Session 9 : 9/25  1

Multivariable Functions The Three­Dimensional Coordinate System 

Functions of Several Variables Partial Derivatives 

Finding Extrema (Max/Min of multivariable functions)

Session 9 : 9/25  2

Multivariable Functions p  So far, we have been working with functions of two dimensions (one 

dependent variable, one independent variable) 

2 7 ) ( 1 2 2 − − =

+ = x x x f 

x y Examples: 

But, in reality, most independent variables are dependent on more than one dependent variable.  For example: 

Plant growth (P) is dependent on time (t), temperature (T), and water content (w). 

Then we can see that P is a function of t, T, and w.  This is written mathematically as:  ) , , (  w T t P

Session 9 : 9/25  3

Examples:

) , , ( 

: Law Gas Ideal 

) , ( 

p nRT p T n V 

t r t r D

=

⋅ =

n = moles T = temperature p = pressure R = gas constant 

Notice that V is not a function of R, because R is a constant.

Session 9 : 9/25  4

Understanding Multivariable Functions Graphically: The 3-D Coordinate System

y 

x 

xy­plane 

yz­plane 

xz­plane 

Now, we have to define points in 3­dimensions. 

z

Session 9 : 9/25  5

Points in 3 Dimensions

z 

y 

x 1  2  3  4 ­2 ­3 1 

2 3 

4 

­2 ­3 

­4 

­1

­2

­3 

1 

2 

3 

4 

(4,0,­3) 

(0,0,4) 

(1,3,3)

Session 9 : 9/25  6

Distance and Midpoint Formulas

+ + +

=

− + − + − = 

2 , 

2 , 

2 

) z , y , (x and ) z , y , (x points between midpoint The 

) ( ) ( ) ( 

) z , y , (x and ) z , y , (x points between distance The 

2 1 2 1 2 1 

2 2 2 1 1 1 

2 1 2 

2 1 2 

2 1 2 

2 2 2 1 1 1 

z z y y x x M 

z z y y x x d

Session 9 : 9/25  7

Equation of a Sphere p  For a sphere centered at (h,k,l) with radius r, the equation of the sphere is: 

2 2 2 2  ) ( ) ( ) (  r l z k y h x = − + − + −

Example: What is the equation of a sphere centered at (1,3,3) with radius 2? 

2 2 2 2  2 ) 3 ( ) 3 ( ) 1 ( = − + − + −  z y x 

x 

y 

z

Session 9 : 9/25  8

Functions of Several Variables p  Multivariable functions are evaluated by the same process as single variable function 

p  Example: 

10 2 12 ) 1 , 2 ( 

) 1 ( 2 ) 2 ( 3 ) 1 , 2 ( 

2,­1) ( at evaluated , 2 3 ) , ( 

2 

2

= − = −

− + = −

+ = 

f 

f 

y x y x f 

­2 

0 

2 ­4 

­2 

0 

2 

4 

0 20 40 60 80 

­2 

0 

2 

x 

y 

f(x)

Session 9 : 9/25  9

Examples: 

(3,1) at evaluated 3 ) , ( 

(1,­1,4) at evaluated 2 3 ) , , ( 

2 

2 

T a T a G 

z y x z y x f

− =

+ + − =

Session 9 : 9/25  10

Monthly Payments 

t 

r 

r P 

t r P f M  12 

) 12 ( 1 1 1 

12 ) , , (

+ −

⋅

= =

Monthly payment M for an installment loan P (in dollars) taken out over t years at annual interest rate of r is given by: 

What would your monthly payment have to be for a car loan of $15,000 over 6 years at an annual interest rate of 3.9% 

Plug in t = 6, P = 15000, and r = 0.039 

99 . 233 $ 

) 12 039 . 0 ( 1 1 1 

12 039 . 0 15000 

) 6 , 039 . 0 , 15000 (  ) 6 ( 12 =

+ −

⋅

= =  f M

Session 9 : 9/25  11

Partial Derivatives: Derivatives when you have more than one dependent variable 

y y x f y y x f 

y z 

x y x f x x f 

x z 

y 

x

∆ − ∆ +

= ∂ ∂

∆ − ∆ +

= ∂ ∂

→ ∆

→ ∆ 

) , ( ) , ( lim 

) , ( ) ( lim 

0 

0 

Treat y as a constant, differentiate with respect to x 

Treat x as a constant, only differentiate with respect to y 

Partial differential of z with respect to x 

Partial differential of z with respect to y

Session 9 : 9/25  12

Notation: p  For f(x,y), the partial derivative with respect to x can be written as:

[ ] ) , ( ) , (  y x f x 

f y x f x f 

x x ∂ ∂

= = = ∂ ∂

p  For f(x,y), the partial derivative with respect to y can be written as:

[ ] ) , ( ) , (  y x f y 

f y x f y f 

y y ∂ ∂

= = = ∂ ∂

Session 9 : 9/25  13

What does a partial differential mean graphically?

p  If we take the partial with respect to x, then we can find the slope in the x­direction at that point. 

p  If we take the partial with respect to y, we can find the slope in the x­direction at that point.

Session 9 : 9/25  14

Examples p  Find                  of: 

y z 

x z

∂ ∂

∂ ∂  and 

1 3 2  2 2 + + − =  y xy x z 

2 4 3 2  x x y z + + − =

A) 

B)

Session 9 : 9/25  15

What does the partial derivative mean graphically? 

x ∂ ∂ Evaluated at a point in a 3­D coordinate system gives 

you the slope in the x­direction at that point 

y ∂ ∂

Evaluated at a point in a 3­D coordinate system gives you the slope in the y­direction at that point

Session 9 : 9/25  16

Graphically:

x 

y 

z 

Slope in x­direction 

Slope in y­direction

Session 9 : 9/25  17

Extrema of multivariable functions Recall that we could find extrema (minimum/maximum) of a function in two dimensions by finding where the derivative with respect to x is 0. 

For multivariable functions (i.e. f(x,y)), the maxima and minima occur when the slope in both x­ and y­directions are 0. 

0 and 0 = ∂ ∂

= ∂ ∂ 

y f 

x f 

Mathematically, the point (x o ,y 0 ) is a minimum or maximum of f(x,y) if 

when evaluated at (x 0 ,y 0 )

Session 9 : 9/25  18

Example: p  Find the relative extrema (critical point) of: 

20 6 8 2 ) , (  2 2 + − + + =  y x y x y x f 

­10 ­5 

0 

5 

10 

­10 

0 

10 

0 

200 

400 

600 

­10 ­5 

0 

5

Session 9 : 9/25  19

How do we know if maximum or minimum?

[ ] 2 ) , ( ) , ( ) , (  b a f b a f b a f d  xy yy xx − =

“Second Partials Test for Relative Extrema” 

If you have determined an extrema at (a,b,f(a,b)), then find d by: 

Then, use the following principles to determine if f(a,b) is at a minimum, maximum or neither 

determine t can' you 0 If . 4 0 if point saddle a is )) , ( , , ( . 3 

0 ) , ( and 0 if maximum relative a is ) , ( . 2 0 ) , ( and 0 if minimum relative a is ) , ( . 1

= <

< >

> > 

d d b a f b a 

b a f d b a f b a f d b a f 

xx 

xx

Session 9 : 9/25  20

Using Mathematica: Quick Tutorial

Questions: 

1. How can I solve for the zeroes of 2x 2 +5x +2? 2. How can I find the derivative of f(x)=3x 2 (x 4 ­2)(x+1) 3. How can I plot the graph of f(x,y)=3x 2 ­2y? 4. How can I find the integral of f(x)=2x/(x 2 +4)

Session 9 : 9/25  21

In MatLab: p Solving Solutions: 

n  Solve[f(x)==a] 

p  Finding Derivatives: n  f[x_]:=Your function of x 

p  f’[z]  evaluates the derivative of f[x] at z 

p  Plotting in three dimensions: n  Plot3D[f(x),{x,a,b},{y,a,b}] 

p  Integration: n  Integrate[f(x),{x,xmin,xmax}]

Session 9 : 9/25  22

Tomorrow:

p Trigonometric Functions, their derivatives and integrals