BAB IITRIGONOMETRI

KOMPETENSI

Memanipulasi aljabar untuk merancang rumus trigonometri dan menyusun

suatu bukti.

INDIKATOR

Setelah mempelajari modul ini diharapkan :

1. Mahasiswa dapat menentukan besaran sudut (radian/derajat)

2. Mahasiswa dapat memanipulasi bentuk trigonometri yang satu ke bentuk

trigonometri yang lain.

3. Mahasiswa dapat membandingkan nilai sinus,kosinus, dan tangent suatu

sudut.

4. Mahasiswa dapat membuktikan rumus identitas trigonometri

MATERI

Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan

masalah yang berkaitan dengan perbandingan-perbandingan pada bangun

geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga. Pada prinsipnya

trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan besar sudut,

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua buah kata

yaitu trigonom berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi (segitiga)

dan metrom berarti suatu ukuran. Dari arti dua kata di atas, trigonometri dapat

diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang

perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu sudut

yang terdapat pada segitiga tersebut. Dalam mempelajari perbandingan sisi-sisi

segitiga pada trigonometri, maka segitiga itu harus mempunyai tepat satu

sudutnya (900) artinya segitiga itu tidak lain adalah segitiga siku-siku.

1. SATUAN SUDUT

Dalam pembicaraan tentang trigonometri, tidak lepas dari konsep sebuah sudut,

karena dalam fungsi trigonometri domain fungsi tersebut berupa sudut. Sebuah

sudut dihasilkan oleh putaran sebuah sinar terhadap titik pangkalnya. Terdapat

beberapa satuan untuk menyatakan besar sudut :

Derajat siksagesimal, dimana satu putaran penuh dibagi menjadi 360 bagian

yang sama. Setiap bagian disebut 10 . Sehingga satu putaran penuh = 360 0

Radian.

Satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang

panjangnya sama dengan jari-jari.

AOB = 1 rad

Hubungan radian dengan derajat

360 = rad

= 2 rad

180 = rad

pendekatan 1 rad = 57,3.

rr

OA

B

2. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

Gambar di samping adalah segitiga

siku-siku dengan titik sudut sikunya

di C. Panjang sisi di hadapan sudut A

adalah a, panjang sisi di hadapan

sudut B adalah b dan panjang sisi di

hadapan sudut C adalah c.

Terhadap sudut :

Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut

Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut

Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan

trigonometri terhadap sudut sebagai berikut:

1.

2.

3.

A

B

C

ca

b

Perbandingan Trigonometri

4.

5.

6.

Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:

3. KOORDINAT KARTESIUS DAN KOORDINAT KUTUB

Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat

kartesius adalah dengan koordinat kutub.

Pada gambar A titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam

koordinat kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar B.

Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari

dengan hubungan:

sehingga koordinat kutubnya adalah

P( )

4. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT ISTIMEWA

y

x X

YP(x,y)

O

Koordinat kartesius

y

x X

Y P(r, )

r

O

Koordinat kutub

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari

tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0, 30, 45,60, dan 90.

Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45,dan 90.

Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan

lingkaran satuan x2 + y2 = 1 seperti gambar berikut ini.

a. Sudut 450

Perhatikan segitiga OAB dengan OAB= 450 ,maka :

OA=OB

OA2 + OB2 = OC2

OA2 + OA2 = r2

2OA2 = 1

OA2 = OA = = OB

Sehingga koordinat P( x,y) adalah (

b. Sudut 300

Perhatikan segitiga sama sisi yang terbentuk, yakni segitiga OAB, dan C

terletakpada AB. dengan sudut COB = 30o . Segitiga OAB adalah segitiga sama

sisi dengan r =1, CB=CA= dan OC= .

Sehingga P(x,y) adalah

Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

0 30 45 60 90

sin 0 1

cos 1 0

tan 0 1 tak

O

B

A

Y

X

45O

O

B

C

Y

X

30O

30O

A

terdefinisi

cot tak

terdefinisi1 0

Gambar grafik :

5. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT DI BERBAGAI

KUADRAN

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah garis

yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius, sehingga

XOP dapat bernilai 0 sampai dengan 90. Perlu diketahui bahwa

y

x X

YP(x,y)

r

1

O

y=sin x

y= cos x

y= tangent x

dan r 0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat

didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran

II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

6. RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ),

(360 ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus,

misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan

pelurus (suplemen) untuk sudut dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut

50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.

1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )

Dari gambar, Titik P1 (x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan garis y

x, sehingga diperoleh:

Titik di berbagai kuadran

y

x X

YP(x,y)

r

1

O

y

x X

YP(x,y)

r

2

O

y

x

X

Y

r

P(x,y)

3

O

y

xX

Y

r

P(x,y)

4

O

y

x X

Y

P(x,y)r

(180-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O

Gb. . sudut yang berelasi

a. XOP = dan XOP1 = 90 -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

a.

b.

c.

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut

dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut:

2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )

Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari titik

P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu

y, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a.

b.

cos180 cos1

1

r

x

r

x

c.

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

a. d. b. e. c. f.

a. d.

b. e.

c. f.

y

x

X

Y

P(x,y)

r

(90-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

y = x

Gb. sudut yang berelasi

O

3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )

Dari gambar di samping titik P1(x1,y1) adalah

bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan

terhadap garis y x, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 +

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a.

b.

c.

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )

Dari gambar di samping diketahui titik

P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat

pencerminan terhadap sumbu x, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan

a.

b.

c.

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

a. d.

b. e.

c. f.

y

x X

YP(x,y)

r

(180+)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O

Gb. sudut yang berelasi

y

x

X

YP(x,y)

r

(360-1)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O -

Sudut yang berelasi

Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 ,

misalnya sin (360 ) sin

7. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Dari gambar di samping diperoleh , dan .Sehingga

Begitu pun untuk :

8. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

a. Rumus cos ( + ) dan cos ( )

Pada gambar di samping diketahui garis CD

dan AF keduanya adalah garis tinggi dari

segitiga ABC. Akan dicari rumus cos ( +

).

Pada segitiga sikusiku CGF

…………..(1)

Pada segitiga sikusiku AFC,

…………..(2)

a. d.

b. e.

c. f.

y

x X

Y P(x, y)

r

O

Gb. . rumus identitas

sin2 +cos2 1Jadi

A D E B

C

G F

…………..(3)

Pada segitiga sikusiku AEF,

…………..(4)

Dari (1) dan (2) diperoleh

GF AC sin sin

Karena DE GF maka DE AC sin sin

Dari (3) dan (4) diperoleh

AE AC cos cos

Sehingga AD AE DE

AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin

Jadi untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu disubstitusikan ke

rumus cos ( + ).

cos ( ) cos ( + ())

cos cos () sin sin ()

cos cos sin (sin )

cos cos + sin sin

b. Rumus sin ( + ) dan sin ( )

Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus

sebelumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan cos (90 ) sin

sin ( + ) cos (90 ( + ))

cos ((90 ) )

cos (90 ) cos + sin (90 ) sin

sin cos + cos sin

Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah

dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).

sin ( ) sin ( + ( ))

sin cos () + cos sin ()

sin cos + cos (sin )

sin cos cos sin

c. Rumus tan ( + ) dan tan ( )

cos ( + ) cos cos sin sin

cos ( ) cos cos + sin sin

sin ( + ) sin cos + cos sin

sin ( ) sin cos cos sin

Dengan mengingat , maka

Jadi

Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke tan

( + ).

tan ( ) tan ( + ( ))

Jadi

d. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan

menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.

sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos

cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2

Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan

mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1.

cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2

cos2 (1 cos2) (1 sin2) sin2

2cos2 1 1 2 sin2

Sehingga

sin 2 2 sin cos

cos 2 cos2 sin2

1) cos 2 cos2 sin2

2) cos 2 2cos2 1

3) cos 2 1 2 sin2

e. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan

Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:

cos ( + ) cos cos sin sin

cos ( ) cos cos + sin sin

cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

cos ( + ) cos cos sin sin

cos ( ) cos cos + sin sin

cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut

diperoleh:

sin ( + ) sin cos + cos sin

sin ( ) sin cos cos sin

sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

sin ( + ) sin cos + cos sin

sin ( ) sin cos cos sin

sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

LATIHAN :

+

cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

+

sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin

1. Dalam diketahui bahwa cos A = dan cos B = . Berapakah harga

cos C?

2. Buktikan bahwa dalam berlaku :

tgn A + tgn B + tgn C = ( tgn A+B) ( 1-tgA tgn B)+ tgn C

3. Buktikan :

4. Hitunglah tanpa kalkulator : sin 540sin 180

5. Ubahlah bentuk penjumlahan /pengurangan tersebut ke dalam bentuk perkalianSin A + sin B + sin C –sin (A + B+C)

DAFTAR PUSTAKA

Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta:

PPPG Matematika.

Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach. Canada: John

Wiley and Sons, Inc.

Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced

Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publisher.

Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin

Company.

Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK.

Yogyakarta: PPPG Matematika.

Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri.

Yogyakarta: PPPG Matematika.