Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema...
Transcript of Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema...
![Page 1: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/1.jpg)
Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik:
Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.
1) , 2) .∑=⋅ iC Xxm && ∑=⋅ iC Yym &&
Dok, u drugoj varijanti, njihov oblik je: 1) ,
2) .∑=⋅ iTCT Fam
∑=⋅ iNCN FamTe prve dve dinamičke jednačine su posledica zakona o kretanju centra masa sistema primenjenog na telo mase m, težišta (centra masa) utački C, koje vrši ravno kretanje. One su, zapravo, njegove projekcije na ose x i y, u prvoj varijanti, odnosno, na tangentu i normalu, u drugoj varijanti (Slikana sledećem slajdu). Druga varijanta se piše u slučajevima u kojima centar C vrši očigledno kružno kretanje, poznatog poluprečnika kruga i, vrlo često, definisane lučne ili ugaone koordinate koje definišu položaj centra.
![Page 2: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/2.jpg)
Treća (poslednja) dinamička jednačina ravnog kretanja je posledica zakona o promeni momenta količine kretanja za centar C, i ima oblik
3) .∑=ϕ⋅ iCC MJ &&
Polazni izraz ove jednačine, za obepomenute varijante je istog oblika. Važno je znati da pri pisanju njenedesne strane (pri traženju sumemomenata svih sila i spregova za centarC) predznak za moment biće „+“ ako je težnja sile za obrtanjem oko centra u smeru porasta ugla rotacije a „-“obrnuto. Isto se odnosi i na spreg. Akose smer sprega poklapa sa smeromporasta ugla rotacije predznak je „+“, a ako je suprotan predznak je „-“.
Ako dinamičke jednačine ravnog kretanja sadrže izvode, pa je za određivanje kretanja potrebno vršiti njihovu integraciju, onda se one obično nazivaju diferencijalnim jednačinama kretanja.
![Page 3: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/3.jpg)
Primer 5.14 Homogeni štap mase m, dužine l, kreće se u vertikalnoj ravni homogenog polja sile Zemljine teže, tako, što svojom tačkom A, klizi po vertikalnom glatkom zidu, a svojom tačkom B, po glatkoj horizontalnoj podlozi. Štap je, usled beskonačno malog poremećaja, započeo kretanje iz vertikalnog položaja i stanja mirovanja. Primenom teoreme o promeni kinetičke energije odrediti ugaonu brzinu, a zatim i ugaono ubrzanje štapa u zavisnosti od ugla ϕ? Napisati dinamičke jednačine ravnog kretanja, a zatim, na osnovu njih, odrediti reakcije veza u zavisnosti od ugla ϕ? Odrediti pri kom uglu dolazi do odvajanja tačke A štapa od zida?
ϕ=ϕ
Pošto su koordinate centra C, za izabran nepokretnikoordinatni sistem,
,cos2
,sin2
ϕ=ϕ= ly
lx CC
njegove projekcije brzine i ubrzanja su:
,sin2
,cos2
ϕϕ−=ϕϕ= &&&&l
yl
x CC
( ),sincos2
2 ϕϕ−ϕϕ= &&&&&l
xC ( ).cossin2
2 ϕϕ+ϕϕ−= &&&&&l
yC
![Page 4: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/4.jpg)
Na osnovu projekcija brzine, kvadrat brzine centra u proizvoljnom položaju je:
( ) .4
sincos2
2222
222 ϕ=ϕ+ϕ
ϕ=+= &&&&
2
CCC
llyxV
Pošto štap vrši ravno kretanje njegovu kinetičku energiju u proizvoljnom položaju određuje Kenigova teorema:
,2
1
2
1 22 ω⋅+⋅= CCk JVmE ⇒ϕ=ω= &,121 2lmJC
.6
1
12
1
2
1
42
1 222222
ϕ=ϕ⋅⋅+ϕ⋅⋅= &&&
lmlml
mEk
Zbog toga što je štap započeo kretanje iz stanja mirovanja, kinetička energija u početnom položaju iznosi nula, tj: .00 =kE
Pošto pri kretanju, reakcije idealnih veza i ne vrše rad, jedino sila težine vrši rad, koji iznosi:
AFr
gmr BF
r
( ) ( ).cos12
ϕ−+=⋅+== lmghmggmAA
r
Sada, korišćenjem teoreme o promeni kinetičke energije dobija se ugaonabrzina u zavisnosti od uglaϕ: ⇒=− AEE kk 0ϕ=ω &
![Page 5: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/5.jpg)
( ) ⇒ϕ−=−ϕ cos12
06
1 22 lmglm & ( ) ⇒ϕ−=ϕ cos1
32
l
g& ( ) ( ).cos1
3 ϕ−=ϕϕl
g&
Diferenciranjem pretposlednjegizraza po vremenu dobiće se ugaono ubrzanje štapa u zavisnosti od ugla ϕ:
( )⇒ϕ−=ϕ cos132
l
g
dt
d& ⇒ϕϕ=ϕϕ sin
32 &&&&
l
g ( ) .sin2
3 ϕ=ϕϕl
g&&
Na osnovu sila koje u proizvoljnom položaju dejstvuju na štap, dinamičkejednačine ravnog kretanja imaju oblik:
,)1 AC Fxm =&&
,)2 mgFym BC −=&&
.cos2
sin2
)3 ϕ−ϕ=ϕ lF
lFJ ABC &&
Reakcija veza u zavisnosti od ugla ϕ, dobiće se na osno-vu prve dve dinamičke jednačine kretanja, nakon što se, na osnovu dobijenih izraza, odrede i :( )ϕCx&& ( )ϕCy&&
( ) =
ϕϕ−−ϕϕ= sincos13
cossin2
3
2 l
g
l
glxC&&
⇒
−ϕϕ= 1cos2
3sin
2
3g ( ) ,1cos2
3sin
2
3
−ϕϕ=ϕ mgFA
![Page 6: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/6.jpg)
( ) =
ϕϕ−−ϕϕ−= coscos13
sinsin2
3
2 l
g
l
glyC&&
( ) ⇒ϕ+ϕ−−= cos2cos314
3 2g
Do mesta odvajanja tačke A štapa od zida, tj. ugla , dolazi se korišćenjemčinjenice da je na tom mestu reakcija veze na mestuA jednaka nuli:
( ) ( ).cos2cos314
3 2 ϕ+ϕ−−=ϕ mgmgFB
ϕ=ϕ
( ) ⇒=ϕ 0AF .01cos2
3sin
2
3 =
−ϕϕmg
Rešenje prethodne jednačine se odbacuje, pa mora biti:0sin =ϕ
⇒=−ϕ 01cos2
3.19,48
3
2arccos 0==ϕ
Primer 5.15 Homogeni štap mase m, dužine l, u ravnotežnom položaju, gradi sa horizontalom ugao α.Tačka A štapa, nalazi se na glatkoj horizontalnoj podlozi a za tačku B vezano je uže. Presecanjem užeta štap započinje ravno kretanje. Odrediti reakciju podloge u trenutku neposredno nakon presecanja užeta?
![Page 7: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/7.jpg)
.cos31 2 α+
= mgFA
.ACT
ACNAC aaaa
rrrr ++=
tražena reakcija podloge, pa su, za taj trenutak, dinamičke jednačine ravnog kretanja oblika:
,0)1 =⋅ Cxam,)2 ACy Fmgam −=⋅
,cos2
)3 α=ε⋅ lFJ AC
.12
2lmJC =
Neposredno nakon presecanja užeta (Sl.1) na štap dejstvuju jedino sila težine i
Pošto u drugoj i trećoj jednačini imamo tri nepoznate , i ε, problem će se rešiti tek nakon dobijanja dopunske jednačine, na osnovu kinematike ravnog kretanja, na osnovu koje važi:
AF Cya
dopunska jednačina, koja je projekcija vektorske jednačine na osu y, ima oblik
S obzirom da štap u tom trenutku miruje (ugaona brzina mu jednaka nuli), da je horizontalan vektor (Sl.2) i da važe jednakosti:
Aar
,2
,02
2 ε==ω= la
la A
CTACN
.cos2
00 αε++= laCy
,)2mF
ga ACy −=⇒ .cos
6)3 α=ε⇒
lm
FA
Uvrštavanjem poslednja dva izraza u dopunsku jednačinu dobija se
Zatim
![Page 8: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/8.jpg)
Sila trenja, zbog neophodne hrapavosti (koja, omogućava kotrljanje bez klizanja), mora se očekivati, ali, ona je manja od granične vrednosti, i zadovoljava uslov
Osnovne karakteristike kotrljanja bez klizanja
Za telo telo koje se kotrlja bez klizanja ivrši ravno kretanje (a ne neko komplikovanije kretanje u prostoru), osnovno je, da se pišu tri dinamičke jednačine ravnog kretanja tela.Zbog činjenice da se u tački dodira diska (točka itd.) sa nepokretnom podlogom nalazi trnutni pol brzine, postoji veza između brzine centra i ugaone brzine i, za slučaj sa slike, imamo jednakost .ϕ= && RxC
Jasno je da bi se diferenciranjem veze po vremenu dobila veza izmeđuubrzanja centra i ugaonog ubrzanja, tako da, dakle, i takva veza mora postojati, i na nju se, pri pisanju dinamičkih jednačina ravnog kretanja, moramo pozvati. Ona je ovde:
ϕ= && RxC
.ϕ= &&&& RxC
Ovo „moramo pozvati“, znači da ćemo u prvoj dinamičkoj jednačini umesto staviti , ili, u trećoj dinamičkoj jednačini , umesto staviti .
Cx&&ϕ&&R ϕ&& RxC&&
.NT µ<
![Page 9: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/9.jpg)
Veoma je važno znati da sila trenja, u slučaju kotrljanja bez klizanja i uvek kada je (odnosno, nema proklizavanja), ne vrši rad, tj:
S obzirom da se sila trenja u ovakvom slučaju određuje iz dinamičkih jednačina ravnog kretanja (obično prve i treće), nije problem ako se smer sile trenja pogrešno pretpostavi, pošto bi se tada u rešenju dobio predznak „-“, koji bi značio da je smer pogrešno pretpostavljen, ali je vrednost sile dobra.
Tr
NT µ< ( ) .0=TAr
Samim tim, ovakvo ne narušava konzervativnost sistema i dopušta, na pogodan način, korišćenje teoreme o promeni kinetičke energije i zakona o održanju mehaničke energije.
Tr
Dinamičke jednačine ravnog kretanja za sistem sa slike (prikazane sile sa slike su samo neophodan minimum, smatrajmo da osim njih dejstvuje još nenacrtanih sila i spregova), mogle bi da imaju sledeći oblik
...)1 += Txm C&& ...0)2 +−== mgNym C&& ...)3 +−=⋅ TRR
xJ C
C
&&
![Page 10: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/10.jpg)
U ovakvim slučajevima obično se N odredi iz druge jednačine, a T i se određiju iz prve i treće. U takvim problemima često se postavlja pitanje „do kog trenutka će važiti da imamo kotrljanje bez klizanja, nakon kojeg će uslediti, kotrljanje sa klizanjem?“. Odgovor bi trebao da bude sledeći: Dokle god važi da imamo kotrljanje bez klizanja mora važiti nejednakost
Cx&&
t
( ) ( ).tNtT µ<U onom trenutku , u kom važi jednakosttt = ( ) ( ),tNtT µ=prestaje kotrljanje bez klizanja i počinje kotrljanje sa klizanjem.
Primer 5.16 Homogeni kružni disk mase m, poluprečnika R, kotrlja se bez kliza-nja po horizontalnoj podlozi pod dejstvom horizontalne sile intenziteta gde je b konstanta. Disk je započeo kretanje iz stanja mirovanja. Koeficijent trenja između diska i podloge iznosi µ. Odrediti kako se menja brzina centra diska u fun-
( ) ,tbtF ⋅=
kciji vremena dok traje kotrljanje bez klizanja? Odrediti posle koliko vremena od početka kretanja će prestati kotrljanje bez klizanja i početi kotrljanje sa klizanjem? Veličine: m, R, b i µ smatrati poznatim.
tt =
Za izabrani koordinatni sistem i usvojenu pomo-ćnu koordinatu ϕ, uzimajući u obzir vezu dinamičke jednačine ravnog kretanja imaju oblik:
,RxC&&&& =ϕ
![Page 11: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/11.jpg)
( )4......32
tmb
xC =&&
,)1 Ttbxm C −⋅=&&
,0)2 mgNym C −==&&
,)3 TRR
xJ C
C =⋅ &&.
2
1 2mRJC =
Rešimo prvu i treću jednačinu, kao algebarski sistem jednačina, po i T. Nakon sabiranja prve i sređene treće jednačine dobija se:
Cx&&
S obzirom na početni uslov , koji je dobijen iz činjenice da je disk započeo kretanje iz stanja mirovanja, integracijom gornjeg izraza dobija se tražena brzina centra diska u funkciji vremena:
( ) 00 =Cx&
⇒= tdtm
bxd C 3
2& ⇒= ∫∫ tdt
m
bxd C 3
2& ( ) ⇒+= C
m
bttxC 3
2
& ( )m
bttxC 3
2
=& jer je C=0
Sila trenja u funkciji vremena se dobija uvrštavanjem (4) u 1): ( ) tb
tT3
=
Normalna reakcija se dobija iz 2): mgN =
( ) ( ):tNtT µ=Trenutak vremena kada prestaje kotrljanje bez klizanja i počinje kotrljanje sa klizanjem dobiće se iz uslova
tt =
⇒µ= mgtb
3 b
mgt
µ= 3
![Page 12: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/12.jpg)
Primer 5.17 Homogeni kružni disk mase m, poluprečnika R, kotrlja se bez klizanja niz strmu ravan nagibnog ugla α.Korišćenjem dinamičkih jednačina ravnog kretanja odrediti reakcije veza i ubrzanje centra diska? Koji uslov mora da zadovolji koeficijent trenja µ? Proveriti da li se dobijena vrednost ubrzanja poklapasa vrednošću dobijenom korišćenjem teoreme o promeni kinetičke energije? Veličine: m, R i α smatrati poznatim.
Korišćenjem veze , dinamičke jednačine ravnog kretanja, za izabrani koordinatni sistem, imaju oblik:
RsRxC &&&&&& ==ϕ
,sin)1 Tmgsm −α=&&,cos0)2 α−== mgNym C&&
,)3 TRRs
JC =⋅ &&.
2
1 2mRJC =
Nakon sabiranja prve i sređene treće jednačine dobija se da traženo ubrzanje centra iznosi konstantnih
Sila trenja se dobija uvrštavanjem (4) u 1) ili 3):
Normalna reakcija se dobija iz 2):
( ) ( )4...3sin2 α= gs&&
( ) 3sinα= mgT
α= cosmgN
![Page 13: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/13.jpg)
Određivanje koeficijenta trenja µµµµ koji obezbeđuje kotrljanja bez klizanja:
⇒µ< NT ⇒>µN
T α>µ tan3
1
Određivanje ubrzanja centra korišćenjem teoreme o promeni kinetičke energije:
Kinetička energija u proizvoljnom položaju (kao i u primeru 4.3):
Neka je položaju, koji ćemo smatrati početnim, koordinata s iznosila 0. Kinetička energija u tom položaju nije funkcija pa se može smatrati brojkom (konstantom).
Rad, koji vrši jedino sila težine, iznosi: .sinα=⋅+= mgshmgA
Korišćenjem teoreme o promeni kinetičke energije imamo:
.4
3 2smEk &⋅=
⇒=− AEEdt
dkk 0 ⇒α=−⋅ sin
4
3 2 mgsconstsmdt
d&
⇒α=⋅ sin24
3smgssm &&&& α= sin
3
2gs&&
![Page 14: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/14.jpg)
položaja. Proizvoljni položaj diska definiše koordinata ϕ. Koeficijent trenja između diska i cilindrične površine iznosi µ. Primenom teoreme o promeni kinetičke energije odrediti ugaonu brzinu diska ω, zatim i njegovo ugaono ubrzanje ε, u zavisnosti od ugla ϕ? Na osnovu dinamičkih jednačina ravnog kretanja odrediti reakcije veze u zavisnosti od ugla ϕ? Do kog ugla će disk vršiti kotrljanje bez klizanja, nakon čega će uslediti kotrljanje sa klizanjem (samo napisati jednačinu koja određuje , bez njenog rešavanja)? Veličine: m, r, R i µ smatrati poznatim.
Primer 5.18 Homogeni kružni disk mase m, poluprečnika r, kotrlja se bez kliza-nja, u vertikalnoj ravni homogenog polja sile Zemljine teže, po cilindričnoj površini poluprečnika R. Disk je započeo kretanje iz stanja mirovanja i najvišeg
ϕ=ϕ
ϕ
Teorema o promeni kinetičke energijeKinetička energija diska u početnom položaju, zbog započinjanja kretanja iz stanja mirovanja, iznosi nula, tj. .00 =kE
![Page 15: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/15.jpg)
Kinetička energija diska u proizvoljnom položaju, odrerđuje se uz pomoć Kenigove teoreme:
⇒ω+= 22
2
1
2 CCk JVm
E
( ) ( )2
22222
2
1
2
1
2 r
rRmrrR
mEk
ϕ++ϕ+= &&
( ) .4
3 22ϕ+=⇒ &rRmEk
Rad sila koje dejstvuju na disk, pri njegovom kretanju od početnog do proizvoljnog položaja, je rad jedino sile njegove težine:
( ) ( ).cos1)( ϕ−++== rRmggmAAr
Teorema o promeni kinetičke energije odrediće ugaonu brzinu diska ω:
⇒=− AEE kk 0 ( ) =−ϕ+ 04
3 22&rRm ( )⇒ϕ−+ cos1)( rRmg
( ) ( ) ⇒ϕ−+
=ϕ *.....cos1)(3
42
rR
g& ( ) ( ) ( )ϕ−
+=ϕϕ=ϕω cos1
)(3
4
rR
g&
![Page 16: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/16.jpg)
Diferenciranjem izraza (*) po vremenu, dobiće se ugaono ubrzanje diska :ϕ=ε &&
( ) ⇒ϕ−+
=ϕ cos1)(3
42
rRg
dtd
& ⇒ϕϕ+
=ϕϕ sin)(3
42 &&&&
rR
g
S obzirom da je:
( ) .sin)(3
2 ϕ+
=ϕεrR
g
Dinamičke jednačine ravnog kretanja:Zbog kretanja centra po kružnoj putanji, dina-mičke jednačine ravnog kretanja imaju oblik:
,sin)1 TmgmaCT −ϕ=,cos)2 NmgmaCN −ϕ=
.)3 TrJC =ε( ) ,ϕ+= &&rRaCT
( ) ,2ϕ+= &rRaCN ,2
1 2mrJC = ( ),
r
rR ϕ+=ε &&
prethodne dinamičke jednačine ravnog kretanja dobijaju sledeći oblik:
( ) ,sin)1 TmgrRm −ϕ=ϕ+ &&
( ) ,cos)2 2 NmgrRm −ϕ=ϕ+ &
( ) .21
)3 TrRm =ϕ+ &&
![Page 17: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/17.jpg)
( ) ( )4cos73
−ϕ=ϕ mgN
zbog .sin)(3
2 ϕ+
=ϕrR
g&&( ) ϕ=ϕ sin
3mg
T
zbog ( ),cos1)(3
42 ϕ−+
=ϕrR
g&Iz jednačine 2) je
Iz jednačine 3) je
Pošto je na mestu prestanka kotrljanja bez klizanja, a započinjanja kotrljanja sa klizanjem, sila trenja jednaka njenoj graničnoj vrednosti, traženi ugao odre-đuje jednačina:
ϕ( ) ( ) ⇒ϕµ=ϕ NT
rešenje gornje jednačine bilo bi
( ).4cos7sin −ϕµ=ϕ
Ako bi, na primer, koeficijent trenja iznosio 74452.0827
2 ≈−
=µ.450=ϕ
Primer 5.19 Za sistem prikazan na slici odrediti ubrzanje centra diska mase m2, poluprečnika R, koji se kotrlja bez klizanja po horizontalnoj podlozi. Na doboš, u obliku diska, mase m1, poluprečnika r, dejstvuje aktivni konstantni spreg mome-
kretanja diska? Takođe odrediti reakcije podloge u tački dodira između diska i podloge? Veličine: m1, m2, M, r i R smatrati poznatim. Pri kretanju nema proklizavanja ni između užeta i doboša.
nta M. Silu u užetu odrediti na osnovu dinamičke jednačine obrtnog kretanja doboša ili dinamičkih jednačina ravnog
![Page 18: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/18.jpg)
Usvojimo da je ovde je s osnovna koordinata jer ćemo sve druge (pomo-ćne) preko nje izraziti. Ona definiše kretanje centra diska. Činjenica da se skoordinata meri od fiksnog pravca znači da je brzina centra diska C a njegovo ubrzanje.
s& s&&
Pomoćne koordinate koje se ovde uvode su ugao rotacije doboša ϕ i ugao rotacije diska ψ. Podrazumeva se da se te koordinate mere od takvih fiksnih pravaca, da imaju vrednost nula u istom položaju sistema (početnom položaju), u kom i zadata koordinata s ima vrednost nula. Zbog svega rečenog je ugaona brzina a ugaono ubrzanje doboša, i slično tome, je ugaona brzina a ugaono ubrzanje diska.
ϕ& ϕ&&ψ& ψ&&
Pošto doboš vrši obrtanje oko nepomične ose njegova kinetička energija je:
.2
1
2
1
2
1 221
21 ϕ=ϕ= && rmJE Ok
Pošto disk vrši ravno kretanje, primenom Kenigove teoreme, slično kao u primeru 4.3, njegova kinetička energija je:
.2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 222
22
2222 ψ+=ψ+= &&&& RmsmJsmE Ck
![Page 19: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/19.jpg)
Prva veza se dobija iz jednakosti brzina tačaka 1, 3, 3′ i C :
Veze:
⇒ϕ= && rs ⇒=ϕr
s&& .
r
s&&&& =ϕ
Pošto je trenutni pol brzine diska u tački P, druga veza ima oblik:
⇒ψ= && Rs
S obzirom na izraze za kinetičke energije pojedinih elemenata, i s obzirom na veze, dobiće se konačan izraz za kinetičku energiju sistema u proizvoljnom položaju:
⇒=ψR
s&& ,
R
s=ψ .Rs&&
&& =ψ
Kinetička energija sistema:
⇒+= 21 kkk EEE ,2sBEk &⋅= .43
4 21 constm
mB =+=
Rad:
Pri kretanju sistema rad vrši jedino konstantni spreg .Taj rad jednak je i ukupnom radu i iznosi ( ) .ϕ+== MMAA
S obzirom na dobijene veze, rad iznosi: ,sDA ⋅= .constr
MD ==
,r
s=ϕ
![Page 20: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/20.jpg)
s&&Izvod po vremenu teoreme o promeni kinetičke energije daje: ⇒=− AEE
dtd
kk 0
⇒⋅=−⋅ sDEsBdt
dk 0
2& ⇒⋅=−⋅ sDssB &&&& 02 ( ).3
2
2 21 mmr
M
B
Ds
+==&&
Određivanje sile u užetu na osnovu dinamičke jednačine obrtanja doboša:
⇒⋅−=ϕ⋅ rFMJ uO && ⇒⋅−
=ϕ⋅−=r
r
srmM
r
JMF O
u
&&
&&
212
1
( ).3
3
21
2
mmr
MmFu +
=
Dinamičke jednačine ravnog kretanja:
,)1 22 TFsmxm uC −== &&&&
,0)2 222 gmNym C −==&&
,)3 TRR
sJC =⋅ &&
.2
1 22RmJC =
Jednačina 3) određuje silu trenja:
( ).3 21
2
mmr
MmT
+=
Jednačina 3) određuje normalnu reakciju:
.22 gmN =
Određivanje traženog ubrzanja :s&&
![Page 21: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/21.jpg)
Primer 5.20 Za sistem prikazan na slici odrediti: ubrza-nje tereta mase m1, koji se kreće naniže, sile u užadima ireakcije strme ravni? Homogeni kružni disk mase m3, poluprečnika R3 kotrlja se bez klizanja uz strmu ravan
nagibnog ugla α. Veličine: m1, m2, m3, r2, R2, R3, g i α smatrati poznatim.
Pri kretanju nema proklizavanja između vertikalnog užeta i do-boša. Takođe nema proklizava-nja između kosog užeta i kako doboša, tako i diska.
Ovde je s zadata koordinata, ona definiše kretanje tereta mase m1. Činjenica da se s koordinata meri od fiksnog pravca znači da je brzina tog tereta a njegovo ubrzanje.
s& s&&
Pomoćne koordinate koje se ovde uvode su ugao rotacije doboša ϕ, ugao rotacije diska ψ i koso pomeranje centra diska x. Podrazumeva se da se te koordinate mere od takvih fiksnih pravaca, da imaju vrednost nula u istom položaju sistema (početnom položaju), u kom i zadata koordinata s ima vrednost nula.
![Page 22: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/22.jpg)
Zbog svega rečenog je ugaona brzina a ugaono ubrzanje doboša. Isto tako, je ugaona brzina a uga-ono ubrzanje diska. Slično tome, je brzina a ubrzanje centra diska.
ϕ&ϕ&&ψ& ψ&&
x&x&&
Pošto teret vrši translatorno kretanje njegova kinetička energija je:
.2
211 s
mEk &=
Pošto doboš vrši obrtanje oko nepomi-čne ose njegova kinetička energija je:
.2
1
2
1 222
22 2
ϕ=ϕ= && imJE Ok
Pošto disk vrši ravno kretanje, primenom Kenigove teoreme, slično kao u primeru 4.3, njegova kinetička energija je:
.21
21
21
21
21 22
32
322
33 ψ+=ψ+= &&&& RmxmJxmE Ck
Pošto, u konačnom izrazu za kinetičku energiju, izvodi pomoćnih kordinata ( , i ) moraju biti izraženi preko , nađimo veze ovih veličina.
ϕ& x&ψ& s&
![Page 23: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/23.jpg)
Veze:
Prva veza se dobija iz jednakosti brzina tačaka 1′ i 2′:
⇒ϕ= && 2Rs2R
s&& =ϕ
,2R
s=ϕ⇒ .2R
s&&&& =ϕ
Zbog položaja trenutnog pola brzineP, za ravno kretanje diska važe jednakosti:
,3ψ== && RxVC .2 33 ψ= &RV
Veza između veličina i , dobija se iz jednakosti brzina tačaka 2, 4, 4′ i 3:
ψ& s&
⇒ψ=ϕ && 32 2Rr23
2
2 R
s
R
r && =ψ ,
2 23
2
Rs
Rr=ψ⇒ .
2 23
2
R
s
R
r &&&& =ψ
Sada, za vezu između veličina i , iskoristimo gore napisani izraz :ψ= && 3Rxs&x&
2
2
2 R
srx
&& = ,
2 2
2
Rsr
x =⇒ .2 2
2
R
srx
&&&& =
![Page 24: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/24.jpg)
S obzirom na izraze za kinetičke energije pojedinih elemenata, i s obzirom na veze, dobiće se konačan izraz za kinetičku energiju sistema u proizvoljnom položaju:
Kinetička energija sistema:
Rad:
⇒++= 321 kkkk EEEE ⇒ψ++ϕ+= 2233
23
22221
2
1
2
1
2
1
22&&&& Rmxmi
ms
mEk
,2sBEk &⋅= .16
3
22 22
223
22
221 const
R
rm
R
immB =++=
Pri kretanju sistema rad vrše sile težina tereta i diska.Ukupni rad A se dobija sabiranjem njihovih radova pri premeštanju sistema iz početnog u proizvoljni položaj. S obzirom da su sada veze dobijene, pri određivanju
rada i na njih ćemo se pozvati, kako bi se dobio rad u funkciji samo zadate pro-menljive s (pomoćne koordinate ovde moraju biti eliminisane na račun zadate).
( ) ,11 sgmgmA ⋅=r ( ) .sin2
sin2
2333 α⋅⋅−=α⋅−= s
R
rgmxgmgmA
r
Ukupan rad A u potrebnom obliku:( ) ( ) ⇒+= gmAgmAA
rr31
,sDA ⋅= .sin2 2
231 const
R
rgmgmD =α−=
![Page 25: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/25.jpg)
s&&Izvod po vremenu teoreme o promeni kinetičke energije daje: ⇒=− AEE
dtd
kk 0
⇒⋅=−⋅ sDEsBdt
dk 0
2& ⇒⋅=−⋅ sDssB &&&& 02 ...
2==
BD
s&&
Određivanje traženog ubrzanja :s&&
Određivanje sile u vertikalnom užetu:
gde je
Sila će se dobiti na osnovu drugog Njutnovog zakona za kretanje tereta u s pravcu:
⇒−=⋅ 111 uFgmsm && ( ) .2111
−=−=B
DgmsgmFu &&
Dinamičke jednačine ravnog kretanja:
Silu u kosom užetu i reakcije strme ravni određuju sledeće dinamičke jednačine ravnog kretanja diska:
,sin)1 3223 TgmFxmxm uC −α−== &&&&
,cos0)2 33 α−== gmNym C&&
,)3 332 TRRFR
xJ uC +=⋅ &&
,21 2
2RmJC = .1
42 2
2
2
2
B
D
R
r
R
srx == &&&&
![Page 26: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/26.jpg)
Neka telo koje se kotrlja sa kliza-njem vrši ravno kretanje (a ne neko komplikovanije kretanje u prostoru), osnovno je, da se pišu tri dinamičke jednačine ravnog kretanja tela.Zbog činjenice da se u tački dodira diska (točka, itd.) sa nepokretnom podlogom nenalazi trnutni pol brzine, ne postoji veza između brzine centra i ugaone brzine i, za slučaj sa slike, važi .ϕ≠ && RxC
veza između ubrzanja centra i ugaonog ubrzanja i, u ovom slučaju, važiSamim tim, ne postoji
.ϕ≠ &&&& RxC
Smer sile trenja , pri kotrljanju sa klizanjem, ne pretpostavlja se i mora biti tačan (suprotan je u odnosu na vektor brzine njegove tačke dodira D). Ovde, intenzitet sile trenja, zbog klizanja, ima maksimalno moguću vrednost i jednak je njegovoj graničnoj vrednosti, dakle
Tr
DVr
.NT µ=Na vezu se, pri pisanju dinamičkih jednačina ravnog kretanja „moramopozvati“. To znači da ćemo, na svakom mestu, u dinamičkim jednačinamaravnog kretanja, umestoT, stavljati
NT µ=
.Nµ
Osnovne karakteristike kotrljanja sa klizanjem.
![Page 27: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/27.jpg)
Dinamičke jednačine ravnog kre-tanja za sistem sa slike (prikazane sile sa te slike su samo neophodan minimum, smatrajmo da osim njih dejstvuje još nenacrtanih sila i spregova), mogle bi da imaju sledeći oblik:
Veoma je važno znati da sila trenja, u slučaju kotrljanja sa klizanjem, vrši rad, tj( ) .0≠TAr
Taj rad, vrlo često, nije lako odrediti. Zbog toga, ovakvo narušavakonzervativnost sistema i nije prikladno korišćenje teoreme o promeni kinetičkeenergije, a zakon o održanju mehaničke energije ne važi, jer se, zbog trenja i zagrevanja, mehanička energija smanjuje na račun toplotne.
Tr
...)1 +µ−= Nxm C&&
...0)2 +−== mgNym C&&
...)3 +µ+=ϕ⋅ NRJC &&
U ovakvim slučajevima obično se N odredi iz druge jednačine, prva se prvi put integrali da bi se dobilo (zatim, nakon još jedne njene integracije moglo bi se dobiti ) a treća se prvi put integrali da bi se dobilo (zatim, nakon još jednenjene integracije moglo bi se dobitiϕ).
Cx&Cx ϕ&
![Page 28: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/28.jpg)
U takvim problemima često se postavlja pitanje „do kog trenutka vremenaće važiti da imamo kotrljanje sa klizanjem, nakon kojeg će uslediti, kotrljanje bez klizanja?“. Odgovor bi trebao da bude sledeći: Dokle god važi da imamo kotrljanje sa klizanjem mora važiti nejednakost
tt =
U onom trenutku vremena , u kom važi jednakosttt =prestaje kotrljanje sa klizanjem i počinje kotrljanje bez klizanja.
U trenutku , tačka dodira postaje trenutni pol brzine.tt =Primer 5.21 Homogeni kružni disk mase m, poluprečnika R, kotrlja se sa klizanja po horizontalnoj podlozi. U početnom trenutku vremena brzina centra diska iznosila je , ugaona brzina iznosila je nula a centar se nalazio u koordinatnom početku.
( ) ( ).tRtxC ϕ≠ &&
( ) ( ),tRtxC ϕ= &&
0V
Koeficijent trenja klizanja između diska i podloge iznosi µ. Odrediti kako se menjaju brzina centradiska i njegova ugaona brzina u funkciji vremena dok traje kotrljanje sa klizanjem? Odrediti posle koliko vremena od početka kretanja će prestati kotrljanje sa klizanjem i početi kotrljanje bez klizanja? Veličine: m, R, i µsmatrati poznatim.
tt =0V
![Page 29: Dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela.polj.uns.ac.rs/~mehanika/dinamika sistema 4.pdf · Prve dve dinami čke jedna čine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti,](https://reader038.fdocuments.net/reader038/viewer/2022102920/5a802f507f8b9ada388c1332/html5/thumbnails/29.jpg)
.3
0
g
Vt
µ=
S obzirom na sile koje pri kotrljanju sa kli-zanjem dejstvuju na disk, dinamičke jedna-čine ravnog kretanja imaju oblik:
,)1 Nxm C µ−=&&
,0)2 mgNym C −==&&
,)3 NRJC µ+=ϕ⋅ && .2
1 2mRJC =
Iz druge jednačine je .mgN =Integraljenjem prve jednačine, s obzirom na početni uslov , dobiće se brzina centra diska u funkciji vremena:
( ) 00 VxC =&
⇒µ−= gxC&& ⇒µ−= ∫∫ dtgxd C&⇒+µ−= 1CgtxC& .0 gtVxC µ−=&
Integraljenjem treće jednačine, s obzirom na početni uslov , dobiće se ugaona brzina diska u funkciji vremena:
( ) 00 =ϕ&⇒µ=ϕ mgRmR 22
&&
⇒µ=ϕR
g
dt
d 2&⇒
µ=ϕ dtR
gd
2& ⇒
µ=ϕ ∫∫ dtR
gd
2& ⇒+µ=ϕ 2
2Ct
Rg
& .2
tR
gµ=ϕ&
Trenutak vremena kad prestaje kotrljanje sa klizanjem i počinje kotrljanje bez klizanja dobija se korišćenjem jednakosti : ( ) ( )tRtxC ϕ= &&
tt =