MORFOLOGIA MATEMÁTICA

BINARIA

Dra. Virginia Laura Ballarin

Universidad Nacional de Mar del Plata

Historia

◼ Morfologia Matemática nació e mediados de los

años 60 en la Escuela de Minas de Paris

◼ Morfologia = Morphê + Logos

◼ Matemática basada en la Teoria de Conjuntos

◼ Estudio de las estructuras en Imagenes

Objetivos

◼ Extraer informaciones relativas a topología y

geometría de los conjuntos dentro de las imagenes.

◼ Comparar un conjunto desconocido con una familia

de conjuntos conocidos ➔ Elemento Estruturante

◼ Cuantificar la noción de “estar contenido”

◼ Transformar las imagenes en otras imagenes mas

fáciles de ser manipuladas e interpretadas.

Principio

•Compara los objetos que queremos analizar con otro

objeto, llamado elemento estructurante de geometría

conocida.

•El estructurante se desplaza a través de la imagen.

Cada vez que se superpone el elemento estructurante

con la imagen se realiza una operación entre

conjuntos pixel a pixel que dará origen a la nueva

imagen transformada.

Morfologia Binária:

Operadores Básicos◼ Erosión de una imagem X por el elemento

estruturante B:

bBb

xB XBXXBXxX ~

~

}:{)(

===

bBb

xB XBXXBXxX ~

~

}:{)(

===

◼ Dilatación de una imagem X por el elemento

estruturante B:

Fig. 7 : Erosión de la figura X por un elemento estructurante B

( ) { : } siendo = { b + x : b B}Bx xero X x X B X B=

Morfologia Binária:

Erosión

( ) /BXero X x B A=

( )( ) BB Cdilero X X=

Erosión

Erosiones sucesivas

Fig. 8 : Dilatación de la figura X por un elemento estructurante B

Morfologia Binária:

Dilatación

( ) { : }siendo = { b + x : b B}Bx xdil X x X B X B=

/

/

( ) X

X

B x B X

x B A A

dil X

=

=

( ))( ) ( B CB Cerodil X X=

Dilatación

Dilataciones sucesivas

Ejemplo operaciones básicas

Imagen DilataciónErosión

( ( ))B BAB ero Adil=

Apertura

Ejemplo de Apertura

Aperturas sucesivas

Ejemplos de elementos estructurantes 2D:

Morfologia Binária

Ejemplo práctico de Apertura

Imagen Resultado

Ejemplo práctico de Apertura

Apertura con un elemento

estructurante

Ejemplo práctico de Apertura

Apertura con un elemento

estructurante

Ejemplo práctico de apertura

OR lógico de las dos aperturas

( ( ))B BA B ero dil A• =

Cierre

Ejemplo de cierre

Cierres sucesivos

Ejemplo práctico de cierres

original

umbralada

cierre con elemento

estructurante rombo

( )A B B•

Filtros Morfológicos

Filtros Morfológicos

Extracción de Bordes

( ) ( )B

I A A ero A = − ( ) ( )B

E A dil A A = −

Dilatación condicionada

( ) ( )B B

CXdil Z dil Z X=

máscara

elemento estrucuturante

marcador

dilatación de Z con el elemento estructurante B condicionada a X

elemento estructurante ideal

X X X

X X X

X X X

Dilatación condicionada

Imagen X

Marcador Z

( )Bdil Z

( )Bdil Z X

Reconstrucción

( ) lim ( (...... ( )...))B B B

X CX CX CXn

n veces

Z dil dil dil Z→

=

X X X

X X X

X X Xelemento estructurante ideal

finaliza cuando dos operaciones seguidas no producen cambio

Imagen X Marcador Z Reconstrución

Reconstrucciónparticulas de los bordes

lim ( (...... ( )...))B B B

CX CX CXn

n veces

dil dil dil Z→

Reconstruccióntodas las particulas excepto las de los bordes

( )X Z

marcador

( )neg XX

( ) ( ( ))Xneg X neg Z−

( ( ))Xneg Z

( ( ) ( ( )))Xneg neg X neg Z−

Reconstrucciónotro ejemplo

marcador

X ( )neg X ( ) ( )neg X Z( )( ) ( )neg Xneg X Z−

Reconstrucciónotra iteración

( )neg X ( ) ( )neg X Z( )( ) ( )neg Xneg X Z−X

2 ( )X Z22 ( )XX Z− 2( 2 ( ))Xneg X Z−

otro ejemplo de

Reconstrucción

Imagen Marcador Reconstrución

Esqueletos

por afinamiento Thinning *

por esqueletización Skeleton

por engrosamiento Thickening

* Homotopía: para un conjunto sólo existe un

esqueleto continúo.

Thinning Morfológico

( ) ( )C

i eX afin V X X ero B X ero B= −

••

••

•

••

•

••

••

•

•••

••

••

•

••

•

••

••

•••

•

xx

x

x

x

xx

x

x

x x

xxxxx

1 2((......(( ) )........) )nA B A afin B afin B afin B =

finaliza cuando dos operaciones seguidas no producen cambio

Thinning Morfológico1 2((......(( ) )........) )nA B A afin B afin B afin B =

( ) ( )C

i eX afin V X X ero B X ero B= −

Thinning Morfológico

EsqueletoImagen

( ) ( )C

i eX afin V X X ero B X ero B= −

1 2((......(( ) )........) )nA B A afin B afin B afin B =

Esqueletización

( ) ( ) [( ( )] ]C

nn

S X X ero nB X ero nB B= −

0

( ) ( )N

nn

S X S X=

=

unión de los residuos max / ( )N n X ero nB=

líneas de fuego

Esqueletización

( ) ( ) [( ( )] ]C

nn

S X X ero nB X ero nB B= −

0

( ) ( )N

nn

S X S X=

=

Esqueletización

( ) ( ) [( ( )] ]C

nn

S X X ero nB X ero nB B= −

0

( ) ( )N

nn

S X S X=

=

Imagen skeleton

Thickening Morfológico

( ) ( )C

i eX eng V X X ero B X ero B=

••

••

•

••

•

••

••

•

•••

••

••

•

••

•

••

••

•••

•

xx

x

x

x

xx

x

x

x x

xxxxx

1 2((......(( ) )........) )nA B A eng B eng B eng B =

analiza como interactúa la imagen con elementos

estructurantes crecientes.

La granulometria se basa en

la noción intuitiva de

tamizado.

Aumentando el tamaño del

tamiz se incrementan el

numero de granos que

traspasan el cedazo.

A partir de la medida del área

en las sucesivas imágenes

se calcula una función

distribución de probabilidad.

Granulometría

La función distribución de probabilidad y

sus momentos estadísticos pueden utilizarse

como patrones para una posterior

clasificación de texturas en una imagen.

Granulometría