MS138

7/28/2019 MS138

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M e a s u r e m e n t o f t h e S p e e d a n d E n e r g y D i s t r i b u t i o n o f C o s m i c R a y M u o n s

G r a n t R e m m e n

1 , a

a n d E l w o o d M c C r e a r y

1 , b

1

D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , S c h o o l o f P h y s i c s a n d A s t r o n o m y ,

U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a , 1 1 6 C h u r c h S t r e e t S E , M i n n e a p o l i s , M N 5 5 4 5 5 , U S A

T h e t i m e o f i g h t d i s t r i b u t i o n o f c o s m i c r a y m u o n s w a s m e a s u r e d f o r v a r i o u s s p a c i n g s o f d e -

t e c t o r s l l e d w i t h p l a s t i c s c i n t i l l a t o r , a l l o w i n g f o r a d e t e r m i n a t i o n o f t h e m e a n s p e e d , a s w e l l a s

c o n s t r a i n t o f t h e e n e r g y s p e c t r u m b e l o w

0.95c. T h e u s e o f a t i m e - t o - a m p l i t u d e c o n v e r t e r a l l o w e d f o r

p r e c i s e t i m i n g m e a s u r e m e n t s a n d r e s o l u t i o n o f t h e s h a p e o f t h e t i m i n g d i s t r i b u t i o n f o r e a c h s p a c i n g ,

n e c e s s a r y f o r c o n s t r a i n i n g t h e e n e r g y s p e c t r u m . T h e m e a n s p e e d o f c o s m i c r a y m u o n s w a s f o u n d

t o b e

(2.978 0.007) 108 m s1 = (0.993 0.002) c. T h e e n e r g y s p e c t r u m b e l o w 0.34 GeV w a sf o u n d t o b e c o n s i s t e n t w i t h a a t d i s t r i b u t i o n a n d w a s p a r a m e t e r i z e d w i t h a p o w e r l a w o f t h e f o r m

n (E)dE EdE, w i t h b e s t t b y (7.9 9.1) 104 .

K e y w o r d s : c o s m i c r a y s , e l e m e n t a r y p a r t i c l e s : m u o n s , e n e r g y s p e c t r u m , r e l a t i v i s t i c v e l o c i t y m e a s u r e m e n t ,

s c i n t i l l a t i o n d e t e c t o r , n a n o s e c o n d t i m i n g m e a s u r e m e n t , a s t r o p a r t i c l e p h y s i c s , s p e c i a l r e l a t i v i t y

I . I N T R O D U C T I O N

C o s m i c r a y s , e n e r g e t i c p a r t i c l e s f r o m d e e p s p a c e

t h a t p e n e t r a t e E a r t h ' s a t m o s p h e r e , w e r e d i s c o v e r e d

i n 1 9 1 2 b y V i c t o r H e s s t h r o u g h t h e u s e o f a b a l l o o n -

b o r n e e l e c t r o s c o p e . C o n s i s t i n g p r i m a r i l y o f e n e r g e t i c

p r o t o n s a n d n u c l e i p r o d u c e d b y s u p e r n o v a e , c o s m i c

r a y s a r e c o n s t r a i n e d b y t h e G a l a c t i c m a g n e t i c e l d ,

f o r m i n g a r e l a t i v i s t i c g a s w i t h p a r t i c l e e n e r g i e s o f

u p t o 1021 eV. 6 U p o n e n t e r i n g t h e a t m o s p h e r e , t h e p r i m a r y c o s m i c r a y s i n t e r a c t a n d d e c a y t h r o u g h v a r -

i o u s o t h e r p a r t i c l e s p e c i e s , c h a n g i n g t h e p o p u l a t i o n

f r o m h a d r o n s t o l e p t o n s , s u c h a s m u o n s , w h i c h w e r e

r s t d e t e c t e d b y c o s m i c r a y p h y s i c i s t B r u n o R o s s i i n

1 9 3 2 .

T h e v e r y e x i s t e n c e o f m u o n s a t s e a l e v e l i n d i c a t e s

t h e e e c t s o f s p e c i a l r e l a t i v i t y . A s e c o n d g e n e r a t i o n

l e p t o n w i t h p r o p e r t i e s a n a l o g o u s t o t h e e l e c t r o n ,

m u o n s h a v e r e s t m a s s m o f 105.7MeV/c2

a n d r e s t

f r a m e l i f e t i m e 2.2 s. E x p e r i m e n t a l e v i d e n c e i n - d i c a t e s , h o w e v e r , t h a t m u o n s a r e p r o d u c e d h i g h i n

t h e a t m o s p h e r e , w i t h t r a v e l t i m e t o s e a l e v e l m u c h

g r e a t e r t h a n

i n t h e r e s t f r a m e o f t h e E a r t h . T h e

GeV e n e r g i e s o f c o s m i c r a y m u o n s a t s e a l e v e l 1 1i m p l y s p e e d s g r e a t e r t h a n 0.999c , s o t h a t r e l a t i v i s t i c t i m e d i l a t i o n m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t .

I n t h i s e x p e r i m e n t , a t i m e - t o - a m p l i t u d e c o n v e r t e r

( T A C ) w a s u s e d t o m e a s u r e t h e m u o n t i m e o f i g h t

b e t w e e n d e t e c t o r s , w h i c h w a s o n t h e o r d e r o f a f e w

ns. T h i s d e v i c e a l l o w e d f o r m o r e p r e c i s e m e a s u r e - m e n t o f t h e t i m i n g d i s t r i b u t i o n t h a n w a s o b t a i n e d

i n p r i o r m e a s u r e m e n t s o f c o s m i c r a y m u o n s p e e d s

a t M I T a n d t h e U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a .

2 , 6

I n t h e s e

p r i o r e x p e r i m e n t s , t h e d i s t r i b u t i o n w a s p a r a m e t e r -

i z e d b y a s i n g l e s p e e d a n d w a s l i m i t e d i n p r e c i s i o n

( 10% r e l a t i v e e r r o r f o r R e f . 6 ) . F i n a l l y , t h r e e s c i n - t i l l a t o r p a d d l e s w e r e u s e d f o r c o i n c i d e n c e t e s t i n g ; t h e

u s e o f t h r e e p a d d l e s d e c r e a s e d t h e t o t a l s o l i d a n g l e

o v e r w h i c h m u o n e v e n t s w e r e c o l l e c t e d , w h i c h l e d

t o g r e a t e r p r e c i s i o n o f t h e m e a s u r e m e n t . T h e t h r e e -

p a d d l e c o n g u r a t i o n a l s o l e s s e n e d t h e p r o b a b i l i t y o f

i n d e p e n d e n t r a n d o m b a c k g r o u n d e v e n t s b e i n g i n c o r -

r e c t l y c o u n t e d , t h e r e b y i m p r o v i n g t h e r e l i a b i l i t y o f

t h e r e s u l t .

I I . T H E O R Y

T h e s p e c i a l t h e o r y o f r e l a t i v i t y , d e v e l o p e d b y E i n -

s t e i n o v e r a c e n t u r y a g o , g o v e r n s t h e b e h a v i o r o f

o b j e c t s m o v i n g a t r e l a t i v i s t i c s p e e d s . I n p a r t i c u l a r ,

L o r e n t z c o n t r a c t i o n a n d t i m e d i l a t i o n i m p l y t h a t

o b s e r v e r s w i l l s e e d i s t a n c e s a n d t i m e s i n f r a m e s i n

m o t i o n r e l a t i v e t o t h e m c o n t r a c t e d ( r e s p e c t i v e l y ,

l e n g t h e n e d ) b y f a c t o r s o f 1/ a n d , w h e r e

1/1 (v/c)2 . 1 0 W i t h r e l a t i v i t y t a k e n i n t o a c c o u n t ,a m u o n w i t h

E = 4GeV h a s 38 . H e n c e , t h e l i f e t i m e o f t h e m u o n , a s s e e n f r o m t h e E a r t h , i s

83 s, a l l o w i n g 4GeV m u o n s t o r e a c h t h e s u r - f a c e f r o m a h e i g h t o f o v e r 20km. T h e o b s e r v a t i o n o f t h e s p e e d o f c o s m i c r a y m u o n s , w h i c h i s c l o s e t o c ,p r o v i d e s a n i n t e r e s t i n g o p p o r t u n i t y t o o b s e r v e m a s -

s i v e p a r t i c l e s i n t h e r e l a t i v i s t i c l i m i t .

I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e m e a n s p e e d o f c o s m i c

r a y m u o n s , a l i n e a r t w a s c a l c u l a t e d . T h e a v e r a g e

t i m e tobs b e t w e e n d e t e c t i o n s o f a m u o n i n p a d d l e s s e p a r a t e d b y a g i v e n v e r t i c a l d i s t a n c e y w a s m e a - s u r e d . T h i s v e r t i c a l s p a c i n g c o r r e s p o n d s t o a n a v e r -

a g e m u o n p a t h l e n g t h l , a s n o t a l l m u o n s a r e v e r t i - c a l l y i n c i d e n t . W i t h l p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f tobs ,t h e r e s u l t i n g l i n e h a s s l o p e e q u a l t o t h e m e a n s p e e d

v a n d t h e h o r i z o n t a l i n t e r c e p t tdelay c o r r e s p o n d s t o t h e i n h e r e n t d e l a y i n t h e d e t e c t o r s a n d c a b l e s :

l = v (tobs tdelay) . ( 1 )C o s m i c r a y m u o n s a r e n o t r e s t r i c t e d t o a s i n g l e

v e l o c i t y , b u t a r e d i s t r i b u t e d i n a s p e c t r u m o f e n e r g i e s

7 February 2012 Journal of Undergraduate Research in Physics MS138

7/28/2019 MS138

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2

F i g u r e 1 : E x a m p l e s o f p r e d i c t i o n f o r v a r i o u s c o s m i c r a y u x e s ( g u r e s r e p r o d u c e d f r o m R e f s . 1 2 a n d 7 ) . N o t e t h a t t h e

m u o n d i s t r i b u t i o n d o e s n o t v a r y s t r o n g l y w i t h e n e r g y b e l o w

1GeVa n d i s d e p e n d e n t o n g e o g r a p h i c a l a n d a t m o s p h e r i c

c o n d i t i o n s , s u c h a s a l t i t u d e , l o c a t i o n , p r e s s u r e , e t c .

( s e e F i g . 1 ) . F o r c o s m i c r a y m u o n s b e l o w 1GeV, t h e e n e r g y s p e c t r u m i s f a i r l y a t .

4

T h i s s t a t e m e n t m a y

b e p a r a m e t e r i z e d b y a p o w e r l a w :

1

n (E) dE EdE = n (v) dv 3vdv. ( 2 )T h e c o n v e r s i o n t o t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n f o l l o w s

f r o m t h e r e l a t i o n

E = mc2

. F o r a g i v e n m e a n p a t h

l e n g t h l , E q . ( 2 ) m a y b e c o n v e r t e d i n t o a n e x p e c t e d t i m i n g d i s t r i b u t i o n :

n (tbin) tbin l2t3bin

1 l2

c2t2bin

32

tbin, ( 3 )

w h e r e tbin i s t h e t i m e c o r r e s p o n d i n g t o a g i v e n b i n a n d tbin i s t h e b i n w i d t h . B y c o m p a r i n g t h e o b - s e r v e d t i m i n g d i s t r i b u t i o n s w i t h e x p e c t a t i o n s d e -

r i v e d f r o m E q . ( 3 ) , a t f o r t h e p a r a m e t e r

c a n b e

f o u n d . I n t h i s w a y , a c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e c o s m i c

r a y m u o n v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n a l l o w s f o r c o n s t r a i n t s

t o b e p l a c e d o n t h e e n e r g y s p e c t r u m .

T h e r e e x i s t s e v e r a l s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y i n t h e

m e a s u r e m e n t o f t h e m e a n s p e e d o f c o s m i c r a y

m u o n s . T h e a n g u l a r d i s t r i b u t i o n o f c o s m i c r a y s f o l -

l o w s t h e e m p i r i c a l r e l a t i o n

I = I0 cosn

( 4 )

w h e r e i s t h e z e n i t h a n g l e , I0 i s t h e u x ( c o u n t i n g r a t e ) p e r u n i t a r e a p e r u n i t s o l i d a n g l e f o r v e r t i c a l l y

i n c i d e n t m u o n s , a n d n 2 . 5 A n g u l a r d i s t r i b u t i o n i s a s o u r c e o f u n c e r t a i n t y i n m e a s u r e m e n t s o f m u o n

s p e e d , d u e t o t h e v a r i a t i o n i n p o s s i b l e p a t h l e n g t h s .

I n a d d i t i o n , t h e v a r i a n c e i n p a t h l e n g t h t r a v e r s e d b y

s i g n a l s p r o p a g a t i n g w i t h i n t h e s c i n t i l l a t o r p a d d l e s

c o n t r i b u t e d a n o t h e r s o u r c e o f e r r o r i n t h e t i m i n g d i s -

t r i b u t i o n f o r a g i v e n p a d d l e s p a c i n g . O t h e r s o u r c e s

o f e r r o r i n c l u d e d e l e c t r o n i c j i t t e r a n d t h e r m a l n o i s e

i n t h e a p p a r a t u s . T h e s e s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y a r e

t r e a t e d i n g r e a t e r d e t a i l i n S e c t i o n I V .

I I I . E X P E R I M E N T A L A P P A R A T U S A N D

M E T H O D S

T h i s e x p e r i m e n t i n v o l v e d a n a l y z i n g t h e o b s e r v e d

t i m e d i e r e n c e s b e t w e e n l i g h t p u l s e s g e n e r a t e d b y

c o s m i c r a y m u o n s i n t e r a c t i n g w i t h p l a s t i c s c i n t i l l a -

t o r m a t e r i a l , w h i c h w a s e n c a s e d i n l i g h t - t i g h t p a d -

d l e s ( s e e F i g . 2 ) . T h e s e p u l s e s w e r e t r a n s f o r m e d i n t o

e l e c t r i c a l s i g n a l s a n d a m p l i e d b y p h o t o m u l t i p l i e r

t u b e s ( P M T s ) t o v o l t a g e s o n t h e o r d e r o f 1023 mV .F o r t h e s c i n t i l l a t o r p a d d l e s a n d P M T s u s e d i n t h i s

e x p e r i m e n t , w h i c h p o s s e s s i m p r o v e d s e n s i t i v i t y o v e r

t h o s e u s e d i n R e f . 2 , t h e o p t i m u m o p e r a t i n g v o l t a g e s

( o n t h e o r d e r o f 1 kV) h a d b e e n p r e v i o u s l y d e t e r - m i n e d . T h r e e s c i n t i l l a t o r p a d d l e s w e r e u s e d , l a b e l e d

A , B , a n d C f r o m t o p t o b o t t o m ; t h e p e r p e n d i c u -

l a r d i s t a n c e y b e t w e e n p a d d l e s A a n d B w a s v a r - i e d a m o n g s e v e n d i e r e n t s p a c i n g s b y m o u n t i n g t h e

p a d d l e s o n t h e r u n g s o f a l a d d e r a n d v a r y i n g t h e p o -

s i t i o n o f p a d d l e B . F o r e a c h s p a c i n g , d a t a w a s t a k e n

w i t h i n t e g r a t i o n t i m e o f a p p r o x i m a t e l y 24 hours a ta m i n i m u m .

T h e d i r e c t s i g n a l o f a P M T i s s h o r t i n d u r a t i o n ,

o n t h e o r d e r o f a f e w ns, a n d t h e s h a p e o f t h e s i g - n a l p u l s e i s c u r v e d , n o t c o n t a i n i n g a c l e a n r i s i n g

o r f a l l i n g e d g e . I n o r d e r t o p r o d u c e a l o n g e r s q u a r e

p u l s e m o r e s u i t e d t o a n a l y s i s i n N I M - s t a n d a r d l o g i c ,

t h e s i g n a l o f e a c h P M T w a s i n p u t i n t o a L e C r o y

8 2 1 Q u a d D i s c r i m i n a t o r . W h e n t h e P M T v o l t a g e e x -

c e e d s t h e m i n i m u m t h r e s h o l d o f 31.5 1.5 mV, t h e d i s c r i m i n a t o r o u t p u t s a s q u a r e p u l s e ; p u l s e w i d t h s

o f 64 , 24, a n d 27ns w e r e u s e d f o r t h e o u t p u t s o f s c i n t i l l a t o r p a d d l e s A , B , a n d C , r e s p e c t i v e l y . T h e

o u t p u t s o f t h e d i s c r i m i n a t o r s w e r e u s e d t o c r e a t e i n -


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3

F i g u r e 2 : E x p e r i m e n t a l a p p a r a t u s f o r t h e m e a s u r e m e n t o f t h e s p e e d o f c o s m i c r a y m u o n s , u s i n g c o i n c i d e n c e S e t u p

I ( l e f t ) a n d I I ( r i g h t ) . T h r e e s c i n t i l l a t o r p a d d l e s ( f a r l e f t ) a r e m o u n t e d o n a l a d d e r a t d i e r e n t s p a c i n g s . W h e n a

m u o n p a s s e s t h r o u g h t h e p a d d l e s , s i g n a l s f r o m t h e p h o t o m u l t i p l i e r t u b e s ( P M T s ) a r e r e - o u t p u t b y d i s c r i m i n a t o r s

( D i s c . ) . T h e t i m e - t o - a m p l i t u d e c o n v e r t e r ( T A C ) m e a s u r e s t h e i n t e r v a l b e t w e e n e v e n t s a t A a n d C ( p l u s

tdelay ) a n d

t h e r e s u l t i n g v o l t a g e i s i n p u t t o t h e m u l t i c h a n n e l a n a l y z e r ( M C A ) a n d r e c o r d e d o n a c o m p u t e r ( P C ) .

p u t s f o r t h e S T A R T a n d S T O P l i n e s o f a n O R T E C

5 6 6 T A C , w h i c h o u t p u t s a v o l t a g e p u l s e p r o p o r t i o n a l

t o t h e t i m e d i e r e n c e b e t w e e n i n p u t p u l s e s . T h e s e

v o l t a g e s w e r e t h e n b i n n e d a n d s t o r e d u s i n g a n O R -

T E C E A S Y - M C A 1 , 0 2 4 - b i n m u l t i c h a n n e l a n a l y z e r

( M C A ) , w h i c h t r a n s f e r r e d t h e d a t a t o a c o m p u t e r .

T h r e e - p a d d l e c o i n c i d e n c e t e s t i n g w a s u s e d b o t h

t o r e d u c e t h e p r o b a b i l i t y o f a m e a s u r e m e n t b e i n g

t r i g g e r e d b y i n d e p e n d e n t , u n r e l a t e d m u o n s a n d t o

d e c r e a s e t h e r e l e v a n t s o l i d a n g l e f o r s m a l l y . C o m - p l e t e d a t a s e t s w e r e t a k e n f o r t w o d i e r e n t i m p l e -

m e n t a t i o n s o f t h e c o i n c i d e n c e t e s t ( s e e F i g . 2 f o r

s c h e m a t i c s ) . I n S e t u p I , t h e c l e a n p u l s e s g e n e r a t e d

b y t h e d i s c r i m i n a t o r s f o r p a d d l e s A a n d C w e r e i n -

p u t t o a C . A . E . N . M o d e l N 4 5 5 Q u a d c o i n c i d e n c e

l o g i c u n i t ( e s s e n t i a l l y a n A N D g a t e ) , t h e o u t p u t o f

w h i c h w a s s e n t t o t h e E N A B L E l i n e o f t h e T A C .

T h e o u t p u t f r o m A w a s s e n t d i r e c t l y t o t h e S T A R T

l i n e o f t h e T A C , w h i l e t h e s i g n a l f r o m B , d e l a y e d

b y 46ns u s i n g c o a x i a l a n d L E M O c a b l e s , w a s s e n t t o t h e S T O P l i n e . T h e s i g n a l f r o m p a d d l e A t o t h e

A N D g a t e w a s d e l a y e d b y a 36ns c o a x i a l c a b l e , t o e n s u r e t h a t i t a r r i v e d a f t e r t h e s i g n a l f r o m C . I t w a s

f o u n d t h a t S e t u p I p r o d u c e d s i g n i c a n t n o i s e p e a k s

i n t h e t i m i n g d i s t r i b u t i o n a t h i g h v a l u e s o f y .

I n S e t u p I I , w h i c h p r o d u c e d l e s s n o i s y d a t a , t h e

s i g n a l s f r o m p a d d l e s A a n d C w e r e i n p u t i n t o a c o -

i n c i d e n c e g a t e a s b e f o r e . T h e s i g n a l f r o m A w a s d e -

l a y e d b y a 14ns L E M O c a b l e , s o t h a t , a s i n S e t u p I ,t h e s i g n a l f r o m A a l w a y s a r r i v e d a f t e r C . T h e c o i n -

c i d e n c e s i g n a l w a s i n p u t i n t o t h e S T A R T l i n e o f t h e

T A C , w i t h n o E N A B L E u s e d . T h e T A C u s e d i n t h i s

e x p e r i m e n t h a s a n i n h e r e n t l i m i t a t i o n o n t h e r a n g e

o f t i m e s i t c a n m e a s u r e : a n y m e a s u r e m e n t m u s t b e

i n e x c e s s o f 10ns. T h e r e f o r e , a s i n S e t u p I , i t w a s n e c e s s a r y i n S e t u p I I t o d e l a y t h e s i g n a l f r o m p a d -

d l e B ; i n o r d e r t o a c c o m p l i s h t h i s , B w a s i n p u t t o

t h e S T O P l i n e w i t h a 36ns c o a x i a l d e l a y c a b l e . I n b o t h S e t u p s I a n d I I , a l l e l e c t r o n i c c o m p o n e n t s w e r e

m a t c h e d a t 50 i m p e d a n c e .A s a r e s u l t o f t h e c o i n c i d e n c e t e s t s , t h i s e x p e r -

i m e n t r e q u i r e d t r i p l e c o i n c i d e n c e ( A B C) f o r a m u o n t o b e c o u n t e d . F o l l o w i n g t h e r e a s o n i n g o f

R e f . 8 , t h e e x p e c t e d n u m b e r o f b a c k g r o u n d c o u n t s

i n e a c h b i n i n o u r e x p e r i m e n t i s

Nb = 3nAnBnCTtott2bin, ( 5 )

w h e r e nA , nB , a n d nC a r e t h e c o u n t r a t e s i n p a d d l e s A , B , a n d C i n d i v i d u a l l y ( o v e r t h e s o l i d a n g l e s u b -

t e n d e d b y A a n d C ) ,

Ttoti s t h e i n t e g r a t i o n t i m e , a n d

tbin i s t h e t i m i n g w i d t h o f a b i n ( a p p r o x i m a t e l y 49ps) . W i t h t h e t o t a l o b s e r v e d b a c k g r o u n d r a t e s o f a p p r o x i m a t e l y 50Hz f o r A a n d B a n d 25Hz f o r C ,Nb 1 , e v e n f o r i n t e g r a t i o n t i m e s o f s e v e r a l d a y s .

T h e m e a n p a t h l e n g t h i s d e p e n d e n t o n t h e g e -

o m e t r y o f t h e s c i n t i l l a t o r p a d d l e s a n d t h e a n g u l a r

d i s t r i b u t i o n o f c o s m i c r a y m u o n s , g i v e n i n E q . ( 4 ) .

A M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n w a s u s e d t o c a l c u l a t e t h e

m e a n p a t h l e n g t h

lf o r v a r y i n g

y. P s e u d o r a n d o m c o -

o r d i n a t e s w e r e g e n e r a t e d f o r t h e l o c a t i o n o f m u o n

i n c i d e n c e o n t h e t o p p a d d l e , a s w e l l a s f o r t h e a z -

i m u t h a n d z e n i t h a n g l e s o f t h e m u o n ' s v e l o c i t y v e c -

t o r . I f t h e m u o n ' s t r a j e c t o r y i n t e r s e c t e d p a d d l e s A ,

B , a n d C , t h e m u o n w a s r u l e d s u c c e s s f u l a n d l w a sc o m p u t e d g e o m e t r i c a l l y . A f t e r g e n e r a t i n g 105 s u c - c e s s f u l m u o n s f o r e a c h s p a c i n g

yb e t w e e n p a d d l e s A

a n d B a t 1 mm i n t e r v a l s , l w a s k n o w n t o a p r e c i s i o n o n t h e o r d e r o f 106 f o r a g i v e n v a l u e o f y . D u e t o t h e c o n s t a n t s o l i d a n g l e f o r m e d b y p a d d l e s A a n d C , t h e

r e l a t i o n i s w e l l r e p r e s e n t e d b y a l i n e a r s c a l i n g o f t h e

p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e . I n S e t u p s I a n d I I , r e s p e c -

t i v e l y , (l y) /y w a s t a s (9.0001 0.0007) 103a n d (8.9503 0.0007)103 , w i t h t h e d i e r e n c e b e -


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4/8

4

F i g u r e 3 : D i s t r i b u t i o n o f a c c e p t e d l e n g t h s f r o m a M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n o f o v e r

4105 m u o n s , w i t h n o r m a l s p a c i n g y

o f

202.009375 cm.

F i g u r e 4 : T h e t i m i n g d i s t r i b u t i o n f o r a m e a n s l a n t l e n g t h o f

115.80 0.16 a n d 114.64 0.16cm f o r i n t e g r a t i o n t i m e s o f

48.6a n d

50.9 hours, f r o m D a t a S e t I ( l e f t ) a n d I I ( r i g h t ) , r e s p e c t i v e l y . M u l t i p l e G a u s s i a n t s f o r t h e p e a k r e g i o n s

o f t h e o b s e r v e d t i m i n g d i s t r i b u t i o n ( a b o v e

20%a n d

60%, r e s p e c t i v e l y , o f t h e s m o o t h e d p e a k h e i g h t ) a r e a l s o s h o w n .

T h e r e d u c e d

2v a l u e s f o r t h e t s s h o w n a r e

1.14a n d

1.41f o r I a n d I I , r e s p e c t i v e l y .

i n g d u e t o t h e 0.64cm v a r i a t i o n b e t w e e n t h e t w o S e - t u p s o f t h e p e r p e n d i c u l a r d i s t a n c e b e t w e e n p a d d l e s

A a n d C . T h o u g h s m a l l , i n e e c t l e n g t h e n i n g t h e

m e a n p a t h l e n g t h b y l e s s t h a n 1% o v e r t h e p e r p e n - d i c u l a r d i s t a n c e y , t h i s c o r r e c t i o n f a c t o r i s n e c e s s a r y f o r a n a c c u r a t e d e t e r m i n a t i o n o f m u o n s p e e d , g i v e n

t h e l e v e l o f p r e c i s i o n i n o u r e x p e r i m e n t . A l e n g t h d i s -

t r i b u t i o n f o r a p a r t i c u l a r y , f r o m a s i m u l a t i o n o f o v e r 4105 v i r t u a l m u o n s , i s s h o w n i n F i g . 3 . A d d i t i o n a l M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s w e r e c o n d u c t e d t o a s s e s s

t h e e e c t o f m i s a l i g n m e n t ( e . g . p a d d l e B n o t d i r e c t l y

a l i g n e d w i t h A a n d C ) . I t w a s f o u n d t h a t t h i s e f -

f e c t i n t r o d u c e s r e l a t i v e e r r o r s o n t h e o r d e r o f 105

o r s m a l l e r , w h i c h a r e d w a r f e d b y t h e 0.16cm u n c e r - t a i n t i e s i n

yi t s e l f , w h i c h w a s m e a s u r e d d i r e c t l y .

I V . A N A L Y S I S A N D R E S U L T S

B e f o r e t h e s p e c t r u m o f s p e e d s ( e q u i v a l e n t l y , e n -

e r g i e s ) c o u l d b e t , i t w a s n e c e s s a r y t h a t t h e i n -

h e r e n t d e l a y

tdelay i n t h e a p p a r a t u s b e f o u n d . T h i s w a s p o s s i b l e b y p e r f o r m i n g a l i n e a r t b e t w e e n t h e

s e t o f m e a n d i s t a n c e s

la n d t h e r e p r e s e n t a t i v e t i m e s

f o r t h e r e s p e c t i v e t i m i n g d i s t r i b u t i o n s , e e c t i v e l y

n d i n g t h e m e a n s p e e d o f t h e o b s e r v e d c o s m i c r a y

m u o n s . S i n c e t h e o b s e r v e d t i m i n g d i s t r i b u t i o n s w e r e

n o n - G a u s s i a n , a m u l t i p l e ( t w o o r t h r e e ) G a u s s i a n

t w a s u s e d t o p a r a m e t e r i z e t h e i r s h a p e s . I n a l l t s

o v e r t i m i n g d i s t r i b u t i o n s , t h e e r r o r i n a p a r t i c u l a r

b i n w i t h

Nc o u n t s w a s t a k e n t o b e

N

, b y P o i s s o n

s t a t i s t i c s . D u e t o t h e l o n g t a i l s o f t h e d i s t r i b u t i o n s ,

t h e r a n g e o f d a t a u s e d f o r t h e s e t s w a s r e s t r i c t e d

t o t h e s u b s e t w i t h c o u n t t o t a l s a b o v e 20% o r 60% o ft h e p e a k o f t h e d i s t r i b u t i o n f o r D a t a S e t s I a n d I I ,

r e s p e c t i v e l y ; t h e e l i g i b l e r e g i o n s a b o v e t h e t h r e s h -

o l d w e r e f o u n d b y s m o o t h i n g t h e d a t a w i t h a l o c a l

a v e r a g e o v e r v e b i n s . T h i s t t i n g p r o c e d u r e p r o -

d u c e d r e d u c e d

2

v a l u e s b e t w e e n a p p r o x i m a t e l y

1.1a n d 2.2 f o r D a t a S e t I a n d b e t w e e n 0.8 a n d 1.4 f o rD a t a S e t I I , i n d i c a t i n g f a i r l y g o o d c o r r e s p o n d e n c e

b e t w e e n t h e s h a p e s o f t h e t i m i n g d i s t r i b u t i o n s a n d

t h o s e o f t h e t s ( s e e F i g . 4 ) .

F o r e a c h t , t h e p e a k o f t h e p r i m a r y G a u s s i a n w a s

t a k e n t o c o r r e s p o n d t o t h e m e a n t i m e o f i g h t b e -

t w e e n p a d d l e s A a n d B f o r m u o n s p a s s i n g t h r o u g h

t h e a p p a r a t u s . F o r D a t a S e t I I , t h e p r i m a r y G a u s -

s i a n c o r r e s p o n d s t o a s h o u l d e r f e a t u r e n e a r t h e p e a k


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5

F i g u r e 5 : T o t a l l e a s t s q u a r e s l i n e a r t f o r t h e m e a n s p e e d o f c o s m i c r a y m u o n s , b a s e d o n D a t a S e t I . A l s o s h o w n a r e

t h e r e s i d u a l s i n t i m e a n d d i s t a n c e , i l l u s t r a t i n g t h e q u a l i t y o f t h e t , a s w e l l a s t h e a b s e n c e o f a n y o b v i o u s s y s t e m a t i c

t r e n d s .

F i g u r e 6 : T o t a l l e a s t s q u a r e s l i n e a r t f o r t h e m e a n s p e e d o f c o s m i c r a y m u o n s , b a s e d o n D a t a S e t I I . T h e r e s i d u a l s

i n t i m e a n d d i s t a n c e a r e a l s o p l o t t e d , i n d i c a t i n g g o o d n e s s o f t a n d a l a c k o f c l e a r s y s t e m a t i c t r e n d s .

( s e e F i g . 4 ) . I n D a t a S e t I , t h e s e c o n d a r y G a u s s i a n

c o r r e s p o n d s t o a n o i s e p e a k , p o s s i b l y d u e t o a n i n -

t e r n a l r e e c t i o n i n t h e w i r i n g , a p p e a r i n g a t n e a r l y

t h e s a m e b i n f o r e a c h s p a c i n g . T h e s e c o n d a r y G a u s -

s i a n i n D a t a S e t I I p a r a m e t e r i z e s t h e n o n - G a u s s i a n

s h a p e o f t h e d i s t r i b u t i o n , t h o u g h i t s o r i g i n r e m a i n s

u n c l e a r .

T h e e r r o r i n t h e t t i m e w a s f o u n d u s i n g t h e 2+1m e t h o d , i . e . v a r y i n g t h e m e a n i n b o t h d i r e c t i o n s u n -

t i l 2 i s i n c r e a s e d b y u n i t y . T h e r e l a t i v e e r r o r s i n b o t h t i m e a n d l e n g t h a r e o n t h e o r d e r o f 103 . D u e t o t h e c o m p a r a b l e s i z e o f t h e e r r o r s i n l e n g t h a n d

t i m e , a l i n e a r t a m o n g t h e s e v e n d a t a p o i n t s r e -

q u i r e d t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e t o t a l l e a s t s q u a r e s

m e t h o d , d e t a i l e d i n R e f . 9 . S i n c e t h i s m e t h o d i s

n o t a n a l y t i c a l l y t r a c t a b l e f o r g e n e r a l e r r o r s , t h e p a -

r a m e t e r s v a n d tdelay w e r e n u m e r i c a l l y v a r i e d u n - t i l 2 w a s m i n i m i z e d , w i t h t h e 2 + 1 m e t h o d u s e d f o r e r r o r e s t i m a t i o n . F o r D a t a S e t I , t h e b e s t t

m e a n s p e e d w a s v = (2.983 0.002) 108 m s1 =(0.9950 0.0006) c a n d t h e t i m i n g o s e t w a s tdelay =10.036 0.008 ns ( s e e F i g . 5 ) . F o r t h i s t , t h e r e - d u c e d

2v a l u e w a s 1.43 f o r 5 d e g r e e s o f f r e e d o m ,

a t 21% p r o b a b i l i t y . T h e l i n e a r s p e e d t f o r D a t a S e t I I y i e l d e d v = (2.969 0.002) 108 m s1 =(0.9902 0.0008) c . F o r c o n g u r a t i o n I I , t h e t i m - i n g d e l a y i n t h e a p p a r a t u s w a s b e s t t w i t h tdelay =17.570.02ns ( s e e F i g . 6 ) . T h e r e d u c e d 2 v a l u e f o r


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6

F i g u r e 7 : T o t a l l e a s t s q u a r e s l i n e a r t f o r t h e s p e e d d i s t r i b u t i o n w i d t h o f c o s m i c r a y m u o n s , b a s e d o n D a t a S e t s I

a n d I I . T h e e r r o r b a r s r e e c t t h e f u l l w i d t h s o f t h e p r i m a r y G a u s s i a n c u r v e s f r o m t h e m u l t i p l e G a u s s i a n t s a n d a r e

o v e r e s t i m a t e s o f t h e t r u e d i s p e r s i o n s i n t h e t i m i n g d i s t r i b u t i o n s c a u s e d b y v e l o c i t y v a r i a t i o n .

t h e t o t a l l e a s t s q u a r e s t o f D a t a S e t I I w a s 0.29, a t8% p r o b a b i l i t y .

B e f o r e c a l c u l a t i n g t h e t r u e d i s t r i b u t i o n o f v e l o c -

i t i e s , i t i s i n s t r u c t i v e t o e x a m i n e w h a t o n e w o u l d

o b t a i n f o r t h e w i d t h o f t h e v e l o c i t y s p e c t r u m , i f t h e

e r r o r s i n t h e m e a n t i m e f o r e a c h s p a c i n g a r e s i m p l y

t a k e n t o b e t h e w i d t h s o f t h e G a u s s i a n s t t o t h e

t i m i n g d i s t r i b u t i o n s . T h o u g h t h i s m e t h o d p r o v i d e s

a n o v e r e s t i m a t e o f t h e w i d t h o f t h e s p e e d d i s t r i b u -

t i o n , i t y i e l d s a s e n s e o f t h e t i g h t n e s s o f t h e c o n -

s t r a i n t s p l a c e d o n t h e d i s t r i b u t i o n b y o u r m e a s u r e -

m e n t . I n t h i s c a s e , a t o t a l l e a s t s q u a r e s t y i e l d s v =

2.99+0.250.21

108 m s1 = 0.996+0.0840.072

c f o r D a t a S e t

I a n d v =

2.97+0.120.11 108 m s1 = 0.991+0.0390.036 c

f o r D a t a S e t I I ( s e e F i g . 7 ) . I n t h i s w a y , o u r r e s u l t s

y i e l d t i g h t e r c o n s t r a i n t s o n t h e s p e e d o f c o s m i c r a y

m u o n s t h a n o t h e r m e a s u r e m e n t s o f m u o n s p e e d i n

u n d e r g r a d u a t e l a b o r a t o r i e s .

2 , 6

F i n a l l y , t h e e n e r g y s p e c t r u m p a r a m e t e r ( s e e E q . ( 2 ) ) c a n b e c a l c u l a t e d b y a n a n a l y s i s o f t h e s h a p e

o f t h e t i m i n g d i s t r i b u t i o n s . H o w e v e r , t h e t i m i n g d i s -

t r i b u t i o n s o b s e r v e d ( a s i n F i g . 4 ) a r e n o t d i r e c t r e p -

r e s e n t a t i o n s o f t h e e x p e c t e d f u n c t i o n o f E q . ( 3 ) .

R a t h e r , t h e t i m i n g s p e c t r u m i n E q . ( 3 ) w a s c o n -

v o l v e d ( i . e . b l u r r e d ) w i t h a l l t h e s o u r c e s o f e r r o r i n

t h i s e x p e r i m e n t . T h e s e s o u r c e s o f e r r o r i n c l u d e d t h e

v a r i a n c e i n p a t h l e n g t h d e p i c t e d i n F i g . 3 , a s w e l l a s

t h e r m a l n o i s e , j i t t e r i n t h e e l e c t r o n i c s , v a r i a n c e i n

t h e l e n g t h s o f p a t h s o f p r o p a g a t i o n w i t h i n t h e s c i n -

t i l l a t o r p a d d l e s , a n d o t h e r s o u r c e s o f u n c e r t a i n t y ; i n

e e c t , t h e s e m u l t i p l e e r r o r s o u r c e s w e r e t h e m s e l v e s

c o m b i n e d i n c o n v o l u t i o n t o g i v e a t o t a l e e c t i v e r e s -

o l u t i o n f o r o u r t i m i n g d i s t r i b u t i o n s .

T h e t o t a l r e s o l u t i o n f r o m t h e c o m b i n e d e r r o r s m a y

b e p a r a m e t e r i z e d b y a G a u s s i a n k e r n e l , t h o u g h t h e

i n d i v i d u a l s o u r c e s a r e n o n - G a u s s i a n . T h e k e r n e l w a s

t f r o m t h e t i m i n g d i s t r i b u t i o n s a b o v e a t h r e s h o l d

o f 25% o f t h e s m o o t h e d p e a k , o v e r b i n s s u c h t h a t ctbin < l , s o t h a t t h e c o u n t s o b s e r v e d i n t h o s e b i n s c o u l d n o t c o r r e s p o n d t o p h y s i c a l p a r t i c l e d e t e c t i o n s .

I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e m e t h o d o f t t i n g

t h e G a u s s i a n k e r n e l d o e s n o t a c c o u n t f o r s y s t e m -

a t i c e r r o r s , s u c h a s d e v i a t i o n f r o m e x p e c t a t i o n s o f

t h e d e p e n d e n c e o f m u o n u x o n z e n i t h a n g l e ( i . e .

I cosn , w i t h n = 2 ) a n d e r r o r s i n t h e t a p e m e a - s u r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e p e r p e n d i c u l a r s p a c i n g .

T h e k e r n e l s w e r e w e l l t b y G a u s s i a n s f o r D a t a S e t

I , w i t h r e d u c e d 2 v a l u e s b e t w e e n 0.9 a n d 1.4 ; t h e k e r n e l r e g i o n o f D a t a S e t I I w a s l e s s w e l l t b y G a u s -

s i a n s , w i t h r e d u c e d

2

r a n g i n g f r o m

1.1t o

4.2. F o r

e a c h s p a c i n g l , t h e G a u s s i a n k e r n e l , a f t e r b e i n g n o r - m a l i z e d t o u n i t a r e a , w a s n u m e r i c a l l y c o n v o l v e d w i t h

t h e d i s t r i b u t i o n g i v e n i n E q . ( 3 ) , w i t h t h e t i m e f o r

a g i v e n b i n (

tobs ) c o r r e c t e d t o a n a b s o l u t e t i m e b y s u b t r a c t i n g tdelay . T h e a m p l i t u d e o f t h e s p e c t r u m w a s n u m e r i c a l l y t f o r e a c h t i m i n g d i s t r i b u t i o n b y

m i n i m i z i n g 2 ; i n t h i s c a s e , a n a l y t i c a l t t i n g o f t h e a m p l i t u d e w a s n o t p r a c t i c a b l e , d u e t o d i v e r g e n c e o f

t h e i n t e g r a l o f E q . ( 3 ) .

T h e e x p o n e n t i n t h e s p e c t r u m w a s t n u m e r i - c a l l y o v e r a l l s p a c i n g s s i m u l t a n e o u s l y b y m i n i m i z i n g

t h e t o t a l 2 , w i t h u n c e r t a i n t y f o u n d u s i n g t h e 2+1m e t h o d . I n t h i s e x p e r i m e n t , w a s t o v e r b i n s c o r - r e s p o n d i n g t o m u o n s p e e d s l e s s t h a n 0.95c , s i n c e t h e p o w e r l a w e x p o n e n t i s v e r y d i e r e n t a t h i g h e r e n e r -

g i e s , w h e r e t h e s p e c t r u m i s n o l o n g e r n e a r l y a t .

S a m p l e t s f o r t w o r e p r e s e n t a t i v e t i m i n g d i s t r i b u -

t i o n s a r e s h o w n i n F i g . 8 . F o r D a t a S e t I , i t w a s

n e c e s s a r y f o r t h e n o i s y r e g i o n o f t h e d a t a t o b e e x -

c l u d e d f r o m t t i n g ; t h e t f o r D a t a S e t I I a p p e a r s

i n g o o d v i s u a l a g r e e m e n t w i t h t h e o b s e r v e d t i m i n g

d i s t r i b u t i o n .


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7/8

7

F i g u r e 8 : E x a m p l e s o f s p e c t r u m t t i n g f o r m e a n s l a n t l e n g t h s o f

56.94 0.16cm ( l e f t ) a n d 56.62 0.16cm ( r i g h t ) f o r D a t a S e t s I a n d I I , r e s p e c t i v e l y . T h e o b s e r v e d d a t a a r e p l o t t e d , w i t h

tbin c o r r e c t e d b y tdelay . A l s o s h o w n a r e t h e

c u r v e s f o r t h e G a u s s i a n k e r n e l t t i n g , t h e t h e o r e t i c a l , n o i s e - f r e e c u r v e f r o m E q . ( 3 ) , a n d t h e c o n v o l u t i o n o f t h e p u r e

t i m i n g s p e c t r u m w i t h t h e G a u s s i a n r e s o l u t i o n .

F i g u r e 9 : T h e e e c t o n

2a s t h e e n e r g y d i s t r i b u t i o n p o w e r l a w e x p o n e n t

i s v a r i e d , f o r t h e t o f D a t a S e t s I ( l e f t )

a n d I I ( r i g h t ) . I n b o t h c a s e s , t h e b e h a v i o r i s q u a d r a t i c , w i t h t h e m i n i m u m a t t h e b e s t t v a l u e o f

.

F o r t h e s e t s , t h e P o i s s o n e r r o r i n t h e n u m b e r

o f c o u n t s i n a g i v e n b i n d o m i n a t e d o v e r t h e u n c e r -

t a i n t y i n t h e a b s o l u t e t i m e . T h e m e t h o d u s e d f o r

a n a l y z i n g t h e t i m i n g d i s t r i b u t i o n s a s s u m e s t h a t t h e

r e s o l u t i o n i s t h e s a m e f o r f a s t a n d s l o w m u o n s , i . e .

t h a t t h e G a u s s i a n k e r n e l w i d t h i s c o n s t a n t o v e r t h e

t i m i n g d i s t r i b u t i o n . T h i s i s t h e m o s t s t r a i g h t f o r w a r d

a p r i o r i a s s u m p t i o n t h a t a l l o w s f o r t h e n i t e r e s o -

l u t i o n o f t h e t i m i n g m e a s u r e m e n t t o b e t a k e n i n t o

a c c o u n t . F o r D a t a S e t I , t h e b e s t t v a l u e o f

w a s

f o u n d t o b e (1.1 1.5) 103 , w i t h a r e d u c e d 2v a l u e o f 3.84 o v e r 1 , 0 0 1 d e g r e e s o f f r e e d o m . T h e t t i n g p r o c e s s f o r D a t a S e t I I , w h e r e t h e n o i s y r e -

g i o n s o f D a t a S e t I d i d n o t r e q u i r e e x c l u s i o n , y i e l d e d

= (0.6 1.1) 103 , f o r w h i c h t h e r e d u c e d 2v a l u e w a s 4.21 , w i t h 1 , 6 4 1 d e g r e e s o f f r e e d o m . F o r b o t h D a t a S e t s , t h e b e h a v i o r o f

2u p o n v a r y i n g

w a s i n v e s t i g a t e d a n d f o u n d t o b e q u a d r a t i c a b o u t

t h e b e s t t v a l u e , a s e x p e c t e d ( s e e F i g . 9 ) .

V . C O N C L U S I O N S

I n t h i s e x p e r i m e n t , t h e m e a n s p e e d o f c o s m i c r a y

m u o n s w a s m e a s u r e d u s i n g t w o i n d e p e n d e n t i m p l e -

m e n t a t i o n s o f t h e c o i n c i d e n c e t e s t , t o a p r e c i s i o n o f

103 . T h e 2 v a l u e s f o r b o t h l i n e a r t s w e r e c o n s i s - t e n t w i t h t h e n u m b e r o f d e g r e e s o f f r e e d o m . T h e d i s -

c r e p a n c y b e t w e e n t h e m e a n s p e e d s f o u n d f r o m D a t a

S e t s I a n d I I w a s v = (1.4 0.3) 106 m s1 =(4.8 1.0) 103c . T h e e n e r g y l o s s p e r u n i t a t - m o s p h e r i c d e p t h ,

3 2MeVg1 cm2 , c a n o n l y a c - c o u n t f o r a p p r o x i m a t e l y 103 m s1 o f t h i s d i s c r e p - a n c y , b a s e d o n d i e r e n c e s i n a i r p r e s s u r e o v e r D a t a

S e t s I a n d I I . T h e v e l o c i t y d i s c r e p a n c y w a s u s e d

a s a n e s t i m a t e o f t h e s y s t e m a t i c u n c e r t a i n t y i n o u r

m e a s u r e m e n t : v,sys = v/2 = 7.1 105 m s1 =2.4 103c. I n t h e i n t e r e s t o f m a k i n g a c o n s e r v a - t i v e e s t i m a t e o f t h e m e a n s p e e d , t h i s s y s t e m a t i c u n -

c e r t a i n t y w a s a p p l i e d t o n e i t h e r s p e e d i n d i v i d u a l l y ;

i n s t e a d , a w e i g h t e d m e a n w a s t a k e n o v e r t h e t w o

v a l u e s o f v , w i t h v,sys a d d e d i n q u a d r a t u r e i n t h e u n c e r t a i n t y . T h i s y i e l d e d a b e s t c o m b i n e d v a l u e o f


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8/8

8

v = (2.978 0.007)108 m s1 = (0.993 0.002) c .I n t h i s w a y , n o a s s u m p t i o n s w e r e m a d e a b o u t w h i c h

m e a s u r e m e n t w a s m o r e r e l i a b l e ( i f o n e D a t a S e t w e r e

f a v o r e d , t h e b e s t v a l u e o f v w o u l d s h i f t t o w a r d t h e v a l u e f r o m t h a t D a t a S e t a n d t h e e s t i m a t e d e r r o r

w o u l d b e s m a l l e r ) . T h e b e s t v a l u e o f v w a s c o n - s i s t e n t w i t h a n e n e r g y o f

1GeVa n d w i t h i n a p p r o x -

i m a t e l y 2.6 s t a n d a r d d e v i a t i o n s o f t h e v e l o c i t y ( i n e x c e s s o f 0.999c) c o r r e s p o n d i n g t o t h e m e a n g r o u n d l e v e l c o s m i c r a y m u o n e n e r g y o f 4GeV . 4 F u r t h e r - m o r e , m u o n e n e r g y l o s s e s w i t h i n t h e s e v e r a l o o r s o f

b u i l d i n g m a t e r i a l a b o v e o u r d e t e c t o r s c a n p a r t i a l l y

a c c o u n t f o r t h e s l i g h t l y l o w e r o b s e r v e d s p e e d .

T h e b e h a v i o r o f t h e e n e r g y s p e c t r u m b e l o w 0.95c( 0.34GeV) w a s p a r a m e t e r i z e d w i t h a p o w e r l a w :n (E) EdE; t h e v e l o c i t y r e s t r i c t i o n e n s u r e s t h a t h i g h e r e n e r g i e s w e r e e x c l u d e d , a t w h i c h t h e e n e r g y

s p e c t r u m c h a n g e s t o a d i e r e n t , s t e e p p o w e r l a w .

T h e t w o D a t a S e t s y i e l d e d c o n s i s t e n t v a l u e s o f ,w i t h t h e b e s t v a l u e o f c a l c u l a t e d f r o m a w e i g h t e d m e a n o f t h e t w o : (7.9 9.1) 104 . T h i s r e s u l t i s c o n s i s t e n t w i t h e x p e c t a t i o n s o f a n e a r l y a t d i s t r i b u -

t i o n R e f . 4 , t h o u g h m o r e s p e c i c p r e d i c t i o n s a r e n o t

a v a i l a b l e , d u e t o t h e d e p e n d e n c e o f t h e m u o n e n e r g y

s p e c t r u m o n m e t e o r o l o g i c a l a n d g e o g r a p h i c c o n d i -

t i o n s , i l l u s t r a t e d i n F i g . 1 . H o w e v e r , t h e r e d u c e d

2

v a l u e s f o r t h e s p e c t r u m t t i n g w e r e h i g h f o r b o t h

D a t a S e t s , w i t h t h e l a r g e s t d i s c r e p a n c i e s n e a r t h e

p e a k . T h i s p o s s i b l y i m p l i e s t h a t , c o n t r a r y t o p r e d i c -

t i o n s , t h e m u o n s p e c t r u m d o e s n o t f o l l o w a s i n g l e

p o w e r l a w o v e r t h e l o w e n e r g y r a n g e o r , a l t e r n a -

t i v e l y , t h a t t h e t i m i n g r e s o l u t i o n o f o u r a p p a r a t u s

c a n n o t b e p a r a m e t e r i z e d b y a s i n g l e G a u s s i a n , i n -

d e p e n d e n t o f t h e t i m e i n t e r v a l . I n t o t a l , t h e r e s u l t s

o f t h i s e x p e r i m e n t d e m o n s t r a t e o v e r a l l c o n s i s t e n c y

w i t h e x p e c t a t i o n s r e g a r d i n g t h e m e a n s p e e d a n d e n -

e r g y d i s t r i b u t i o n o f c o s m i c r a y m u o n s .

A c k n o w l e d g m e n t s

T h e a u t h o r s a r e g r a t e f u l f o r t h e a d v i c e o f P r o -

f e s s o r s J e r e m i a h M a n s a n d C l e m P r y k e , a s w e l l a s

h e l p f u l c o n v e r s a t i o n s w i t h K u r t W i c k a n d T a n n e r

P r e s t e g a r d , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a .

a

E l e c t r o n i c a d d r e s s : r e m m e 0 2 4 @ u m n . e d u

b

E l e c t r o n i c a d d r e s s : m c c r 0 1 3 2 @ u m n . e d u

1

A g l i e t t a , M . e t a l . ( 1 9 9 8 ) . P h y s . R e v . D 5 8 ( 0 9 2 0 0 5 ) .

2

A h r e n s , M . a n d J . B u b o l a ( 2 0 0 9 ) . M e a n v e l o c i t y o f

c o s m i c r a y m u o n s . M e t h o d s o f E x p e r i m e n t a l P h y s i c s ,

U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a .

3

D m i t r i e v a , A . , R . K o k o u l i n , A . P e t r u k h i n , a n d

D . T i m a s h k o v ( 2 0 1 1 ) . A s t r o p a r t . P h y s . 3 4 ( 4 0 1 ) .

4

E i d e l m a n , S . , P a r t i c l e D a t a G r o u p , e t a l . ( 2 0 0 4 ) .

P h y s . L e t t . B 5 9 2 ( 1 ) .

5

H a l l , R . , D . L i n d , a n d R . R i s t i n e n ( 1 9 7 0 ) . A m . J .

P h y s . 3 8 ( 1 1 9 6 ) .

6

M I T D e p t . o f P h y s i c s ( 2 0 1 0 ) . L a b G u i d e ( 1 4 ) .

7

O ' B r i e n , K . a n d W . F r i e d b e r g ( 1 9 9 4 ) . T e r r e s -

t r i a l c o s m i c r a y i n t e n s i t i e s . E n v i r o n m e n t I n t e r n a -

t i o n a l 2 0 ( 6 4 5 ) .

8

P e a r s o n , B . a n d D . J a c k s o n ( 2 0 1 0 ) . A m . J .

P h y s . 7 8 ( 4 9 1 ) .

9

P r e s s , W . , S . T e u k o l s k y , W . V e t t e r l i n g , a n d B . F l a n -

n e r y ( 1 9 9 2 ) . N u m e r i c a l R e c i p e s i n C . C a m b r i d g e :

C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s .

1 0

R i n d l e r , W . ( 2 0 0 1 ) . R e l a t i v i t y : S p e c i a l , G e n e r a l , a n d

C o s m o l o g i c a l . O x f o r d : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s .

1 1

R o s s i , B . ( 1 9 4 8 ) . R e v . o f M o d e r n P h y s i c s 2 0 ( 5 3 7 ) .

1 2

Z i e g l e r , J . ( 1 9 9 6 ) . T e r r e s t r i a l c o s m i c r a y i n t e n s i t i e s .

I B M J . R e s . D e v 4 0 ( 1 9 ) .

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