Modul5 Probabilitas atau Peluang - modul.mercubuana.ac.idHanum… · besar atau memiliki peluang...
Transcript of Modul5 Probabilitas atau Peluang - modul.mercubuana.ac.idHanum… · besar atau memiliki peluang...
Modul ke:
Fakultas
Program Studi
STATISTIKProbabilitas atau Peluang
Bethriza Hanum ST., MT
05Teknik
Teknik Mesin
Pengertian dan Pendekatan
• Mempelajari probabilitas kejadian suatu peristiwa sangat bermanfaat dalam pengambilan keputusan yang tepat, karena di dunia tidak ada kepastian dan setiap pengambilan keputusan jarang memiliki informasi yang lengkap, sehingga perlu untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa kejadian.
• Probabilitas atau kejadian adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa depan. Probabilitas dinyatakan dalam 0 - 1 dalam presentase.
Pendekatan Klasik• Mengasumsikan bahwa sebuah peristiwa
mempunyai kesempatan untuk terjadi yang sama besar atau memiliki peluang yang sama besar.
• Probabilitas suatu peristiwa=Jumlah kemungkinan hasil (peristiwa)Jumlah total kemungkinan hasil
Contoh Pendekatan Klasik
Pendekatan Relatif
• Probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan.
Percobaan kejadian relatif =Jumlah peristiwa yang terjadiJumlah total percobaan/kegiatan
Contoh Pendekatan Relatif
Dari data diatas terlihat bahwa jumlah bulan inflasi ada 10 dan jumlah bulan deflasi 2dari total 12. oleh karena itu probabilitas terjadinya inflasi = 10/12 0,83 dan deflasi 2/12 = 0,17
Pendekatan Subjektif• Menentukan besarnya probabilitas suatu
peristiwa didasarkan pada penelitian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan atau berdasarkan penilaian pribadi.
• contoh: menurut Menteri Keuangan Indonesia Sri Mulyani pada tahun2007, Indonesia akan mengalami gejalas krisis. Anda akan mendapatkan nilai minimal B untuk mata kuliah statistik 1.
8
HUKUM DASAR PROBABILITAS
• 1. HUKUM PENJUMLAHAN• 2. HUKUM PERKALIAN• 3. TEOREMA BAYES
9
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS
A. Hukum Penjumlahan
A BAB
Apabila P(AB) = 0,2, maka ,P(A ATAU B) = 0,35 + 0, 40 – 0,2 = 0,55
• Peristiwa atau Kejadian Bersama (joint Event)
Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25Maka P(A ATAU C ) = 0,35 + 0,25 = 0,60
P(A ATAU B) = P(A) + P(B)
P(A ATAU B) = P(A) + P(B) – P (AB)
10
Contoh joint event
Kegiatan Perusahaan JumlahSimpati mentari starone
Sales(A) 30 50 40 120Buy(B) 40 30 10 80sum 70 80 50 200
P(BS) = 40/200 = 0.15P(AS) = 30/200=0.20
11
• Peristiwa Saling Lepas(MUTUALLY EXLUSIVE)P(AB) = 0Maka P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0
= P(A) + P(B)
A B
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS
Bahwa peristiwa A tidak menjadi bagian peristiwa B.Begitu juga sebaliknya.
12
Contoh Kegiatan Perusahaan Jumlah
Simpati mentari staroneSales(A) 30 50 40 120Buy(B) 40 30 10 80sum 70 80 50 200
P(A atau B) = P(A) +P(B)-P(AB)= 0.6 + 0.4-0=1
Prob 3 kartu cellular (P(SMS))=0. P(S atau M/S) = P(S)+P(M)+P(S)-P(SMS)
=0.35+0.40+0.25-0 = 1
13
EXCERCISE
SUATU PERUSAHAAN MEMERLUKAN BAN MOBIL UNTUK KENDARAAN MILIK PERUSAHAAN. PROB AKANMEMBELI BAN MEREK UNIROYAL (0,17),GOODYEAR (0,22), LIDAS (0,03),
CONTINENTAL (0.29),BRIDGESTONE (0,21), DAN AMSTRONG (0.08).HITUNGLAH PROB BAHWA PERUSAHAAN AKAN MEMBELI:1. BAN MEREK G atau B2. Ban Merek U, C atau B3. Ban Merek L atau A4. Ban Merek G, C atau A.
14
jawab
Apabila merek ban tersebut di urutkan dengan A,B,C,D,E dan F. Maka:1. P( B U E )= P(B) +P(E) = 0,22 +0,21 = 0.432. P(A U D U E) = 0.17+0,29+0,21 = )0.673. P(C U F)= 0.03 + 0.08 = 0.114. P (B U D U F)= 0,22 + 0,29 + 0.08= 0.59.Prob Mutually Exlusive.
15
HUKUM PERKALIAN PROB Hukum PerkalianPeristiwa Independen adalah terjadinya peristiwa tidak mempengaruhi probabilitas kejadian lainnyaRumus kejadian A dan B yang saling Independet sbb:
P( A DAN B) = P(A) X P(B)Contoh: ada 3 transaksi saham (S&B), transaksi pertama melakukan transaksi beli, dan pada transaksi ke 2&3 bisa melakukan transaksi beli atau jual (bebas dari pengaruh transaksi pertama)
Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875
16
Kejadian Bersyarat• Kejadian Bersyarat P(B|A)
P(B|A) = P(AB)/P(A)
17
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS
• Hukum Perkalian
P( A DAN B) = P(A) X P(B)
Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25
Maka P(A ∏ B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875
• Kejadian Bersyarat conditional Probability P(B|A)P(B|A) = P(AB)/P(A)
• Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)
P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)
18
DIAGRAM POHON
1
Beli0,4
Jual
0,6
BNI
BLP
BCA
BNI
BLP
BCA
0,25
0,40
0,35
0,25
0,40
0,35
Keputusan Jual atau Beli
Jenis Saham
Probabilitas Bersyarat
Probabilitas bersama
1 x 0,6 x 0,35 = 0,21
1 x 0,6 x 0,40 = 0,24
1 x 0,6 x 0,25 = 0,15
1 x 0,4 x 0,35 = 0,14
1 x 0,4 x 0,40 = 0,16
1 x 0,4 x 0,25 = 0,10
0,21+0,24+0,15+0,14 +0,16+0,10 =1,0
Jumlah Harus = 1.0
• Diagram Pohon
Suatu diagram berbentuk pohon yang membantu mempermudah mengetahui probabilitas suatu peristiwa
19
CONTOHKomposisi dari beberapa tingkatan manajemnDari 200 orang eksekutuf ditunjukkan sebagai Berikut:TM 18 (Pria) 2 (W), MM 36 (P) 24 (w), LM 24 (p) 96 (w)Total P (78) W (122).
a. Jika 200 eksekutuf tersebut scara random seorang eksekutifBerapa prob eksekutif Pria atau eksekutif puncak?b. Dipilih 2 orang berapa prob eks Pria dan seorang Eksekutif wanitac. Terpilih eksekutif pria pada pilihan pertama dan terpilih Eksekutif pria lagi pada pilihan kedua, berapa prob?(jawab ex Prob)
20
TEOREMA BAYES
P(Ai|B) = P(Ai) X P (B|Ai)
P(A1) X P(B|A1)+P(A2) X P(B|A2) + … + P(Ai) X P(B|Ai)
Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada.
Rumus:
21
BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG
Factorial = n!
Permutasi nPr = n!/ (n-r)!
Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!
• Factorial (berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok).
• Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek).
• Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya.
Konsep Dasar Probabilitas
Pengantar Permutasi -Faktorial
Misalkan n adalah bilangan bulat positif.Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagaihasil kali semua bilangan bulat antara nhingga 1. Untuk n = 0 atau dengan kata lain0! didefinisikan =1.
n! = n.(n-1)(n-2)... 10! = 1.
Pengantar Permutasi -Faktorial
Contoh:Tuliskan 10 faktorial pertama :Penyelesaian:0! = 11! = 12! = 2.1 = 23! = 3.2.1 = 64! = 4.3.2.1 = 24Dst.....
Pengantar Permutasi -Faktorial
Latihan Soal
1.
2.
FAKTORIAL
• Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam suatu kelompok.
• Dalam matematika perhitungan faktorial dilambangkan dengan (!)
• 0! Artinya 1• n! Artinya = n x (n-1)x(n-2)x...2 x 1
• Ada beberapa cara menyusun urutan dari 5 perusahaan yang memberikan deviden terbesar?
• Menyusun urutan 5 perusahaan = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara
PermutasiPermutasi adalah penyusunan kembali
suatu kumpulan objek dalam urutan yang
berbeda dari urutan yang semula.
Urutan diperhatikan
Perulangan tidak diperbolehkan
Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri
dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana urutan
dipertimbangkan merupakan salah satu contoh permutasi.
Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy)
yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka
dengan menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat
menentukan banyaknya susunan panitia yang mungkin,
yaitu:
• Pertama menentukan Ketua, yang dapat dilakukan dalam3 cara.
• Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukandalam 2 cara.
• Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendaharadapat ditentukan dalam 1 cara.
• Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkinadalah 3.2.1 = 6.
Secara formal, permutasi dapat didenisikan
sebagai berikut.
Denisi 3.1
Permutasi dari n unsur yang berbeda x1,x2,
.. ,xn adalah pengurutan dari n unsur
tersebut.
Contoh 3.1
Tentukan permutasi dari 3 huruf yang
berbeda, misalnya ABC !
Penyelesaian
Permutasi dari huruf ABC adalah
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC.
Teorema 3.1
Terdapat n! permutasi dari n unsur yang
berbeda.
Contoh 3.2
Gunakan Teorema 3.1 untuk mencari berapa
banyak permutasi dari huruf ABC ?
Penyelesaian
Terdapat 3 unsur dari huruf ABC, jadi
banyaknya permutasinya adalah 3!, atau
Terdapat 3.2.1 = 6 permutasi dari huruf ABC.
Contoh 3.3
Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF
jika huruf ABC harus selalu muncul bersama?
Penyelesaian :
Karena huruf ABC harus selalu muncul
bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan
sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4
unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya
permutasi adalah
4.3.2.1 = 24
1. Misalkan dalam kelas matematika diskrit
ada 20 mhs. Akan di pilih seorang yang akan
menjadi ketua kelas dan seorang bendahara.
Ada berapa banyak cara untuk memilih ketua
dan bendahara??
Soal latihan :
2. Berapa banyak kata yang dapat terbentuk
dari kata “BOSAN” ???
Soal latihan :
3. Berapakah jumlah kemungkinan
membentuk 3 angka dari 5 angka berikut : 1,
2, 3, 4, 5, jika:
a. Tidak boleh ada pengulangan angka;
b. Boleh ada pengulangan angka.
Soal latihan :
4. Terdapat 5 buku kimia, 4 buku fisika dan 2
buku matematika yang masing-masing buku
berbeda satu sama lain. Berapa banyak cara
untuk menyusun buku – buku tersebut ke
dalam sebuah rak jika setiap buku
dikelompokan sesuai dengan jenisnya ? ?
Definisi 3.2
Permutasi-r dari n objek adalah jumlah
kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih
dari n buah objek, dengan r ≤ n, yang dalam hal
ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada
objek yang sama. Dan dapat di notasikan dengan
P(n,r).
Teorema 3.2
Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang
berbeda adalah
Atau dengan kata lain, secara umumpermutasi r objek dari n buah objek dapat dihitung dengan persamaan berikut :
Jika r = n, maka persamaan menjadi
Contoh 3.4
Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang
berbeda, misalnya ABCDE.
Contoh 3.5
Gunakan Teorema 3.2 untuk menentukan
permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda,
misalnya ABCDE.
PenyelesaianKarena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3dari 5 huruf ABCDE adalah
Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 hurufABCDE adalah 60.
1. Sebuah undian dilakukan menggunakan
angka yang terdiri dari 7 digit. Jika digit –
digit dalam suatu angka diharuskan berbeda
satu dengan yang lain, ada berapa
kemungkinan nomor undian???
2. Berapa banyak jumlah urutan berbeda yang
dihasilkan jika memasukan 6 buah bola yang
berbeda kedalam 3 buah kotak, dan masing –
masing kotak hanya boleh diisi 1 buah
bola???
3. Berapa banyak String yang dapat dibentuk
yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti
dengan 3 angka yang berbeda pula ??
4. Tentukan banyaknya susunan 3 huruf
berbeda yang dapat diperoleh dari kata
SMART???
5. Berapa banyak permutasi dari cara duduk
yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4
buah kursi, sedangkan satu orang di
antaranya selalu duduk d kursi tertentu ??
6. Misalkan X={a, b, c, d}
a. Hitunglah Permutasi dari X
b. Hitunglah Permutasi-3 dari X
KOMBINASI
• Kombinasi digunakan kita tertarik beberapa cara sesuatu diambil dari objek tanpa memperhatikan urutannya.
• Misal ada 10 bank dan kita hanya mengambil 3 bank tanpa memperhatikan urutannya
• Apabila dalam permutasi dibedakan susunannya BCA,BNI dengan BNI,BCA ,maka dalam kombinasi tidak dibekan susunannya sehingga susunan BCA,BNI
• Ada 5 bank yang mengajukan kredit portofolio ke Bank Indonesia. Sementara di Bank Indonesia hanya akan memilih 2 bank saja. Ada berapa kombinasi bank yang dapat dipilih oleh Bank Indonesia?
• Misalkan nama banknya A,B,C,D,E maka:
Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!
TERIMA KASIH
55