Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika...
Transcript of Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika...
![Page 1: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/1.jpg)
Modern Fizika GépészmérnököknekFizika M1
http://physics.bme.hu/BMETE15MX27_kov
2019. őszi félév
2. előadás2019. szeptember 17.
![Page 2: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/2.jpg)
gépészmérnök
modern fizikán alapuló eszköz
Modern Fizika GépészmérnököknekFizika M1
![Page 3: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/3.jpg)
Menetrend
1. előadás (sep 10) 2. előadás (sep 17) 3. előadás (sep 24) 4. előadás (okt 01) 5. előadás (okt 08) 6. előadás (okt 15) 7. előadás (okt 22) - 1. zh 8. előadás (okt 29) 9. előadás (nov 05)
nov 12 - nincs előadás 10.előadás (nov 19) 11.előadás (nov 26) 12.előadás (dec 03) 13.előadás (dec 10) - 2. zh
Elektronok kvantummechanikája
atomokban, kristályokban
Alkalmazások Miről hallanál szívesen?
![Page 4: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/4.jpg)
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 16, 2019)
2. ELOADAS
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
• ez a ,,Balmer-sorozat”
• tovabbi vonalak lathatok mas �-tartomanyokban
Emlekezteto:
• E = h⌫
• c = �⌫
• 1 eV = 1 elektronvolt ⇡ 1.6⇥ 10�19
J
• SI alapegysegek:
meter (m)
kilogram (kg)
szekundum (s)
amper (A)
• J = kgm2s�2
• E foton energiakvantuma
• Planck-allando: h ⇡ 6.6⇥ 10�34
m2kg s
�1
• fenysebesseg: c ⇡ 3⇥ 108m/s
• �: feny hullamhossza
Hallgatói kérdés
![Page 5: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/5.jpg)
(I) Elektronok atomokbanIsm.: Atomok abszorpciós színképe vonalas szerkezetet mutat
fehér fénnyaláb
prizma
hidrogénatomok gáza
abszorpciós spektrum
Miért jelennek meg ezek a vonalak? A klasszikus fizika nem ad magyarázatot. A kvantumelmélet ad.
![Page 6: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/6.jpg)
Klasszikus vs. Kvantummechanika: állapotjelzők, fizikai mennyiségek, mozgásegyenlet
4
Fizikai mennyisegek a kvantummechanikaban: hely, impulzus.
A kvantummechanikaban a fizikai mennyisegeket linearis lekepezesek,vagy mas szoval linearis operatorok ırjak le.
Ezek a linearis operatorok minden hfv-hez egy masik hfv-t rendelnek.
hely: x : 7! (x : R ! C, x 7! x (x))
impulzus: p : 7!⇣p : R ! C, x 7! ~
id (x)dx
⌘
Feladat: Legyen (x) = 1⇡1/4
pae�
x2
2a2 .
(a) Normalt-e ?
(b) (x )(x) =?
(c) (p )(x) =?
Megoldas:
(a) Igen. Hazi feladat.
(b) (x )(x) = x 1⇡1/4
pae�
x2
2a2
(c) (p )(x) = ~i
ddx
1⇡1/4
pae�
x2
2a2 = � ~i⇡1/4a5/2xe
� x2
2a2
Klasszikus mechanika: determinisztikus joslat.m
Kvantummechanika: valoszınusegi joslat.
Fizikai mennyisegek varhatoerteke a allapotban:
hely varhatoerteke: hxi = h |x i
impulzus varhatoerteke: hpi = h |p i
![Page 7: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/7.jpg)
(I) Elektronok atomokban(I/D) Hullámfüggvény és részecskeáramsűrűség
Példa: egy darab elektron, egy dimenzió (1D)
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 16, 2019)
2. ELOADAS
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
Melyik hullamfuggvenyt latjuk?
a: pozitıv es hossz dimenzioju
k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
• ez a ,,Balmer-sorozat”
• tovabbi vonalak lathatok mas �-tartomanyokban
Emlekezteto:
• E = h⌫
• c = �⌫
• 1 eV = 1 elektronvolt ⇡ 1.6⇥ 10�19
J
• SI alapegysegek:
meter (m)
kilogram (kg)
szekundum (s)
amper (A)
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 16, 2019)
2. ELOADAS
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
Melyik hullamfuggvenyt latjuk?
a: pozitıv es hossz dimenzioju
k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
• ez a ,,Balmer-sorozat”
![Page 8: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/8.jpg)
Komplex értékű hfv ábrázolása ebben a videóban
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 16, 2019)
2. ELOADAS
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
Melyik hullamfuggvenyt latjuk?
a: pozitıv es hossz dimenzioju
k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
e�ikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
• ez a ,,Balmer-sorozat”
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 16, 2019)
2. ELOADAS
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
Melyik hullamfuggvenyt latjuk?
a: pozitıv es hossz dimenzioju
k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
e�ikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
• ez a ,,Balmer-sorozat”
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 16, 2019)
2. ELOADAS
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
Melyik hullamfuggvenyt latjuk?
a: pozitıv es hossz dimenzioju
k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
e�ikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
• ez a ,,Balmer-sorozat”
4
Elnevezesek:E0 =
12~!0: zerusponti energia
{E0, E1, . . . En, . . . }: spektrum, energiaspektrum
0: alapallapot
1: elso gerjesztett allapot
2: masodik gerjesztett allapot, stb.
L :=
q~
m!0
oszcillatorhossz
zerusponti kiteres
L = 1 nm
Feladat: Milyen hullamhosszu, frekvenciaju, es energiakvantumu
elektromagneses sugarzas kell ahhoz, hogy az oszcillator-potencialba zart
elektront az alapallapotabol az elso gerjesztett allapotaba felgerjesszuk,
ha az elektron zerusponti kiterese L = 1 nm?
Megoldas:
�E = E1 � E0 = ~!0 =~2
mL2 ⇡ 76 meV
⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz
� = c/⌫ ⇡ 16.3µm
(kozep-infravoros sugarzas)
Allıtas: az idofuggetlen SE megoldasai lenyegeben megoldjak az idofuggo SE egyenletet is.
Formalisan: ha H n = En n, akkor (t) = e�iEnt/~ n megoldja az idofuggo SE-et.
Bizonyıtas: ~i (t) + H (t) =
~i
�� iEn
~�e�iEnt/~ n + Ene
�iEnt/~ n = 0
Allıtas: a fenti (t) = e�iEnt/~ n stacionarius,
azaz barmely fizikai mennyiseg varhatoerteke ebben az allapotban idoben allando.
Bizonyıtas: (pelda)
h (t)|x (t)i =R1�1 e
iEnt/~ ⇤n(x)xe
�iEnt/~ n(x)dx =R1�1
⇤n(x)x n(x)dx = h n|x ni
ami tenyleg idofuggetlen.
hfv abszoluterteke es fazisszoge: (x) =
p⇢(x)e
i↵(x)
↵
1. ELOADAS
↵
�
�
4
Elnevezesek:E0 =
12~!0: zerusponti energia
{E0, E1, . . . En, . . . }: spektrum, energiaspektrum
0: alapallapot
1: elso gerjesztett allapot
2: masodik gerjesztett allapot, stb.
L :=
q~
m!0
oszcillatorhossz
zerusponti kiteres
L = 1 nm
Feladat: Milyen hullamhosszu, frekvenciaju, es energiakvantumu
elektromagneses sugarzas kell ahhoz, hogy az oszcillator-potencialba zart
elektront az alapallapotabol az elso gerjesztett allapotaba felgerjesszuk,
ha az elektron zerusponti kiterese L = 1 nm?
Megoldas:
�E = E1 � E0 = ~!0 =~2
mL2 ⇡ 76 meV
⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz
� = c/⌫ ⇡ 16.3µm
(kozep-infravoros sugarzas)
Allıtas: az idofuggetlen SE megoldasai lenyegeben megoldjak az idofuggo SE egyenletet is.
Formalisan: ha H n = En n, akkor (t) = e�iEnt/~ n megoldja az idofuggo SE-et.
Bizonyıtas: ~i (t) + H (t) =
~i
�� iEn
~�e�iEnt/~ n + Ene
�iEnt/~ n = 0
Allıtas: a fenti (t) = e�iEnt/~ n stacionarius,
azaz barmely fizikai mennyiseg varhatoerteke ebben az allapotban idoben allando.
Bizonyıtas: (pelda)
h (t)|x (t)i =R1�1 e
iEnt/~ ⇤n(x)xe
�iEnt/~ n(x)dx =R1�1
⇤n(x)x n(x)dx = h n|x ni
ami tenyleg idofuggetlen.
hfv abszoluterteke es fazisszoge: (x) =
p⇢(x)e
i↵(x)
↵
1. ELOADAS
↵
�
�
![Page 9: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/9.jpg)
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 16, 2019)
2. ELOADAS
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
Melyik hullamfuggvenyt latjuk?
a: pozitıv es hossz dimenzioju
k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
e�ikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
• ez a ,,Balmer-sorozat”
• tovabbi vonalak lathatok mas �-tartomanyokban
Emlekezteto:
• E = h⌫
• c = �⌫
A legalsó. (Hiszen egyedül az “nem tekeredik”, azaz valós értékű.)
![Page 10: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/10.jpg)
Példa: egy darab elektron, egy dimenzió (1D), szabad mozgás
Négy különböző kezdeti állapot. Ugyanaz a részecskesűrűségük.
Hogyan fejlődnek az időben?
![Page 11: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/11.jpg)
Példa: egy darab elektron, egy dimenzió (1D), szabad mozgás
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 16, 2019)
2. ELOADAS
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
Melyik hullamfuggvenyt latjuk?
a: pozitıv es hossz dimenzioju
k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
1. ELOADAS
↵
�
�
�
Négy különböző kezdeti állapot. Ugyanaz a részecskesűrűségük.
Hogyan fejlődnek az időben?
![Page 12: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/12.jpg)
Példa: egy darab elektron, egy dimenzió (1D), szabad mozgás
Négy különböző kezdeti állapot. Különbözőképpen időfejlődnek.
![Page 13: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/13.jpg)
Példa: egy darab elektron, egy dimenzió (1D), szabad mozgás
Megfigyelések:
1. Ugyanaz a kiindulási részecskesűrűség, de különböző mozgás. 2. Amelyik hfv nem tekeredik, az nem is mozdul el. 3. A hfv tekeredésének iránya megadja az elmozdulás irányát 4. Minél gyorsabb a hfv tekeredése, annál gyorsabb az elektron. 5. A tekeredés mértéke a mozgás során nem változik láthatóan.
![Page 14: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/14.jpg)
Kontinuitási egyenlet egydimenziós kvantummechanikában
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 16, 2019)
2. ELOADAS
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
Melyik hullamfuggvenyt latjuk?
a: pozitıv es hossz dimenzioju
k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
1. ELOADAS
↵
2
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
Legyen a = 1 nm es (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eix(5/a)
Egy dimenzioban mozgo elektron eseten mi a reszecske-aramsuruseg dimenzioja?
s�1
(1/szekundum)
Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2
1. ELOADAS
↵
�
�
�
![Page 15: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/15.jpg)
Kontinuitási egyenlet egydimenziós kvantummechanikában
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 16, 2019)
2. ELOADAS
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
Melyik hullamfuggvenyt latjuk?
a: pozitıv es hossz dimenzioju
k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
1. ELOADAS
↵
Feladat
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 16, 2019)
2. ELOADAS
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
Melyik hullamfuggvenyt latjuk?
a: pozitıv es hossz dimenzioju
k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
Legyen a = 1 nm es (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eix(5/a)
Egy dimenzioban mozgo elektron eseten mi a reszecske-aramsuruseg dimenzioja?
s�1
(1/szekundum)
2
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
Legyen a = 1 nm es (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eix(5/a)
Egy dimenzioban mozgo elektron eseten mi a reszecske-aramsuruseg dimenzioja?
s�1
(1/szekundum)
Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2
1. ELOADAS
↵
�
�
�
![Page 16: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/16.jpg)
Feladat
2
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
Legyen a = 1 nm es (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eix(5/a)
Egy dimenzioban mozgo elektron eseten mi a reszecske-aramsuruseg dimenzioja?
s�1
(1/szekundum)
Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2
Legyen a = 1 nm es k = 5 nm�1
.
Szamold ki es abrazold a hfv valos reszet, kepzetes reszet,
es a reszecske-aramsuruseget, az x 2 [�3 nm, 3 nm] intervallumban.
1. ELOADAS
↵
�
2
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
Legyen a = 1 nm es (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eix(5/a)
Egy dimenzioban mozgo elektron eseten mi a reszecske-aramsuruseg dimenzioja?
s�1
(1/szekundum)
Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2
Legyen a = 1 nm es k = 5 nm�1
.
Szamold ki es abrazold a hfv valos reszet, kepzetes reszet,
es a reszecske-aramsuruseget, az x 2 [�3 nm, 3 nm] intervallumban.
1. ELOADAS
↵
�
Megoldás
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.5
0.0
0.5
hely, x [nm]
egység:1
/nm
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.5
0.0
0.5
hely, x [nm]
egység:1
/nm
Re[ψ[x]]Im[ψ[x]]
-3 -2 -1 0 1 2 30.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
hely, x [nm]
részecske-áramsűrűség
j[ℏ/(m
ea2)]
megj: ℏ/(me a2) ≈ 1.16 ⨯ 1014 Hz
![Page 17: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/17.jpg)
Feladat
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.5
0.0
0.5
hely, x [nm]
egység:1
/nm
-3 -2 -1 0 1 2 30
1
2
3
4
5
hely, x [nm]
részecske-áramsűrűség
j[ℏ/(m
ea2)]
megj: ℏ/(me a2) ≈ 1.16 ⨯ 1014 Hz
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.5
0.0
0.5
hely, x [nm]
egység:1
/nm
-3 -2 -1 0 1 2 30.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
hely, x [nm]
részecske-áramsűrűség
j[ℏ/(m
ea2)]
megj: ℏ/(me a2) ≈ 1.16 ⨯ 1014 Hz
2
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
Legyen a = 1 nm es (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eix(5/a)
Egy dimenzioban mozgo elektron eseten mi a reszecske-aramsuruseg dimenzioja?
s�1
(1/szekundum)
Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2
Legyen a = 1 nm es k = 5 nm�1
.
Szamold ki es abrazold a hfv valos reszet, kepzetes reszet,
es a reszecske-aramsuruseget, az x 2 [�3 nm, 3 nm] intervallumban.
Hasonlıtsd ossze a k = 5 nm�1
es k = 10 nm�1
ertekekhez tartozo megoldasokat.
1. ELOADAS
↵
�
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.5
0.0
0.5
hely, x [nm]
egység:1
/nm
Re[ψ[x]]Im[ψ[x]]
-3 -2 -1 0 1 2 3
-0.5
0.0
0.5
hely, x [nm]
egység:1
/nm
Re[ψ[x]]Im[ψ[x]]
2
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
Legyen a = 1 nm es (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eix(5/a)
Egy dimenzioban mozgo elektron eseten mi a reszecske-aramsuruseg dimenzioja?
s�1
(1/szekundum)
Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2
Legyen a = 1 nm es k = 5 nm�1
.
Szamold ki es abrazold a hfv valos reszet, kepzetes reszet,
es a reszecske-aramsuruseget, az x 2 [�3 nm, 3 nm] intervallumban.
Hasonlıtsd ossze a k = 5 nm�1
es k = 10 nm�1
ertekekhez tartozo megoldasokat.
1. ELOADAS
↵
�
2
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
Legyen a = 1 nm es (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eix(5/a)
Egy dimenzioban mozgo elektron eseten mi a reszecske-aramsuruseg dimenzioja?
s�1
(1/szekundum)
Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2
Legyen a = 1 nm es k = 5 nm�1
.
Szamold ki es abrazold a hfv valos reszet, kepzetes reszet,
es a reszecske-aramsuruseget, az x 2 [�3 nm, 3 nm] intervallumban.
Hasonlıtsd ossze a k = 5 nm�1
es k = 10 nm�1
ertekekhez tartozo megoldasokat.
1. ELOADAS
↵
�
2
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
Legyen a = 1 nm es (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eix(5/a)
Egy dimenzioban mozgo elektron eseten mi a reszecske-aramsuruseg dimenzioja?
s�1
(1/szekundum)
Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2
Legyen a = 1 nm es k = 5 nm�1
.
Szamold ki es abrazold a hfv valos reszet, kepzetes reszet,
es a reszecske-aramsuruseget, az x 2 [�3 nm, 3 nm] intervallumban.
Hasonlıtsd ossze a k = 5 nm�1
es k = 10 nm�1
ertekekhez tartozo megoldasokat.
1. ELOADAS
↵
�
2
(1/hossz ⌘ hullamszam )
(a) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
(b) (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eikx
Melyik ez a hullamfuggveny?
(x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
x
Re( )
Im( )
idofuggo Schrodinger-egyenlet:
~i (x, t)�
~2
2m 00(x, t) = 0
idofuggo Schrodinger-egyenlet kovetkezmenye:
@⇢(x,t)@t +
@j(x,t)@x = 0 $ @
@t
R ba ⇢(x, t)dx = j(a, t)� j(b, t)
ahol a reszecske-aramsuruseg vagy valoszınusegi aram definıcioja
j(x, t) = Re
h ⇤(x)
pm (x)
i
Legyen a = 1 nm es (x) =1
⇡1/4pae�x2/(2a2)
eix(5/a)
Egy dimenzioban mozgo elektron eseten mi a reszecske-aramsuruseg dimenzioja?
s�1
(1/szekundum)
Jeloles: ⇢(x, t) = | (x, t)|2
Legyen a = 1 nm es k = 5 nm�1
.
Szamold ki es abrazold a hfv valos reszet, kepzetes reszet,
es a reszecske-aramsuruseget, az x 2 [�3 nm, 3 nm] intervallumban.
Hasonlıtsd ossze a k = 5 nm�1
es k = 10 nm�1
ertekekhez tartozo megoldasokat.
1. ELOADAS
↵
�
![Page 18: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/18.jpg)
(I) Elektronok atomokban(I/E) Stacionárius állapotok a kvantummechanikában
Klasszikus mechanika: stacionárius állapot = egyensúly. Példa: gödör alján nyugvó labda
Kvantummechanika: stacionárius állapot mást jelent.
![Page 19: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/19.jpg)
(I) Elektronok atomokban(I/E) Stacionárius állapotok a kvantummechanikában
3
Definıcio: (emlekezteto) Egy M matrixnak a v vektor sajatvektora a � sajatertekkel, ha Mv = �v.
Az Mv = �v egyenletet szokas sajatertek-egyenletnek hıvni.
Pelda: M =
✓0 1
1 0
◆.
Ennek sajatvektora
a v =
✓1
1
◆vektor a � = +1 sajatertekkel, es
a v =
✓1
�1
◆vektor a � = �1 sajatertekkel
Idofuggetlen Schrodinger-egyenlet = a Hamilton-operator sajatertekegyenlete
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
• ez a ,,Balmer-sorozat”
• tovabbi vonalak lathatok mas �-tartomanyokban
Emlekezteto:
• E = h⌫
• c = �⌫
• 1 eV = 1 elektronvolt ⇡ 1.6⇥ 10�19
J
• SI alapegysegek:
meter (m)
kilogram (kg)
szekundum (s)
amper (A)
• J = kgm2s�2
• E foton energiakvantuma
• Planck-allando: h ⇡ 6.6⇥ 10�34
m2kg s
�1
• fenysebesseg: c ⇡ 3⇥ 108m/s
• �: feny hullamhossza
![Page 20: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/20.jpg)
(I) Elektronok atomokban(I/E) Stacionárius állapotok a kvantummechanikában
3
Definıcio: (emlekezteto) Egy M matrixnak a v vektor sajatvektora a � sajatertekkel, ha Mv = �v.
Az Mv = �v egyenletet szokas sajatertek-egyenletnek hıvni.
Pelda: M =
✓0 1
1 0
◆.
Ennek sajatvektora
a v =
✓1
1
◆vektor a � = +1 sajatertekkel, es
a v =
✓1
�1
◆vektor a � = �1 sajatertekkel
Idofuggetlen Schrodinger-egyenlet = a Hamilton-operator sajatertekegyenlete
H = E
Az (E, ) megoldasban
• E-t energiasajaterteknek,
• -t energia-sajatvektornak vagy energia-sajatallapotnak vagy energia-sajatfuggvenynek
hıvjuk.
Pelda: Egydimenzios harmonikus oszcillator: E =p2
2m +12m!
20x
2, ahol !0 =
pk/m.
Ennek a rendszernek az idofuggetlen Schrodinger-egyenlete:
� ~22m
00(x) +
1
2m!
20x
2 (x) = E (x)
Ez egy kozonseges, masodrendu di↵egyenlet.
Peremfeltetelek: a hfv-nek normaltnak kell lennie, amihez szukseges ez:
limx!±1
(x) = 0
Keressuk azokat az (E, ) parokat, melyek
1. megoldjak a fenti idofuggetlen SE-t, es
2. kielegıtik a fenti peremfelteteleket.
Megoldasok:
• E0 =12~!0, 0(x) =
1⇡1/4
pLe�x2/(2L2)
• E1 =32~!0, 1(x) = . . .
• . . .
• En = (n+ 1/2) ~!0, n(x) = . . .
Elnevezes: 0: alapallapot
1: elso gerjesztett allapot
![Page 21: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/21.jpg)
(I) Elektronok atomokban(I/E) Stacionárius állapotok a kvantummechanikában
3
Definıcio: (emlekezteto) Egy M matrixnak a v vektor sajatvektora a � sajatertekkel, ha Mv = �v.
Az Mv = �v egyenletet szokas sajatertek-egyenletnek hıvni.
Pelda: M =
✓0 1
1 0
◆.
Ennek sajatvektora
a v =
✓1
1
◆vektor a � = +1 sajatertekkel, es
a v =
✓1
�1
◆vektor a � = �1 sajatertekkel
Idofuggetlen Schrodinger-egyenlet = a Hamilton-operator sajatertekegyenlete
H = E
Az (E, ) megoldasban
• E-t energiasajaterteknek,
• -t energia-sajatvektornak vagy energia-sajatallapotnak vagy energia-sajatfuggvenynek
hıvjuk.
Pelda: Egydimenzios harmonikus oszcillator: E =p2
2m +12m!
20x
2, ahol !0 =
pk/m.
Ennek a rendszernek az idofuggetlen Schrodinger-egyenlete:
� ~22m
00(x) +
1
2m!
20x
2 (x) = E (x)
Ez egy kozonseges, masodrendu di↵egyenlet.
Peremfeltetelek: a hfv-nek normaltnak kell lennie, amihez szukseges ez:
limx!±1
(x) = 0
Keressuk azokat az (E, ) parokat, melyek
1. megoldjak a fenti idofuggetlen SE-t, es
2. kielegıtik a fenti peremfelteteleket.
Megoldasok:
• E0 =12~!0, 0(x) =
1⇡1/4
pLe�x2/(2L2)
• E1 =32~!0, 1(x) = . . .
• . . .
• En = (n+ 1/2) ~!0, n(x) = . . .
Elnevezes: 0: alapallapot
1: elso gerjesztett allapot
2: masodik gerjesztett allapot, stb.
-3 -2 -1 0 1 2 30
2
4
6
8
hely, x
pot.energia,V(x)
Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1)
Andras Palyi1
1Department of Physics, Budapest University of Technology and Economics, Hungary
(Dated: September 17, 2019)
2. ELOADAS
elektrontomeg: m ⌘ me ⇡ 9.1⇥ 10�31
kg
R1�1 dxf(x)
ugyanaz, mint
R1�1 f(x)dx
Melyik hullamfuggvenyt latjuk?
a: pozitıv es hossz dimenzioju
k: pozitıv es 1/hossz dimenzioju
![Page 22: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/22.jpg)
-4 -2 0 2 4-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8
hely, x [nm]
hfv,
ψ[nm
-1/2]
ψ0(x)ψ1(x)ψ2(x)
(I) Elektronok atomokban(I/E) Stacionárius állapotok a kvantummechanikában
3
Definıcio: (emlekezteto) Egy M matrixnak a v vektor sajatvektora a � sajatertekkel, ha Mv = �v.
Az Mv = �v egyenletet szokas sajatertek-egyenletnek hıvni.
Pelda: M =
✓0 1
1 0
◆.
Ennek sajatvektora
a v =
✓1
1
◆vektor a � = +1 sajatertekkel, es
a v =
✓1
�1
◆vektor a � = �1 sajatertekkel
Idofuggetlen Schrodinger-egyenlet = a Hamilton-operator sajatertekegyenlete
H = E
Az (E, ) megoldasban
• E-t energiasajaterteknek,
• -t energia-sajatvektornak vagy energia-sajatallapotnak vagy energia-sajatfuggvenynek
hıvjuk.
Pelda: Egydimenzios harmonikus oszcillator: E =p2
2m +12m!
20x
2, ahol !0 =
pk/m.
Ennek a rendszernek az idofuggetlen Schrodinger-egyenlete:
� ~22m
00(x) +
1
2m!
20x
2 (x) = E (x)
Ez egy kozonseges, masodrendu di↵egyenlet.
Peremfeltetelek: a hfv-nek normaltnak kell lennie, amihez szukseges ez:
limx!±1
(x) = 0
Keressuk azokat az (E, ) parokat, melyek
1. megoldjak a fenti idofuggetlen SE-t, es
2. kielegıtik a fenti peremfelteteleket.
Megoldasok:
• E0 =12~!0, 0(x) =
1⇡1/4
pLe�x2/(2L2)
• E1 =32~!0, 1(x) = . . .
• . . .
• En = (n+ 1/2) ~!0, n(x) = . . .
Elnevezes: 0: alapallapot
1: elso gerjesztett allapot
2: masodik gerjesztett allapot, stb.
3
Definıcio: (emlekezteto) Egy M matrixnak a v vektor sajatvektora a � sajatertekkel, ha Mv = �v.
Az Mv = �v egyenletet szokas sajatertek-egyenletnek hıvni.
Pelda: M =
✓0 1
1 0
◆.
Ennek sajatvektora
a v =
✓1
1
◆vektor a � = +1 sajatertekkel, es
a v =
✓1
�1
◆vektor a � = �1 sajatertekkel
Idofuggetlen Schrodinger-egyenlet = a Hamilton-operator sajatertekegyenlete
H = E
Az (E, ) megoldasban
• E-t energiasajaterteknek,
• -t energia-sajatvektornak vagy energia-sajatallapotnak vagy energia-sajatfuggvenynek
hıvjuk.
Pelda: Egydimenzios harmonikus oszcillator: E =p2
2m +12m!
20x
2, ahol !0 =
pk/m.
Ennek a rendszernek az idofuggetlen Schrodinger-egyenlete:
� ~22m
00(x) +
1
2m!
20x
2 (x) = E (x)
Ez egy kozonseges, masodrendu di↵egyenlet.
Peremfeltetelek: a hfv-nek normaltnak kell lennie, amihez szukseges ez:
limx!±1
(x) = 0
Keressuk azokat az (E, ) parokat, melyek
1. megoldjak a fenti idofuggetlen SE-t, es
2. kielegıtik a fenti peremfelteteleket.
Megoldasok:
• E0 =12~!0, 0(x) =
1⇡1/4
pLe�x2/(2L2)
• E1 =32~!0, 1(x) = . . .
• . . .
• En = (n+ 1/2) ~!0, n(x) = . . .
Elnevezes: 0: alapallapot
1: elso gerjesztett allapot
2: masodik gerjesztett allapot, stb.
3
Definıcio: (emlekezteto) Egy M matrixnak a v vektor sajatvektora a � sajatertekkel, ha Mv = �v.
Az Mv = �v egyenletet szokas sajatertek-egyenletnek hıvni.
Pelda: M =
✓0 1
1 0
◆.
Ennek sajatvektora
a v =
✓1
1
◆vektor a � = +1 sajatertekkel, es
a v =
✓1
�1
◆vektor a � = �1 sajatertekkel
Idofuggetlen Schrodinger-egyenlet = a Hamilton-operator sajatertekegyenlete
H = E
Az (E, ) megoldasban
• E-t energiasajaterteknek,
• -t energia-sajatvektornak vagy energia-sajatallapotnak vagy energia-sajatfuggvenynek
hıvjuk.
Pelda: Egydimenzios harmonikus oszcillator: E =p2
2m +12m!
20x
2, ahol !0 =
pk/m.
Ennek a rendszernek az idofuggetlen Schrodinger-egyenlete:
� ~22m
00(x) +
1
2m!
20x
2 (x) = E (x)
Ez egy kozonseges, masodrendu di↵egyenlet.
Peremfeltetelek: a hfv-nek normaltnak kell lennie, amihez szukseges ez:
limx!±1
(x) = 0
Keressuk azokat az (E, ) parokat, melyek
1. megoldjak a fenti idofuggetlen SE-t, es
2. kielegıtik a fenti peremfelteteleket.
Megoldasok:
• E0 =12~!0, 0(x) =
1⇡1/4
pLe�x2/(2L2)
• E1 =32~!0, 1(x) = . . .
• . . .
• En = (n+ 1/2) ~!0, n(x) = . . .
Elnevezes: 0: alapallapot
1: elso gerjesztett allapot
2: masodik gerjesztett allapot, stb.
L :=
q~
m!0
oszcillatorhossz
zerusponti kiteres
4
2: masodik gerjesztett allapot, stb.
L :=
q~
m!0
oszcillatorhossz
zerusponti kiteres
L = 1 nm
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
• ez a ,,Balmer-sorozat”
• tovabbi vonalak lathatok mas �-tartomanyokban
Emlekezteto:
• E = h⌫
• c = �⌫
• 1 eV = 1 elektronvolt ⇡ 1.6⇥ 10�19
J
• SI alapegysegek:
meter (m)
kilogram (kg)
szekundum (s)
amper (A)
• J = kgm2s�2
• E foton energiakvantuma
• Planck-allando: h ⇡ 6.6⇥ 10�34
m2kg s
�1
• fenysebesseg: c ⇡ 3⇥ 108m/s
• �: feny hullamhossza
• ⌫: feny frekvenciaja
Allapotjelzok:
• pozıcio vagy hely vagy koordinata: x(t)
4
Elnevezesek:E0 =
12~!0: zerusponti energia
{E0, E1, . . . En, . . . }: spektrum, energiaspektrum
0: alapallapot
1: elso gerjesztett allapot
2: masodik gerjesztett allapot, stb.
L :=
q~
m!0
oszcillatorhossz
zerusponti kiteres
L = 1 nm
Feladat: Milyen hullamhosszu, frekvenciaju, es energiakvantumu
elektromagneses sugarzas kell ahhoz, hogy az oszcillator-potencialba zart
elektront az alapallapotabol az elso gerjesztett allapotaba felgerjesszuk,
ha az elektron zerusponti kiterese L = 1 nm?
Megoldas:�E = E1 � E0 = ~!0 =
~2
mL2 ⇡ 76 meV
⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz
� = c/⌫ ⇡ 16.3µm
(kozep-infravoros sugarzas)
Allıtas: az idofuggetlen SE megoldasai lenyegeben megoldjak az idofuggo SE egyenletet is.
Formalisan: ha H n = En n, akkor (t) = e�iEnt/~ n megoldja az idofuggo SE-et.
Bizonyıtas: ~i (t) + H (t) =
~i
�� iEn
~�e�iEnt/~ n + Ene
�iEnt/~ n = 0
Allıtas: a fenti (t) = e�iEnt/~ n stacionarius,
azaz barmely fizikai mennyiseg varhatoerteke ebben az allapotban idoben allando.
Bizonyıtas: (pelda)
h (t)|x (t)i =R1�1 e
iEnt/~ ⇤n(x)xe
�iEnt/~ n(x)dx =R1�1
⇤n(x)x n(x)dx = h n|x ni
ami tenyleg idofuggetlen.
1. ELOADAS
↵
�
�
�
-4 -2 0 2 4-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8
hely, x [nm]
hfv,
ψ[nm
-1/2]
ψ0(x)ψ1(x)ψ2(x)
![Page 23: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/23.jpg)
(I) Elektronok atomokban(I/E) Stacionárius állapotok a kvantummechanikában
4
Elnevezesek:E0 =
12~!0: zerusponti energia
0: alapallapot
1: elso gerjesztett allapot
2: masodik gerjesztett allapot, stb.
L :=
q~
m!0
oszcillatorhossz
zerusponti kiteres
L = 1 nm
Feladat: Milyen hullamhosszu, frekvenciaju, es energiakvantumu
elektromagneses sugarzas kell ahhoz, hogy az oszcillator-potencialba zart
elektront az alapallapotabol az elso gerjesztett allapotaba felgerjesszuk,
ha az elektron zerusponti kiterese L = 1 nm?
Megoldas:�E = E1 � E0 = ~!0 =
~2
mL2 ⇡ 76 meV
⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz
� = c/⌫ ⇡ 16.3µm
(kozep-infravoros sugarzas)
Allıtas: az idofuggetlen SE megoldasai lenyegeben megoldjak az idofuggo SE egyenletet is.
Formalisan: ha H n = En n, akkor (t) = e�iEnt/~ n megoldja az idofuggo SE-et.
Bizonyıtas: ~i (t) + H (t) =
~i
�� iEn
~�e�iEnt/~ n + Ene
�iEnt/~ n = 0
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
• ez a ,,Balmer-sorozat”
• tovabbi vonalak lathatok mas �-tartomanyokban
Emlekezteto:
• E = h⌫
• c = �⌫
4
Elnevezesek:E0 =
12~!0: zerusponti energia
0: alapallapot
1: elso gerjesztett allapot
2: masodik gerjesztett allapot, stb.
L :=
q~
m!0
oszcillatorhossz
zerusponti kiteres
L = 1 nm
Feladat: Milyen hullamhosszu, frekvenciaju, es energiakvantumu
elektromagneses sugarzas kell ahhoz, hogy az oszcillator-potencialba zart
elektront az alapallapotabol az elso gerjesztett allapotaba felgerjesszuk,
ha az elektron zerusponti kiterese L = 1 nm?
Megoldas:�E = E1 � E0 = ~!0 =
~2
mL2 ⇡ 76 meV
⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz
� = c/⌫ ⇡ 16.3µm
(kozep-infravoros sugarzas)
Allıtas: az idofuggetlen SE megoldasai lenyegeben megoldjak az idofuggo SE egyenletet is.
Formalisan: ha H n = En n, akkor (t) = e�iEnt/~ n megoldja az idofuggo SE-et.
Bizonyıtas: ~i (t) + H (t) =
~i
�� iEn
~�e�iEnt/~ n + Ene
�iEnt/~ n = 0
Allıtas: a fenti (t) = e�iEnt/~ n stacionarius,
azaz barmely fizikai mennyiseg varhatoerteke ebben az allapotban idoben allando.
Bizonyıtas: (pelda)
h (t)|x (t)i =R1�1 e
iEnt/~ ⇤n(x)xe
�iEnt/~ n(x)dx =R1�1
⇤n(x)x n(x)dx = h n|x ni
ami tenyleg idofuggetlen.
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
![Page 24: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/24.jpg)
(I) Elektronok atomokban(I/E) Stacionárius állapotok a kvantummechanikában
Oszcillátor energia-sajátértékei, energia-sajátfüggvényei:
diszkrét vagy kvantált energiaspektrum az elektron energiája nem lehet tetszőleges, csak diszkrét értéket vehet fel
![Page 25: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/25.jpg)
Klasszikus harmonikus oszcillátor
Kvantumos harmonikus oszcillátor
egyetlen egyensúlyi helyzet végtelen sok stacionárius állapot
egyensúlyban hely jól meghatározott
a hely még az alapállapotban sem jól meghatározott
egyensúlyban az összenergia nulla
még az alapállapotban sem nulla az összenergia
![Page 26: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/26.jpg)
(I) Elektronok atomokban(I/E) Stacionárius állapotok a kvantummechanikában
4
Elnevezesek:E0 =
12~!0: zerusponti energia
0: alapallapot
1: elso gerjesztett allapot
2: masodik gerjesztett allapot, stb.
L :=
q~
m!0
oszcillatorhossz
zerusponti kiteres
L = 1 nm
Feladat: Milyen hullamhosszu, frekvenciaju, es energiakvantumu
elektromagneses sugarzas kell ahhoz, hogy az oszcillator-potencialba zart
elektront az alapallapotabol az elso gerjesztett allapotaba felgerjesszuk,
ha az elektron zerusponti kiterese L = 1 nm?
Megoldas:�E = E1 � E0 = ~!0 =
~2
mL2 ⇡ 76 meV
⌫ = �E/h ⇡ 18.4 THz
� = c/⌫ ⇡ 16.3µm
(kozep-infravoros sugarzas)
1. ELOADAS
↵
�
�
�
• 4 abszorpcios szınkepvonal
• ez a ,,Balmer-sorozat”
• tovabbi vonalak lathatok mas �-tartomanyokban
Emlekezteto:
• E = h⌫
• c = �⌫
• 1 eV = 1 elektronvolt ⇡ 1.6⇥ 10�19
J
• SI alapegysegek:
meter (m)
kilogram (kg)
szekundum (s)
amper (A)
![Page 27: Modern Fizika Gépészmérnököknek Fizika M1physics.bme.hu/sites/physics.bme.hu/files/users/BMETE15...Project ‘DQDPhonon’ – Overview (v1) Andras Palyi1 1 Department of Physics,](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040818/5e63b8f9a7f26d4c021cf7e1/html5/thumbnails/27.jpg)
Összefoglalás
(I/E) Stacionárius állapotok a kvantummechanikában (diszkrét energiaspektrum egyik legegyszerűbb modellje)
(I/E) Hullámfüggvény és részecske-áramsűrűség