MUKAVEMET II
Transcript of MUKAVEMET II
1- Yapı yönetmeliklerindeki deformasyon hükümleri
2- Eğilme Momenti ile Şekil değiştirme arasındaki ilişki
3- Elastik Eğri (EE) tanımı, Diferansiyel Denkleminin çıkartılması ve sınır koşulları
4- Örnek problemler – Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm
– Dördüncü mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm
– İkinci mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm
– Yük veya yük şiddetinde değişme olması hali ile ilgili problemler
– Hiperstatik problemlerin çözümünde EE’nin kullanılması
Çalışma soruları
ELASTİK EĞRİ
DALGALANAN KÖPRÜDE ASFALTTA SÖRF
6 KATLI BA BİNANIN DEPREM TESTİ
13 - BETONARME ELEMANLARDA KULLANILABİLİRLİK
1- YAPI
YÖNETMELİKLERİNDE
DEFORMASYONLA
İLGİLİ HÜKÜMLER
y
x
aL
AB C
Pq
y
x
aL
A
B
C
y
x
aL
A
B
C
L
B
x
y
A
EI
L
B x
y
A EI
Büküm noktası
+
SS
+N N
+
MM
MM
--
2- ŞEKİL DEĞİŞTİRME - MOMENT
3- ELASTİK EĞRİNİN İNTEGRASYON YOLU İLE BULUNMASI
y , v
x , u
qS
u=0
M
MΘ
P
v:Sehim
Elastik Eğri
dv
dx
ρ
tanθ=θ:Eğim
3/ 2
2
1 1,
1
v Mv
EIv
2
2,
d v MEI v M
dx EI
y
dS dMq S
dx dx
Amaç: y eksenine göre simetrik kesite sahip kirişlerde yalnızca Momentten oluşan eğim ve sehimin bulunması
EI v M
dMEI v S
dx
2
2
d M dSEI v q x
dx dx
İkinci mertebeden diferansiyel denklem
Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem
Dördüncü mertebeden diferansiyel
denklem
Sınır koşulları
a
V
x
0v a
0a
a
V
x
a
V
x
P
C
0M a
M a C
0v a
Ankestre uçta çökme ve
dönme yoktur.
Mafsallı uçta çökme ve
moment yoktur.
Serbest uçtaki moment ve
kesme kuvveti etkiyen yüke
eşit olmalıdır.
S a PDinamik
Sınır
Koşulları
Geometrik
Sınır
Koşulları
dMEI v S
dx
1
2
1 2
3 2
1 2 3
2
6 2
EI v P
EI v Px C
PxEI v C x C
Px xEI v C C x C
3( 0) 0 0v x C
2 2
3 2 3
2 2
6 2 3
B
B
P x PLv Lx
EI EI
P x Lx PLv v
EI EI
2( 0) 0 0v x C
1( 0)M x PL C PL
y
x
L
A
P
B
P
PL
SA=-P
MA=-PL
ÖRNEK 1 Şekilde gösterilen konsol kirişin elastik eğri denklemini üçüncü mertebeden diferansiyel denklem kullanarak bulunuz. B noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.
+
SS
+N N
+
MM
x
L-x
P
B
S=-P
Sınır Koşulları
y
x
L
A
P
BBv
B
7
y
x
L
A
q
B
qL
qL²/2
MA=-qL²/2
SA=-qL
ÖRNEK 2 Şekilde gösterilen konsol kirişin elastik eğri denklemini dördüncücü mertebeden diferansiyel denklem kullanarak bulunuz. B noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.
+
SS
+N N
+
MM
EI v q
1
2
1 2
3 2
1 2 3
4 3 2
1 2 3 4
2
6 2
24 6 2
EI v q
EI v qx C
xEI v q C x C
x xEI v q C C x C
x x xEI v q C C C x C
3( 0) 0 0v x C
1( 0)S x qL C qL
2 2
2( 0)2 2
L LM x q C q
4( 0) 0 0v x C
Sınır Koşulları
2 33 2
2 44 3 2
6 2 2 6
24 6 4 8
B
B
q qL qL qLEI v x x x
EI
q qL qL qLEI v x x x v
EI
y
x
L
A
BBv
B
y
x
q
L
A B
2
q L
2
q L
ÖRNEK 3 Şekilde gösterilen basit kirişin elastik eğri denklemini ikinci mertebeden diferansiyel denklem kullanarak bulunuz. En büyük sehimin yerini ve değerini hesaplayınız.
Sınır Koşulları
y
x
q
x
A
2
q L ( )2
q LS x qx
2
( )2 2
q x q LM x x
EI v M
2
32
1
43
1 2
2 2
6 4
24 12
qx qLEI v x
qx qLEI v x C
qx qLEI v x C x C
3
1( ) 024
qLv x L C
2( 0) 0 0v x C
3 32
34 3
6 4 24
24 12 24
qx qL qLEI v x
q qL qLEI v x x x
Eğimin sıfır olduğu yerde sehim en büyük değerine ulaşır.
4
2 2
5( ) 0, ( )
384L L
qLv v
EI
y
x
q
L
A B
A B0v
9
y
x
P
a b
L
A B
C
P b
L
P a
L
ÖRNEK 4
Şekilde gösterilen basit kirişin elastik eğri denklemini bulu-
nuz. C noktasındaki sehimi hesaplayınız.
y
xA B
Vc
c
1
P bEI v x
L
2 1P b x
EI v x P x a P aL L
0 < x < a bölgesi a < x < L bölgesi
2
1 12
P bEI v x c
L
2
2 32
xEI v P a x c
L
3
1 1 26
P bEI v x c x c
L
2 3
2 3 42 6
x xEI v P a c x c
L
1 20 0 0v x c 2 2
2 3 40 02 6
PaL PaLv x L c L c
3 3 4
1 2 1 3 46 2 6
Pa b Pa Pav x a v x a c a c a c
L L
2 3
2
1 2 1 32 2
Pa b Pav x a v x a c Pa c
L L
Sınır Koşulları
y
xA B
vc
v1 v2
C
10
2 2 2
16
Pbv x L b x
LEI
2 2 2
1 36
Pbv L b x
LEI
3
2 2 2
26 6
P x aPbv L b x
LEI EI
2
2 2 2
2 36 2
P x aPbv L b x
LEI EI
3
2 2 2 2
1 2 3 4, 0, 2 ,6 6 6
Pb Pa pac L b c c L a c
L L
C noktasındaki eğim ve sehim (x=a)
2 2 2
2 2 2
1 2
36
6
0 0 dan x
en büyük çokme hesaplanabilir.
c
c
PbL a b
EIL
Pbav L a b
EIL
v ya da v
Özel durum: a=b=L/2
P
3
0
48
C
maks
PLv
EI
y
x
P
a b
L
A B
C
P b
L
P a
L
11
ÖRNEK 5 Şekilde görülen konsollu kirişin elastik eğri denklemini;
a) İkinci mertebeden diferansiyel denklem kullanarak,
b) Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem kullanarak çıkartınız.
y
x
L/2L
A
B
C
P
P/2 3P/2
102
Px L M x 2
3 3
2 2
LL x L M P x
12
PEI v x
2
1 14
PEI v x c
3
1 1 212
PEI v x c x c
2
3
2
PLEI v Px
2
2 3
3
2 2
P PLEI v x x c
3 2
2 3 4
3
6 4
P PLEI v x x c x c
1 20 0 0v x c
2
3
1 1 10 012 12
P PLv x L L c L c
EI v M
12
1 2v x L v x L 2 2 2
2
3
3
4 12 2 2
P P L P L P LL c
2
3
5
6
P Lc
3 3 2
2 4
3 50 0
6 4 6
PL PL PLv x L c
3
44
P Lc
2 2
112
Pxv L x
EI 2 2 2 3
2 3 10 9 212
Pv L L x Lx x
EI
3
2
3
2 8
L PLv
EI
0 x L 12
PS 3
2L x L 2S P
12
PEIv
1 12
PEI v x c
Elastik eğri denklemleri
Konsol
Ucundaki
Çökme
2
1 1 24
PEI v x c x c
23
1 1 2 312 2
P xEI v x c c x c
2EI v P
2 4EI v Px c
2
2 4 52
PEI v x c x c
23
2 4 5 66 2
P xEI v x c c x c
dMEI v S
dx
y
x
L/2L
A
B
C
P
P/2 3P/2
13
ÖRNEK 6 Şekilde gösterilen konsollu kirişin reaksiyon kuvvetlerini çift katlı integrasyon yolu ile hesaplayınız.
y
x
L/3L
A
B
C
q
L/3LRA
B
C
q
MA A
RB
0, 0yF M 4
3A BR R q L
24 4 4
3 6 3 9A A
L L LR L M q qL
43 21 1
06 2 24
A A
qLR L M L
2
2 2 2
2
4 1216 7
849 9
9
A A
A
A A
R L M qL
M qL qL qLR L M qL
27 13 19, ,
72 24 24A A BM qL R qL R qL
I
II
III
43 2
2
1 1 240 *
6 2 24A A
qLR L M L
L
Düşey yükler etkisindeki kirişlerde yatay doğrultuda reaksiyon oluşmayacağından yazılabilecek iki adet denge denklemi mevcuttur. Bu iki denklemde bilinmeyen üç reaksiyon kuvveti bulunur. Çözüm için gereken üçüncü denklemi elastik eğri bağıntısı sağlar.
xRA
qMA M
2 2
0,2 2
A A A A
x qxM M q R x M R x M
2
2A A
qxEIv R x M
32
1
1
2 6A A
qxEIv R x M x c
43 2
1 2
1 1
6 2 24A A
qxEIv R x M x c x c
2
1
0 0 0
0 0 0
v c
v c
Sınır koşulları:
43 21 1
6 2 24A A
qxEIv R x M x
1 0v L
L
B
x
y
A
EI
L
B
x
y
AEIAM BM
A BM M
L
A BM M
L
Şekilde gösterilen ankastre kirişin B mesnedi kiriş eksenine dik yönde Δ kadar yer değiştirmektedir. Çubuk uç kuvvetlerini elastik eğri denklemi yardımıyla hesaplayınız. Eğim ve sehim fonksiyonlarını yazınız. Δ=1 olması durumundaki çubuk ucu kuvvetlerini bir şekil üzerinde gösteriniz.
L
B
x
y
A
EI
ÖRNEK 7
EI v M
Sınır Koşulları
2
1
3 2
1 2
2
6 2
A BA
A BA
A BA
M MEI v x M
L
M M xEI v M x C
L
M M x xEI v M C x C
L
1( 0) 0 0v x C
2( 0) 0 0v x C
2
3 2
2
6 2
A BA
A BA
M M xEI v M x
L
M M x xEI v M
L
Ek Sınır Koşulları
2
( ) 0 02
A BA A B
M M Lv x L M L M M
L
3 2
2
2 6( )
6 2
AA A
M L L EIv x L M EI M
L L
2 2
3 2 2
3 2 3 2
3 2 2
12 6 6
2
12 6 6
6 2 3 2
EI x EI EI xEI v x x
L L L L
EI x EI x EI x xEI v
L L L L
L
B
x
y
A
EI2
6EI
L1
3
12EI
L 3
12EI
L
2
6EI
L
Şekilde gösterilen ankastre kirişin B mesnedi MB momentinin etkisiyle θ kadar dönmektedir. Çubuk uç kuvvetlerini elastik eğri denklemi yardımıyla hesaplayınız. Eğim ve sehim fonksiyonlarını yazınız. θ=1 olması durumundaki çubuk ucu kuvvetlerini bir şekil üzerinde gösteriniz.
L
B x
y
A
EI
BM
ÖRNEK 8
L
B
x
y
A
EI
B
x
y
A
EI
A BM M
L
A BM M
L
AM
BM
EI v M
Sınır Koşulları 2
1
3 2
1 2
2
6 2
A BA
A BA
A BA
M MEI v x M
L
M M xEI v M x C
L
M M x xEI v M C x C
L
1( 0) 0 0v x C
2( 0) 0 0v x C
Ek Sınır Koşulları 2
3 2
2
6 2
A BA
A BA
M M xEI v M x
L
M M x xEI v M
L
2 4( )
2
A BA B
M M L EIv x L M L EI M
L L
3 2
( ) 0 06 2 2
A B BA A
M M ML Lv x L M M
L
2 2
2
3 2 32
2
6 2 32
2
6 2
6 2
EI x EI EI xEI v x x
L L L L
EI x EI x EI xEI v x
L L L L
B
x
y
A
EI
1
2
6EI
L2
6EI
L
2EI
L
4EI
L
18
2 m1 m
Bx
y
A C
10 kN
Yükleme durumu şekilde verilen konsol kirişin elastik eğri denklemini bulunuz. A noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.
1
1
1
0 1
0
20'
1(20 46.667)
x m
EIv
vEI
v xEI
2
2
2
3 252 3
1 3
10 10
1' ( 5 10 15)
1( 5 15 45)
x m
EIv x
v x xEI
v x x xEI
2
3 2
35 144, 35 144
1' (17.5 144 )
1(5.833 72 )
M x EIv x
v x xEI
v x xEI
4 m
Bx
y
A
35 kN
4 kNm
Yükleme durumu şekilde verilen konsol kirişin elastik eğri denklemini bulunuz.
ÖRNEK 9 ÖRNEK 10
y
x
q
L/2
A B
L/2
y
x
q
L
A B
L/2
C
y
xM0
L/3
A B
2L/3
y
x
L
A B
L/2
C
M0
L
D
Yükleme durumu ve boyutları şekilde gösterilen kirişlerin elastik eğri denklemini çıkartınız. En büyük sehimin yerini ve değerini hesaplayınız.
Yükleme durumu yanda verilen hiperstatik kirişin B mesnedi, eksenine dik doğrultuda Δ kadar yer değiştirmektedir. Mesnet reaksiyonlarını elastik eğri denklemi yardımıyla hesaplayınız. B mesnedindeki eğimi belirleyiniz.
a
dc
b
eL
B
x
y
A
EI