Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
-
Upload
solano-kathleen -
Category
Documents
-
view
220 -
download
0
Transcript of Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 1/15
“Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas
Biológicos”
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 2/15
I. INTRODUCCION
La belleza de las formas naturales y las formas intrincadas, estructuras en los
seres vivos han sido una fuente de asombro para los filósofos de la naturaleza
mucho antes de nuestro tiempo. Las formas de los seres vivos fueron utilizadas
desde la antigüedad como un medio de clasificar las relaciones entre los
organismos. El estudio de fenómenos que son la base de tales formas, aunque
más reciente, también se remonta a siglos anteriores.
En los ltimos tiempos el énfasis ha cambiado un poco en nuestro estudio de
desarrollo, la diferenciación y la morfogénesis de los seres vivos. !emos
llegado a reconocer que las formas de los organismos, as" como los modelos
de sus ho#as, abrigos, o escalas, surgen por procesos dinámicos comple#os que
abarcan muchos niveles de la organización, desde el subcelular hasta la
totalidad del individuo. $ientras el entendimiento detallado es incompleto,
algunos conceptos generales son ahora reconocidos como principios
subyacentes.
En primer lugar, en algn nivel, las formas de los organismos están
determinadas genéticamente. En segundo lugar, la forma final, el dise%o, o la
estructura es generalmente el resultado de mltiples etapas de desarrollo, cada
uno de ellos implica una variedad de influencias, intermedios y productos
qu"micos o factores f"sicos. & tercer lugar, durante el desarrollo son a veces
debido a cambios bastantes graduales que culminan en transiciones bruscas.
'or ltimo, las influencias ambientales y las interacciones con otrosorganismos, células o sustancias qu"micas pueden desempe%ar funciones no
triviales en el desarrollo. E(isten numerosas teor"as a#enas y modelos para la
diferenciación y la morfogénesis, as" como hay muchos aspectos a los
fenómenos. En lugar de tratar de generalidades, la discusión se basará en dos
modelos muy interesantes para el desarrollo y la morfogénesis que son de la
invención reciente.
En el primer modelo nos concentramos en el fenómeno de agregación, un
aspecto espec"fico de un sistema de desarrollo inusualmente curioso, los
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 3/15
mohos mucilaginosos celulares. )na ecuación diferencial parcial *'+E modelo
debido a -eller y egel. e presenta a continuación un segundo tema, el de
qu"micos morfógenos. La teor"a *debido a /$ 0uring tiene menos de 12 a%os,
pero se presenta como una de las nicas contribuciones más importantes de
las matemáticas ha hecho al ámbito de la biolog"a del desarrollo.
Los modelos presentados aqu" son e#emplos de una visión genuina que la
matemática puede contribuir a la biolog"a. Estos estudios de caso apuntan a
cuestiones fundamentales que ser"a dif"cil, si no imposible resolverse basado
en argumentos verbales e intuición biológica sola. Estos e#emplos refuerzan la
creencia que la teor"a puede tener un papel importante para #ugar en las
ciencias biológicas.
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 4/15
II. MARCO TEORICO
II.1. Moho mucilaginoso celular
Los mohos mucilaginosos son particularmente fascinantes criaturas que
ofrecen un e#emplo e(tremo de 3doble personalidad3. En su estado natal una
población moho de fango puede consistir en cientos o miles de células
ameboides unicelulares. 4ada uno de ellos se mueve de forma independiente y
se alimenta de bacterias mediante fagocitosis. !ay muchas especies de
hongos mucilaginosos se encuentran comnmente en el suelo5 uno de los más
estudiados con mayor frecuencia es discoideum +ictyostelium.
4uando el alimento se hace escaso, las amebas entran en una fase de hambre
y una interesante secuencia de acontecimientos se produce. En primer lugar,
una distribución uniforme de células inicialmente se desarrolla lo que parecen
ser los centros de organización llamado sitios de agregación. Las células se
sienten atra"dos por estos loci y se mueven hacia ellos, a menudo de una
manera pulsátil, en forma de onda. Los contactos comienzan a formarse entre
vecinos, y las corrientes de células convergen en un solo sitio, formando unamasa multicelular sin forma. El agregado sufre contorsiones curiosas en los
que su forma cambia varias veces. +urante un tiempo se toma la apariencia de
una babosa en miniatura que se mueve de una forma caracter"stica. Las
células que forman la parte delantera se convierten en algo diferente
bioqu"micamente de sus colegas en la parte trasera. &a se ha producido un
proceso de diferenciación5 si se de#a sin ser molestados los dos tipos de células
*llamado prespore y prestal6 tendrá suertes muy distintas7 las células
anteriores se convierten en células tallo mientras que las células posteriores se
convierten en esporas.
En esta etapa la diferenciación de la masa multicelular es an reversible. )na
fascinante serie de e(perimentos *véase el recuadro en la ección 88.9 se ha
llevado a cabo para demostrar que la relación de los dos tipos de células se
autorregula5 i una parte de la babosa se escinde, algunas de las células
cambian su tipo aparente a fin de preservar la proporción adecuada.
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 5/15
La colección babosa de células e#ecuta un movimiento de rastreo5 comprensión
del mecanismo subyacente apenas comienza a surgir *véase :dell y ;onner,
8<=>. / continuación, lleva a cabo una secuencia de formas, incluyendo la de
un domo. 4omo culminación de esta incre"ble secuencia de eventos, streaming
de celular se aseme#a a una 3fuente inversa3 trae todas las células prestal6
alrededor del e(terior y hacia aba#o a través del centro de la masa. El resultado
es un delgado tallo, bellamente esculpida que lleva una cápsula de esporas
lleno en su parte superior. 4on el fin de proporcionar una base estructural
r"gida, las células tallo endurecer y finalmente mueren. Las células de esporas
son por lo tanto cuentan con una oportunidad de sobrevivir a las durascondiciones, para ser dispersados por las corrientes de aire, y propagar as" las
especies en ambientes más favorables. +ado que las células del moho de
fango individuo no se reproducen después de la aparición de la agregación,
siempre hay alguna fracción de la población que está destinado a morir como
parte del material estructural. *!ay una tendencia natural a ver esta
antropomórficamente como un e#emplo de auto?sacrificio por el interés del
grupo.
$oldes del limo tienen fascinado a los biólogos durante décadas, no sólo por
su incre"ble repertorio, sino también debido a su sistema de desarrollo de fácil
acceso y maleable. !ay muchas preguntas intrigantes que deben abordarse en
la comprensión de la conducta social complicada de esta población de
organismos relativamente primitivas. 'ara esbozar sólo algunas preguntas
teóricas, tenga en cuenta7
8. @Aué hace que las células de agregar, y cómo las células 3sabe3 dónde
debe formar un centro de agregaciónB
C. @Aué mecanismos subyacen movimiento en la babosaB
9. Aué determina el compromiso preespora?prestal6, y cómo se controla la
relaciónB *Este es un problema de la regulación del tama%o en un patrón.
1. @4ómo se ordenan las células de modo que las células prestal6 y preespora
caen en lugares apropiados en la estructuraB
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 6/15
D. @Aué fuerzas conducen a la formación de una variedad de formas,
incluyendo la de la sporangiophore final *la estructura de soporte de esporasB
igura 88.8 ciclo de vida del discoideum +ictyostelium moho de fango que
muestra la secuencia de eventos que conducen a la formación del tallo de la
espora?transporte, el esporangióforo.
i bien la literatura teórica se ocupa de estas cuestiones, vamos a abordar sólo
el primero de ellos. *:tros temas son e(celentes materiales para el estudio
independiente avanzado. 0al vez entiende me#or hasta la fecha, el proceso de
agregación se ha analizado con bastante é(ito por -eller y egel *8<F2 en un
modelo matemático que lleva a una apreciación más fundamental de esta
etapa clave en la cadena más larga de los acontecimientos.
+urante muchos a%os se ha sabido que estas amebas secretan una sustancia
qu"mica que atrae a otras células. Gnicialmente llamado acrasin, se identificó
posteriormente como /$' c"clico *c/$', una molécula ubicua cuya función es
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 7/15
la de un mensa#ero intracelular. Las células también secretan la
fosfodiesterasa, una enzima que degrada el /$'c. la secreción de c/$' es
autocatal"tica en el sentido de que c/$' e(tracelular libre promueve an más
la secreción c/$' por una cadena de reacciones enzimáticas *en la que una
enzima unida a la membrana, la adenilato ciclasa, está implicada. El sistema
molecular se ha estudiado con cierta profundidad. 'ara dar un modelo m"nimo
para la fase de agregación, -eller y egel *8<F2 hicieron una serie de
supuestos simplificadores7
8. Las células individuales se someten a una combinación de movimiento
aleatorio y la quimiota(is hacia c/$'.
C. Las células morir ni dividan durante la agregación.
9. El c/$' atrayente se produce a una tasa constante por cada célula.
1. La velocidad de degradación de /$'c depende linealmente de su
concentración.
D. c/$' difunde pasivamente sobre el campo de agregación.
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 8/15
igura 88.C )nidos en la agregación de una distribución inicial uniforme de los
moldes de limo *cada punto representa una célula. H+e ;anner, I. 0. *8<F1. En
+esarrollo5 la biolog"a de la forma. ig. 9<, reimpreso con el permiso de
!arvard )niversity 'ress, 4ambridge, $ass., ig. 9<.
+e esta lista, sólo suposiciones 9 y 1 son simplificaciones drásticas.
Estos supuestos conducen al siguiente con#unto de ecuaciones, se da aqu"
para un dominio unidimensional7
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 9/15
+onde7
a*(,tJ densidad de celulares limo molde amebas por unidad de área en *(, t,
c*(,tJ concentración de c/$' *por unidad de área en *(, t,
IJflu#o
'or los resultados del cap"tulo <, los supuestos apropiados para quimiotáctica y
para el plomo movimiento aleatorio al flu#o términos que pueden ser
incorporados en estas ecuaciones5 entonces obtenemos lo siguiente7
+onde
u J motilidad ameboide,
K J coeficiente quimiotáctica,
+ J tasa de difusión de c/$',
f J tasa de secreción de /$'c por unidad de densidad de amebas,
6 J velocidad de degradación de c/$' en el entorno.
Las cantidades u, (, f, 6 pueden depender, en principio, en densidades
celulares y concentraciones qu"micas, pero para un primer paso que se supone
que son parámetros constantes del sistema.
Estudiaremos este modelo en dos etapas. En primer lugar, nos encontramos
con la solución más simple de las ecuaciones, es decir, una constante desolución en el espacio y el tiempo. Esto se denomina el estado estacionario
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 10/15
homogéneo. / continuación, vamos a e(aminar sus propiedades de estabilidad
y por lo tanto abordar la cuestión de la agregación.
11.2 ESTADOS ESTABLES OMO!"NEOS # $ERTURBACIONES NO
OMO!"NEOS
)n estado estable homogénea de un modelo de '+E es una solución que es
constante en el espacio y en el tiempo. 'ara las ecuaciones *C este tipo de
soluciones deben entonces satisfacer la siguiente7
donde7
/hora sustituir estos en las ecuaciones *Ca, b. :bserve que, dado que todos
los derivados son cero, se obtiene
En el estado estacionario homogéneo debe seguir ese
Esto significa que en cada ubicación de la cantidad de c/$' degradada
por unidad de tiempo coincide con la cantidad secretada por las células por
unidad de tiempo.
Es de interés para determinar si tales estados estacionarios son
estables. /l igual que antes, se analizan las propiedades de estabilidad,
considerando el efecto de peque%as perturbaciones. in embargo, un poco
novel.feature del problema a ser e(plotado es su dependencia espacial. 'ara
determinar si la agregación de los moldes de limo es probable que comience,
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 11/15
debemos mirar *también llamados no homogéneos perturbaciones
espacialmente no uniformes, y e(plorar si estos se amplifican o atenan.
i se produce una amplificación, a continuación, una situación cercana al
estado estacionario espacialmente uniforme desestabilizará, dando lugar a un
nuevo estado en el que predominan las variaciones espaciales. -eller y egel
*8<F2 identificaron la aparición de agregación con un proceso de
desestabilización. 4omenzando cerca de / y 4 tomamos nuestras
distribuciones ser
donde / y 4 son peque%os. En preparación, reescribimos *C en forma
ampliada
En esta forma las ecuaciones *>a, b contienen dos términos no lineales entre
paréntesis. *0odos los demás términos no contienen mltiplos o funciones no
lineales de las variables dependientes. in embargo, el hecho de que a y c
son peque%os permisos nosotros de#emos los términos no lineales. 'ara ver
esto, sustituto *Da, b en *>a, b y ampliar. Luego, utilizando el hecho de que a y
c son constantes y uniformes llegamos a las siguientes ecuaciones7
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 12/15
Los términos *+a M d( *;c M d( y adCc M +KC son cuadrática en las
perturbaciones o sus derivados y en consecuencia son de magnitud menor que
otros términos, siempre a y c y sus derivados son peque%as *ver problema 8.
/hora volvemos a escribir las ecuaciones apro(imadas7
0enga en cuenta que ahora son lineales en las cantidades a y c. obre la base
de una similitud con la ecuación de difusión se discutió en el cap"tulo anterior,
vamos a construir soluciones a las ecuaciones *=a, b a partir de las funciones
básicas comen cos q( y em q( pecado. in tratar de hacer frente en su
totalidad generalidad restringimos nuestra atención a las siguientes
posibilidades7
i bien esta suposición bastante especial puede parecer a primera vista
sorprendente, tiene sentido por varias razones.
8. Las funciones que aparecen como factores en las ecuaciones *<a, b están
relacionados con sus propias derivadas parciales primero y segundo *con
respecto al tiempo y el espacio, respectivamente. Estas funciones son por lo
tanto buenos candidatos para soluciones a las ecuaciones, tales como *= en el
que aparecen dt dC M d(C y d M. *+e hecho, este tipo de funciones, se mostró a
aparecer en lugar de forma natural en el cap"tulo <, donde nos encontramos
con sus partes espaciales como funciones propias del operador de difusión.
C. La dependencia espacial de 4: q( es la de una función con má(imos y
m"nimos?precisamente descriptivo de un campo de agregación donde hay
agotamiento de las células en algunos lugares y la acumulación en otros.
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 13/15
9. $ás tarde nos consideran e(pl"citamente el efecto del tama%o de dominio y
las condiciones de contorno en el proceso de agregación. Nimos en la ección
<.= que por fronteras impermeables, las funciones propias cos q( *donde el
nmero de onda q está adecuadamente definido es apropiado. Esto pronto se
discutirá con más detalle.
1. La dependencia del tiempo de *<a, b, e 3ser"a adecuado para aumentar o
disminuir las perturbaciones. Es hasta el análisis para determinar si crO 2 *es
decir, la inestabilidad del estado uniforme es compatible con el modelo.
D. En un e#emplo realista dado, a *(, t y c *(, t podr"a tener formas espaciales
más complicados. !ay, pues, un teorema *llamado el teorema de ourierP
análoga a la del /péndice del 4ap"tulo <, lo que garantiza que la forma
funcional espacial de las perturbaciones se puede e(presar como una suma
infinita de los cosenos. *Esta e(pansión se llama un coseno de ourier serie.
'ara simplificar, no son más que aislar un componente en *<. 'uesto que las
ecuaciones apro(imadas *=a, b son lineales, siempre es posible construir
soluciones generales de superposiciones lineales de otras más simples.
'erseguir las consecuencias de las hipótesis *< para las perturbaciones, que
sustituye *< en *= y diferenciar. Esto lleva a
)n factor de e Q e cos q( se puede cancelar para obtener un par de ecuaciones
en / y 47
/s" las ecuaciones *<a, b constituyen de hecho una solución de *=a, b,
siempre que las ecuaciones algebraicas *8 la, b están satisfechos. )na forma
de resolver estos trivial es establecer / J 4 J 2. *Esto es, de hecho, la nica
solución a menos que las ecuaciones son redundantes. 'ero esto no es lo que
queremos ya que significa que las perturbaciones a y c son idénticamente ceropara todo t. 'ara estudiar las perturbaciones no nulos que es esencial contar
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 14/15
con un 2 J R 2 y 4 J R5 la nica manera esto puede lograrse es mediante el
establecimiento el determinante de ecuaciones *LL/, b igual a cero7
La ecuación resultante para a? es entonces.
o, después de la reordenación de los términos, la ecuación cuadrática en cr7
dónde
/hora podemos abordar la cuestión de si la tasa de crecimiento Sr de las
perturbaciones nunca pueden tener una parte real positiva *Te aO 2. 'rimera
nota que los dos posibles ra"ces de *81a son7
ormulario *81b se observa que #= es siempre positivo, por lo que siempre hayuna ra"z cuya parte real es negativo. 'ara que la segunda ra"z de tener una
parte real positiva por lo que es necesario que el valor de y dado por *81 c sea
negativa Hvéase problema *leP7
4ondición para la agregación de celular limo moldes
7/23/2019 Modelos para el Desarrollo y la formación de patrones en Sistemas Biológicos
http://slidepdf.com/reader/full/modelos-para-el-desarrollo-y-la-formacion-de-patrones-en-sistemas-biologicos 15/15
*Uota7 Esto también implica que tanto a y c son nmeros reales. En estas
condiciones podemos concluir que la distribución de células homogénea es
inestable a las perturbaciones de la forma *< y que la población uniforme
comenzaremos a agregar.