MODELOS MATEMÁTICOS DE

SISTEMAS FÍSICOS  Leyes básicas de los sistemas eléctricos 1.      Ley de corrientes de Kirchoff: En todo circuito sin

importar su configuración, la suma de corrientes en

cada uno de los nodos es igual a cero. . De otra manera: La suma algebraica de las corrientes fluyendo o saliendo de una unión en un circuito con dispositivos eléctricos es cero.

2.      Ley de voltajes de Kirchoff: En todo lazo cerrado de cualquier circuito la suma de tensiones es igual a cero.

. De otra manera: La suma algebraica de caídas o elevaciones de tensión alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero.

  Modelos matemáticos de sistemas mecánicos

traslacionales  Los sistemas traslacionales son aquellos en los cuales el movimiento se produce a lo largo de una línea recta, los elementos traslacionales activos son la fuerza y la velocidad, y los elementos pasivos son la masa, la elasticidad y el amortiguamiento. Masa: Una fuerza aplicada a la masa ocasiona una aceleración en la misma dirección en que es aplicada la fuerza. Se encuentra que experimentalmente la aceleración es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Def.: La masa m de un cuerpo se define como el factor de proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la aceleración que ella produce.

2da ley de Newton: ó

 

La aceleración se mide en la dirección de la fuerza, la masa permanece constante y es fijo el sistema de coordenadas en el cual se realizan las mediciones de desplazamiento, velocidad y aceleración. “La masa almacena energía cinética.”

 

  Resorte lineal  En un resorte se cumple la ley de Hooke, que establece lo siguiente: La elongación o compresión neta es directamente proporcional a la fuerza externa aplicada. 

 

Los términos y son los desplazamientos de

los dos extremos del resorte en sus posiciones iniciales, es la constante de proporcionalidad del resorte.  Una curva típica de un resorte se muestra en la siguiente figura: 

El factor es llamado rigidez del resorte y el reciproco

de se le llama complianza.

Un resorte cuya es una constante se le llama resorte de Hooke. El resorte almacena energía potencial.

 

 

Elemento de fricción lineal  El amortiguador en su forma mas simple. Un amortiguador consiste de un recipiente lleno con un líquido viscoso que contiene un pistón el cual comprime al fluido, si dicho fluido se comprime por el movimiento del pistón

este escapa rodeando al pistón a través de pequeños orificios taladrados en el pistón.0 Conforme el pistón se mueve le proporciona energía cinética al fluido, y esta energía se convierte en calor, por lo tanto, se disipa perdiéndose. La fuerza requerida para mover el pistón esta dada por la siguiente formula:

La constante se llama coeficiente de fricción viscosa o coeficiente del amortiguador. 

 

Modelos matemáticos de sistemas mecánicos rotacionales

  Estos son sistemas mecánicos en los cuales el movimiento se produce alrededor de un punto fijo. Los elementos activos son el Par y la Velocidad angular y los dispositivos pasivos que conforman a los sistemas rotacionales son la rigidez del resorte torsional, el momento de inercia y la fricción de los amortiguadores rotatorios.  El movimiento de inercia  La relación entre el movimiento de inercia y el par aplicado esta dado por la siguiente formula:

en donde es el par aplicado y es el momento de

inercia respecto a un eje fijo, es el desplazamiento angular, la ecuación resultante se basa en la 2da ley de Newton.  Resorte torsional  Si ambos extremos del resorte están libres para

moverse y sus desplazamientos respectivos son y

entonces para pequeños cambios de desplazamiento la relación matemática entre el par aplicado y las variaciones del desplazamiento son:

en donde es la rigidez del resorte. Prácticamente un resorte torsional se representa por una flecha o un eje que no este perfectamente rígido.

  El amortiguador rotacional  Las fuerzas fricciónales en sistemas rotatorios se ocasionan por la fricción entre flechas rotatorias y las chumaceras que las soportan. Usualmente las chumaceras se lubrican con algún fluido viscoso ocasionando que se pierda en ellos energía en forma de calor. El par necesario para girar la flecha contra la oposición del fluido viscoso se encuentra con la siguiente ecuación:

en donde y son los desplazamientos angulares de la flecha y del cilindro respectivamente de acuerdo con el plano de referencia. A la constante se le llama coeficiente friccional.

  Leyes básicas de los sistemas rotacionales  Las ecuaciones dinámicas de los sistemas rotacionales mecánicos se encuentran con la aplicación de la 2da ley de Newton y con el principio de D’Alembert y son:

 

 

Modelos matemáticos de sistemas neumáticos  La resistencia neumática  El caudal masa que circula a través de una tubería con

una pérdida de carga y el régimen laminar se escribe según la formula de Poisseville.

Diferencia de presión.

en donde la resistencia neumática viene definida por

, la caída de presión por unidad de longitud dividida entre el caudal masa.

Ohmios neumáticos. 

Viscosidad dinámica en New/m2.

Densidad en Kg/m3.

Diámetro interior del tubo en mts.

Longitud del tubo en mts.  Capacidad neumática  La capacidad neumática representa la posibilidad de acumular una cantidad de aire m bajo una diferencia de

presiones . Sin variaciones de volumen, el caudal masa que entra en el tanque compresor es:

Densidad. Masa. Volumen.

en donde el volumen del tanque se supone constante. La densidad del aire mantiene, de acuerdo con la ley general de los gases perfectos la siguiente relación:

Presión.

Presión atmosférica.

Presión del aire.

Capacidad neumática, dada en cm2.

Para volumen fijo.  Capacidad neumática con variaciones de volumen (sistema de fuelle y resorte) 

El volumen del depósito ahora no es una constante por lo cual la formula del caudal masa es la siguiente:

 

sustituyendo:

 

 

Capacidad neumática dinámica.

  Modelos matemáticos de sistemas hidráulicos

  Los sistemas hidráulicos están constituidos por recipientes llenos de líquidos que interconectados a tuberías, válvulas, tanques y a otros elementos. Este tipo de sistemas se analiza empleando las bases fundamentales de la mecánica de fluidos. Al nivel de

líquidos en los recipientes le llamaremos altura que se medirá en unidades de longitud.  La resistencia fluírica  Al tenerse una tubería o ducto sometida a presiones

diferentes en sus extremos se establece un flujo o gasto que esta en función de dichas presiones. Si la relación entre flujo y resistencia a las presiones es lineal se cumple el siguiente modelo matemático:

donde es la resistencia fluírica de la restricción en el ducto. Visto de esta manera, la altura de un fluido da lugar a una diferencia de presiones que hace salir un caudal de

fluido del recipiente, a dicho efecto se le opone la resistencia hidráulica propia de las tuberías u otros elementos con restricciones tales como válvulas manuales o automáticas. Para un tanque que se encuentra bajo la acción de su altura la resistencia hidráulica se define como: La variación de de altura en función de las relaciones de caudal.

Caudal fluídico en (m3/seg.).

Altura en metros.

Resistencia hidráulica en (seg./m2).  La capacitancia fluírica  Otro efecto en sistemas hidráulicos es el que se presenta en un tanque en cuyo fondo la presión aumenta al crecer el volumen de agua almacenado en el. El almacenamiento del líquido en un depósito es similar a la carga existente entre las placas de un condensador, puesto que la capacidad eléctrica se define como la variación de carga por unidad de tensión se puede definir a

la capacitancia hidráulica como la variación de volumen por unidad de carga.

en unidades de área (m2). Esta ecuación muestra que la capacitancia hidráulica es igual al área de la sección recta del depósito medida en el plano de la superficie del líquido. Su modelo matemático se expresa como sigue:

 

 

Modelos matemáticos de sistemas térmicos  En los sistemas térmicos dos de las variables que se pueden considerar son: la temperatura y el flujo de calor. Por ello solamente se toman en cuenta dos tipos de elementos, resistencias y capacitancias térmicas.  Resistencia térmica 

La ecuación para el flujo de calor a través de una resistencia térmica cuyos extremos se mantienen a diferente temperatura esta dada por:

y es la realización del flujo de calor a través de un cuerpo que tiene un calor especifico bajo.  Capacitancia térmica  Si los cuerpos son capaces de almacenar calor dando lugar a un aumento de temperatura en el cuerpo, entonces, la ley de conjunto que se relaciona con este fenómeno es:

 

Es el calor específico del cuerpo.

Es la capacitancia térmica.

Es la temperatura absoluta. 

I N I C I O

 

Cálculo a la estabilidad del equilibrio en cilindros hidráulicos de simple etapa

Stability calculation of a simple stage hydraulic cylinders

 

Víctor Gómez R1[1], Rafael Goytisolo E2[2], Juan José Cabello E1

 

RESUMEN. En el trabajo se plantea un nuevo esquema de análisis y se obtiene el modelo matemático correspondiente para los cálculos de estabilidad de los cilindros el cual considera la influencia de las holguras entre sus elementos, el peso propio del cilindro y del líquido hidráulico, los momentos de fricción en los apoyos articulados, las condiciones generales de rigidez de los apoyos y la ubicación de éstos a lo largo de su longitud, la inclinación del cilindro, las posibles excentricidades de la carga en ambos extremos, la variación en la pendiente producida por las holguras de los bujes guías y sellos así como las particularidades constructivas del vástago. En el trabajo se realizó la validación experimental del modelo matemático elaborado y se desarrolla una metodología práctica para la evaluación de la posible pérdida de la estabilidad en cilindros de simple etapa.

Palabras Clave: esquema de análisis en cilindros hidráulicos, modelo matemático de estabilidad, carga crítica.

ABSTRACT. In the present paper it is exposes a New Scheme of Analysis and a New Mathematical Model that allows to take into account all the particularities that it is presents in a Hydraulic Cylinder as compressed element with possible loss of it balance stability. Is present the experimental installation and the experiments results carried out to validate the Model and is present the Methodology to establish the conditions of loss of balance stability of the Simple Stage Hydraulic Cylinder.

Keywords: Scheme of analysis in hydraulic cylinder, stability mathematical model, critic load.

 

INTRODUCCIÓN

Las posibilidades de aplicación de los cilindros oleohidráulicos en la maquinaria agrícola es cada vez más conocida y generalizada. Los productores de estas aplicaciones oleohidráulicas, en busca de satisfacer las exigencias crecientes de sus clientes, de manera cooperada trabajan por lograr la simplicidad en el diseño con el objetivo de disminuir el peso total de la maquinaria, por garantizar la normalización de las partes y por elevar la vida útil de cada uno de los elementos componentes de manera que los costes sean asequibles. La producción mundial de cilindros oleohidráulicos, en una buena parte de los casos se efectúa a pedido del cliente. Se producen cilindros oleohidráulicos para el montaje en equipos y maquinarias agrícolas con exigencias específicas de fuerza, desplazamiento, dimensiones, peso de la instalación, condiciones ambientales, etc.

1

2

Para lograr estos objetivos, los fabricantes y diseñadores trabajan en la familiarización con las maquinarias para las cuales diseñan las soluciones.

Como se aprecia en la Figura 1 la industria de la maquinaria agrícola específica, ocupa el quinto lugar mundial entre aquellas áreas donde tiene mayor aplicación las soluciones oleohidráulicas.

 

 

 

FIGURA 1. Empleo de las soluciones oleohidráulicas en las diferentes industrias.

 

Desde el punto de vista constructivo los cilindros hidráulicos constituyen un elemento comprimido de dos tramos de rigidez diferente, en el caso de los de simple etapa y de numerosos tramos de diferentes rigideces en los telescópicos. Las condiciones de apoyo pueden ser muy diversas, desde el caso más simple de apoyos articulados en los extremos hasta el caso de un apoyo empotrado y el otro articulado, ambos apoyos empotrados o también alguno de los apoyos no tiene que estar en los entremos. Los cilindros hidráulicos excepcionalmente trabajan todo el tiempo en posición vertical, lo más común es que ocupen posiciones inclinadas o en algunos casos una posición completamente horizontal; esto implica que el peso propio del cilindro y el del líquido hidráulico constituyen, en estas condiciones, una carga transversal que empeora las condiciones para la posible pérdida de la estabilidad. Otro aspecto es que en las uniones deslizantes de los cilindros hidráulicos como son: el par de deslizamiento pistón – cuerpo del cilindro y la unión vástago – buje guía, existen holguras y en ellas existen elementos elásticos como son los sellos, de manera que en la realidad estas condiciones hacen que la línea elástica de un cilindro hidráulico, en condiciones de pérdida de la estabilidad del equilibrio, no es una función continua sino una línea quebrada, elemento este que complica cualquier análisis de estabilidad en estos elementos.

En la literatura técnica consultada se describen distintas expresiones para el cálculo a la estabilidad de los elementos comprimidos[1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,15,16,17,18,19,21], pero no existe ningún método de cálculo que permita considerar las particularidades mencionadas de los cilindros hidráulicos. El estudio de los catálogos de cilindros Hidráulicos suministrados por las fábricas productoras [12,13], permite inferir, dado el carácter extremadamente simple de las fórmulas que ofrecen para el cálculo de la carga crítica, que las particularidades descritas, relacionadas con los cilindros hidráulicos no han sido tomadas en cuenta y se realizan cálculos aproximados, susceptibles de ser perfeccionados.

La industria nacional, si bien en los inicios comenzó a partir de la reproducción de cilindros de otras firmas, hoy tiene sus propias metodologías y diseña completamente los cilindros que produce, sin embargo no se posee una metodología propia para calcular los mismos a la posible pérdida de la estabilidad del equilibrio por lo que se hace necesario desarrollar una metodología de cálculo que permita efectuar la comprobación de la estabilidad de los cilindros hidráulicos, en la etapa de diseño, a partir de esquemas de análisis y de modelos matemáticos

más precisos que describan los fenómenos y condiciones a las que están sometidos estos elementos de manera que se garantice un adecuado dimensionamiento, evitando de esta forma el sobredimensionamiento del vástago del cilindro y evitando al mismo tiempo su pérdida de la estabilidad durante la explotación.

 

MATERIALES Y MÉTODOS

Como se plantea en la introducción en la literatura técnica consultada se describen distintas expresiones para el cálculo a la estabilidad de los elementos comprimidos, pero no existe ningún método de cálculo que permita considerar las particularidades mencionadas de los cilindros hidráulicos. Para poder tomar en cuenta todas esas particularidades de los cilindros hidráulicos en su posible pérdida de la estabilidad del equilibrio, se hace necesario, en primer lugar, elaborar un nuevo esquema de análisis donde se incorporen todas esas particularidades y se requiere desarrollar un nuevo modelo matemático, en el cual partiendo de la ecuación diferencial aproximada de la curva elástica de la barra comprimida y cargada transversalmente a flexión, se obtenga una ecuación de la flecha de la barra para poder calcular el momento flector suplementario de la carga axial y el momento flector resultante provocado por las cargas transversales y la carga axial actuando simultáneamente. El comienzo de la posible pérdida de la estabilidad del cilindro hidráulico se halla entonces como aquella carga axial para la cual en la sección transversal del vástago comienza la fluencia y la pérdida total de la estabilidad se produce cuando toda la sección se deforma plásticamente produciéndose la colapsación plástica del vástago. El modelo matemático elaborado fue validado experimentalmente en una instalación experimental creada al efecto. Se desarrollo finalmente una metodología práctica para calcular la carga crítica del cilindro, la cual fue comparada para un cilindro en particular con los catálogos, demostrándose la valores obtenidos por las expresiones dadas en la efectividad de su empleo.

 

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Características generales del nuevo esquema de análisis propuesto.

En el nuevo esquema de análisis se tuvieron en cuenta los siguientes elementos no considerados con anterioridad:

             Las holguras existentes entre pistón – cuerpo y vástago – buje guía.

             El peso propio del cilindro y del líquido hidráulico.

             Los momentos de fricción en los apoyos articulados.

             Las condiciones generales de rigidez de los apoyos: empotrado, articulado, etc.

             La ubicación de los apoyos del cilindro a lo largo de su longitud.

             La inclinación del cilindro.

             Las posibles excentricidades de la carga en ambos extremos.

             La variación en la pendiente producido por la elasticidad de los bujes guías y sellos.

             Las particularidades constructivas del vástago: macizo o hueco, con o sin presión interior.

 

Esquema de análisis propuesto.

El Esquema de Análisis propuesto para un cilindro de simple etapa, se muestra en las Figs. 2a y 2b. Donde:

WCULATA y LCULATA – Peso y longitud de la culata.

WLH y LCP – Peso de líquido hidráulico y longitud del espacio que éste ocupa desde la culata hasta la cara frontal de la cabeza del pistón.

WC y LC – Peso y longitud del tubo del cilindro.

Wv y Lv – Peso y longitud del vástago.

Wcp, Wbg y Wtu – Peso de la cabeza del pistón, el buje guía y la tuerca de fijación respectivamente.

WOREJA y LOREJA – Peso y longitud de la oreja.

lp – Longitud de la culata al apoyo intermedio.

Se consideró que los dos tramos del modelo, CA y CB (Figura 2b), tienen una rigidez igual a la rigidez del cuerpo del cilindro y a la rigidez del vástago, respectivamente. Los mismos están cargados con cargas uniformemente distribuidas igual al cociente de la suma de los pesos de los diferentes elementos y del líquido hidráulico entre su longitud. El punto de transición C, es el punto donde el eje del cuerpo del cilindro y el eje del vástago se cortan cuando el sistema se deforma por la acción de las cargas actuantes. El peso W de la conexión deslizante entre el cuerpo del cilindro y el vástago fue considerado como una carga concentrada en el punto de transición C, como se muestra en la Figura 2b.

 

Modelo matemático elaborado.

Para una sección cualquiera en la porción del cuerpo del cilindro, el momento flector que provoca el pandeo es obtenido partiendo de la ecuación diferencial aproximada de la curva elástica de la barra para ese tramo, como

(1)

Donde,

E1 – Módulo de elasticidad del material del cuerpo del cilindro

I1 – Momento de inercia del cuerpo del cilindro en cuestión

El momento flector en esta misma sección provocado por las cargas externas y las reacciones es:

(2)

Donde:

yi – deflexión a cualquier distancia z en el cilindro con respecto a sus apoyos.

 

FIGURA 2a). Sistema real de carga de un cilindro hidráulico

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FIGURA 2b). Esquema de análisis y modelo del sistema real

Para mantener el equilibrio el momento interno y externo deben ser igualados por lo que al combinar las ecuaciones (1) y (2) se obtiene

(3)

Donde:

Se realizó un análisis similar en una sección cualquiera de la porción del vástago (sección 2–2, Figura 5) de donde se obtuvo que:

(4)

Donde:

Las ecuaciones diferenciales (3) y (4) describen el comportamiento de las desviaciones en el cuerpo y el vástago de un cilindro cargado. Aplicando las condiciones de contorno y de compatibilidad se obtuvo entonces la solución general para las ecuaciones (3) y (4) como:

(5)

y

(6)

La ecuación de la pendiente es igual a la primera derivada de la ecuación de pandeo (5) y (6) por lo que:

(7)

(8)

La ecuación del momento flector para la parte del cuerpo del cilindro se determinó por la ecuación (2) y de forma similar la ecuación para el momento flector en el vástago se determina mediante

(9)

 

Validación experimental del modelo propuesto.

Para la validación experimental del modelo propuesto se seleccionó un cilindro hidráulico producido en la Empresa Oleohidráulica de Cienfuegos “José Gregorio Martínez” con la nomenclatura CH.12.100/40.200.00.00.

Los ensayos experimentales (Figura 3) se efectuaron al cilindro en posición horizontal con un esquema de instalación articulado – articulado y completamente extendido, en una instalación diseñada al efecto.

FIGURA 3. Instalación del cilindro hidráulico utilizado en los ensayos experimentales para validar el modelo.

Se efectuaron las mediciones de la deformación (flecha) provocada por la acción de una presión aplicada de 12, 18 y 22 MPa. Para cada presión aplicada se efectuaron 3 repeticiones del experimento.

Los resultados experimentales y la validación del modelo se muestran en la Figura 4, alrededor de las curvas experimentales de 12 MPa y 22 MPa, se muestran los resultados del modelo para los tres valores de la pendiente inicial utilizados.

 

FIGURA 4. Deformaciones en diferentes puntos del cilindro según los resultados de los experimentos y del modelo.

Del análisis de los resultados del modelo expuestos en la Tabla 1 y en la Fig. 3 se obtienen, de forma general, valores de la deformación en cada punto con un error promedio igual a 9,21 %.

 

Metodología propuesta para evaluar la posible pérdida de la estabilidad de un cilindro hidráulico

Condición de inicio de la pérdida de la estabilidad en el cilindro hidráulico.

Teniendo en cuenta la expresión (9) para la determinación del momento flector en la zona del vástago se puede plantear la condición de inicio de pérdida de la estabilidad del equilibrio. Esta condición se caracteriza por la aparición de deformaciones plásticas en los puntos de mayor tensión normal de determinada sección del vástago donde las tensiones normales tienen su valor máximo. Esto ocurre cuando:

(10)

Donde:

- Tensión de compresión en el vástago provocada por la fuerza axial P.

- Tensión de flexión en el vástago provocada por las cargas axiales y transversales.

Se parte de la condición de que el límite de fluencia a la compresión es igual al de la flexión para los materiales empleados en la fabricación de los vástagos y que la

pérdida de estabilidad en el cilindro ocurre en alguna sección de la zona del vástago.

La tensión máxima en la zona del vástago (para el caso del vástago macizo) se puede calcular por la expresión:

(11)

Donde:

- Área del vástago

- Módulo de la sección a flexión del vástago

Entonces:

(12)

Donde:

dv- diámetro del vástago

P – carga axial del cilindro

- Tensión de fluencia en el material del vástago.

Procesando la ecuación (13) se puede obtener el valor de la carga axial para la cual se inicia la aparición de deformaciones plásticas en el vástago y por lo tanto se puede considerar que se inicia el proceso de pérdida de la estabilidad del equilibrio en el cilindro.

 

Condición de pérdida total de la estabilidad en el cilindro hidráulico.

El hecho de que comiencen a aparecer deformaciones plásticas en el vástago no significa en lo absoluto que se produzca la pérdida de la estabilidad del equilibrio en el cilindro.

Las tensiones normales debido a la flexión se distribuyen en la sección transversal del vástago de manera proporcional a la distancia de la línea recta y el inicio de la aparición de deformaciones plásticas implica solamente que las tensiones máximas de la sección alcanzarán muy localmente el valor de la tensión de fluencia. A partir de este instante y a medida que aumenta el momento flector, la fluencia se extiende en la sección en dirección al eje neutro, la pérdida total de la estabilidad se producirá cuando la fluencia se extienda a través de toda la sección, después de lo cual las deformaciones subsiguientes del vástago ocurrirán sin incremento de la carga axial. En la sección se forma lo que se conoce como

articulación plástica que transmite un momento flector igual al momento flector límite. O sea:

Según Pisarenko[16]

(13)

Donde:

Wpl – Momento resistente plástico de la sección.

Para una sección circular, según Pisarenko[16]:

(14)

La condición de pérdida de la estabilidad del equilibrio será entonces

(15)

De donde se puede obtener que:

(16)

De esta ecuación se puede obtener el valor de la fuerza P para pérdida total de la estabilidad del equilibrio.

La metodología propuesta se fundamenta en la aplicación de una carga axial inicial P, la obtención de la ecuación de la elástica, las pendientes y el momento flector a partir de la solución dada a las ecuaciones diferenciales del modelo propuesto y la aplicación del método de las cargas límites para precisar la condición de inicio y pérdida total de la estabilidad del equilibrio.

Si la condición (16) no se cumple para dicha carga, se eleva la misma en una magnitud DP y se repite el procedimiento hasta determinar la carga para la que se cumple la condición de carga límite, sobre la base de la cual se establecerá la carga crítica de inicio de pérdida de la estabilidad para dicho cilindro.

En los cálculos de estabilidad[8, 14], es frecuente considerar al cilindro hidráulico o como una columna axialmente cargada de diámetro igual al diámetro del vástago y de longitud igual a la longitud total del cilindro (Lc) completamente extendido (Figura 5a), o como una columna empotrada - articulada (Figura 5b) con diámetro igual al diámetro del vástago y con una longitud igual a la longitud del vástago completamente extendido, equivalente a Lc/2. En la industria oleohidráulica nacional se utiliza el primer esquema para los cálculos de verificación de rigidez en los cilindros hidráulicos en la etapa de diseño.

 Para un cilindro con una longitud total de Lc = 2 000 mm, dv = 25 mm y con el esquema mostrado en la figura 5 a) se obtiene, a partir del método clásico de Euler:

963,82 kgf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FIGURA 5. Esquemas de Análisis más utilizados por los fabricantes para los cálculos de estabilidad.

Por otra parte, para el esquema representado en la Figura 4b) el valor de la carga crítica es:

5 782,97 kgf .

 

Mediante la expresión (16) y las ecuaciones obtenidas en el trabajo para las flechas y los momentos, la carga crítica que establece el inicio de pérdida de la estabilidad en un cilindro hidráulico con el vástago fabricado de un material con

es:

1 947 kgf.

Del análisis anterior se deriva que los valores de presión límite recomendado por la industria oleohidráulica nacional están por debajo de los valores límites de pérdida de la estabilidad del cilindro según el modelo propuesto, por lo que este cilindro en realidad soporta cargas de trabajo alrededor de 1.5 veces por encima del valor de las recomendadas en la actualidad y, por consiguiente, sus partes están sobredimensionadas para los valores recomendados. Por el contrario, aquellos fabricantes que utilizan para el cálculo de la carga crítica el esquema de instalación mostrado en la Figura 5b) proponen valores de ésta equivalentes al doble de las obtenidas por el procedimiento propuesto en el trabajo, por lo que, en estos cilindros, se alcanzará la pérdida total de la estabilidad mucho antes de alcanzar el valor de la carga límite recomendada.

CONCLUSIONES

Se elaboró un nuevo esquema de análisis y un nuevo modelo matemático para realizar los cálculos de estabilidad en cilindros hidráulicos de simple etapa que a diferencia de todos los modelos y métodos existentes utilizados en la actualidad, permite tomar en cuenta aspectos fundamentales en la pérdida de la estabilidad de estos elementos como son:

o Las holguras existentes entre pistón – cuerpo y vástago – buje guía.o El peso propio del cilindro y el líquido hidráulicoo Los momentos de fricción en los apoyos articulados.o Las cualidades generales de rigidez de los apoyos: empotrado,

articulado, etc.o La ubicación de los apoyos del cilindro a lo largo de su longitudo La inclinación del cilindro.o Las posibles excentricidades de la carga en ambos extremos.o La variación de la pendiente producida por la elasticidad de los bujes

y los sellos.o Las particularidades constructivas del vástago: macizo o hueco, con o

sin presión interior. El modelo y la metodología de cálculo propuestos para la evaluación de la

posible pérdida de la estabilidad de un cilindro hidráulico fueron validados en una instalación experimental, montada con ese fin, donde se instaló un cilindro fabricado en la Empresa Oleohidráulica de Cienfuegos “José Gregorio Martínez”, colocado horizontalmente, bajo la influencia de su peso, las holguras existentes y para varios valores de carga axial. Se midió la flecha en cinco puntos distribuidos a lo largo del cuerpo y del vástago y los resultados fueron comparados con los del modelo obteniéndose un error promedio inferior al 10%.

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