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Os axiomas de HilbertDisco de Poincare

Semiplano de Poincare

Modelos para a Geometria Hiperbolica

Matheus Manzatto de Castro

Disciplina: MA770

Professor: Ricardo Miranda Martins

Campinas, 21 de novembro de 2016

Matheus Manzatto de Castro Modelos para a Geometria Hiperbolica



Conteudo

1 Os axiomas de Hilbert

2 Disco de Poincare

3 Semiplano de Poincare




O Problema das Paralelas

Problema

Os quatro primeiros postulados de Euclides implicam o quintopostulado.

Inicialmente,muitos matematicos achavam que o 5◦ Postu-lado poderia ser demonstrado pelos quatro primeiros, muitosate tentaram provar, mas sem sucesso, tais como Ptolomeu I,Proclus, Nasir Eddin All Tusin, John Wallis, Girolamo Saccheri,Johann Heinrich Lambert e Adrien Marie Legendre. Algunsdeles ate acharam que conseguiram, porem, apos sua morte,constataram que as demonstracoes estavam incorretas




Na tentativa de demonstrar o 5◦ Postulado, alguns matematicoschegaram a outros postulados que se substituıssem o 5◦ Postu-lado obteriam uma Geometria equivalente a Geometria Eucidi-ana.

Um dos mais conhecidos e do geometra escoces John Play-fair (1748-1819) que substitui o quinto postulado por: ”Por umponto fora de uma reta, incide uma unica reta paralela a retadada.”




Desenvolver do Problema ao Longo dos Anos

Giovanni Girolamo Saccheri (1667 — 1733) foi o primeiromatematico que comecou a tratar o problema por uma abordagemmais logica e axiomatica inves de apenas tentar resolver o problema.O seu artifıcio mais conhecido para tentar solucionar o problema dasparalelas foi o Quadrilatero de Saccheri.

O suıco-alemao Johann Heinrich Lambert(1728-1777), con-tinuou os estudos de Saccheri e mostrou que se o quadrilatero deSaccheri tivesse tres angulos retos, entao o quarto angulo poderiaser reto ou agudo.




O alemao Johan Carl Friedrich Gauss (1777-1855), apos variosanos tentando provar o 5◦ postulado de Euclides, acabou se conven-cendo que o postulado era realmente independente. Nestas tentati-vas, Gauss chegou a varios resultado de Geometria Nao-Euclidianaque nao foram publicados, pois Gauss so apresentava seus trabal-hos quando tinha certeza que nao haveria questionamentos sobre osresultados.

Janos Bolyai, em 1826, resolveu negar o 5o Postulado, encon-trando resultados de uma Geometria Neutra ou Absoluta, na qual aGeometria Euclidiana seria um caso particular.




O matematico russo Nicolai Lobachevsky (1793-1856) em 1826,numa conferencia no Departamento de Matematica e Fısica da Uni-versidade de Kasan, negou o 5◦ Postulado de Euclides afirmandoque ”Em um ponto fora de uma reta incidem duas retas que nao aintersectam” e submeteu um artigo que foi rejeitado, pela Academiade Ciencias e Sao Petersburgo.

Em 1854, o matematico alemao Georg Friedrich BernhardRiemann (1826-1866), em uma conferencia intitulada ”Sobre ashipoteses que estao nos fundamentos da Geometria”, propos quea Geometria deveria estudar as variedades de dimensao n.

Os matematicos Gauss, Janos Bolyai e Lobachevsky descobri-ram, quase que simultaneamente, uma Geometria Nao-Euclidianaque, em 1871, o matematico alemao Felix Christian Klein a chamoude Geometria Hiperbolica.




O matematico italiano Eugenio Beltrami (1835-1900) provoua independencia do 5◦ postulado de Euclides mostrando que aGeometria Hipebolica e tao consistente quanto a Geometria Eu-clidiana. Deste modo, nao poderia haver uma contradicao.

Em 1904,o matematico alemao David Hilbert (1862-1943)provou que se a Aritmetica e consistente, entao, a GeometriaEuclidiana tambem e consistente.

E finalmente em 1940, o logico Kurt Godel mostrou quea Aritmetica possui proposicoes indecidıveis e que uma teoria”suficientemente forte” como a Aritmetica, nao pode provar suapropria consistencia




Varios matematicos continuaram os estudos de Geome-trias Nao-Euclidianas, entre eles, destacamos Henri Poincareque criou dois modelos, no plano Euclidiano, para GeometriaHiperbolica chamados Semiplano de Poincare e o Disco dePoincare.




Os axiomas de Hilbert

Termos indefinidos:

Ponto;

Reta;

Plano;

Relacoes Indefinidas:

Incidencia;

Estar Entre;

Congruencia;




Axiomas de Incidencia:

Para cada dois pontos distintos existe uma unica reta queos contem;

Toda reta contem pelo menos dois pontos;

Existem pelo menos tres pontos que nao estao sobre umamesma reta e estao sobre o mesmo plano;




Axiomas de Ordem:

Se um ponto B esta entre A e C , entao, os tres pontospertencem a uma mesma reta e B esta entre C e A;

Para quaisquer dois pontos distintos A e C , existe pelomenos um ponto B pertencente a reta AC tal que C estaentre A e B ;

Se tres pontos distintos estao sobre uma mesma reta, naomais que um ponto esta entre os outros dois;

Axioma de Pasch




As relacoes de congruencia sao axiomas.

Axiomas de Continuidade:

Axioma de Arquimedes: Se AB e CD sao segmentos,entao existe um numero natural n tal que n copias de CDconstruıdas continuamente de A ao longo da semirretaAB passara alem do ponto B ;

Axioma da Completude da Reta (ou Axioma de Cantor):Se AnBn, n ∈ N,e uma colecao de segmentos encaixados,entao existe pelo menos um ponto P pertencente a todosos segmentos da colecao.




Axioma das Paralelas:

Em um ponto nao pertencente a uma reta incidem umaunica reta paralela a reta dada.

A Geometria Neutra e fundamentada nos Termos Indefinidos,nos Axiomas de Incidencia, de Ordem, de Congruencia e deContinuidade e a Geometria Hiperbolica e fundamentada na Ge-ometria Neutra acrescido de uma modificacao do Axioma dasParalelas.

Axioma das Paralelas para Geometria Hiperbolica:

Em um ponto nao pertencente a um reta incidem duasretas paralelas a reta dada.




Circunferencias Ortogonais

Definicao

Sejam C e D duas circunferencias nao coincidentes que seinterceptam em um ponto P . Se C e D possuem retastangentes s e t, respectivamente, em P , entao, dizemos que oangulo entre C e D em P e o angulo em s e t. Desta forma,dizemos que C e D sao circunferencias ortogonais em P se s et sao perpendiculares




Ponto inverso

Definicao

Dada uma circunferencia C de centro O e raio r , dizemos queo inverso do ponto P 6= O em relacao a C e o ponto P ′ sobrea semirreta OP que satisfaz a relacao |OP | |OP ′| = r 2

Teorema

O ponto inverso e unico.




Construcao do Ponto inverso




Teorema

Seja α uma circunferencia de centro O e raio r . Existe O, P eP ′ colineares, entao, P e P ′ sao inversos em relacao a α se, esomente se, qualquer circunferencia que passe por P e P ′ eortogonal a circunferencia α.




Disco de Poincare

No Modelo de Disco, Poincare da significado aos termos in-definidos:

Seja C o cırculo euclidiano de raio 1 e centro O e seja ϕa sua circunferencia. O Plano Hiperbolico, quechamaremos de D2, e o cırculo C , excluindo-se acircunferencia ϕ;

Ponto e um elemento de D2, sao os pontos do plano E(Plano Euclidiano) que estao no interior de ϕ,

Reta e um conjunto obtido por intersecao de C com areta que incide no ponto O, ou com uma circunferenciaortogonal a ϕ.




Construcao de uma reta dado 2 pontos

Teorema

Dado p e q 2 pontos em D2 existe uma unica reta hiperbolicaque passa por p e q.




Agulos (2 retas hiperbolicas que nao sao diametro)




Angulos (Dois diametros)




Angulos (Um diametro e uma reta hiperbolica)




Triangulos




Retas Paralelas a um Ponto




Circunferencia Hiperbolica

Definicao

Seja o ponto C ∈ D2 e uma distancia hiperbolica ρ,chamaremos de circunferencia hiperbolica o conjunto formadopor todos os pontos que estao a uma distancia ρ do ponto C .Assim, C e o centro hiperbolico e ρ e o raio hiperbolico.

Para calcular a distancia hiperbolica entre os pontos Ae B , tracamos a reta hiperbolica que passa por esses pontose consideramos os pontos C e D que estao na circunferenciaeuclidiana que define o Disco de Poincare, pode-se estabelecer

a seguinte relacao: d(A,B) =∣∣∣ln |AC |/|AD||BC |/|BD|

∣∣∣Matheus Manzatto de Castro Modelos para a Geometria Hiperbolica



Circunferencia Hiperbolica





No Modelo do Semiplano, Poincare da significado aos termosindefinidos:

Seja H = {(x , y) ∈ R2 : y ≥ 0} o semiplano de R2 e sejaL o eixo x . O Plano Hiperbolico, que chamaremos deH2, e semiplano H, excluindo-se a reta L;

Ponto e um elemento de H2, sao os pontos do plano Eque estao acima da reta L,

Uma Reta e uma circunferencia ortogonal a reta L ou umconjunto da forma {(x0, y) : y ≥ 0}, para algum x0 ∈ R .




-10 -5 0 5 10

-2

0

2

4

6

8

10




-10 -5 0 5 10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0




-5 0 5

-2

0

2

4

6

8

10

12




Angulos

-2 -1 0 1 2 3

0

1

2

3

4




Triangulos

-2 -1 0 1 2 3

0

1

2

3

4




Retas Paralelas

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0




Metrica em H2

Dados os pontos (x1, y1) e (x2, y2) ∈ H2 definimos a distanciadesses 2 pontos como:

d((x1, y1), (x2, y2)) = tanh−1

√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2√(x2 − x1)2 + (y2 + y1)2

.




Circunferencia em H2

-2 -1 0 1 2

0

1

2

3

4




Isometria entre D2 e H2

Teorema

f : D2 7→ H2, tal que

f (x , y) = 4(x , y) + (0, 2)

||(x , y) + (0, 2)||2− (0, 1)

e uma isometria entre D2 e H2 e g : H2 7→ D2, tal que

g(x , y) = 4(x , y) + (0, 1)

||(x , y) + (0, 1)||2+ (0,−2)

e sua inversa.




Isometria entre D2 e H2




References

Ricardo Silva Ribeiro e Maria Alice Gravina

DISCO DE POINCARE: UMA PROPOSTA PARAEXPLORAR GEOMETRIA HIPERBOLICA NOGEOGEBRA, UFRGS.

J. L. M. Barbosa

Geometria Hiperbolica

Impa, Publicacoes Matematicas, Terceira Impressao, 2007,167 p.

Carlos Bino Leal

GEOMETRIA HIPERBOLICA Consistencia do Modelo deDisco de Poincare , UFRPE , 2014.




References

Andre Devito, Araone Koaerece de Freitas eKenia Cristina Pereira

Geometrias Nao-Euclidianas, Unicamp

Marcos Antonio Sobral Filho, RenatoTeixeira Gomes

Os Modelos do Espaco Hiperbolico Hn e Dn e seus CasosParticulares em Dimensao 2


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