NELINEÁRNY SYSTÉM DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC S DISTRIBUOVANÝM ONESKORENÍM
description
Transcript of NELINEÁRNY SYSTÉM DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC S DISTRIBUOVANÝM ONESKORENÍM
NELINEÁRNY SYSTÉM DIFERENCIÁLNYCH
ROVNÍCS DISTRIBUOVANÝM
ONESKORENÍM
Pavol Chocholatý
Uvažujme Cauchyho úlohu pre ODR
kde funkcia sa mení s narastajúcim časom .
Diferenciálne rovnice s oneskoreným argumentom sa líšia od ODR tým, že derivácia v ľubovoľnom čase závisí aj od riešenia v predchádzajúcich časoch.
0,),( ttxtfx
00 )( xtx
)(tx t
Časové oneskorenia vyskytujúce sa v mnohých modeloch aplikovanej matematiky vyžadujú uvedenú závislosť vyjadriť v podobe
,
kde oneskorený argument je buď konštanta - vtedy hovoríme o rovniciach
s konštantným oneskorením je funkciou času - vtedy hovoríme
o časovo-premennom oneskorení .
))(,...),(,( 1 ktxtxtfx ,0tt
0,)()( ttttx
kjr jj ,...,2,1,0,
)(, tt jj
Špeciálne,rovnicu
nazývame ODR s diskrétnym oneskorením
rovnicu
nazývame ODR s diskrétnym časovo-premenným oneskorením samozrejme s poznámkou, že táto funkcia je nekladná (v opačnom prípade by sme hovorili o ODR s predbiehajúcim argumentom)
0,,))(),(,( rtxtxtfx
))((),(,( ttxtxtfx
)(t
Známa je napr. logistická rovnica s oneskorením tvaru
tzv. Hutchinsonova rovnica, popisujúca pre kladné konštanty a a funkciu kde je záporné číslo , logistickú rovnicu s oneskorením .
Osciláciami riešení tejto rovnice sa zaoberá práca Gopalsamy , Zhang . Viaceré práce sú venované rôznym zovšeobecneniam tejto rovnice.
ttgK
tgxtxtrtx
)(,
))((1)()()(
r K ,)( ttg
ZG
Oneskorenie môže by tiež distribuované
Príkladom ODR a distribuovaným oneskorením je aj rovnica
známa ako Volterrova integro-diferenciálna rovnica.Štúdium ODR s distribuovaným oneskorením je
najčastejšie spojené so snahou získať nejaké oscilačné kritéria v spojitosti s periodickým riešením, napr. Tang , Gopalsamy, He, Xue, Wen .
)))(,,(),(,()(0
)( t
dsstxsttxtftx
t
dssxsttxtftx0
))(,,),(,()(
T WXHG
Berezansky, Braverman sa zaoberajú periodickou logistickou integro-diferenciálnou rovnicou
v snahe získať pozitívne riešenia.Z aplikačného pohľadu je vhodným príkladom
ODR s distribuovaným oneskorením systém, v ktorom sa navzájom ovplyvňujú populácie živočíšnych druhov, typu dravec – korisť, známy ako Lotka-Volterrov model, ktorý v prípade distribuovaného oneskorenia je v tvare
BB
0
)()()()()()(T
dsstNsHtbtatNtN
kde predstavuje množstvo koristi v danom čase a
množstvo dravcov, kladné parametre vyjadrujú vzájomnú interakciu a vývoj týchto druhov,
je funkciou reprezentujúcou rýchlosť rastu populácie koristi v závislosti od predchádzajúceho počtu dravcov a vyjadruje rýchlosť rastu populácie dravcov v závislosti od predchádzajúceho množstva koristi. Derivácie predstavujú prírastok danej populácie za jednotku času .
)())(()()( 1
0
21211 txdsstxtxkctx
)())(()()( 2
0
12122 txdsstxtxkctx
)(1 tx)(2 tx
21 ,, kkc
1
2
Spomeňme ešte, že aj model šírenia epidémie vírusu HIV v homogénne zmiešanej skupine pohlaví sa najčastejšie vyjadruje v tvare systému ODR a distribuovaným oneskorením...
Privítali sme, že sa v knihe Kim, Pimenov objavil nelineárny systém dvoch diferenciálnych rovníc s distribuovaným oneskorením so zadaným tvarom štartovacej funkcie, doplnený jeho exaktným riešením v snahe nájsť efektívnu numerickú metódu na riešenie úloh tohto typu:
PK
pre
vzhľadom na štartovacie funkcie
,
a začiatočný čas .
Exaktné riešenie má tvar :
0
22
21
12
22
22
21
210
11
)()(
)(2
)(2)(
2
1)(
)()(
)(2
)(2)(
2
1)(
txtx
txtxdsstxtx
txtx
txtxdsstxtx
1t
sss
sss
1sin1)(
1cos)1()(
2
1 0 s
10 t
tttx
tttx
sin)(
cos)(
2
1
Analýza – numerický prístup:začiatočná úloha pre ODR
voľba tvaru numerickej metódy • explicitná• implicitná• jednokroková• viackroková
voľba rádu zvolenej numerickej metódyvýpočet určitého integrálu s iracionálnym číslom ako
hranicou numerická kvadratúra
--- Newtonové – Cotesové vzorce• zatvorené• otvorené• voľba rádu Newtonových-Cotesových vzorcov• vplyv iracionálneho čísla v hranici integrálu na stanovenie uzlov
v kvadratúre
ODR s distribuovaným oneskorením koordinácia zvolených numerických metód
• z hľadiska ich rádov
• z hľadiska zvolených uzlov
• na riešenie sústavy dvoch rovníc realizácia výpočtov chybová analýza vo vybraných nie úplne totožných
uzloch porovnanie získaných riešení s exaktným riešením
Realizácia výpočtov
Interval riešenia:
Ekvidištantné delenie:
Použité numerické metódy na riešenie ODR s krokom :
Explicitná Eulerova metóda Implicitná Eulerova metódaHeunova metóda Adamsova-Moultonova metódaRungeho metóda Milneho metódaKuttova metóda Milneho-Simpsonova metóda
71,1 t
30000,3000,300,30h
h
Použité numerické metódy pri numerickej kvadratúre s krokom :Zložené Newtonové-Cotesové zatvorené vzorce pre
Lichobežníkové pravidlo,Simpsonové pravidlo,Triosminové pravidlo
Vysvetlenie: Vieme, že pri použití napr. Simpsonového pravidla počítame na danom podintervale s tromi približnými hodnotami riešenia. Keďže pracujeme s diskrétnymi hodnotami riešenia získanými použitými numerickými metódami na riešenie ODR s krokom , musí byť teda vzdialenosť koncových bodov podintervalu .
hn
3,2,1n
h
h2
Nasleduje ukážka riešenia vo vybraných uzlových
bodoch
získaná Milneho- Simpsonovu metódou 5.rádu s použitím Simpsonovho pravidla pri kroku .
Tabuľka
7,...,2,1,
3
231)(
j
jjT
3000h
uzol T(j) riešenie
exaktné x1
riešenie
približné x1
riešenie
exaktné x2
riešenie
približné x2
1 -0.93881224 -0.93882868 1.81924418 1.81923445
2 2.37949667 2.37914423 -4.61102368 -4.61175244
3 -3.82018110 -3.81898822 7.40280318 7.40510074
4 5.26086553 5.25835117 -10.19458268 -10.19927812
5 -6.70154995 -6.69723186 12.98662181 12.99428392
6 8.14223438 8.13562983 -15.77814168 -15.79011818
7 -9.58291881 -9.57354472 18.56992118 18.58678092
Cieľom práce boloaplikovať uvedené metódy v rôznych kombináciách so
snahou nájsť na základe najmenšej celkovej chyby riešenia v koncovom bode intervalu riešenia „najlepšiu voľbu“ numerického prístupu aj na riešenie úloh „podobného typu“
otestovať vplyv zvolenej numerickej metódy na riešenie Cauchyho úlohy pre ODR v okolí prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k jej diskrétnemu tvaru
pre vybrané metódy analyzovať ich chovanie v závislosti od zjemňovania kroku
Záver
Vplyv metód na kvalitu aproximácie riešenia:
1. Uvedené explicitné metódy v kombinácii s kvadratúrnymi metódami
dominancia rádu metódy numerickej kvadratúry nad rádom explicitnej metódy
so zvyšujúcim sa rádom explicitnej metódy pri danej kvadratúre kvalitnejšia aproximácia v okolí bodu prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k diskrétnej
všetky z uvedených explicitných metód v kombináciách s metódami kvadratúry vykazovali kvalitnejšiu aproximáciu riešenia pri zjemňujúcom sa kroku h
napr. na danom intervale riešenia bola celková chyba pri použití Kuttovej metódy, zloženého Simpsonovho pravidla a kroku v absolútnej hodnote menšia ako dve desatiny v porovnaní s exaktným riešením
2. Uvedené implicitné metódy v kombinácii s kvadratúrnymi metódami
takmer rovnaký vplyv rádov oboch typov metód„nezávisle“ od rádu implicitnej metódy pri každej
z použitých kvadratúr je získaná kvalitnejšia aproximácia v okolí bodu prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k diskrétnej
3000h
potvrdil sa očakávaný vplyv závislosti kvality aproximácie od zjemňujúceho sa kroku
napr. na danom intervale riešenia bola celková chyba pri použití Milneho-Simpsonovej metódy 5.rádu , Simpsonovho pravidla a kroku v absolútnej hodnote menšia ako tri stotiny v porovnaní s exaktným riešením
3. Keďže veľkosť kroku je iracionálne číslo, prostredníctvom ktorého sa generujú uzlové body , je potrebné pri porovnávaní získaných hodnôt riešenia pri rôznej voľbe dĺžky kroku brať do úvahy, že tieto uzly nie sú „úplne“ totožné.
h
3000h
h
h
Literatúra:
Berezansky,L.,Braverman,E.: Oscillation properties of a logistic equation with distributed delay. Nonlinear analysis:Real World Appl. 4 (2003), pp.1-19
Gopalsamy,K.,Zhang,B.: Oscillation and nonoscillation in a nonautonomous delay-logistic equation. Q.Appl.Math.XLVI (1988), pp.267-273
Gopalsamy,K.,He,X.Z.,Xue.Z,Wen,L.Z.: Global attractivity and oscillationin periodic logistic integrodifferential equation., Houston J.Math.17(1991), pp.157-177
Kim,A.V.,Pimenov,V.G.:Numerical methods for delay differential equations. Lecture notes series Number 44, Seoul National University,Seoul 151-742, Korea
Tang,X.H.: Oscillation of first order delay differential equations with distibuted delay. Mat.Anal.Appl.289(2004), pp.367-378
BB
ZG
WXHG
PK
T
Ďakujem za pozornosť