sơ cấp và ‖.‖∗ là trung

bình Daniell, A ∈M nếu và chỉ nếu

‖E‖∗ = ‖E ∩ A‖∗ + ‖E\A‖∗ (3.13)

với mọi E ⊂ Ω.

Bổ đề 3.9. Cho µ∗ như trong (3.12) và cho ‖.‖∗ là trung bình Daniell. Thì

‖.‖∗ = µ∗.

20

Định lý 3.19. (Daniell Stone) Cho (E , I) là một tích phân sơ cấp và ‖.‖∗

là trung bình Daniell của nó và M là tập các hàm đo được đối với ‖.‖∗. Thì

σ (E) ⊂M và µ = ‖.‖∗ xác định một độ đo trên không gian đo được (Ω,M) thỏa

mãn

µ (E) = I (E) = ‖E‖∗ , E ∈M và I (f) =∫fdµ với f ∈ L1 ⊃ E

Ở đây I là mở rộng Daniell của (E , I). Ngoài ra, µ xác định duy nhất trên

σ vành Rσ (E) vành tạo bởif−1 (B) : f ∈ E , B ∈ B (R\ 0)

. Nếu có một hàm

dương thực sự f ∈ L1(Ω, σ (E) , µ) thì Rσ (E) = σ (E) .

Bổ đề 3.10. Giả sử I là một phiếm hàm tuyến tính dương trên E = C00(X).

Nếu dãy fn ⊂ C+00 và fn0 theo từng điểm thì Ifn 0.

Định lý 3.21. (Định lý biểu diễn Riesz) Giả sử I là một phiếm hàm tuyến

tính dương trên C00 (X). Khi đó tồn tại duy nhất độ đo Radon µI chính quy đủ

xác định trên một σ - đại số MI ⊃ B(X) thỏa mãn

I (f) =

∫X

fdµI , f ∈ C00 (X)

Nếu thêm điều kiện I là liên tục thì µI là hữu hạn với ‖I‖ = µI (X) = ‖X‖∗ .

3.5 Tính chất Maximality

Nếu ‖.‖ và ‖.‖ là hai trung bình trên dàn véctơ E đóng với phép chặt cụt,

và ‖f‖ ≤ ‖f‖ với mọi f ∈ RΩ, thì nó chứng tỏ rằng L1(‖.‖) ⊂ L1(‖.‖).

Trung bình Daniel là trung bình maximal trên (E , I) thỏa mãn ‖φ‖∗ = I (|φ|)

với mọi φ ∈ E . Nó có nghĩa rằng trung bình Daniel cung cấp mở rộng nhỏ nhất

của tích phân sơ cấp mà dãy Cauchy hội tụ và sự hội tụ bị trội được thỏa mãn.

Bổ đề 3.11. Giả sử rằng E là tập hợp các hàm bị chặn và là một dàn véctơ

đóng với phép chặt cụt hoặc là vành. Nếu ‖.‖ và ‖.‖ là các trung bình thỏa mãn

‖φ‖ ≤ ‖φ‖ với mọi φ ∈ E, thì ‖f‖ ≤ ‖f‖ với mọi f ∈ EΣ.

Định lý 3.24. Giả sử ‖.‖ là trung bình maximal của E. Thì

‖f‖ = inf‖h‖ : |f | ≤ h ∈ EΣ (3.18)

21

Bổ đề 3.13. Giả sử ‖.‖ là trung bình maximal của E. Thì với mọi f ∈

F(‖.‖)+, tồn tại h ∈ EΣ, f ≤ h thỏa mãn ‖f‖ = ‖h‖.

Định lý 3.25. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn và là dàn véctơ đóng với

phép chặt cụt hoặc là vành.

(i) Nếu (E , I) là tích phân sơ cấp và ‖.‖∗ là trung bình Daniell, thì ‖.‖∗ là trung

bình maximal trùng với I trên E+.

(ii) Mọi trung bình maximal ‖.‖ của E thỏa mãn

supn‖fn‖ = ‖sup

nfn‖ (3.19)

Với mọi dãy không giảm fn ⊂ RΩ

+.

22

Kết luận chung

Luận văn đã trình bày được một số nội dung cơ bản như:

Thứ nhất: Cách xây dựng tích phân của hàm đo được theo phương pháp

tích phân Lebesgue. Xét được các điều kiện chuyển giới hạn dưới dấu tích phân

Lebesgue, đưa ra định lý về sự hội tụ đơn điệu, hội tụ bị trội.... Sự tương đương

của tích phân Lebesgue và tích phân Riemann trên R

Thứ hai: Xây dựng tích phân trên Daniell từ tích phân cơ bản (I, E). Xét

tính đo được Daniel như là tính chất địa phương của tính khả tích. Xét được

các tính chất cơ bản của tích phân Daniell và trung bình Daniell tương ứng của

tích phân. So sánh được sự tương đương giữa tính khả tích Daniell và khả tích

Lebesgue. Chỉ ra được tính chất maximality của trung bình Daniell.

23

Tài liệu tham khảo

[1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2002.

[2] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích, NXB Giáo dục, 1998.

[3] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở lý thuyết Xác suất, NXB Đại

học Quốc gia Hà Nội, 2004.

[4] Đặng Hùng Thắng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,

2013.

[5] Hoàng Tụy, Giải tích hiện đại, NXB Giáo dục, 1979.

[6] Bartle, Robert G, The elements of integration and Lebesgue measure, Wiley

Classics Library, New York, 1995.

[7] Bauer, Heinz,Measure and Integration Theory, De Gruyter Studies in Math-

ematics 26, Berlin, 2001.

[8] Munroe, M. E, Introduction to measure and integration, Cambridge, Mass:

Addison-Wesley Publishing Company Inc, 1953.

[9] Oliver R. Díaz - Espinosa, Integration and Measure Theory, SAMSI Duke

University, 2010.

[10] P.Billing, Probability and Measure, Willey, New York 1995.

[11] Shilov, G.E, and Gurevich, B.L., Integral, Measure, and Derivative: A Uni-

fied Approach, Richard A.

[12] Walter Rudin, Real and complex analysis, McGraw-HillBook Co, New York,

1987.

24