Grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc a nerovníc s dvomi neznámymi

Grafické riešenie sústavy Grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc a nerovníclineárnych rovníc a nerovníc

s dvomi neznámymis dvomi neznámymi

Grafické riešenie lineárnej rovnice Grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc Grafické riešenie lineárnej nerovnice

KoniecKoniec

Grafom lineárnej rovnice

ax1+bx2 =c ,

kde a,b,c sú reálne čísla, a≠0 alebo b≠0, je vždy

priamka.

ĎalejĎalejSpäťSpäť KoniecKoniecZačiatokZačiatok

Ak a≠0 a zároveň b≠0 , tak priamka ax1+bx2 =c pretína súradnicové osi x1 a x2 v bodoch P=[c/a,0] a Q=[0,c/b].

Ak c=0 , tak priamka prechádza počiatkom súradnicovej sústavy, teda bodom O= [0,0].

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť ĎalejĎalej

Ak a=0 a zároveň b≠0 , tak priamka bx2 =c prechádza bodom Q=[0,c/b] a je rovnobežná s osou x1 .


Ak a≠0 a zároveň b=0 , tak priamka ax1 =c prechádza bodom P=[c/a,0] a je rovnobežná s osou x2.


Pokúste sa načrtnúť grafy lineárnych rovníc : 0,04x2 = 2 RIEŠENIE 0,05 x1 = 6 RIEŠENIE 0,2x1 + 0,1x2= 27 RIEŠENIE 35 x1 + 42x2 = 0 RIEŠENIE


Otestujte sa

RIEŠENIE: Lineárnu rovnicu 0,04x2 = 2 môžeme upraviť na tvar x2 = 2/0,04, teda x2 = 50. Graf tvorí množina všetkých bodov so súradnicami [x1 ,50 ], kde prvá súradnica tvorí množinu všetkých reálnych čísel a druhá sa stále rovná číslu 50.

Táto množina bodov tvorí priamku, ktorá je rovnobežná s osou x1 a prechádza bodom [0,50].

KoniecKoniecZačiatokZačiatok SpäťSpäť

RIEŠENIE: Lineárnu rovnicu 0,05x1 = 6 môžeme upraviť na tvar x1 = 6/0,05, teda x1 = 120. Graf tvorí množina všetkých bodov so súradnicami [120,x2 ], kde prvá súradnica je stále rovná číslu 120 a druhá tvorí množinu všetkých reálnych čísel.

Táto množina bodov tvorí priamku, ktorá prechádza bodom [120,0] a je rovnobežná

s osou x2 .


RIEŠENIE: Súradnice dvoch rôznych bodov, ktoré určujú priamku 0,2x1 +0,1x2 = 27, získame najlepšie takto: zvolíme si x1 =0, potom x2 =27/0,1=270;

x2 =0, potom x1 =27/0,2=135.

Priamka 0,2x1 +0,1x2 = 27 pretína súradnicové osi x1 a x2

v bodoch [0,270] a [135,0] .


RIEŠENIE: Priamka 35x1 + 42x2 = 0 prechádza začiatkom súradnicovej sústavy. Aby bola určená, musíme zistiť súradnicu nejakého ďalšieho bodu, ktorým priamka prechádza. Určíme ho tak, že jednu súradnicu si ľubovoľne zvolíme a druhú vypočítame z rovnice priamky. Napríklad x1 =42, potom 35.42+42. x2 = 0,

x2 = -35.42/42 =-35, teda bod má súradnice [42,- 35].

Graf

-35

0

35

70

-42 0 42 84

x1

35x1+42x2=0


Sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi riešime graficky tak, že do tej istej súradnicovej sústavy s osami x1 a x2 zakreslíme grafy oboch lineárnych rovníc.

Body patriace do prieniku oboch grafov znázorňujú riešenie. Každý bod prieniku prvou súradnicou určuje koreň riešenia x1

a druhou súradnicou koreň x2. Prienikom príslušných priamok môže byť: prázdna množina, vtedy sústava rovníc nemá žiadne riešenie ( priamky sú rovnobežné ) PRÍKLAD jeden bod, sústava lineárnych rovníc má jediné riešenie ( priamky sú rôznobežné ) PRÍKLAD Nekonečne veľa bodov, keď sústava rovníc má nekonečne veľa riešení

( priamky sú totožné) PRÍKLAD


PRÍKLAD: Majme sústavu lineárnych rovníc : 0,05x1 + 0,05x2 = 6

1/3x1 + 1/3x2 = 60.

Súradnice dvoch rôznych bodov, ktoré určujú prvú priamku získame: volíme x1 =0, potom x2 =6/0,05=120; x2 =0, potom x1 =6/0,05=120. Teda priamka

0,05x1 + 0,05x2 = 6 prechádza bodmi [0,120] a [120,0]. Podobne zistíme

i súradnice bodov, ktoré určujú priamku 1/3x1 + 1/3x2 = 60 : [0,180] a [180,0].

Keďže priamky odpovedajúce týmto rovniciam sú rovnobežné, táto sústava lineárnych

rovníc nemá žiadne riešenie.


PRÍKLAD: Riešme graficky sústavu : 0,05x1 +0,05x2 = 6

0,04x2 = 2.

Súradnice dvoch rôznych bodov, ktoré určujú prvú priamku získame podobne ako v predchádzajúcom príklade a dostaneme: priamka 0,05x1 + 0,05x2 = 6 prechádza

bodmi [0,120] a [120,0]; priamka 0,04x2 = 2 je určená bodmi [0,50]

a [70,50].

Priamky sú rôznobežné a pretínajú sa v bode P= [70,50], čiže sústava týchto rovníc má jediné riešenie.

Graf

0

50

100

0 70x1

0,05x1+0,05x2=6

0,04x2=2


PRÍKLAD: Majme sústavu lineárnych rovníc : 0,2x1 + 0,1x2 = 27

6x1 + 3x2 = 810.

Súradnice dvoch rôznych bodov, ktoré určujú prvú priamku získame: volíme x1 =0, potom x2 =27/0,1=270; x2 =0, potom x1 =27/0,2=135. Teda priamka

0,2x1 + 0,1x2 = 27 prechádza bodmi [0,270] a [135,0]. Podobne zistíme

i súradnice bodov, ktoré určujú priamku 6x1 + 3x2 = 810 : [0,270] a [135,0].

Obe priamky prechádzajú bodmi s rovnakými súradnicami a priamky splývajú. Tátosústava má nekonečne veľa riešení; každý bod priamky je riešením danej sústavy.

Graf

0

270

0 135x1

6x1+3x2=8100,2x1+0,1x2=27


Pokúste sa načrtnúť grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc :

0,04x2 = 2

0,2x1+0,1x2= 27

RIEŠENIE


RIEŠENIE: Zostrojíme priamku 0,2x1 +0,1x2 = 27, ktorá prechádza bodmi [135,0], [0,270] a priamku 0,04x2 = 2, určenú bodmi [0,50], [110,50]. Priamky

sú rôznobežné a pretínajú sa v bode P= [70,50], čiže sústava týchto rovníc má jediné riešenie.


Priamka ax1+bx2 =c, kde a, b, c sú reálne čísla, a≠0 alebo b≠0, rozdeľuje rovinu na dve opačné polroviny a nazýva sa hraničnou priamkou.

Grafickým riešením lineárnej nerovnice s dvomi neznámymi ax1+bx2 < c , kde a, b, c sú reálne čísla, a≠0 alebo b≠0, je vždy

polrovina,

teda množina bodov [x1 ,x2 ], ktorých súradnice vyhovujú nerovnici ax1+bx2 < c.

V nerovnici namiesto znaku <, môžu byť znaky: <=, >=, >.Ak je v nerovnici použitý jeden zo znakov <=, >=, potom tejto nerovnicivyhovujú aj body patriace hraničnej priamke.


PRÍKLAD: Pokúsme sa znázorniť grafické riešenie nerovnice: 0,2x1 +0,1x2 <= 27.

RIEŠENIE: Zostrojíme hraničnú priamku 0,2x1 +0,1x2 = 27, ktorá rozdelí rovinu na dve opačné polroviny. Zvolíme si bod jednej z polrovín, najjednoduchšie bod [0,0] a zistíme, či je riešením danej nerovnice: 0,2.0 +0,1.0 <=27, 0 <=27. Nerovnosť je splnená, bod [0,0] je riešením nerovnice, teda polrovina, ktorej patrí počiatok súradnicovej sústavy, spolu s hraničnou priamkou (keďže v nerovnici je znak <=), je grafickým riešením nerovnice 0,2x1 +0,1x2 <= 27 .


Pokúste sa načrtnúť grafické riešenie lineárnych nerovníc :

0,04x2 <= 2 RIEŠENIE

0,05 x1 > 6 RIEŠENIE

35 x1 + 42x2 > = 0 RIEŠENIE


Otestujte sa

RIEŠENIE: Zostrojíme hraničnú priamku 004x2 = 2, ktorá rozdelí rovinu na dve opačné polroviny. Zistíme, či bod jednej z polrovín, najjednoduchšie bod [0,0],

je riešením danej nerovnice: 0,04.0 <=2, 0 <=2. Nerovnosť je splnená, bod [0,0] je riešením nerovnice, teda polrovina, ktorej patrí počiatok súradnicovej sústavy, spolu s hraničnou priamkou ( keďže v nerovnici je znak <=), je grafickým

riešením nerovnice 0,04x2 <= 2.


RIEŠENIE: Zostrojíme hraničnú priamku 0,05x1 =6, ktorá rozdelí rovinu na dve opačné polroviny. Zistíme, či bod jednej z polrovín, napríklad bod [0,0],

je riešením danej nerovnice: 0,05.0 > 6, 0 >6. Nerovnosť nie je splnená, bod [0,0] nie je riešením nerovnice, teda opačná polrovina k polrovine, ktorej patrí počiatok súradnicovej sústavy, je grafickým riešením nerovnice 0,05x1 > 6.


RIEŠENIE: Zostrojíme hraničnú priamku 35x1 +42x2 = 0, ktorá rozdelí rovinu na dve opačné polroviny. Zvolíme si bod jednej z polrovín, napríklad bod [1,1] a zistíme, či je riešením danej nerovnice: 35.1 +42.1 >=0, 77 >=0. Nerovnosť je splnená, bod [1,1] je riešením nerovnice, teda polrovina, ktorej patrí bod [1,1] , spolu s hraničnou priamkou ( keďže v nerovnici je znak >=), je grafickým riešením nerovnice 35x1 +42x2 >=0.


Grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc a nerovníc s dvomi neznámymi

Documents

Transcript of Grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc a nerovníc s dvomi neznámymi