Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 1

Alan Momentleri

• xy düzleminde bulunan A alanını ele alalım. x ve y, ile dA olan parçasının koordinatlarınıgöstererek A alanının x ve y eksenine göre birinci momenti (m³, mm³);

Alan Momentleri

• A alanının geometrik merkezi, aşağıdaki eşitlikleri sağlayan C noktasının x ve y koordinatları olarak tanımlanır.

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 2

Alan Momentleri

• A alanının birinci momentinin alan ile onun geometrik merkezinin koordinatlarının çarpımı olarak ifade edilir.

Alan Momentleri

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 3

Örnek

• Üçgen alanı için, verilen alanın x eksenine göre birinci momenti Qx ve verilen alanın geometrik merkezinin y ordinatını tayin ediniz.

Çözüm

İfadeleri çıkarılır. Verilen alanın x eksenine göre birinci momenti;

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 4

Çözüm

Şekillerin Alan ve

Geometrik Merkezleri

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 5

Kompozit Bir Alanın Birinci Momenti ve Geometrik Merkezi

• Şekilde görülen ve basit geometrik şekillere bölünebilen trapez şeklindeki bir alanı ele alalım. Bundan önceki bölümde gördüğümüz gibi, verilen alanın x eksenine göre birinci momenti Qx, A alanının tamamım kapsayan ∫ydA integraliyle gösterildi. A alanını A1, A2 ve A3bileşenlerine ayırırsak;

Kompozit Bir Alanın Birinci Momenti ve Geometrik Merkezi

=

Elde edilir.

Burada y1, y2 ve y3 bileşen alanların geometrik merkezlerinin ordinatlarıdır. Bu sonuç herhangi bir sayıdaki alan bileşeni için genişletilerek ve Qy için benzer bir ifadenin elde edilebilir.

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 6

Kompozit Bir Alanın Birinci Momenti ve Geometrik Merkezi

Örnek• Şekildeki A alanının geometrik merkezi olan C’nin

konumunu bulunuz.

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 7

Çözüm

BİR ALANIN İKİNCİ MOMENTİ

• Herhangi bir x eksenine göre A alanının I’yı (Dikdörtgen Eylemsizlik Momenti) ele alalım. dA alan elemanın seksenine olan uzaklığı y ile gösterilmek kaydıyla;

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 8

Kutupsal Eylemsizlik Momenti

Jirasyon Yarıçapı• Bir cismin kendisi ile aynı eylemsizlik momentine ve aynı

kütleye sahip sanal halkanın yarıçapına , eylemsizlik yarıçapı (atalet yarıçapı - jirasyon yarıçapı - dönül yarıçap) denir.

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 9

Örnek• Şekildeki dikdörtgen alanın ağırlık

merkezinden geçen x eksenine göre eylemsizlik moment Ix'i ve ilgili jirasyonyarıçapı rx‘i tayin ediniz.

Çözüm

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 10

Çözüm

Dikdörtgen ve Kutupsal Eylemsizlik Momentleri

?I?I?J yx0 ===

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 11

Dikdörtgen ve Kutupsal Eylemsizlik Momentleri

40

c

0

30

220

cπ21J

ρd.ρπ2J

)ρd.πρ2(ρdA.ρJ

=

=

==

∫

Dikdörtgen ve Kutupsal Eylemsizlik Momentleri

4yx

x4

xyx0

cπ41II

I2cπ21

I2IIJ

==

=

=+=

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 12

Şekilde görülen alanın merkezi x eksenine göre eylemsizlik momentini tayin ediniz.

Dikdörtgen Eylemsizlik Momenti

Dikdörtgen Eylemsizlik Momenti

222

3211

3

x d.A12h.bd.A

12h.bI +++=

mm10.31,210.133410.975I 633x =+=

23

23

x 16).60.40(1260.4024).20.80(

1220.80I +++=

[ ] [ ]2222A

2111Ax d.AId.AII +++=

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 13

Örnek

Dikdörtgen

Üçgen

Yarım Daire

Daire

Dikdörtgen

Üçgen

Yarım Daire

Daire

Öğr. Gör. Mehmet EMİROĞLU

Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnson, Jr. 14

23

33

mm1013.828mm107.757

×

×+==

∑∑

AAxX

mm8.54=X

23

33

mm1013.828mm102.506

×

×+==

∑∑

AAyY

mm6.36=Y