AULA 19-Trigonometria – Parte 1 - Frente 1 - Versao 1
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Trigonometria - Parte 1
Unidades de Medida de Arcos e ÂngulosMedidas de arcos
Para comparar os tamanhos de dois arcos MA e JR , devemos estabelecer um método para verificar qual deles é
maior ou se são iguais.
Veja:
A medida de um arco MA em relação a um arco unitário x (x não nulo e de mesmo raio que MA ) é a quantidade que
exprime quantas vezes o arco x cabe no arco MA .
Notamos, assim, na figura a seguir, que o arco x cabe quatro vezes no arco MA . Logo, a medida do arco MA é 4,
ou seja, arco MA = 4 . arco x.
Unidades
Grau
Uma das unidades de medida de arco é o grau: 1° (um grau) é cada parte de uma circunferência que foi dividida em
3360 partes iguais. Dizemos, então, que a circunferência mede 360° (trezentos e sessenta graus).
Grau: É um arco unitário igual a1
360 da circunferência que contém o arco a ser medido.
A medida de um arco AB (em destaque) é igual à medida do ângulo central AÔB correspondente,
isto é, do ângulo com vértice no centro O e lados que contêm A e B. No exemplo da figura:
med ( AB ) = 60° e med (AÔB) = 60°
O grau tem submúltiplos:
1’ (1 minuto) = 1
60 do grau; 1’’ (1 segundo) =
1
60 do minuto.
Radiano
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA
Aula 19 – Prof Raul Brito
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2CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Para medir arcos e ângulos, também usamos o radiano. Na Grécia Antiga, já se sabia que em qualquer circunferência
a razão entre o perímetro C e o raio r é uma constante. Mais tarde, a metade dessa constante foi nomeada pela letra grega
. Então,
1 C
2 r ou C = 2r unidades de comprimento. Também para arcos determinados por um mesmo ângulo central,
a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência que o contém é constante e representa a medida do
arco, em radiano.
Assim, 1 rad (um radiano) é um arco que tem comprimento igual ao raio da circunferência que o contém, ou seja, o
comprimento do arco dividido pelo raio da circunferência é 1.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Responda:
a) Quantos radianos um ângulo raso tem?
Um ângulo raso AÔB determina uma semicircunferência de raio OB .
Logo: med (AÔB) = med ( AB ) =
OBrad
OB
b) Qual é o comprimento de uma circunferência de raio 6 cm?
C = 2 . 6 C = 37,68 cm
c) Calcule o comprimento do arco AB de 45° de uma circunferência de 10 cm de raio.
Um ângulo de 45° corresponde à oitava parte da circunferência (360° + 8 = 45°).
Logo:
med ( AB ) = 1 1
2 r 2 10 med(AB) 7,85cm8 8
Relação entre graus e radianos
Vimos que um ângulo raso determina uma semicircunferência, ou seja, 180°
correspondem a rad. Um arco de 2 rad é, portanto, um arco de volta completa,
correspondendo a dois ângulos rasos, ou seja, 360°.
A tabela a seguir fornece a relação entre as medidas em grau e em radiano de alguns
ângulos. Observe também a figura ao lado.
Grau 0 45 90 135 180 270 360
Radiano 0
4
2
3
4
3
2 2
Exemplos:
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3CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
• Quantos graus tem um arco de
3 rad?
180 _____ rad 180 rad180 rad 3x x 60
x radx ________ radrad3
3
• E quantos radianos equivalem a 300°?
rad_____180 rad 180 300 rad 5x x rad
x ________ 300 x 300 180 3
• Um arco de circunferência mede 40 cm e o raio da circunferência mede 10 cm.
Calcule a medida do arco em radianos.
[Medida de AB em rad] =
Comprimento do arco AB 40 cm4 rad
Comprimento do raio 10 cm
• Sobre uma circunferência de raio 20 cm, marca-se um arco AB , tal que a corda AB mede 20 cm. Calcule a medida
do arco em radianos.
O segmento AB é lado do hexágono regular inscrito na circunferência, logo, o menor arco
mede1
6 da circunferência, isto é:
12 rad rad
6 3
Dado um ângulo aÔb, consideremos uma circunferência de centro O e raio r . Sejam M
e A os pontos onde os lados do ângulo aÔb interceptam à circunferência.
A cada arco MA corresponde, dessa maneira, um único ângulo central aÔb e vice-
versa.
Sabemos que = aÔb = MA .
Ângulo central
Verificamos, então, que:
Ângulo de 1° – É um ângulo central correspondente a um arco de 1°, isto é, um ângulo central que determina na
circunferência um arco igual a1
360 desta.
Ângulo de 1 rad – É um ângulo central correspondente a um arco de 1 rad, isto é, um ângulo central que determina
na circunferência um arco cujo comprimento é igual ao do raio.
Ângulo de 30° – É um ângulo central correspondente a um arco de rad.
Ângulo de rad – É um ângulo central correspondente a um arco de rad.
Querendo medir, em radianos, um ângulo aÔb, devemos construir uma circunferência
de centro O e raio r e verificar quantos radianos mede o arco MA .
Para isso, calcularmos o quociente entre o comprimento do arco MA e o raio r da
circunferência.
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4CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
( em radianos)r
Notemos que, fixado um ângulo central aÔb de medida rad e construídas as
circunferências de centro O e raios r 1, r 2, r 3, ..., os arcos correspondentes a aÔb
comprimentos 1, 2, 3, ... tais que:
31 2
1 2 3
...r r r
Exemplos:
• Calcule, em graus, a medida do ângulo aÔb da figura.
Solução:
4
rad.r 12
Convertendo a graus:
4rad 180 180
6012x 19 5 '54''43,1416rad x
12
• Calcule o comprimento do arco AB , definido em uma circunferência de raio r = 10 cm, por um ângulo central de 45°.
Solução:
Convertido a radianos, o ângulo central aÔb tem medida
8 rad, então:
r 10
r 8
Portanto:
31,416
3,925 cm8
Ângulo entre os ponteiros de um relógio
Em 1 minuto, o ponteiro dos minutos percorre 6 graus e o das horas, 0,5 grau. Veja:
Tempo = 5 minutos Tempo = 1h = 60 min
M
30v 6°/min
5 min
H
30v 0,5°/min
60 min
Velocidade Velocidade
Assim, a cada minuto, o ponteiro dos minutos percorre 6° – 0,5° = 5,5° a mais que o das horas. Daí, em M minutos,
o ponteiro dos minutos percorre 5,5 . M graus a mais que o das horas.
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5CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Perceba também que a medida de um ângulo entre os ponteiros das horas e o dos minutos às H horas (hora exata)
é igual a 30 . H graus.
Exemplos:
a) 4 horas b) 10 horas
Assim, fica fácil calcular o ângulo entre os ponteiros às H horas e M minutos. Note:
• Às H horas, o ângulo entre os ponteiros mede 30 . H graus.
• M minutos após as H horas, o ponteiro dos minutos percorre 5,5 M graus a mais que o ponteiro das horas. Assim, o ângulo entre os ponteiros será:
= 30H – 5,5M, se 30H 5,5M
ou
= 5,5M – 30H, se 30H < 5,5M
Logo, podemos usar a seguinte fórmula matemática para o cálculo de :
= |30 . H – 5,5M|
Em que:
• H {0, 1, 2, ..., 1}
• 12 horas 0 hora; 13 horas 1 hora; 14 horas 2 horas; ..., 23 horas 11 horas e 24 horas 0 hora.
• 0 M < 60
O Sistema Trigonométrico e o Estudo da Circunferência Trigonométrica
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6CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Circunferência Trigonométrica
Considere uma circunferência de raio 1 com centro na origem de um sistema cartesiano
ortogonal xy, como na figura ao lado.
Baseado nela, convencionaremos os seguintes fatos:
• O ponto A(1,0) será a origem de todos os arcos que mediremos na circunferência;
• A medição no sentido horário terá sinal negativo;
• A medição no sentido anti-horário terá sinal positivo;
• As quatro regiões em que a circunferência ficou dividida pelos eixos x e y serão chamadas de quadrantes.
Assim:
Arcos Trigonométricos
• Quando partimos de A, no sentido anti-horário, associamos os pontos A, B, C e D aos valores mostrados a seguir.
• Quando partimos de A, no sentido horário, associamos os pontos A, B, C e D aos valores mostrados a seguir.
Localização de arcos na circunferência
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7CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Exemplo 1:
Localize o quadrante no qual está a extremidade do arco de 1.475°.
Solução:
Inicialmente, dividimos 1.475° por 360°.
1.475° 360°
– 1.440° 4
35°
O quociente 4 corresponde ao número de voltas completas na circunferência e o resto, 35°, corresponde à
extremidade do arco de 1.475°, que se localiza no 1o quadrante.
Exemplo 2:
Localize o quadrante no qual está localizada a extremidade do arco de –19
4 rad.
Solução:
Note que:
19 4
3 4 , isto é,
19 34
4 4
Daí, 19 3 34 1354 4 4
Duas voltas completas no sentido negativo (zero).
Logo,
19
2254
3o quadrante.
Exemplo 3:
Consideremos o ciclo trigonométrico sobreposto ao mostrador de um relógio circular, ambos concêntricos. Consideremos
ainda que o ponteiro dos minutos esteja inicialmente apontando para 1 h. Qual o arco que esse ponteiro percorre em 15
minutos? Que posição estará indicando após percorrer 450°?
Solução:
Após 15 minutos, o ponteiro dos minutos estará apontando para 4h. Agora, após percorrer 450°, que é o mesmo que uma
volta mais 90° ou uma volta mais 15 minutos, o ponteiro também estará apontando para 4h.
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8CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Simetria
Observe a figura a seguir. Nela, o ponto P determina um arco AP de medida 30°.
Na figura ao lado, consideremos os seguintes pontos L, simétrico de P em relação
ao eixo vertical y, M, simétrico de P em relação à origem, e N, simétrico de P em relação
ao eixo horizontal x.
Vamos, agora, determinar as medidas associadas aos pontos L, M e N.
• O ponto L corresponde a 180° – 30° = 150°.
• O ponto M corresponde a 180° + 30° = 210°.
• O ponto N corresponde a 360° – 30° = 330°.
De forma geral, dado um ponto P ao qual associamos uma medida tal que 0° 360°, os pontos L, M e N são
assim determinados:
Resumindo:
Na figura ao lado, sendo med( AP ) = rad, temos:
• P e P’ são simétricos em relação ao eixo y (têm abscissas opostas e
ordenadas iguais); med( AP' ) = ( – )rad;
• P e P’’ são simétricos em relação a O (têm abscissas opostas e ordenadas
opostas); med( AP'' ) = ( + )rad;
• P e P’’’ são simétricos em relação ao eixo x (têm abscissas iguais e
ordenadas opostas); med( AP''' ) = (2 – )rad.Se as extremidades de dois arcos são pontos que apresentam uma dessas
simetrias, dizemos que esses são arcos simétricos.
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9CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Determine a medida dos arcos simétricos ao arco de
6 rad em relação aos eixos das ordenadas e das abscissas e
em relação à origem.
Solução:
Os arcos simétricos ao arco de
6rad medem:
• em relação ao eixo das ordenadas (eixo y):
5rad rad
6 6
• em relação ao eixo das abscissas (eixo x):
112 rad rad
6 6
• em relação à origem (O):
7rad rad
6 6
Veja a solução gráfica no ciclo trigonométrico ao lado.
02. Determine a medida dos arcos simétricos ao arco de 60° em relação aos eixos das ordenadas e das abscissas e,
também, a medida dos simétricos aos seus simétricos.
Solução:
Acompanhando o ciclo trigonométrico ao lado, percebemos que os arcos simétricos ao arco de 60° medem:
• em relação ao eixo das ordenadas (eixo y): 180° – 60° = 120°
• em relação ao eixo das abscissas (eixo x): 360° – 60° = 300°O arco de 240° é simétrico aos arcos:
• de 120°, em relação ao eixo x;
• de 300°, em relação ao eixo y;
• de 60°, em relação à origem: 180° + 60° = 240°.
Relações trigonométricasSeno e cosseno de um arco trigonométrico
Seno de um arco trigonométrico
Considere, no ciclo trigonométrico a seguir, um arco de medida AP x.
No triângulo OQP, destacado a seguir, podemos perceber:
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10CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
senx =OQ
OP
Como OP = 1, temos que sen x = OQ .
Do exposto, podemos afirmar que a medida algébrica do segmento OQ , que é projeção ortogonal do segmento OP
sobre o eixo vertical, corresponde ao seno do arco trigonométrico x.
Senos dos arcos notáveis do ciclo trigonométrico
Os arcos
6 rad,
4 rad,
3 rad, 0 rad,
2 rad, rad,
3
2 rad e 2 rad são considerados arcos notáveis. A seguir
veremos o valor do seno desses arcos.
• Arco
6rad • Arco
4rad
sen
1
6 2 sen
2
4 2
• Arco
3rad • Arco 0 rad
sen
3
3 2 sen0 = 0
• Arco
2rad • Arco rad
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11CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
sen
12
sen = 0
• Arco3
2rad • Arco 2 rad
sen
31
2 sen2 = 0
Arco 0
6
4
3
2
3
2 2
Seno 01
2
2
2
3
2 1 0 –1 0
Cálculo de senos por simetria
Exemplo 1:
Determine o sen120°
Observe que 120° 2° quadrante e corresponde no 1o quadrante, por simetria, ao arco 60°.
• A figura nos mostra que o sen120° = sen60° =3
2
• Note que: OAP OAQ
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12CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Exemplo 2:
Calcule o sen210°. O arco 210° 3o quadrante e seu correspondente no 1o quadrante é 30°.
A partir da congruência dos triângulos da figura, concluímos que OB OA , mas seus valores são opostos. Assim:
sen120° = – sen30° =
1
2.
Exemplo 3:Determine o sen765°. Nesse caso, obtemos a primeira determinação positiva do arco de 765°, que é 45°, pois 765° = 2 .
(360°) + 45°. Concluímos que 45° e 765° são côngruos e, portanto, sen765° = sen45° =2
2.
Cosseno de um arco trigonométrico
Observe a figura a seguir. A partir dela, podemos escrever acerca do OPM:
OMcos x cos x OM
OP
O segmento OM, projeção ortogonal do segmento OP sobre o eixo horizontal, corresponde ao cosseno do arco
trigonométrico x.
Cosseno de arcos notáveis do ciclo trigonométrico
• Arco
6rad • Arco
4rad
cos
3
6 2 cos
2
4 2
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13CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
• Arco
3rad • Arco 0 rad
cos
1
3 2 cos0 = 1
• Arco
2
rad • Arco rad
cos
02
cos = –1
• Arco3
2rad • Arco 2 rad
cos
30
2 cos2 = 1
Arco 0
6
4
3
2
3
2 2
Cosseno 13
2 2
2
1
2 0 –1 0 1
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14CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Cálculo de cossenos por simetria
Exemplo 1:
Determine o cos150°. O arco de 150° 2o quadrante e seu correspondente
simétrico do 1o quadrante é 30°. Veja a figura:
Os triângulos OAM e OBN são congruentes e os módulos de OM e ON são iguais.
Então:
cos150° = –cos30° = – 3
2
Exemplo 2:
Calcule o cos1.140°. A primeira determinação positiva do arco de 1.140° é 60°, pois 1.140° = 3.(360°) + 60°. Assim,
60° e 1.140° são arcos côngruos e cos1.140° = cos60° =1
2.
Relação dos eixos coordenados com o ciclo trigonométrico
Consideremos, na circunferência trigonométrica, um arco AM de medida , 0° < < 90°.
No triângulo retângulo OMP, temos:
•
OPcos OP
1
•
MPsen MP
1
Note que as medidas OP e MP são, respectivamente, a abscissa e a ordenada do ponto M.
Veremos a seguir como ampliar os conceitos de seno e de cosseno de um arco (ou ângulo) para qualquer arco
trigonométrico.
Dado um arco trigonométrico AM de medida , chamam-se cosseno e seno de a abscissa e a ordenada do ponto
M, respectivamente:
• cos = abscissa de M = xM
• sen = ordenada de M = yM
Tome Nota
Note que: OA OB OC OD 1
(O é o centro da circunferência trigonométrica)
Desse modo, podemos escrever: –1 sen 1 e –1 cos 1.
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15CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Estudo de sinais
Variação de sinal do seno e do cosseno
O seno de um arco é a ordenada da extremidade desse arco. Como os pontos de ordenadas positivas são os do 1o
e 2o quadrante e os pontos de ordenadas negativas são os do 3o e 4o quadrantes, temos o seguinte quadro de sinais para
o seno:
Concluímos:
Seno
1o e 2o quadrantes 3o e 4o quadrantes
+ –
O cosseno de um arco é a abscissa da extremidade desse arco. Com os pontos
de abscissas positivas são os do 1o e 4o quadrantes, e os pontos de abscissas negativas
são os do 2o e 3o quadrantes, temos o seguinte quadro de sinais para o cosseno:
Concluímos:Cosseno
1o e 4o quadrantes 2o e 3o quadrantes
+ –
Arcos no 2o quadrante – A tangente é negativa para arcos do 2o quadrante. Nesse quadrante, dado x > y, teremos
tg x > tg y e tg = 0.
Arcos no 3o quadrante – A tangente é positiva para arcos do 3o quadrante. Nesse quadrante, dado x > y, teremos
tg x > tg y. Para x =3
2, a tangente de x não existe.
8/18/2019 AULA 19-Trigonometria – Parte 1 - Frente 1 - Versao 1
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16CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Arcos no 4o quadrante – A tangente é negativa para arcos do 4o quadrante. Nesse quadrante, dado x > y, teremos
tg x > tg y e tg2 = 0.
Arco 0
6
4
3
2
3
2 2
Tangente 03
3 1 3 0 0
• A tangente pode ser calculada por simetria, assim como o seno e o cosseno. Vale lembrar aqui que tg x =senx
cosx
, em
que os cos 0, como estudado anteriormente.
• A tangente obedece ao intervalo de variação – < tgx < + , ou seja, a tg x pode assumir qualquer valor real.
Exercícios Resolvido
01. Qual o sinal da tangente do arco de medida38
3?
Solução:
Considere:
38 36 2
3 3 3
212
3
(120°)
6 voltas
Resposta: Como 120° está no 2o quadrante e nesse quadrante a tangente é negativa, o sinal será negativo.
8/18/2019 AULA 19-Trigonometria – Parte 1 - Frente 1 - Versao 1
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17CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
8/18/2019 AULA 19-Trigonometria – Parte 1 - Frente 1 - Versao 1
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18CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
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19CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
QUESTÃO 01
(UEL) O valor da expressão
2 3 5cos sen tg
3 2 4
é:
a)2 3
2
b)
1
2
c) 0
d)1
2
e)3
2
QUESTÃO 02
(UNEMAT) Quanto ao arco 4 555°, é correto afirmar que:
a) pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo oângulo de 55°.
b) pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o
ângulo de 75°.
c) pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o
ângulo de 195°.
d) pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o
ângulo de 3.115°.
e) pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o
ângulo de 4.195°.
QUESTÃO 03(UFAL) O seno de um arco de medida 2 340° é igual a:a) –1
b)
1
2
c) 0
d)3
2
e)1
2
QUESTÃO 04(UFR) Efetuando a expressão
2
2
sen 270 cos180 sen90
tg 45, temos como resultado:
a) 0b) 2c) 3d) –1e) 1
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20CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
QUESTÃO 05
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21CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
(UNIFOR) O valor de sen( –4.380°) é:
a) 3
2
b) 2
2
c)
1
2
d)1
2
e)3
2
QUESTÃO 06(UF-UBERLÂNDIA) Simplificando a expressão
86 112 cos 3 tg
3 4, obtém-se:
a) –4
b) 2 3
c) 2
d) 1 + 3 e) 3
QUESTÃO 07
(FESP) A expressão
5cos90 4cos180
2sen270 2sen90 vale:
a)5
2
b) –1
c) 94
d) 1e) N.D.A.
QUESTÃO 08(UFRS) Qual é a expressão geral, em radianos, dos arcos deextremidade nos pontos indicados?
a)
3
2k , com k4
b)
3
k , com k4
c)
3 k , com k4 2
d)
k , com k4
e) N.D.A.
QUESTÃO 09
(UEL) O valor da expressão
8sen cos5
3
13tg
6
é:
a)3 2 3
2
b)3 2 2 3
2
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22CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
c) 3 2 3
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23CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
d) 3 2 2 3
e) 3 2 3
QUESTÃO 10(FATEC-SP) O valor numérico de D, em que
D = (sen x + cos x)2
+
senx
cosx , para x =
2
3 , é:a) 1
b)2 3 3
2
c)2 3 3
2
d)6 5 3
6
e)6 5 3
6
QUESTÃO 11(UEL-PR-2011) Um relógio marca 20 minutos para o meio-dia. Então, o MENOR ângulo formado pelos ponteiros dashoras e dos minutos é:a) 90°b) 100°c) 110°d) 115°e) 125°
QUESTÃO 12
(PUC Minas)Se cos =
1
4 e é um ângulo do terceiro
quadrante, então o valor de sen é igual a:
a)
15
4
b)
13
4
c)
11
4
d)13
4
e) 15
4
QUESTÃO 13(UFRGS-RS) Os ponteiros de um relógio duas horas e vinteminutos. O MENOR ângulo entre os ponteiros é:a) 45°b) 50°c) 55°d) 60°e) 65°
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24CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
QUESTÃO 14
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25CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
(UFOP-MG) Um ciclista de um prova de resistência devepercorrer 500 km em torno de uma pista circular de raio 200m. O número aproximado de voltas que ele deve dar é:a) 100b) 200c) 300d) 400
e) 500
QUESTÃO 15(UFMG) A medida, em graus, de um ângulo que mede 4,5rad é:
a)
4,5
b) 4,5
c)
810
d) 810e) 810
QUESTÃO 16(Mackenzie-2014) Seja g(x) = x2 + x . cos + sen . Se
g(x) = 0 e =3
2, então x vale:
a) somente 1.b) somente – 1.c) –1 ou 0.d) –1 ou 1.e) 1 ou 0.
QUESTÃO 17
(Enem-2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, oesqueitista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”,conseguiu realizar a manobra denominada “900”, namodalidade esqueite vertical, tornando-se o segundo atletano mundo a conseguir esse feito. A denominação “900”refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em tornode seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:a) uma volta completa.b) uma volta e meia.c) duas voltas completas.d) duas voltas e meia.e) cinco voltas completas.
QUESTÃO 18(Enem-2009) Considere um ponto P em uma circunferênciade raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal deP sobre o eixo x, como mostra a figura, a suponha que oponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distânciad r sobre a circunferência.
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26CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada
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27CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
por:
a)
dr 1 sen
r
b)
dr 1 cos
r
c)
d
r 1 tg r
d)
r r sen
d
e)
r r cos
d
QUESTÃO 19(UFJF-MG) A figura a seguir mostra, no plano cartesiano,uma circunferência centrada na origem, de raio igual a 1,passando pelos pontos B e C. Nessa figura, os pontos O, C
e D são colineares, os segmentos de retas AC e BD sãoparalelos ao eixo y, e é o ângulo que o segmento de retaOD faz como o eixo x
Com respeito a essa figura, é CORRETO afirmar que:a) AO = sen b) OC = cos
c) BD = AC
OA
d) AC OD
BD OB
e) OB2 + BD2 = 1
QUESTÃO 20(UEL-PR) Seja x a medida de um arco em radianos. O
número real a que satisfaz as sentenças sen x = 3 a e
cos x =a 2
2, é tal que:
a) a 7b) 5 a < 7c) 3 a < 5d) 0 a < 3e) a < 0
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28CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
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29CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
QUESTÃO 01(Fuvest 2013) Uma das primeiras estimativas do raio da Terraé atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu,aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo queem Assuã, cidade localizada no sul do Egito, ao meio dia dosolstício de verão, um bastão vertical não apresentava
sombra, Eratóstenes decidiu investigar o que ocorreria, nasmesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito.O estudioso observou que, em Alexandria, ao meio dia dosolstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra edeterminou o ângulo θ entre as direções do bastão e deincidência dos raios de sol. O valor do raio da Terra, obtido apartir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de,aproximadamente, 7500 km.
O mês em que foram realizadas as observações e o valoraproximado de θ são(Note e adote: distância estimada por Eratóstenes entre
Assuã e Alexandria 900 km; 3.π )a) junho; 7°.b) dezembro; 7°.c) junho; 23°.d) dezembro; 23°.e) junho; 0,3°.
QUESTÃO 02(G1 - IFSC 2015) É CORRETO afirmar que o menor ânguloformado pelos ponteiros da hora e dos minutos às 8h 20min
é:a) Entre 80 e 90
b) Maior que 120
c) Entre 100 e 120 d) Menor que 90 e) Entre 90 e 100
QUESTÃO 03
(Uern 2015) Considerando que 2 3sen ,
4α com
0 90 ,α então o valor da expressão
cos sen tg2
α
α α
é
a)1.
b) 3.
c) 3.
d) 2 3.
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30CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
QUESTÃO 04
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31CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
(Espcex (Aman) 2015) O valor de (cos 165º + sen 155º + cos145º - sen 25º + cos 35º + cos 15º) é:a) 2.
b) 1.
c) 0. d) 1.
e) 1.
2
QUESTÃO 05(G1 - IFCE 2014) Considere um relógio analógico de dozehoras. O ângulo obtuso formado entre os ponteiros queindicam a hora e o minuto, quando o relógio marcaexatamente 5 horas e 20 minutos, éa) 330°.b) 320°.c) 310°.d) 300°.
e) 290°.QUESTÃO 06(Unesp 2014) A figura mostra um relógio de parede, com 40cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.
Usando a aproximação 3,π a medida, em cm, do arcoexterno do relógio determinado pelo ângulo central agudoformado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horáriomostrado, vale aproximadamentea) 22.b) 31.c) 34.d) 29.e) 20.
QUESTÃO 07(Insper 2014) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS
está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos AP e
AQ têm medidas iguais a α e ,β respectivamente, com
0 .α β π
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32CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Sabendo que cos 0, 8,α pode-se concluir que o valor de
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33CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
cosβ é:
a) −0, 8.b) 0, 8.c) −0, 6.d) 0, 6.e) −0, 2.
QUESTÃO 08(FGV 2013) No círculo trigonométrico de raio unitário
indicado na figura, o arco AB mede .α Assim, PM é igual a:
a) 1 tg α
b) 1 cos α
c) 1 cos α
d) 1 sen α
e) 1 cotgα
QUESTÃO 09(IFSP 2013) Considere uma circunferência de centro O e raio
6 cm. Sendo A e B pontos distintos dessa circunferência,sabe-se que o comprimento de um arco AB é 5 cm.π A
medida do ângulo central ˆ AOB, correspondente ao arco ABconsiderado, éa) 120°.b) 150°.c) 180°.d) 210°.e) 240°.
QUESTÃO 10(Espcex (Aman) 2013) Os pontos P e Q representados nocírculo trigonométrico abaixo correspondem às extremidadesde dois arcos, ambos com origem em (1,0), denominadosrespectivamente α e ,β medidos no sentido positivo. O valor
de tg α β é:
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34CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
a)3 3
3
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35CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
b)3 – 3
3
c) 2 3
d) 2 3
e) 1 3
QUESTÃO 11 A figura abaixo representa uma circunferência trigonométrica
em que MN é diâmetro e o ângulo α mede5
6
π
radianos.
A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é:
a) 26 3.
b) 3.
c)3.
2
d)3.
3
QUESTÃO 12O valor numérico da expressão
2sec1320 532 cos tg2220
2 3
π
é:
a) 1 b) 0
c)1
2
d) 1e)
3
2
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36CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
QUESTÃO 13
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37CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
O professor de Matemática de Artur e Bia pediu aos alunosque colocassem suas calculadoras científicas no modo
“radianos” e calculassem o valor de sen .2
π
Tomando um
valor aproximado, Artur digitou em sua calculadora o número1,6 e, em seguida, calculou o seu seno, encontrando o valor
A. Já Bia calculou o seno de1,5,
obtendo o valor B.Considerando que
2
π
vale aproximadamente 1,5708,
assinale a alternativa que traz a correta ordenação dos
valores A, B e sen .2
π
a) sen A B.2
π
b) A sen B.2
π
c) A B sen .2
π
d) B sen A.2
π
e) B A sen .2
π
QUESTÃO 14Considere dois ângulos agudos cujas medidas a e b, emgraus, são tais quea b 90 e 4 sen a 10 sen b 0.
Nessas condições é correto concluir que:
a) tg a 1 e tg b 1.
b) tg a 4 e1
tg b .4
c)1
tg a4
e tg b 4.
d)2
tg a5
e5
tg b .2
e)5
tg a2
e2
tg b .5
QUESTÃO 15
Na figura, P e Q são pontos da circunferênciatrigonométrica de centro O e raio unitário.
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38CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
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39CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
sen :α ordenada do ponto P
cos :α abscissa do ponto P
sen :β ordenada do ponto Q
cos :β abscissa do ponto Q
O valor de α β em radianos, éa) 2
b)11
6
π
c)13
6
π
d)25
12
π
QUESTÃO 16
O número 2
3 cos180 4 sen 210 2 tg135N
6 sen 45
pertence ao intervalo:
a) ] -4 , -3 [b) [ -3 , -2 [c) [ -2 , -1 ]d) ] -1 , 0 ]
QUESTÃO 17O valor de y cos150º sen 300 tg 225 cos90 é:
QUESTÃO 18
Se θ for um ângulo tal que 0 90 θ e 1cos ,5
θ é
CORRETO afirmar que:
a) 0 30 .θ b) 30 45 .θ c) 45 60 .θ d) 60 75 .θ e) 75 90 .θ
QUESTÃO 19I) cos225 cos215
II) 5 5tg sen12 12
π π
III) sen160 sen172
Das afirmações acima:
a) todas são verdadeiras.b) todas são falsas.c) somente II e III são verdadeiras.d) somente II é verdadeira.e) somente I e II são verdadeiras.
QUESTÃO 20
O seno de um arco de medida 2340° é igual a:a) -1b) - 1/2c) 0d) ½
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40CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES DE CASA
Questão 01:
Resolução 01:Sob o ponto de vista da disciplina de Geografia
Os raios solares que atingem a Terra são paralelos. Portanto:
360 9007,2
2 3 7500θ
A cidade de Alexandria situa-se no hemisfério norte, território do Egito, onde o solstício de verão acontece no dia 21 de junho, quando o Sol dispõe sua radiação na perpendicular à linha do Trópico de Câncer.
Resolução 02:Sob o ponto de vista da disciplina de Matemática
Considere a figura.
Como os raios solares são paralelos, segue que AOB e, portanto,
AB
OA
900
7500
0,12rad
0,12 180
7,2 .3
Além disso, como Assuã e Alexandria estão situadas no hemisfério norte, e o solstício de verão ocorre no mês de junhonesse hemisfério, segue que as observações foram realizadas em junho.
Resposta: Alternativa A
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41CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Questão 02:Resolução: Do enunciado, temos:
O menor anglo formado pelos ponteiros do relógio será 4 30 x,
portanto, maior que120 .
Resposta: Alternativa B
Questão 03:
Resolução: Sabendo que 2 3sen ,
4α pode-se escrever:
2 2 2 23 1 1sen cos 1 cos 1 cos cos 60
4 4 2
Substituindo e desenvolvendo a expressão dada, tem-se:
2
60cos sen 60 tg 60 cos30 sen 60 tg 60
2
3 3 2 3 33 3 3
2 2 2
Resposta: Alternativa B
Questão 04:Resolução: Do enunciado, temos:
cos 165 sen155 cos 145 sen25 cos 35 cos 15
cos15 sen25 cos 35 sen25 cos 35 cos15 0
Resposta: Alternativa C
Questão 05:
Resolução: O ângulo percorrido pelo ponteiro das horas em 20 minutos corresponde a20
10 .2
Desse modo, o
menor ângulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas, às 5 horas e 20 minutos, é igual a 30 10 40 . Emconsequência, o maior ângulo formado por esses ponteiros é igual a 360 40 320 .
Observação: Dizemos que um ângulo é obtuso se 90 180 .
Resposta: Alternativa B
Questão 06:Resolução: Do enunciado, temos:
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42CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Cada minuto do relógio corresponde a 6o, portanto, 60 6 66 .α
Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 30°, temos:
60min 30
54min
β
Logo, 27 ,β portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°.
Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93°, temos:
93 2 2031cm (considerando, 3)
360
π
π
Resposta: Alternativa B
Questão 07:Resolução: Seja O a origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Como POQ 90 , segue-se que 90 . Além disso, sabendo que cos 90 sen ,
2 2sen cos 1 e cos 0, 8, com 0 180 , temos:
cos cos 90 cos sen cos 0,6 .
Resposta: Alternativa C
Questão 08:Resolução: Considere a figura.
Como o menor arco AS mede 90 e AQS é um ângulo inscrito, segue-se que AQS 45 . Daí, como BMQ 90 , vem
QPM 45 e, portanto, MQ PM. Além disso, OA OQ 1. Donde podemos concluir que OM 1 PM.
Por outro lado, como AQ BM, segue que M é o ponto médio de BM. Assim, tomando a potência do ponto M em
relação à circunferência de centro O, obtemos
2MB MN MQ MA MB PM (2 PM).
8/18/2019 AULA 19-Trigonometria – Parte 1 - Frente 1 - Versao 1
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43CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
Adicionalmente, tem-se QOB QB 180 .α Logo, do triângulo retângulo OBM, encontramos
MBsen(180 ) sen MB
OBα α
e, portanto,
2 2 2
2 2
sen PM (2 PM) (PM 1) 1 sen
(PM 1) cos
PM 1 cos .
α α
α
α
Porém, como 90 180α implica em cos 0,α segue-se que PM 1 cosα (pois PM 1).
Resposta: Alternativa C
Questão 09:Resolução: Do enunciado, temos:
Medida do arco em rad:5
rad.6
π
5rad 150°.
6
π
Resposta: Alternativa B
Questão 10:
Resolução: Como P pertence ao segundo quadrante e2
sen 45 ,2
segue que 45 90 135 .α Por outro lado,
sabendo que Q é do terceiro quadrante e 1cos 60 ,2
vem 60 180 240 .β
Portanto,
2 2
tg tg(135 240 )
tg(360 15 )
tg15
tg( 45 30 )
tg 45 tg 30
1 tg 45 tg 30
31
3 3 (3 3) 9 6 3 3 6(2 3 )3 2 3.63 3 3 (3 3) 3 ( 3 )
1 13
α β
Resposta: Alternativa D
Questão 11:Resolução: Do enunciado, temos:
8/18/2019 AULA 19-Trigonometria – Parte 1 - Frente 1 - Versao 1
http://slidepdf.com/reader/full/aula-19-trigonometria-parte-1-frente-1-versao-1 44/46
44CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 21 – Prof. Raul Brito TRIGONOMETRIA – PARTE 1
AB =5 3
cos6 2
π
AC =5 1
sen6 2
π
Portanto:
3
AB 23.
1 AC
2
Resposta: Alternativa B
Questão 12:Resolução: Do enunciado, temos que:
sec1320 sec(3 360 240 )
sec240
sec60
2,
53 5cos cos 4 2
3 3
5cos
3
cos
31
2
π π
π
π
π
e
tg 2220 tg(6 360 60 )
tg60
3.
Portanto,
2 2sec1320 53 2 1
2 cos (tg2220 ) 2 ( 3)2 3 2 2
1 1 3
1.
π
Resposta: Alternativa D
8/18/2019 AULA 19-Trigonometria – Parte 1 - Frente 1 - Versao 1
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Questão 13:
De acordo com a figura a seguir, concluímos que:
Circunferência trigonométrica
sen1,5 < sen1,6 < 1.
Logo, B A sen .2
π
Resposta: Alternativa E
Questão 14: Resolução: Do enunciado, temos:Passo 1: Se a b 90 , então: sen a cosb eq1 e senb cosa eq2 .
Da expressão dada, temos:
4 sen a 10 sen b 0 4 sen a 10 sen b eq3 .
Passo 2: Substituindo (eq1) em (eq3):4 sen b 4 2
4 sen a 10 sen b 4 cosb 10 sen b tg b tg b10 cosb 10 5
.
Passo 3: Substituindo (eq2) em (eq3):sen a 10 10 5
4 sen a 10 sen b 4 sen a 10 cosa tg a tg acosa 4 4 2
.
Resposta: Alternativa E
Questão 15:Resolução: Da figura, temos:
Passo 1: Note que é do 1º quadrante, então:1
sen2
e3
cos2
. Concluímos 30 ou6
.
Passo 2: Note que é do 3º quadrante, então: 1sen2
e 3cos2
. Concluímos 11330 ou6
.
Assim, temos:11 12
26 6 6
.
Resposta: Alternativa A
Questão 16:Resolução: Fazendo a redução ao 1º quadrante, temos:
2 2
13 4 2
3 1 4 sen 30 2 13 cos180 4 sen 210 2 tg 135 2N N N
26 sen 452 66 4
2
3 2 2 3 N N N 1.
12 3
4
8/18/2019 AULA 19-Trigonometria – Parte 1 - Frente 1 - Versao 1
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Resposta: Alternativa C
Questão 17:Resolução: Fazendo a redução ao 1º quadrante, temos:
y cos150º sen 300 tg 225 cos90 y cos30º sen 60 tg 45 0
3 3 3 3 y 1 y 1 y 1.2 2 2 2
Resposta: y 1 .
Questão 18:Resolução: Do enunciado, temos:
Resposta: Alternativa E
Questão 19:Resolução: Do enunciado, temos:
Resposta: Alternativa C
Questão 20:Resolução: Para ângulos maiores que 360°, fazemos o seguinte procedimento:Passo 1: Dividimos o ângulo por 360° não efetuando divisão com quociente decimal, em outras palavras, não“terminamos a divisão”, sempre olhando para o resto. Passo 2: Pegamos o resto da divisão (por isso não efetuamos a divisão por completo), esses ângulos são chamados dearcos côngruos.Passo 3: Fazemos a redução ao 1º quadrante, com o resto da divisão.Vamos lá:Pelo passo 1, encontramos:
Pelo passo 2, encontramos: sen 2340 sen180 .
Note que 180° é um ângulo notável, então colocamos o valor diretamente, sem nos preocuparmos em reduzir ao 1ºquadrante, assim:sen 2340 sen 180 sen 2340 0
Resposta: Alternativa C