Monografia Adjam Matos de Castro

MODELAGEM E ESTRATÉGIAS DE CONTROLEDIGITAIS APLICADAS A UM SISTEMA DE

LEVITAÇÃO MAGNÉTICA

ADJAN MATOS DE CASTRO

1o Semestre de 2010

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TUCURUÍ

FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICATUCURUÍ - PARÁ

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TUCURUÍ

FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA

ADJAN MATOS DE CASTRO

MODELAGEM E ESTRATÉGIAS DE CONTROLEDIGITAIS APLICADAS A UM SISTEMA DE

LEVITAÇÃO MAGNÉTICA

TRABALHO SUBMETIDO AO COLEGIADO DOCURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIAELÉTRICA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DEENGENHEIRO ELETRICISTA.

Tucuruí - Pará2010

Sumário

1 Introdução 11.1 Levitação Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Principais Métodos de Levitação Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Aplicações da Levitação Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Sistema MAGLEV desenvolvido no Campus de Tucuruí - UFPA . . . . . . . . . 61.2.1 A Bancada Didática MAGLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Sumário estruturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Modelagem matemática 132.1 Modelo matemático do sistema MAGLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Equação dinâmica geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 Força magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3 Modelagem do sensor e amplificador de corrente . . . . . . . . . . . . . 162.1.4 Equação de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.5 Linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.6 Função de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Caracterização do modelo MAGLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1 Ensaio de resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Ensaio estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Modelo em Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Validação e ajuste do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Projetos de Controle 323.1 Hardware de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Código do microcontrolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

ii

3.3 Interface de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Lugar Geométrico das Raízes (LGR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.1 Projeto de Controle pelo LGR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.2 LGR do Sistema MAGLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5 Aspectos gerais sobre controle discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6 Controlador LEAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.6.1 Projeto do Controlador LEAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.7.1 Considerações gerais sobre controladores PID . . . . . . . . . . . . . . . 493.7.2 Projeto do controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Resultados, Conclusões e Trabalhos Futuros 574.1 Resultados com o controlador LEAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Resultados com o Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Conclusões e trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A Programa do PIC18F4520 63

Lista de Figuras

1.1 Levitação supercondutora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Trem de alta velocidade baseado em levitação magnética. . . . . . . . . . . . . . 41.3 Configuração dos atuadores magnéticos dos trens Transrapid. . . . . . . . . . . . 51.4 Configuração dos atuadores magnéticos dos trens Maglev. . . . . . . . . . . . . 51.5 Visão geral do processo, definindo cada módulo de sua constituição. . . . . . . . 61.6 Protótipo MAGLEV em funcionamento [6, 20, 21]. . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Bancada Didática MAGLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8 Atuador do Processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 Cilindro utilizado para levitação e dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10 Ilustração do funcionamento do sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.11 Medidas de posição e corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Diagrama de forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Diagrama de blocos do ensaio de resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . 202.3 Medidas de posição e corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 Curva de resposta em frequência do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Curva de RF ótima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Par de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Curva ajustada para os pontos do ensaio estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8 Modelo em SIMULIK do sistema em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . 282.9 Implementação da equação não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Pinagem do microcontrolador PIC18F4520. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Circuito de condicionamento de sinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Esquema de gravação ISP do microcontrolador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Esquema para comunicação serial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Placa de aquisição de dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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3.6 Interface de controle do sistema MAGLEV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.7 LGR do sistema MAGLEV com realimentação positiva . . . . . . . . . . . . . . 433.8 LGR e resposta ao degrau do sistema com o controlador C1(s). . . . . . . . . . . 473.9 Simulação dos controladores digitais desenvolvidos por emulação de C1(s). . . . 483.10 LGR do sistema compensado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.11 Resultados de simulação com o controlador PID da bancada emulado . . . . . . 543.12 LGR e resposta ao degrau do controlador PID reprojetado . . . . . . . . . . . . . 553.13 Resultados em simulação com o controlador PID reprojetado . . . . . . . . . . . 56

4.1 Comparação entre a resposta simulada e experimental: Controlador LEAD CT (s). 584.2 Respostas com o controlador LEAD CF (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Respostas com o controlador LEAD CB(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4 Comparação entre a resposta simulada e experimental: Controlador PID emulado 594.5 Respostas com aumento do set-point (PID reprojetado) . . . . . . . . . . . . . . 604.6 Respostas com diminuição do set-point (PID reprojetado) . . . . . . . . . . . . . 60

Agradecimentos

Quero aqui manifestar minha mais profunda gratidão às pessoas que junto comigo tornaramesta conquista possível.

Em primeiro lugar a minha família. Aos meus pais Adinaldo Vieira de Castro e LoydeMatos de Castro, pelo amor incondicional e entrega a realização dos sonhos dos filhos. Aosmeus irmãos Adriano e Alaide Matos pelo apoio e confiança. Aos meus avós Antônio Matos eAdonias Castro, pelas experiências repassadas de forma simples que me ajudaram a enfrentar deforma segura as dificuldades.

As pessoas que junto comigo trabalharam diretamente para a realização deste trabalho. Aomeu professor e orientador Rafael Suzuki Bayma, pela dedicação e paciência, não apenas duranteo desenvolvimento deste trabalho, mas em toda minha caminhada acadêmica. Aos meus amigosde turma, pelo companheirismo, dedicação e motivação para superar as dificuldades presentesnesses cinco anos.

Meu muito obrigado a todos.

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Resumo

Neste trabalho são realizados diversos estudos sobre o Sistema de Levitação Magnética -MAGLEV que constitui o processo dinâmico da Bancada Didática MAGLEV. Este sistema écomposto por um eletroímã, pelo qual circula uma corrente DC para a geração de um campomagnético. Este campo gera uma força de atração de um cilindro metálico colocado no eixovertical abaixo do eletroímã que deve se opor à sua força peso, causando assim a levitação damesmo. A posição do cilindro é captada por um sistema óptico e é realimentada para um contro-lador que age sobre a corrente aplicada ao eletroímã, fechando assim a malha do sistema.

Inicialmente são descritos alguns conceitos relevantes sobre o fenômeno da levitação mag-nética, evidenciando suas principais formas de implementação e aplicações.

O modelo matemático do sistema é desenvolvido inicialmente de forma generalizada partindo-se de conceitos físicos inerentes ao processo, esse modelo é então identificado através de doisexperimentos com a Bancada. Alguns ajustes foram necessários para finalização do modelo daplanta, sendo estes realizados com o auxilio de simuladores desenvolvidos em SIMULINK.

Um ponto importante no desenvolvimento do trabalho foi a construção de um sistema quepossibilita a implementação de controle digital sobre a Bancada. Esse sistema é constituido deferramentas de hardware e software necessárias a esse tipo de implementação.

São desenvolvidas também neste trabalho, diversas estratégias de controle digital sobre oMAGLEV da Bancada, onde foram realizadas diversas simulações para teste do desempenhodos controladores.

Na etapa final do desenvolvimento, foram confrontadas as respostas real e simulada do sis-tema de forma a validar o modelo matemático desenvolvido e comprovar se os controladoresobtiveram sucesso sobre o sistema real.

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Capítulo 1

Introdução

Processos de levitação magnética são sistemas de engenharia que atraem a atenção da comu-nidade científica e comumente despertam a curiosidade de observadores em geral, basicamentedevido ao impacto visual. Desde que as primeiras idéias sobre o fenômeno foram propostas,diversos experimentos alternativos têm sido estudados e alguns são colocados em prática sob aforma de benefícios à humanidade, como é o caso dos famosos trens de alta velocidade; além deoutras aplicações menos conhecidas, como mancais magnéticos, e algumas que ainda estão emestudo, como plataformas de lançamento.

Este trabalho apresenta resultados de experimentos sobre o tema realizados no Campus deTucuruí, Universidade Federal do Pará. O processo utilizado faz parte de um equipamento de-senvolvido por alunos de graduação que é resultado de um projeto que já dura cerca de 3 anos.Embora boa parte deste tempo tenha sido dedicado efetivamente à construção dos sistemas demedição, controle e do processo de levitação propriamente dito, apenas recentemente foi pos-sível estabelecer uma metodologia que permitiu compreender, do ponto de vista científico, ocomportamento dinâmico da planta e, consequentemente, a elaboração de projetos avançados decontrole.

O tema levitação magnética e aplicações é certamente bastante abrangente, mas este trabalhose concentra (devido à simplicidade do sistema, comparado às aplicações em larga escala) sob oponto de vista da Engenharia de Controle. Este capítulo apresenta algumas considerações iniciaissobre o fenômeno, descreve brevemente o equipamento utilizado e conclui com a organização damonografia.

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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

1.1 Levitação Magnética

Ao procedimento de manter um objeto de determinada massa suspenso no ar, pela ação deforças de origem eletromagnética, dá-se o nome de levitação magnética. O objetivo deste procesoé estabelecer um equilíbrio dinâmico entre as forças de campo eletromagnético e gravitacionalque atuam sobre o objeto [32].

A teoria clássica do Eletromagnetismo demonstra que pólos magnéticos se repelem quandoiguais e se atraem quando contrários. Dessa forma, é possível que a ação de forças em sentidoscontrários de campo magnético possam dar condições a fenômenos como a levitação. Em [32]são realizados estudos sobre levitação magnética, onde afirma-se que, “objetos sob a influên-cia de campos que aplicam forças com o quadrado da distância tendem a formar configuraçõesde equilíbrio instável”. Como os campos magnéticos comportam-se desta maneira, a levitaçãomagnética por ação de campos invariantes no tempo seria impossível [28]. Estas conclusões mo-tivaram o desenvolvimento de sistemas que permitam variar um campo magnético para atingirconfigurações estáveis de levitação. Esse objetivo pode ser alcançado fazendo uso de mecanis-mos de realimentação.

1.1.1 Principais Métodos de Levitação Magnética

A levitação magnética passou a ser um tema bastante atrativo, tornando-se nas últimas dé-cadas uma área de intensa pesquisa e constante desenvolvimento tecnológico. Diferentes técnicase métodos foram desenvolvidos para alcançar este objetivo, os quais podem ser classificados se-gundo a natureza da origem das forças de campo: por repulsão e por atração magnética. Outratécnica que tem despertado interesse é a levitação de supercondutores.

Levitação por repulsão

O método consiste da utilização de bobinas fixas com uma baixa resistência elétrica con-struídas em arranjos espaciais específicos para a geração de campos magnéticos de geometriacomplexa. Em geral, o corpo levitante também é portador destes campos. Ao movimentar ocorpo nas proximadades das bobinas fixas, ocorrem interações de campo baseadas nas Leis deFaraday e Lenz, que produzem forças de repulsão, possíbilitando levitação [22] e, em algunscasos, movimento de translação.


Levitação por atração

A levitação por atração é a forma mais simples e menos dispendiosa, e consiste em manterum objeto passível de magnetização (ou seja, não precisa ser portador de campo) suspenso noar através da força magnética de atração gerada por um eletroímã, sem que existam interaçõesde campo complicadas. O equilíbrio entre as forças magnética e gravitacional nestes casos ébastante instável, o que só pode ser revertido a partir de técnicas de realimentação. Este é o tipode levitação utilizada neste trabalho.

Levitação Supercondutora

Além dos métodos de levitação magnética por atração e repulsão, nos últimos anos outrométodo vem sendo pesquisado em diferentes países, incluindo o Brasil, baseado no efeito Meiss-ner de exclusão do campo magnético do interior de supercondutores, Fig. 1.1, denominada Le-vitação Supercondutora - Superconducting Quantum Levitation (SQL). Não há registros de queesta solução tecnológica tenha sido implantada em escala maior [9].

Figura 1.1: Levitação supercondutora

Este fenômeno só pôde ser devidamente explorado a partir do final do século XX com oadvento de novos materiais magnéticos e pastilhas supercondutoras de alta temperatura crítica,que adquirem esta propriedade a temperaturas muito mais elevadas (resfriados com nitrogêniolíquido: −196OC) que os supercondutores convencionais (refrigerados com hélio −269OC)[9].Ao contrário dos outros métodos, supercondutores suspensos não necessitam de mecanismos decontrole; a contrapartida tecnológica está realmente concentrada no projeto e características domaterial.


1.1.2 Aplicações da Levitação Magnética

A levitação magnética encontra aplicação em diversos ramos da engenharia, especialmenteem situações nas quais se deseja eliminar vibrações e atrito mecânico [28].

Em 1968, os americanos James R. Powell e Gordon T. Danby, do Laboratório Nacionalde Brookhaven, patentearam a levitação magnética com o uso de bobinas supercondutoras paraproduzir campo magnético que levitasse os trens [9]. Em 1987 o francês Georg Bednorz e oalemão K.A.Muller produziram uma cerâmica supercondutora de eletricidade, misturando bário,lantânio, cobre e oxigênio [9]. Ao comprovarem a importância prática do fenômeno, esses cien-tistas abriram campo para diversas aplicações, como trens de alta velocidade e máquinas rotativas[21].

Trens de Alta Velocidade

Os trens de alta velocidade que utilizam levitação magnética, estão entre as mais sofisticadastecnologias da engenharia de transporte. Países como Alemanha, Japão e Estados Unidos têminvestido na solução como fonte de transporte rápido, confortável e ecologicamente correto [28].A Fig. 1.2 apresenta um trem de levitação magnética em funcionamento na Alemanha.

Figura 1.2: Trem de alta velocidade baseado em levitação magnética.

O conceito de trens de levitação magnética foi introduzido no século passado por dois norte-americanos, Robert Goddard e Emile Bachelet [22]. Atualmente a construção desses trens parao transporte público de grandes metrópoles é cada vez mais incentivada, principalmente devidoàs recentes atenções que se voltam ao problema da conscientização ambiental.

O trem da empresa Transrapid International S.A, o Transrapid, funciona com o princípio delevitação por atração magnética, que consiste no uso de forças atrativas entre os dispositivos, que


são controlados eletronicamente no veículo e na parte debaixo do trilho [9]. Para que o veículoflutue a uma distância média de 10mm do trilho, existe um sistema de controle que monitoraconstantemente o processo. A Fig.1.3 ilustra a configuração dos atuadores magnéticos dos trensTransrapid.

Figura 1.3: Configuração dos atuadores magnéticos dos trens Transrapid.

No modelo de trem japonês da empresa Japanese Railways, o MagLev, as bobinas de levi-tação são dispostas em uma configuração em “8” e instaladas na lateral dos corredores do trilho.Quando os ímãs supercondutores, fixos no trem, passam a alguns centímetros acima do centrodessas bobinas em velocidade alta, uma corrente elétrica é induzida dentro da bobina, agindotemporariamente como um eletroímã. O resultado disto será um equilíbrio de forças, para cimae para baixo, devido a configuração em “8”, ocasionando a levitação. A Fig.1.4 apresenta aconfiguração dos atuadores magnéticos dos trens Maglev.

Figura 1.4: Configuração dos atuadores magnéticos dos trens Maglev.


Rolamentos Magnéticos

Um rolamento magnético é um eixo de metal cercado por um invólucro que contém ímãs.O eixo é suspenso e gira no interior da caixa por forças magnéticas e, por causa destas, o eixonão tem contato com outras partes do equipamento o que reduz significativamente o atrito e osníveis de vibração. Além disso, não é necessária a lubrificação e os rolamentos podem suportartemperaturas elevadas.

Os rolamentos magnéticos podem ser baseados tanto em forças magnéticas de atração comode repulsão. Apesar desta tecnologia já estar bem desenvolvida, os rolamentos magnéticos sãorelativamente caros e complexos, além de serem utilizados em áreas muito específicas, comoamortecedores de vibração para eixos de transmissão para grandes hélices marítimas. As cen-trífugas utilizadas no processo de enriquecimento de urânio, desenvolvidas pelo programa nu-clear brasileiro, possuem este diferencial em relação à de outros países [28].

1.2 Sistema MAGLEV desenvolvido no Campus de Tucuruí -UFPA

O Sistema MAGLEV (do inglês Magnetic Levitation) estudado neste trabalho é um sistemado tipo suspensão por atração e tem por finalidade sustentar um pequeno cilindro através da forçade campo produzida por um eletroimã. Este equilíbrio é alcançado a partir da ação de duas forçasopostas que atuam sobre o corpo: a força peso e a de origem magnética[28, 20, 6]. A Fig. 1.5ilustra o funcionamento geral, bem como as principais partes constituintes do processo.

Figura 1.5: Visão geral do processo, definindo cada módulo de sua constituição.


Esse sistema é, do ponto de vista dinâmico, instável, o que requer que seja utilizado umesquema de realimentação para corrigir continuamente a intensidade de corrente no atuador, apartir da distância entre o cilindro e o núcleo do eletroímã.

Em 2006, foi desenvolvido um protótipo de laboratório para o processo MAGLEV no Cam-pus de Tucuruí, Univesidade Federal do Pará. O protótipo possui fins didáticos, visando prin-cipalmente disponibilizar um sistema real que sirva como base para estudos sobre o tema nocontexto do ensino de Engenharia de Controle. As principais diretrizes de construção foram in-spiradas por [8], onde foi construída uma planta similar com a finalidade de testar estratégias decontrole aplicadas a um processo TOKAMAK (processo que usa fusão termonuclear controladapor confinamento magnético de elementos leves em um reator). Outro importante ponto de par-tida foi [28], onde construiu-se um sistema semelhante, mas com finalidade didática. Cerca deum ano depois, o protótipo, ilustrado na Fig.1.6, foi finalizado com êxito [20].

Figura 1.6: Protótipo MAGLEV em funcionamento [6, 20, 21].

Vários pontos positivos foram alcançados com o desenvolvimento do trabalho, dentre osquais destacam-se: a consolidação de conhecimentos de modelagem, identificação e controlede sistemas adquiridos em sala de aula; o desenvolvimento do hábito de pesquisa; e o reforçode conhecimentos técnicos, relacionados à instrumentação. Apesar da característica robusta, obaixo custo e a simplicidade do experimento são sempre mencionados [6, 20]. Na intenção deaperfeiçoar o sistema, foi desenvolvida uma nova versão que foi denominada Bancada Didática

MAGLEV [21], devido ao aspecto do equipamento e seu número maior de recursos para usodidático .


1.2.1 A Bancada Didática MAGLEV

A Bancada Didática MAGLEV1 é um equipamento versátil, desenvolvido para ser utilizadoem ensino e pesquisa de Sistemas de Controle. A Fig.1.7 apresenta a Bancada. A versatilidadepode ser descrita pelas seguintes características: a utilização de um compensador analógico in-corporado ao equipamento; terminais que possibilitam o controle da planta através de circuitosexternos; possibilidade de alternar entre atuadores (eletroimãs) e terminais para medição dossinais do processo [21].

Figura 1.7: Bancada Didática MAGLEV

A bancada conta ainda com um circuito que permite, através de um microcontrolador PICe um software desenvolvido com o ambiente MATLAB, o controle do processo através de téc-nicas de controle digital. A principal contribuição deste trabalho consiste da concepção e testedo hardware capaz de desenvolver estas tarefas e que foi posteriormente incorporado ao equipa-mento.

A descrição de todas as características construtivas e funcionais da bancada é um assuntoextenso e é apresentado em [21]. Esta seção apresenta um resumo das principais característicasdo processo que foram utilizadas nas etapas de modelagem e desenvolvimento do sistema de

1Ou Bancada MAGLEV ou simplesmente Bancada


controle digital.

Eletroimã

O eletroimã é o elemento atuador do processo MAGLEV. É constituido por um núcleo dematerial ferromagnético e uma bobina. A bobina tem a função de gerar o campo magnéticoresponsável pela força de atração que age sobre o corpo, sendo que esta força é controlada pelacorrente que circula em seus enrolamentos. A finalidade do núcleo é concentrar as linhas decampo para obter um melhor aproveitamento do fluxo magnético [26]. A Fig.1.8 apresenta oeletroimã.

Figura 1.8: Atuador do Processo

Para enriquecer os experimentos com a bancada, foram construídos dois eletroimãs que po-dem ser facilmente posicionados na estrutura do equipamento. Eles diferem apenas em seusparâmetros elétricos (indutância e resistência) e proporcionam desafios ao usuário da bancada,uma vez que a mudança do atuador modifica consideravelmente a dinâmica da malha. Os re-sultados deste trabalho sobre modelagem e controle foram desenvolvidos apenas para uma dasbobinas.

Corpo levitante

O objetivo do sistema MAGLEV é manter levitando um corpo de determinada massa, atravésdo equilíbrio entre as forças peso e magnética. A bancada utiliza um cilindro oco de ferrite,fabricado a partir do mesmo material do núcleo, cuja massa é 23,8 gramas e as dimensões sãoapresentadas na Fig.1.9


Figura 1.9: Cilindro utilizado para levitação e dimensões

Sensor de posição

O sensor de posição é constituido por um LED emissor de luz infravermelho e um Foto-transistor. O conjunto é protegido por uma cobertura de plástico para evitar interferência da luzvisível. Esse elemento necessita de uma atenção especial, pois ele é responsável por fechar amalha de controle. A Fig.1.10 ilustra o funcionamento do sensor, onde a tensão de emissor éproporcional a posição do cílindro.

Figura 1.10: Ilustração do funcionamento do sensor

Módulos de controle

A bancada possui diversos circuitos independentes que permitem ao usuário testar diferentesestratégias de controle. Em [21], é mostrado o desenvolvimento de um controlador analógico PIDque foi incorporado ao equipamento, permitindo estudar o desempenho desta estratégias atravésda parametrização por meio de resistores e capacitores no painel da bancada. Também é possívelintroduzir um circuito externo (que pode ser analógico ou digital) através de terminais que foramadicionados com este propósito.


Este trabalho foi dedicado ao desenvolvimento de uma placa que posteriormente foi ado-tada como módulo de controle digital da Bancada. O processador é um microcontrolador PIC18F4520 que opera em 20 MHz e realiza as tarefas de conversão A/D-D/A e comunicação serial.Para auxiliá-lo, foram incorporados ao hadware circuitos que permitem condicionar os sinais aosníveis de tensão da bancada e realizar a conversão dos níveis lógicos de comunicação serial.

As idéias gerais do circuito desenvolvido foram adotadas como diretrizes que, após revisãoe alguns ajustes, serviram de concepção para o módulo de controle digital definitivo da bancada.

Módulo de acionamento de carga

Este circuito foi construído para realizar o acionamento do eletroímã, uma vez que o sinalde controle não possui potência suficiente para estabilizar o sistema. Trata-se de um módulo derelativa importância neste trabalho, porque a etapa de modelagem leva em consideração todas asvariáveis mensuráveis do sistema.

Figura 1.11: Medidas de posição e corrente

1.3 Sumário estruturado

Em linhas gerais, este trabalho consiste de duas partes importantes: modelagem do processoda bancada e desenvolvimento do sistema de controle digital. A monografia está organizada deacordo com a seguinte estrutura.


Capítulo 2: Modelagem matemática do sistema MAGLEV

Neste capítulo é apresentado o desenvolvimento de um modelo analítico para o sistemaMAGLEV baseado na física do processo. Neste desenvolvimento, buscou-se formas algébricaspara representar a força magnética, chegando-se a um modelo diferencial não-linear. Posterior-mente o modelo foi linearizado em um ponto de equilíbrio e foi feita uma breve análise da funçãode transferência do sistema. Dois experimentos com a bancada são descritos neste capítulo paraexplicar como os respectivos procedimentos podem ser utilizados para determinar as constantesda planta.

Capítulo 3: Projetos de controle

O Capítulo 3 apresenta as diversas etapas que permitiram implantar algoritmos discretos nabancada. Neste capítulo é apresentado o sistema de controle digital como um todo: o hardware,o programa utilizado no PIC e a interface desenvolvida em MATLAB para atualizar os parâme-tros do controlador. Também é apresentado um simulador baseado no modelo identificado noCapítulo 2, que permitiu estabelecer critérios quantitativos de desempenho.

Na segunda metade são discutidos aspectos teóricos que deram suporte ao projeto dos con-troladores discretos: as técnicas de LGR e aspectos sobre amostragem e discretização de sis-temas. O capítulo encerra com uma discussão mais detalhada sobre as duas estratégias adotadas:compensadores LEAD e PID.

Capítulo 4: Resultados

O Capítulo 4 mostra os resultados obtidos com a bancada a partir dos controladores proje-tados no Capítulo 3. As seções estão divididas conforme a estratégia adotada, LEAD ou PID, esão sempre apresentadas confrontando as curvas de simulação com os sinais medidos no sistemareal.

Capítulo 5: Conclusão

O Capítulo 5 faz uma avaliação geral do trabalho, apresentando a relevância do desenvolvi-mento e estudo do tema, as dificuldades enfrentadas e propostas para trabalhos futuros.

Capítulo 2

Modelagem matemática

Este capítulo é dedicado à modelagem matemática do sistema MAGLEV. A abordageminicial busca desenvolver um modelo analítico baseando-se nos princípios físicos envolvidos,descrito em termos de uma equação diferencial não-linear, que posteriormente é linearizada emtorno de um ponto de operação utilizando o método convencional de expansão em série de Taylortruncada no termo de primeira ordem.

Efetuou-se ainda a transformação para o domínio da frequência do modelo linear, basi-camente com dois objetivos: validar e compreender melhor o funcionamento do controladoranalógico já implantado na bancada e viabilizar o projeto de novos controladores, em particular,os de natureza discreta.

Uma etapa importante e anterior ao projeto de controladores foi a obtenção de parâmetrosdo sistema. Como o processo MAGLEV é instável em malha aberta, este é um procedimento rel-ativamente complicado. Neste capítulo também serão descritos os ensaios que foram realizadospara determinar os parâmetros dos modelos propostos: resposta em frequência, que consistiu emdeterminar uma curva de Bode do sistema e estático, que explora as características não-linearespara determinar os parâmetros da equação dinâmica principal.

2.1 Modelo matemático do sistema MAGLEV

O funcionamento do processo MAGLEV se baseia em estabelecer uma relação de equilíbrioentre o conjunto de forças que atua sobre o corpo levitante [28]. A Fig. 2.1 apresenta o diagramasimplificado de forças.

13

CAPÍTULO 2. MODELAGEM MATEMÁTICA 14

Figura 2.1: Diagrama de forças

É importante ressaltar que este é um modelo simplificado do processo. Neste trabalho sãodesprezados deslocamentos provocados por forças em outras direções (ou seja, o movimento éunidimensional). Para a obtenção de modelos mais elaborados, pode-se optar por abordagensmais completas, como dinâmica de corpo rígido [29], ou métodos de elementos finitos, paracorrelação com parâmetros eletromagnéticos [14]. Uma abordagem analítica profunda tambémpode ser utilizada, partindo-se de princípios eletromagnéticos avançados, como apresentado em[5].

É importante ressaltar também que a geometria do corpo levitante apresentada na Fig.2.1 éapenas ilustrativa, já que toda a análise é baseada em dinâmica de partícula [29]. Dessa forma, aposição x(t) em que se estabelece o equilíbrio entre as forças peso e magnética, é medida entreo centro de gravidade do corpo e a base do núcleo do eletroimã.

2.1.1 Equação dinâmica geral

Dado que o sistema está sob a influência do campo gravitacional terrestre, uma das forçasque atuam sobre o corpo é a força peso, a qual é proporcional a massa do cilindro, m, e aaceleração da gravidade, g. Outra força que age sobre o corpo é a força magnética de atraçãoF (x,I), gerada pelo campo magnético do eletroímã quando se faz passar uma corrente I(t)

através dos enrolamentos de sua bobina.Admite-se que a força peso é positiva na direção vertical em sentido ao centro da Terra,

convenção também válida para a posição do corpo em relação a base do eletroímã. Aplicandoa segunda lei de Newton ao diagrama de forças, obtêm-se a Eq.(2.1). A variável tempo t seráomitida nos próximos desenvolvimentos.

mx = mg − F (x,I) (2.1)


onde m é a massa do cilindro, x indica a segunda derivada da posição em relação ao tempo, g éa aceleração da gravidade e F (x,I) é a força de interação magnética entre o eletroimã e a massa,a qual é função da distância x e da intensidade de corrente I nos enrolamentos da bobina.

2.1.2 Força magnética

O modelo apresentado pela Eq.(2.1) é, de certa forma, genérico devido a função força mag-nética não ser especificada. Dessa forma, para a utilização desse modelo em aplicações, é neces-sário definir uma forma algébrica para expressar F (x,I). A escolha deve considerar os seguintesaspectos provenientes da observação experimental:

• ∂F/∂x < 0, pois a força decresce quando o corpo se afasta.

• ∂F/∂I > 0, pois a força cresce quando a corrente aumenta.

Com essa finalidade, algumas expressões têm sido utilizadas. Por exemplo, em [32], umtrabalho clássico sobre o tema, é proposta a Eq.(2.2), que foi uma das primeiras expressões deforça magnética propostas para protótipos MAGLEV como este. Posteriormente também foramapresentadas Eq.(2.3) [7] e Eq.(2.4) [31].

F (x,I) = kI2

x2(2.2)

F (x,I) = kI2e−x/λ (2.3)

F (x,I) = kI2

(x + µ)2(2.4)

As constantes k, λ e µ são características da interação magnética entre corpo e bobina.Estes parâmetros são, em geral, de difícil correlação com as grandezas que são possíveis demedir em laboratório: dimensões físicas do corpo levitante e da bobina, além das respectivascaracterísticas eletromagnéticas dos materiais e do meio. Portanto, estes parâmetros são, à priori,desconhecidos.

Neste trabalho, utiliza-se o modelo expresso pela Eq.(2.4). Essa formulação, além de sercoerente com as observações experimentais, também está de acordo com o fato da força magné-tica ser finita para distância zero (x = 0), o que não ocorre em (2.2). Assim, aplicando (2.4) em(2.1), tem-se:

mx = mg − kI2

(x + µ)2(2.5)


A Eq.(2.5) descreve a dinâmica de movimento do sistema MAGLEV, relacionando a posiçãox do corpo levitante com a corrente I aplicada na bobina do eletroimã.

2.1.3 Modelagem do sensor e amplificador de corrente

O protótipo MAGLEV utiliza um elemento sensor que converte a distância entre o corpolevitante e a base do eletroimã em tensão elétrica. Existem variados registros de protótipos queutilizam diferentes tipos de sensor, como efeito Hall, ultra-som, capacitivo, indutivo e sensoresbaseados em luz. Essa escolha está relacionada a disponibilidade de recursos e as característicasdo ambiente (campos magnéticos e nível de luz visível). Este trabalho utilizou um sensor deinfravermelho por sua simplicidade e baixo custo.

A relação entre a posição real do cilindro e a tensão produzida no resistor do circuito decontrole não é conhecida totalmente, basicamente porque os componentes escolhidos para osensor não são comumente utilizados em aplicações deste tipo e, portanto, não se dispunha deuma curva calibrada. Por razões de simplificação de modelagem, é feita a seguinte aproximaçãolinear:

x = ay + b (2.6)

Na Equação (2.6) x é a posição real do cilindro e y é a tensão de saída correspondente.Os números a e b são constantes que a priori são desconhecidas e de difícil determinação; osdeslocamentos em x necessários para fazer a correlação com a tensão seriam demasiadamentepequenos, o que exigiria um instrumento de alta precisão para deslocar o cilindro.

O acionamento da bobina é feito através de um amplificador de corrente, que é constitu-ido, basicamente, de um amplificador operacional e um transistor de potência. Esse circuito émodelado pela relação linear:

I = Gu (2.7)

onde G é a condutância do resistor de potência do circuito de amplificação, I é a corrente apli-cada nos enrrolanetos da bobina e u é a tensão elétrica medida sobre o resistor de potência.Vale ressaltar que essa tensão é o sinal de controle refletido no circuito de acionamento. Essaexpressão é bastante consistente, uma vez que foi verificado que o transistor trabalha em umaregião linear, operando pouco em saturação ou corte.

Aplicando (2.6) e (2.7) em (2.5), obtem-se a Equação (2.8) que representa a dinâmica do


sistema relacionando todas as grandezas mensuráveis.

ay = g − kG2u2

ma2(y + c)2(2.8)

c =b + µ

a(2.9)

É importante ressaltar que y e u representam tensões elétricas equivalentes a posição e cor-rente, respectivamente, e são medidos em Volts.

2.1.4 Equação de equilíbrio

A Eq.(2.8) exprime a relação dinâmica entre as grandezas mensuráveis do sistema MAG-LEV. O objetivo do processo é manter esta dinâmica em equilíbrio, isto é, deve existir um valorde posição y0 e um valor de corrente u0 correspondente tal que a dinâmica do processo sejaidenticamente nula para todo instane de tempo. Em termos matemáticos:

y = 0 ⇒ (y0 + c)2 =

(kG2

mga2

)u2

0 (2.10)

A Eq.(2.10) exprime a relação que deve existir entre os valores (constantes) dos sinais deposição e corrente para que o sistema MAGLEV permaneça em equilíbrio. Como será mostradoadiante, este equilíbrio é instável para quaisquer valores do par (y0,u0) que se escolha, sendonecessário um sistema de realimentação para realizar a levitação.

2.1.5 Linearização

O modelo expresso pela Equação (2.8) apresenta relações não-lineares entre as variáveisposição e corrente, tornando a análise do sistema bastante difícil. Embora muitos sistemas físi-cos apresentem relações não-lineares entre suas variáveis, é comum, em projetos de engenharia,considerar que as grandezas variem dentro de pequenas faixas de operação, de modo que é pos-sível fazer aproximações lineares nas equações diferenciais.

O processo de linearização consiste em desenvolver os termos não-lineares da Eq.(2.8) emsérie de Taylor em torno dos valores de equilíbrio (y0,u0) e truncá-la no termo linear [24].Dessa


forma, tem-se:

a∆y = η∆y − α∆u (2.11)

η =kG2u2

0

ma2(y0 + c)3(2.12)

α =2kG2u0

ma2(y0 + c)2(2.13)

Os valores de α e η, Eqs.(2.13) e (2.12), foram obtidos através das derivadas parciais dafunção força magnética, aplicando os valores do ponto de equilíbrio.

Na Eq.(2.11), ∆y = y − y0 e ∆u = u − u0. Equações diferenciais como (2.11) sãoconhecidas como modelos de pequenos sinais, onde se estuda a evolução temporal das variaçõesem torno do ponto de operação e não os sinais de forma absoluta. Neste caso, as funções ∆y e∆u podem assumir valores negativos, embora não seja permitido a y (a menor tensão produzidapelo sensor é 0 V) e u (inverter a corrente no imã não produz força de repulsão).

Além dos parâmetros físicos da planta, é importante notar que, por ser um modelo linea-rizado, para cada ponto de equilíbrio especificado, obtem-se um modelo linear diferente para osistema.

2.1.6 Função de transferência

Um dos objetivos deste trabalho é testar técnicas lineares de controle, como Lugar Ge-ométrico das Raízes [24], baseadas na representação por função de transferência (FT). Essa rep-resentação é utilizada para modelar o comportamento dinâmico de um par entrada-saída, ou seja,descrever como uma determinada entrada é “transferida” para a saída [4].

Por definição, a FT de um sistema é a transformada de Laplace de sua resposta ao impulso.Para sinais de entrada com espectro de frequência suficientemente amplo, uma estimativa da FTde um sistema pode ser obtida dividindo-se a transformada de Laplace da saída (sinal resposta)pela transformada de Laplace da entrada (sinal excitação) [23]. Dessa forma, aplicando a trans-formada de Laplace ao modelo linear (2.11):

as2∆Y (s) = η∆Y (s)− α∆U(s) (2.14)

e fazendo a razão entre posição e corrente, é possível determinar a função de transferência dosistema MAGLEV:

∆Y (s)

∆U(s)=

−α

as2 − η(2.15)


Na Eq. (2.15), α > 0, a > 0 e η > 0. Embora estes parâmetros não sejam conhecidos,existem alguns aspectos importantes a serem ressaltados da FT determinada.

Os pólos deste sistema localizam-se em±√

η/a. Como todas as grandezas no radicando sãopositivas, estes pólos são reais e certamente um deles estará no semi-plano direito. Isto implicadizer que o modelo é instável (conforme esperado).

O sinal negativo em (2.15) está relacionado ao fato do modelo ser de pequenos sinais, esignifica que um aumento na corrente produzirá uma diminuição na posição (o imã atrairá ocilindro para mais perto). Isto não quer dizer que existe, obrigatoriamente, defasagem de 180O

entre estes sinais.Este mesmo argumento sugere que a malha de controle do sistema MAGLEV seja projetada

com realimentação positiva o que implica na inversão do sinal de referência. Isto deve ocorrer,porque se a realimentação fosse negativa, a equação de malha seria:

1 + C(s)

( −α

as2 − η

)= 0 (2.16)

onde C(s) é um controlador hipotético. Em geral, esta não é a forma usual de analisar o desem-penho de malha fechada. Se a realimentação for positiva:

1− C(s)

( −α

as2 − η

)= 1 + C(s)

(α

as2 − η

)= 0 (2.17)

que é uma equação de malha mais adequada a utilizar as técnicas de controle propostas nestetrabalho.

Para concluir esta seção, é importante mencionar que a FT (2.15) não está no formatomônico. Embora isto não implique em nenhum agravante para etapas de projeto e análise, trazalgumas complicações para a etapa de identificação de parâmetros, como será discutido na próx-ima seção.

2.2 Caracterização do modelo MAGLEV

Na seção anterior a estrutura do modelo do processo foi estabelecida, mas foi ressaltado quea determinação de seus parâmetros não é um tarefa trivial. Nesta seção é proposta a realizaçãode dois ensaios, que têm por finalidade determinar as constantes que caracterizam o sistema. Sãoapresentados resultados para os modelos linear (2.11) e não-linear (2.8).

Devido a característica instável do sistema, torna-se complicada a determinação de um mo-


delo matematico antes da sintonia do controlador, embora em [5] tenha sido demonstrado queé possível, através de desenvolvimento analítico complexo, obter um modelo a partir de carac-terísticas eletromagnéticas da bobina e do corpo levitante. Por esta razão é necessário ajustar ocompensador por tentativas; no caso da bancada, foi utilizada a rede PID analógica projetada em[21]. Esse ajuste foi relativamente rápido porque os componentes foram construídos para queseus parâmetros fossem próximos daqueles utilizados no primeiro protótipo [20, 6], fornecendoestimativas iniciais para os ganhos.

Os experimentos descritos são provenientes da união das técnicas de dois tipos de ensaio:resposta em frequência [12] e estático [31]. A idéia básica é aplicar sinais de perturbação nos ter-minais de referência da malha e coletar as formas de onda de entrada (corrente) e saída (posição)da planta. A Fig.2.2 mostra a representação em blocos do sistema e a instrumentação montadapara dar suporte aos experimentos.

Figura 2.2: Diagrama de blocos do ensaio de resposta em frequência

Os filtros RC possuem frequências de corte de 270Hz com valores nominais 10kΩ e 370nF

e têm a função de diminuir o ruído de medição e Antialiasing [13].

2.2.1 Ensaio de resposta em frequência

O objetivo deste ensaio é determinar os parâmetros do modelo linear (2.11) e consiste emaplicar um sinal de referência senoidal de baixa amplitude em uma ampla faixa espectral paramedir o ganho G(jωi) em cada frequência ωi, construindo o diagrama de Bode de amplitude


(amostrado) do sistema. Para este fim, reescreve-se (2.15) como:

G(jωi) =α

aω2i − η

i = 1,2,3... (2.18)

onde i denota o número do ensaio.É importante ressaltar que G(jωi) assume apenas valores reais; por isso, é equivocado pen-

sar que existe inversão de fase entre os sinais de posição e corrente, devido o sinal negativo em(2.15). Isto é comprovado através da Figura 2.3, onde é apresentado um par de formas de ondaobtidos neste tipo de ensaio.

Figura 2.3: Medidas de posição e corrente

A instabilidade da planta e as não-linearidades contribuem para que os sinais, principal-mente de controle, apresentem distorções em relação a uma senóide pura. Para este sistema sãoesperados harmônicos de ordem par devido aos termos quadráticos do modelo.

Devido à presença das demais componentes de sinal, é recomendável que sejam estimadosespectros (via FFT1) [17] e o ganho seja medido somente na frequência ωi da perturbação:

G(jωi) ≈∣∣∣∣FFT yω=ωi

FFT uω=ωi

∣∣∣∣ (2.19)

1Fast Fourier Transform


O procedimento é trabalhoso e consome grande quantidade de tempo, uma vez que cadaensaio é feito em um único tom ωi. No total, foram feitos 26 ensaios variando a frequênciado sinal de perturbação entre 0,6 e 100 Hz. Perturbações com espectro mais amplo não foramutilizadas porque o hardware para geração deste tipo de sinal é um pouco mais exigente do queaquele desenvolvido para este trabalho. Neste tipo de experimento, cogita-se utilizar excitaçõesque não possuam variações abruptas de amplitude, como por exemplo, os sinais PRBS [25].

A Figura 2.4 apresenta a curva de resposta em frequência da planta, construida com osdados obtidos pelos ensaios. Por questões de simplicidade o gráfico não foi colocado em escalalogarítmica.

Figura 2.4: Curva de resposta em frequência do sistema

Em [12] é sugerido que a função G(jωi) seja colocada em formato mônico e que seja apli-cada a regressão linear:

ω2i G(jωi) =

(α

a

)−

(η

a

)G(jωi) = β1 + β2ω

2i (2.20)


de modo que β1 e β2 sejam determinados através de ajuste de curva por mínimos quadrados.O método de mínimos quadrados é uma técnica clássica de otimização que pode ser aplicada

ao problema de identificação de um vetor θ que melhor explique uma função escalar, da variávelindependente vetorial x e linear nos parâmetros: f(x) = ψ(x)Tθ[16], onde ψ(x) é denominadovetor de regressores. A partir de uma série de aplicações desta função:

f(x1)

f(x2)...

f(xn)

=

ψ1(x1) ψ2(x1) · · · ψm(x1)

ψ1(x2) ψ2(x2) · · · ψm(x2)...

......

...ψ1(xn) ψ2(xn) · · · ψm(xn)

θ1

...θm

(2.21)

que pode ser reescrito na forma matricial:

F = Ψθ (2.22)

É possível mostrar que o vetor de parâmetros θ capaz de fornecer o menor valor da somados quadrados dos erros cometidos ao se ajustar a função f é:

θ = [ΨTΨ]−1ΨTF (2.23)

O toolbox de ajuste de curvas, Curve Fit, do MATLAB permite utilizar o estimador demínimos quadrados de forma rápida e eficiente, e por isso foi utilizado para determinar a curvaótima para os dados obtidos com os ensaios. A Figura 2.5 apresenta a curva de interpolaçãodeterminada, onde β1 = 5.12× 104 e β2 = 1119, de modo que:

G(s) =−5.12× 104

s2 − 1119(2.24)

É muito importante ressaltar que o ajuste da curva de RF deve ser feito com a função detransferência no formato mônico; do contrário, o estimador do MATLAB propõe uma funçãoque não é única, de modo que os parâmetros determinados tornam-se bastante incertos.


Figura 2.5: Curva de RF ótima

2.2.2 Ensaio estático

Este ensaio tem por objetivo a determinação dos parâmetros do modelo não-linear (2.8). Oprocedimento consiste em manter o corpo levitante em duas posições de equilíbrio distintas. Issoé possível aplicando uma perturbação do tipo onda quadrada no sinal de referência. A amplitudee a frequência do sinal de perturbação devem ser baixas para não instabilizar a malha.

O ensaio foi realizado utilizando perturbações de amplitude entre 1 e 2 Volts e frequênciade aproximadamente 1 Hz. Cada estado da onda quadrada é caracterizado por um par de valoresde equilíbrio de posição e corrente, sendo que cada ensaio permite colher dois destes pares. AFigura 2.6 ilustra as formas de onda obtidas com a Bancada MAGLEV.

É importante observar que curvas com a da Figura 2.6 não representam o corpo completa-mente em repouso, devido à presença de ruído e perturbações do meio. Neste caso, os valores deequilíbrio devem ser obtidos através da média da forma de onda em um intervalo onde se possaconsiderar regime permanente.

Em [31], é sugerido que dois pares (yi,ui) e (yj,uj) (onde os índices i e j servem para iden-tificar uma posição de equilíbrio arbitrária) sejam utilizados para resolver um sistema algébrico


Figura 2.6: Par de curvas

de duas equações para os parâmetros:

(yi + c)2

u2i

=(yj + c)2

u2j

=

(kG2

mga2

)(2.25)

cujas soluções são:

c =yjui − yiuj

uj − ui(kG2

mga2

)=

(yi − yj

ui − uj

)2

É importante ressaltar que o sistema algébrico (2.25) possui um segundo par de soluções,mas esses valores se mostraram incoerentes com as observações experimentais.

Uma maneira alternativa de determinar os parâmetros, é reescrever a equação de equilíbrio


(2.10) com o objetivo de explorar sua forma linear em yi e ui:

yi =

(kG2

mga2

)1/2

ui − c (2.26)

Assim, realizando diversos ensaios, com diferentes valores de amplitude da onda quadrada,de modo a obter um maior número de pares (yi,ui), é possível obter os parâmetros desejadoscom um procedimento de ajuste de curva através de mínimos quadrados. Utilizando esta idéia,encontrou-se:

kG2

mga2= 9382 (2.27)

c = 137 (2.28)

A Fig. 2.7 ilustra os pares (yi,ui) utilizados para chegar a este resultado.Mesmo determinando estas constantes, o modelo não-linear (2.8) ainda está incompleto, em

razão do ganho do sensor, a. Especula-se que este parâmetro não possa ser estimado por nenhumensaio de malha fechada, a menos que seja feito um experimento de calibração em malha aberta.

Figura 2.7: Curva ajustada para os pontos do ensaio estático

Uma tentativa de contornar a situação é explorar os resultados obtidos pelos dois experimen-tos. Como as constantes β1 e β2 foram determinadas pelo ensaio de RF, estes parâmetros podemser utilizados para fazer um cálculo aproximado de a, a partir das expressões determinadas ana-


liticamente para a função de transferência, Eq.(2.15):

a ≈ β1/α =β1(y0 + c)2

(kG2/mga2)u0

= 4,08× 10−5 (2.29)

a ≈ β2/η =β2(y0 + c)3

(kG2/mga2)u20

= 6,01× 10−5 (2.30)

onde y0 e u0 são tomados como o valor DC das formas de onda aproximadamente senoidais doensaio de RF. Os resultados diferentes obtidos com (2.29) e (2.30) eram esperados, uma vez queo modelo linear é apenas uma aproximação e as constantes β1 e β2 não sejam, de fato, parâmetrosdo sistema real. Contudo, percebe-se que a faixa de incerteza é pequena e é possível que nãorepresente um grande problema. Os parâmetros distintos podem também ser utilizados comoincertezas em projetos avançados de controle que levam em consideração estas informações.

Para caracterizar de forma definitiva o modelo não-linear, o valor de a adotado é a médiaentre os valores incertos. Então, a equação diferencial do processo é:

5× 10−5y = 9,8− 9382u2

(y + 137)2(2.31)

2.3 Modelo em Simulink

O modelo identificado na Seção 2.2.2 é uma importante etapa da pesquisa em levitaçãomagnética no Campus de Tucuruí. Após um período de aproximadamente 3 anos de trabalho, foifinalmente possível estabelecer um procedimento e obter uma equação diferencial que permitedescrever o comportamento dinâmico de um sistema MAGLEV construído em laboratório.

A partir deste modelo, um simulador foi desenvolvido no ambiente SIMULINK-MATLAB.O objetivo do programa é disponibilizar um meio de testar estratégias de controle candidatas aimplementação na bancada. O uso de simulação fornece ao projetista uma idéia preliminar sobrecomo a ação de controle irá se comportar, permitindo verificar a viabilidade de implantação doprojeto, fazer pequenos ajustes, planejar ensaios, dentre outras possibilidades.

Na simulação, o processo MAGLEV é representado pelo sistema “PLANTA NÃO_LINEAR”da Fig.2.8. No interior do bloco está implementada a equação diferencial (2.31) através defunções mais elementares do SIMULINK, Fig.2.9. O diagrama foi desenhado para que seassemelhe ao máximo a todas as etapas do processo da bancada, incluindo os condicionadoresde sinal que removem os off-sets (somadores, na simulação) e o gerador de perturbação.

Para a simulação, o ponto de operação calculado através do modelo não-linear identificado


é (y0; u0) = (7,23V ; 9,5V ).

Figura 2.8: Modelo em SIMULIK do sistema em malha fechada

Figura 2.9: Implementação da equação não-linear

Os resultados das simulações são muito semelhantes ao que se observa no osciloscópioligado à bancada. As principais razões pelas quais são observadas diferenças entre o processoreal e a simulação são: a presença de ruído (não foi modelado) e a incerteza nos parâmetros, emespecial o valor do ganho do sensor, a, que foi arbitrado como a média entre os possíveis valoresestipulados na seção 2.2.2.

Neste trabalho, o simulador foi utilizado com dois propósitos: validar o modelo obtido,confrontando-o com a versão simulada do controlador da bancada; e testar controladores digitais,projetados com base no modelo validado e algoritmos de realimentação estudados de formaindependente. Outra importância considerável do simulador é que este auxilia na especificação


de aspectos quantitativos de projetos. Em linhas gerais, a metodologia utilizada neste trabalho é aseguinte: define-se o algoritmo de controle; projeta-se um controlador preliminar e testa-se o seudesempenho em simulação; os parâmetros do controlador são variados, seguindo ou não algumcritério; verifica-se o que é possível obter em termos de desempenho transitório e/ou regimepermanente; as especificações de desempenho são feitas a partir destas observações e o projeto éimplantado na bancada.

2.4 Validação e ajuste do modelo

Para verificar a consistência do modelo descrito na seção anterior foram feitas comparaçõesdas curvas simuladas com as formas de onda provenientes da bancada. Em muitas situaçõesforam percebidas consideráveis discrepâncias entre o sinal do sensor gerado pelo simulador e oobservado no sistema real, principalmente com relação aos valores de regime permanente.

Por outro lado, durante uma etapa preliminar de testes de controladores digitais, em particu-lar a implementação de estratégias LEAD2, verificou-se novamente que o modelo parecia possuiralgum tipo de inconsistência, pois os valores de off-set de corrente necessários para estabilizaçãoeram bastante superiores ao que era calculado.

Após revisar o funcionamento de todos os módulos do processo, verificou-se que haviauma etapa de ganho não modelada. Durante os ensaios de RF e estático, o sinal consideradocomo entrada do sistema MAGLEV fora coletado diretamente do resistor de potência do módulode acionamento. Na prática, o sinal que o controlador gera passa por um circuito de somaponderada, o que ocasiona uma redução antes de alcançar o ponto onde foi medida a tensãodo ensaio.

Então, sabendo que o problema do simulador era, de fato, um ganho no sinal de entrada,decidiu-se incluir o bloco no local adequado e ajustar o valor experimentalmente. O procedi-mento consistiu de alterar o valor do ganho em questão até que o valor de regime permanentedo sensor na simulação fosse aproximadamente o mesmo do observado na planta. Estes testesforam conduzidos com um controlador LEAD digital (projetado com o modelo identificado, mascom sintonia fina por tentativa) estabilizando a malha.

Após realizar estes ajustes, o modelo não-linear final é:

5× 10−5y = 9,8− 9382(0,3669u)2

(y + 137)2(2.32)

2Controlador de Avanço de Fase


Para a posição de equilíbrio y0 = 7V , o valor de corrente de equilíbrio correspondente éu0 = 12,68V , que é um valor muito próximo do que se obtinha após dos compensadores LEADdigitais projetados com o modelo anterior. A função de transferência também foi recalculada,que para os novos parâmetros resulta em:

∆Y (s)

∆U(s)=

−30892

s2 − 2720,2(2.33)

Novos ensaios foram realizados e foi constatado que as correções no modelo são válidas,conforme será visto no Capítulo 4.

2.5 Conclusão

Este capítulo apresentou a análise e identificação do processo MAGLEV, sob o enfoquebásico da teoria de sistemas dinâmicos vista no curso de graduação. Inicialmente, o modelo sim-plificado de movimento em uma dimensão foi deduzido a partir da lei de Newton, considerandouma expressão razoavelmente empírica para a força magnética. Em seguida, as equações demovimento foram linearizadas para compreender alguns aspectos do sistema e ressaltar outrosrelativos ao projeto de controle, como a necessidade de realimentar positivamente a malha.

Também foi apresentado um procedimento que permite determinar as constantes caracterís-ticas da equação diferencial que rege o processo. O procedimento consiste de dois ensaios:um deles objetiva determinar a função de transferência aplicando perturbações senoidais paramedir o ganho em cada frequência individualmente. O outro utiliza um sinal de perturbação dotipo onda quadrada, com baixa frequência e amplitude, que permite determinar os valores deposição e corrente em pontos de equilíbrio distintos, possibilitando a determinação de constantesdo modelo não-linear. Os resultados dos dois ensaios são, então, combinados para determinar aconstante do sensor do processo, fornecendo uma descrição razoavelmente completa do sistemaMAGLEV.

É importante ressaltar que os ensaios estático e de RF só foram possíveis porque existe umcontrolador previamente implantado que garante estabilidade e robustez ao sistema. O ajustedeste primeiro compensador é sempre uma tarefa árdua, porque é feito sem que se conheça osparâmetros da planta (portanto, por tentativa). O conhecimento de um modelo como o deter-minado neste capítulo permite, não apenas desenvolver projetos mais elaborados para o mesmoprocesso, mas também avaliar métodos que possibilitem a compreensão da força magnética semque seja necessário ajustar um sistema de controle prévio para determinar o modelo dinâmico.


Durante testes preliminares da implantação de controladores digitais, que serão discutidosem definitivo no Capítulo 3, foi observado que o modelo simulado apresentava algumas incon-sistências expressivas, principalmente com relação a valores de regime permanente. Após re-visar o funcionamento do processo, percebeu-se que havia um ganho não modelado devido aum equívoco sobre o ponto onde foi coletado o sinal de entrada nos ensaios de identificaçãoe o terminal real onde o controlador atua. Após um procedimento experimental, o ganho foideterminado e o modelo reajustado.

Capítulo 3

Projetos de Controle

Neste Capítulo são desenvolvidas algumas estratégias de controle digital sobre a BancadaMAGLEV, sendo que para implementar essas estratégias é desenvolvido um sistema de controledigital que engloba elementos de hardware e software.

Os controladores desenvolvidos são do tipo LEAD e PID, e são projetados em sua maioriapor emulação de controladores contínuos desenvolvidos a partir do método do Lugar das Raízes,com axílio do MATLAB. São realizadas simulações para testes de desempenho utilizando osimulador do Capítulo 2.

3.1 Hardware de controle

O hardware desenvolvido, é uma placa de circuito impresso, que realiza diversas operaçãesnecessárias para a implementação do controle digital: conversão analógico-digital (A/D), con-versão digital-analógico (D/A), condicionamento de sinal e comunicação serial (rs232).

Como unidade de processamento da placa, foi utilizado um microcontrolador da familiaPIC, modelo PIC18F4520 [1], cuja pinagem é apresentada na Fig.3.1.

O microcontrolador foi configurado para trabalhar com um cristal oscilador externo de 20MHz, taxa de transmissão serial 57600 bps (8 bits de dados, 1 bit de parada, sem paridade). Éimportante ressaltar que estas características permite a implantação de rotinas de controle digitale aquisição de dados. Os resultados do trabalho permitiram concluir que seria mais adequadotrabalhar com um processador mais rápido.

32

CAPÍTULO 3. PROJETOS DE CONTROLE 33

Figura 3.1: Pinagem do microcontrolador PIC18F4520.

Conversor A/D

Na placa existem dois canais A/D, que são utilizados para digitalizar os sinais de posição,proveniente do sensor, e de corrente (tensão sobre o resistor de potência). A conversão A/Dpossui resolução de 10 bits; os sinais de entrada devem variar entre 0 e 5V, resultando em umaprecisão de 0,0049 V. A taxa de amostragem é ajustada em software por um contador interno domicrocontrolador[1], que está ajustada em aproximadamente 1,2 ms.

Conversor D/A

Para a conversão D/A, é utilizado o circuito integrado (CI) MCP4921 [19]. Esse dispositivoé um conversor D/A de 12 bits, que utiliza comunicação serial em 16 bits do tipo SPI1, quepode ser gerada facilmente em software a partir de rotinas integradas entre o compilador C e omicrocontrlador. O conversor D/A é responsável por receber o sinal de controle, e transformá-loem um valor de tensão entre 0 e 5V, mantendo-o constante entre os intervalos de amostragem, oque o faz funcionar como um segurador de ordem zero[13].

1Serial Peripheral Interface


Condicionamento de sinal

O sinal de posição no MAGLEV da Bancada, varia na faixa de 0 a 19 V. Dessa forma, énecessário reduzir sua amplitude para os valores de tensão adequados ao conversor A/D do mi-crocontrolador. Em situação oposta, o sinal na saída do conversor D/A deve ser amplificado paraos níveis de 0 a 19,5 V, que é a faixa de operação do circuito de acionamento da Bancada. Pararealizar essas operações, foram desenvolvidos circuitos de condicionamento com amplificadoresoperacionais em arranjos do tipo buffer, comparador e amplificador não-inversor, como ilustra aFig. 3.2.

Figura 3.2: Circuito de condicionamento de sinal.

Nestes circuitos são utilizados CIs TL084[30] que possuem 4 amplificadores operacionais,o que resultou em uma significativa redução das dimensões da placa. Os potênciometros (RV1,RV2 e RV3) são utilizados para facilitar os ajustes das operações de condicionamento, que sãofeitos de forma experimental com o auxílio do osciloscópio.

Gravação ISP do microcontrolador

Durante testes iniciais para implementação do controle digital, a operação de gravação domicrocontrolador era realizada diretamente em um gravador EEPROM, modelo PIKPROG2[10],


disponível na faculdade. Entretanto, a retirada e devolução do microcontrolador ao circuito deaplicação é bastante trabalhosa e, provavelmente, ocasionou danos em alguns destes dispositivos.Por estes motivos, a placa foi desenvolvida com um esquema de chavemanto que possibilita agravação do microcontrolador sem a necessidade de removê-lo. Este procedimento de gravaçãoISP2[10].

O esquema funciona de maneira relativamente simples. O gravador dispõe de um conectorespecial para esse tipo de operação (conector ISP, Figura 3.3), mas para que seja bem sucedido,é preciso que as ligações do circuito de aplicação do PIC estejam isoladas das conexões com ogravador.

Figura 3.3: Esquema de gravação ISP do microcontrolador.

Uma forma de realizar o isolamento é utilizar um relé que faça a comutação, no momentoadequado, entre as ligações do circuito e do gravador: VDD, VSS, VPP/MCLR, PGD e PGC3.No circuito de aplicação, os pinos PGD e PGC não estão sendo utilizados, de modo que não foinecessário fazer comutação e as ligações do gravador são feitas diretamente. Para o pino de terra(VSS), é suficiente que seja ligado à trilha de terra da placa. Portanto, o relé, ao comando de gra-vação do usuário, deve trocar a alimentação de 5 V para a alimentação proveniente do gravador(GRAV-VDD); o mesmo é feito entre o circuito de reset (RESET, na Figura 3.3) e o terminalVPP do gravador (indicado como GRAV-MCLR). Este último é o terminal mais importante do

2In System Programming3Nomenclatura do lado do microcontrolador


procedimento, porque é através de um aumento de tensão (para aproximadamente 10 V) que aoperação de gravação se torna possível.

Comunicação serial

A comunicação serial é utilizada para a troca de dados entre dispositivos microprocessados,e foi utilizada neste trabalho pois é o tipo de comunicação realizada pelo microcontrolador,embora exista proposta de migração para a comunicação USB, o que necessitaria de um modelode microcontrolador diferente. Além da simplicidade de configuração da comunicação serial, queé realizada via software por rotinas internas do microcontrolador, a implementação do circuitonecessário para o tráfego das informações é bastante compacta, conforme apresentado na Fig.3.4.O único circuito integrado necessário é o componente MAX232 [18], que converte o nivel detensão TTL (0 a 5V) para o nível utilizado pelo PC (±12V), em conjunto com alguns capacitores.Para a conexão do cabo que liga a placa ao PC é utilizado um conector DB9.

Figura 3.4: Esquema para comunicação serial.

Para auxíliar o desenvolvimento da placa, foi utilizada a ferramenta Proteus, que é um pro-grama que permite a simulação de circuitos elétricos e desenvolvimento de layouts de circuitoimpresso.

A partir do projeto em software, a construção física da placa foi realizada utilizando-se a téc-nica de transferência térmica e corrosão com Percloreto de Ferro. O resultado final pode ser visto


na Fig.3.5. Após concluída, diversos testes foram realizados para comprovar as funcionalidadesda placa. Após esta etapa e alguns ajustes, uma versão definitiva foi desenvolvida e incorporadaa Bancada MAGLEV.

Figura 3.5: Placa de aquisição de dados.

3.2 Código do microcontrolador

Como mencionado anteriormente, o microcontrolador é o núcleo de processamento do sis-tema de controle digital da Bancada. Para que opere da forma desejada, foi necessário desen-volver um programa que realizasse todas as tarefas necessárias para o controle da planta. Oprograma foi desenvolvido em linguagem C, através do compilador CCS/PCW[27].

O programa é dividido em trê partes distintas: configurações do hardware (porta serial,conversor A/D, temporização, etc.), laço principal e interrupções.

As configurações do hardware dizem respeito aos mecanismos que o PIC utiliza para execu-tar tarefas que são necessárias para controlar a planta ou permitir a interação do usuário (alteraçãode ganhos, aquisição de dados, etc). A descrição de todas as configurações é um processo longo eserá omitido do texto; ressalta-se, entretanto, que o código está bastante comentado e as funçõesdo compilador são auto-interpretativas, de modo que não é uma tarefa muito árdua compreendero processo de configuração do hardware a partir do próprio programa.

O laço principal do programa é uma estrutura de repetição while cuja condição de paradaé sempre falsa, ou seja, é um loop infinito. O laço em si não realiza tarefa nenhuma, uma vez


que as funções reais do programa são executadas dentro das rotinas de interrupção. Isso tambémconfere um certo grau de otimização, uma vez que só são realizadas tarefas que são requisitadas,economizando processamento.

O programa foi estruturado utilizando as rotinas de interrupção do microcontrolador [1]. Asinterrupções são ações controladas por eventos (flags) que podem ser executadas em qualquerinstante, independentemente do andamento normal do programa. Ao todo, foram desenvolvidasduas rotinas de interrupção: uma de temporização (flag é disparado quando o contador TMR0[1]estoura) e outra de recepção serial (flag é disparado quando é detectada a existência de um dadona porta serial).

A interrupção de estouro de timer ocorre quando o contador interno de 8 bits do microcon-trolador (TMR0) estoura. O tempo entre cada estouro pode ser ajustado em software, de modoque é possível obter bases de tempo relativamente precisas. Por esta razão, esta interrupção éutilizada para gerar o período de amostragem. O programa está configurado para fornecer umainterrupção deste tipo a cada 1,0 ms. Quando a interrupção ocorre, o processador deve executaras seguintes tarefas:

1. Conversão A/D (leitura do valor real da tensão no sensor);

2. Cálculo do sinal de erro (remove o off-set e soma o sinal de referência);

3. Cálculo do sinal de controle, através de uma equação de diferenças de segunda ordemgenérica;

4. Atraso nas amostras do sinal de erro e controle para posterior uso

5. Transformação do sinal de controle calculado em um dado de 16 bits, dois bytes distintos

6. Habilitação do conversor D/A

7. Envio do sinal de controle para o conversor D/A através de sinal serial SPI;

8. Envio de um comando para o conversor D/A para liberar o sinal de controle

Antes de descrever a idéia geral da interrupção de recepção serial, é importante comentarsobre a principal estrutura de dados do programa. Todas as informações relativas ao controleda planta estão armazenadas em um vetor de parâmetros, denominado p no código. Estas in-formações podem ser acessadas (e algumas alteradas), simplesmente acessando um determinadoelemento do vetor. Por exemplo, os coeficientes da equação de diferenças de segunda ordem que


implementa o controlador são acessados pelos cinco primeiros elementos do vetor, ou seja: p[0],p[1], p[2], p[3] e p[4]; já os off-sets de posição e corrente são armazenados em p[5] e p[6].

Assim, alterando as componentes deste vetor, é possível modificar os parâmetros do algo-ritmo de controle. Essas modificações são realizadas através da interrupção de recepção serial,que ocorre quando chega um dado na porta serial. Para que isto seja feito com sucesso, é neces-sário que o PC envie as informações de acordo com um protocolo pré-estabelecido.

O protocolo consiste das duas seguintes situações:

• Para ler um parâmetro do vetor, o programa no PC deve enviar a sequência de car-acteres pX onde X é um número entre 0 e 7. Ao receber esta informação, o PIC estáprogramado para ler o parâmetro correspondente ao solicitado e enviar imediatamente ovalor que consta no vetor pela porta serial.

• Para alterar um parâmetro do vetor, o programa no PC deve enviar duas informaçõesem dois momentos distintos. Primeiro, deve transmitir a sequência de caracteres pX , talcomo se fosse ler o parâmetro. Neste momento, o PIC altera uma variável interna, quefunciona como um apontador para o parâmetro que se deseja alterar, ao mesmo tempo quetransmite de volta para o PC o valor atual do parâmetro. Em seguida, o PC deve transmitiro novo valor desejado (em ponto flutuante, não podendo ser precedido por nenhum caracteralfabético); desta forma, o microcontrolador entenderá que a informação recebida é o novovalor e alterará o elemento correspondente no vetor.

É importante ressaltar que o PC, ao enviar qualquer informação, deve garantir que o últimocaracter transmitido seja o caracter de retorno de carro, do contrário, a função de leitura domicrocontrolador não conseguirá encerrar e o programa ficará em loop infinito.

Para concluir esta explicação, é considerado um exemplo. Supondo que se deseje alteraro off-set de posição para 7,23V, é necessário enviar pela porta serial a sequência de dados, p5

e 7,23. A parte alfanumérica do primeiro dado indica que ele é a solicitação de alteração novetor p do programa, enquanto que segundo dado, numérico, informa o elemento a ser alterado,neste caso, o sexto elemento do vetor de parâmetros, p[5], que, de acordo com as convenções doprograma, é o off-set de posição. Após essa etapa, o segundo dado é automaticamente inseridono vetor e enviado pela serial para confirmar a alteração.


3.3 Interface de controle

Anteriormente ao desenvolvimento do hardware de controle, foram testadas várias propostasde implementação do algoritmo de controle do MAGLEV, como por exemplo, embarcado nomicrocontrolador. Essa idéia se mostrou favorável, pois não seria necessária a utilização deum PC; por outro lado, torna o sistema pouco interativo, pois a alteração dos parâmetros docontrolador teriam que ser feita via gravação ISP. Essas alterações, em etapas de projeto, sãofeitas repetidamente e acabam consumindo grande quantidade de tempo.

Outra idéia consistiu em desenvolver todo o algoritmo de controle em uma interface e utilizaro microcontrolador apenas para aquisição de dados e acionamento. Com esse objetivo, foram cri-ados diversos programas na linguagem gráfica LABVIEW [3]. A versatilidade e interatividadedessas interfaces, mostravam que essa idéia era uma solução satisfatória. Contudo, houve diver-sos problemas com a comunicação serial e sincronização do PC com o microcontrolador, o quelevou ao abandono desta solução.

As duas situações descritas acima motivaram uma nova idéia, que pode ser vista como inter-mediária entre as duas primeiras tentativas. Ela consiste em realizar o algoritmo de controle nomicrocontrolador, mas alterar os parâmetros via software, o que evitaria gravações repetitivas aomesmo tempo que mantém o sistema interativo com o usuário. Com esse objetivo, foi utilizadoo MATLAB, que se mostrou uma boa plataforma para comunicar o PC com o microcontrolador.

Inicialmente, o envio e recepção de informações pela porta serial foi feito diretamente emlinhas de código no workspace. Posteriormente, foi desenvolvida uma interface utilizando a fer-ramenta GUIDE, do MATLAB. Essa ferramenta, possui um ambiente de desenvolvimento bas-tante interativo, semelhante ao ambiente Visual Basic, onde o painel de interação com o usuário émontado com controles visuais pré-definidos e a lógica é desenvolvida em um script M-FILE[2].O funcionamento do programa é estruturado de forma semi-automática, através de funções de-nominadas callback. A Fig.3.6 apresenta a interface desenvolvida, onde é apresentada ao usuárioa mesma equação de diferenças geral implementada no microcontrolador, mas com os ganhospassíveis de alteração.

A utilização da interface é relativamente simples. Para acessá-la, é necessário executar o M-FILE correspondente, “Interface.m”. Com o programa aberto, deve-se clicar no botão “Conec-

tar” para que a porta serial seja inicializada e configurada. Supondo que o usuário queira atu-alizar o valor do off-set de posição para 7,23V, ele deve marcar o controle RadioButton ao ladoda caixa contendo o valor do parâmetro, como ilustrado na Fig.3.6. Após a escolha, basta clicarno botão“Atualizar”; nesse momento, são enviados ao microcontrolador, pela porta serial, doisdados em sequência conforme explicado na Seção 3.1. A leitura, segue o mesmo padrão.


Figura 3.6: Interface de controle do sistema MAGLEV.

3.4 Lugar Geométrico das Raízes (LGR)

O método do Lugar Geométrico das Raízes tem por objetivo representar graficamente odeslocamento dos pólos de malha fechada de um sistema linear quando sujeito a variação de umou mais parâmetros (geralmente o ganho de malha) [24].

Considerando um sistema linear geral, cuja função de transferência de malha aberta é repre-sentada por:

G(s) =KN(s)

D(s)=

K (sm + am−1sm−1 + · · ·+ a0)

sn + bn−1sn−1 + · · ·+ b0

(3.1)

onde N(s) e D(s) são polinômios finitos na variável complexa s e K é o ganho de malha aberta.A equação caracteristica de malha fechada, considerando realimentação negativa e unitária, éexpressa por:

D(s) + KN(s) = 0 (3.2)

Os pólos de malha fechada são as raízes da Eq.(3.2). Em geral, a localização destas raízesno plano s muda, quando o ganho de malha aberta K é variado. O deslocamento dessas raízesgera uma figura no plano s, que é chamada Lugar Geométrico das Raízes [23].


3.4.1 Projeto de Controle pelo LGR

Como a localização dos pólos de malha fechada são responssáveis pelas característicasdinâmicas e a estabilidade do sistema, o método do LGR se apresenta como uma ferramentaeficiente para o desenvolvimento de projetos de controle, pois permite ao projetista ter uma visãode diversos comportamentos possíveis do sistema, através do deslocamento dos pólos de malhafechada sobre o plano s.

A forma mais simples de projeto, consiste em escolher um valor de ganho K que desloquedos pólos de malha fechada sobre o gráfico do LGR, para uma posição que proporcione umdesempenho de malha fechada satisfatório. Este tipo de controlador é denominado Proporcional

[23].Quando não for possível satisfazer às especificações de projeto apenas variando o ganho K,

outras formas de controle podem ser utilizadas para deformar o LGR de maneira que figura pos-sua um de seus ramos posicionados na região desejada no plano s. Essas estratégias se baseiamna adição de pólos e zeros à malha. Exemplos de controladores com essas características são:LEAD, LAG, PI, PD e PID [24].

Neste trabalho são desenvolvidos os controladores LEAD e PID, para o sistema MAGLEV,utilizando o método do LGR. Todas as simulações e ajustes dos controladores foram realizadosutilizando-se o toolbox rltool, do MATLAB [2].

3.4.2 LGR do Sistema MAGLEV

No Capítulo 2 foi desenvolvida de forma analítica a função de transferência representativado sistema MAGLEV, enquanto que a determinação de seus parâmetros foi feita através dosensaios da Seção 2.4. O resultado foi a função de transferência (2.33), que pode ser expressa emsua forma fatorada:

G(s) =−30892

(s− 52,1555)(s + 52,1555)(3.3)

O sistema possui dois pólos reais e simétricos em relação ao eixo imaginário. O pólo+55,1555, por estar localizado no semiplano direito, é responssável pela instabilidade caracterís-tica do sistema em malha aberta. O LGR da função de transferência (3.3), com realimentaçãopositiva e ganho de malha variando de zero a infinito, é mostrado na Fig. 3.7.

O LGR revela que o sistema não pode ser estabilizado apenas por controle proporcional,além de ser necessário utilizar realimentação positiva, como ressaltado na Seção 2.1.6. Devemser utilizadas estratégias, como mencionado anteriormente, que deformem a figura, de maneiraque exista pelo menos um ramo onde todos os pólos se localizem no semiplano esquerdo. Com


esse objetivo, foram testadas as estratégias de controle LEAD e PID.

Figura 3.7: LGR do sistema MAGLEV com realimentação positiva

3.5 Aspectos gerais sobre controle discreto

Nesta seção são apresentados alguns dos aspectos teóricos que foram utilizados no projetode controladores digitais para a Bancada MAGLEV. As abordagens são feitas de forma sim-ples e objetiva, afim de demonstrar a importância destes conceitos para o desenvolvimento deestratégias de controle eficientes.

Vantagens da utilização de sistemas digitais de controle. A implementação de sistemas decontrole digitais apresenta diversas vantagens em comparação às estratégias analógicas. Dentreestas, pode-se cita: a utilização de dispositivos de baixo custo e pequeno consumo de energia; apossibilidade de processar algoritmos de grande complexidade, e a facilidade de manutenção quepermite a alteração de parâmetros sem que haja a necessidade de intervir fisicamente no processo(trocar componentes).


Sinais discretos. Todos os sinais envolvidos em aplicações de controle digital são discretos.Isto quer dizer que esses sinais são sequências numéricas provenientes da coleta de amostras deamplitude de um sinal contínuo em intervalos bem definidos, um processo que é denominadoAmostragem. O intervalo de tempo entre cada coleta é denominado período de amostragem.

Teorema da amostragem. Para que um sinal contínuo possa ser discretizado adequada-mente4, a frequência de amostragem deve obedecer a seguinte: frequência de amostragem fa

deve ser maior ou igual à maior componente de frequência fy contida no sinal a ser amostrado;a frequência 2fy é conhecida como frequência de Nyquist. Na prática, são utilizados períodos deamostragem de 4 a 10 vezes maior que o tempo de subida do sistema amostrado [24].

Transformada z. A transformada z fornece uma versão no domínio da frequência de umsinal discreto no tempo, a qual é definida para um sinal x(n) como:

X(z) =∞∑

n=−∞x(n)z−n (3.4)

Métodos de projeto de sistemas de controle digital. Uma forma de desenvolver o projetode um controlador digital, é discretizar a função de transferêcia da planta, e utilizar as técni-cas digitais de projeto [15]. Para realizar a discretização é necessaria a utilização de métodosbaseados em aproximações numéricas, além da escolha adequada do período de amostragem.

Uma outra abordagem é realizar o projeto do controlador utilizando técnicas contínuas esubstituí-lo por um equivalente discreto, com características semelhantes. Essa estratégia é de-nominada de Emulação e será a base dos projetos desenvolvidos neste trabalho.

Métodos de discretização. São métodos cujo objetivo é desenvolver um sistema discreto,a partir do original contínuo, que possua características semelhantes. Existem três métodos clás-sicos de discretização: Euler, Backward e Tustin[13]. A aplicação destes métodos consiste emsubstituir o termo em s da função de transferência contínua, por uma função da variável disc-reta, z. As relações são obtida através de aproximações das derivadas e integrais presentes nasequações diferenciais.

• Método de Euler ou Forward: Baseia-se na equação de diferenças (3.5), resultado dométodo de integração numérica de Euler [15], cuja transformação expressa pela Eq.(3.6):

y[k] = y[k − 1] + Tu[k − 1] (3.5)

s =z − 1

T(3.6)

4Isto significa que as amostras devem ser tais que permitem a recuperação do sinal original


• Método Backward: Baseia-se na equação de diferenças (3.7), resultado de um métodode integração numérica semelhante ao de Euler [15], cuja transformação expressa pelaEq.(3.8):

y[k] = y[k − 1] + Tu[k] (3.7)

s =z − 1

Tz(3.8)

• Método Trapezoidal, Tustin ou Aproximação Bilinear: Este método corresponde ao métododos trapézios para integração numérica [15] dado pela à equação de diferenças (3.9). Atransformação realizada por esse método é expressa pela Eq.(3.10):

y[k] = y[k − 1] + Tu[k] + u[k − 1]

2(3.9)

s =2(z − 1)

T (z + 1)(3.10)

Para as aproximações dos métodos, T é o período de amostragem e os argumentos k e k−1,representam o valor atual e o atraso em uma amostra do sinal discreto, respectivamente.

Na Seção 3.7, esses métodos de discretização são abordados com mais detalhes na tentativade emular dos controladores PIDs projetados.

3.6 Controlador LEAD

O primeiro protótipo MAGLEV[6] foi estabilizado com um controlador LEAD analógico,sintonizado por tentativas, uma vez que neste primeiro trabalho o modelo da planta também nãoera conhecido. Nesta ocasião, o único objetivo do sistema de controle era alcançar estabilidade,sem a preocupação em refinar as características transitórias.

O primeiro projeto de controlador digital para Bancada MAGLEV foi um compensadorLEAD, devido ao já comprovado sucesso desta estratégia no trabalho anterior. Esta seção discu-tirá os aspectos de implementação do LEAD digital.

O compensador LEAD pode ser utilizado quando para estabilizar um sistema instável oumelhorar o desempenho quando as especificações de resposta transitória não são atendidas[23,24]. A Eq.(3.11) expressa a função de transferência generalizada do controlador LEAD:

C(s) = K(s + Zc)

(s + Pc)(3.11)


onde K é o ganho, Zc e Pc são o zero e o pólo, respectivamente. As quantidades Zc e Pc sãoambas reais e satisfazem Pc > Zc.

Controladores LEAD analógicos podem ser facilmente montados utilizando um único am-plificador operacional em conjunto com dois pares RC em paralelo. Apesar da simplicidade,controladores como estes são eficazes no controle do sistema MAGLEV, como demonstrado em[6].

Com a inclusão do controlador LEAD na malha, além de estabilidade, é possível alterar ascaracteristicas de transitório como: ultrapassagem percentual, tempo de assentamento, tempode subida e tempo de pico [23]. Em geral, o preço pago pela melhoria de transitório é umconsiderável erro de regime permanente, o que em geral exige que sejam incluídos outros tiposde compensação [23, 24].

3.6.1 Projeto do Controlador LEAD

A filosofia utilizada para o projeto do controlador LEAD se baseou em cancelar o póloestável da planta com o zero do controlador e inserir o pólo do controlador, de forma a propor-cionar a criação de um ramo condicionalmente estável (através do ganho). A preocupação coma posição do pólo é importante para que não se exija grandes esforços do controlador, já que eleinfluencia de forma expressiva a velocidade de resposta. Após diversas simulações, chegou-seà conclusão que boas estimativas para o critério do tempo de pico são da ordem de dezenas demilisegundos.

Outra conclusão de projeto que foi determinada a partir das simulações é que o overshoot

não deve ser muito alto, pois devido às suas características não-lineares, o sistema não podesofrer grandes deslocamentos do ponto de operação. Valores de ultrapassagens abaixo de 15%

parecem ser aceitáveis.Levando em consideração os aspectos de desempenho propostos, foi projetado com ajuda

do toolbox rltool, um controlador LEAD contínuo, cuja função de transferência é apresentadapela Eq. (3.12):

C(s) =3,62(s + 52,2)

(s + 410)(3.12)

A Figura 3.8 apresenta o LGR e a resposta a uma entrada degrau unitário do sistema com-pensado pelo controladore C(s).


Figura 3.8: LGR e resposta ao degrau do sistema com o controlador C1(s).

Os métodos de discretização apresentados na Seção 3.5 foram aplicados à função de trans-ferência (3.12), obtendo os equivalentes por emulação:

CT (z) =2,9963(z − 0,9393)

(z − 0,6051); CF (z) =

3,62(z − 0,9374)

(z − 0,5080); CB(z) =

2,5783(z − 0,9411)

(z − 0,6702)

onde os índices T ,F e B indicam o método de discretização utilizado: Tustin (T), Forward (F) eBackward (B).

Como forma de analisar o desenpenho do controlador digital desenvolvido, foram realizadasdiversas simulações utilizando o modelo em SIMULINK desenvolvido na Seção 2.3.

Na situação representada pela Fig. 3.9 é solicitado ao sistema compensado, deslocar o cilin-dro da posição de 6V para 7V e algum tempo depois para a posição de 6,5V.

A partir das simulações foi possível avaliar que os controladores obtiveram êxito em pro-porcionar características de desempenho dentro da faixa estabelecida. Os níveis de overshoot semantiveram abaixo de 15%.

Em relação ao tempo de pico, todos os controladores se mantiveram dentro da estimativa debom desempenho, sendo que não foram detecdadas grandes diferenças entre os métodos.

Em regime permanente todos os métodos apresentaram erros já esperados durante a etapade projeto. No Capítulo 4 são apresentadas diversas curvas comparativas entre o sistema real e osimulado, para os controladores digitais desenvolvidos por cada um dos métodos de discretização.


Figura 3.9: Simulação dos controladores digitais desenvolvidos por emulação de C1(s).

3.7 Controlador PID

A Bancada MAGLEV possui um controlador PID analógic ajustado por tentativas incorpo-rado ao equipamento. A malha é relativamente robusta, permitindo que os ganhos sejam reajus-tados através do painel, sem que ocorra problemas graves de estabilidade. Este recurso permitiua realização dos ensaios de identificação (RF e Estático) da Seção 2.2, os quais tiveram o objetivode determinar os modelos matemáticos apresentados na Seção2.4.

Esta seção apresenta uma proposta de validação da malha analógica por emulação, isto é,o controlador PID analógico será emulado e seu desempenho será confrontado com a rede ana-lógica. Neste capítulo serão feitas comparações apenas em simulação; no Capítulo 4 a mesmacomparação será implantada no processo real.

Nesta seção também será apresentada uma proposta de melhoria no controlador PID digital,baseada em projeto no plano Z. Espera-se que os resultados possam ser melhores, uma vez queo projeto agora é desenvolvido com base em um conhecimento mais sólido do processo.


3.7.1 Considerações gerais sobre controladores PID

Atualmente os controladores PID constituem a estratégia de controle mais disseminada nomeio industrial. Sua utilidade está na sua simplicidade, robustez e aplicabilidade geral à maioriados sistemas de controle. Quando o modelo matemático da planta não é conhecido e, portanto,métodos de projeto analítico não podem ser utilizados, compensadores PID se mostram apresen-tam resultados relativamente satisfatórios [15].

Esses controladores combinam as ações proporcional, integral e derivativa para gerar o sinalde controle. O objetivo é aproveitar as características particulares de cada uma destas ações paramelhorar significativamente do comportamento transitório e de regime permanente[15].

Um controlador PID analógico pode ser implementado utilizando-se uma variedade de in-strumentos, dependendo da aplicação: amplificadores operacionais, relés pneumáticos, válvulasanalógicas[15]. O sinal de controle u(t) gerado por um controlador PID pode ser expresso pelaEquação (3.13):

u(t) = Kp

[e(t) +

1

Ti

∫ t

0

e(t)dt + Tdde(t)

dt

](3.13)

onde e(t) é o sinal de erro entre o valor de referência (set-point) r(t) e o valor da variável desaída y(t) do sistema. Os parâmetros Kp, Ti e Td são denominados ganhos proporcional, tempointegral e tempo derivativo, respectivamente. Esta configuração é conhecida como não interativa,uma vez que o ajuste de uma das ações não afeta as outras.

A ação proporcional é uma das formas mais simples de controle. Neste tipo de ação, o sinalde controle up(t) aplicado a cada instante é proporcional à amplitude do sinal de erro e(t) [15]:

up(t) = Kpe(t) (3.14)

A ação integral consiste em aplicar ao sistema um sinal de controle ui(t) proporcional àintegral do sinal de erro e(t) [15]:

ui(t) =1

Ti

∫ t

0

e(t)dt (3.15)

A introdução dessa ação justifica-se quando as características estáticas do sistema em malhafechada não atendem as especificações, definidas geralmente por erros nulos em regime perma-nente para entradas ou perturbações do tipo degrau.

A ação derivativa é principalmente utilizada quando se pretende corrigir a resposta tran-sitória. Esta ação corresponde a aplicação de um sinal de controle ud(t) proporcional a derivada


do sinal de erro e(t) [15]:

ud(t) = Tdde(t)

dt(3.16)

A função de transferência contínua do controlador PID pode ser obtida aplicando-se a trans-formada de Laplace em (3.13):

U(s)

E(s)= Kp

[1 +

1

Tis+ Tds

](3.17)

A ação derivativa torna o sistema em malha fechada sensível a ruídos de alta freqüência.Esse efeito pode ser minimizado com a inclusão de um filtro passa baixas de primeira ordemcom constante de tempo Td/N , onde N é constante [15]. Desse modo, a Eq.(3.17) é comumentemodificada para:

U(s)

E(s)= Kp

[1 +

1

Tis+

Tds

(1 + sTd/N)

](3.18)

Em muitas aplicações industriais são utilizados dispositivos microprocessados para imple-mentar as estratégias de controle. Neste contexto, o controle PID digital é uma lei de controlebastante consolidada [24].

Para utilizar do algoritmo de controle PID em sistemas digitais, é necessária a sua con-versão para a forma discreta, onde uma nova ação de controle é executada após um intervaloregular de tempo, denominado tempo de amostragem (h). Dentro do intervalo entre cada tempode amostragem, a ação de controle é, normalmente, mantida constante. Neste processo de con-versão, no entanto, as integrais e derivadas necessitam ser aproximadas por operações discretasequivalentes [11].

Diversos algorítmos podem ser utilizados para discretizar o modelo contínuo (3.18). Em[15], são apresentados os métodos: Forward differences, Backward differences, Tustin’s e Ramp

equivalence. A partir desses métodos, as ações de controle proporcional, integral e derivativa,podem ser definidas de forma generalizada por:

up[k] = Kpe[k] (3.19)

ui[k] = ui[k − 1] + a0e[k] + a1e[k − 1] (3.20)

ud[k] = b0ud[k − 1] + b1e[k] + b2e[k − 1] (3.21)

Os coeficientes dependem do método de discretização adotado, conforme a Tabela 3.1.


Tabela 3.1: Coeficientes para os diferentes métodos de discretização.

Forward Backward Tustin Ramp equivalence

a0 0 Kph

Ti

Kph

2Ti

Kph

2Ti

a1Kph

Ti0 Kph

2Ti

Kph

2Ti

b0Td−Nh

Td

Td

(Td+Nh)2Td−Nh2Td+Nh

e−Nh/Td

b1 NKpKpTdN

Nh+Td

2KpTdN

2Td+Nh

KpTd(1−e−Nh/Td)

h

b2 −NKp−KpTdN

Nh+Td

−2KpTdN

2Td+Nh

−KpTd(1−e−Nh/Td )

h

O sinal de controle u[k] pode ser expresso pela equação de diferenças geral (3.22):

u[k] = (b0 + 1)u[k − 1]− b0u[k − 2] + ω2e[k] + ω1e[k − 1] + ω0e[k − 2] (3.22)

ω0 = b0(Kp − a1)− b2 (3.23)

ω1 = Kp(−b0 − 1)− a0b0 + a1 − b1 + b2 (3.24)

ω2 = Kp + a0 + b1 (3.25)

Por outro lado, em [13], é apresentado um modelo discreto alternativo e mais simples para ocontrolador PID baseado na aproximação de Euler. As ações de controle, proporcional, integrale derivativa são expressas como:

up[k] = Kpe[k] (3.26)

ui[k] = ui[k − 1] +KpT

Ti

e[k] (3.27)

ud[k] =KpTd

Te[k]− KpTd

Te[k − 1] (3.28)

Essa formulação não leva em consideração o filtro na parte derivativa. Assim, o sinal de


controle u[k] é expresso por:

u[k] = u[k − 1]−KP

[(1 +

T

Ti

+Td

T

)e[k]−

(1 +

2Td

T

)e[k − 1] +

Td

Te[k − 2]

](3.29)

Os algoritmos de discretização são extremamente dependentes do periodo de amostragemescolhido. Quanto menor o periodo de amostragem, mais próxima da ação original fica a açãodiscreta, porém, maior é a carga computacional requerida e maiores podem ser os erros numéri-cos envolvidos nos cálculos. Na verdade, a escolha do tempo de amostragem adequado requerum certo compromisso entre o esforço computacional e a obtenção de informações suficientesda dinâmica do processo a ser controlado. Na prática, aconselha-se a utilização de um tempode amostragem menor que um quinto do valor do tempo de subida do sistema [11]. O efeitodo periodo de amostragem sobre o desempenho do sistema MAGLEV não será analisado nestetrabalho, porém, para maiores informações sobre esse assunto, recomenda-se consultar [15].

3.7.2 Projeto do controlador PID

Nesta seção são apresentados dois projetos de controle PID. Um é baseado em procedimentode emulação, enquanto o outro foi projetado diretamente no plano z.

O controlador emulado foi obtido utilizando-se os métodos da Seção 3.5 para discretizar ocontrolador analógico presente na Bancada. Formas modificadas do algoritmo PID que contémum filtro de primeira ordem na parte derivativa[15] foram testadas, mas não foram bem sucedi-das. Algumas explicações para este resultado são: o valor baixo da constante de tempo derivativae problemas em sintonizar os parâmetros do filtro.

No projeto emulado não houve a preocupação com o desempenho; o objetivo era apenasreproduzir os resultados observados com o controlador analógico da Bancada. A partir de medi-das de capacitância e resistência obtidas diretamente do circuito de controle da Bancada, foramcalculados os valores dos ganhos da malha PID analógica. A função de transferência contínua éapresentada pela Eq.(3.30) e o LGR compensado do sistema é apresentado na Fig. 3.10.

L(s) = 1,2230 +130,1064

s+ 0,0067s (3.30)


Figura 3.10: LGR do sistema compensado

Os equivalentes discretos do controlador PID emulado são:

LT (z) =12,47z2 − 22,18z + 10,02

z2 − 1(3.31)

LF (z) =5,58z2 − 9,94z + 4,52

z − 1(3.32)

LB(z) =6,96z2 − 12,39z + 5,58

z2 − z(3.33)

onde os índices T ,F e B indicam o método de discretização utilizado: Tustin (T), Forward (F) eBackward (B).

Os controladores digitais emulados foram testados na bancada, mas apenas a função detransferência obtida pelo método Backward apresentou resultados satisfatórios. É importantemencionar que só foi possível obter uma resposta estável a partir de um ajuste no integrador,deslocando-o ligeiramente para a posição z = 0,92. A Fig. 3.11 apresenta uma simulaçãorealizada com o controlador LB(z), onde é solicitado ao sistema deslocar o cílindro da posiçãode 6V para 7V e em seguida de volta a 6V.

A resposta simulada apresenta nível de ultrapassagem alto, apesar de o tempo de pico sercompatível com os valores especificados nos projetos com LEAD. O sistema também apresentaerro de regime permanente pequeno, que ocorre devido ao ajuste que foi feito para obter estabil-idade. O principal problema deste compensador é que a resposta oscila de forma intensa antesde estabilizar, o que indica necessidade de melhorar o amortecimento. Todas estas caracterís-ticas estão de acordo com o desempenho do controlador analógico da bancada, conforme será


Figura 3.11: Resultados de simulação com o controlador PID da bancada emulado

discutido no Capítulo 4.Para tentar contornar o problema do amortecimento, o controlador PID foi reprojetado uti-

lizando a abordagem do lugar das raízes diretamente no plano z. O objetivo era manter as mesmascaracterísticas de tempo de resposta e regime permanente do projeto anterior, mas diminuindo onúmero de oscilações antes do sistema acomodar.

O projeto no plano z, consiste em discretizar a planta e analisar o desempenho e a estabili-dade dentro do círculo unitário. A Fig. 3.12 apresenta o LGR discreto e a resposta ao degrau dosistema com a inclusão do PID reprojetado.

A função de transferência discreta do controlador PID reprojetado é expressa pela Eq.(3.34):

M(z) =2,0088z2 − 3,8605z + 1,8538

z2 − 1,4808z + 0,4847(3.34)

Para se evitar problemas de causalidade, o controlador foi implementado com dois pólos, oque equivale a utilizar uma ação derivativa com filtro. Um dos zeros do controlador foi usadopara cancelar o pólo estável da planta, enquanto o outro foi colocado próximo da origem (houve,


Figura 3.12: LGR e resposta ao degrau do controlador PID reprojetado

porém, a preocupação de não aproximá-lo muito, para que o sinal de controle não se tornassemuito elevado). Todos os pólos e zeros foram mantidos reais, por questão de simplicidade.

Como se trata de um controlador PID, um dos pólos deveria ser obrigatoriamente posi-cionado em z = 1. Este teste foi feito realizado e a resposta ao degrau gerada com rltool (simu-lação linear) produziu um resultado aceitável. Entretanto, na simulação com o modelo não-linearfoi observada saturação do sinal de controle. Como problemas com ação integral pura já haviamsido percebidas, o integrador foi deslocado um pouco para dentro do círculo (mas ainda mantidonas proximidades de z = 1). Assim, para compensar essa alteração, um novo zero foi posi-cionado próximo do novo pólo e o ganho foi ajustado para que o pólo de malha fechada ficassebem próximo deste novo zero. Isto provoca um certo atraso na malha, mas deixa o regime per-manente próximo ao que se espera de uma ação integral exata. Entretanto, é importante ressaltarque, rigorosamente, este é um controlador do tipo LAG (atraso de fase). A Fig. 3.13 apresentauma simulação do sistema com o PID reprojetado.

Nesta simulação foram aplicadas as mesmas perturbações introduzidas nos testes com o PIDemulado. A partir da simulação é possivel observar que os requisitos de ultrapassagem e tempode pico foram atendidos com sucesso, ou seja, o controlador PID reprojetado apresenta mel-hor desempenho de resposta transitória que o controlador emulado. Para o requisito de regimepermanente, o PID modificado apresentou uma resposta inferior ao emulado. No Capítulo 4,


Figura 3.13: Resultados em simulação com o controlador PID reprojetado

são apresentadas curvas comparativas entre o modelo simulado e o sistema real, onde é possívelconstatar o bom desempenho do controlador PID reprojetado.

3.8 Conclusão

Neste Capítulo foram desenvolvidas as estratégias de controle digitais para o sistema MAG-LEV da Bancada.

Inicilamente foram apresentados os componentes constituintes do sistema de controle digitalque engloba a placa de controle e aquisição de dados e a interface de controle, sendo que todas asetapas necessárias ao desenvolvimento desses dois elementos foram decritas de forma completa.

Foram realizadas análises sobre o LGR do sistema, já que essa foi a técnica de projetocontínuo utilizada. Em seguida diversas considerações sobre os aspectos mais importantes decontrole digital foram realizadas.

Os projetos desenvolvidos foram do tipo LEAD e PID, sendo realizados em sua maioria peloprocesso de emulação através de diversos métodos, mas um projeto diretamente no plano z foirealizado para o PID reprojetado. Simulações foram realizadas para analizar o desempenho doscontroladores.

Capítulo 4

Resultados, Conclusões e TrabalhosFuturos

O objetivo deste capítulo é apresentar os resultados do controle digital com a Bancada MAG-LEV. Os controladores foram projetados utilzando o método do lugar geométrico das raízes,considerando os modelos não-linear e linear, obtidos na Seção 2.4, com auxílio do simuladorapresentado na Seção 2.3.

Os controladores testados foram do tipo LEAD e PID. Os resultados são apresentadosatravés de curvas de resposta da planta comparadas com gráficos de simulação, buscando veri-ficar se os resultados estavam dentro do esperado. Para verificar o desempenho, os testes foramconduzidos com mudanças da referência de posição a partir de funções degrau.

4.1 Resultados com o controlador LEAD

As Figuras 4.1, 4.2 e 4.3 apresentam o confronto entre as respostas experimental e simuladado sistema compensado pelos controladores LEADs CT (s), CF (s) e CB(s), respectivamente.

É possível observar nas curvas uma oscilação aparentemente periódica que não foi mode-lada, dificil de remover e que se sobrepõe à saída. Especula-se que isso ocorra devido a rotaçãodo cilindro, sendo os possíveis causadores: o campo magnético terrestre; fluxo de ar no ambi-ente. Apesar disso, os controladores respondem bem aos comandos de mudança de set point; oerro de regime permanente se manteve dentro do esperado para este tipo de estratégia. Os níveisde ultrapassagen e o tempo de pico das respostas estão compatíveis com o que era esperado pelasimulação, onde valores de ultrapassagens inferiores a 15% e tempos de pico na faixa de dezenasde milisegundos eram aceitáveis. Há algumas incoerências das respostas de malha fechada ex-

57

CAPÍTULO 4. RESULTADOS, CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS 58

perimental em relação ao modelo simulado, que provavelmente estão associadas a ajustes queainda precisam ser implementados no simulador.

Figura 4.1: Comparação entre a resposta simulada e experimental: Controlador LEAD CT (s).

Figura 4.2: Respostas com o controladorLEAD CF (s).

Figura 4.3: Respostas com o controladorLEAD CB(s).


4.2 Resultados com o Controlador PID

No Capítulo 3, durante as tentativas de emular o controlador PID contínuo da Bancada,foram testados os equacionamentos descritos em [15], mas estes não apresentaram resultadossatisfatórios, do ponto de vista da estabilidade. Cogita-se que seja devido ao filtro bassa baixasda parte derivativa ter ficado muito rápido e ao valor pequeno da constante derivativa, que talvezsejam incompatíveis com o período de amostragem utilizado de 1,2ms. Isto é realmente im-portante porque a implementação desejada é do tipo equivalente discreto. Além disso, existemdiscusões sobre esse problema, inclusive do ponto de vista da estabilidade da malha[15, 11].

O controlador PID emulado se comportou como previsto em simulação. O amortecimento,apesar de não ser satisfatório, não chega a instabilizar o sistema quando há mudança de set point.A Fig. 4.4 apresenta as curvas experimentais e simulada, para o controlador emulado.

Figura 4.4: Comparação entre a resposta simulada e experimental: Controlador PID emulado

É importante ressaltar que a emulação do controle PID só funcionou para o método Back-

ward (Fig. 4.4), com a modificação do pólo do integrador para 0,92. O método de Tustin tambémestabilizou a malha, mas com muita dificuldade e após modificação muito expressiva do pólo dointegrador; dessa forma, decidiu-se não apresentá-lo. Já o método Forward não pôde ser imple-mentado devido a problemas de causalidade.

É importante mencionar que com o controlador PID emulado existem oscilações de alta fre-


quência que parecem ser, aparentemente, amplificações de ruído. Isso pode ter sido ocasionadopelo fato de não haver filtro na parte derivativa.

O controlador PID reprojetado funcionou de forma razoavelmente coerente com os resulta-dos previamente obtidos em simulação, com exceção do erro de regime permanente. As Figuras4.5 e 4.6 mostram mudanças de set point em dois sentidos diferentes, variando entre os níveisde 5V, 13V e 15V. É possível observar o amortecimento foi bastante melhorado, e o tempo deresposta foi mantido dentro das expectativas. O erro de regime permanente é bastante reduzido,apesar do que era sugerido pela simulação.

Figura 4.5: Respostas com aumento do set-point (PID reprojetado)

Figura 4.6: Respostas com diminuição doset-point (PID reprojetado)

‘

Uma observação importante é que na primeira subida (5V para 13V) ocorre um elevadosobressinal. Ainda não foi possível explicar este fenômeno, que não ocorre em todas as ocasiões,de modo que decidiu-se não atribuí-lo ao desempenho do controlador.

Uma importante característica observada pela malha controlada pelo PID reprojetado é queela é capaz de excursionar grandes mudanças de set point, sem perder a estabilidade, com rápidaacomodação nos dois tipos de transição.

Uma característica bastante evidente entre as curvas experimentais com o PID emulado eo PID reprojetado, é a diferença entre os níveis de rúido, isso se deve pela introdução do filtrobassa baixas do controlador PID reprojetado, o que reduz expressivamente o nível de ruído nosinal de saída.


4.3 Conclusões e trabalhos futuros

O objetivo do trabalho não era realmente desenvolver controladores sofisticados, mas darsuporte para a implementação do controle digital da Bancada MAGLEV. Outro objetivo, eradesenvolver o modelo matemático do sistema, pois já tinham sido construídos dois protótipos enão havia sido consolidado o conhecimento sobre o comportamento dinâmico do sistema.

Durante o desenvolvimento do modelo, foi estabelecida a equação de movimento a partir deuma formulação algébrica para a forças magnética. Essa equação, que apresenta característicasnão-lineares, foi linearizada utilizando-se a técnica clássica de expansão em série de Taylor. Afunção de transferência do sistema foi desenvolvida e analisada do ponto vista qualitativo. Osparâmetros foram idenfiticados a partir de dois procedimentos relativamente independentes (En-saio de RF e estático), mas que ao serem unidos, resultaram em um modelo satisfatório. Durantea etapa de validação, percebeu-se que havia um equívoco proveniente da instrumentação, o qualfoi corrigido experimentalmente. Testes preliminares com os controladores digitais realizadosno simulador desenvolvido em SIMULINK permitiram verificar que o modelo é bastante eficazem descrever o comportamento da planta, tanto em regime permanente como transitório. Umaoutra proposta de estudo sobre a Bancada é o desenvolvimento de um novo modelo matemático,levando em consideração o segundo eletroímã construído.

O sistema de controle digital, que compreende hardware e software, foi incorporado a Ban-cada e está funcionando segundo as expectativas, apesar de não serem raros problemas comcomunicação serial. O programa gravado no microcontrolador está relativamente robusto e é ca-paz de executar as tarefas necessárias ao controle do processo, sendo que o algoritmo de controleconsome um tempo considerável, quando comparado ao período de amostragem estabelecido.A interface de controle é bastante simples de utilizar e possibilitou a interação desejada com oprocesso, sem a necessidade de regravações do microcontrolador.

Os controladores testados foram, em sua maioria, do tipo emulado e pode-se dizer que as téc-nicas de emulação foram bem sucedidas neste trabalho. Um bom exemplo são os controladoresLEADs testados, que apesar de sua estrutura simples possibilitaram estabilização do processocom faixas de ultrapassagens dentro dos valores especificados e erro de regime compatível como que se espera desse tipo de estratégia. Algumas discrepâncias foram observadas entre o sis-tema real e as simulações, sendo que uma análise mais detalhada das respostas podem ajudar aconseguir ajustes melhores.

Um resultado bastante expressivo deste trabalho é o projeto bem sucedido do controladorPID reprojetado. Como foi demonstrado nos resultados experimentais, este controlador foi capazde atender a todos os requisitos estabelecidos, do ponto de vista qualitativo e quantitativo, embora


a simulação tenha sugerido, no início, que isso não ocorreria de forma eficiente. Este é umresultado muito positivo, porque o controlador foi projetado utilizando o modelo desenvolvido eimplementado sem nenhum tipo de ajuste, o que significa que o modelo é confiável.

A finalização da bancada MAGLEV, a disponibilidade do modelo e o sistema de controledigital proposto neste trabalho permitem um conjunto muito amplo de possíveis trabalhos depesquisa futuros sobre o assunto.

Com o modelo e o sistema de controle digital consolidado, é possível testar estratégiasavançadas, como por exemplo, compensação não-linear ou robusto (embora existam muitas out-ras possibilidades). Sobre este assunto é importante mencionar que o microcontrolador utilizadoestá operando com restrições de processamento e é pouco provável que seja possível embarcaralgoritmos mais complexos. Neste caso, é preciso estudar a possibilidade de implantá-los noMATLAB, dentro das limitações de amostragem do sistema de aquisição.

O modelo obtido possui incertezas definidas em termos de possíveis valores identificadospara o ganho do sensor. Isto sugere a aplicação de técnicas de controle robusto que utilizamesta característica do problema como parâmetros de projeto. Apesar de sua complexidade, estastécnicas são lineares e poderiam ser facilmente implementadas no sistema de controle digital,sendo, portanto, candidatas aos primeiros projetos de pesquisa com a Bancada MAGLEV.

APÊNDICE A. PROGRAMA DO PIC18F4520 64

Apêndice A

Programa do PIC18F4520

/*-----------------------------------------------------

Universidade Federal do Pará

Campus Universitário de Tucuruí

Faculdade de Engenharia Elétrica

Programa para aquisição de dados e controle embarcado em

sistemas de automação

Revisão:

+ 09/04/2010

Modelo do microcontrolador: PIC18F4520

-> Possível simular lógica no ISIS (evita quantidade

exagerada de gravações)

-> Programa baseado em interrupções: loop principal

é mínimo

-> Adaptável para outros osciladores e vários canais AD

-> Utilizando conversor D/A modelo MCP4921

-> Adaptável para D/A baseado em PWM

-> Utilizando taxa de comunicação (baud) de 115.2 kbps,

com clock de 20 MHz. Neste caso, o erro de comunicação

é alto (em torno de 10%), o que pode exigir que

futuramente se aumente o oscilador ou diminua a taxa.


-> Não está utilizando controle de erros na serial.

Verificar como fazer, caso aconteça na prática

+ 08/maio/2010

Testes feitos com a bancada MAGLEV comandada pelo

MATLAB obtiveram êxito

-> Matriz ’ganhos’ renomeada para ’p’

-> Matriz ’p’ irá armazenar diversos parâmetros

do sistema, além dos ganhos

-> Programa funcionou bem para controlador embarcado

de primeira ordem

-> Esta versão irá tentar controlador de segunda ordem

+ 09/maio/2010

Versão 3. Alteração significativa na rotina de

interrupção serial

-> Esta versão irá tentar remover a estrutura

switch para agilizar o código

-> Isto produz mudanças no protocolo de comunicação

-> O computador agora terá que enviar dois

caracteres no formato ’p#’

-> O caracter ’p’ identifica que o usuário está

tentando alterar parametro

-> Se o caracter recebido for numérico, altera o

parametro já selecionado

-> O código perdeu um pouco de legibilidade, mas

ganhou em agilidade

-> As constantes de offset (u0, y0) foram substituidas

por linhas #define

-> u0 é acessada agora usando p[u0]

-> y0 é acessada agora usando p[y0]

-> O mesmo aconteceu para os sinais de posiçao, controle

e corrente

-> y é acessada agora usando p[y]

-> u é acessada agora usando p[u]

-> I é acessada agora usando p[I]


-> A declaração estas variáveis foi comentada, mas será

removido em breve

-> Estas mudanças permitirão usar o vetor ’p’ de

dimensões grandes

-> Anteriormente isto era limitado pelos caracteres

alfabéticos

-> Além disso, é possível que rotinas de aquisição se

tornem mais rapidas

-> Cogitamos que isso possa acontecer porque o comando

switch foi eliminado

-> Incluido sinal de referência gerado por equação de

difernça

-------------------------------------------------------*/

/*-----------------------------------------------------

Anotações importantes:

+ Timers:

Frequência base: Oscilador/4

Exemplo: FOSC = 20 MHz (cristal e 20 MHz)

Frequência do timer: FOSC/4 = 5 MHz ->

Período = 200 ns

Resolução do timer:

Período*Pre_scaler = FOSC*Pre_scaler/4

Estouro do timer: 2^(Bits_do_Timer)*Resolução

Exemplo: FOSC = 20 MHz, Pre_scaler = 32; Timer

funcionando em 8 bits

Resolução = 200*32 = 6.4 us

Estouro = 256*6.4 = 1638.4 us


Reset do timer: usar as equações

N0 = 2^(Bits_Timer) - Tempo*FOSC/(4*Pre_Scaler)

Tempo = [2^(Bits_Timer)-N0]*Pre_Scaler*4/FOSC

Setar o timer para começar a contar de N0.

Exemplo: Timer 0 com 8 bits, FOSC=20MHz, prescaler

de 32 para contar 1ms:

N0 = 2^16-1000*20/(4*32) ~ 99

set_timer0(N0);

+ Comunicação serial RS-232

A taxa de comunicação deve ser compatível com o

oscilador.

Equações importantes:

BAUD_desejado = FOSC/(64*(X + 1))

X = FOSC/(64*BAUD_desejado) 1

Onde X é um valor inteiro (positivo) que será

escrito em um registrador.

Se X for negativo, significa que o oscilador

não é compatível. Neste caso,

deve-se aumentar o oscilador ou diminuir a taxa.

---------------------------------------------------*/

#include "aquisicao_controle_pic18f_versao3.h"

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <string.h>

/*--------------------------------------------------*/

//Constantes do programa

#define N0 99 //Reset do Timer 0


#define pinoCS pin_c0 //Pino CS do conversor D/A

#define pinoLDAC pin_c1 //Pino LDAC do conversor D/A

#define configsMCP 0x1000 //Configurações do MCP

#define FATOR_CONVERSAO_AD 19.5/1023.00

#define FATOR_CONVERSAO_DA 4095/(2*19.5)

#define LIMITE_SUPERIOR_DA 19.50 //Limite superior

da tensão D/A

#define LIMITE_INFERIOR_DA 0.00 //Limite inferior

da tensão D/A

#define OFF_SET_y0 7.23

#define OFF_SET_u0 9.00

#define y 7 //Sinal y é acessado em p[7]

#define u 8 //Sinal u é acessado em p[8]

#define I 9 //Sinal I é acessado em p[9]

#define r 10 //Sinal r é acessado em p[10]

#define y0 3 //Constante y0 é acessada em p[3]

#define u0 4 //Constante u0 é acessada em p[4]

#define freq 13

#define quad 12

#define Amp 11

#define g_u1 0

#define g_e 1

#define g_e1 2

#define g_e2 6

#define g_u2 5

/*---------------------------------------------------*/

//Variáveis globais

//*** Obsoleto. Agora as variáveis são armazenadas no

vetor de parametros

//float y=0.00; //Leitura do A/D

//float u=0.00; //Sinal de controle; sinal do D/A

//float I=0.00;

/*---------------------------------------------------*/


//Variáveis globais específicas (MAGLEV)

float e=0.00; //Sinal de erro

float p[20]; //Vetor de parâmetros do sistema de

aquisição e controle

// p[0]=ganho u[k-1]

// p[1]=ganho e[k]

// p[2]=ganho e[k-1]

// p[3]=off-set posição y0

// p[4]=off-set corrente u0

// p[5]=ganho u[k-2]

// p[6]=ganho e[k-2]

// p[7]=sinal de saída y[k]

// p[8]=sinal de controle u[k]

// p[9]=sinal de corrente I

// p[10]=sinal de referencia r

// p[11]=amplitude do sinal de referencia

// p[12]=seleção de onda quadrada

// p[13]=ganho recursivo para gerar

senóide 2*cos(w*h)

// p[14]=

// p[15]=condição inicial r[k-2]

int param; //Controla o parâmetro que está sendo

atualizado

float u1=0.00; //Sinal de controle atrasado u[k-1]

float u2=0.00; //Sinal de controle atrasado u[k-2]

float e1=0.00; //Sinal de erro atrasado e[k-1]

float e2=0.00; //Sinal de erro atrasado e[k-2]

float r1=1.00; //Sinal de referencia atrasado r[k-1]

float r2=1.00; //Sinal de referencia atrasado r[k-2]

//float y0=7.23; //OFF-set de posição **Obsoleto

//float u0=9.00; //OFF-set de corrente **Obsoleto

/*-------------------------------------------------*/


//Rotinas de Interrupção (ISR - Interrupt

Service Routine)

//Interrupção de estouro de Timer 0 (aquisição

e controle)

#int_TIMER0

void TIMER0_isr()

//Usar Timer 0 para o período de amostragem:

Conversão AD/DA e controle

long int dado;

int dado1;

int dado2;

output_high(pin_b1); //Pino de depuração;

cronometra

a rotina de amostragem

set_timer0(N0); //Reseta o timer para posição

incial

p[y] = FATOR_CONVERSAO_AD*read_adc();//Faz a

conversão AD

// p[r] = p[freq]*r1-r2; //Gera sinal de referência

recursivo

e = p[y]-p[y0];

// e = p[y]-p[y0]-p[Amp]*p[r];//Calcula o erro e=y-y0-r

p[u] = p[g_u1]*u1+p[g_e]*e+p[g_e1]*e1+p[g_e2]*e2+

p[g_u2]*u2;

//Calcula o sinal de controle

p[I] = p[u]+p[u0]; //Determina o sinal de corrente

I=u+u0


if (p[I]>LIMITE_SUPERIOR_DA) //Verifica se o controle

ultrapassou limite superior

p[I]=LIMITE_SUPERIOR_DA; //Limita o controle

no limite superior

if (p[I]<LIMITE_INFERIOR_DA) //Verifica se o controle

ultrapassou limite inferior

p[I]=LIMITE_INFERIOR_DA; //Limita o controle no

limite inferior

u2 = u1; //Atrasa o sinal de controle de duas amostras

e2 = e1; //Atrasa o sinal de erro de duas amostras

r2 = r1;

e1 = e; //Atrasa o sinal de controle de uma amostra

u1 = p[u]; //Atrasa o sinal de controle de uma amostra

r1 = p[r];

dado = (long int) (configsMCP + (p[I]*FATOR_

CONVERSAO_DA));

//Calcula o dado para ser eviado pela SPI

dado1 = make8(dado,0); //Quebra o dado em dois Bytes.

Primeira metade

dado2 = make8(dado,1); //Quebra o dado em dois Bytes.

Segunda metade

output_low(pinoCS); //Inicia operação com MCP.

Desliga CS

spi_write(dado2); //Informação é enviada

frente. Primeiro a segunda metade

spi_write(dado1); //Depois a primeira

output_high(pinoCS);//Religa o pino CS

output_low(pinoLDAC);

output_high(pinoLDAC); //Religa LDAC

output_low(pin_b1);//Fim da rotina de amostragem

clear_interrupt(INT_TIMER0); //Limpa flag de


//Interrupção de recepção na porta serial

#int_RDA

void RDA_isr()

char buffer[30];

gets(buffer); //Lê o buffer recepção

if (isalpha(buffer[0])) //Verifica se o primeiro

caracter é alfanumérico

param=atol(buffer+1); //Transforma o buffer em

long, a partir do segundo elemento

printf("%.2f\r",p[param]);

else

p[param]=atof(buffer); //Se o valor recebido for

numérico o parametro

//anteriormente selecionado

é alterado por este número

clear_interrupt(INT_RDA); //Limpa interrupção da

porta serial

/*--------------------------------------------------*/

//Programa principal

void main()

//Inicialização, organização dos periféricos

setup_adc_ports(AN0|VSS_VDD);

setup_adc(ADC_CLOCK_DIV_16|ADC_TAD_MUL_2);

set_adc_channel(0);

setup_psp(PSP_DISABLED);

setup_spi(SPI_MASTER|SPI_H_TO_L|SPI_CLK_DIV_4);

setup_wdt(WDT_OFF);


setup_timer_0(RTCC_INTERNAL|RTCC_DIV_16|RTCC_8_BIT);

setup_timer_2(T2_DIV_BY_1,0,1);

setup_comparator(NC_NC_NC_NC);

setup_vref(FALSE);

enable_interrupts(INT_TIMER0);

enable_interrupts(INT_RDA);

enable_interrupts(GLOBAL);

output_high(pinoCS);

output_high(pinoLDAC);

p[g_u1]=0.4; // p[0]=ganho u[k-1]

p[g_e]=3.4416; // p[1]=ganho e[k]

p[g_e1]=-3.2951; // p[2]=ganho e[k-1]

p[y0]=7.23;//OFF_SET_y0; // p[3]=off-set posição y0

p[u0]=9.5;//OFF_SET_u0; // p[4]=off-set corrente u0

p[g_u2]=0.00; // p[5]=ganho u[k-2]

p[g_e2]=0.00; // p[6]=ganho e[k-2]

p[y]=0.00; // p[7]=sinal de saída y[k]

p[u]=0.00; // p[8]=sinal de controle u[k]

p[I]=0.00; // p[9]=sinal de corrente I

p[freq]=1.9990;

p[Amp]=1.00;

//Loop principal

while (1)

Referências Bibliográficas

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