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Comportamento meccanico dei materiali Fatica multiassiale - cenni

© 2006 Politecnico di Torino 1

Fatica dei materiali

2

Fatica multiassiale - cenni

Sollecitazioni proporzionali e non proporzionaliI criteri di Gough e Pollard e di Son Book LeeI criteri di Sines e di Crossland




4

Tipi di sollecitazioni multiassiali (1/6)

Multiassiali proporzionali:

Multiassiali non proporzionali (complesse):



5


Multiassiali proporzionali:Direzioni principali fisse (semplici)


6


Multiassiali proporzionali:Direzioni principali fisse (semplici)Direzioni principali mobili (intermedie)




7



Multiassiali non proporzionali (complesse):Sincrone (uguale frequenza) con sfasamento

8



Multiassiali non proporzionali (complesse):Sincrone (uguale frequenza) con sfasamentoAsincrone periodiche (rapporto fra le frequenze razionale)



9



Multiassiali non proporzionali (complesse):Sincrone (uguale frequenza) con sfasamentoAsincrone periodiche (rapporto fra le frequenze razionale)Asincrone non periodiche (rapporto fra le frequenze irrazionale)

10

Proporzionali semplici I (1/3)

Sollecitazioni proporzionali direzioni principali fisseσm,1 = σm,2 =0 (R=-1) tσ1

,σ2



11


tσ1,σ2

Rapporto di biassialità

tσ1/ σ

2

Sollecitazioni proporzionali direzioni principali fisseσm,1 = σm,2 =0 (R=-1)

12


tσ1,σ2


tσ1/ σ

2

σ1

σ2

Sollecitazioni proporzionali direzioni principali fisseσm,1 = σm,2 =0 (R=-1)



13

Proporzionali semplici II

Sollecitazioni proporzionali direzioni principali fisse. Uguali R (R1 = R2 = 0.1)

σ1

σ2


tσ1/ σ

2

t

σ1,σ2

14

Proporzionali intermedie I

Sollecitazioni proporzionali direzioni principali mobili.σm,2 = costante (R1 = -1, R2 = 1)

σ1

σ2


tσ1/ σ

2

tσ1,σ2



15

Proporzionali intermedie II

Sollecitazioni proporzionali direzioni principali mobiliR diversi (R1 = -0.25, R2 = -1) t

σ1,σ2

σ1

σ2


tσ1/ σ

2

16

Non proporzionali sincrone I

Sollecitazioni non proporzionali sincrone con sfasamento(out of phase, δ =π/2) tσ1

,σ2

σ1

σ2


tσ1/ σ

2



17

Non proporzionali sincrone II

Sollecitazioni non proporzionali sincrone con sfasamento(δ =π/4) tσ1

,σ2

σ1

σ2


tσ1/ σ

2

18

Non proporzionali asincrone I

Sollecitazioni non proporzionali asincrone periodiche(rapporto fra le frequenze razionale)

tσ1,σ2

σ1

σ2


tσ1/ σ

2



19

Non proporzionali asincrone II

Sollecitazioni non proporzionali asincrone non periodiche(rapporto fra le frequenze irrazionale)

tσ1,σ2

σ1

σ2


tσ1/ σ

2




21

Gough e Pollard

Gough: primi lavori sulla fatica multiassiale(dagli anni ’20 agli anni ’50 – con Pollard):

σ e τ alternate in fase ⇒ sollecitazioni proporzionali

0

100

200

300

400

0 100 200 300 400 500 600

σ (MPa)

30 Ni Cr Mo12Rm=900 MPa

τ (Mpa)

C 15Rm =425 MPa

22

Criterio di Gough e Pollard (1/5)

2

1D

a2

1D

a 1−−

≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ττ

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σσ

Materiali duttili



23


21D

2a

2

1D

1D2a

2

1D

a2

1D

a 1 −−

−

−−σ≤τ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛τσ

+σ≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ττ

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σσ

Materiali duttili

24


36.0 1D

1D1D−

−−σ

≅σ⋅≅τSperimentalmente

21D

2a

2

1D

1D2a

2

1D

a2

1D

a 1 −−

−

−−σ≤τ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛τσ

+σ≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ττ

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σσ

Materiali duttili



25


36.0 1D

1D1D−

−−σ


21D

2a

2

1D

1D2a

2

1D

a2

1D

a 1 −−

−

−−σ≤τ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛τσ

+σ≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ττ

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σσ

Materiali duttili

1D2

a2

a 3 −σ≤τ+σ

26


Materiali fragili

1211D

a

1D

1D2

1D

a

a

a2

1D

a =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σσ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τσ

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

στ

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ττ

−−

−

−−

36.0 1D

1D1D−

−−σ


21D

2a

2

1D

1D2a

2

1D

a2

1D

a 1 −−

−

−−σ≤τ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛τσ

+σ≤⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ττ

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σσ

Materiali duttili

1D2

a2

a 3 −σ≤τ+σ



27

Criterio di Son Book Lee

Estensione del criterio di Gough e Pollard per materiali duttili a stati di sollecitazione non proporzionali sincrone con sfasamento δ (1985)

)sin1(2

1

1

1D

a

1D

a

δβ+=α

≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ττ

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σσ αα

−

α

−

β costante del materiale: β ≈ 0.3 materiali duttiliβ ≈ 0.15 materiali fragili




29

Criterio di Sines: generalità (1/3)

Sines (1951)

Base di partenza: dati di Gough e Pollard e di Sawert

30


Sines (1951)


Analisi dell’influenza dei valori medi:

Nel caso di alberi la presenza di una τm = cost non influenza la resistenza a flessione rotante (o trazione compressione)



31


Sines (1951)


Analisi dell’influenza dei valori medi:

Nel caso di alberi la presenza di una τm = cost non influenza la resistenza a flessione rotante (o trazione compressione)

Ulteriori sperimentazioni con stati di tensione biassiali su provini non intagliati

32

Dati di Gough e Pollard e di Sawert (1/2)

0 1.0

-1.0

1.0

Gough e Pollard, 1951

acciaio Cr-Vaghisa

1D

2

−σσ

1D

1

−σσ

σ1m=σ2m =0



33

Dati di Gough e Pollard e di Sawert (2/2)

0 1.0

-1.0

1.0

Gough e Pollard, 1951

acciaio Cr-Vaghisa

1D

2

−σσ

1D

1

−σσ 0 1.0

-1.0

1.0

Sawert, 19431D

2

−σσ

1D

1

−σσ

Per i materiali duttili viene confermata l’ipotesi di von Mises sulle componenti alternate

σ1m=σ2m =0

34

Analisi influenza valori medi (1/6)

σa

σa

τm

τm



35


σa

σa

τm

τm τa

τa

τm

τm

36


σa

σa

τm

σa σm

σa

σm

τm τa

τa

τm

σm

τm



37


σa

σa

τm

σa σm

σa

σm σm

τm τa

τa

τm

τa

σm

τa

τm

38


σa

σa

τm

σa σm

σa

σm σm

τm

02,m1,m =σ+σ

τa

τa

τm

τa

σm

τa

τm

02,m1,m =σ+σ



39


σa

σa

τm

σa σm

σa

σm σm

τm

02,m1,m =σ+σ

02,m1,m ≠σ+σ

τa

τa

τm

τa

σm

τa

τm

02,m1,m =σ+σ

02,m1,m ≠σ+σ

40

Criterio di Sines (1/2)

( ) ( ) ( )23,a2,a2

3,a1,a2

2,a1,a21

σ−σ+σ−σ+σ−σ

Generalizzando i risultati ottenuti al caso triassiale:

∝ al II invariante del tensore deviatorico delle tensioni alternate



41

Criterio di Sines (2/2)

( ) ( ) ( )

( ) 1D3,m2,m1,m

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,a

m

21

−σ≤σ+σ+σ⋅+

+σ−σ+σ−σ+σ−σ

∝ al II invariante del tensore deviatorico delle tensioni alternate

∝ al I invariante del tensore delle tensioni medie

Generalizzando i risultati ottenuti al caso triassiale:

42

Casi particolari (1/4)

1D1,m1,a m −σ=σ⋅+σ

Nel caso uniassiale:



43


1D1,m1,a m −σ=σ⋅+σ

m

1D

Rm −σ

=cioè l’equazione di Goodman se


44


1D1,m1,a m −σ=σ⋅+σ

( ) 1D2,m1,m2,a1,a2

2,a2

1,a m −σ≤σ+σ⋅+σσ−σ+σ

cioè l’equazione di Goodman se


Nel caso biassiale: m

1D

Rm −σ

=



45


1D1,m1,a m −σ=σ⋅+σ

1Dm2a

2a m 3 −σ≤σ⋅+τ+σ

( ) 1D2,m1,m2,a1,a2

2,a2

1,a m −σ≤σ+σ⋅+σσ−σ+σ

cioè l’equazione di Goodman se


Nel caso biassiale:

Nel caso di alberi:

m

1D

Rm −σ

=

46

Con intagli (Fuchs) (1/2)

( ) ( ) ( )

( )f

1D3,m2,m1,m

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,a

Km

21





47

Con intagli (Fuchs) (2/2)

( ) ( ) ( )

( )f

1D3,m2,m1,m

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,a

Km

21



σa

σmRm

1D−σ

f

1D

K−σ

48

Interpretazione tensioni equivalenti (1/4)

( ) ( ) ( )23,a2,a2

3,a1,a2

2,a1,aeq,a 21

σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ



49


( ) ( ) ( )

( )3,m2,m1,meq,m

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,aeq,a 2

1

σ+σ+σ=σ


50


( ) ( ) ( )

( )3,m2,m1,meq,m

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,aeq,a 2

1

σ+σ+σ=σ


σmRp0.2 RmRp0.2

Rp,0.2

σa

Componente

ProvinoσD-1

*1D−σf

i*1D1D K

C∏⋅σ=σ −−



51


( ) ( ) ( )

( )3,m2,m1,meq,m

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,aeq,a 2

1

σ+σ+σ=σ


σmRp0.2 RmRp0.2

Rp,0.2

σa

Componente

ProvinoσD-1

P

),(:P eq,aeq,m σσ

*1D−σf

i*1D1D K

C∏⋅σ=σ −−

52

Richiamo tensioni ottaedriche (1/4)

1

2

3Piani ottaedrici: piani che formano uguali angoli agli assi principali



53


1

2

3

( ) ( ) ( )2312

322

21ott 31

σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ

Piani ottaedrici: piani che formano uguali angoli agli assi principali.

Su ogni piano ottaedrico agiscono:

54


1

2

3

( ) ( ) ( )

( ) H1321ott

231

232

221ott

I31

3131

σ==σ+σ+σ=σ


(tensione idrostatica)

Piani ottaedrici: piani che formano uguali angoli agli assi principali.




55


1

2

3Piani ottaedrici: piani che formano uguali angoli agli assi principali.


( ) ( ) ( )

( ) H1321ott

231

232

221ott

I31

3131

σ==σ+σ+σ=σ


ottid 23

τ=σVon Mises

(tensione idrostatica)

56

Sines: tensioni ottaedriche (1/3)

( ) ( ) ( )ba

31

H,m

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,a

≤σ⋅+




57


( ) ( ) ( )ba

31

H,m

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,a

≤σ⋅+


ba H,motta, ≤σ⋅+τ

58


( ) ( ) ( )ba

31

H,m

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,a

≤σ⋅+


ba H,motta, ≤σ⋅+τ

1Dm

1D32

bR2

m2a −− σ=

σ==



59

Criterio di Crossland: generalità (1/4)

Analogo al criterio di Sines, valido sia per sollecitazioni proporzionali sia per sollecitazioni non proporzionali periodiche

60



Per sollecitazioni non proporzionali non è possibile definire un “istante medio”



61




Se le sollecitazioni sono periodiche è possibile valutare la sollecitazione idrostatica massima σH,max

62




Se le sollecitazioni sono periodiche è possibile valutare la sollecitazione idrostatica massima σH,max

Nel caso di sollecitazioni non proporzionali si considera la τa,ott massima nel periodo



63

Criterio di Crossland (1/4)

( ) ( ) ( )CmaxH,C

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,a

ba 31

≤σ⋅+


64


( ) ( ) ( )CmaxH,C

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,a

ba 31

≤σ⋅+


CmaxH,Cotta, ba ≤σ⋅+τ



65


ac e bc valutabili con due limiti di fatica indipendenti:Torsione – flessione;Trazione R = -1, trazione con R = 0.

( ) ( ) ( )CmaxH,C

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,a

ba 31

≤σ⋅+



66


( ) ( ) ( )CmaxH,C

23,a2,a

23,a1,a

22,a1,a

ba 31

≤σ⋅+



ac e bc valutabili con due limiti di fatica indipendenti:Torsione – flessione;Trazione R = -1, trazione con R = 0.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

στ

=τ=−

−− 3

133

2a36

b1D

1DC1DC



67

Piano di Crossland

Più restrittivo di Sines per le sollecitazioni proporzionali

τa,ott

σΗ,max

bCmaxH,CC

limott,a a b σ⋅−≤τ

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