N cap13 matrices

Moisés Villena Muñoz Matrices y Determinantes

317

13

13.1 DEFINICIÓN 13.2 DIMENSIÓN 13.3 CLASES DE MATRICES 13.4 IGUALDAD DE MATRICES 13.5 OPERACIONES 13.6 DETERMINANTE 13.7 MATRIZ INVERSA

Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos matemáticos. De allí su importancia de estudio en este capítulo.


318

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Defina arreglo matricial. Defina matrices cuadradas, matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices

simétricas. Aplique operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices. Halle determinantes de matrices. Aplique las propiedades de los determinantes para ejercicios conceptuales. Justifique la existencia de la inversa de una matriz Determine, de existir, la inversa de una matriz.

13.1 DEFINICIÓN

Una matriz es un arreglo rectangular de números.

Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en mayúscula.

nglón

R

RRR

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

CCCC

Columna

mmnmmm

n

n

n

n

Re

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

321

→

=

↓

A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas.

A los arreglos verticales se los denominan columnas.

Al número ija se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el primer número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra el elemento y " j " (el segundo número del subíndice) indica la columna en que se encuentra el elemento, es decir:

13.2 DIMENSIÓN La dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la cantidad de columnas que posea. Al decir nmA × , se indica que A es una matriz que tiene m filas y n columnas.


319


320

Ejemplos

32201

312

×

−

−=A A→ es una matriz que tiene 2 filas y 3 columnas.

33321

210321

×

−−−

=B B→ es una matriz que tiene 3 filas y 3 columnas.

Ejercicio Propuesto 13.1

1. Determine la matriz ( )ijaA =×34 para la cual 2−+= jiaij . [SUGERENCIA: por ejemplo con

objeto de calcular 21a , haga 2=i y 1=j en la fórmula 121221 =−+=a ].

13.3 CLASES DE MATRICES

13.3.1 MATRIZ CUADRADA

Una matriz nmA × es cuadrada si y sólo

sí nm = . Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de

columnas y se lo denota como nnA × .

Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal Principal para los elementos ija donde ji = .

Así como también aparecen las siguientes clases de matrices:

13.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que están bajo la diagonal principal son todos ceros.

=×

nnnnn

n

n

n

nn

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

321

3333231

2232221

1131211

Diagonal Principal

=×

nn

n

n

n

nn

a

aaaaaaaaa

A

000

000

333

22322

1131211


321

13.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que están sobre la diagonal principal son todos ceros.

13.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que

están sobre y bajo la diagonal principal son todos iguales a cero.

13.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD Es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la

diagonal principal.

13.3.1.5 MATRIZ CERO Es la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser

cuadrada como puede no serlo.

=×

nnnnn

nn

aaaa

aaaaa

a

A

321

333231

2221

11

000000

=×

nn

nn

a

aa

a

A

000

000000000

33

22

11

== ××

1000

010000100001

nnnn IA


322

13.4 IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices nmA × y nmB × son iguales si y

sólo si: ijij ba =

Es decir, sus elementos respectivos son iguales.

Ejercicios propuestos 13.2 1. Determine los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes se satisfacen:

a)

=

4321

32y

x

b)

−−

+=

−+

−−

150325

172

243

11

3112

43w

v

yux

t

zy

x

2. Dadas las matrices:

+

+−+=

243012

4232

3

2321

k

kkkkA y

=

043012232

B entonces el valor de

321 kkk ++ , tal que BA = , es:

a) 45

− b) 32

− c) 3 d) 21 e)

23

13.5 OPERACIONES

13.5.1 SUMA

Sean BA∧ dos matrices de nm × , entonces:

nmnmnm CBA ××× =+ , donde ijijij bac +=

Los elementos de la matriz C se los obtiene sumando algebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos elementos de la matriz B .

Ejemplo Sean las matrices

32321112

×

−=A y

32312101

×

−−

−=B

hallar BAC += . SOLUCIÓN:


323

32

3232

031211

)3(312)2(11101)1(2

312101

321112

×

××

−

−=

−++−+++−−+

=

−−

−+

−=+=

C

BAC

13.5.1.1 PROPIEDADES

Sean nmA × , nmB × y nmC × , matrices.

Entonces: 1. ABBA +=+ 2. ( ) ( )CBACBA ++=++

3. AA =+ 0 , donde ≡×nm0 Matriz Cero 4. ( ) 0=−+ AA

13.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES

Sea IR∈α y la matriz nmA × , entonces: nmnm CA ×× =α , donde

ijij ac α=

Los elementos de la matriz C se los obtiene multiplicando por la constante α a los elementos de la matriz A .

Ejemplo

Si tenemos la matriz

−=

321012

A , entonces:

−=

−=

−==

642024

)2(3)2(2)2(1)2(0)2(1)2(2

321012

22AC


Sean nmA × y nmB × matrices; y

IR∈βα, , entonces: 1. ( ) BABA α+α=+α 2. ( ) ( ) ( )AAA αβ=βα=αβ


324

13.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES

Sea A una matriz de nm × y sea B una matriz de qn× ( la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la

matriz B ) entonces: qmqnnm CBA ××× =

donde njinjijijiij babababac ++++= 332211

Es decir, el elemento ijc se lo obtiene sumando algebraicamente los resultados de la multiplicación de los elementos de la fila i de la matriz A con los respectivos elementos de la columna j de B .

Ejemplo Para las matrices

32321112

×

−=A y

33111320

111

×

−−

−=B

Obtengamos la matriz ABC =

Primero observe que, sí es posible obtener la matriz C , porque la matriz A tiene 3 columnas y la matriz B tiene 3 filas. Entonces:

32232221

131211323332

××××

==

cccccc

CBA

6)1)(1()3)(1()1)(2(5)1)(1()2)(1()1)(2(

1)1)(1()0)(1()1)(2(

13

12

11

=+−−+==+−−+=−=+−+−=

ccc

2)1)(3()3)(2()1)(1(0)1)(3()2)(2()1)(1(2)1)(3()0)(2()1)(1(

23

22

21

−=+−+==+−+==++−=

ccc

Por lo tanto:

−

−=× 202

65132C


Sea IR∈α y CBA ,, matrices.

Entonces: 1. ( ) ACABCBA +=+ 2. AAI = 3. ( ) ( )BABAAB α=α=α


325

4. ( ) ( )BCACAB = Las dimensiones de las matrices CBA ,, deben ser

tales que se puedan realizar las operaciones indicadas.

Note que AB no siempre es igual a BA ¿PORQUÉ?

Ejercicio Resuelto

Si se tienen las matrices

−−−

−−−

=

232

3201

2kkkA y

−−

−−

−−

=

3213

11025

3

k

kkkB , entonces el valor

de " k " para que la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es a) 1− b) 0 c) 3 d) 2− e) 1

SOLUCIÓN: Al multiplicar la matriz 33×A con la matriz 33×B resulta una matriz 33×C . El asunto es que

33×C sea triangular superior, entonces 000 323121 =∧=∧= ccc . Es decir:

3333

2322

131211

33333300

0

×

×××

==

cccccc

CBA

032)1)(3())(()2)(( 221 =−−=−+−−+−= kkkkkc

045)2)(2())(3()10(

023)1)(2())(3()2(

323232

2231

32

2

=++=−−+−−+−

−=

=++=−−+−−+−

−=

kkkkc

kkkc

kk

k

Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones

1. ( )( )13

0130322

−=∨==+−=−−

kkkk

kk 2. ( )( )

12012

0232

−=∨−==++=++

kkkk

kk 3.

( )( )140

0140)45(

0452

23

−=∨−=∨==++=++

=++

kkkkkkkkk

kkk

Observe que sólo 1−=k satisface las tres condiciones, por tanto RESPUESTA: Opción "a"

Ejercicios Propuestos 13.3

1. Efectuar las operaciones:

a)

−

−+

− 821

210741312

b)

−−

−+

−

301423

2103

654012321

2

c)

−−

321

654321

132

d)

−

−

−

1213

304201

654321


326

2. Calcule IAA 322 −+ para

=

3221

A

3. Al multiplicar la matriz

=

dcba

A por la matriz

−=

0433

B se obtiene la matriz

−−−−

=6231

C , entonces la SUMA de dcba +++ es:

a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3

4. Considerando las siguientes matrices:

( )304;31

2;

33

2104

;42

3011

=

−=

−−−

=

−= DCBA . Determine

¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?

a)

−−

−=+

71

1115

BA b)

−−=9012304

608CD

c) CA + no está definida d)

=

99

AD

e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas.


=

4321

A y

−−−

=2312

B encuentre:

a) ( )2BA + b) 22 2 BABA ++

6. Sean las matrices:

−

=1

1qp

A y

−−

=1211

B encuentre " p " y " q " para que

( ) 222 BABA +=+ .

13.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA

Sea ( )ijaA = una matriz de nm × . Entonces su matriz transpuesta, denotada como ( )ji

t aA = ,

es de mn× y se obtiene tomando las filas de la matriz A como columnas para la matriz tA y por ende las columnas de la matriz A serán las filas de la matriz tA .

Ejemplo

La matriz transpuesta para la matriz 32321

112

×

−=A es

23312112

×

−=tA


327


Sean nmA × y nmB × matrices,

entonces: 1. ( ) AA tt = 2. ( ) ttt BABA +=+ 3. ( ) ttt ABAB =

MATRIZ SIMÉTRICA

Una matriz nnA × es simétrica si y sólo si

AAt = Para que una matriz sea simétrica se debe cumplir que jiij aa =

Ejemplo

La matriz

−−

−=

213102321

A es simétrica porque AAt =

−−

−=

213102321

Ejercicio Propuesto 13.4

1. Sea la matriz

=

410538642

A , la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz

( )tAA−24 es:

a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9

13.6 DETERMINANTE


328

Sea A una matriz de nn× . El DETERMINANTE de A , denotado por A o también Adet , se define de la

siguiente manera:

1. Si [ ] 111111 aAaA =→=×

2. Si 211222112221

121122 aaaaA

aaaa

A −=→

=×

3. Si 1313

1212

1111

333231

232221

131211

33 AaAaAaA

aaa

aaa

aaa

A ++=→

=×

Donde ijA se llama cofactor y se define como:

Entonces

3231

222113

3331

232112

3332

232211 aa

aaa

aaaa

aaaaa

aA +−=

NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna.

¿Cómo sería el determinante?

La forma mencionada para hallar el determinante se llama MÉTODO DE MENORES. Si embargo existen otros métodos que podrían emplearse. Este método es general. Sirve para matrices de mayor orden,

44×

Ejemplo

Hallar el determinante de la matriz

−=001153

412A

SOLUCIÓN: Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces


329

5312

013

420

1541

1001153

412+

−−

−=−=A

[ ] 21)5)(4()1)(1(1

0015

411

−=−−=

++−

=

A

A

13.6.1. PROPIEDADES

Sean nnA × y nnB × matrices, entonces: 1. BAAB = 2. AAt =

Pregunta: BABA +=+ ¿Si o no? Justifique su respuesta.

13.6.2 OTRAS PROPIEDADES

1. Si una matriz es triangular superior, triangular inferior o diagonal entonces su determinante es igual a la multiplicación de los elementos de la diagonal principal.

Ejemplo

Para la matriz triangular superior

−

−=

3004105102

A calculando su determinante

por el método de menores, empleando la primera columna, tenemos:

[ ] 6)3)(1)(2()0)(4()3)(1(2003041

2 −=−=−−=+−−

=A .

¡Generalícelo!

2. Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales o múltiplos entonces su

determinante es igual a "0".

Ejemplo


330

Al hallar el determinante de la matriz

−−

=62

31A cuya segunda fila es 2−

veces la primera, encontramos que:

0

)2)(3()6)(1(

=

−−−=

A

A

Lo mismo ocurre con esta matriz

−−−−

−−−

−

=

190310612113212

2010156321

A , note que la

cuarta columna es el triplo de la segunda, por lo tanto 0=A

¡Generalícelo!

3. Si se intercambian 2 filas o columnas en una matriz entonces su determinante cambia de signo.

Ejemplo

Suponga que se tiene la matriz

−

−=

5431

A entonces 7125 −=−=A

Si formamos la matriz

−

−=

3154

B (intercambiamos las filas de la matriz A )

entonces 7512 =−=B . ¡Generalícelo!

4. Si a todos los elementos de una fila o columna de una matriz A los multiplicamos por una constante 0≠k , entonces el determinante de la nueva matriz es k veces el determinante de la matriz A .

Ejemplo


=

2221

1211

aaaa

A entonces

22122211 aaaaA −=


331


=

2221

1211aakaka

B (multiplicamos por k a todos los elementos de

la primera fila de la matriz A ) entonces AkaaaakakaakaB =−=−= )( 2112221121122211 .

En cambio el AkkA n= ¿POR QUÉ?

5. Si a todos los elementos de una fila o columna de una matriz A les sumamos respectivamente k veces otra fila o columna,

entonces el determinante no varía.

Ejemplo


=

2221

1211

aaaa

A entonces

22122211 aaaaA −=


++

=12221121

1211kaakaa

aaB (a los elementos de la segunda

fila le adicionamos respectivamente k veces la primera fila) entonces

Aaaaa

akaaaakaaakaaakaaaB

=−=

−−+=

+−+=

21122211

1112211212112211

112112122211 )()(



−=

320121

A y

−

=111021

B entonces el valor de:

( )tABdet es: a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25

2. Calcule los siguientes determinantes:

a)

001153

412− b)

1021112030120101

−−

−

3. Sean las matrices:

−=

=

=

−

−=

3223

;111111

;110

001

;501410123

DCBA, entonces el

valor del ( )[ ]DCBA TT −..det es:

a) 44− b) 38 c) 38− d) 39 e) 44

4. Los valores de IRx∈ que satisfacen la ecuación: 60100

99023

=−x

xxx

son:


332

a) 5 y 4− b) 5 y 4 c) 5− y 4 d) 5− y 4− e) 0 y 1

5. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 31

32001

2 =+−

xxxxx , son:

a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0

6. Al calcular 034201122>

−

x

x, se obtiene:

a) 0=x b) 5>x c) 0>x d) 3>x e) 2<x

7. El valor del determinante de la matriz

−

−−

=

012

123log2

1log18log3

101ln

2

x

xxe

A es:

a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4

13.7 MATRIZ INVERSA

Sea A una matriz de nn× . Si existe una matriz 1−

×nnA tal que IAAAA == −− 11 , se dice

que A es inversible

En este caso a la matriz 1−×nnA se la llama la matriz inversa de A .

Si 1−A existe se dice que A es una matriz no singular. Caso contrario, es decir que 1−A no exista, se dice que A es una matriz singular.

Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí solo lo vamos a hacer empleando la siguiente formula:

( )tAA

A ˆ11 =− , donde ≡A

Matriz de Cofactores.

Esto da lugar el siguiente teorema (Una condición necesaria y suficiente para la

existencia de la matriz inversa)

Teorema. 1−A existe si y sólo si 0≠A

Ejercicio resuelto 1


333

De existir, hallar la inversa de la matriz

−

−=

5431

A

SOLUCIÓN: Primero empecemos hallando: 7−=A . Este resultado nos indica que si va a existir la matriz inversa. A continuación hallamos la matriz de cofactores

−−−−

=

−+−

−−+=

=

1345

)1()3()4()5(

2221

1211

AAAAA

Entonces:

( )

=

−−−−

−=

−−−−

−==

−

−

71

74

73

75

1

11435

71

1345

711

A

AA

At

t

Comprobando

=

=

−

−=−

1001

7007

71

1435

71

54311AA


De existir, hallar la inversa de la matriz

−=

012130201

A

El determinante de la matriz es: 11)6(20)1(1 −=−+−=A

Y su matriz de cofactores:

+−−+−−−+−−+−−+

=)3()1()6()1()4()2()6()2()1(

A =

−−−−

−

316142621

Entonces su matriz inversa es:

−−−−

=

−−−−−

−=

−−−−

−

−=−

316142621

111

316142621

111

316142621

1111

t

A

Comprobando

=

=

−−−−

−=−

100010001

110001100011

111

316142621

111

012130201

1AA

13.7.1. Propiedades

Sean nnA × y nnB × matrices inversibles,

entonces: 1. ( ) AA =

−− 11


334

2. A

A 11 =−

3. ( ) ( ) 11 −− = tt AA 4. ( ) 111 −−− = ABAB


Sea X una matriz tal que:

−

=

040321

8432

X . Entonces X es igual a:

a)

− 040

672 b)

− 046702

c)

−−− 341672

d)

−−

3647

12 e)

−−

341672

SOLUCIÓN: Una manera es despejar la matriz x, multiplicando por la inversa a ambos miembros

−

=

−−

040321

8432 11 AXA

A

−

=

−

=

−

−

040321

040321

1

1

Ax

AIx

Hallemos la inversa de

=

8432

A , para lo cual

41216 =−=A y

+−−+

=2348

A entonces

−−

=

−

−=−

21

43

11

22348

41

t

A

Por lo tanto

−−−

=

−−−

=

−

−

−=

341672

1216424288

040321

2438

41

41x

Respuesta: Opción "c"


Dada la matriz

−−

−=

kkkkA

31

43101

los valores de "k" que hacen que la matriz A

no tenga inversa, son: a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2± y 6± d) 2 y -6 e) -2 y -6

Solución: Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero


335

( )

( )( )26

0260128

0912

0)9(0121

031

3101

2

2

2

4

−=∨−==++=++

=−++

=+−−−+

=−−

−

kkkk

kk

kkk

kkk

kkk k

RESPUESTA: Opción "e"


1. Dada la matriz A=

−

112020312

, la matriz inversa de A es igual a:

a)

−

−−

21

21

21

0210

43

21

41

b)

−

−

−

2104

32

12

12

12

1041

c)

−−−−

406444402

d)

−−−

−

222020321

e)

−−−

−

444040642


=

4231

A y

−

−=

1312

B verifique que ( ) 111 −−− = ABAB

3. Dada la matriz

=

654021432

A , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:

a) 6−=A b)

=+

12108042864

AA c)

−−

−

−−

=−

61

31

21

32

321

34

312

1A

d)

−−

−−

−

=−

61

32

34

31

32

31

2112

1A e) 48−=+ AA

4. Encuentre la inversa de cada matriz, si existe:

a)

− 11

23 b)

−

−−

213112321

c)

012120001

d)

987654321

e)

−

−−

2103111130322111

5. Dada la matriz

−

−−

=

4221log

131log14log8log

2

2

22A

. Entonces su MATRIZ INVERSA es:


336

a)

−−−−

−−−=−

93181363110

3111A

b)

−−−−−−

−=−

98331311610

3111A

c)

−−−−

−−=−

93181363110

3111A

d)

−−−−−−

=−

98331311610

3111A

e) A no tiene inversa

6. Sea la matríz

=

021230312

A, entonces su MATRIZ INVERSA, es:

a)

−−

−−=−

633432764

1511A

b)

−−

−=−

647336324

1511A

c)

−−

−−=−

647336324

1511A

d)

−−

−=−

633432764

1511A

e) A no tiene inversa

7. Determine la matriz A que hace verdadera la ecuación matricial:

−=

−

1013

06

1011

02A

8. Sea A una matriz tal que

=

3221

A . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifíquela:

a)

=

94412A b) 1=A c)

−=−

91

41

41

1 1A

d)

=−+

1612124

322 IAA e)

=−

31

21

21

1 1A

9. Si

−−=

4332

A , y además,

=−

dcba

A 1 , entonces el valor de ( )( )da

cb−− , es:

a) 0 b) -1 c) 1 d) -3 e) 3

10. Dada la matriz

−β−−

=04120421

A entonces el valor de IR∈β para que la matriz NO TENGA

INVERSA es: a) 0 b) -3 c) -1 d) 2 e)-2

11. Sean las matrices

−

=

−−

=

−

−=

011321

4221

,5432

CyBA , entonces es cierto que:

a)

=−

10211B b)

−−=

6363

CB c)

−−

=2010164

AB

d)

−−

−−=−

12

23

25

1A e)

−

−

=−

511

111A

12. Sea A la matriz:

−

−−

305164021

entonces es verdad que:

a) det(A)=12 b) det(A2)=1 c) det (AT)=1/16 d) det (A-1)=1/10 e) det(ATA-1)=1

Misceláneos


−−

=5124

A y

−−

=k

B2

14 . El valor de " k " para que BA detdet =


337

a) 5 b) 4 c)3 d)2 e)1

2. La matriz X que satisface la ecuación

=

301243

2011

X

a)

21

23

21

420

b)

0000

21

21

c)

23

21

21

25

04

d)

110111 e)

−−

004

21

21

25

3. Sea la matriz

−

−=

103010207

A

Entonces su MATRIZ INVERSA es:

a)

=−

703010201

1A b)

−−−

−−=−

703010

2011A

c)

=−

2702

302

10

1021

1A d)

−

−=

103010207

A

e) La matriz A no tiene inversa.


−

−=

113202

A ,

−

−=

211201

B y

=

054021

C

Entonces el VALOR del ( )( )[ ]TCBADet 2− es: a)74 b) 200 c)-100 d)10 e)100

5. Sean A, B y C matrices tales que,

−=123110

521A ,

=

145026005

B y

=

241300620

C . Entonces

es VERDAD que:

a) 6detdetdet 2

−=−

CBA

b) CAT detdet = c) ( ) 5det =AB

d) TCB detdet = e) A no tiene inversa o B si tiene inversa.

6. Sea la matriz

=

3324

A . Entonces los VALORES de “ λ ” tal que ( ) 0det =λ− IA , son:

a) 1 y 6 b)–1 y –6 c)1 y –6 d)–6 y 1 e) 7 y 6

7. Dada la matriz

−−

−=

304213012

A , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL de

1−A es: a) 343

90− b) 790− c) 343

90

d) 343180− e) 441

90−


338

8. El DETERMINANTE de la matriz

−−=

1021024204731136101152122

A es:

a) -2 b)0 c)-1 d)1 e)5

9. Sea la matriz

=

0112

A ; entonces es VERDAD que:

a)

=

12152A b)

=−

01021A c)

=

255123A

d) [ ]

=−

100121A e)

=⋅

0211

IA

10. La matriz X , tal que:

−=

1312

4311

X es:

a)

−

−=

4352

X b)

−

−=

4355

X c)

=

0112

X

d)

−−

=4251

X e)

−=

2011

X


−=

200121

A y

=

014131

B y ABC = . Entonces La MATRIZ INVERSA

1−C , es:

a)

−−=−

022130152

1C b)

−−=−

011235202

1C

c)

−−=−

041

41

81

830

81

85

41

1C d)

−

−=−

081

81

41

83

85

4104

11C

e) La matriz C no tiene inversa.

12. Si el determinante de una matriz A es 16. Entonces es FALSO que: a) La Matriz A tiene inversa. b) La matriz A es una matriz cuadrada. c) La matriz A tiene 2 filas iguales. d) Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32. e) El determinante de la matriz inversa 1−A es igual a 16

1 .

13. Sea la matriz

−

−=

032120111

A entonces su MATRIZ INVERSA 1−A es:

a)

−−=−

011321201

1A b)

−−−−

−=−

254122133

1A

c)

−−−−−

=−

211523423

1A d)

=−

100010001

1A

e) La matriz A no tiene inversa.


339

14. Sean A y B matrices tales que:

−−

−=

212110

211A y

−−=111201

321B , entonces el valor

de ( )ABDet es: a)-35 b)7 c)-7 d)-5 e)35

N cap13 matrices

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