Modul-3. Mtk I Limit dan Kontinuitas Fungsi.doc

MODUL PERKULIAHAN

Matematika I(Limit dan Kontinuitas Fungsi)

a. Konsep kekontinuan fungsi dan rumus-rumusnyab. Kekontinuan fungsi komposisic. Asimtot grafik fungsi kontinu

d. Bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi

Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

Fakultas Teknik Teknik Sipil 03 MK90016 Hendy Yusman F, M.Pd

Abstract Kompetensi

Agar Mahasiswa :Dalam modul ini Anda akan mempelajari 4 materi yaitu : Konsep kekontinuan fungsi dan rumus-rumusnya,Kekontinuan fungsi komposisi,

1.Mengerti apa yang dimaksud dengan kontinuitas fungsi komposisi.

2.Dapat menentukan asimtot dari sebuah kurva dengan menggunakan limit.

Asimtot grafik fungsi kontinu,Bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi,

3.Memahami bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi.

1. Konsep Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi

Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya jika

lim ( ) ( )x af x f a

.

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu :

1. f(a) terdefinisi (ada)

2. lim ( )x af x

terdefinisi ada

3. lim ( ) ( )x af x f a

Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung) di x =a.

Perhatikan gambar berikut :

Contoh 1:

2014 2

Matematika IPusat Bahan Ajar dan eLearning

Hendy Yusman F, M.Pd http://www.mercubuana.ac.id

y

f(a)f(x)

xa

f(x) kontinu di x = a, sebab 1.

y

f(a)

f(x)

xa

f(x) diskontinu di x = a, sebab tidak ada

2.

f(x) diskontinu di x = a, sebab f(a)

y

f(a)

f(x)

x

a

3.

Tunjukkan bahwa fungsi kontinu di x = 1

Jawab :

a. f ( )1 1 1 3 12 f(1) terdefinisi

b. lim ( )xf x

1 terdefinisi

c. lim ( ) ( )xf x f

11 Jadi fungsi f x x x( ) 2 3 kontinu di x =1.

Contoh 2 :

Selidiki apakah fungsi f x xx( )

2 93

kontinu di x = 3

Jawab :

f ( )3 3 93 3

00

2

(tidak terdefinisi)

Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3

2. Kekontinuan Fungsi Komposisi

Jika y = Q(x) fungsi komposisi, dan kontinu di x = c dan f(y) kontinu pada y = Q(c) , maka

fungsi komposisi f(Q(x)) kontinu pada x = c. Pernyataan tersebut dapat dinyatakan :

Contoh :

Apakah sin ( x + 5x2) kontinu di x = 0

Jawab :

Misalkan y = Q(y) = x + 5x2 dan z = f(y) = sin y = sin ( x + 5x2)

a. Untuk x = 0, maka Q(0) = 0 ( ada atau terdefinisi)

b.

= sin ( 0 + 5(0)2

= sin 0

= 0, Maka = 0 ( ada atau terdefinisi)

2014 3



c. = Q(0) ,

Jadi memenuhi syarat kekontinuan suatu fungsi maka Q(x) kontinu di x = 0

Berikutnya untuk f(y) = sin y

a. F(0) = sin 0 = 0

b.

c.

Jadi f(y) kontinu di y = 0

Maka fungsi komposisi sin ( x + 5x2) kontinu di x = 0 dan dapat ditulis :

3. Asimtot grafik fungsi kontinu

Dalam menganalisa suatu fungsi kita sering memerlukan nilai atau harga fungsi tersebut

ada jarak tak hingga dari titik nol. Jika kurva suatu fungsi mendekati perilaku garis lurus,

maka garis lurus tersebut adalah asimtot dari kurva.

3.1. Asimtot tegak

Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis vertikal mendekati nol, maka garis tegak lurus

tersebut adalah asimtot tegak dari kurva. Contoh asimtot tegak dapat dilihat pada

Gambar 3.1 berikut. Asimtot tegak suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut.

2014 4



x

y

0

Gambar 3.1

x = – a x = a

3.2. Asimtot datar

Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis datar mendekati nol, maka garis tersebut adalah

asimtot datar dari kurva. Contoh dari asimtot datar dapat silihat pada Gambar 3.2 berikut.

kurva f(x).

3.3. Asimtot miring

Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis miring mendekati nol, maka garis tersebut

adalah asimtot miring dari kurva. Contoh dari asimtot miring dapat silihat pada Gambar

3.3 berikut.

Gambar 3.3

2014 5



x

y

0

Gambar 3.2

y = a

y

x0y=ax+b

miring kurva f(x). Jika a = 0 maka tidak terdapat asimtot miring.

Contoh 1 :

Jawab :

asimtot miring

Contoh 2 :

Jawab :

2014 6



Gambar 3.4

x

y

0

x = –4

asimtot miring

Contoh 3 :

Jawab :

Jadi asimtot miring adalah y = x +2

4. Bentuk-bentuk limit tak tentu

1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu, misalnya :

63

04, .

2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya : 50

3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya : 00 1, , ,

Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentu menjadi bentuk

tertentu.

4.1 Bentuk 00Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, lalu

substitusikan nilai x = a.

Catatan :

2014 7



1. Karena xa, maka (xa) 0 sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi

dengan (x a)

2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a) 0

3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan

dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

Contoh :

1. lim lim lim( )( )( )( )x

x xx x

x xx x x

xx

3

5 69 3

3 23 3 3

23

3 23 3

16

2

2

2. lim lim( )

( ) ( )x

x x xx x x

x x x

x x x x

x xx x

0

54 2

5

4 2 0

54 2

0 0 50 4 0 2

52

3 2

3 2

2

2

2

2

2

2

3.

lim lim lim ( ) ( )

( )x

x x

x x x

x x

x

x x

x x x

x x

x x x

1

3 5 1

1

3 5 1

1

3 5 1

3 5 1 1

3 5 1

1 3 5 1

2

2

2

2

2

2

2

2 2

lim lim lim( )

( )( )

( )( )

( )

( )x

x x

x x x x

x x

x x x x x

x

x x x

1

5 4

1 3 5 1 1

1 4

1 1 3 5 1 1

4

1 3 5 1

2

2 2 2 2

1 4

1 1 4 4

32 2 2

38

38

( ) ( )

4.2 Limit Bentuk

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan

variabel pangkat tertinggi, kemudian digunakan rumus : limx

ax 0 .

Contoh :

1.

2014 8



2.

3.

Kesimpulan:

Jika f x a x a x an nn( ) .....

0 11

g x b x b x bm mm( ) .....

0 11

maka:

1. lim( )( )x

f xg x

ab

0

0 untuk n = m

2. lim( )( )x

f xg x

0 untuk n < m

3. lim( )( )x

f xg x

atau - untuk n > m

4. limx

x x xx x x

2 76 2 8

26

13

5 4 3

5 3 2 (kesimpulan (1))

5. limx

x x xx x x

10 8 7

12 5 22 312

0 (kesimpulan (2))

6. limx

x xx x x

3 6 22 7

7 4

6 4 3 (kesimpulan (3))

4.3 Limit Bentuk

Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Cara Penyelesaian :

1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

2014 9



2. Bentuknya berubah menjadi

3. Selesaikan seperti pada (2.4.2)

Contoh:

1. Tentukan nilai dari :

Jawab :

2. Tentukan nilai dari

Jawab :

Secara umum:

1)b q

a

2 jika a = p

2) jika a > p

3) - jika a < p

2014 10



Contoh :

1.

2.

3.

4.4 Limit Bentuk 1

Definisi :

Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :

1.

2.

Contoh :

1.

2.

3.

4.5 limit Trigonometri dan eksponen

Berikut ini diberikan beberapa rumus yang sering digunakan,

1)

2)

2014 11



Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika f(a)

terdefinisi, maka: lim ( ) ( )x a

f x f a

Contoh :

1. lim sin cos sin cosx

x x

0

2 0 0 0 1 1

2.

4.5.1 Limit Bentuk 00

1.

2.

3.

4.5.2 Limit Bentuk

Limit bentuk dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk 00 .

Contoh :

2014 12



4.5.3 Limit Bentuk 0.

Limit bentuk 0. dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk 00 .

Contoh :

4.5.4 Bentuk eksponen

dimana

didapat :

sehingga diperoleh:

contoh :

tentukan

jawab :

2014 13



Latihan Soal :

I. Tentukan semua asimtot dari fungsi-fungsi berikut, jika ada!

II. Tentukan limit fungsi berikut :

a. c. e.

b. d. f.

III. Tentukan limit fungsi berikut :

a. b. c. d.

e. f. g. h.

2014 14



i. j. k.

l.

IV. Hitung limit fungsi berikut :

a. b. c.

d. e. f.

V. Hitung limit fungsi berikut :

a.

b.

c.

d.

Daftar Pustaka

1. Frank. Ayres J.R.,Kalkulus Diferensial dan Integral, Erlangga, Jakarta, 20042. Purcell,Edwin J., Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid I, Erlangga, Jakarta, 20033. Yusuf Yahya, D.Suryadi H.S., Agus Sumin, Matematika dasar Untuk Perguruan

Tinggi, Ghalia Indonesia, 2004

2014 15



Modul-3. Mtk I Limit dan Kontinuitas Fungsi.doc

Documents

Transcript of Modul-3. Mtk I Limit dan Kontinuitas Fungsi.doc