Ángulos formados por dos rectas · 2020. 5. 5. · 63 Ángulos formados por dos rectas paralelas y...

63

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

ÁNGULOS

1. Rectas secantes Son aquellas que tienen un solo punto en común,

el cuál se denomina punto de intersección.

{ }

1 2Si: A∩ =L L

Entonces:

1 2y L L son secantes.

1. Ángulos correspondientes Estos ángulos con congruentes.

Si 1 2/ / ⇒ a = b L L

2. Ángulos alternos Estos ángulos son de igual medida.

Si 1 2/ / ⇒ a = b L L

2. Rectas paralelas Son aquellos que, estando contenidas en un mis-

mo plano, no tienen punto en común.

Regiónexterior1Región interior

2Regiónexterior

←→

←→

L

L

Si: { }1 2∩ = L L

Entonces:

1 2y L L

Son paralelas ( )1 2/ / L L

64

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula “x” si 1 2/ / L L

3x – 40°

2. Calcula “x”, si 1 2/ / L L .

3. Ángulos conjugados Estos ángulos son suplementarios.

Si: 1 2/ / 180⇒ a + b = ° L L

PROPIEDADES

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS

1. Si: 1 2/ / L L :

x = a + b

1. Si: 1 2/ / L L :

ya + = w

2. Si 1 2/ / L L , se cumple:

x ya + b + q = +

3. Si 1 2/ / L L , se cumple:

180a + b + q + φ + w = °

2. Si 1 2/ / L L , entonces, se cumple:

( )x y z 180 n 1+ + + w + φ = ° −

Donde: “n” es el número de ángulos.

65

3. Calcula “x”, si 1 2/ / L L .

PUCP

4. Calcula “q”, si 1 2/ / L L .

Solución: Completamos los ángulos de forma adecuada.

6θθ

θ

Por propiedad 40° + 180° – 16q = 6q 220° = 22q q = 10°

5. Calcula “x”, si 1 2/ / L L .

6. Calcula “x”, si 1 2/ /

L L y a + b = 70°.

7. Calcula “x”, si AB//DE.

x

UNMSM8. Si las rectas 1 2/ /

L L son paralelas y a + b = 5x,

calcula el valor de “x”

x

ab

x

x

L1

L2

L4L3Solución:

Desplazamos adecuadamente los ángulos co-rrespondientes

x 2x

2x

x

ab

x

x xx

L1L1

L2L2

L4L3 Observamos que 2x 180 ( )

2x 180x 404x 5x 360

+ b = ° ++ a = °

= °+ =

9. Calcula “x” si 1 2/ / L L y w + q = 2x

x

x

xw q

L3

L2

L4L1

L2

10. Calcula “q”, si 1 2/ / L L y a + b = 300°

66

11. Calcula “q”, si 1 2/ / L L .

12. Calcula “x”, si 1 2/ / L L .

13. Calcula “x”, si 1 2/ / L L .

x

20°

14. Si 1 2/ / L L y entre ellos hay “n” ángulos de me-

didas “q”, ¿cuál es el valor de “q”?

Evaluando tu Aprendizaje

67

Triángulos: líneas notables asociadas a los triángulos

TRIÁNGULO RECTILÍNEO

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Es aquel que se forma al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

ElementosVértices: A, B y CLados: AB, BC, CA

Notación∆ABC: Se lee, triángulo ABC o de vértices A, B y C.

Cálculo del perímetroABC2p a b c∆ = + +

Si se sabe: AB = c, BC = a y CA = b

Propiedades fundamentales

A. Según las medidas de sus lados 1. ∆ Escaleno

a bb cc a

≠ → a ≠ b≠ → b ≠ q≠ → q ≠ a

a) 180a + b + q = °

b) x y z 360+ + = °

c) za + b =

xb + q =

ya + q =

d) Relación de correspondencia

b ≥ a ≥ q

Si: b a c≥ ≥

e) Relación de existencia:

b c a b c− < < +

a c b a c− < < +

b a c b a− < < +

68

2. ∆ Isósceles

a b

AC : base

≠a ≠ b

3. ∆ Equilátero

B. Según las medidas de sus ángulos 1. ∆ Acutángulo

a < 90° b < 90° q < 90°

2. ∆ Rectángulo

a + b = 90° a2 + b2 = c2

(T. Pitágoras)

3. ∆ Obtusángulo

b > 90° a < 90° q < 90°

LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS

Ceviana

BP : Ceviana interior. BQ : Ceviana exterior.

a) Mediana Si: M es punto medio de BC. AM: es mediana.

b) Bisectriz

BL: bisectriz interior

BT: bisectriz exterior

69

c) Mediatriz

M

M: es punto medio.

:

L mediatriz de AC

d) Altura

BH: altura

BL: altura

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula “x”.

2. Calcula “a”.

3. Si el triángulo ABC es escaleno, ¿cuántos triángu-

los se podrán formar con los valores enteros para las medidas del AC?

u u

PUCP4. Calcula “x”, si AB = BC y TC = TD

Solución: Como se forman isósceles, completamos de forma

ordena. m A m C 60 x⇒ = = ° +� �

m C m D 60 x= = ° +� �

⇒ x + 60° + x + 60° + x = 180…. ∆TDC x = 20°

70

5. Calcula “x”, si AB = BC y TC = TD.

6. Calcula FC si BC = 9m y BE = 4m.

7. Calcula “a”, si b + q = 200°.

UNMSM8. Calcular “x”

Solución:Por ángulo exterior 2q = x + 2a ⇒ x = 2(q – a) Acomodamos el gráfico:

Por propiedad:

x + 70° + a = 90° + q x + 70° = 90° + (q – a) (×2) ( )

x

2x 140 180 2+ ° = ° + q − a

x = 40°

9. Calcula “x”

10. Si AB = AR y PQ = PC, calcula 2 3k 3 3a + b=a − b

11. Si a + b + g = 400°, calcula “x”.

12. En un triángulo ABC; AB = 9m – x; BC = 2x – 12 m, además, m A m C>� � , calcula “x” si se sabe que es un número entero.

13. En un triángulo ABC, AB = 8m –x, BC = 3x-8 m; además m A m C>� � , calcula la suma de valores de “x” si es un número entero.

14. En un triángulo ABC, se cumple: AB = 2 m y AC = 32 m, calcula el perímetro del triángulo (en metros), sabiendo que es un número entero y que el ángulo “A” es obtuso.


71

Propiedades de los ángulos formados porlas líneas notables asociadas a un triángulo

PROPIEDADES

1. En la figura, I es el incentro del triángulo ABC.

x

Se cumple: mx 90 2= ° +

2. En la figura, E es el excentro del triángulo ABC.

x

Se cumple: nx 90 2= ° −

3. En la figura, E es el excentro del triángulo ABC.

Se cumple: ax 2=

4. En la figura: BH: altura, BL: bisectriz

Se cumple: m nx 2−=

5. En la figura L : mediatriz de AC, BL: bisectriz

L


6. En todo triángulo rectángulo, BM: mediana relativa a la hipotenusa, BL: bisectriz relativa a la hipotenusa.


72

7. 8.

Se cumple: a bx 2+= Se cumple: m nx 2

+=

9.


Trabajando en clase

Integral

1. Calcula “x”, si m + n = 140°.

2. Calcula “x”, si a – b = 40°

Fx

3. Calcula “x”.

E

PUCP4. Calcular “x”

x

50°F

B

E

CD

A

bb

a a

Solución: Por propiedad del excentro

x

25°

50°F

B

E

CD

A

bb

a a

En el triángulo rectángulo DFE → x + 25 = 90°

x = 65°

5. Calcula “x”.

55°

73

6. Calcula “x”.

7. En la figura mBAC = 60° y mB-CA = 50° , calcula la mDIC .

UNMSM8. Calcula “x”.

26°

Solución:Por propiedad del incentro

26x 90 1032°= ° + = °

9. Calcula “x”.

10. Calcula “x”, si es excentro del

triángulo ABC.

11. Calcula “x”, si es incentro del triángulo ABC.

12. Se tiene un triángulo equilátero donde la distancia del incentro a la recta que une los puntos me-dios de dos lados del triángulo, es 2m. Calcula la longitud del lado del triángulo.

13. Se tiene un triángulo equi-látero donde la distancia del incentro a la recta que une los puntos medios de un lado del triángulo es 8m, calcula la lon-gitud del lado del triángulo.

14. En el triángulo ABC de incen-tro “I” y excentro “E” relativo al lado AC, se sabe que>

mAIC = 5 mAEC. calcula mAEC.


Congruencia De Triángulos – Criterios De Congruencia

74

CONGRUENCIA DE SEGMENTOS

CONGRUENCIA DE ÁNGULOS

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

La idea intuitiva de congruencia para un par de figuras cualesquiera es siempre la misma; dos figuras F y G son congruentes si una puede moverse de modo que coincida con la otra. Por lo tanto, dos círculos de igual radio son congruentes, así como también lo son un par de cuadrados de igual tamaño.

Del mismo modo, dos segmentos de la misma longitud siempre son congruentes.

Si AB = PQ AB PQ→ ≅

Así como se define la congruencia de los segmentos en función de su medida, para los ángulos también se define en términos de medidas. Entonces:

De acuerdo con la figura, si m AOB m PQR∠ = ∠ Luego: AOB PQR∠ ≅∠

Dos triángulos son congruentes si los seis elementos del primero tienen una relación de congruencia con los seis elementos del segundo entre lados y ángulos.

75

De acuerdo con la figura, si AB PQ;BC QR;CA PR≅ ≅ ≅ ,

además: BAC QPR, ABC PQR y BCA QRP∠ ≅∠ ∠ ≅∠ ∠ ≅∠

Entonces: Para los problemas, usaremos los criterios de congruencia para poder determina la relación de igualdad de las medidas de sus elementos, y estos son:

• Angulo-lado-ángulo (ALA)

• Lado-ángulo - lado (LAL)

• Lado –lado – lado (LLL)

l l

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Para que dos triángulos rectángulos sean congruentes, es suficiente que dos elementos del primero sean congruentes con dos elementos del segundo a partir de los ángulos rectos.Si:

Entonces:ABC PQR∆ ≅ ∆

Si:

Entonces: ABC PQR∆ ≅ ∆ .

76

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula el valor de “x + y”

2y + 10 m

2. Calcula el valor de “x + y”

3. Calcula “a + b”

2α

22°

PUCP4. Calcula “x”

Solución:

Completamos los ángulos de forma adecuada. Caso ALA

x = 2m + 7m = 9m

5. Calcula “x”

6. Calcula “x”

7. Calcula “x”

UNMSM

8. Calcula “x”

A

Solución: Construimos tomando en cuenta que un ángulo

es el doble del otro. x⇒ = a

x 40 2x 40 x 20∴ +a = °→ = °→ = ° 9. Calcula “x”

A

77

10. Calcula “x”, si AB = BE, BD = BC y AD = EC.

11. Calcula “x”, si ABCD es un cuadrado.

6

12. Se construyen exteriormente los triángulos equi-láteros AEB y BFC sobre los lados AB y BC de un triángulo escaleno, tal que AF ∩ CE = {P}. Calcu-la la APC

13. Calcula “x”, si ABC y CDE son triángulos equilá-teros.

P

14. En un triángulo ABC se traza la mediana BR tal que AB = AR, mRBC = 14°. Calcula mABR.


Aplicaciones de la congruencia de triángulos y triángulos rectángulos notables

78

TEOREMAS

1. Teorema de bisectriz

Si OM

; bisectriz del ∠AOB y R ∈ OM

Entonces: RP = RQ y OP = OQ

2. Teorema de la mediatriz

Si L : Mediatriz de AB y P ∈

L

Entonces: PA = PB o n = m

Propiedad En todo triángulo isósceles, la altura relativa a la

base es también mediana, bisectriz y forma parte de la mediatriz.

Si AB=BCEntonces:

alturamediana

BHbi sec trizsegmentodemediatriz

3. Teorema de los puntos medios y el de la base media

Si M es punto medio de AB y N lo es de BC, en-tonces: L //AC. Luego a MN se le denomina base

media del triángulo ABC y se cumple lo siguiente:

ACMN 2=

4. Teorema de la menor mediana en el trián-gulo rectángulo

Si “M” es punto medio de AC, se cumple:AM=MC=BM

79

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Exactos:

Aproximados

Triángulo rectángulo

El triángulo ABC es recto en B.

Se cumple: a + b = 90° También: a2 + c2 = b2 (Teorema de Pitágoras)

80

Trabajando en clase

Integral1. Calcula “x”.

2. Calcula “x”.

3. Calcula “x”

PUCP

4. Calcula “PQ”

Solución:

Trazamos QN//AC Observamos que por base media QN = 5 m m∠BNQ = a ∆PQN es isósceles PQ = 5 m

5. Calcula AB.

6. Calcula AC si BD = 10 m

7. Calcula AB si PQ = 4 m

UNMSM

8. Si el triángulo ABC es equilá-tero, calcula RS si

AP = PC = 8 3

Solución:Analizando los datos

x = 15 m 9. Si el triángulo ABC es equilátero,

calcula RS si: AP = PC = 4 3 m

10. Si: AB + AM = 12 cm y EM = 9 cm, calcula MB.

11. Si AB = 12 m y AH = 7 m. Calcula PQ.

12. En un triángulo ABC se trazan las altu-ras AD y CE (E ∈ AB y D ∈ BC). Si M es punto medio de AC y mEMD = 72°, calcula: mMEC + mADM.

13. En un triángulo ABC se trazan las alturas AD y CE (E ∈ AB y D ∈ BC). Si M es punto medio de AC y mEMD = 82°, calcula

mMEC + mADM.

14. En un triángulo ABC, la mediatriz relativa al lado AC corta en el punto P al lado BC y en M al lado AC. Si AP y MB se intersecan en Q. Calcu-la AQ si MQ = QB y BP = 4 cm.


81

Polígonos y perímetrosPOLÍGONO

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Es aquella figura que se forma al unir tres o más puntos no colineales de un mismo plano, mediante segmentos de recta, limitando una única región del plano. A dichos puntos se le denomina vértices, y a los segmentos, lados del polígono.

A. Según su región interior a) P. convexo

ABCD… H es un polígono convexo

b) P. cóncavo

ABC… I es un polígono cóncavo o no convexo.

Elementos:Vértices: A, B, C, D, E, F, y GLados: AB,BC,CD;....GA

Elementos asociados:Diagonal: AC,AD,AE ….Diagonales medias: PQ….

Notación:Polígono ABCD…G.

Medidas de los ángulos asociados:Interiores: 1 2 3, 7, , ...,a a a aExteriores: 1 2 3 7, , ...b b b b

Perímetro (2p)2p AB BC ... GA= + + +

B. Según las medidas de sus elementos a) P. equilátero

b) P. equiángulo

82

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS EQUIÁNGULOS

• Suma de las medidas de los ángulos interiores

m 1 2 3S ...= a + a + a

( )mS 180 n 2= ° −

• Número total de diagonales

Dn(n 3)N 2

−=

• Número total de diagonales medias

Dmn(n 1)N 2

−=

c) P. regular

ABCDEF es un hexágono regular de centro O y ángulo central cuya medida es q.

C. Según el número de lados

• Suma de las medidas de los ángulos exteriores

m e 1 2 3S ...∠ = b + b + b + m eS 360∠ = °

• Suma de las medidas de los ángulos centrales En todo polígono regular, la suma de las medidas

de sus ángulos centrales es igual a 360°.

m cS 360∠ = °

• Medida de un ángulo interior

180 (n 2)m i n° −∠ =

• Medida de un ángulo exterior

360m e n∠ =

• Medida de un ángulo central

360m c n°∠ =

83

Trabajando en clase

Integral

1. ¿Cuál es el polígono que al aumentar en 2 su nú-mero de lados, su número de diagonales aumenta en 17?

2. ¿Cuál es el polígono que tiene el mismo número de lados y de diagonales.

3. ¿Cuál es el polígono que al disminuir en 3 su nú-mero de lados, su número de diagonales disminu-ye en 18?

PUCP

4. Si ABCD y CDEFG son polígonos regulares, cal-cula “x”.

Solución Sabemos que al ser polígonos regulares se cumple

que ángulos y lados son iguales.

( )180 4 2B 4−

= b = 90°

( )180 5 25

−q =

q = 108°

2x w 180 x⇒ + = → =

5. Si ABCDE y FGHIDE son polígonos regulares,

calcula “x”.

6. Si la suma de los ángulos internos, externos y cen-trales es 1980°, calcula el número de vértices de dicho polígono.

7. Si la medida de un ángulo interior es igual a la medida del ángulo exterior aumentado en 100°, calcula el número de lados del polígono.

UNMSM

8. Si en un polígono regular ABCDE... la mACE = 140°, ¿cuántas diagonales medias tiene?Solución:

Graficamos adecuadamente:

180 140 4 10⇒ = + a → a = °

Hallamos n → exterior = 3602 na = ⇒ n = 18 lados

Piden ( )n n 12− = 153 diagonales medias.

9. En un polígono regular ABCDE.. la m ACE 149,=

¿cuántas diagonales medias tiene?

10. Los puntos A, B y C son tres vértices consecutivos de un polígono regular de 15 lados. Calcula los 3/2 de la medida del ángulo ABC.

84

11. Si ABCDE es un polígono regular y EF es paralelo a AB, ¿cuál es la medida del ángulo “a”

12. Si un polígono convexo equiángulo. ABCDEF, AB = 7 m, CD = 6 m y DE = 8 m, calcula BF.

13. En un polígono convexo equiángulo ABCDEF, AB = 3 m, CD = 10 m y DE = 4 m, calcula BF.

14. Si la suma de las medidas de cinco ángulos in-ternos de un polígono convexo es 760°, calcula la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes.


85

CuadriláterosCUADRILÁTEROS

CLASES

Es una figura cerrada formada por cuatro segmentos, donde la suma de las medidas de los ángulos internos es 360°.

m A m B m C m D 360∠ + ∠ + ∠ + ∠ = °

I. Paralelogramos 1. Romboide

En la figura se cumple:1. AB//CD y AD//BC2. O es punto medio de BD y AC3. AB = CD =l, BC = AD = a4. m A m B 180 ,m C m D 180∠ + ∠ = ° ∠ + ∠ = °5. m A m C,m B m D∠ + ∠ ∠ = ∠

2. Rombo

En la figura se cumple:1. AB = BC = CD = AD2. AC BD⊥

3. Rectángulo

En la figura se cumple:1. m A m B m C m D 90∠ = ∠ = ∠ = ∠ = °2. AB = CD y BC = AD

4. Cuadrado

86

En la figura se cumple:1. m A m B m C m D 90∠ = ∠ = ∠ = ∠ = °2. AB = BC = CD = AD3. AC BD⊥

II. Trapecio Es un cuadrilátero que tiene dos de sus lados pa-

ralelos y son llamados “bases”.

180a + q = °

180b + ω = °

Si BC//AD entonces ABCD es un trapecio. BC y AD → Bases BH → Altura AB y CD → Lados oblícuos o no paralelos

Clasificación de los trapecios Se clasifican según la longitud de sus lados laterales. 1. Trapecio escaleno

Es aquel trapecio cuyos lados tienen diferente longitud.

2. Trapecio rectágulo Si mABC = mBAD = 90°, entonces

ABCD es un trapecio rectángulo.

180a + b = °

2. Trapecio isósceles Sus lados oblícuos miden igual.

∴ mBAD = mCDA ∧ mABC = mBCD

Teorema 1 En todo trapecio, la base media es paralela a

las bases y su longitud es igual a la semisuma de ellas.

MN//BC//AD

a bx 2+=

Teorema 2

En todo trapecio, el segmento que une los puntos medios de las diagonales es paralelo a las bases y su longitud es igual a la semidife-rencia de las medidas de sus bases.

PQ/ /AD/ /BC

b ax 2−=

Advertencia Pre El trazo clásico en un trapecio se hace paralelo a

uno de los lados oblicuos, generando así un para-lelogramo.

87

Trabajando en clase

Integral

1. En un cuadrado ABCD, se construye interior-mente un triángulo equilátero AED.

Calcula: mCED.

2. Si en un rombo ABCD, AB = 5u y m A 53 ,= ° ¿cuánto mide la altura BH relativa a CD?

3. Calcula “x”.

PUCP

4. Si ABCD es un romboide y AB=18m. Calcula “x”.B E

NMx

A Da

a

C

Solución: Completamos el gráfico con los datos y aplicamos

las propiedades de ángulos entre rectas paralelas.

18m18m

18naa

a aDA a + 18m

B

M Nx

E C

Calculamos “x”: xa + b

=a

9m2−

=

5. Si ABCD es un romboide y AB = 28, calcula “x”.

a a

B

A D

M Nx

E C

6. Calcula “x”.

7. ABCD es un rectángulo y BM y CN son bisec-trices, ¿cuánto mide la base media del trapecio BMNC?

UNMSM

8. Calcula “x”, si ABCD y DEFG son cuadrados.C

G H F

EDA

B

x

Solución: AB = CD GD = DE

C

G H F

EDA

B

xb

a

a + b a

b

q

qb

⇒

AGD CDE∆ ≅ ∆

90⇒ q + b = °

AED x 90∴ = = q + b =

9. Calcula “x”, si ABCD y DEFG son cuadrados.C

EFH

2x

DG A

B

10. Si QP//RS y QR=9cm; RS = 8cm, calcula QP.

88

11. Si ABCD es un trapecio, CB = CD = 1m; BD = 3 m y la medida del ángulo BAD es 45°, calcula la me-dida del ángulo ADB.

12. En un romboide ABCD (AB

89

Propiedades fundamentales, teoremas de radios; Poncelet y posiciones relativas en la

circunferencia

DefiniciónEs un conjunto infinito de puntos de un plano, que equidistan de otro punto fijo del mismo plano llamado centro.

CírculoEs la reunión de una circunferencia y su región inferior.

Del gráfico observamos

A

T

L1 M

N

L2B

O

PE

FQ

C

1. Centro : «O»

2. Radio : OA3. Diámetro : AB4. Cuerda : PQ5. Arco : BC

6. Flecha o sagita : EF7. Recta tangente : L18. Recta secante : L29. Punto de tangencia : «T»

10. Sector circular : BOC

11. Segmento circular : MN

RadioSegmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

CuerdaSegmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Diámetro o cuerda máximaEs una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Propiedades1. Si «T» es punto de tangencia, entonces: OT ⊥ L1 .

TO

L1

2. Si A y B son puntos de tangencia, entonces.

A

P

B

O

PA=PB

También: si «O» es centro. PO es bisectriz de ∠APB

3. Si OM ⊥ AB entonces:

A M

O

B

AM = MB

90

4. Si AB = CD entonces.

A C

B D

a bOa = b

5. Tangentes comunes interiores.

C

AD

B

AB = CD

6. Tangentes comunes exteriores.

AB = CD

C

A

D

B

7. Si A y B son puntos de tangencia.

C

A

B

xºx = 90

8.

a

ba = b

9. Si «M» es punto medio de AB.

AM B

O O1

xºx = 90º

10. En circunferencias concéntricas.

BA

C

F

TO

D E

11. En circunferencias concéntricas.

A

B

C

D

OAB = CD

12. Teorema de Poncelet.

A

B

C

a bO r

a + b = c + 2r

13. Teorema de Pithot.

A

a

B xC

b

Dy

a + b = x + y = p

Donde: P: semiperímetro del cuadrilátero

91

Trabajando en clase

Integral

1. Del gráfico, calcula «x» si «T» es punto de tangen-cia. («O» es centro)

A

T

xO B C

10º

2. Del gráfico, calcula la longitud de la flecha, si AB = 48 m. («O» es centro).

A

O B25m3. Del gráfico, calcula «PA», si «O» es centro y, A y B

son puntos de tangencia.

A

B

O6m74º

P

PUCP

4. Calcula «a» si «T» es punto de tangencia y «O» es centro.

A

T

O D

B

Ca

32º

Resolución:

A

T

O

R

R D

B

Ca

32º32º 64º

a) Trazamos el radio a la tangente → OT ⊥ BC → AO = OT = «R» → AB // OT

b) Aplicando la propiedad de paralelas m∠ATO = m∠BAT = 32º c) Por ángulo exterior: m∠TOC = 64º ∴ 64 + a = 90º → a = 26º

5. Del gráfico, calcula «b» si «T» es punto de tangen-cia y «O» es centro.

A

T

O D

B

Cb40º

6. Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º y el lado mayor mide 4 m. Calcula la media del radio de la circunferencia inscrita en este triángulo.

7. Si la mediana de un trapecio circunscrito a una circunferencia mide 6 m, calcula el perímetro del trapecio.

UNMSM

8. La circunferencia C1 y C2 de centro O y O’ res-pectivamente son tangentes exteriores y los seg-mentos de recta AM y LA son tangentes a estas. Si OA = 18 cm y el radio C1 mide 9 cm, ¿cuánto mide el radio de C2?

Resolución: Y Dibujamos correctamente Y Trazamos el radio de la tangente

O 9

9m

M

L

R O’2R

A30º

R

32º

92

Y Si OA = 18 cm se forma

M

O

A9 3

18

30º

∴O’A = 2R y OO’ = 9 + R ⇒ 9 +R + 2R = 18 → R = 3cm

9. Del gráfico, calcula «R» si 12 cm y L, Q, M y P son puntos de tangencia.

O

M P

L

Q

A

6cm

O’

10. En la figura AB = 9 m y AC = 41 m, calcula la medida del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. («O» es centro)

B

A

R

C

11. Por un punto «P» que dista 100 m del centro de una circunferencia de radio 60 cm, se trazan tan-gentes a la circunferencia denotados por «Q» y «R» a los puntos de tangencia. Determine la lon-gitud del segmento QR.

12. Las longitudes de dos circunferencias coplanares están en relación de 5 a 2 y su suma es 14 pm; si la distancia entre sus centros es dos veces la di-ferencia de sus radios, podemos afirmar que las circunferencias son:

13. Las longitudes de 2 circunferencias coplanares es-tán en relación de 7 a 3 y su suma es 20 pm; si la distancia entre sus centros es 2 veces la diferencia de sus radios, podemos afirmar que las circunfe-rencias son:

14. En un triángulo ABC se cumple que AB = BC = 5 cm y AC = 6 cm. Encuentre la longitud de la circunferencia que pasa por los puntos A y C sabiendo que los lados AB y BC son tangentes a dicha circunferencia.

9

O


93

Ángulos asociados a la circunferencia

1. Ángulo centralA

B

O xº xº x = mAB

2. Ángulo inscrito

A

C

A

2xºxº x = mAB2

3. Ángulo semi-inscrito

x = mAB2

A

B

2xº

xº

4. Ángulo ex – inscrito

x = mABC2

A

C B2xº

xº

5. Ángulo interior

A

B

m

C

nºxº

D

x = m + n2

6. Ángulo exterior

a)

x = m - n2P xº nº

A

B

mº

b)

x = m - n2

P xºnº

B

C

A

mº

c)

x = m - n2P

xº nº

B

D C

Amº

Propiedades1. De un ángulo exterior.

xº yº

x + y = 180º

94

Recuerda

Existe el cuadrilátero inscriptible y es todo cuadrilátero que cumple las

propiedades del cuadrilátero inscrito.

2. Si AB = CD; entonces: AB ≅ CD

A

B C

D

3. Si AB // CD, entonces AB ≅ CD o PQ // AB ,

entonces AT ≅ TB

C

A

P

B

T Q

D

4. En toda circunferencia

A

Bx

y

Cx = y

5. Si «T» es punto de tangencia

A

T

B

yºx = y

6. En las circunferencias secantes congruentes.

A

M N

B

mAMB =nANB

7. En toda semicircunferencia.

A

B

O C

xº

x = 90º

En todo cuadrilátero inscritoa) Los ángulos opuestos son suplementarios.

A

B

CDxº

yº

x + y = 180º

b) Un ángulo interior es congruente al opuesto exterior

B

C

DAxº

yº

x = y

c) Las diagonales son los lados opuestos forman ángulos congruentes.

B

C

DA

xº

yº

x = y

95

Trabajando en clase

Integral

1. Del gráfico, calcula «x» si «O» es centro.

AB

C

x20ºO

2. Del gráfico, calcula «x» si «O» es centro y «T» es punto de tangencia.

AT

B

70º

O

x

3. Del gráfico, calcula «x» si A, B, C y D son puntos de tangencia.

A

M

D

B

N

C

40ºx

P80º

PUCP

4. En la figura, calcula «x» si «O» es centro.

E O B

DA

C30º

x

Resolución:

E D B

D

A

C

30º

90º45ºx

A

DC

P

M

B T

N

Resolución:

A

DC

P

M

B T

N

x

2a2a90-a

Como MN // AT ⇒ mMB = mTN = 2a

Como CD = AD ⇒ mCM = mMT = 2a

Por ángulo exterior: 90 - a = x + 2a - 4a

2 ∴ x = 180º

9. En la figura MN // AT y CP = PA.

Calcula mDN2

A

T

N

M

P

C

D

i) Por ángulo central mAB = 90º

ii) Por ángulo inscrito m∠A-DB = 45º

iii) Por propiedad: . 45º + x = 30º + 90º x = 75º

5. En la figura, calcula «x» si «O» es centro.

A O

E

B20º

xC

D

6. En la figura, calcula «x».

AB

ED

C40ºx

7. Calcula la mAB si a + q = 100º; A y C son puntos de tan-gencia.

A

q

D

B

Ca

UNMSM

8. En la figura MN // AT y CD = DA. Calcula mNP.

2a

aa

96

10. En la figura, BD = BC y la me-dida del arco AD es igual a 5x. Calcula el valor de «x».

A

D

B C20º

11. De la figura, calcula «x» si m – n = 60º (P y Q son puntos de tangencia)

N

m

YQ

P AnT

O x

12. De la figura, calcula «x» si «O» es centro.

A O B

D

EC

Fx

13. De la figura, calcula «x» si «O» es centro y mDE = m EB

A

D

CF

E

BO

3x

14. De la figura, calcula «x».

M Bx

CD

E

F

GH

A


97

Líneas proporcionales

Razón de segmentosEs el cociente de las longitudes de dos segmentos expresados en las mismas unidades de longitud.Así, la razón de AB y CD, es el número Ab / CD.

Nota:

Sea a y b dos números.Luego: a – b = r Razón aritmética a/b = K Razón geométrica

Segmentos proporcionalesSe denomina así a dos pares de segmentos que tienen razones geométricas de igual valor numérico.Sean los segmentos: AB, CD , MN y PQ

Luego: AB / CD = r1 MN/PQ = r2

Si: r1 = r2 ⇒ AB/CD = MN/PQ

Teorema de ThalesTres o más rectas paralelas determinan en dos rectas secantes o transversales a ellas segmentos proporcionales. Si: L1//L2 //L3

L4// L5 : transversal

Entonces: ABBC

DEEF=

También: ACAB

DFDE=

Forma práctica:Si: L1//L2 //L3

Propiedades1. ∆ABC, si L // AC

Entonces: BMMA

BNNC=

Forma práctica: Si: MN // AC

2. ∆ABC, si L // AC

Entonces: BMMA

BNNC=

Forma práctica Si: MN // AC

Teorema de la bisectrizEn todo triángulo, los lados adyacentes a una bisectriz son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativo.1. ∆ABC: CM bisectriz interior

Entonces: ab

mn

=

L3

L4 L5

L1

L2

A

B

C F

ED

L3

L1

L2a

b bk

ak

A

M

B

N

C

L

A

bM

aB

N

C

bk

ak

L

A C

B

N M

A C

b

N Ma

B

bk

ak

B

a

C

b

AMm n

q q

98

Trabajando en clase

Forma práctica:

A

a

C

b

AMak bk

q q

2. ∆ABCD: (BC > AC): CM bisectriz exterior

Entonces ab

mn

=

Forma práctica

B A

a

C

bq

q

Mak

bk

B A

a

C

bq

q

Mm

n

Teorema de incentro

A C

B

Ib c

BIIM =

b+ca

Teorema de Menelao

Af

aM

b Bc

ND

C ed

a ⋅ c ⋅ e = b ⋅ d ⋅ (f)

Integral

1. Del gráfico, calcula «x» si L1//L2 //L3.

L3

L1

L2x+2m

x+6m x+3m

x

2. Del gráfico PQ // AC , 5BP = 3AP y BQ = 12 m. Calcula QC.

A

P

B

Q

C

Resolución:

Del corolario de Thales

D

A M B

N

C

x

10-x 3k

2k

2k3k

x10-x=

20 – 2x = 3x

20 = 5x

x = 4m

3. Si 2AB = 5AD, calcula «x».

A

B

x+1

a a

D x C

PUCP

4. De la figura 3MN = 2NC y DB = 10 m. Calcula «NB» si ABCD es un romboide.

D

A M B

N

C

99

5. De la figura, calcula EF si AF = 14 m y 11ED = 3BE.

A

B C

D

FE

6. Del gráfico, calcula «CD».

A C

8m

B aa

D

12m

10m

7. Del gráfico, calcula «CD».

1m4m

3mA C

E

B

F

B

UNMSM

8. En la figura, las rectas

L1, L2 y L3 son paralelas; ade-

más AO2

AB3

BC4= =

y MP =

15m. Calcula «MO».

L3

L1

L2

A M

ONB

P C

Resolución: Colocamos los datos en el pro-

blema:

L3

L1

L2

A M

ONB

P C

2k3k

4k15m

Por el corolario de Thales:

x

152k9k=

103x = m

9. En la figura, las rectas L1, L2 y L3 son parale-las; además, GE = 30 m y AB12

BC10

CD8= =

, calcula «CD».

L3

L1L2

A EF

B CG D

10. De la figura mostrada, calcula «x + y», si y – x = 6 m.

A

B

C

x

8m

10m y

Dqq

11. En la figura, calcula «DC» y ED = 8 m; 4AB = 3AD.

A

B

E

D C

q

qaa

12. ABC es un triángulo isósce-les (AC = BC). «I» es el incen-tro del triángulo si AB = 8 cm; AC = 10 cm, la distancia de «I» al lado BC es 3 cm y la prolon-gación de BI corta AC. En «M», calcule la longitud de BM .

13. ABC es un triángulo isósceles (AC = BC) «I» es el incentro del triángulo. Si AB = 16 cm y AC = 20 cm, la distancia de «I» al lado BC es 6 cm y la pro-longación de BI corta AC en «M». Calcula la longitud de BM.

14. En un triángulo ABC recto en «B» se traza la bisectriz BD . Por «D» se traza una perpen-dicular al segmento AC que intercepta a BC en «M».

Si AD = 3 m y DC = 4 m, en-tonces la medida del períme-tro del triángulo BMD será.

x


101

Ángulo trigonométricoDEFINICIÓN

Es aquella figura que se genera por la rotación de un rayo alrededor de uno de sus extremos, que es un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final)

DEFINICIONES COMPLEMENTARIAS

1. Ángulo positivoEs aquel que se obtiene cuando el rayo pasa de su posición inicial a su posición final en sentido antihorario.De esta manera la medida del ángulo trigonométrico será de valor positivo.

2. Ángulo negativoEs aquel que se obtiene cuando el rayo pasa de su posición inicial a su posición final en sentido horario. De esta manera la medida del ángulo trigonométrico será de valor negativo.

O α

3. Ángulo nulo:Es aquel que se obtiene cuando no hay rotación, de modo que sus lados inicial y final coincidan. La medida del ángulo nulo tiene un valor igual a 0°.

0°

102

4. Angulo de una vuelta: Es aquel que se obtiene cuando la posición inicial, luego de una rotación del rayo, coincide por primera vez

con la posición final.

O

Por definición el valor del ángulo trigonométrico es ilimitado, pues este depende de la magnitud de la rotación y a su vez estas pueden hacerse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos conocidos.

“Para sumar o restar ángulos trigonométricos, se recomienda colocar todos los ángulos en sentido antihorario, cambiando la rotación para que todos estén orientados en el mismo sentido”

Trabajando en clase

Integral

1. Completa en cada recuadro el sentido de rotación en que fue generado cada ángulo trigonométrico.

2. Asocia usando flechas:

Ángulo positivo

Ángulo negativo

3. Calcula “x” en función de los otros ángulos trigo-nométricos.

PUCP

4. Calcula “x”.

Resolución:

2x–20°

Del gráfico: ( ) ( )3x 20 2x 20 90+ ° + − ° = ° 5x 90= ° x 18= °

103

5. Calcula “x”.

5°–x

6. Calcula “q”.

7. Calcula “x” en función de q, a y b.

UNMSM

8. Calcula “x” si OC

es bisectriz

Resolución:

3x+40° = 5x – 30° 70° = 2x x = 35°

9. Calcula “x” si OC

es bisectriz

O

10. Calcula “y”

11. Señala el valor de “q” si ˆAOB es agudo y “x” adopta su máximo valor entero posible.

12. Calcula “x” en función de los otros ángulos trigonométri-cos mostrados.

13. Calcula “x” en función de los otros ángulos trigonométri-cos mostrados.

14. Si la medida de “q” es máxima, calcula el com-plemento de:

( )x 2x 3xx x x °a = + +


Sistemas de medición angular

104

se cumple se cumple se cumple

,

Tener en cuenta:

g m s g m s

a b 'c '' a b ' c ''

x y z x y z

° = ° + +

= + +

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS

Si queremos convertir medidas angulares de un sistema a otro, se multiplica dicha medida por un factor de conversión, resultando la medida en el sistema deseado. Estos factores de conversión equivalen a 1 y resultan de las siguientes igualdades: g9 10° =

180 rad° = π

g200 rad= π

Trabajando en clase

Integral

1. Indica la cantidad de segundos centesimales que tiene “α”

g m s2 3 4α =

2. Simplifica la siguiente expresión:

3 2 'L 2 '°=

3. Efectúa:10°51’48’’ + 22°31’42’’

105

PUCP

4. Calcula el valor de “x”

9

Resolución:

180rad. 209 radπ ° = °

π

( )7x 6 207x 14

x 2

→ + ° = °==

5. Calcula el valor de “x”

(8x + 16)°

6. Si un alumno al copiar 30° escribió 30g, ¿qué error cometió en radianes?

7. Calcula M en el sistema centesimal.

M rad 635π= + °

UNMSM

8. Calcula:

g30 24Drad60

+ °=π

Resolución:Convirtiendo los ángulos al sistema sexagesimal.

gg

930 . 2710° = °

180rad. 360 rad

π ° = °π

27 24 51D 173 3° + ° °= = =° °

9. Calcula el valor de:

g

rad 3245N40

π + °=

10. Si un ángulo mide (8x – 2)° y su suplemento mide 20xg, ¿cuál es el valor de “x”?

11. Calcula “x” en la igualdad:

( )( )x 5x '

rad62x 1 '

° ° π= +

12. Calcula:

3y 2xM 12−

=

5yg

13. Calcula:

3y 2xE 10−

=

°g

14. Calcula: a cb+ si se sabe que:

rad a 5b '5c ''37

π = °


Fórmula general de conversión

106

DEFINICIÓN

Es la relación existente entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Si en el gráfico adjunto tenemos el ángulo “ θ ”.

Sus medidas son:S° (en el sistema sexagesimal)Cg (en el sistema centesimal)Rrad (en el sistema radial)

La fórmula de conversión es:

S C R180 200= = π

En problemas de simplificación usar las siguientes fórmulas:

S 9kC 10k

kR 20

==

π=

Además, se cumple:• Número de minutos sexagesimales = 60 S• Número de segundos sexagesimales = 3600 S• Número de minutos centesimales = 100 C• Número de segundos centesimales = 10 000 C

Tener en cuenta:Para ángulos trigonométricos:C > S > R (para ángulos positivos)R > S > C (para ángulos negativos)

107

Trabajando en clase

Integral

1. Siendo S y C lo convencional para un ángulo no nulos, simplifica:

3S 2CN C S

−=−

2. Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo no nulo, simplifica:

( )

2 S C 40RLC S

π − π +=− π

3. Señala la medida radial de un ángulo que verifica:

C S 4R2C S 11

− =− π

Siendo S, C y R lo convencional.

PUCP

4. Si: S = m + 3 C = m + 5

Calcula el valor de “m”

Resolución:9k = m + 310k = m + 5Dividiendo las ecuaciones: 9 k10 k

m 3m 5

+=+

9m + 45 = 10m + 30 15 = m

5. Calcula el valor de “M”, si se cumple: S = 2M C = 2M + 2

6. Siendo S y C lo convencional, calcula la medida de un ángulo en radianes, si se cumple:

S = x5 + x + 3 C = x5 + x + 5

7. Determina para qué ángulo en el sistema sexage-simal se cumple que:

2 2 2 2C S C S 40C S C S− −+ =− +

UNMSM

8. Calcula el ángulo en el sistema centesimal que cumple con S + C = 57Resolución:S + C = 579k + 10k = 5719k = 57k = 3C = 10k = 10(3) = 30∴ el ángulo es 30g

9. Determine el ángulo en el sistema centesimal, que cumpla con: 3C – 2S = 48

10. Señala la medida radial de un ángulo: S.C.R =

6π

11. Reduce: ( ) ( )2

2C S C S

P380R

π − +=

12. Si S, C y R es lo convencional para un mismo án-gulo, calcula R.

S + C + R = 383,1416

13. Señala aquel ángulo (expresado en el sistema radial) que cumple:

2S – C + 20R = 11.1416

14. Si la suma de los números de minutos sexagesi-males y centesimales, que contiene un ángulo, es igual a 1540, ¿cuál es la medida circular del ángulo?


Longitud de arco

108

DEFINICIÓN

Es una porción de circunferencia, limitado por dos radios o dos puntos de la misma.

Siendo:R: radio de la circunferenciaθ : ángulo central en radianesL: longitud de arcoDe donde:

L .R= θ

LRθ =

LR =θ

Tener en cuenta: Advertencia Pre:

1 4 2 3L .L L .L=

c

a bc−θ =

109

Trabajando en clase

Integral

1. En el siguiente sector circular, calcula la longi-tud del arco �AB .

2. Calcula la longitud el arco �AB

50g

3. Calcula el valor de “x”.

PUCP

4. Calcula �ABL

40g

Resolución:

g

grad40 . rad5200p p=

L .R= θ 2L .30m5p=

L 12 m= p

5. Calcula �MNL

6. Calcula 1 2L /L

7. Calcula 1 23

L LL+ .

L3

UNMSM

8. Se tiene un sector circular de 8cm de radio y 8cm de longitud de arco. Si el ángulo central se duplica y el radio aumenta en 3cm, ¿cuál será la nueva longitud de arco?Resolución:

L = θRL = θ.8 θ = 1

L = θRL = 2.11cmθ = 22cm

110

9. Se tiene un sector circular de 6 cm de radio y 12 cm de longitud de arco. Si el radio aumenta en 2 cm sin que el ángulo central cambie, ¿cuál será la nueva longi-tud de arco?

10. Calcula el valor de “L” si AB = 18cm

11. Calcula el valor de “x”.

12. La esfera “A” recorre los arcos L1 y L2. Calcula “x” si L1 + L2 = 12p

13. La esfera “N” recorre los arcos L1 y L2. Calcula “x” si:

L1 + L2 = 5p

14. Calcula: �

�

OB

BC

LM L= si O y O1 son centros.


111

Área del sector circular

DEFINICIÓN

S

L: longitud de arcoq: número de radianes del ángulo centralR: radio de la circunferenciaS: superficie o área del sector circular

21S R2= q

1S L.R2=21 LS .2= q

Nota: El uso de una fórmula u otra dependerá de los datos que presentan los ejercicios, además para que el sector circular este definido se debe cumplir: 0 < q < 2p.

Tener en cuenta: Advertencia pre:

( )a b cS 2

+=

112

Trabajando en clase

Integral

1. Si en un sector circular el ángulo central mide 18° y su radio mide 20 cm, ¿cuál es su área?

2. Si en un sector circular el arco mide 3 y el radio mide 10 cm, ¿cuál es su área?

3. Calcula el área del sector circular mostrado.

PUCP

4. Calcula el área de la región sombreada.

O

Resolución: rad15 . rad180 12

p p° =°

( ) ( )221 1S 6 2 32 12 2 12p p= −

36 12S 24 24p p= −

224S cm24

p= = p


O

6. Si AOD y COB son sectores circulares, calcula: 12

Sk S=

D

7. Calcula el área de la figura sombreada.

UNMSM

8. Se tiene un sector circular de área “S”. Si el ángulo central se triplica y el radio se duplica, ¿cuál es el área del sector circular que se genera?Resolución:

α

21S m2= α

( ) ( )21A 3 2m2= α

21A 12 m2

= α

A = 12S

9. Se tiene un sector circular de área “S”. Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, ¿cuál es el área del nuevo sector circular que se genera?

10. Calcula:

113

11. Calcula el área sombreada.

12. Calcula “x” si AOB y COD son sectores circulares.

13. Si AOB y COD son sectores circulares, calcula “L”



Razones trigonométricas de ángulos agudos I

114

Son aquellos símbolos matemáticos que se aplican a los ángulos. En este capítulo estudiaremos a seis de ellos.

Operador AbreviaturaSeno SenCoseno CosTangente TanCotangente CotSecante SecCosecante Csc

OPERADORES TRIGONOMÉTRICOS

RAZÓN TRIGONOMÉTRICA

La razón trigonométrica en un triángulo rectán-gulo, es el valor que se obtiene al comparar dos lados de dicho triángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.

Sea un triángulo ABCA

B C

Donde: a y c son catetos b es hipotenusa a y b son los ángulos agudos

2 2 2b a c= + (Teorema de Pitágoras)

Calculamos las seis razones trigonométricas res-pecto a “a”.

Catetoopuesto aSen Hipotenusa ba = =

Catetoadyacente cCos Hipotenusa ba = =

Catetoopuesto aTan Catetoadyacente ca = =

Catetoadyacente cCot Catetoopuesto aa = =

Hipotenusa bSec Catetoadyacente ca = =

Hipotenusa bCsc Catetoopuesto aa = =

115

Trabajando en clase

Integral

1. Si en triángulo rectángulo se sabe que la hipote-nusa es el triple de uno de los catetos, calcula la tangente del mayor ángulo agudo.

2. Si en un triángulo rectángulo los lados mayores miden 13 cm y 12 cm, calcula el coseno del mayor ángulo agudo.

3. Si los catetos de un triángulo rectángulo son x – 1 y x + 1 y su hipotenusa es x + 3, calcula la tangente del menor ángulo agudo.

PUCP

4. Calcula E = Cota – Tanq

Resolución:

Piden: Cota – Tanq

4 m m3 3+ −

4 m+ m− 4

3 3=

5. Calcula: Cota – Cotq

6. Si se tiene un triángulo rectángulo ABC

B 90∧ = °

, reduce Q a.TanC b.CosA= −

7. Si se tiene un triángulo ABC, recto en A, reduce:

N a.SenB c.CotC= +

UNMSM

8. Si se tiene un triángulo ABC, recto en A, reduce: Q = a.CscB – c.TanC

Resolución:

Pitágoras: a2 = b2 + c2

Piden: Q a.CscB c.TanC= −

a cQ a. c.b b= −

2 2a cQ b b= −

2 2 2a c bQ bb b−= = =

9. Si se tiene un triángulo ABC, recto en A, reduce:

2 2M Sen B Sen C 1= + +

10. Calcula “Cotq”.

116

11. Calcula “Tana” si ABCD es un cuadrado.

12. Calcula el valor de Cotq.

13. Calcula “Tana”

x

14. Calcula: Cota + 2Cosa(O: centro)


117

Razones trigonométricas de ángulos agudos II

Recuerda: CO CASen CotH CO

CA HCos SecH CACO HTan CscCA CO

a = a =

a = a =

a = a =

H: Hipotensusa CO: Cateto opuesto CA: Cateto adyacente

“Como las razones trigonométricas solo dependen de la medida del ángulo, si conocemos el valor de una de ellas, las restantes pueden calcularse construyendo un triángulo rectángulo.

DEFINICIÓN

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula “Tan a ”, si 5Sen 13a = (a es agudo).

2. Si Cotq = 0,3333…. y q es agudo, calcula:( )M 10 Sen Cos= q+ q

3. Calcula: ( )( )

TanM

Cotq+ a

=b + q

PUCP

4. Si “x” es un ángulo agudo, para el cual se cumple Cscx = 29

21, calcula el valor de: E = Secx + Tanx

Resolución:

H29Cscx 21 CO←=←

Por Pitágoras:

2 2 2m 21 29+ =

m =20 Piden:

E = Secx + Tanx

29 21E 20 20= +

50E 205E 2

=

∴ =

5. Si 17Csc 15q = y q es agudo, calcula:

N 15Cot 17Cos= q+ q

6. Si en un triángulo rectángulo el seno de uno de sus ángulos agudos es 0,28 y el perímetro del triángulo es 168 m. Calcula la longitud del cateto mayor.

7. Si el perímetro de un triángulo rectángulo es 210m y la tangente de uno de sus ángulos agu-dos es 2,4, calcula el cateto menor.

118

UNMSM

8. Calcula “SenA” si en un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple: 2SenA = 3SenBResolución:

Dato: 2SenA = 3SenB

a2.c

b3.c

=

a 3ka 3b 2 b 2k

== ⇒=

Por Pitágoras:

Piden: 3 kSenA =13 k

313

=

9. Calcula: E 13CosA 3CotB= + , si en un triángulo ABC, recto en C, se cumple:

SecA 2SecB 3=

10. Calcula: Tanq.

11. Calcula el perímetro de un triángulo ABC, recto en A, si se cumple que TanB = 0,75, además:

a – b = 6 m

12. Si ABCD es un cuadrado, calcula Cotq si se sabe que Cota =2,4

13. Si ABCD es un cuadrado, calcula Cota si se sabe

que Tanb = 815

14. Calcula “Seca”, siendo “a” el mayor de los ángu-los agudos de un triángulo rectángulo cuyos la-

dos son a – b, a + b y 2 2a b+


119

Razones trigonométricas de ángulos notables

Los triángulos rectángulos de ángulos notables o simplemente triángulos rectángulos notables, son aquellos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se puede saber en qué proporción se encuentran sus lados.Destacan:

k45º

45º k 2k 2a

30º

60º

a 3

a

4n37º

53º 5n3n

A partir de estos triángulos, se calculan las razones trigonométricas de sus correspondientes ángulos:

45º < > p4

30º < > p6

60º < > p3 37º 53º

Sen12

12

32

35

45

Cos12

32

12

45

35

Tan 113 3

34

43

Cot 1 313

43

34

Sec 223 2

54

53

Csc 2 223

53

54

120

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula: M = Tan45º + 2Cos60º - 8Csc53º

2. Calcula: E = (Sec45º)

Sec60º + (Cot30º)Sec60º4Tan37º

3. Halla el valor de «α» sabiendo que es un ángulo agudo.

Tan(α + 5º) = 2Sen30º+Sec245º

PUCP

4. Calcula Tanα

A 10 B

C

α5 2

135º

Resolución:

A

5

510 B

C

E45ºα

52

135º

Del triángulo ACE

A E

C

15

5α Tanα =

515

= 13

5. Obtén el valor de Tanx.

P 6

10

R

Q

120º

6. Calcula 8Tanθ

A 14 C

10

53º

B

θ

7. Si Tanα = Sen30º + Cot45º Calcula: E = 13 Sen α - Tan(90º - α)

UNMSM

8. Calcula Cotα

60ºM

B

A

αO

Resolución:

60º 30º30ºM

B

A

α

O

r=2m

r=2mr2

3 m

3 m

3 m

Sea r = 2m Del triángulo MBO.

α2m

3 m Cotα = 3m

2m = 3

2

9. Calcula TanΨ (BC = 2PC)

AO

P C B

120º

M

B

O

Ψ

121

10. Calcula Cot θ

B

A

C

108

D2

60ºθ

11. Calcula: E = Cot θ - Cot α

C

DB

O

37º

θα

12. Halla Senx Cscy

37º 45º

yx

13. Halla el valor de: Cscα ⋅ Senθ.

53º 60º

θα

14. Calcula Tanα

127ºO

A

B

Cα

D


122

Propiedades de las razones trigonométricas

Tomando un triángulo ABC recto en C como referencia:

A

B

C

c

b

a

I. Razones recíprocas (inversas) Son aquellas parejas de razones trigonométricas

cuyos valores son inversos, por ejemplo: Senα = a

c ∧ Cscα = c

a

⇒ Senα . Cscα = ac

⋅ ca

= 1

En conclusión: Senα . Cscα = 1 Cosα . Secα = 1 Ángulos iguales

Tanα . Cotα = 1

II. Razones complementarias (co – razones) Se caracterizan por tener igual valor numérico

solo si sus ángulos suman 90º, por ejemplo:

SenA = ac

∧ Cos B = ac

⇒ SenA = Cos B

En conclusión: SenA = CosB TanA = CotB A + B = 90º SecA = CscB

También se puede afirmar:

R.T. (θ) = Co – R.T. (90º - θ)

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula «x» si: Cos(3x – 12º) . Sec(x + 36º) = 1

2. Calcula «y» si: Sen(y + 10º) = Cos(y + 20º)

3. Calcula Cos3x, si: Tan(5x) . Cot(x + 40º) = 1

PUCP

4. Halla Sen(x + 12º), si: Tanx . Tan72º = 1

Resolución: Tanx . Tan72º = 1 Tanx . Cot18º = 1 ⇒ x = 18º Piden: Sen(x + 12º) = Sen30º = 1

2

5. Halla Cos(x + 35º), si: Tan2x . Tan40º = 1

6. Halla Tan3x, si: Sen(2x + 30º) = Cos(80º - 3x)

7. Calcula:

E =Sen10Cos80 +

2Tan 20ºCot70º

3Sec40ºCsc50º-

x

123

UNMSM

8. Calcula: E = (2Sen70º + Cos20º)(Sec20º + Csc70º) Resolución: E = (2Sen70º + Cos20º)(Sec20º + Csc70º) E = (2Sen70º + Sen70º)(Csc70º + Csc70º) E = (3Sen70º)(2Csc70º) E = 6Sen70ºCsc70º E = 6 (1) E = 6

9. Calcula: (4Sen26º + 3Cos64º)(Csc26º + 2Sec64º)

10. Si se cumple:

Tan Cot θ2

⋅ Cot [Tan(2θ)] = 1

Calcula: K = - Tan(θ + 9º)Tan(θ + 1º)2

11. Si: Sen2x . Cos(37º + x) = Sen(53º - x) . Cos3x Calcula: N = Tan2(3x + 6º) + Cot2(2x + 9º)

12. Si α y β son complementarios y además 16Senα = Secβ, calcula el valor de E = Cscα - 15 Cotβ

13. Si α y θ son complementarios y además 9Cosα = Cscθ, calcula el valor de:

Q = Secα + Cot2θ

14. Si α y β son complementarios y se verifica: Sen(α + p ⋅ Sen(α ⋅ β)) = Cos(β – pCos(α ⋅ β))

Calcula: E = 1α

+ 1β


124

Resolución de triángulos rectángulos I

Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado conocido y de un ángulo agudo de dicho triángulo.

m

mCosα

mSenα

αm

mSecαmTanα

α α

m

mCotα

mCscα

α

Caso 1 Caso 2 Caso 3

Regla general:Lado incógnita

Lado dato= R.T. (θ)

Lado incógnita = (Lado dato) × RT (θ)

Trabajando en clase

Integral

1. Halla «x» en función de los datos dados.

mx

θ


aα

x

3. Halla el área del triángulo mostrado en función de los datos mostrados.

m

α

PUCP4. Obtén el perímetro del triángulo mostrado.

A B

C

aψ

125

Resolución:

ABa = Tanψ → AB = a ⋅Tanψ

ACa = Secψ → AC = a ⋅Secψ

Piden: BC + AB + AC = a + a Tanψ + aSecψ = a(1 + Tanψ + Secψ)

5. Obtén el perímetro del triángulo mostrado.

b

θ


m

αx

7. Determina «x».

m

α

θ

x

UNMSM

8. Halla «x».

A Cm

B D

xθα

Resolución:

A Cm

B

α

BCm = Senα

BC = m⋅Senα

C

B D

xθ

mSenα

xmSenα = Cosθ

x = mSenα⋅Cosθ

9. Halla «x».

A Cn

B Dx

bΨ

10. Halla «x».

ab

x

126

11. En el rombo mostrado, calcula «x» en función de los datos dados (ABCD: rombo)

CB Lθ

D

x

A

12. En la figura, calcula «x» si D es punto medio de AC.

A

x

B

CD

P

αa b

13. Calcula «x».

A

B

x

CD

Pb

θα

14. Calcula:

E = Cotα + Cotθ1 + Cscα

(0 y O1 son centros)

O

θ

2α O1


127

Resolución de triángulos rectángulos II

Fórmula: Lado incógnita

Lado dato= R.T. (q)

Área de una región triangularSi en un triángulo se conoce la longitud de dos lados y la medida del ángulo que forman dichos lados, se puede calcular el área de la región triangular.

a b

S

qS = Senqab

2S : área

Integral

1. Halla el área sombreada.

4 5

S

30º

2. Calcula el área de la región triangular mostrada.

5

637º

3. Calcula el área de la figura sombreada.

3

2

52a

Trabajando en clase

PUCP

4. Calcula «x» en función de los datos dados.

CB

A x D

Lq

Resolución:

CB

A x D

LL

E

q

q

E

128

EB

A

Lq

BEL

= Tanq

BE = L⋅Tanq

ECL

= Cotq

EC = L⋅Cotq

E C

L

D

q

x = BE + EC

x = LTanq + LCotq x = L(Tanq + Cotq)

5. Halla «x»

CB

A x D

m

a


a b

xa ψ

7. Calcula «x» en función de a y L.

x

La

UNMSM


a b

x

A a

B

C

Resolución:

a b

x

A a

B

CD

x

B

Da

A

ADx

= Cota

AD = x ⋅ Cota

b

DCx

= Cotb

DC = x ⋅ Cotb

D C

B

x

AD + DC = a x ⋅ Cota + x ⋅ Cotb = a x(Cota + Cotb) = a

x = a

Cota+ Cotb 9. Halla «x» en función de los datos dados.

f

xq

m

E

129

10. Calcula «x» en términos de r y q.

rx

Oq

11. Calcula «x».

1

30º30º

2x

12. De la figura, determina «x» en términos de a, b y q.

a

x

bq

13. Calcula «x».

x

n

m

q

14. Calcula: Sen3aSena

a aa


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