NELINEARNE JEDNA ČINE
description
Transcript of NELINEARNE JEDNA ČINE
![Page 1: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/1.jpg)
NELINEARNE NELINEARNE JEDNAJEDNAČINEČINE
![Page 2: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/2.jpg)
)1(0)( xf
RR :f
1x 2x 3x
( )y f x
Etape:
1) izolovanje rešenja (korena)
2) nalaženje približne vrednosti rešenja
![Page 3: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/3.jpg)
Teorema:Teorema: Neka je Tada postoji za koje je
.0)()(],,[ bfafbaCf ),( bac( ) 0.f c
a
b1c2c 3c
a
b
Jedinstvenost rešenja:
x
![Page 4: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/4.jpg)
Teorema(o oceni greške):Teorema(o oceni greške): Neka je tačna, a približna vrednost korena jednačine i
x].,[,0)(],,[],,[, 1 baxxfbaCfbax
Tada je
)(min;)(
11
xfmm
xfx
bxa
1
( ) ( ) ( )( )
( )( ) 0 ,
( )
( ) ( ).
( )
f f x f c x
f xf x
f c
f x f xx
f c m
)(max;)(min )()( xfMxfm k
bxak
k
bxak
Dokaz:Dokaz:
Oznake:
![Page 5: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/5.jpg)
NUMERIČKE METODE: 1) metode sužavanja intervala
2) metode zasnovane na teoremi o fiksnoj tački
![Page 6: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/6.jpg)
METODA POLOVLJENJA INTERVALAMETODA POLOVLJENJA INTERVALA
a
b0x 1x 0 0
0 00
0 0 0 11 1
0 0 1 0
[ , ] [ , ]
2[ , ] ako je ( ) ( ) 0
[ , ][ , ] ako je ( ) ( ) 0
1( ), ( 0, 1, ...)
2k k k
a b a b
a bx
a x f a f xa b
x b f x f b
x a b k
![Page 7: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/7.jpg)
Teorema:Teorema: Neka je gde je interval izolacije korena jednačine Tada niz konvergira korenu jednačine i važi
],[ baCf ),( ba( ) 0.f x 1 ( )2n n nx a b
...),1,0(,2 1
nab
xnn
)(,0222
1
2 1
n
abababx
nnnn
n
Dokaz:
![Page 8: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/8.jpg)
METODA REGULA FALSIMETODA REGULA FALSI
1)()()(
:0
)()()(
)( :AB
xafafbf
abaxy
axab
afbfafy
a
b1x
B(b,f(b))
A(a,f(a))
![Page 9: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/10.jpg)
Teorema (izbor fiksne tačke):Teorema (izbor fiksne tačke): Neka je na segmentu funkcija
neprekidno diferencijabilna i u svakoj tački postoji Dalje neka su ispunjeni uslovi:
],[ ba R],[: baf
[ , ]x a b ).('' xf
1. ,0)()( bfaf
2. i su stalnog znaka na segmentu .)(' xf )('' xf ],[ ba
Neka su dalje tačke za koje su zadovoljeni uslovi: ],[, 0 baxxF
.0)()(",0)()( 0 FFF xfxfxfxf
Tada niz definisan rekurentnom fomulom{ }nx
1
( )( ), 0,1, 2,...
( ) ( )n n F
n nn F
f x x xx x n
f x f x
konvergira ka korenu jednačine ),( ba .0)( xf
(1)
(2)
![Page 11: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/11.jpg)
Dokaz:Dokaz: Pretpostavka:
( [ , ]) '( ) 0, "( ) 0.x a b f x f x
( ) 0Ff x Iz (1) sledi: i .0( ) 0f x
Zbog toga što je f monotono rastuća je , i .0x Fx
Matematičkom indukcijom dokazujemo da je
( 0,1,...).nx n
n=0 : (tačno) 0x
n=k : (pretpostavka) kx
n=k+1 : ako je ( ) ( )( ) ( )
F
F
x xg x x f x
f x f x
( )'( ) '( ) 1
( ) ( ) ( ) ( )F F
F F
f x x xg x f x
f x f x f x f x
onda je (dokazati ili zapamtiti)
tj. da je niz ograničen odozgo.( )nx
![Page 12: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/12.jpg)
Tada je ,))((')()(1 kkkk xcggxgx ( , ).k kc x
( , )kx x : ( ) ( ) '( )( ), ( ).F F Ff x f x f c x x x c x
Sledi:( ) '( )
'( ) 1 0, ( , )( ) ( ) '( )
Fk
F
f x f xg x x x
f x f x f c
jer su funkcije i monotono rastuće i . Specijalno je , pa je f 'f ' 0f
kx kc
'( ) 0kg c
1 '( )( ) 0,k k kx g c x
odnosno
(Kraj dela dokaza matematičkom indukcijom)
.1 nx
![Page 13: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/13.jpg)
Takođe je
1 ( ) 0,( ) ( )
F nn n n
F n
x xx x f x
f x f x
jer je Niz je konvergentan: ( ) 0.nf x ( )nx lim .nn
c x
Pri tome je.Fc x
Prelaskom u (2) na graničnu vrednost kad dobija se n
( ) .( ) ( )
F
F
c xc c f c
f c f x
Odavde sledi da je , a pošto je jedini koren jednačine ( ) 0f c ( ) 0f x
biće , odnosnoc
.lim n
nx
Kraj dokaza.
![Page 14: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/14.jpg)
Ocena greške:Ocena greške:
Primenom Lagranžove teoreme dobija se:
1
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )n n F n
n n n n Fn F n F
f x x x f x fx x x x x
f x f x f x f x
1
2
( ) '( )( )
( ) '( )n
n F nF n
x f cx x x
x x f c
1 1
1 12 2
'( ) '( )( ) 1 ( ) 1
'( ) '( )n n n n
f c f cx x x x
f c f c
1 11 1
2 2
'( ) '( )( ) 1 ( ) 1 .
'( ) '( )n n n
f c f cx x x
f c f c
Iz prethodnog sledi
1 21 1
1
'( ) '( )( )
'( )n n n
f c f cx x x
f c
odnosno1 1
1 11
.n n n
M mx x x
m
![Page 15: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/15.jpg)
Metode zasnovane Metode zasnovane na teoremi o na teoremi o
nepokretnoj tanepokretnoj tačkički
![Page 16: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/16.jpg)
TEOREME O NEPOKRETNOJ TAČKITEOREME O NEPOKRETNOJ TAČKI
Definicija 1:Definicija 1: Neka . Kažemo da je x fiksna ili nepokretna tačka preslikavanja ako je
],[],[: babag g
)(xgx
![Page 17: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/17.jpg)
Teorema 1 (Šauderova):Teorema 1 (Šauderova): Neka je i neka je g neprekidno preslikavanje. Tada funkcija g ima bar jenu nepokretnu tačku.
],[],[: babag
Dokaz:Dokaz:)()( xgxxF
Ako je ili onda je odnosno nepokretna tačka. ( )a g a ( )b g b a b
U protivnom je i , pa je( )a g a ( )b g b
( ) ( ) 0( ) ( ) 0.F a a g aF b b g b
Obzirom da je neprekidna funkcija, postoji takvo da je tj. .
F ),( ba ( ) 0F ( )g
![Page 18: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/18.jpg)
Teorema 2:Teorema 2: Neka je diferencijabilna fukcija za koju postoji
tako da je
],[],[: babag
.1)(']),[( Lxgbax
[0,1)L
Dokaz:Dokaz:
Tada g ima tačno jednu nepokretnu tačku.
Funkcija g je neprekidna (jer je diferencijabilna) pa ima bar jednu nepokretnu tačku. Dokažimo da funkcija ne može imati dve nepokretne tačke. Naime, ako pretpostavimo da g ima dve nepokretne tačke, i , bilo bi1x 2x
.))((')()( 2121212121 xxxxLxxcgxgxgxx
METODA ITERACIJEMETODA ITERACIJEJednačina
( ) 0f x
se na zamenjuje ekvivalentnom
( ).x g x[ , ]a b
![Page 19: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/19.jpg)
Generiše se niz :( )nx
0 1[ , ], ( ), Nn nx a b x g x n
![Page 20: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/20.jpg)
Teorema 3 (dovoljni uslovi konvergencije):Teorema 3 (dovoljni uslovi konvergencije):
Neka diferencijabilna funkcija zadovoljava uslov ],[],[: babag
.1)(']),[))(1,0[( LxgbaxL
Tada niz konvergira ka fiksnoj tački funkcije g i za svaki prirodan broj n važi ocena
.1 01 xxL
Lx
n
n
( )nx
Dokaz:Dokaz: Važi
1 1 12
2
( ) ( ) '( )( )
... ...n n n n n
n
x g x g g c x L x
L x
Posle n koraka dobija se
0 0 ( ),nnx L x n
pa je
.lim n
nx
![Page 21: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/21.jpg)
Iz,0101100 xLxxxxxx
sledi 0 0 1
1,
1x x x
L
pa je
1 0 .1
n
n
Lx x x
L
Napomena:Napomena:
Ocena greške može se dobiti iz poslednje dve iteracije. Iz
1111
1 ))((')()(
nnnnnn
nnnnn
xxxLxxxL
xLxcggxgx
sledi
nnn xxL
Lx
11 1
specijalno za je0 0.5L 1 1 .n n nx x x
![Page 22: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/22.jpg)
Neka je fiksna tačka funkcije , i neka je neprekidna u otvorenom intervalu koji sadrži . Ako je , onda postoji tako da niz definisan sa
],[],[: babag '( )g x '( ) 1g 0
0 1( , ), ( ), Nn nx x g x n konvergira nepokretnoj tački funkcije g.
Dokaz:Dokaz:
Neka . Tada postoji tako da je '( ) , 1L g 0
( [ , ]) '( ) 1,x g x L
zbog neprekidnosti na . '( )g x [ , ]a b
Funkcija g preslikava segment na samog sebe:[ , ]
LxLxcggxgxg ))((')()()(
Teorema 4 (dovoljan uslov lokalne konvergencije):Teorema 4 (dovoljan uslov lokalne konvergencije):
![Page 23: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/23.jpg)
NJUTN – NJUTN – RAFSONOVA METODA ( METODA TANGENTI )RAFSONOVA METODA ( METODA TANGENTI )
)(0)( xgxxf
)(
1)(,
)(
1)(0)()(1)(
)()()()(1)(
)()()(
xfxh
fhfhg
xfxhxfxhxg
xfxhxxg
)(
)()(
xf
xfxxg
)1(],[;...,1,0,)(
)(01 baxn
xf
xfxx
n
nnn
Teorema ( o lokalnoj konvergenciji ):Teorema ( o lokalnoj konvergenciji ): Neka je neprekidna funkcija i u nekom otvorenom intervalu koji sadrži gde je
Tada postoji tako da niz definisan sa (1) konvergira ka ako je
)(xf ( ) 0.f 0)( xf
0 0x .
![Page 24: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/24.jpg)
Dokaz:Dokaz:
22
2
))((
)()(
))((
)()())((1)(
xf
xfxf
xf
xfxfxfxg
0)( g g L0 10 L
,,1)( xLxg
n
nxlim
Obzirom da je i neprekidna funkcija, postoji i ,
i takvo da je .Na osnovu teoreme 3 sledi da je .
Geometrijska interpretacija:
0
y
x
( )y f x
a 0b x1x2x
g
![Page 25: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/25.jpg)
Teorema ( o izboru početne aproksimacije ):Teorema ( o izboru početne aproksimacije ): Neka je dva puta neprekidno diferencijabilna i neka je . Ako su i stalnog znaka na i :
R],[: baf0)()( bfaf f f
],[ ba ],[0 bax 0)()( 00 xfxf
...),1,0(,)(
)(1
n
xf
xfxx
n
nnn
0)( xf
],[,0)(,0)(;0)(,0)( baxxfxfbfaf
}{ nx
0:01 xn f2 kx
2)(!2
)()(
!1
)()())(()(3 k
kk
kkkk x
fx
xfxfxxff
0)( f 0)(!2
)( 2
kk x
f
,0)(!1
)()(
k
kk x
xfxf
, onda niz
konvergira rešenju jednačine .
Dokaz:Dokaz: Pretpostavimo da je .
Niz je ograničen odozdo sa : jer je i je monotono rastuća0)( 0 xf
pretpostavka: ( za neko k)
Obzirom da je i sledi da je
![Page 26: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/26.jpg)
}{ nx
.0)(
)(1
n
nnn xf
xfxx
cxnnlim
n
,)(
)(
cf
cfcc
ccf 0)(
1)(
)(
k
k
kk x
xf
xfx . ( kraj dela dokaza mat.
indukcijom )
Niz je monotono opadajući:
Postoji .
Ako u (1) pređemo na graničnu vrednost kad , dobijamo
odnosno jer je jedinstven koren jednačine na intervalu (a,b)
![Page 27: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/27.jpg)
Teorema ( o oceni greške ):Teorema ( o oceni greške ): Ako je dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija, onda je
R],[: baf
2
11
2
2 nnn xxm
Mx
.)(2
)()(
)()(
)(2
)())(()())(()(
211
1
11
2111111
nnnnnn
nn
nnnnnnnnnn
xxcf
xxxx
xfxf
xxcf
xxxfxfxxxfxf
.22
)()( 2
11
22
111
nnnnn
n xxm
Mxx
m
cf
m
xfx
Dokaz:Dokaz:
![Page 28: NELINEARNE JEDNA ČINE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081504/568148ea550346895db60661/html5/thumbnails/28.jpg)
0x 1x
0x1x
2x
2x
)(
)(1
n
nnn
xf
xfxx
1 ( ), ( 0,1, ...)( ) ( )
2
n nn n n
n n
nnn
x xx x f x n
f x f x
x xx
KOMBINOVANA METODAKOMBINOVANA METODA