Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la …€¦ · Ángulos formados por rectas...

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria

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Agenda

Sesión Tema Tiempo

00 CONOCIENDO GEOGEBRA 10 min

01 GEOMETRÍA ELEMENTAL 20 min

02 ANGULOS 20 min

03 TRIÁNGULOS 30 min

04 PUNTOS IMPORTANTES DEL TRIÁNGULO Y

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS 25 min

05 CUADRILATEROS 30 min

06 PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS 30 min

07 POLIGONOS Y ÁNGULOS EN LA CIRCINFERENCIA 25 min

08 POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA

CIRCUNFERENCIA 30 min

09 PERÍMETRO Y ÁREA y ALGO MÁS DE LA CIRCUNFERENCIA 30 min


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Actividades del curso-taller Sesión 00 Conociendo GeoGebra

Para el desarrollo del curso-taller se trabajará con el programa GeoGebra principalmente por

las siguientes dos razones:

a) Es una herramienta informática muy versátil y útil para el estudiantado y docentes de Matemáticas.

b) Es un software libre. GeoGebra es un software de Matemáticas que reúne geometría, álgebra y cálculo. Lo desarrolló Markus Hohenwarter en la Universidad Atlántica de Florida (Florida Atlantic University) para la enseñanza de Matemáticas escolar. Al abrir el GeoGebra aparece una ventana en la cual se pueden identificar cuatro secciones: Barra de herramientas, Ventana de Álgebra, Zona gráfica y Campo de entradas.

Captura de pantalla 1. Pantalla principal del GeoGebra.

Guiando con el mouse los útiles de construcción (modos) de la Barra de herramientas pueden construirse figuras sobre la Zona gráfica cuyas coordenadas o ecuaciones aparecen en la Ventana de Álgebra. En el Campo de entradas o Campo de texto pueden anotarse directamente coordenadas, ecuaciones, comandos y funciones que pasarán a representarse en la Zona gráfica al ingresarse pulsando la tecla “Enter”. Para el trabajo en este curso-taller se hará énfasis en la Zona gráfica y el menú de la parte superior de la pantalla. También se hará referencia a la Ventana de Álgebra, sin entrar en detalles sobre las ecuaciones de los objetos geométricos.


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Antes de hacer construcciones se hará un recorrido por las diferentes opciones que brinda el menú del GeoGebra:


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Sesión 01

GEOMETRÍA ELEMENTAL

TÉRMINOS INDEFINIDOS DE LA GEOMETRÍA: (PUNTO, LÍNEA Y PLANO)

PUNTO

Un punto sólo tiene posición en el espacio.

Es la unidad indivisible de la geometría.

No tiene ninguna dimensión (largo, alto, ancho)

LÍNEA Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.

LÍNEA RECTA

Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.

Notación: ó

LÍNEA CURVA

Si el punto cambia continuamente de dirección

entonces es una línea curva.

Notación:

Una línea puede ser recta, curva o combinada. Una línea cualquiera,

puede extenderse en forma ilimitada.

RAYO Línea recta que crece en un solo sentido y una dirección

TRAZO

Notación:

Línea segmentada, se caracteriza por dos puntos

terminales y se le asocia una dimensión (longitud)

PLANO

Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero

no espesor.

El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de

los casos que nos rodean que están en tres dimensiones.

La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos,

cuadriláteros, circunferencia, círculo.


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ÁNGULO

Es la figura formada por 2 semirectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se

llaman lados y el punto común vértice.

Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:

a) Una letra mayúscula en el vértice.

b) Una letra griega o un símbolo en la

abertura.

c) Tres letras

mayúsculas.

PARALELAS Y PERPENDICULARES

Las rectas paralelas son rectas que están en el mismo

plano y que nunca se intersecan. Se presenta un ejemplo

a la derecha.

Las rectas perpendiculares son rectas que están en el

mismo plano y que se intersecan en un ángulo recto.


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Sesión 02

ANGULOS:

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Sistema sexagesimal : Grados

Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un

grado sexagesimal.

Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de

ellas, a un minuto.

Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de

estas partes a un segundo.

Sistema Internacional de Unidades SI: Radianes

Una circunferencia se divide 2 pi radianes.

360º = 6,2836 rd

1 rd = 57.3 grados sexagesimales

TIPOS DE ÁNGULOS: ang

Cóncavo 0° < < 180°

Agudo 0° < < 90°

Recto = 90°

Obtuso 90° < < 180°

Convexo 180° < < 360°

Llano = 180°

Completo = 360°

Por ejemplo, el ángulo obtuso está comprendido entre 90° y 180°, no incluyendo estos valores.

PAREJA DE ÁNGULOS

Ángulos adyacentes

Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.

BAC es adyacente con DAC

Ángulos opuestos por el vértice

- Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el

vértice. - Son ángulos no adyacentes.

1, 2, 3 y 4


9

- Son ángulos congruentes:

1 = 2 y 3 = 4

Ángulos complementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es

que suman 90°.

El BAC es adyacente al DAC y viceversa.

Ángulos suplementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es

que suman 180°.

El BAC es adyacente al DAC y viceversa.

RECTAS PARALELAS:

Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.

Ángulos correspondientes entre paralelas.

1 = 5 2 = 6 3 = 7 4 = 8

Ángulos alternos externos entre paralelas.

1 = 7 2 = 8

Ángulos alternos internos entre paralelas.

3 = 5 4 = 6

Ángulos opuestos por un vértice

1 = 5 2 = 6 3 = 7 4 = 8

Son Suplementarios (suman 180°)

Ángulos contrarios o conjugados

1 = 3 2 = 4 5 = 7 6 = 8


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α

α’

β β'

γ γ'

A

B

C

Sesión 03

TRIANGULOS:

Clasificación según ángulos: > Rectángulo = 1 ángulo recto (90º)

> Acutángulo = 3 ángulos agudos (menores que 90º)

> Obtusángulo = 1 ángulo obtuso (mayor que 90º)

Clasificación según lados: > Equilátero = 3 lados iguales

> Isósceles = 2 lados iguales

> Escaleno = 3 lados distintos

PARA CUALQUIER TRIANGULO:

P = a + b + c

· α + β + γ = 180º

· α’ + β’ + γ’ = 360º

· ( α’ = β + γ ) ; ( β’ = α + γ ) ; ( γ’= α + β )

· Cada lado es menor que la suma de los otros dos lados.

· Cada lado es mayor que la diferencia entre los otros dos lados.

· Al lado de mayor medida se le opone el ángulo mayor.

· Al lado de menor medida se le opone el ángulo menor.

TRIANGULO EQUILATERO:

32

ah

34

aA

2

· Los 3 lados miden lo mismo

(a = b = c)

· Los ángulos miden 60º

(α = β = γ = 60º)

TRIANGULO ISOSCELES:

· 2 lados iguales (a = b) y una base (c)

· Los ángulos basales son iguales (α = β)

a b

c

C

B A α β

γ

h

a b

c

C

B A α β

γ

h


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TRIANGULO RECTANGULO:

Teorema de Pitágoras:

a2 + b

2 = c

2

Teorema de Euclides:

a2 = c*p

b2 = c*q

h2 = p*q

c

bah

*

Números pitagóricos: (a – b – c)

(3 – 4 – 5)

(5 – 12 – 13)

(8 – 15 – 17)

(7 – 24 – 25)

(20 – 21 – 29)

(12 – 35 – 37)

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:

DEFINICIÓN

Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.

RC

QB

PA

RQCB

PRAC

PQAB

PQRΔABCΔ


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POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.

LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.

LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales.

SEMEJANZA DE TRIANGULOS:

· Dos triángulos son semejantes si tiene los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes son congruentes.

· Criterios: > LLL = los 3 lados correspondientes proporcionales.

> LAL = 2 lados correspondientes proporcionales y ángulo entre ellos igual.

> AA = 2 ángulos correspondientes iguales.


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A

L M

C

B N

G

t b

t c

t a

Sesión 04

BARICENTRO:

Mediana es el segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto en un triángulo.

· Las 3 medianas se intersectan en un mismo punto y el triángulo queda dividido en 3 triángulos equivalentes (de igual área).

· Al trazar las 3 medianas el triángulo se divide en 6 triángulos equivalentes.

ORTOCENTRO:

· Altura es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

· Un triángulo tiene 3 alturas y se intersectan en un mismo punto.

INCENTRO:

Bisectriz es la semirecta que pasa por un vértice y divide el ángulo en dos ángulos congruentes.

· Un triángulo tiene 3 bisectrices y se intersectan en un mismo punto.

CIRCUNCENTRO:

Mediatriz es la recta perpendicular construida sobre el punto medio de cada lado del triángulo.

· Un triángulo tiene 3 mediatrices y se intersectan en un mismo punto.

A

C

B

h b

h c h a

L M

N

G

A

C

B

L M

N

I

A

C

B

L M

N

O


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TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Definición: Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se aplica; sólo pueden cambiarla de posición (la orientación o el sentido de ésta)

Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías)

Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en línea recta, manteniendo su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen tres elementos:

Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicua

Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo

Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura en un sistema de ejes coordenados es necesario señalar el vector de traslación. Éste es un par ordenado de números (x,y) donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical

Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican tres elementos:

El punto de rotación ( o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a efectuar la rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella.

Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el punto correspondiente en la figura obtenida después de la rotación

El sentido de giro, que puede ser obtenido ( en el sentido contrario al avance de los punteros del reloj)

Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de la figura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto correspondiente de la figura original y el centro de rotación.

Rotación de 90º (x,y) ------- (-y,x)

Rotación de 180º (x,y) ------- (-x,-y)

Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetría es el movimiento que transforma la figura de manera que cada punto P y su imagen P’ equidisten del eje de simetría

y el segmento 'PP sea perpendicular al eje de simetría

Nota:


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(1) Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial

(2) Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría central

Ejes de simetría: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje ésta se mantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ése es un eje de simetría de la figura.

El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambas diagonales son ejes de simetría del cuadrado.

También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sí mismo) si se refleja en torno a los ejes determinados por los puntos medios de lados opuestos

Estos ejes también son ejes de simetría del cuadrado.

El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría

En el caso de los triángulos, tenemos:

Tipo Ejes

Triángulo equilátero Tres ejes de simetría

Triángulo Isósceles Un eje de simetría

Triángulo Escaleno Ningún eje de simetría

En el caso de los cuadriláteros, tenemos:

Tipo Ejes

Cuadrado Cuatro ejes de simetría

Rectángulo Dos ejes de simetría

Rombo Dos ejes de simetría

Trapecio isósceles Un eje de simetría

Trapezoide Ningún eje de simetría

Nota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro es un eje de simetría del círculo.

Nota: En el caso de los polígonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetría como números de lados

Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de modo que éstas encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir


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Con rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o teselar. También es posible teselar con cualquier tipo de triángulos

Con polígonos regulares. La condición que debe cumplirse para recubrir una superficie es que los ángulos que convergen en cada vértice sumen 360°.

Nota: Los únicos polígonos regulares que permiten teselar son los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el plano


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TEOREMA GENERAL DE THALES

Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, entonces ellas determinan segmentos proporcionales en dichas transversales.

Hipótesis: lestransversaMyM

L//L//L

21

321

Tesis: 'C'B

'B'A

BC

AB

Nota: en una proporción es posible:

(a) alternar los términos medios

(b) alternar los términos extremos

(c) invertir las razones

(d) permutar las razones

(e) componer o descomponer la proporción respecto al antecedente o al consecuente de cada razón

Teorema recíproco del teorema general de Thales señala que:

“Si tres o más rectas son intersectadas por dos transversales, determinando en estas segmentos proporcionales, entonces las rectas son paralelas”

M1 y M2 transversales

321 L//L//L'C'B

'B'A

BC

AB


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Sesión 05

CUADRILATEROS:

Los ángulos interiores suman 360º

Los ángulos exteriores suman 360º

Clasificación según par de lados opuestos paralelos: > Paralelogramos (2 pares)

> Trapecios (1 par)

> Trapezoides (ningún par)

A. PARALELOGRAMOS:

Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos.

Cuadrado – Rectángulo – Rombo – Romboide

1. CUADRADO:

4 ángulos interiores rectos

4 lados iguales

Lados opuestos paralelos

Las diagonales son iguales y son perpendiculares

Las diagonales se dividen en partes iguales)

Las diagonales bisectan los ángulos

Se puede inscribir una circunferencia

Se puede circunscribir una circunferencia

d = 2a

P = 4a

A = a2

2. RECTANGULO:

4 ángulos interiores rectos

Lados opuestos de igual medida


Las diagonales son iguales y se dimidian

Se puede circunscribir una circunferencia

P = 2a + 2b = 2(a+b)

A = ab

3. ROMBO:

4 lados iguales


Ángulos opuestos iguales

Ángulos contiguos suplementarios

Las diagonales son perpendiculares

Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos

Se puede inscribir una circunferencia

P = 4a

A = ah =2

ef

A B

D C

a

d1

d2

A B

D C

a

b d1

d2

A B

D C

a

d1 d2

f e

h


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4. ROMBOIDE:

Lados opuestos de igual medida


Ángulos opuestos iguales


Las diagonales se dimidian

P = 2a + 2b = 2(a+b)

A = ah

B. TRAPECIOS:

Tienen 1 par de lados opuestos

paralelos llamados basales.

Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo

1. TRAPECIO ESCALENO:

Lados no paralelos no son congruentes.

AB // CD

α + δ = 180º

β + γ = 180º

p = a + b + c + d

A = MN*h =h

2

)ba(

2

baMN

2. TRAPECIO ISOSCELES:

Lados no paralelos son iguales (AD = BC)

AB // CD

Las diagonales son iguales


α = β

γ = δ

p = a + b + 2c

A = MN · h / A = h

2

)ba(

3. TRAPECIO RECTANGULO:

Uno de sus lados no paralelos es

perpendicular a las bases.

AB es perpendicular a AD

DA es perpendicular a DC

AB // CD

c = h = altura

Ángulos en A y D son rectos

β + γ = 180º

p = a + b + c + d

A = MN · h / = hba

A

2

)(

A B

D C

a

d1

d2 h b

A B

D C

a

h

d c

b

N M

α β

γ δ

A B

D C

a

h

d c

b

N M

α β

γ δ d1

d2

A B

D C

a

d

b

N M

h

c

β

γ


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4. MEDIANA DE UN TRAPECIO:

Segmento que une los puntos medios de los lados no

paralelos.

Es paralela a las bases.

MN = (AB + DC)/2

C. TRAPEZOIDES:

No tienen lados opuestos paralelos.

A B

D

a

d

c

b

α

α

β

γ

δ

C

A B

D C

N M


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Sesión 06

PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS:

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son

suplementarios.

(α + γ = β + δ = 180º)

AD*CB+CD*AB=AC*BD

· En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas

de cada par de lados opuestos son iguales entre sí.

(a + c = b + d)

EJEMPLO 1: En la figura, AD = 3, DC = 4 y CB = 1. El área del cuadrilátero ABCD es:

EJEMPLO 2: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área de FCGI es 12

II) El área de ABFI es 6

III) El área de AEIH es 3

EJEMPLO 3: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(−2, 0) y D(0, −2). ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El perímetro de la figura es 8 2 .

II) Cada diagonal mide 4.

III) El área de la figura es 4 2 .

A B

D

α

α

β

γ δ C

A B

D

a

d

c

b

C


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EJEMPLO 4: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9 cuadrados congruentes entre sí,

como se muestra en la figura. El área del cuadrado PQRS es

9

a8)E

9

a5)D

4

a3)C

3

a5)B

9

a4)A

2

2

2

2

2

EJERCICIO 5: En el plano de la figura, se muestra el polígono ABCD, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El perímetro del polígono es 8 2 .

II) Cada diagonal del polígono mide 4.

III) El área del polígono es 4 2 .

EJEMPLO 6: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha dividido en seis cuadrados

congruentes. Si los arcos corresponden a cuartos de círculo, entonces ¿Cuál(es) de las

afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I. La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de

radio 2

1BC

II. La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al perímetro de una circunferencia de

radio 3

1AB

III. La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor que el perímetro de ABCD.


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EJEMPLO 7: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde PB3PC , QC2QD y M es

el punto de intersección de DP y AQ, entonces el área del ∆ DMQ es

6

k)E

9

k2)D

9

k4)C

3

k)B

9

k)A

2

2

2

2

2

EJEMPLO 8: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del

lado BE en el rectángulo DBEF mide

1)E

5

2)D

53

2)C

5

1)B

2

5)A

EJEMPLO 9: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual BC = 8 cm. Los triángulos son todos

equiláteros y congruentes entre sí. El perímetro de la región sombreada es

A) 42 cm

B) 46 cm

C) 48 cm

D) 50 cm

E) 56 cm

EJEMPLO 10: El largo de una piscina rectangular es el doble de su

ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada

es de 40 m2, ¿cuál es el largo de la piscina de la figura?

A) 3 m D) 80m

B) 6 m

C) 12 m E) m2

1653


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EJEMPLO 11: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo, FCAF y mide 60º,

entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

BCAB)III

2

ABFE)II

FCFE)I

EJEMPLO 12: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 30 cm de lado cada uno. El

área de la región achurada mide

A) 50 cm2

B) 75 cm2

C) 100 cm2

D) 112,5 cm2

E) 125 cm2

EJEMPLO 13: ¿Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura con p > q?

A) 4p + 3q

B) 4p + 4q

C) 3p + 3q

D) 3p + 2q

E) No se puede determinar

EJEMPLO 14: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntos medios de los lados

AByAD , respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo MAN?

8

a)E

4

a)D

8

a)C

4

a)B

2

a)A

2

2

2


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EJEMPLO 15: ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si se ha dividido en cuadrados

congruentes como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son)

verdadera(s)?

I. Área de la región sombreada es 13

II. Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de

ABCD

III. Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es mayor

que el perímetro del rectángulo ABCD

EJEMPLO 16: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son puntos medios de los lados

respectivos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

TLPΔ)I TMBΔ

CBLDTA)III

LTMΔPMLΔ)II

EJEMPLO 17: En la figura AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el área del rectángulo ABCD?

A) 2

B) 6

23)E

33)D

32)C

EJEMPLO 18: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es:

13)E

3

32)D

2)C

1)B

8

9)A

EJEMPLO 19: En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y CQ = 33 cm. Si P, B y Q son

puntos colineales, entonces el área de la región NO sombreada mide:

2

2

2

2

2

cm18)E

cm9)D

cm312)C

cm39)B

cm36)A


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EJEMPLO 20: EFGH es un rectángulo. Si CFBΔAHDΔ y BEAΔDGCΔ entonces

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

ADGDCG)III

ABDC)II

DABDCB)I

EJEMPLO 21: ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 rombos congruentes cuyas

diagonales miden 8 cm y 6 cm?

A) 60 cm

B) 70 cm

C) 80 cm

D) 84 cm

E) 120 cm

EJEMPLO 22: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha inscrito el trapecio

isósceles EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área de EFGH es 48

II) AEH CFG

III) HJ = EF


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Sesión 07

POLIGONOS:

Figura plana limitada por lados rectos.

De acuerdo al nº de lados se clasifican en:

> 3 lados: Triángulo > 9 lados: Nonágono o Eneágono

> 4 lados: Cuadrilátero > 10 lados: Decágono

> 5 lados: Pentágono > 11 lados: Undecágono o Endecágono

> 6 lados: Hexágono > 12 lados: Dodecágono

> 7 lados: Heptágono > 15 lados: Pentadecágono

> 8 lados: Octágono u Octógono > 20 lados: Icoságono

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º*(n-2)

(n = número de lados del polígono)

La suma de los ángulos exteriores es 360º.

Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: n-3

Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados:

POLIGONOS REGULARES:

Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.

Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide:

Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide:

Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.

EJEMPLO -1: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen

exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono.

II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono.

III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.


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CIRCUNFERENCIA:

p = 2 π r

A = π r 2

A. MEDIDA DEL ANGULO CENTRAL:

· El ángulo central mide lo mismo que el arco correspondiente.

< AOB = 90º, entonces AB = 90º

B. MEDIDA DEL ANGULO INSCRITO:

· El ángulo inscrito mide la mitad del arco correspondiente.

C. MEDIDA DEL ANGULO INTERIOR:

D. MEDIDA DEL ANGULO EXTERIOR:

E. MEDIDA DEL ANGULO SEMI-INSCRITO:

Angulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son una

tangente y una cuerda.

< x = < AQP

A

O B

A

B C

C

D B

A

P x

C

D

B

A

O

x

P

A B

O

P

Q

x


29

EJEMPLO 1: En la figura BCAB y O es centro de la circunferencia. Si DE//AB , entonces el

ángulo mide:

A) 10º

B) 40º

C) 20º

D) 70º

E) 80º

EJEMPLO 2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y BAC = 20°. El valor del x es

A) 20°

B) 35°

C) 40°

D) 55°

E) 70°

EJEMPLO 3: En la figura, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el triángulo ABC, el

ángulo CAB mide 22°, entonces el valor del ángulo α es

A) 68°

B) 66°

C) 57°

D) 44°

E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO 4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la medida del ángulo x es

A) 32º

B) 26º

C) 38º

D) 52º

E) 64º


30

EJEMPLO 5: En la figura,CD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el BOD = 20° y

arco AD es congruente con el arco DB, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

FALSA(S)?

I) CBO = 20°

II) CAO = AOD

III) AOD = BOD

EJEMPLO 6: En la semicircunferencia de centro O de la figura, el BOC mide 100º. ¿Cuánto

mide el AED en el triángulo isósceles AED?

A) 70º

B) 50º

C) 40º

D) 20º

E) Ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO 7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide 110°. Si R es un

punto cualquiera del arco PQ, el x mide

A 55°

B 70°

C 110°

D 125°

E 220°

EJEMPLO 8: En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro, º60DOC y

DB es bisectriz del OBC . ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

BECΔAEDΔ)III

BDAΔACBΔ)II

AODΔOBCΔ)I


31

EJEMPLO 9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, ¿cuál es la medida

del ángulo x?

A) 20º

B) 40º

C) 70º

D) 110º

E) 160º

EJEMPLO 10: En la figura, ¿cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la cuerda

2

2AC y el ángulo ABC es inscrito de 45º?

1)E

2

1)D

4

1)C

3

1)B

4

2)A

EJEMPLO 11: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos miden 1.

DFyDE,AD son radios de la semicircunferencia y DF es perpendicular a BC . ¿Cuánto vale el

radio de la semicircunferencia inscrita?

22)E

13)D

12)C

2

2)B

12)A

EJEMPLO 12: En la circunferencia de centro O de la figura, el ángulo OCB mide 24°. ¿Cuál es la medida del ángulo AOC?

A) 12°

B) 24°

C) 48°

D) 132°

E) 156°


32

EJEMPLO 13: En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia circunscrita al triángulo PQR.

La medida del ángulo es

A) 80º

B) 100º

C) 120º

D) 125º

E) 130º

EJEMPLO 14: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la circunferencia de radio r y la medida

del ángulo ACB es 30º. La longitud del arco AB es:

r12

1)D

r3

2)C

r6

1)B

r3

1)A

π

π

π

π

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO 15: En la circunferencia de centro O de la figura, si º32 βα , entonces el valor del

ángulo γ es:

A) 16º

B) 32º

C) 48º

D) 64º

E) Indeterminable


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Sesión 08

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA

Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, trazamos dos rectas

secantes a una circunferencia, se cumple que:

PDPCPBPA x x

A este producto se le llama POTENCIA del punto P respecto de la

circunferencia.

Si dos cuerdas se cortan en un punto P, los segmentos que se forman

cumplen la siguiente relación:

PDPCPBPA x x

Ejemplos:

1.- Si ? mide Cuánto cm; 7 cm; 12 cm; 4 PDPCPBPA

PDPCPBPA x x

PD · cm 7 cm 12 · m 4

PDcm

7

cm 12 · cm 4 cmPD 85.6

2.- Si cmAB 8 ; cmPC 3 y cmPD 4 Cuánto mide PB ?

Llamemos: xPA xPB 8 (porque cmAB 8 )

PDPCPBPA x x x · (8 – x) = 3 · 4

8x – x2 = 12

x2 – 8x + 12 = 0

(x – 6) (x – 2) = 0

x1 = 6 ^ x2 = 2

Luego: cmPA 6 cmPB 268

(o bien cmPA 2 cmPB 6 )


34

Construye y resuelve los siguientes ejercicios y encierra la respuesta correcta:

1. En la circunferencia de centro O y radio r, MN es diámetro, si MP =

r y Q punto medio de MP , entonces QN=

a) 3r

b) 2

3r

c) 2

13r

d) 21r

e) No se puede determinar

M P

N

Q

O

2. En la figura el ABC es equilátero ¿Cuánto mide el x?. Si O es el

centro de la circunferencia

a) 100°

b) 30°

c) 120°

d) 60°

e) falta información

x C

AB

O

3. El triángulo ABC está trazado en la mitad de la circunferencia.

Si hc = 4cm y el lado CB = 5cm. El radio de la circunferencia es:

a) 3 cm

a) 41

6 cm

b) 61

3 cm

c) 121

2 cm

d) Ninguna de las anteriores.

A B

C

O

4. En la figura se tiene circunferencia de centro O, MP bisectriz del

OMN. Si MPN = 40°, entonces x =?

a) 25° b) 30° c) 35° d) 40° e) 45°

O

M

N

Px


35

5. En la semicircunferencia de centro O, DAB = 40° y AD // OC,

entonces el ACO vale:

a) 10°

b) 15°

c) 20°

d) 30°

e) 45°

6. En la figura, O es el centro de la circunferencia. Si AB // RT y AOC

= 94°; la medida del ángulo es:

a) 47°

b) 94°

c) 123°

d) 133°

e) 152°

7. :es PT entonces ;4

PAAB 16;PA

a) 8

b) 484

c) 34

d) 38

e) 28

8. AB = diámetro = 12; EB = 2; CE = 5; ED = ?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9. 9;8;10 PDCPAC , entonces la medida del segmento BD =?

a) 16 b) 10 c) 7 d) 8 e) 6


36

10. MN es diámetro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el radio?

a) 7

b) 8

c) 10

d) 11

e) 12

11. ¿Cuál es la medida del diámetro MN, si 60;40 PTPM y O es

centro?

a) 36

b) 40

c) 45

d) 50

e) 54

12. cmPDcmPCAC 4;12·2 , entonces la medida del

segmento BD =?

a) 16 b) 10 c) 7 d) 8 e) N.A.


37

Sesión 09

PERÍMETRO Y ÁREA y ALGO MÁS DE LA CIRCUNFERENCIA:

El número π es igual al cociente: Circunferencia entre diámetro de

una misma circunferencia y este valor es aproximadamente igual a

3.141592654

P = 2 π r

La curva que delimita al círculo es una

circunferencia. En otras palabras, el círculo es

el área que queda encerrada por la

circunferencia.

Nosotros podemos calcular el área de un círculo, pero no así para la circunferencia.

Igualmente, podemos calcular el perímetro de una circunferencia, pero no así del

círculo.

La fórmula para calcular el área: A = π r 2

Calcula el perímetro y el área de las regiones sombreadas

C


38


39


40

Curso-taller: Con GeoGebra, construcciones útiles para profesores y actividades constructivas para los alumnos de Educación Básica

El objetivo de este curso-taller es poner a disposición de los profesores de quinto, sexto grado de Educación Primaria y primero, segundo y tercero de Secundaria, estrategias que les permitan dinamizar sus clases e innovar en ellas. Esto se hará por medio del software GeoGebra.

Materiales requeridos para la realización del curso-taller Estos materiales deberán estar a disposición de los profesores del curso-taller.

1) Tener instalado el Software libre GeoGebra

2) Instaladas las carpetas de los archivos digitales (versión alumno, maestro y videos tutoriales) de las secuencias didácticas de los meses comprendidos desde Septiembre 2015 a Junio 2016 del Proyecto EMAT-Hidalgo, del nivel correspondiente

3) Libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria, PROPUESTA HIDALGO. a) 5º y 6º grados Primaria b) 1º, 2º y 3º grados Secundaria

4) Disco DVD que contenga: Carpetas de archivos (versión alumno y maestro) y los video tutoriales de los meses comprendidos desde Septiembre 2015 a Junio 2016 del Proyecto EMAT-Hidalgo Primaria


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Problemática en la que se centra el curso-taller Necesidad de los profesores de contar con herramientas para trabajar los conceptos y competencias de los ejes temáticos: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico (SNPA), Forma Espacio y Medida (FEM) y, Manejo de la Información (MI), que le permitan no solo hacer más dinámicas sus actividades, sino evaluar de una manera más cercana al trabajo de aula y esto lo proporciona el Software GeoGebra. Planteamiento del curso-taller El curso-taller está planteado para realizarse en una sesión de seis horas: Sesión de ejercicios de construcción y razonamiento para construir e interactuar con algunos archivos digitales (versión alumno) de las secuencias didácticas de los diez meses del Proyecto EMAT-Hidalgo. Elementos de uso de la herramienta para la construcción de prácticas y ejercicios de evaluación. Fundamentación teórica En la educación primaria se trabaja todos los años con contenidos de los ejes temáticos: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico (SNPA), Forma Espacio y Medida (FEM) y, Manejo de la Información (MI). En los planes de estudio oficiales para la Educación Básica, menciona los análisis de las características de estos elementos en varias oportunidades, distribuidos en los cinco bloques. En el caso de este curso-taller, se circunscribirá a trabajar únicamente con las sesiones destinadas al uso del Software GeoGebra. Esta limitación se hace precisamente por cuestiones de tiempo y profundidad en el estudio. El trabajo con las características de las figuras puede ser un tema atractivo para los alumnos, pues permite desarrollar actividades que requieran creatividad y el uso de su ingenio y visión geométrica como parte de su actividad de aula. Estas actividades se fundan en las sugerencias que propone el mismo programa de estudios oficial para la Educación Básica. Las actividades y situaciones que se diseñen tienen que enfocarse hacia la comprensión, asimilación e interiorización de conceptos de la matemática, a partir de la manipulación que el niño y la niña hagan de los materiales o recursos didácticos; pero recordando en todo momento, que estos son medios que coadyuvan a la construcción y reconstrucción de conceptos, y nunca un fin en sí mismos. El uso de actividades que se centren en procesos y habilidades cognitivas se enmarcar en las solicitudes que las autoridades educativas hacen a los profesores. Una actividad importante para el desarrollo del pensamiento del alumno es la clasificación, la cual se pone en juego al observar e identificar las propiedades que tienen los objetos. Al iniciar el trabajo con figuras geométricas, el educando reconstruye en gran parte el proceso evolutivo de la historia de la matemática, desde un proceso de visualización de objetos, hasta la construcción y reconstrucción de conceptos. Además, si se agrega el componente computacional como un ingrediente adicional, los resultados pueden ser sorprendentes. Por otra parte, los profesores que trabajen este tema a fondo, con su equipo personal y alguna herramienta tecnológica que lo permita, tendrán a su alcance no solo actividades llamativas, sino posibilidades de trasladar este tipo de actividades a la evaluación. Debido a que el currículo, las actividades y el conocimiento matemático que propugnan estos programas tienen una base conceptual, la evaluación no es una tarea simple ni reducida. El desarrollo de estructuras conceptuales constituye un proceso a largo plazo; las estructuras


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conceptuales se desarrollan, elaboran, profundizan y se van haciendo más completas con el paso del tiempo. En consecuencia, la evaluación debe ser un proceso continuo. No puede asumirse que una experiencia suelta de aprendizaje o de evaluación vaya a ofrecer un cuadro completo del desarrollo intelectual de los estudiantes. La evaluación debe intentar dar a todos los estudiantes la oportunidad de reconocer sus capacidades, potencialidades y limitaciones y de cómo superar estas últimas. Como se indica, la evaluación es una tarea continua y no sólo destinada a emitir una calificación. En este caso, se propone que las actividades que se trabajen permitan al docente usarlas tanto en la forma de pruebas escritas como de actividades de trabajo. Estas pueden realizarse en clase o extra clase y existe la posibilidad de que se usen para la evaluación sumativa. Para este curso-taller, se propone trabajar el primero de los esquemas y cuidar que la desventaja descrita no llegue a presentarse. Para esto se proyecta trabajar con la función evaluativa que los profesores deben cumplir y centrar allí la culminación del proceso de curso-taller. Los video tutoriales junto con los archivos versión maestro, harán la función de capacitación continua, donde el profesor tendrá el compromiso académico para revisar previamente antes de implementarlo con los alumnos. El formato es como se muestra:

Presentación del tema, grado, mes y semana. Explicación de cómo trabajar la sesión con los alumnos, además de dar tips didácticos para contar con el soporte pedagógico.

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la …€¦ · Ángulos formados por rectas...

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