nextProbablePrime() について

福原和朗 第十五回 #渋谷java 2016-04-23

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自己紹介

福原和朗 @kazurof

◦ twitter, Qiita, Facebook やってます。

所属

◦ GMOリサーチ

アンケートシステムの開発保守

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本日のお題

nextProbablePrime()

◦ java.math.BigInteger

巨大な整数

◦ 「おそらく素数」

◦ どこまで使えるのか？

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動かしてみた

素数リストを用意して突き合わせる。

◦ 10億までの素数

https://primes.utm.edu/lists/small/millions

◦ 100億までの素数

http://www.saoyagi2.net/integer/primelist.html

リストは正しいものとみなす。

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100億まで正解でした

ファイルサイズ

◦ 4.6 Gbyte

所要時間

◦ 17 hrs 44 mins 31.635 secs

これ以上試すのは無理。

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ソースを読んでみました

nextProbablePrime()の処理概要

◦ おそらく素数が見つかるまでループ

1. 次の候補を決める。

2. 候補がおそらく素数か合成数か判定する。

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大きさで処理を分ける 基準はビット長

予備知識

◦ intの最大値 2147483647

31ビット

◦ 100億 ≦ 171億 ≒ 171,7986,9184 = 234

34ビット

◦ long の最大値 9223372036854775807

63ビット 7

分ける基準

1. ビット長が95未満

◦ 19807040628566084398385987584

2. 95 ~ 5,0000,0000 ビットまで

◦ 5億ビット。10進では書けません。

3. それ以上

◦ サポートしない（即例外が上がる）

◦ 他のところでオーバーフローするため。 8

95未満の場合

1. 次の候補の決め方。

◦ 41までの素数で試し割り。割れた数字はスキップ。

41はチューニングの結果とのこと。

2. おそらく素数か合成数かの判定

◦ ミラー–ラビン素数判定法

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ミラー–ラビン素数判定法

素数かどうか判定するアルゴリズム

◦ 実際に割らないから高速

◦ 大学の教科書で紹介されるレベル

フェルマーの小定理を元にしている。

◦ これだけだと抜けがあるので色々工夫されている。

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ミラーラビン法超概要 フェルマーの小定理

◦ p を素数、a を p で割れない整数。

◦ どんな a でも、a(p-1) を pで割った余りは 1 になる。

例

◦ p = 5 ,a = 8

◦ a(p-1) = 84 = 82 * 82 = 642= .....6

◦ 余り 1 11

ミラーラビン法 (1)

小定理の対偶

◦ 「余りが1でないaがあるなら素数でない」

a(p-1) を pで割った余りを調べればよい

◦ 割ってまわるよりは遥かに簡単

a を１個適当に決めて計算すればOK？

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ミラーラビン法 (2) 誤判定する場合がある。

◦ p = 341, a = 2 の場合

◦ 2340 を 341で割った余り → 1

◦ 341 = 11 * 14 素数ではない。

こんな例が比率低いながら存在する。

◦ a の選び方が悪い？

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ミラーラビン法 (3) 改良

◦ a を一つに固定せず、ランダムにいくつか選んで試す。

１個だと不安だが、幾つかやってOKなら多分OK

全部は無理。そんな余裕があったら試し割り。

「おそらく素数」の根拠

◦ もう1つ工夫をする。

aを累乗する際に、非自明な１の平方根があるかチェック

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95 ~ 5,0000,0000 まで

1. 次の候補の決め方。

◦ エラトステネスの篩(ふるい)で決定。

2. おそらく素数かの判定

◦ ミラー–ラビン素数判定法

◦ リュカ–レーマー・テスト

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エラトステネスの篩

数字を表に書いて素数以外を消していく。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 16

実際の処理 19200までの篩を用意する。

候補をのせたい範囲の篩から、合成数を消す。

できた篩から次の候補を取り出す

19200までのふるい 候補をのせたい範囲のふるい

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

30000 30001 30002 … … … … … … … … …

まとめ:どこまで使えるか？

「おそらく」とは理論上確率ゼロではないという意味。

◦ 現実にはほぼ間違えない。

巨大な数でも間違えやすくはならない。

◦ 処理に時間がかかる

(244497 – 1)*(286243 – 1) を素数判定するのにおよそ100分かかりました。

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背景となる用途

RSA暗号

◦ 巨大な素数が欲しい。

鍵ペアの元にする。

◦ 絶対に素数である保証はいらない。

極小さい確率であることが保証されればOK

◦ そこそこ巨大(2048ビット)なものが判定できればOK

試したら、300ミリ秒でできました。 19

おまけ

今回の検証に使ったソースはこちら

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https://github.com/kazurof/testNextProbablePrime

ご清聴ありがとうございました

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