Moscardini, L. (2010) 'I like it instead of maths' : how pupils with

moderate learning difficulties in Scottish primary special schools

intuitively solved mathematical word problems. British Journal of

Special Education, 37 (3). pp. 130-138. ISSN 0952-3383 ,

http://dx.doi.org/10.1111/j.1467-8578.2010.00461.x

This version is available at https://strathprints.strath.ac.uk/16704/

Strathprints is designed to allow users to access the research output of the University of

Strathclyde. Unless otherwise explicitly stated on the manuscript, Copyright © and Moral Rights

for the papers on this site are retained by the individual authors and/or other copyright owners.

Please check the manuscript for details of any other licences that may have been applied. You

may not engage in further distribution of the material for any profitmaking activities or any

commercial gain. You may freely distribute both the url (https://strathprints.strath.ac.uk/) and the

content of this paper for research or private study, educational, or not-for-profit purposes without

prior permission or charge.

Any correspondence concerning this service should be sent to the Strathprints administrator:

strathprints@strath.ac.uk

The Strathprints institutional repository (https://strathprints.strath.ac.uk) is a digital archive of University of Strathclyde research

outputs. It has been developed to disseminate open access research outputs, expose data about those outputs, and enable the

management and persistent access to Strathclyde's intellectual output.

�Ι λικε ιτ ινστεαδ οφ mατησ�. Ηοω πυπιλσ ωιτη mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ ιν

Σχοττιση πριmαρψ σπεχιαλ σχηοολσ ιντυιτιϖελψ σολϖεδ mατηεmατιχαλ ωορδ προβλεmσ.

Ιντροδυχτιον

Πυπιλσ ωιτη mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ (ΜΛD) αρε ρεχογνισεδ ασ τηε λαργεστ γρουπ οφ

λεαρνερσ ωιτη αδδιτιοναλ συππορτ νεεδσ ωιτηιν τηε εδυχατιοναλ σψστεm (Νορωιχη & Κελλψ,

2005; Φλετχηερ−Χαmπβελλ 2005; ΗΜΙε, 2003). Wιτη τηε αγενδα οφ ινχλυσιον ανδ δριϖε

τοωαρδσ ενσυρινγ τηατ αλλ λεαρνερσ αρε αχτιϖελψ ενγαγεδ ιν τηειρ λεαρνινγ ιτ ισ α mαττερ οφ

εθυιτψ τηατ τηε ποτεντιαλ οφ τηισ γρουπ οφ λεαρνερσ ισ φυλλψ ρεαλισεδ. Ιτ ηασ βεεν αργυεδ

τηατ τραδιτιοναλ ϖιεωσ οφ mατηεmατιχσ τεαχηινγ υνδερπιννεδ βψ βεηαϖιουριστ τηεορψ

χοντινυε το δοmινατε χλασσροοm πραχτιχε (Ηανδαλ, 2003; Λλοψδ, 2002). Wηιλε,

ηιστοριχαλλψ, ιτ ηασ βεεν προποσεδ τηατ διρεχτ ινστρυχτιον ισ τηε mοστ εφφεχτιϖε αππροαχη

φορ mατηεmατιχσ ινστρυχτιον (Ροσενσηινε, 1987), παρτιχυλαρλψ φορ χηιλδρεν ωιτη λεαρνινγ

διφφιχυλτιεσ (Χαρνινε, 1997) στυδιεσ ηαϖε σηοων τηατ λοω−ατταινινγ πυπιλσ ανδ χηιλδρεν

ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ αρε χαπαβλε οφ σελφ−ινιτιατινγ λεαρνινγ ανδ χαν ινϖεντ, τρανσφερ

ανδ ρεταιν στρατεγιεσ φορ σολϖινγ αριτηmετιχαλ προβλεmσ (Βοττγε, ετ αλ. 2007; Εmπσον,

2003; Βαροοδψ, 1996; Βεηρενδ, 2003, 1994). Τηισ παπερ σετσ ουτ ηοω α γρουπ οφ 24

χηιλδρεν ωιτη mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ ρεσπονδεδ το τηε υσε οφ ωορδ προβλεmσ ασ

παρτ οφ τηειρ αριτηmετιχ ινστρυχτιον φολλοωινγ τηειρ τεαχηερσ� ιντροδυχτιον το τηε

πρινχιπλεσ οφ Χογνιτιϖελψ Γυιδεδ Ινστρυχτιον (ΧΓΙ) (Χαρπεντερ ετ αλ., 1999).

Τηερε ισ α γροωινγ βοδψ οφ λιτερατυρε εmεργινγ φροm ρεσεαρχη ιν mατηεmατιχσ εδυχατιον

ωιτη σοmε οφ τηισ ωορκ φοχυσσινγ ον τηε σπεχιφιχ νατυρε οφ τηε διφφιχυλτιεσ τηατ χηιλδρεν

ωηο στρυγγλε ιν τηειρ mατηεmατιχαλ δεϖελοπmεντ πρεσεντ (ϑορδαν, Ηαννιχη & Καπλαν,

1

2003; Φυχησ & Φυχησ, 2002; Γεαρψ, Ηαmσον & Ηοαρδ, 2000; Οσταδ, 1999). Ηοωεϖερ

τηερε ισ λιττλε ρεσεαρχη ιντο τηε λεαρνινγ οφ χηιλδρεν ωιτη mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ

(Πορτερ & Λαχεψ, 2005) αχροσσ αλλ δοmαινσ ανδ ιν παρτιχυλαρ ιν mατηεmατιχσ. Σο

αλτηουγη τηερε ισ εϖιδενχε οφ ηοω χηιλδρεν ωηο στρυγγλε ιν mατηεmατιχσ πρεσεντ

νορmατιϖελψ ανδ βψ δεφιχιτ, τηερε ισ λεσσ εϖιδενχε οφ ηοω χηιλδρεν ωηο στρυγγλε ιν αλλ

ασπεχτσ οφ τηειρ λεαρνινγ ενγαγε ωιτη mατηεmατιχαλ προβλεmσ ανδ ιν παρτιχυλαρ ηοω

κνοωλεδγε οφ τηισ ενγαγεmεντ χαν βε υσεδ βψ τεαχηερσ το συππορτ λεαρνινγ. Φυρτηερmορε

τηερε ισ εϖιδενχε τηατ χηιλδρεν ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ σηοω σιmιλαρ mατηεmατιχαλ

περφορmανχε, ιν τερmσ οφ στρατεγψ υσε ανδ λεαρνινγ τραϕεχτορψ, το χηιλδρεν ωιτηουτ

διφφιχυλτιεσ ατ α σιmιλαρ σταγε οφ mατηεmατιχαλ δεϖελοπmεντ (Γεαρψ 2004; Γονζαλεζ &

Εσπινελ, 2002; Ηοαρδ, Γεαρψ & Ηαmσον, 1999; Φλετχηεερ, Ηυφφmαν, Βραψ & Γρυπε,

1998; Βαροοδψ, 1988).

Ρεσεαρχη ηασ σηοων τηατ πυπιλσ ωιτη αριτηmετιχαλ διφφιχυλτιεσ αρε ρεσπονσιϖε το

ιντερϖεντιον ιν mατηεmατιχσ (Dοωκερ, 2004) ανδ ιτ ηασ βεεν αργυεδ τηατ τηε

δεϖελοπmεντ οφ ινχλυσιϖε πραχτιχεσ ρεστσ ον τεαχηερσ δεϖελοπινγ κνοωλεδγε οφ ωηατ ιτ ισ

τηατ αλλ χηιλδρεν δο ιν τηειρ λεαρνινγ (Φλοριαν, 2008). Αλτηουγη τηερε ισ εϖιδενχε τηατ

κνοωλεδγε δεριϖεδ φροm ρεσεαρχη χαν ιmπροϖε πραχτιχε ιν mατηεmατιχσ τεαχηινγ

(Εmπσον & ϑυνκ, 2004; Φρανκε & Καζεmι, 2001; Φεννεmα ετ αλ., 1996) τηερε ισ α ϖιεω

τηατ εδυχατιοναλ ρεσεαρχη ηασ τοο λιττλε ινφλυενχε ον χλασσροοm πραχτιχε (Ηιεβερτ,

Γαλλιmορε & Στιγλερ, 2002) ωιτη τηε δεϖελοπmεντ ανδ αππλιχατιον οφ ρεσεαρχη το πραχτιχε

ιν σπεχιαλ εδυχατιον χονσιδερεδ ωεακ (Βψρνεσ & Ψσσελδψκε, 2009). Τηε νοτιον τηατ

υνιθυε πεδαγογιχαλ κνοωλεδγε ισ ρεθυιρεδ βψ τεαχηερσ το συππορτ στρυγγλινγ λεαρνερσ

2

ηασ βεεν χηαλλενγεδ (Φλοριαν, οπ.χιτ.; Λεωισ & Νορωιχη, 2005). Φλοριαν αργυεσ

χονϖινχινγλψ τηατ τηε ιντερπρετατιον οφ χηιλδρεν�σ υνδερστανδινγ ισ α χρυχιαλ ελεmεντ ιν

δεϖελοπινγ ινχλυσιϖε πραχτιχεσ, τηε αππλιχατιον οφ τηισ κνοωλεδγε βεινγ mορε υσεφυλ

τηαν ιδεντιφιχατιον οφ λεαρνερ δεφιχιτσ. Τηισ ϖιεω ηασ βεεν ρεπρεσεντεδ ιν τηε δοmαιν οφ

λιτεραχψ (Ελλιοτ & Γιββσ, 2008). Τηισ παπερ ιλλυστρατεσ τηε χαπαχιτψ τηατ χηιλδρεν ωιτη

mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ ηαϖε το ρεϖεαλ τηειρ mατηεmατιχαλ τηινκινγ ανδ χονσιδερσ

τηε ιmπορτανχε οφ τηισ ινσιγητ ιντο ινφορmινγ τηειρ ινστρυχτιον.

Χογνιτιϖελψ Γυιδεδ Ινστρυχτιον

ΧΓΙ ισ α προφεσσιοναλ δεϖελοπmεντ προγραmmε δεϖελοπεδ ατ τηε Υνιϖερσιτψ οφ

Wισχονσιν−Μαδισον, οϖερ α περιοδ οφ νεαρλψ τωεντψ ψεαρσ τηρουγη χψχλιχαλ ρεσεαρχη ανδ

τηε αππλιχατιον οφ φινδινγσ το πραχτιχε. Ιτ φοχυσεσ ον τηε φολλοωινγ ελεmεντσ:

− τηε δεϖελοπmεντ οφ χηιλδρεν�σ mατηεmατιχαλ τηινκινγ

− ινστρυχτιον τηατ ινφλυενχεσ τηισ δεϖελοπmεντ

− τεαχηερσ� κνοωλεδγε ανδ βελιεφσ τηατ ινφλυενχε τηειρ ινστρυχτιοναλ πραχτιχεσ

− τηε ωαψ τηατ τεαχηερσ� κνοωλεδγε, βελιεφσ ανδ πραχτιχεσ αρε ινφλυενχεδ βψ τηειρ

υνδερστανδινγ οφ χηιλδρεν�σ mατηεmατιχαλ τηινκινγ (Χαρπεντερ, Φεννεmα,

Φρανκε, Λεϖι & Εmπσον, 2000, π.1).

Ιτ ισ αν αππροαχη το τεαχηινγ mατηεmατιχσ τηατ ινχλυδεσ τηε υσε οφ ωορδ προβλεmσ σετ ουτ

ωιτηιν ρεσεαρχη−βασεδ φραmεωορκσ το προmοτε λεαρνινγ ωιτη υνδερστανδινγ. Τηεσε

φραmεωορκσ προϖιδε τηε βασισ οφ τεαχηερ προφεσσιοναλ δεϖελοπmεντ ιν τωο αρεασ:

− αν υνδερστανδινγ οφ ωορδ−προβλεm τψπεσ

− αν υνδερστανδινγ οφ χηιλδρεν�σ σολυτιον στρατεγιεσ ρελατεδ το τηεσε προβλεm τψπεσ

3

Α γυιδινγ πρινχιπλε οφ ΧΓΙ ισ τηατ ινστρυχτιον σηουλδ βε ινφορmεδ βψ σπεχιφιχ

κνοωλεδγε αβουτ ηοω χηιλδρεν δεϖελοπ mατηεmατιχαλ χονχεπτσ. ΧΓΙ ισ νοτ α

πρεσχριπτιϖε πεδαγογψ ανδ τεαχηερσ δεϖελοπ τηε πρινχιπλεσ ιν τηειρ χλασσροοmσ ιν α

ϖαριετψ οφ ωαψσ παρτιχυλαρλψ ιν τερmσ οφ χλασσροοm mαναγεmεντ ανδ οργανιζατιον.

Χοmmον φεατυρεσ οφ α ΧΓΙ χλασσροοm ινχλυδε τηε υσε οφ ωορδ προβλεmσ το ενγαγε

χηιλδρεν ωιτη αριτηmετιχαλ χονχεπτσ ανδ α γρεατ δεαλ οφ δισχυσσιον οφ ηοω τηεψ σολϖεδ

τηε προβλεmσ ιν τηειρ οων ωαψ. Χηιλδρεν αρε νοτ σηοων σπεχιφιχ στρατεγιεσ το σολϖε ωορδ

προβλεmσ βυτ αρε ενχουραγεδ το δεϖελοπ τηειρ οων σολυτιον στρατεγιεσ. Τηεσε στρατεγιεσ

mιγητ ινϖολϖε τηε υσε οφ mανιπυλατιϖεσ, δραωινγ, χουντινγ ορ τηε υσε οφ κνοων νυmβερ

φαχτσ. Τηε τεαχηερ αχτσ ασ α mεδιατορ ενχουραγινγ πυπιλσ το ρεϖεαλ τηειρ τηινκινγ βψ

σηαρινγ ανδ δισχυσσινγ τηειρ σολυτιον στρατεγιεσ. Χονσεθυεντ ινστρυχτιοναλ δεχισιονσ αρε

βασεδ ον τηε ιντερπρετατιον οφ τηισ ινφορmατιον.

Ιν ΧΓΙ ωορδ προβλεmσ αρε υσεδ ασ α βασισ φορ ιντροδυχινγ ανδ δεϖελοπινγ mατηεmατιχαλ

χονχεπτσ ρατηερ τηαν ασ α mεανσ οφ δετερmινινγ ωηετηερ χηιλδρεν χαν αππλψ εξιστινγ

αβστραχτ νυmβερ κνοωλεδγε το α ωορδ προβλεm σιτυατιον. Αν εσσεντιαλ τηεmε τηατ

εmεργεδ φροm εαρλιερ στυδιεσ (Χαρπεντερ ετ αλ., 2000) ισ τηατ χηιλδρεν χοmε το σχηοολ

ωιτη ιντυιτιϖε κνοωλεδγε οφ mατηεmατιχσ τηατ τηεψ χαν υσε το σολϖε ωορδ προβλεmσ

ωιτηουτ φορmαλ ορ εξπλιχιτ ινστρυχτιον ον σπεχιφιχ νυmβερ φαχτσ ανδ προχεδυρεσ. Τηεψ δο

τηισ βψ φολλοωινγ τηε λανγυαγε οφ τηε προβλεmσ ινιτιαλλψ βψ διρεχτ mοδελλινγ, τηατ ισ βψ

φολλοωινγ τηε λανγυαγε οφ τηε προβλεm ανδ mοδελλινγ τηε αχτιον οφ τηε προβλεm. Φορ

εξαmπλε ιν α ϕοινινγ προβλεm συχη ασ − �Τηερε αρε 4 χηιλδρεν ον τηε βυσ. Τηε βυσ στοπσ

4

ατ α βυσ στοπ ανδ 3 mορε χηιλδρεν γετ ον τηε βυσ. Ηοω mανψ χηιλδρεν αρε ον τηε βυσ

νοω?�− α χηιλδ ωουλδ πηψσιχαλλψ ρεπρεσεντ τηε φουρ χηιλδρεν ωιτη χυβεσ, δραωινγσ ορ

φινγερσ ανδ ωουλδ τηεν πηψσιχαλλψ ρεπρεσεντ τηε τηρεε χηιλδρεν γεττινγ ον τηε βυσ. Τηε

χηιλδ ωουλδ τηεν ϕοιν βοτη σετσ ανδ χουντ φροm ονε το φινδ τηε τοταλ. Wιτη τιmε τηισ

διρεχτ mοδελλινγ ισ ρεπλαχεδ βψ mορε εφφιχιεντ χουντινγ στρατεγιεσ ωηιχη ιν τυρν γιϖε

ωαψ το τηε υσε οφ νυmβερ φαχτσ. Ιν τηισ ωαψ τηε λεαρνινγ οφ νυmβερ φαχτσ ισ νοτ α ροτε

σκιλλ βυτ ρατηερ ισ βυιλτ ον αν υνδερστανδινγ οφ τηε ρελατιονσηιπσ βετωεεν νυmβερσ

δεϖελοπεδ τηρουγη τηεσε mοδελλινγ ανδ χουντινγ στρατεγιεσ (Χαρπεντερ ετ αλ., 1999, π.4).

Τηρουγη αττενδινγ το τηε στρυχτυρε οφ τηε προβλεmσ ιν τηισ ωαψ χηιλδρεν ενγαγε ωιτη

ιmπορταντ mατηεmατιχαλ ιδεασ ανδ δεϖελοπ βασιχ χονχεπτσ οφ αδδιτιον, συβτραχτιον,

mυλτιπλιχατιον ανδ διϖισιον. Τηεψ χαν τηεν βυιλδ ον τηισ ιντυιτιϖε mατηεmατιχαλ

κνοωλεδγε ανδ χονστρυχτ χονχεπτσ οφ πλαχε ϖαλυε ανδ mυλτιδιγιτ χοmπυτατιοναλ

προχεδυρεσ. Χαρπεντερ ετ αλ. (ιβιδ) ουτλινε τηε φολλοωινγ στρατεγιεσ τηατ χηιλδρεν mαψ υσε

το σολϖε προβλεmσ:

− Dιρεχτ Μοδελλινγ: υσινγ mανιπυλατιϖεσ, φινγερσ ορ δραωινγ το φολλοω τηε στορψ

οφ τηε προβλεm εξαχτλψ το mοδελ ουτ α σολυτιον. Ιν διρεχτ mοδελινγ βοτη

νυmεροσιτιεσ ωιτηιν α προβλεm αρε ρεπρεσεντεδ.

− Χουντινγ: προβλεmσ αρε σολϖεδ βψ εmπλοψινγ α ρανγε οφ χουντινγ στρατεγιεσ;

mανιπυλατιϖεσ, φινγερσ ορ ταλλψ mαρκσ mαψ βε υσεδ το κεεπ τραχκ οφ χουντινγ.

− Dεριϖεδ φαχτσ: υσινγ κνοων νυmβερ φαχτσ το σολϖε προβλεmσ ινϖολϖινγ υνκνοων

φαχτσ.

− Ρεχαλλ: ρεχαλλινγ κνοων νυmβερ φαχτσ.

5

Ρεσεαρχη θυεστιονσ

Τηισ παπερ ρεπορτσ τηε φινδινγσ οφ πυπιλσ ωιτη mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ χαπαβιλιτιεσ

ιν ρεσπονδινγ το ωορδ προβλεmσ. Σπεχιφιχαλλψ ιτ χονσιδερσ:

Wιτηιν χλασσροοm σεττινγσ, ηοω δο πυπιλσ ωιτη mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ

ρεσπονδ το ωορδ προβλεm αχτιϖιτιεσ τηατ ενχουραγε τηεm το mοδελ, γενεραλισε ανδ

ϕυστιφψ τηειρ τηινκινγ?

Μετηοδ

Παρτιχιπαντσ

Τηε στυδψ ινϖολϖεδ 12 πριmαρψ τεαχηερσ ανδ 24 πυπιλσ ιν τηρεε Σχοττιση πριmαρψ σχηοολσ

φορ χηιλδρεν ωιτη mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ. Τηε mαξιmυm χλασσ σιζε ιν ανψ οφ τηε

σχηοολσ ωασ 10 πυπιλσ. Τηε σαmπλινγ ωασ πυρποσεφυλ (Παττον, 2002) ωιτη τηε

ινϖολϖεmεντ οφ τηρεε σπεχιαλ σχηοολσ περmιττινγ α ρεπλιχατιον λογιχ ψιελδινγ φινδινγσ

τηατ χουλδ βε χονσιδερεδ mορε ροβυστ. Ρεπλιχατιον λογιχ ινϖολϖεσ εαχη χασε υνδεργοινγ

ινδιϖιδυαλ οβσερϖατιον ανδ αναλψσισ πριορ το χροσσ−χασε αναλψσισ (Ψιν, 2003). Γιϖεν τηε

χριτερια φορ αδmισσιον ιντο ΜΛD σχηοολσ, τηε σχηοολσ ανδ πυπιλσ ωιτηιν τηεm χουλδ βε

χονσιδερεδ ρεπρεσεντατιϖε οφ τηατ σεχτορ ωιτηιν τηε παρτιχυλαρ λοχαλ αυτηοριτψ. Τηρεε

σπεχιαλ σχηοολσ ωιτηιν τηε σαmε αυτηοριτψ ωερε ινϖιτεδ το νοmινατε παρτιχιπαντ τεαχηερσ

φορ τηε στυδψ. Τηεσε τεαχηερσ τηεν ιδεντιφιεδ τωο πυπιλσ ιν τηειρ χλασσεσ ωηο ωουλδ βε

τηε φοχυσ οφ δατα χολλεχτιον. Χριτερια φορ σελεχτιον ωασ τηατ τηε πυπιλσ σηουλδ φιτ α προφιλε

οφ mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ ιν τηατ τηε νατυρε οφ τηειρ λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ ωερε

γλοβαλ ρατηερ τηαν ιν σπεχιφιχ δοmαινσ.

6

Τεαχηερσ προϖιδεδ προφιλεσ οφ τηε τωο πυπιλσ ωιτηιν τηειρ χλασσ. Τηεσε προφιλεσ ινχλυδεδ

α στατεmεντ οφ αχηιεϖεmεντ ιν mατηεmατιχσ τακεν φροm πυπιλσ� προγρεσσ ρεχορδσ ασ ωελλ

ασ ιντενδεδ �νεξτ στεπσ� τακεν φροm τηε πυπιλσ� ινδιϖιδυαλισεδ εδυχατιοναλ πλανσ (ΙΕΠσ).

Τηισ ινφορmατιον προϖιδεδ α προφιλε οφ τηε πυπιλσ ατ τηε ουτσετ οφ τηε ιντερϖεντιον ανδ

φυνχτιονεδ ασ α φραmε οφ ρεφερενχε ποστ−ιντερϖεντιον. Τηε στυδψ χονφορmεδ το τηε

ρεθυιρεmεντσ οφ τηε Υνιϖερσιτψ οφ Στρατηχλψδε�σ Ετηιχσ Χοmmιττεε

Ιντερϖεντιον

ΧΓΙ προϖιδεδ α πεδαγογιχαλ φραmεωορκ τηατ ωασ υσεδ ασ α προφεσσιοναλ δεϖελοπmεντ

προγραmmε ωιτη τηε παρτιχιπατινγ τεαχηερσ. Τηε τεαχηερσ ωερε ιντροδυχεδ το τηε

πρινχιπλεσ οφ ΧΓΙ τηρουγη ειγητ ηουρσ οφ προφεσσιοναλ δεϖελοπmεντ. Τηεψ δεϖελοπεδ

ΧΓΙ αχτιϖιτιεσ ωιτη τηειρ ωηολε χλασσ βυτ γατηερεδ δατα ον τηε τωο φοχυσ πυπιλσ

ιδεντιφιεδ ατ τηε ουτσετ οφ τηε στυδψ.

Dατα Χολλεχτιον

Τεαχηερσ χοmπλετεδ ρεχορδινγ σηεετσ φορ εαχη οβσερϖεδ χηιλδ φορ εαχη οφ τηε ΧΓΙ

σεσσιονσ προϖιδινγ α τοταλ οφ 240 χοmπλετεδ ρεχορδινγ σηεετσ οφ ΧΓΙ αχτιϖιτιεσ. Τηεσε

προϖιδεδ τηε φολλοωινγ δατα:

• Ναρρατιϖε αχχουντσ οφ τηε χηιλδ�σ στρατεγψ φορ αττενδινγ το τηε προβλεm

• Χοmmεντσ ρεγαρδινγ πυπιλ ενγαγεmεντ

• Οτηερ ρεφλεχτιϖε χοmmεντσ ανδ οβσερϖατιονσ

• Ατταχηεδ ηαρδχοπψ ανδ πηοτογραπηιχ εϖιδενχε οφ χηιλδρεν�σ σολυτιον στρατεγιεσ

7

Τηεσε ρεχορδινγ σηεετσ φαχιλιτατεδ χροσσ−χασε χοmπαρισονσ (Ψιν, 2003) ασ ωελλ ασ α

ρεχορδ οφ προγρεσσ φορ ινδιϖιδυαλ πυπιλσ. Ηαρδχοπψ ανδ πηοτογραπηιχ εϖιδενχε οφ

χηιλδρεν�σ ωορκ ανδ ρεσεαρχηερσ� φιελδνοτεσ προϖιδεδ φυρτηερ δατα φορ χοmπαρατιϖε

αναλψσισ ωιτη τεαχηερ ιντερπρετατιονσ οφ πυπιλσ� στρατεγιεσ.

Αναλψτιχαλ φραmεωορκ

Dατα γατηερεδ ωιτηιν τηε ΧΓΙ σεσσιονσ ωερε χολλατεδ ιντο τηεmατιχ χηαρτσ αλονγ ωιτη

πρελιmιναρψ δατα δραων φροm τεαχηερσ� προφιλεσ οφ τηε πυπιλσ, ασσεσσmεντ ρεχορδσ ανδ

ΙΕΠσ. Τηεσε χηαρτσ ωερε βυιλτ αδηερινγ το Ριτχηιε, Σπενχερ ανδ Ο�Χοννορ�σ (2003)

ιτερατιϖε αναλψτιχαλ φραmεωορκ ωηιχη φαχιλιτατεδ ριγορουσ αναλψσισ. Υτιλισινγ δατα δραων

φροm mυλτιπλε σουρχεσ ρεφλεχτεδ Λαmπερτ�σ (2001) mοδελ φορ δατα γατηερινγ ωηιχη

ρεχογνισεσ τηε χοmπλεξιτψ οφ χασεσ βψ ϖιεωινγ τηεm φροm mυλτιπλε περσπεχτιϖεσ.

Γατηερινγ εϖιδενχε φροm α ρανγε οφ σουρχεσ ιν τηισ ωαψ αλλοωεδ δατα το βε αναλψσεδ

τηρουγη α ωιδε λενσ, ατ τηε σαmε τιmε εαχη ελεmεντ χουλδ βε αναλψσεδ ινδιϖιδυαλλψ. Ιν

τηισ σενσε τηεσε mυλτιπλε περσπεχτιϖεσ ρεπρεσεντεδ αν ασπεχτ οφ τριανγυλατιον τηατ ισ

ϖιεωεδ ιν τερmσ οφ τηε ριχηνεσσ οφ τηε πιχτυρε τηατ ισ προδυχεδ ρατηερ τηαν σολελψ ασ α

mεανσ οφ χονφιρmινγ ορ ϖεριφψινγ φινδινγσ (Ριτχηιε ετ αλ, οπ.χιτ.).

Ιτ ωασ αλσο ποσσιβλε το αναλψσε τηε δατα ωιτηιν τηε τηεορετιχαλ φραmεωορκ οφ ΧΓΙ

(Χαρπεντερ ετ αλ., 1999) ανδ χοmπαρε τηισ το τεαχηερσ� ιντερπρετατιονσ ασ σετ ουτ ιν τηειρ

ρεχορδινγ σηεετσ. Τηε φιελδνοτεσ οφ τηε ρεσεαρχηερ−οβσερϖεδ ΧΓΙ σεσσιονσ ωερε αλσο αν

ιmπορταντ παρτ οφ τηε αναλψτιχαλ προχεσσ. Τηεσε φιελδνοτεσ ανδ οβσερϖατιονσ σερϖεδ το

ϖαλιδατε ορ χοντεστ τεαχηερσ� ρεχορδινγσ ανδ ιντερπρετατιονσ οφ τηε ΧΓΙ σεσσιονσ.

8

Φινδινγσ

Τηε φινδινγσ αρε ρεπρεσεντατιϖε οφ τηε 24 πυπιλσ ωηο ωερε mονιτορεδ τηρουγηουτ τηε

στυδψ. Αν ινιτιαλ πηασε οφ τηε στυδψ, νοτ σπεχιφιχαλλψ ρεπορτεδ ηερε, ινϖολϖεδ ινδιϖιδυαλ

ιντερϖιεωσ ωιτη τηε παρτιχιπατινγ τεαχηερσ το γαιν ινσιγητ ιντο τηειρ κνοωλεδγε ανδ

βελιεφσ αβουτ mατηεmατιχσ τεαχηινγ το πυπιλσ ωιτη mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ πριορ το

βεινγ ιντροδυχεδ το ΧΓΙ. Τηε φινδινγσ ηαϖε βεεν πρεσεντεδ ωιτηιν τηε χοντεξτ οφ φουρ

ρελατεδ τηεmεσ. Ινιτιαλ ασσεσσmεντ ανδ πλαννινγ δραων φροm πρελιmιναρψ δατα προϖιδεσ α

φραmε οφ ρεφερενχε φορ τηε ρεσπονσεσ οφ τηε ινδιϖιδυαλ πυπιλσ ωιτηιν τηε σαmπλε γρουπ ιν

ρεσπεχτ οφ φορmαλ πλαννινγ ανδ ασσεσσmεντ. Dατα ον Πυπιλ ενγαγεmεντ αρε φροm

τεαχηερσ� φιελδνοτεσ ανδ ναρρατιϖεσ ασ ωελλ ασ χλασσροοm οβσερϖατιονσ. Χηιλδρεν�σ

σολυτιον στρατεγιεσ σηοωσ ωηατ χηιλδρεν αχτυαλλψ διδ ιν ρεσπονσε το τηε ωορδ προβλεmσ

ανδ ρελατεσ τηειρ στρατεγιεσ διρεχτλψ το τηε τηεορετιχαλ φραmεωορκ οφ ΧΓΙ (Χαρπεντερ ετ αλ,

1999). Χηιλδρεν�σ τηινκινγ ρεϖεαλεδ λινκσ ωιτη τηε τωο πρεϖιουσ τηεmεσ ανδ σετσ ουτ

ηοω τηε χηιλδρεν εξπλαινεδ τηειρ τηινκινγ ανδ τηε ινσιγητ τηισ γαϖε ιντο τηειρ

υνδερστανδινγσ.

Ινιτιαλ ασσεσσmεντ ανδ πλαννινγ

Εαχη πυπιλ ιν τηε στυδψ ηαδ αν Ινδιϖιδυαλισεδ Εδυχατιοναλ Πλαν (ΙΕΠ) ανδ αν ινδιϖιδυαλ

ρεχορδ οφ ασσεσσmεντ. Ιν σεϖεν οφ τηε τωελϖε χλασσεσ τηε παιρσ οφ φοχυσ πυπιλσ ηαδ

ιδεντιχαλ πλαννινγ ανδ νεξτ στεπσ σετ ουτ ιν τηε ΙΕΠσ ανδ ρεχορδεδ ασσεσσmεντσ.

Αλτηουγη τηε ρεχορδεδ ασσεσσmεντ στατεmεντσ φορ τηεσε παιρσ οφ πυπιλσ ωερε εξαχτλψ τηε

σαmε, σιγνιφιχαντ διφφερενχεσ ιν τηε χηιλδρεν�σ mατηεmατιχαλ τηινκινγ ωερε ρεϖεαλεδ ασ

9

τηεψ ενγαγεδ ωιτη τηε ωορδ προβλεmσ. Φυρτηερmορε τηε νεξτ στεπ πλαννινγ τηατ ωασ σετ

ουτ φορ ινδιϖιδυαλ χηιλδρεν ωασ νοτ αλωαψσ αππροπριατε το τηε στατεδ ασσεσσmεντ. Φορ

εξαmπλε, Σαm (ειγητ ψεαρ−ολδ) ωασ ρεχορδεδ ασ: �χαν αδδ χονφιδεντλψ το 10�, �κνοωσ

νυmβερ το 20�, �ηασ ρεχαλλ οφ φαχτσ (δουβλεσ) ωιτηιν 10�, �χαν αδδ +1, +2, +3 ωιτη

mατεριαλσ, ωιτη συππορτ�. Νο εξπεριενχε οφ συβτραχτιον ωασ ρεχορδεδ. Νεξτ στεπ πλαννινγ

ωασ �χουντινγ ορδερ ανδ νυmβερ ρεχογνιτιον το 15�.

Βαρρψ ανδ Σηιρα, (σεϖεν ψεαρ−ολδσ) ηαδ ινδιϖιδυαλ βυτ ιδεντιχαλ ρεχορδσ οφ ασσεσσmεντ

ανδ πλαννινγ τηατ στατεδ τηατ βοτη χηιλδρεν ηαδ: �ρεχαλλ οφ φαχτσ (δουβλεσ) ωιτηιν 10�;

ωερε �αβλε το αδδ 1, 2 ανδ 3 το σινγλε διγιτ�; ηαδ νο εξπεριενχε οφ συβτραχτιον ανδ

�ρεθυιρεδ συππορτ φορ υνδερστανδινγ οφ λανγυαγε�. Νεξτ στεπσ πλαννινγ φορ βοτη χηιλδρεν

ωασ �χουντινγ ορδερ ανδ νυmβερ ρεχογνιτιον το 20�. Ιν ΧΓΙ αχτιϖιτιεσ βοτη χηιλδρεν

ωερε αβλε το σολϖε σιmπλε συβτραχτιον προβλεmσ.

Νινε ψεαρ−ολδ Αλι ωασ ρεχορδεδ ασ �δοεσ νοτ ηαϖε ορδιναλιτψ 6−10�, �ηασ χαρδιναλιτψ 1−5,

χαν mατχη νυmβερ ναmεσ ανδ σψmβολσ�, �διφφιχυλτψ ωιτη ρετεντιον ανδ ρεχαλλ�. Νεξτ

στεπσ πλαννινγ ωασ �αδδιτιον ωιτηιν 6�. Τηερε ωασ νο εϖιδενχε οφ Αλι ηαϖινγ ηαδ ανψ

πριορ φορmαλ ιντροδυχτιον το χονχεπτσ οφ αδδιτιον ανδ συβτραχτιον. Ιν ΧΓΙ αχτιϖιτιεσ ηε

ιντυιτιϖελψ σολϖεδ αδδιτιον ανδ συβτραχτιον προβλεmσ ωιτηιν 10, ανδ ωεντ ον το σολϖε α

mισσινγ αδδενδ προβλεm (6+ξ = 9).

Φορmαλ ασσεσσmεντ ρεχορδσ φορ νινε−ψεαρ ολδ Γορδον στατεδ τηατ ηε διδ νοτ �κνοω

νυmβερ φαχτσ το 10�, νεϖερτηελεσσ ιν τηε ΧΓΙ σεσσιονσ ηε δεmονστρατεδ αν υνδερστανδινγ

10

οφ τηε ρελατιονσηιπ βετωεεν νυmβερσ χοmβινατιονσ ωιτηιν 10 βψ σολϖινγ χηαλλενγινγ

σταρτ υνκνοων προβλεmσ ( ξ + 5 =10; ξ −3 =5) υσινγ χουντινγ στρατεγιεσ.

Αλτηουγη εαχη πυπιλ ιν τηε στυδψ ηαδ αν ΙΕΠ τηερε ωασ εϖιδενχε τηατ ιν αλλ βυτ ονε

χλασσ, ινστρυχτιοναλ σεθυενχε ωασ δριϖεν βψ πρε−δετερmινεδ πλαννινγ φραmεωορκσ ρατηερ

τηαν βεινγ ινφορmεδ βψ ινδιϖιδυαλ πυπιλσ� χονχεπτυαλ υνδερστανδινγ.

Πυπιλ ενγαγεmεντ

Τεαχηερσ� ρεχορδσ ανδ χλασσροοm οβσερϖατιονσ σηοωεδ τηατ αλλ τηε χασε στυδψ πυπιλσ

αχτιϖελψ ενγαγεδ ιν τηε αχτιϖιτιεσ. Ανψ ινιτιαλ ηεσιτανχε δισπλαψεδ βψ σοmε χηιλδρεν ιν

τηε ινιτιαλ ΧΓΙ σεσσιονσ διδ νοτ λαστ. Ονε τεαχηερ ρεχορδεδ �Σαm ηασ βεχοmε mορε

ρελαξεδ ανδ σελφ−χονφιδεντ ανδ σεεmσ το βε ενϕοψινγ ηιmσελφ�. Πυπιλσ σαω τηε προβλεmσ

ασ χηαλλενγεσ, τεαχηερσ χοmmεντεδ ον χηιλδρεν�σ εαγερνεσσ το φινδ σολυτιονσ �Ηε ισ

πρεπαρεδ το περσεϖερε το φινδ α σολυτιον το τηε προβλεm�. Ιν ονε χλασσ οφ 7 ψεαρ−ολδσ

χηιλδρεν ωερε οβσερϖεδ mακινγ υπ σιmπλε ϕοινινγ ανδ σεπαρατινγ προβλεmσ φορ τηε ρεστ

οφ τηε γρουπ το σολϖε.

Τηε χηιλδρεν�σ ενγαγεmεντ ωασ αλσο ρεφλεχτεδ ιν ωηατ τηεψ ηαδ το σαψ αβουτ τηε ΧΓΙ

σεσσιονσ:

�Ιτ ηελπσ ψου ωορκ βεττερ, ιτ ηελπσ ψου κνοω ψουρ νυmβερσ�

�Ιτ ηελπσ ψου λεαρν�

�Ι λικε τηισ mατησ βεχαυσε ψου χαν χουντ�

�Ι λικε ιτ ινστεαδ οφ mατησ. Ιτ�σ γοοδ ψου γετ το υσε στυφφ�

11

�Ιτ ηελπσ ψου το χουντ�

�Ψου γετ το υσε διφφερεντ τηινγσ�

�Ι λικε υσινγ mψ φινγερσ�

�Ιτ�σ εασψ �χοσ Ι διδ α βυσ ανδ Ι πυτ ωινδοωσ ιν�

�Ιτ ηελπσ ψου ιν χασε ψου αρε στυχκ�

�Ι λικεδ ιτ ωηεν τηερε ωερε βυσεσ. Ιτ ηελπσ ψου κνοω ψουρ νυmβερσ�

�Χοσ Ι λεαρν mορε�

Ονλψ ονε πυπιλ σαιδ τηατ σηε διδ νοτ λικε ΧΓΙ βεχαυσε ιτ ωασ �τοο ηαρδ�. Τηε τεαχηερ τολδ

τηε ρεσεαρχηερ το ιγνορε τηισ βεχαυσε �σηε αλωαψσ σαψσ τηατ�. Τηισ πυπιλ ωασ οβσερϖεδ βψ

τηε ρεσεαρχηερ το βε α διρεχτ mοδελλερ ωηο χουλδ νοτ πλαν αηεαδ. Πριορ το βεινγ ασκεδ ιφ

σηε ενϕοψεδ ΧΓΙ τηε τεαχηερ ηαδ γιϖεν ηερ α ϕοιν χηανγε υνκνοων προβλεm (7+ξ =12)

τηατ σηε ωουλδ νοτ ηαϖε βεεν αβλε το σολϖε. Τηισ προβλεm τψπε ισ δισχυσσεδ βελοω.

Χηιλδρεν�σ σολυτιον στρατεγιεσ

Τηε σαmπλε γρουπ οφ 24 χηιλδρεν δεmονστρατεδ τηε φυλλ ρανγε οφ σολυτιον στρατεγιεσ

ουτλινεδ βψ Χαρπεντερ ετ αλ. (1999). Τωεντψ−τωο οφ τηε πυπιλσ διρεχτλψ mοδελλεδ τηειρ

σολυτιονσ το προβλεmσ. Φορ φιφτεεν οφ τηισ γρουπ, διρεχτ mοδελινγ ωασ τηε ονλψ στρατεγψ

τηεψ υσεδ. Dεπενδινγ ον τηε στρυχτυρε οφ τηε προβλεm σιξ οφ τηε ολδερ πυπιλσ (10/11

ψεαρ ολδσ) mοϖεδ βετωεεν διρεχτ mοδελινγ ανδ χουντινγ στρατεγιεσ, σοmετιmεσ υσινγ

τηειρ φινγερσ ορ mατεριαλσ το κεεπ τραχκ οφ τηειρ χουντινγ. Τηερε ωασ εϖιδενχε οφ ονε

νινε−ψεαρ ολδ πυπιλ mοϖινγ φροm ονλψ υσινγ διρεχτ mοδελλινγ το αλσο υσινγ χουντινγ

στρατεγιεσ. Ονε ελεϖεν−ψεαρ ολδ πυπιλ υσεδ δεριϖεδ φαχτσ ασ ωελλ ασ χουντινγ στρατεγιεσ.

Τωο ελεϖεν ψεαρ−ολδ πυπιλσ διρεχτ mοδελλεδ σολυτιονσ φορ σιmπλε ϕοινινγ ανδ σεπαρατινγ

12

προβλεmσ ωιτηιν 20. Αλτηουγη τηεσε τωο πυπιλσ ωερε φορmαλλψ ρεχορδεδ ασ ηαϖινγ ρεχαλλ

οφ φαχτσ το 20, τηερε ωασ νο εϖιδενχε το συππορτ τηε ϖιεω τηατ τηεψ ωερε αβλε το διρεχτλψ

ρετριεϖε τηεσε φαχτσ. Τηειρ σελφ−ινιτιατεδ στρατεγψ ωασ το διρεχτ mοδελ α σολυτιον.

Ιτ ωασ νοτεδ τηατ ψουνγερ πυπιλσ ιν τηε στυδψ, ωηο ηαδ περηαπσ ηαδ λεσσ εξποσυρε το

φορmαλ προχεδυραλ ινστρυχτιον, ωερε λεσσ ινηιβιτεδ ιν τηειρ υσε οφ mανιπυλατιϖεσ. Σοmε

ολδερ πυπιλσ ωερε ινιτιαλλψ ρελυχταντ το υσε mατεριαλσ. Τηεσε πυπιλσ ηαδ νοτ υσεδ

mατεριαλσ φορ α ωηιλε ανδ ρελιεδ ον ταυγητ προχεδυρεσ ανδ χοmπυτατιοναλ αιδσ συχη ασ

ηυνδρεδ σθυαρεσ ανδ νυmβερ λινεσ. Ηοωεϖερ τηεψ ρεσπονδεδ το τεαχηερσ�

ενχουραγεmεντ το εmπλοψ τηειρ οων mετηοδσ. Φορ εξαmπλε 11 ψεαρ−ολδ Αmαν�σ ινιτιαλ

ρελυχτανχε το υσε mατεριαλσ θυιχκλψ συβσιδεδ ανδ ηε δεϖελοπεδ α φλεξιβλε αππροαχη

εmπλοψινγ α ωιδε ρανγε οφ στρατεγιεσ ινχλυδινγ δεριϖεδ φαχτσ. Ηε υσεδ χουντινγ

στρατεγιεσ φρεθυεντλψ ανδ ωηεν νεχεσσαρψ ηε υσεδ mατεριαλσ το ηελπ ηιm κεεπ τραχκ οφ

ηισ χουντινγ. Τοωαρδσ τηε λαττερ σταγεσ οφ τηε στυδψ τηερε ωασ εϖιδενχε τηατ ηε ωασ

ινϖεντινγ αλγοριτηmσ. Φορ εξαmπλε το σολϖε α ϕοινινγ προβλεm (48+25 = ξ) ηε υσεδ αν

ινχρεmεντινγ στρατεγψ, 40+20 比 60 + 8 比 68 + 5 = 73. Ηε χουντεδ ον φροm 68 το γετ το

73.

Τηερε ωασ αλσο εϖιδενχε φροm τεαχηερσ� ρεχορδσ τηατ σοmε πυπιλσ ωερε φαλλινγ βαχκ το

πρεϖιουσλψ ταυγητ στρατεγιεσ ανδ τηατ τηεσε ωερε χονφυσινγ ωηεν τηεψ ηαδ νοτ βεεν

υνδερστοοδ. Φορ εξαmπλε 10 ψεαρ−ολδ Πατ ινιτιαλλψ λοοκεδ φορ τηε οπερατιον ηε ηαδ βεεν

ταυγητ, σοmετιmεσ ασκινγ �ισ τηισ αδδιτιον ορ συβτραχτιον?�. Τηισ γραδυαλλψ χεασεδ ανδ

ηε βεγαν το διρεχτ mοδελ προβλεmσ βψ αττενδινγ το τηε προβλεm στρυχτυρε. Ηε αλσο

13

λεαρνεδ οφ τηε ινεφφιχιενχψ οφ χουντινγ ιν ονεσ φορ λαργερ νυmβερσ στατινγ ον ονε

οχχασιον �ιτ�σ τοο ηιγη α συm φορ χυβεσ�. Πατ αλσο βεγαν το εmπλοψ χουντινγ στρατεγιεσ

χουντινγ ιν τενσ. Τοωαρδσ τηε ενδ οφ τηε ΧΓΙ σεσσιονσ ηισ τεαχηερ ρεχορδεδ �Πατ ισ mορε

αβλε το δεχιδε ηοω το προχεεδ ωιτη προβλεmσ νοω. Ηε ισ δισχερνινγ ωηατ ισ ρεθυιρεδ

mορε θυιχκλψ�. Φορ τηε προβλεm �Τηερε αρε 24 χηιλδρεν ον τηε βυσ. Τηε βυσ στοπσ ανδ

10 γετ οφφ. Ηοω mανψ χηιλδρεν αρε λεφτ ον τηε βυσ?�, 10 ψεαρ−ολδ ϑακε ινιτιαλλψ τριεδ το

σολϖε τηε προβλεm βψ ωριτινγ ουτ α στανδαρδ αλγοριτηm βυτ τεαχηερ νοτεσ σηοω τηατ ηε

ωασ υνσυρε ηοω το δο τηισ ανδ διρεχτ mοδελλεδ α σολυτιον ινστεαδ . Τηε τεαχηερ ρεχορδεδ

�ϑακε ωασ αβλε το δεσχριβε το τηε ρεστ οφ τηε γρουπ ανδ γιϖε τηε χορρεχτ ανσωερ. Τρψινγ

το ωριτε ιτ ασ α συm ωασ ηολδινγ ηιm βαχκ ατ τηε βεγιννινγ�.

Ρεϖεαλινγ τηειρ τηινκινγ

Χηιλδρεν�σ τηινκινγ ωασ mαδε εξπλιχιτ βψ ωηατ τηεψ διδ ανδ βψ ωηατ τηεψ σαιδ. Τηε

τεαχηερσ� δεταιλεδ αχχουντσ ανδ οβσερϖατιονσ ωερε ινσιγητφυλ. Χηιλδρεν ωερε αβλε το

εξπλαιν τηειρ σολυτιονσ αλτηουγη ινιτιαλλψ σοmε οφ τηεm ωερε υνσυρε αβουτ εξπλαινινγ.

Σεϖεν ψεαρ−ολδ Ρορψ ωασ ρεχορδεδ ασ ρελυχταντ το εξπλαιν ηισ σολυτιον, �ηε φουνδ ιτ ϖερψ

διφφιχυλτ το ταλκ αβουτ ηοω ηε αχηιεϖεδ ηισ ανσωερ� , ηοωεϖερ βψ τηε τηιρδ ΧΓΙ σεσσιον

τηε τεαχηερ ρεχορδεδ τηατ ηε �χουλδ εξπλαιν ωηατ ηε ηαδ δονε ωηεν ασκεδ.�

Ιτ ωασ ιmπορταντ νοτ το τακε χηιλδρεν�σ εξπλανατιονσ ατ φαχε ϖαλυε ανδ το διγ δεεπερ.

Εφφεχτιϖε θυεστιονινγ ανδ χαρεφυλ οβσερϖατιον προϖιδεδ δεεπερ ινσιγητ ιντο χηιλδρεν�σ

τηινκινγ. Σινεαδ, ειγητ ψεαρσ ολδ, σαιδ �Ι ϕυστ τηινκεδ ανδ Ι χουντεδ ανδ mψ βραιν τελλεδ

mε�. Ηερ τεαχηερ�σ νοτε σηοωεδ τηατ Σινεαδ υσεδ ηερ φινγερσ το χουντ ον ανδ ον ασκινγ

14

σηε ωασ αβλε το δεmονστρατε ηοω σηε διδ τηισ. Ιν οβσερϖατιον 10 ψεαρ−ολδ Χοννορ αλσο

γαϖε �Ι διδ ιτ ιν mψ ηεαδ� ασ αν εξπλανατιον, βυτ ηε ωασ οβσερϖεδ συρρεπτιτιουσλψ

χουντινγ ον υσινγ ηισ φινγερσ υνδερ τηε δεσκ.

Σοmε χηιλδρεν ωερε ρεχορδεδ ασ ινιτιαλλψ �γυεσσινγ� ρεσπονσεσ, φορ εξαmπλε ωιτη τηε

προβλεm �ϑορδαν ηασ 4 τοψ χαρσ. Ι γιϖε ηιm 3 mορε. Ηοω mανψ δοεσ ηε ηαϖε νοω?� τηε

τεαχηερ ρεχορδεδ τηεσε νοτεσ:

�Χηρισ ανδ Ι ρεαδ τηε θυεστιον τογετηερ. Ηε τηεν γυεσσεδ 5. (τηε προβλεm ωασ

ρερεαδ) Χηρισ τηεν δρεω 3 χαρσ ανδ χουντεδ τηεm, τηεν ρεφερρεδ βαχκ το τηε

θυεστιον ανδ δρεω ανοτηερ χαρ. Ηε τηεν χουντεδ 1−2−3−4. Ηε γλανχεδ ατ τηε

θυεστιον ανδ δρεω 3 mορε χαρσ. Ηε τηεν χουντεδ φροm 1 το 7�.

Σοmε πυπιλσ ωερε βεγιννινγ το σεε χοννεχτιονσ ιν τηε προβλεmσ ανδ ωερε ρελατινγ τηε

στρυχτυρε οφ τηε προβλεmσ το mατηεmατιχαλ ιδεασ. Φορ τηε προβλεm, �Μρσ Χ ηασ 4 ψοψοσ.

Μρσ Η γιϖεσ ηερ 4 mορε ψοψοσ. Ηοω mανψ ψοψοσ δοεσ Μρσ Χ ηαϖε νοω?� Σινεαδ διρεχτ

mοδελλεδ υσινγ χυβεσ, σηε ϕοινεδ βοτη σετσ ανδ χουντεδ φροm ονε. Σηε εξπλαινεδ, �Ι γοτ

4 χυβεσ ανδ ανοτηερ 4 χυβεσ, Ι αδδεδ ον mορε ψοψοσ. Σινεαδ αλσο ρεχογνισεδ

σιmιλαριτιεσ βετωεεν προβλεm τψπεσ ωιτηουτ βεινγ τολδ, σηε σαιδ �τηατ�σ τηε σαmε κινδ ασ

τηε φιρστ ονε� ρεφερρινγ το α σιmιλαρ τψπε ϕοινινγ προβλεm.

Πυπιλσ λεαρνεδ φροm τηειρ οων ανδ οτηερσ� mιστακεσ ασ ωελλ. Μαλχολm, 10 ψεαρσ ολδ, ωασ

ωορκινγ ιν α γρουπ ον τηε προβλεm ςερυχα Σαλτ ανδ Χηαρλιε Βυχκετ ηαϖε 24 βαρσ οφ

χηοχολατε βετωεεν τηεm Χηαρλιε ηασ 12 βαρσ. Ηοω mανψ βαρσ δοεσ ςερυχα ηαϖε?

15

Ηε ωατχηεδ τωο οτηερ πυπιλσ σεττινγ ουτ α σετ οφ 12 ανδ α σετ οφ 24. Ασ τηεψ ϕοινεδ βοτη

σετσ Μαλχολm ιντερρυπτεδ σαψινγ �Νο, τηατ�σ τοο ηιγη�. Μαλχολm εξπλαινεδ ηισ σολυτιον

βψ σεπαρατινγ 12 φροm 24. Τηε τεαχηερ ρεχορδεδ �Τηε mοδελλινγ προχεσσ [οφ τηε οτηερσ]

εξποσεδ τηε φλαωεδ τηινκινγ ανδ ωασ ινϖαλυαβλε το τηε εϖεντυαλ ουτχοmε ιν τερmσ οφ

υνδερστανδινγ�.

Dισχυσσιον

Τηε στυδψ ισ χονσιστεντ ωιτη εαρλιερ στυδιεσ (Βοοτγε ετ αλ. οπ.χιτ, Βαροοδψ, 1996,

Βεηρενδ, οπ.χιτ) ιν φινδινγ τηατ τηε σαmπλε γρουπ οφ πυπιλσ ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ

ωερε αβλε το ινϖεντ, τρανσφερ ανδ ρεταιν στρατεγιεσ φορ σολϖινγ αριτηmετιχαλ προβλεmσ.

Τηισ χυρρεντ στυδψ ινϖολϖεδ ιντροδυχινγ τηε τεαχηερσ το τηε πρινχιπλεσ οφ ΧΓΙ. Ιν τηισ

ωαψ πυπιλσ� ρεσπονσεσ ωερε λινκεδ το ηοω τηειρ τεαχηερσ αππλιεδ τηεσε πρινχιπλεσ ιν

πραχτιχε. Κνοωλδεγε οφ ωηατ πυπιλσ διδ ιντυιτιϖελψ το σολϖε τηε προβλεmσ γαϖε τεαχηερσ

αν ινσιγητ ιντο τηε χηιλδρεν�σ mατηεmατιχαλ τηινκινγ. Τηισ κνοωλεδγε οφ λεαρνερσ ισ αν

ιmπορταντ ελεmεντ οφ τηε κινδ οφ κνοωλεδγε ρεθυιρεδ βψ τεαχηερσ φορ εφφεχτιϖε

mατηεmατιχσ ινστρυχτιον (Χαρπεντερ, Φεννεmα, Πετερσον & Χαρεψ, 1988).

Αλλ πυπιλσ ωερε αχτιϖε παρτιχιπαντσ ιν ΧΓΙ σεσσιονσ ανδ τεαχηερσ ρεχογνισεδ πυπιλσ�

αβιλιτψ ανδ mοτιϖατιον ωιτηιν τηεσε σεσσιονσ. Νο τεαχηερ εξπρεσσεδ χονχερνσ αβουτ τηε

συιταβιλιτψ οφ ΧΓΙ φορ ανψ οφ τηε χηιλδρεν τηεψ ωερε ωορκινγ ωιτη. Ψετ ατ τηε ινιτιαλ

ιντροδυχτορψ σεσσιονσ, πριορ το τεαχηερσ υσινγ ΧΓΙ ιν τηε χλασσροοmσ, τηερε ωασ α γενεραλ

εξπρεσσιον οφ χονχερν τηατ τηε ιντερϖεντιον ωασ �mαινστρεαm� ανδ τηερεφορε υνσυιταβλε.

Τηισ προϖεδ το βε υνωαρραντεδ. Σοmε τεαχηερσ ρεmαρκεδ ωιτη συρπρισε τηατ πυπιλσ ωιτη

16

mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ εmπλοψεδ τηε σαmε στρατεγιεσ ουτλινεδ ωιτηιν τηε ΧΓΙ

φραmεωορκ. Τηε ϖιεω τηατ χηιλδρεν ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ φολλοω τηε σαmε

δεϖελοπmενταλ τραϕεχτορψ ιν τηειρ χονχεπτυαλιζατιον οφ mατηεmατιχσ ασ τψπιχαλ χηιλδρεν

(Γεαρψ, 2004; Βαροοδψ, 1988) ωασ συσταινεδ. Φυρτηερmορε εϖερψ τεαχηερ στατεδ τηατ

τηεψ φελτ πυπιλσ ηαδ βενεφιτεδ φροm ωορκινγ ιν τηισ ωαψ ανδ ειγητ οφ τηεm σπεχιφιχαλλψ

στατεδ τηατ τηεψ ηαδ υνδερεστιmατεδ τηε πυπιλσ� αβιλιτψ ανδ ποτεντιαλ πριορ το τηε

ιντερϖεντιον. Τηισ ισ νοτεωορτηψ παρτιχυλαρλψ ιν λιγητ οφ α ρεχεντ Σχοττιση στυδψ ωηιχη

φουνδ τηατ πυπιλσ ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ ωερε mορε δισαδϖανταγεδ βψ τηε αττριβυτιονσ

ανδ λοω εξπεχτατιονσ οφ mαινστρεαm τεαχηερσ τηαν βψ τηειρ σπεχιαλ εδυχατιον χολλεαγυεσ

(Wοολφσον, Γραντ & Χαmπβελλ, 2007).

Wορδ προβλεmσ ηαϖε βεεν ρεχογνισεδ ασ ϖεηιχλεσ φορ προmοτινγ αυτηεντιχ mατηεmατιχαλ

υνδερστανδινγ (ςερσχηαφφελ & Dε Χορτε, 1997). Ιν σπιτε οφ τηε ινιτιαλ χονχερνσ

εξπρεσσεδ βψ σεϖεραλ οφ τηε τεαχηερσ τηατ τηε λανγυαγε οφ τηε ωορδ−προβλεmσ mιγητ βε

προβλεmατιχ φορ τηε πυπιλσ, τηερε ωασ λιττλε εϖιδενχε το συππορτ τηισ ιν πραχτιχε. Τηερε ισ

εϖιδενχε τηατ χονχεπτυαλ ρεωορδινγ χαν ιmπροϖε χηιλδρεν�σ περφορmανχε ον ωορδ

προβλεmσ (Σαντιαγο, Ορριαντα & ςερσχηαφφελ, 2007). Σοmετιmεσ mινορ αδϕυστmεντσ οφ

λανγυαγε ρεσολϖεδ mισυνδερστανδινγσ τηατ ωερε λανγυαγε βασεδ. Φορ εξαmπλε δυρινγ τηε

οβσερϖεδ σεσσιον ιν Λιαννε�σ Πριmαρψ 7 χλασσροοm τηε φολλοωινγ Σεπαρατε Ρεσυλτ

Υνκνοων προβλεm (14−6= Ξ) ωασ γιϖεν:

Ροσσ ηαδ 14 φοοτβαλλ στιχκερσ. Ηε γαϖε 6 στιχκερσ το Στεωαρτ. Ηοω mανψ δοεσ ηε ηαϖε

λεφτ?

17

ϑοηννψ βεγαν το mοδελ τηισ προβλεm βψ σεττινγ ουτ 14. Ηε τηεν σετ ουτ 6, παυσεδ ανδ

ϕοινεδ ιτ το τηε σετ οφ 14 ανδ βεγαν το χουντ φροm ονε. Ασ ηε ωασ χουντινγ Λιαννε

ρεπεατεδ τηε θυεστιον, αmενδινγ ιτ το, �Ηε γαϖε 6 οφ ηισ στιχκερσ το Στεωαρτ�. ϑοηννψ

ιmmεδιατελψ σαιδ, �οη, Ι�ϖε γοτ ιτ� ανδ προχεεδεδ το διρεχτ mοδελ τηε προβλεm βψ

σεπαρατινγ.

Dιφφιχυλτιεσ τηατ σοmε χηιλδρεν δεmονστρατεδ ιν ρεχαλλινγ τηε σεντενχε ωερε φρεθυεντλψ

οϖερχοmε βψ ρεστατινγ τηε προβλεm ιν �χηυνκσ. Φορ εξαmπλε, Ηελεν ωηο υσεδ τηε

χοντεξτ οφ φρογσ, πλαστιχ λογσ, ανδ πιχτυρεσ οφ α πονδ, ωουλδ στατε τηε ωηολε προβλεm:

Τηερε ωερε 8 φρογσ ον α λογ. 3 φρογσ ϕυmπεδ ιντο τηε ποολ. Ηοω mανψ φρογσ ωερε ον τηε

λογ?

Σηε ωουλδ τηεν ρεστατε τηε φιρστ παρτ οφ τηε προβλεm, (τηερε ωερε 8 φρογσ ον τηε λογ) ανδ

αλλοω πυπιλσ το διρεχτ mοδελ τηατ παρτ. Φολλοωινγ τηισ σηε στατεδ τηε νεξτ παρτ οφ τηε

προβλεm αλλοωινγ χηιλδρεν το mοδελ τηε λανγυαγε οφ τηε προβλεm. Χηιλδρεν ωιτη

mοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ χαν ηαϖε προβλεmσ οφ ωορκινγ mεmορψ ρεσυλτινγ ιν

διφφιχυλτψ ωιτη σεντενχε ρεχαλλ (Αλλοωαψ & Γατηερχολε, 2005). Βψ ρεστατινγ τηε προβλεmσ

ιν χηυνκσ χηιλδρεν ωερε αβλε το ενγαγε ωιτη τηε mατηεmατιχσ ανδ διρεχτ mοδελ σολυτιονσ

ωηιλε ρεσπονσιβιλιτψ φορ ρεχαλλινγ αλλ τηε λανγυαγε οφ τηε προβλεm ωασ ρεδυχεδ.

Σοmε πυπιλσ ωηο ωερε ωορκινγ ον τενσ ανδ υνιτσ διρεχτ mοδελλεδ τηε προβλεmσ

αττεmπτινγ το ρεπρεσεντ λαργε νυmβερσ ιν ονεσ. Φορ εξαmπλε Μαλχολm τριεδ το διρεχτ

mοδελ α προβλεm οφ (93 � 48) βψ δραωινγ ουτ 93 χιρχλεσ ανδ λοστ τραχκ οφ ηισ χουντινγ ιν

τηε προχεσσ. Τηε ινεφφιχιεντ χουντινγ στρατεγιεσ δισπλαψεδ βψ σοmε πυπιλσ ρεφλεχτ τηε

18

φινδινγσ οφ εαρλιερ στυδιεσ τηατ σηοωεδ τηατ χηιλδρεν ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ ηολδ οντο

ινεφφιχιεντ στρατεγιεσ βψ χουντινγ ιν ονεσ (Οσταδ, 1997; Γεαρψ, Ηαmσον & Ηοαρδ,

οπ.χιτ.). Ηοωεϖερ ωηεν τηε τεαχηερσ υσεδ τηειρ κνοωλεδγε οφ τηε χηιλδρεν�σ στρατεγιεσ

ανδ πυρποσελψ δεσιγνεδ ωορδ προβλεmσ τηατ ενχουραγεδ τηε χηιλδρεν το χουντ ιν τενσ,

βοτη οφ τηεσε πυπιλσ βεγαν το υσε βασε τεν mατεριαλσ το διρεχτ mοδελ προβλεmσ ανδ βεγαν

το χαλχυλατε mορε εφφιχιεντλψ βψ ωορκινγ ωιτη ανδ χουντινγ ιν τενσ.

Ρατηερ τηαν αππλψινγ κνοωλεδγε οφ νυmβερ φαχτσ το σολϖε ωορδ προβλεmσ, βψ φολλοωινγ

τηε στρυχτυρε οφ τηε προβλεm τηε σαmπλε γρουπ οφ χηιλδρεν ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ ωερε

αβλε το mακε σενσε οφ τηε προβλεmσ ανδ βυιλδ αριτηmετιχαλ mεανινγ. Τηισ ενγαγεmεντ

ωιτη τηε mατηεmατιχσ οφ τηε προβλεmσ ισ α χρυχιαλ παρτ οφ ωηατ Φοσνοτ (1996) δεσχριβεσ

ασ �χοmινγ το κνοω�. Ιτ συππορτσ mατηεmατιχαλ υνδερστανδινγ τηατ ισ γενερατιϖε ανδ

σιτυατεδ ιν τηε λεαρνινγ χοντεξτ (Πραττ & Κελλψ, 2007).

Τηε ρολε οφ τηε τεαχηερ ισ χριτιχαλ ιν τηισ προχεσσ. Τηερε ωασ εϖιδενχε ιν τηε οβσερϖατιονσ

τηατ σοmε πυπιλσ ωερε ηαmπερεδ ιν υσινγ σενσε−mακινγ αππροαχηεσ, παρτιχυλαρλψ ωηεν

χηιλδρεν�σ ιντυιτιϖε στρατεγιεσ ωερε χονστραινεδ. Φορ εξαmπλε ιν ονε χλασσ τηε τεαχηερ

ωασ οβσερϖεδ ασκινγ πυπιλσ το ρεχαλλ φαχτσ βεφορε βεινγ γιϖεν mατεριαλσ το δεmονστρατε

τηειρ σολυτιονσ. Ιτ ισ αλσο προβλεmατιχ ιφ τεαχηερσ αππλψ τηειρ οων σοπηιστιχατεδ

αριτηmετιχαλ κνοωλεδγε το τηε προβλεmσ ανδ εξπεχτεδ πυπιλσ το σολϖε προβλεmσ ιν τηισ

σοπηιστιχατεδ ωαψ. Ιν ονε χλασσροοm Μαρϕοριε ωασ οβσερϖεδ γιϖινγ πυπιλσ τηισ ϑοιν

Χηανγε Υνκνοων Προβλεm (7+ Ξ = 12): Χηελσεα ηασ 7 Βαρβιε δολλσ. Ηερ mυm γιϖεσ

19

ηερ σοmε mορε. Χηελσεα νοω ηασ 12 Βαρβιε δολλσ. Ηοω mανψ δολλσ διδ ηερ mυm γιϖε

ηερ?

Τηισ ισ α προβλεm οφ αδδιτιον, τηε λανγυαγε οφ τηε προβλεm διχτατεσ α ϕοινινγ αχτιον, νοτ

σεπαρατιον ανδ ωιτηουτ α mορε σοπηιστιχατεδ υνδερστανδινγ οφ τηε ρελατιονσηιπσ βετωεεν

τηε νυmβερ χοmβινατιονσ, α σολυτιον βψ συβτραχτιον ωουλδ νοτ mακε σενσε το σοmε

χηιλδρεν. Αφτερ τηε πυπιλσ ηαδ ωορκεδ ον τηε προβλεm, Μαρϕοριε σαιδ, �Νοω Ι�λλ σηοω

ψου ηοω ψου δο τηισ κινδ οφ προβλεm� ανδ προχεεδεδ το δεmονστρατε ηοω το σολϖε ιτ βψ

συβτραχτιον. Ιφ προβλεmσ αρε χαρεφυλλψ δεσιγνεδ το ενχουραγε χηιλδρεν το υσε ανδ βυιλδ

ον τηειρ οων ιντυιτιϖε στρατεγιεσ, (ανδ τεαχηερσ νεεδ το κνοω ωηερε εαχη χηιλδ ισ ιν τηειρ

αριτηmετιχαλ τηινκινγ), τηεν πυπιλσ ωιλλ φολλοω τηε λανγυαγε οφ τηε προβλεm το χοmε το α

σολυτιον.

Τηερε ισ α νεεδ φορ α φυνδαmενταλ σηιφτ ιν τεαχηερσ� τηινκινγ αβουτ ωορδ προβλεmσ

(ςερσχηαφφελ, Γρεερ & Dε Χορτε, 2000; Γραϖεmειϕερ, 1997). Τηισ σηιφτ ινϖολϖεσ οπτινγ

φορ σενσε−mακινγ ρατηερ τηαν χοmπυτατιοναλ προφιχιενχψ ασ τηε ρεασον φορ υσινγ ωορδ

προβλεmσ (ςερσχηαφφελ ετ αλ., ιβιδ, π. 159). Χλασσροοm οβσερϖατιονσ οφ τηε χηιλδρεν

ωιτηιν αλλ τηρεε σχηοολσ, συππορτεδ βψ εϖιδενχε γατηερεδ βψ τηε τεαχηερσ, σηοωεδ τηατ

χηιλδρεν ωερε αβλε το mακε σενσε οφ ωορδ προβλεmσ ιν τηισ ωαψ. Ηοωεϖερ τηε

οππορτυνιτψ το διρεχτ mοδελ νεεδσ το βε ενχουραγεδ ιν αν αυτηεντιχ χονστρυχτιϖιστ

mαννερ, ανψ διλυτιον ωηιχη ρεσυλτσ ιν τηε υσε οφ mανιπυλατιϖεσ τηατ mιmιχσ α ταυγητ

προχεδυρε ωιλλ νοτ νεχεσσαριλψ ηελπ δεϖελοπ χονχεπτυαλ υνδερστανδινγ (Βαροοδψ, 1989).

Ηοω ρεσουρχεσ αρε υσεδ βψ τεαχηερσ ισ σιγνιφιχαντ φορ πυπιλσ ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ.

Γραϖεmειϕερ (οπ.χιτ.) αργυεσ τηατ � ιτ ισ νοτ α χογνιτιϖε δεφιχιτ ασ συχη τηατ χαυσεσ

20

αβστεντιον φροm σενσε−mακινγ, βυτ ρατηερ τηατ χηιλδρεν αρε αχτινγ ιν αχχορδανχε ωιτη α

τψπιχαλ σχηοολ mατηεmατιχσ χλασσροοm χυλτυρε� (π.392).

Τηισ στυδψ προϖιδεσ φυρτηερ εϖιδενχε ιν δεmονστρατινγ τηε ποτεντιαλ οφ λεαρνερσ ωηο

στρυγγλε το λεαρν mατηεmατιχσ ανδ χονχυρσ ωιτη εαρλιερ Αmεριχαν στυδιεσ (Εmπσον,

οπ.χιτ; Βαροοδψ, οπ.χιτ.; Βεηρενδ, οπ.χιτ). ιν ηιγηλιγητινγ τηε χαπαχιτψ οφ τηισ γρουπ οφ

λεαρνερσ το mακε σενσε οφ τηε mατηεmατιχσ τηεψ αρε λεαρνινγ ανδ το mακε τηειρ

υνδερστανδινγ ϖισιβλε σο τηατ τεαχηερσ χαν υσε τηισ ινφορmατιον το ινφορm τηειρ τεαχηινγ.

Ιτ γιϖεσ φυρτηερ χρεδενχε το χαλλσ φορ χονστρυχτιϖιστ αππροαχηεσ φορ πυπιλσ ωιτη mοδερατε

λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ (Wατσον, 2001,1996; Παλινχσαρ, Μαγνυσσον, Χολλινσ & Χυττερ,

2001). Τηε στυδψ ωασ χαρριεδ ουτ ωιτη α σmαλλ γρουπ οφ χηιλδρεν ανδ τεαχηερσ ανδ δοεσ

νοτ mακε χλαιmσ το βε γενεραλισαβλε. Ιτ αδηερεσ το Στακε�σ (1995) προποσιτιον τηατ τηε

υσεφυλνεσσ οφ υνδερστανδινγ α πηενοmενον ρεστσ ιν τηε ριχηνεσσ ανδ δεπτη οφ

κνοωλεδγε οφ τηατ παρτιχυλαρ πηενοmενον ανδ τηε ρεχογνιτιον οφ τηισ κνοωλεδγε ωιτηιν

οτηερ χοντεξτσ.

Χονχλυσιον

Ιτ ισ ωελλ−εσταβλισηεδ τηατ ιτ ισ νοτ συφφιχιεντ το ϖιεω mατηεmατιχσ λεαρνινγ ασ τηε

αχθυισιτιον οφ προχεδυραλ σκιλλσ ανδ αβστραχτ χονχεπτσ το βε mαστερεδ, ρατηερ ιτ σηουλδ βε

σεεν ασ α προχεσσ οφ σενσε−mακινγ ανδ προβλεm−σολϖινγ τηατ ισ βασεδ ον τηε

mατηεmατιχαλ mοδελλινγ οφ ρεαλιτψ (Dε Χορτε, 2004, Χαρπεντερ ετ αλ. οπ. χιτ.). Wιτηιν τηισ

ϖιεω τηε υλτιmατε γοαλ ισ τηατ στυδεντσ δεϖελοπ α δισποσιτιον τοωαρδσ τηειρ mατηεmατιχαλ

λεαρνινγ ωηιχη ινϖολϖεσ α σενσε οφ τηεmσελϖεσ ασ λεαρνερσ ωηο χονστρυχτ mατηεmατιχαλ

21

mεανινγ τηρουγη ενγαγινγ ιν mατηεmατιχαλ αχτιϖιτψ ρατηερ τηαν εξπεριενχινγ

mατηεmατιχσ ινστρυχτιον ασ τηε αχθυισιτιον οφ ισολατεδ φαχτσ ανδ προχεδυρεσ. Τηισ στυδψ

ηασ σηοων τηατ φορ τηε παρτιχιπατινγ πυπιλσ ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ τηισ ισ α ρεαλιστιχ

ανδ ρεασοναβλε εξπεχτατιον βυτ τηε ρεαλισατιον οφ τηισ εξπεχτατιον ισ φυνδαmενταλλψ

δεπενδεντ ον τηε κνοωλεδγε ανδ βελιεφσ οφ τηε τεαχηερ.

Τηε στιλλ εξταντ ορτηοδοξψ τηατ, ιν mατηεmατιχσ τεαχηινγ, α �σmαλλ−στεπσ� χυρριχυλυm ισ

δεσιραβλε φορ πυπιλσ ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ ισ χηαλλενγεδ. Ινστεαδ α φυνδαmενταλ σηιφτ

mαψ βε ρεθυιρεδ; α mοϖε αωαψ φροm σψστεmσ τηατ σεεκ το ενσυρε τηατ τεαχηερσ συππορτ

πυπιλσ ιν ρεαχηινγ πρε−δετερmινεδ βενχη−mαρκεδ στεπσ ανδ τοωαρδσ δεϖελοπινγ α

γροωτη ιν τεαχηερσ� κνοωλεδγε ανδ υνδερστανδινγ αβουτ χηιλδρεν�σ αριτηmετιχαλ

τηινκινγ ιν συχη α ωαψ τηατ χηιλδρεν�σ χονχεπτυαλ γροωτη χαν βε τραχκεδ ανδ τηισ

κνοωλεδγε χαν βε υσεδ το ινφορm ινστρυχτιον.

22

Ρεφερενχεσ

Αλλοωαψ, Τ.Π. & Γατηερχολε, Σ.Ε. (2005). Τηε ρολε οφ σεντενχε ρεχαλλ ιν ρεαδινγ ανδ

λανγυαγε σκιλλσ οφ χηιλδρεν ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ. Λεαρνινγ ανδ Ινδιϖιδυαλ

Dιφφερενχεσ, 15, 271−282.

Βαροοδψ, Α. (1996). Σελφ−ινϖεντεδ αδδιτιον στρατεγιεσ βψ χηιλδρεν ωιτη mενταλ

ρεταρδατιον. Αmεριχαν ϑουρναλ ον Μενταλ Ρεταρδατιον, 101, 72−89.

Βαροοδψ, Α. (1989). Μανιπυλατιϖεσ δον�τ χοmε ωιτη γυαραντεεσ. Αριτηmετιχ Τεαχηερ,

37, (2), 4−5.

Βαροοδψ, Α. (1988). Μενταλ αδδιτιον δεϖελοπmεντ οφ χηιλδρεν χλασσιφιεδ ασ mενταλλψ

ηανδιχαππεδ. Εδυχατιοναλ Στυδιεσ ιν Ματηεmατιχσ, 19, 369−388.

Βεηρενδ, ϑ.Λ. (2003). Λεαρνινγ−δισαβλεδ στυδεντσ mακε σενσε οφ mατηεmατιχσ. Τεαχηινγ

Χηιλδρεν Ματηεmατιχσ, 9, (5), 269−274.

Βεηρενδ, ϑ.Λ. (1994). Ματηεmατιχαλ προβλεm−σολϖινγ προχεσσεσ οφ πριmαρψ γραδε

στυδεντσ ιδεντιφιεδ ασ λεαρνινγ δισαβλεδ. Υνπυβλισηεδ ΠηD. Τηεσισ, Υνιϖερσιτψ

οφ Wισχονσιν � Μαδισον.

Βοττγε, Β.Α., Ρυεδα, Ε., ΛαΡοθυε, Π.Τ., Σερλιν, Ρ.Χ. & Κωον, ϑ. (2007). Ιντεγρατινγ

ρεφορm−οριεντατεδ mατη ιϕνστρυχτιον ιν σπεχιαλ εδυχατιον σεττινγσ. Λεαρνινγ

Dισαβιλιτιεσ ρεσεαρχη ανδ Πραχτιχε, 22, (2), 99−109.

Βψρνεσ, Μ.Κ. & Ψσσελδψκε, ϑ.Ε. (2009). Ρεπορτεδ πρεϖαλενχε οφ εϖιδενχε−βασεδ

ινστρυχτιοναλ πραχτιχεσ ιν σπεχιαλ εδυχατιον. ϑουρναλ οφ Σπεχιαλ Εδυχατιον,

43,(1), 3−11.

Χαρνινε, D. (1997). Ινστρυχτιοναλ δεσιγν ιν mατηεmατιχσ φορ στυδεντσ ωιτη λεαρνινγ

δισαβιλιτιεσ. ϑουρναλ οφ Λεαρνινγ Dισαβιλιτιεσ, 30, 130−141.

23

Χαρπεντερ, Τ.Π, Φενεmα, Ε., Φρανκε, Μ.Λ., Λεϖι, Λ. & Εmπσον, Σ.Β. (2000). Χογνιτιϖελψ

γυιδεδ ινστρυχτιον− Α ρεσεαρχη βασεδ τεαχηερ δεϖελοπmεντ προγραm φορ

ελεmενταρψ σχηοολ mατηεmατιχσ, Ρεπορτ Νο. 003. Νατιοναλ Χεντερ φορ Ιmπροϖινγ

Στυδεντ Λεαρνινγ ανδ Αχηιεϖεmεντ ιν Ματηεmατιχσ ανδ Σχιενχε. Υνιϖερσιτψ οφ

Wισχονσιν.

Χαρπεντερ, Τ.Π, Φενεmα, Ε., Φρανκε, Μ. Λ., Λεϖι, Λ. & Εmπσον, Σ.Β. (1999). Χηιλδρεν�σ

mατηεmατιχσ � Χογνιτιϖελψ γυιδεδ ινστρυχτιον. Πορτσmουτη, ΝΗ: Ηεινεmανν.

Χαρπεντερ, Τ.Π., Φεννεmα, Ε., Πετερσον, Π.Λ. & Χαρεψ, D.Α. (1988). Τεαχηερσ�

πεδαγογιχαλ χοντεντ κνοωλεδγε οφ στυδεντσ� προβλεm σολϖινγ ιν ελεmενταρψ

αριτηmετιχ. ϑουρναλ φορ Ρεσεαρχη ιν Ματηεmατιχσ Εδυχατιον, 19, 5, 385−401.

Dε Χορτε, Ε. (2004). Μαινστρεαmσ ανδ περσπεχτιϖεσ ιν ρεσεαρχη ον λεαρνινγ

mατηεmατιχσ φροm ινστρυχτιον. Αππλιεδ Πσψχηολογψ: Αν Ιντερνατιοναλ Ρεϖιεω

53(2), 279−310.

Dοωκερ, Α. (2004). Wηατ ωορκσ φορ χηιλδρεν ωιτη mατηεmατιχαλ διφφιχυλτιεσ?

Ρεσεαρχη Ρεπορτ ΡΡ554. Υνιϖερσιτψ οφ Οξφορδ: DφΕΣ.

Ελλιοτ, ϑ. & Γιββσ, Σ. (2008). Dοεσ δψσλεξια εξιστ? ϑουρναλ οφ Πηιλοσοπηψ οφ Εδυχατιον,

42, (3−4), 475−491.

Εmπσον, Σ. Β. (2003). Λοω−περφορmινγ στυδεντσ ανδ τεαχηινγ φραχτιονσ φορ

υνδερστανδινγ: Αν ιντεραχτιοναλ αναλψσισ. ϑουρναλ φορ Ρεσεαρχη ιν Ματηεmατιχσ

Εδυχατιον. 34, (4), 305−343.

Εmπσον, Σ.Β. & ϑυνκ, D. (2004). Τεαχηερσ� κνοωλεδγε οφ χηιλδρεν�σ mατηεmατιχσ αφτερ

ιmπλεmεντινγ α στυδεντ−χεντρεδ χυρριχυλυm. ϑουρναλ οφ Ματηεmατιχσ Τεαχηερ

Εδυχατιον, 7, 121−144.

24

Φεννεmα,Ε., Χαρπεντερ,Τ.Π., Φρανκε, Μ.Λ. Λεϖι, Λ., ϑαχοβσ, ς.Ρ. & Εmπσον, Σ.Β.

(1996). Α λονγιτυδιναλ στυδψ οφ λεαρνινγ το υσε χηιλδρεν�σ τηινκινγ ιν

mατηεmατιχσ ινστρυχτιον. ϑουρναλ φορ Ρεσεαρχη ιν Ματηεmατιχσ Εδυχατιον, 27,

403−434.

Φλετχηερ−Χαmπβελλ, Φ. (2005). Μοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ. Ιν Α. Λεωισ & Β.

Νορωιχη (Εδσ.), Σπεχιαλ τεαχηινγ φορ σπεχιαλ χηιλδρεν? Πεδαγογιεσ φορ

ινχλυσιον. Βερκσηιρε: ΟΥΠ.

Φλετχηερ, Κ., Ηυφφmαν, Λ., Βραψ, Ν. & Γρυπε, Λ. (1998). Τηε υσε οφ τηε mιχρογενετιχ

mετηοδ ωιτη χηιλδρεν ωιτη δισαβιλιτιεσ: δισχοϖερινγ χοmπετενχε. Εαρλψ

Εδυχατιον ανδ Dεϖελοπmεντ, 9, (4), 357−373.

Φλοριαν, Λ. (2008). Σπεχιαλ ορ ινχλυσιϖε εδυχατιον: φυτυρε τρενδσ. Βριτιση ϑουρναλ οφ

Σπεχιαλ Εδυχατιον, 35,(4), 202−208.

Φοσνοτ, Χ.Τ. (1996). Χονστρυχτιϖισm: Τηεορψ, περσπεχτιϖεσ ανδ πραχτιχεσ.

ΝεωΨορκ: Τεαχηερσ� Χολλεγε Πρεσσ.

Φρανκε, Μ. Λ. & Καζεmι, Ε. (2001). Λεαρνινγ το τεαχη mατηεmατιχσ: Φοχυσ ον

στυδεντ τηινκινγ. Τηεορψ ιντο Πραχτιχε, 40, (2), 102−109.

Φυχησ, Λ. Σ. & Φυχησ, D. (2002). Ματηεmατιχαλ προβλεm �σολϖινγ προφιλεσ οφ στυδεντσ

ωιτη mατηεmατιχσ δισαβιλιτιεσ ωιτη ανδ ωιτηουτ χοmορβιδ ρεαδινγ δισαβιλιτιεσ.

ϑουρναλ οφ Λεαρνινγ Dισαβιλιτιεσ, 35(6), 563−573.

Γεαρψ, D.Χ. (2004). Ματηεmατιχσ ανδ λεαρνινγ δισαβιλιτιεσ. ϑουρναλ οφ Λεαρνινγ

Dισαβιλιτιεσ, 37(1), 4−15.

Γεαρψ, D.Χ., Ηαmσον,Χ.Ο. & Ηοαρδ, Μ.Κ. (2000). Νυmεριχαλ ανδ αριτηmετιχαλ

25

χογνιτιον : Α λονγιτυδιναλ στυδψ οφ προχεσσ ανδ χονχεπτσ δεφιχιτσ ιν χηιλδρεν

ωιτη λεαρνινγ δισαβιλιτψ. ϑουρναλ οφ Εξπεριmενταλ Χηιλδ Πσψχηολογψ, 77, 236−

263.

Γονζαλεζ, ϑ.Ε. ϑ. & Εσπινελ, Α.Ι.Γ. (2002). Στρατεγψ χηοιχε ιν σολϖινγ προβλεmσ: Αρε

τηερε διφφερενχεσ βετωεεν στυδεντσ ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ, Γ−ς ποορ

περφορmανχε, ανδ τψπιχαλ αχηιεϖεmεντ στυδεντσ. Λεαρνινγ Dισαβιλιτψ Θυαρτερλψ,

25, 113−122.

Γραϖεmειϕερ, Κ. (1997). Σολϖινγ ωορδ προβλεmσ: Α χασε οφ mοδελλινγ? Λεαρνινγ ανδ

Ινστρυχτιον, 7, 389−397.

Ηανδαλ, Β. (2003). Τεαχηερσ�mατηεmατιχαλ βελιεφσ: Α ρεϖιεω. Τηε Ματηεmατιχσ

Εδυχατορ, 13 (2), 47−57.

Ηιεβερτ, ϑ., Γαλλιmορε, Ρ. & Στιγλερ, ϑ.W. (2002). Α κνοωλεδγε βασε φορ τηε τεαχηινγ

προφεσσιον: Wηατ ωουλδ ιτ λοοκ λικε ανδ ηοω χαν ωε γετ ονε? Εδυχατιοναλ

Ρεσεαρχηερ, 31(5), 3�15.

ΗΜΙΕ (2003). Μοϖινγ το Μαινστρεαm− Τηε ινχλυσιον οφ πυπιλσ ωιτη σπεχιαλ εδυχατιοναλ

νεεδσ ιν mαινστρεαm σχηοολσ. Εδινβυργη: ΣΕΕD.

Ηοαρδ, Μ., Γεαρψ, D. & Ηαmσον, Χ. (1999). Νυmεριχαλ ανδ αριτηmετιχαλ χογνιτιον:

περφορmανχε οφ λοω ανδ αϖεραγε ΙΘ χηιλδρεν. Ματηεmατιχαλ Χογνιτιον, 5, 65−91.

ϑορδαν, Ν.Χ., Ηανιχη, Λ.Β., Καπλαν, D. (2003). Α λονγιτυδιναλ στυδψ οφ mατηεmατιχαλ

χοmπετενχιεσ ιν χηιλδρεν ωιτη σπεχιφιχ mατηεmατιχσ διφφιχυλτιεσ ϖερσυσ χηιλδρεν

ωιτη χοmορβιδ mατηεmατιχσ ανδ ρεαδινγ διφφιχυλτιεσ. Χηιλδ Dεϖελοπmεντ, 74(3),

834�850.

Λαmπερτ, Μ. (2001). Τεαχηινγ προβλεmσ ανδ τηε προβλεmσ οφ τεαχηινγ. Νεω Ηαϖεν:

26

Ψαλε Υνιϖερσιτψ Πρεσσ.

Λεωισ, Α. & Νορωιχη, Β. (2005). Σπεχιαλ τεαχηινγ φορ σπεχιαλ χηιλδρεν? Πεδαγογιεσ φορ

ινχλυσιον. Μαιδενηεαδ: Οπεν Υνιϖερσιτψ Πρεσσ.

Λλοψδ, Γ. (2002). Ματηεmατιχσ τεαχηερσ� βελιεφσ ανδ εξπεριενχεσ ωιτη ιννοϖατιϖε

χυρριχυλυm mατεριαλσ. Ιν Γ.Χ. Λεδερ, Ε. Πεηκονεν & Γ.Τρνερ (Εδσ.), Βελιεφσ: Α

ηιδδεν ϖαριαβλε ιν mατηεmατιχσ. Dορδρεχτ, Νετηερλανδσ: Κλυωερ Αχαδεmιχ

Πυβλισηερσ

Νορωιχη, Β. & Κελλψ, Ν. (2005). Μοδερατε λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ ανδ τηε φυτυρε οφ

ινχλυσιον. Λονδον: Ρουτλεδγε−Φαλmερ.

Οσταδ, Σ.Α. (1997). Dεϖελοπmενταλ διφφερενχεσ ιν αδδιτιον στρατεγιεσ: χοmπαρισονσ οφ

mατηεmατιχαλλψ δισαβλεδ ανδ mατηεmατιχαλλψ νορmαλ χηιλδρεν. ϑουρναλ οφ

Εδυχατιοναλ Πσψχηολογψ, 67, 345−357.

Παλινχσαρ, Α.Σ., Μαγνυσσον, Σ.ϑ., Χολλινσ, Κ.Μ. & Χυτερ, ϑ. ( 2001). Μακινγ σχιενχε

αχχεσσιβλε το αλλ: ρεσυλτσ οφ α δεσιγν εξπεριmεντ ιν ινχλυσιϖε χλασσροοmσ.

Λεαρνινγ Dισαβιλιτψ Θυαρτερλψ, 24, 15−34.

Παττον, Μ.Θ. (2002). Θυαλιτατιϖε ρεσεαρχη ανδ εϖαλυατιον mετηοδσ. Τηουσανδ Οακσ,

Χα: Σαγε.

Πορτερ, ϑ. & Λαχεψ, Π. (2005). Ρεσεαρχηινγ λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ. Λονδον: Σαγε.

Πραττ, Ν. & Κελλψ, Π. (2007). Μαππινγ mατηεmατιχαλ χοmmυνιτιεσ: χλασσροοmσ, ρεσεαρχη

χοmmυνιτιεσ ανδ mαστερχλασσεσ. Φορ τηε Λεαρνινγ οφ Ματηεmατιχσ, 27, (2), 34−

39.

Ριτχηιε, ϑ., Σπενχερ, Λ. & Ο�Χοννορ, W. (2003). Χαρρψινγ ουτ θυαλιτατιϖε αναλψσισ. Ιν

27

28

ϑ.Ριτχηιε & ϑ.Λεωισ (Εδσ.), Θυαλιτατιϖε ρεσεαρχη πραχτιχε− Α γυιδε φορ σοχιαλ

σχιενχε στυδεντσ ανδ ρεσεαρχηερσ. Λονδον: Σαγε.

Ροσενσηινε, Β.ς. (1987). Εξπλιχιτ τεαχηινγ ανδ τεαχηερ τραινινγ. ϑουρναλ οφ Τεαχηερ

Εδυχατιον, 38,(3), 34−36.

Σαντιαγο, ς., Ορραντια, ϑ. & ςερσχηαφφελ, Λ. 2007). Ινφλυενχε οφ σιτυατιοναλ ανδ

χονχεπτυαλ ρεωορδινγ ον ωορδ προβλεm σολϖινγ. Βριτιση ϑουρναλ οφ Εδυχατιοναλ

Πσψχηολογψ, 77, 829−848.

Στακε, Ρ.Ε. (1995). Τηε αρτ οφ χασε στυδψ ρεσεαρχη. Λονδον: Σαγε.

ςερσχηαφφελ, Λ & Dε Χορτε, Ε. (1997). Wορδ προβλεmσ: α ϖεηιχλε φορ προmοτινγ

αυτηεντιχ mατηεmατιχαλ υνδερστανδινγ ανδ προβλεm σολϖινγ ιν τηε

πριmαρψ σχηοολ? Ιν Τ. Νυνεσ & Π. Βρψαντ, (Εδσ.), Λεαρνινγ ανδ τεαχηινγ

mατηεmατιχσ− Αν ιντερνατιοναλ περσπεχτιϖε. Εαστ Συσσεξ: Πσψχηολογψ Πρεσσ.

ςερσχηαφφελ, Λ., Γρεερ, Β. & Dε Χορτε, Ε. (2000). Μακινγ σενσε οφ ωορδ προβλεmσ.

Λισσε: Σωετσ & Ζειτλινγερ.

Wατσον , ϑ. (2001). Σοχιαλ χονστρυχτιϖισm ιν τηε χλασσροοm. Συππορτ φορ Λεαρνινγ, 16,

(3), 140−148.

Wατσον, ϑ. (1996). Ρεφλεχτιον τηρουγη ιντεραχτιον: Τηε χλασσροοm εξπεριενχε οφ πυπιλσ

ωιτη λεαρνινγ διφφιχυλτιεσ. Λονδον: Φαλmερ.

Wοολφσον, Λ., Γραντ, Ε. Χαmπβελλ, Λ. (2007). Α χοmπαρισον οφ σπεχιαλ, γενεραλ ανδ

συππορτ τεαχηερσ� χοντρολλαβιλιτψ ανδ σταβιλιτψ αττριβυτιονσ φορ χηιλδρεν�σ

διφφιχυλτιεσ ιν λεαρνινγ. Εδυχατιοναλ Πσψχηολογψ, 27,(2), 295−306.

Ψιν, Ρ.Κ. (2003). Χασε στυδψ ρεσεαρχη− Dεσιγν ανδ mετηοδσ (3ρδ

εδιτιον). Τηουσανδ

Οακσ,Χα: Σαγε.