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PAT – MAT 2007/2008
Trigonometria 1
MÓDULO 3 – FUNÇÕES (2ª parte – Trigonometria) EXERCÍCIOS OBJECTIVOS 1. Uma canalização de gás vai ser instalada a partir do
ponto A até aos pontos C (igreja) e B (fábrica), atravessando um rio, por uma das seguintes alternativas indicadas na figura:
Alternativa 1: A → D → C → B Alternativa 2: A → D → E → B → C Alternativa 3: A → E → B → C Condições da figura: − O triângulo [ABC] é rectângulo em C;
− 250BC = m;
− 160DE = m; − [ ] [ ]BCDE // ;
− o40CBA =ˆ . Custos: − Cada metro de canalização instalada em meio aquático
tem o preço de 30,00 €; − Cada metro de canalização instalada em terra tem o
preço de 12,00 €; Pretende-se conhecer o custo total da canalização de gás para cada uma das alternativas.
• Razões trigonométricas de um
ângulo agudo • Fórmula fundamental da
trigonometria1sen 22 =+ αα cos
• Fórmulas que relacionam o seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo
• Expressão geral das amplitudes de ângulos com o mesmo lado origem.
• Razões trigonométricas no círculo trigonométrico
• Relações entre as razões trigonométricas de α e de
απ −2
, απαπαπ +−+ ,,2
,
απαπ +−2
3,
2
3e −α.
2. Num lago recreativo há várias gaivotas em que o sistema que permite o movimento é constituído por pás que rodam em torno de um eixo situado 10 cm acima do nível da água. Considere o ponto P como sendo a extremidade de uma dessas pás que dista 20 cm do eixo e α a amplitude, em radianos, do arco descrito por P.
2.1. Mostre que a função que, para cada valor de α, dá a posição do ponto P em relação ao nível da água é αα sen2010f +=)(
• Função seno
� Domínio: IR � Contradomínio: [-1,1] � Sinal � Continuidade: contínua em
todo o domínio � Paridade: função ímpar
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Trigonometria 2
2.2. Mostre que a função que, para cada valor de α, dá a posição do ponto P em relação ao nível da água é
αα sen2010f +=)(
2.3. Calcule
−
−6
f2
fππ
, e
4
3f
π e indique a posição
do ponto P em relação ao nível da água, em cada um dos casos.
2.4. No intervalo [0,2π], determine para que valores de α o ponto P ficará à superfície da água.
2.5. Determine para que valores de α pertencentes ao intervalo [0,4π], o ponto P fica submerso.
2.6. Determine uma expressão geral das amplitudes dos arcos descritos pelo ponto P para que este se situe exactamente 20 cm acima do nível da água.
2.7. Para que valores de α pertencentes ao intervalo ] –π, 2π[ o ponto P dista 5 cm da superfície da água?
� Zeros: Zkk /, ∈π � Monotonia � Período: 2π � Maximizantes � Minimizantes
3. Sabe-se que, em média, uma pessoa em repouso, em cada 4 segundos, inspira e expira 0,5 litros de ar. No fim de uma expiração, restam nos pulmões, como reserva, 2,25 litros de ar. O volume de ar nos pulmões, em litros, t segundos após uma expiração, é dado pela função V
definida por
−= ttV2
cos25,05,2)(π
ao qual
corresponde a seguinte representação gráfica: 3.1. Dos pontos assinalados no gráfico, indique dois que
correspondam a instantes em que ocorre: 3.1.1. o fim de uma inspiração; 3.1.2. o fim de uma expiração. 3.2. Mostre que a função V é periódica e indica o período
positivo mínimo. 3.3. Determine as coordenadas dos pontos A, B e D
assinalados na figura. 3.4. Considere a condição 375,2)( =tV . 3.4.1. Determine os valores de t que pertencem ao intervalo
[0,4] e são solução da condição dada. 3.4.2. Admita que uma pessoa participou numa experiência
em que, após o fim de uma expiração, no seu processo normal de respiração, foi registado o volume de ar que continha nos pulmões durante 30 segundos.
• Função co-seno
� Domínio: IR � Contradomínio: [-1,1] � Sinal � Continuidade: contínua em
todo o domínio � Paridade: função par
� Zeros: Zkk /,2
∈+ ππ
� Monotonia � Período: 2π � Maximizantes � Minimizantes
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Trigonometria 3
3.4.2.1.Em que fase da respiração se encontra no 13º segundo da experiência? Justifique.
3.4.2.2.Atendendo aos resultados obtidos em 4.1. à
periodicidade da função V, indique os instantes, entre os 20 e os 25 segundos, em que o volume de ar nos pulmões foi de 3,375 litros.
4. Na figura que se segue estão representados num
referencial o.n. xOy : - um semicírculo de centro no ponto A(2,0) e raio 2; - uma recta t tangente ao semicírculo e paralela ao eixo das ordenadas; - um ângulo de amplitude α ∈ [0, π/2[ cujo lado origem é a semi-recta DA& e cujo lado extremidade é CA& ; - [CB]//[AD].
4.1. Mostre que a área A da parte sombreada da figura é
dada, em função de α, pela expressão απα tgA 42)( += .
4.2. Calcule )0(A e indique o significado geométrico do valor encontrado.
4.3. Mostre que o perímetro P do triângulo [ABC], em
função de α, é dado pela expressão α
ααcos
cos44)(
+=P .
4.4. Determine para que valor de α o perímetro do triângulo [ABC] é 12.
• Função tangente
� Domínio:
∈+≠∈ IZkk
2xIRx ,: ππ
� Contradomínio: IR � Sinal � Continuidade: contínua em
todo o domínio � Paridade: função ímpar � Zeros: Zkkx /, ∈= π � Monotonia � Período: π � Maximizantes � Minimizantes
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Trigonometria 4
5. Duas povoações, A e B distanciadas 8 km uma da outra,
estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de água, F.
F
B A
P
M
Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como indica a figura acima. A canalização é formada por três canos: um vai de da fonte F até um ponto P está a igual distância de A e de B.
Tem-se ainda que:
- o ponto M ponto médio de [AB], dista 4 km de F; - x é a amplitude do ângulo PAM ( x ∈ [ 0, π/4].
5.1. Tomando como unidade o quilómetro, mostre que o
comprimento total da canalização é dado por
x
xxg
cos
sin484)(
−+=
(Sugestão: comece por mostrar que x
PAcos
4= e que
xtgFP 44−= ) 5.2. Calcule g(0) e interpretar o resultado obtido, referindo a
forma da canalização e consequente comprimento. 5.3. Determine o valor de x para o qual o comprimento da
canalização é mínimo.
• Funções trigonométricas
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Trigonometria 5
6. Resolva as seguintes equações: 6.1. )()3( xsenxsen −=
6.2. 3
1)3( =xsen
6.3. 2
1)3(cos =x
6.4. 0)2(cos =+ xsenx
6.5. xxsen cos12 −=
6.6. 02115 2 =+− xsenxsen
• Equações trigonométricas
7. Determine sabendo que, x∈]-3π, 3π[ e que
=2
22
xtg
xsen
8. Resolva as seguintes inequações: 8.1. [ ]ππ ,1cos2 −∈−> xex
8.2. [ ]π2,01cos2 ∈−> xex
8.3. [ ]π,0032 ∈<− xexsen
8.4. [ ]ππ ,0coscos2 −∈>+ xexx
• Inequações
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Trigonometria 6
EXERCÍCIOS
1. Determine xsen , sabendo que ] [ππ 2,3
1cos ∈−= xex .
2. Calcule o valor da expressão xtg
xsen2
3 − sabendo que 2−=xtg .
3. Simplifique cada uma das seguintes expressões:
3.1. xxsenx 222 cos2cos −−
3.2. αα
αα sensen
cos
cos.
1 −
3.3.
+
− 11
cos
1
αα
α sentg
3.4. ( ) ( )απαπαπ −−−++ 22)2(cos sensen
3.5.
−+
++
−22
7cos
2
3cos
πααπαπ tg
4. Calcule o valor real de m que verifica cada uma das seguintes condições:*
4.1. 3
cos2
1 me
msen =+= ββ
4.2. mtgesen 23
1 −== θθ
5. Sabe-se que 3
1
2
3 =
−− παsen e que ] [πα ,0∈ .
5.1. Calcule αsen
5.2. Determine o valor da expressão ( ) ( )παπα 3cos −−+tg .
6. Para cada IRk ∈ , )()( kxsenxf = é uma função trigonométrica.
6.1. Mostre que f é periódica de período k
π2.*
6.2. Considere a função )2
()(x
senxfπ= .
6.2.1. Indique o período de f.
6.2.2. Represente f graficamente.
6.2.3. Determine o contradomínio de f.
6.2.4. Escreva as expressões gerais dos máximos, mínimos e zeros de f.
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Trigonometria 7
7. Represente graficamente as seguintes funções, reais de variável real:
7.1. xxf cos2
1)( +=
7.2. xsenxj 2)( =
7.3. xxg 2cos21)( −=
7.4. xsenxh =)(
7.5. xsenxi =)(
8. Resolva, em IR , cada uma das seguintes equações:
8.1. )3()2( xsenxsen −=
8.2. )3(cos)2(cos xx −=
8.3. 2
2−=xsen
8.4. 1=xtg
8.5. )2cos(2
xxsen =
− π
8.6. xsenx 2cos1 2 =−