MODELOS DE INTEGRACION

Angel Vegas

Traba]o presentado al II Coloquio Franco-Espa~ol de Invesfiggci6n Ope- rativa y IV Reuni6n Nacional de [n- vestigaci6n Operativa.

1. INTRODUCCION.

E1 prop6sito perseguido con este trabajo consiste en pretender un

modelo de decisi6n respecto a la integraci6n de los elementos pertene-

cientes a un conjunto, con objeto de constituir un elemento compuesto perteneciente asimismo a dicho conjunto, mediante una ley de compo- sici6n que se desprende de la propia naturaleza del fen6meno que

caracteriza la definici6n del conjunto total.

Supondremos que los elementos del conjunto son fen6menos alea- torios cuyos sucesos ocasionan resultados econ6micos y, por lo tanto, pueden ser representados matem~iticamente mediante sendas variantes, cuyos valores num6ricos representan las cuantfas de dichos resultados

econ6micos.

Ahora bien, como nuestro prop6si to es la elaboraci6n de un mode- lo de decisi6n, ser~ preciso definir la funci6n de utilidad correspondien-

t e a los resultados de la decisi6n, los cuales depender~in, por otra parte, de las consecuencias econ6micas r a la realizaci6n de los fen6menos que consti tuyen los e lementos que hart de integrarse.

Dada la categoria de la cuesti6n, parece opor tuno partir de la

definici6n de la "Utilidad-Riesgo".

17

Llamaremos "Utilidad-Riesgo" con un nivel e, correspondientea

una variante, t/ al nflmero H que cumple la condici6n

F ( H - O)< e F (H) >~ e

en la que F (x) es la funci6n de distribuci6n de dicha variante.

Expresaremos la "Utilidad-Riesgo" de la forma

Ire (77) = H

Como hizo notar el Profesor Sixto Rios en su reciente trabajo

"Procesos dinimicos de decisi6n en concurrencia" (R.A. de Ciencias,

1967) este funcional verifica los axiomas de Von Neuman, sobre la

funci6n de utilidad, excepto el mils criticado que es el de "sust i tuci6n".

Posee ademis otras importantes propiedades, tales como la de preferen-

cia absoluta de Mass6, razones por las que puede presentarse como espe-

cialmente apto para aplicaciones sobre inventarios y selecci6n de inver-

siones.

En virtud de lo expuesto, usaremos para la definici6n de la utilidad

dicho funcional V e (H) y, por ello, podremos denominar a los elementos

de cuya posible integraci6n tratamos, "unidades de riesgo" y a nuestro

problema "integraci6n de riesgos".

2. PROBABILIDAD DE RUINA.

Representemos por 7/t el proceso estocfistico que corresponde a la

situaci6n econ6mica de una unidad de riesgo a trav~s del tiempo t. Supondremos que el proceso comienza con una disponibilidad o reserva

inicial u. En el caso en que f/t < - - U diremos que se ha producido la

ruina de la "unidad de riesgo".

Si F t (y) es la correspondiente funci6n de distribuci6n, la probabi-

lidad de ruina ser~

rrt = ~_- u :d Ft (Y)= Ft ( - u )

es evidente que si suponemos que dicha probabilidad cumple la condi-

ci6n,

Ft ( - u - O) < e Ft ( - u) >~ e

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que en el caso de con t inu idad se reduce a

Ft ( - u ) = e

t e nd r e mos

Ve (rlt) = - u

De este resul tado deduc imos la i m p o r t a n t e consecuencia de que la

u t i l idad - r i e s g o con n i v e l - coincide con la reserva inicial con signo

menos , o lo que es lo mismo, dicha reserva inicial puede considerarse

c o m o la "desu t i l idad" .

Es 16gico que hablar de la s i tuaci6n de ruina entrafia el hecho de

que la un idad econ6mica cese en sus act ividades en el m o m e n t o en que

se p roduc e la ruina. Esto lleva consigo que si rlt < - u, r l t § = "fit rela-

ci6n que cons t i tuye una i m p o r t a n t e p ro p i ed ad de lo que l l amar iamos

procesos de ruina, en tend iendo por tales aquel los procesos en que se

puede hablar de "s i tuaciones de ru ina" en la fo rma en que lo h em o s

hecho .

Una p rop iedad impor t an t e de la p robab i l idad de ruina viene dada

por el s iguiente teorema.

Si R (y) es una funci6n decrec ien te y E (e R (Y) ) <<. 1 la p robab i l idad

de ruina rr t es igual o menor que e -R (-u) expres i6n i ndepend ien t e de t.

En efec to , t enemos f + o o f - U

E ( ~ ( Y ) ) : S : e'R(Y)dF'(Y)>>" / = eR(Y) d F t ( Y ) ~ eR(-u) / - ~ d F t ( y ) :

luego

= eR(-u)Trt

$r t <~ e -R{-u) E (e R(y))

pero como, E (eR(YO <<. 1, t e n d r e m o s en defini t iva,

"IT t ~ e -R(-u) [ 1 ]

Si e -R(-u)= a , - u ser~ la u t i l idad con un nivel e < a

Esto equivale a decir que si V cumple la cond ic i6n e-R(V)=Ft (- V)=-a,

19

en cuyo caso R ( - u ) > R ( -V) , es decir V~> u en tonces - V es la u t i l idad

de nivel a , equivalente a la u t i l idad - u de nivel e.

La de te rminac i6n de R (y) puede realizarse median te las siguientes

consideraciones .

Supongamos que las p robab i l idades P (7t > 0) y P (77 < 0) no son

nuXas en c u y o caso

~o(0) : E (eOrO =/_~ e Oy dF(y)

t i e n d e a ~ cuando 0 -~ + ~ 6 0 ~ -

Po t o t ra parte , como

~ o " ( O ) = j _ * ~ y ' e Oy d F ( O ) > 0

t e nd r e mos en definit iva que la func i6n carac ter is t ica ~o (0) t iene por re-

p resen tac i6n una curva parab61ica cuyo v6rtice, es decir, el valor min i -

mo co r re sponde a 0 > O, 0 = O, 0 < 0 s e g f n que m = E (77), sea nega t ivo ,

nu lo o posi t ivo.

En el caso pues en que E( r / ) > O, la ecuaci6n

~o (0) = / [21

t iene d o s s o l u c i o n e s , 0 = 0 y 0 = 00 s iendo 00 > 0

E v i d e n t e m e n t e p o d e m o s t o m a r en [ 1 ]

R (y) = - 00Ya que E (e -Ooy) = 1

y en tonces apl icando el t e o r e m a an te r io r t e n d r e m o s

7r t <<. e-R(-u)= e-OOu

La ecuac i6n [2] puede expresarse med ian te la func i6n cumula t iva

(0) = t ~o (0), a d o p t a n d o e n t o n c e s la fo rma :

(0) = 0 [31

Es conven ien te insistir en que este resu l tado solo sirve para el caso

en que P ( 7 /> 0) y P (77 < 0) no son nulas.

En lo sucesivo a = e -Oou, lo i n t e r p r e t a r e m o s c o m o el nivel de la

p robab i l idad de ruina de la un idad de riesgo.

20

3. UTILIDAD DE LA INTEGRACION.

La integraci6n de varias un idades econ6micas , supone que la nueva

un idad disponga, en el comienzo de st] exis tencia , de una cant idad suma

de las cant idades disponibles po r aqu611as, en el m o m e n t o de la integra-

ci6n, es decir, u = u l + u2 + . . . . + u n , u i represen ta la cant idad corres-

p o n d i e n t e a la i - e s i m a unidad integrada.

A1 ser u >~ u i tendremos, que la u t i l idad riesgo de la unidad obteni-

da es igual o inferior a la que co r re sponde a la unidad i - e s i m a . Si

X = r/l + r/2 + . . . . + r /n, t end remos :

V(x)= - u Ve(r/)= -u~

V e ( x ) < v e(17)

En vir tud de la propiedad de la " p r e f e r en c i a ef icaz" la func i6n de

d is t r ibuci6n cor respondien te a • es igual o m a y o r que la que correspon-

de a r/i.

Ahora bien, no se t ra ta de c o m p a r a r las util idades, en principio

heterog6neas , de X y r/i; sino de c o m p a r a r los resul tados econ6micos

que la integraci6n supone para cada unidad considerada individualmen-

te, con la ut i l idad que a esa misma un idad cor responde antes de la inte- graci6n.

En lo que sigue p r e t ende remos la soluci6n de este p roblema tenien-

do en cuen ta los anter iores resul tados .

4. FUNCION DE INGRESO.

Sean ~t Y *?t las variantes que represen tan el m o n t a n t e de siniestra-

l idad o nivel de quebran to y el benef ic io de la un idad de riesgo.

Ev iden t emen te que entre ambos procesos estoc~sticos existe la si-

guiente relaci6n:

r / t = K t - ~ t

en la que K t representa el m o n t a n t e de ingresos o cant idad necesaria

para cubrir el quebran to .

21

m o s

en donde ff~(-O) es la funci6n cumulativa. Como

m o s

Llamaremos recargo de s e g u r i d a d a la diferencia

K t - E ( ~ t ) = K t - m t = 7 t >~ 0 ,, K t = mr + 7t

Por lo tanto, el beneficio podrfi expresarse por

rlt = m t + ")'t - ~t

Si las funciones generatrices de ~t Y ~t SOI l ~0~(0)y ~0.0(0) tendre-

~rl(O)= e(mt+Tt )0 . ~p~(_O)= e{mt*3't )0 §

consecuencia, tene-

E (~Tt) = Yt

en la que u representa la reserva inicial de la unidad riesgo que conside-

ramos y 0 o cumple la condici6n (4)

La expresi6n

( m t + ~/t) O o - t ~ ( O o ) = 0 [4]

(0) - m + 7 [5 ]

0

recibe el nombre de "funci6n de ingreso".

Es evidente que el recargo 2' ser~i funci6n de las dos variables fun-

damentales de la unidad de riesgo, de aquella que pueden tomarse para

definir su estructura, es decir, u reserva o nivel econ6mico y c~, nivel de

la probabilidad de ruina. En efecto, si hacemos

P~ (rlt < - u ) <~ e-Oo u = a < 1

tendremos

I log c~ I Oo - [61

u

y por lo tanto, ~ ( l log c~l

3,= u ) I l o g c~l - m t [7 ]

1.g

22

Esta relaci6n just i f ica el porqu~ se d e n o m i n a r ecargo de s e g u r i d a d ,

ya que su misi6n no es o t ra que garant izar la pervivencia de la compaf i i a

aseguradora t en iendo en cuen ta su s i tuaci6n econ6mica .

E1 rango de ~t puede incluir valores negat ivos cu y o significado se-

r ia de un benef ic io , es decir, un i n c r e m e n t o de las posibi l idades de la

un idad de riesgo.

4.1. Prop iedades de la func i6n de ingreso.

El desarrol lo de la func i6n cumula t iva es, segfin se sabe,

0 2 03 ( 0 ) = K , 0 + K 2 2--7 + K 3 ~ + . . . .

en la que K r es el m o m e n t o cumula t ivo de o rd en r y, por lo tan to ,

K1 = m " K2 = a2

luego

qJ (0) 0 0 2 - - = m + a 2 - + K 3 + [8]

0 2 ~ . t . . . .

De aqu / deduc imos que el recargo de seguridad puede expresarse

de la f o r m a

3' = 0 2 O~ O~ cr 2 I l og a l I l og a 12 - - + K a - - + = + K 3 2 3 / . . . . 2 u 3 / u 2

Por def inic i6n I l o g a l ha de ser n o r m a l m e n t e m u y pequefia , ya u que a es el nivel de probabi l idad de ru ina y u la reserva de origen que

mide el nivel e con6mico de la un idad de riesgo, c o m o ya sabemos. Asi,

si po r e jemplo ,

= 0 ' 0 5 y u = 1 . 0 0 0 . 0 0 0 es 0 o = 0 ' 0 0 0 0 0 3

La func i6n de ingreso serfi, en t6 rminos generales, c rec ien te res-

p e c t o a 0.

En e fec to , su derivada tendr~i la fo rma

0 - - = - - 2 + K3 ~ + ~ o ( 0 )

23

que se mantendr~ positiva siempre que se verifique la relaci6n

3 cr 2 0 < - -

2 I K31

En virtud de las consideraciones anteriores, afin en el caso de que

el proceso del montante de quebranto definiese una distribuci6n fuerte-

mente asim6trica (K3 es el coeficiente de asimetria), 0 o cumpliria gene-

ralmente la anterior relaci6n.

De todo esto se deduce que la funci6n de ingreso es decreciente

respecto de la reserva u.

Reparemos en que las variaciones de valor en la funci6n de ingreso

repercuten en [5] en el recargo de seguridad, ya que m t = E (~ t ) perma-

nece inalterable por ser ~t independiente de la reserva inicial u, es deck,

no depende del nivel econ6mico de la unidad de riesgo.

Es evidente que la necesidad de un mayor recargo de seguridad

corresponde a una peor situaci6n en la unidad de riesgo.

Este resultado nos conduce a la afirmaci6n de que la cuantia de % recargo de seguridad, es una expresi6n cuantitativa de la situaci6n de

desutilidad o quebranto de la unidad de riesgo.

Por otra parte, puesto que el nivel de la probabilidad de ruina a se

considera constante, la variaci6n d e - u , utilidad-riesgo, conduce por el

principio de la preferencia absoluta, a una nueva funci6n de distribuci6n

de 77t cuyo valor medio es m t + % tambi6n variar~ y e n el mismo sentido.

5. FUNCION DE INTEGRACION.

Llamaremos f u n c i 6 n de in tegrac iOn a la funci6n de ingreso que co-

rresponde a un conjunto T de unidades de riesgo, consideradas integra-

das en una nueva unidad.

Suponemos que las reservas son ux , u2 . . . . . . . U T , que el nivel de

probabilidad de ruina a es el mismo para todas, y que las variantes de

quebranto son, estoc~sticamente independientes, por lo que la funci6n

de integraci6n serd

24

en la que 0 r es igual a

v ( T ) =

tlog ai

~, u r r~T

~ r (OT)

Or

Por la independencia estocfistica

luego

~ T ( O T ) = ~ ~ r ( O T ) [8] r 6 T

v (T ) - 11t r (0 T)

r 6 T i

OT

Como consecuencia de esta definici6n aparecen las siguientes pro-

piedades:

I.- v (r = 0 S

II.- v ( T , u T 2 u . . . u T s ) ~ ~-, v(Tr)," T i nT]= ~ t = l

La primera propiedad es evidente, ya que no tiene sentido hablar

de ingreso distinto de 0 en el caso en que no exista ninguna unidad

de riesgo.

La segunda se desprende del hecho de ser creciente con la funci6n

de ingreso. En efecto,

Z reT~UT2U... UTs ~ (0r'Ur2U "'" UrS)

v ( T i u T 2 u . . . u T s) = O r t u r 2 u . . . U r s

~ r T S ) reTi ( O T I U T 2 U . . . U = + . . . +

OT 1 U T 2 U . �9 �9 UT S

Z ~r ( O r l u 1 r : u �9 �9 u r s , reT S

OT 1LA T2 U . . . U T S

Z <. reT1 ~r (OT,) ~ ~r(OTs )

+ . . . . "t- r e T s

0 r~ Or~ = v (T~) + . . . . + v ( T s ) [9]

25

Luego $

6rGs Tr) <- ~ v 6Tr) I: r = l r= 1

Es claro que

O T I U T 2 U . �9 . U T s ( OTi

ya que

O TI U T2L). �9 . L) Ts =

Ilog ~ [ l l o g ~1 < Z Ur Z Ur

r E T I U . . . U T s r E T i

De todo esto se deduce que la integraci6n siempre supone una ventaja para el grupo en total. Se trata ahora de ver c6mo debe repartir-

se esa ventaja.

6. ASIGNACION DEL BENEFICIO.

Hemos visto que seg6n las propiedades de la funci6n de integraci6n es siempre ventajosa la integraci6n para el conjunto de unidades inte-

gradas, es decir,

Z v( i ) > v ( T ) i ~ T

En la que v (i) es la funci6n de ingreso de la entidad.

La cuesti6n que ahora se presenta es la distribuci6n del beneficio:

Z v ( i ) - v ( T ) = B

Vamos a servirnos del esquema 16gico de los juegos de estrategia en

virtud de que la funci6n de integraci6n cumple las condiciones de fun-

ci6n caracterfstica de juego y, por tanto, podremos considerar un jue-

go n personal con dicha funci6n caracterfstica y pretender una soluci6n

del problema con la ayuda de la teorfa de esta clase de juegos.

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Recordaremos que la funci6n caracteristica de juego V (7") es el valor del juego correspondiente del conjunto T considerado como un s61o jugador, es decir, integrando una "'coalici6n". Sabido es que esto indica que los jugadores coaligados pueden elegir de comOn acuerdo la estrategia que han de adoptar para que el resultado individual del juego, es decir, la imputaci6n o asignaci6n, sea la m~s ventajosa de acuerdo

con el inter6s de la comunidad integrada en la "coalici6n".

E1 problema de la obtenci6n de soluci6n del juego consiste, pues, en determinar los m6todos posibles de imputar las ganancias individua- les al terminar la partida. Podemos afirmar que la soluci6n nos da un

"esquema de finalidad" definido por relaciones de orden en las asigna-

ciones, const i tuyendo una "preferencia eficaz".

La teorfa de juegos de Neumann y Morgensten, considera la solu- ci6n del juego como el conjunto de asignaciones que entre si no son

"dominantes" , es decir, que no es preferida la una a la otra, y e n cambio

cualquier otra asignaci6n que no pertenezca a la soluci6n es preferida por cualquiera de las que pertenecen a ella. Se ha podido demostrar que en los juegos hasta de cuatro jugadores existe soluci6n.

Los m~s recientes estudios sobre los juegos de estrategia a trav6s de la teoria de "grafos" han evidenciado que un juego finito, n personal es un grafo "progresivamente f ini to" el cual posee siempre "nficleo", o sea un conjunto de puntos que entre si no son adyacentes, es decir, que no son correspondientes en la aplicaci6n que supone el grafo y, por el

contrario, cualquier punto exterior siempre tiene por correspondiente

uno interior al nflcleo. De acuerdo con la definici6n de soluci6n de jue- go se ve claramente que 6sta coincide con la del nOcleo del correspon- diente grafo. Esto nos permite referirnos consistentemente a la teoria de juegos para obtener consecuencias 16gicas.

Las propiedades fundamentales de la funci6n caracterfstica de jue- go, son las siguientes:

I.- v (r = 0

lI.- v ( u T i)> Z v ( i ) Ti~._7"/ = I

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Se demuestra que una funci6n de conjunto que cumple esas condi-

ciones define un juego.

En el caso en que la suma de los pagos a realizar por los jugadores

sea distinto de O, tendremos

v (Tn) 4: 0

en la que T n representa el conjunto total de jugadores. Evidentemente,

en el caso de juegos de "suma 0", tendremos

v (T n) = 0

Las imputaciones o asignaciones a cada uno de los jugadores, han

de cumplir evidentemente las siguientes condiciones

xe>. v(O t'I Z X i = v ( T n) i

ya que es claro, que lo que corresponda al jugador i como consecuencia

de la coalici6n, no puede ser inferior a lo que le correspondiera jugando

por su cuenta exclusivamente.

La asignaci6n correspondiente al jugador i estar~i, por lo tanto, en

el intervalo

v (T n) --r~_ff:i 12 (r) > X i >1 12 ( i )

La determinaci6n de un valor concreto para X, exige consideracio-

nes de car~cter marginal o complementario, ya que, como hemos dicho,

la soluci6n del juego es un "esquema de finalidad" que recoge el conjun-

to de formas de distribuir las consecuencias del juego, la designaci6n de

una forma concreta de asignaciones trasciende de la finalidad de la teo-

rfa de juegos.

Nosotros pretendemos a continuaci6n una soluci6n concreta a

nuestro problema.

La propiedad fundamental de la funciOn de integraci6n es, segfin

28

sabemos, la siguiente

v (U T i) <<. ~ v ( T i) T i N Tj = (p

ya que I; ~,~ (Our,.)

reU T i v (U T i) =

OUT i

~, ~, (Or) v (r i ) -

OuT~

en los que c o m o sabemos

I log o~1

OUT, . - Z UTi

l log a l

O Ti - UT i

Siendo ur. la suma de las reservas de las T i unidades integradas i

y ~ el nivel de probabi l idad de ruina.

Por o t ra parte es evidente que

v ( ~ ) = 0

Conviene reparar en que la " f u n c i 6 n de in tegrac idn" se ref iere al

ingreso necesario para cubrir el posible q u e b r a n t o , co m o ya sabemos;

en cambio , la func i6n caracter is t ica de juego, c o m o hemos recordado ,

co r r e sponde a la ganancia ob t en ida po t el grupo T. Por esta raz6n el

sent ido de la desigualdad en la re laci6n fu n d am en ta l es el cont rar io .

Si l lamamos P~ P2 .. . . . . . . Pn a l a s asignaciones que co r respondan a

las ent idades integradas de acue rdo con 1o d icho an te r io rmen te , tendre-

mos

Y" ~}r (OT n ) r=l

Z Pi = v ( T n ) = [9] O T,,

29

y, por otra parte,

luego

~ i (Oi )

Oi

t l

~lr (O T n ) ~ r ( O r ) ~l i (O i) 1

x [lo1 O rn r:/:i O r 0 i

Para la obtenci6n de los valores concretos de Pi procederemos de

la siguiente forma:

Supongamos una ordenaci6n de las n unidades de riesgo iz, i2 . . . . i n que responde a una politica de integraci6n sucesiva, es decir, la unidad i~ consigue incorporar a la i2, i~, e i2 conjuntamente, incorporan a i3 y asf sucesivamente. Las asignaciones que corresponden a estas integracio-

nes sucesivas se hacen con el siguiente criterio

~ i I ( O i I )

Pi , = Oi '

Pi2 =

p .~.

; is i

o

i

Pin =

2

Z 1 ~i r (Oi 1' i2 ) ~ i I (Oi I )

Oit, i: Oi~

S S - I

~ i r ( O i l , i 2 . . " is.1 ) Z ~)ir (Oi l i2 is ) r = l , . . . r=l

Oil , i2 . . . is O i l , i2 �9 �9 �9 is. !

rl r l . l

~, ~ i r (Oi l i2 " . . in ) Z ~ i r (O i l ) r =1 ' r : l , i 2 �9 �9 �9 in. 1

Oil , i2 �9 �9 �9 i n O i l . i2 " " �9 in. 1

30

En las que

I log a l Oi I i2 , . . . . i s = + + +

, , blii Ui 2 . . . . lXis

Es evidente que las Pi~ cumplen las condiciones

n X @i n ( O i l , " ' " , i n ) X P i r =

r = l O. t l , i2 , . . . . , i n

~li r ( O i r ) P . > r ~ l

ly O. l F

~Ji I (Oi I ) P , , - [111

Oi l

Todas estas asignaciones dependen del orden elegido, el cual supo-

ne que la unidad i l , que inicia el proceso de integraci6n no se beneficia

en nada, ya que su asignaci6n coincide con el valor de su funci6n de

ingreso. Para que se pueda hablar de una verdadera soluci6n, los conjun-

tos de posibles asignaciones no deben estar relacionadas por correspon-

dientes preferencias, por ello parece 16gico que consideremos un proce-

so de integraci6n sucesiva de carficter aleatorio, suponiendo las ~ orde-

naciones posibles como igualmente probables. Sobre esta base definimos

la variable aleatoria que toma valores P r l , P r 2 . . . . . . . . . Pri . . . . . . . . . Prn, con

las probabilidades

n - l 1

/7 g/

Prf representa la asignaci6n que corresponde a una ordenaci6n en

que la entidad r ocupa el lugar t. Su valor serfi, por tanto,

X J4(Or) X ~ (OT._r) s 6 T s 6 T

Prt = O r - O v - r [ 1 2 ]

31

"l-omamos c o m o asignaci6n def ini t iva el valor medio

l E [P~] = / r r = ~ - - t~ [131

ii

Es f~icil vcr que la suma de las p robab i l i dades es igual a la un idad ,

en e fec to

n 1 - - = /

t=l H

Las asignacione,~ .~cr~in, pues, rr~, rr 2, .... , rr n que e v i d e n t e m e n t e

cumplen las condic iones exigidas.

AI ser

(off i

l r i = m i + ~ i ~ - - - m i + "[ i " ")' i <~ "[ i Oi

Si - t?li + "[i ' Oi <~ Oi o;.

do e-Oiu~ = e-Oi lli

!

por lo t an to - u i < - u i , s ien-

Ahora bien, c o m o la cuan t i a e fec t iva de la reserva inicial sigue sien-

do la misma u i , el hecho de q u e e n la nueva s i tuaci6n fuera precisa una

cuan t i a igual a u~ > u i . nos indica 71 < 7i , lleva consigo que la nueva si-

tuac i6n pueda representarse m e d i a n t e una var iante r/' tal que V e (7"1')>

> V e (rp. y, po r 1o tan to , con una ut i l idad-r iesgo mayor . La s i tuac i6n

individual creada por la in tegrac i6n es mils fltil en definit iva.

7. GENERAI.IZ XCION.

[Ln todo Io an te r io r h e m o s s upues to que las var iantes ~i que repre-

sentan , segfin sabemos , las var iac iones que se p r o d u c e n en las e c o n o m i a s

de las un idades de riesgo, son e s t o c i s t i c a m e n t e independ ien tes , lo que

significa no exis ten influencias r e c i p r o c a s en t r e elias. Es fficil ver q u e e n

el caso de c c o n o m i a s " s u s t i t u t i v u s ' " lo_~ resu l tados an te r io res son vfilidos.

32

En efecto, si las econom/as de las unidades de riesgo son sustitutivas,

las correspondientes variantes estar~n correlacionadas negativamente, y

entonces

0 2 ~Z~i(O) = (~, m i) 0 + [~ off - 2 Z a i a ( r i j ) ] - - f + ~ ( 0 2 )

0 ~ < (Z mt) O + (~ o~)-S-- + ~o(02) = g ~bi(O)

8. ALGUNAS APLICACIONES.

Podemos considerar que la variante de quebranto ~t es la suma de 0 t variantes independientes e iguales, es decir,

Ot = ;

siendo 0 t el nflmero de quebrantos producidos en el intervalo temporal

(0, t) y ~i la variante que representa la cuantia econ6mica del quebranto

producido en el instante i.

En este caso la funci6n generatriz de ~t tendril la forma

~O~t (o)= got (~O~t (-~t)) en la que ~o~t (Old t) es la funci6n generatriz de ~t condicionada por 0 t .

Dada la hip6tesis de la independencia estoc~stica de las ~i, Y de que todas tienen la misma funci6n de distribuci6n, y, por lo tanto, la

misma funci6n generatriz G (0), tendremos

~t(O)= Eot (G (O)Ot) = Eot (e g(t)Ot) [10]

siendo, funci6n cumulativa g (0) = l G (0)

La expresi6n [ i0] nos indlca que bastar,'i sustituir en la funci6n generatriz correspondiente al proceso 0 t del nfimero de quebrantos, O, por g (0) funci6n cumulativa de las ~i para tener la funci6n generatriz ~t

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La funci6n de ingreso adoptar~ la forma

0 0

Estos resultados nos permiten la determinaci6n del recargo de se- guridad y, en caso de integraci6n, la asignaci6n del beneficio, cuando se conoce el proceso 0 t y la distribuci6n de la cuantfa de los quebrantos

individuales ~i"

Resumen

Se trata de obtener un modelo de decisi6n partiendo del concepto de utilidad-riesgo que conduce a una formulaci6n que permite el uso de la teoria de juegos de estrategia para la asignaci6n del beneficio de la integraci6n. La parte final incluye algunas aplicaciones importantes en el Campo Actuarial.

Bibliografia

Botch, Karl: "Aplicaci6n de la teorfa de juegos a algunos proble- mas del seguro de autom6viles" (coloquios Juan-Despins, 1962).

Neuman and Morgenstern. "Theory of games and Economic Beha- viour", Princeton 1944.

Cramer, Harald: "Collective Risk Theory", Skandia Insurance Company, 1955.

Shapley: "A value for n-person games", A mathematical studies,

nflm. 28.

RIOS: "M6todos Estadfsticos". Ediciones del Castillo, 1967.

RIOS: Procesos dinfimicos de decisi6n en concurrencia (R.A. Ciencias 1967).

VEGAS." Aplicaci6n de la teorfa de juegos al problema de la inte-

graci6n de riesgos (18 Congreso de Actuarios 1968).

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