Modelos Cuantitativos Modelos de Redes 12789

Modelos de Redes

Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones, las redes de transporte, elctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria. La representacin de redes se utiliza ampliamente en reas tan diversas como produccin, distribucin, planeacin de proyectos, etc. La representacin en redes proporciona un panorama general muy poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre las componentes de un sistema.Introduccin 1..

Muchos modelos de optimizacin de redes son en realidad tipos especiales de problemas de programacin lineal. Ejemplos: Problema del Transporte Problema de Asignacin

Introduccin 2..

Ejemplo Prototipo

En fecha reciente se reserv el rea de SEERVADA PARK para paseos y campamentos. No se permite la entrada de automviles pero existe un sistema de caminos angostos con curvas para tranvas y jeeps conducidos por los guardabosques. El parque contiene un mirador a un hermoso paisaje en la estacin T. Unos cuantos tranvas transportan a los visitantes desde la entrada a la estacin T y de regreso.

Problema Servaada Park.

Problema de Servaada Park. Problemas:

Determinar la distancia ms corta desde la entrada al mirador.Instalacin de lneas telfonicas subterrneas entre todas las estaciones siguiendo los caminos y con un mnimo de millas.En temporada alta, encontrar alternativas de O a T que maximicen nmero total de viajes sin saturar capacidades de caminos

Terminologa de Redes

Nodos o vrtices: Intersecciones entre lneas.

Trminos IArcos o aristas: Lneas.

Arco dirigido: Arco con flujo en una sola direccin.

Trminos II

Arco no dirigido o ligadura: Arco con flujo en ambas direcciones.

Trminos III

Red dirigida: Red con todos los arcos dirigidos.

Trminos IV

Red No dirigida: Red con todos los arcos dirigidos. (se puede convertir a dirigida con doble arco dirigido en dir opuestas entre vritces).

Trminos V

Trayectoria entre dos nodos: Sucesin de arcos distintos que conectan a los nodos. Puede ser dirigida o no. Trayectoria dirgida.

Trminos VI

Trayectoria entre dos nodos: Sucesin de arcos distintos que conectan a los nodos. Puede ser dirigida o no. Trayectoria no dirgida.

Trminos VII

Ciclo: Trayectoria que comienza y termina en el mismo modo.

Trminos VII

Nodos conectados: Nodos entre los cuales existe una trayectoria.

Trminos VIII

Red conexa: Red en que cada par de nodos est conectado.

Trminos IX

Arbol: Red conexa sin ciclos. n nodos y n-1 arcos.

Trminos X

Capacidad del arco: Cantidad mxima de flujo que puede circular en un arco dirigido. Nodo fuente: El flujo que sale del nodo excede el flujo que entra a l. Nodo demanda (nodo destino): El flujo que llega excede a el flujo que sale. Nodo trasbordo: El flujo que sale del nodo es igual a el flujo que entra a l.

Trminos XI

Problema de la Ruta ms corta

Partimos de una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura se le asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta ms corta del origen al destino.Planteamiento

Objetivo de la n-esima iteracin: Encontrar el n-simo nodo ms cercano al origen.Datos para la n-sima iteracin: n-1 nodos ms cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta ms corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos ressueltos, el resto son no resueltos).Algoritmo de la Ruta ms corta

Candidatos para el n-simo nodo ms cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexin directa por una ligadura con uno o ms nodos resueltos proporciona un candidato, y ste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura ms corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales).Clculo del n-simo nodo ms cercano: Para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta ms corta desde el origen a ese nodo resuelto. El candidato con la distancia total ms pequea es el n-simo nodo ms cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta ms corta es la que genera la distancia.Algoritmo de la Ruta ms corta II

Ejemplo de Seervada ParkRuta 1 Ruta 2

Sheet1

nNodos resueltosNodo no resuelto ms cercano conectadoDistancia total involucradan-simo nodo ms cercanoDistancia Mnimaltima conexin

1OA2A2OA

2OC4C4OC

AB2+2=4B4AB

AD2+7=9

3BE4+3=7E7BE

CE4+4=8

AD2+7=9

4BD4+4=8D8BD

ED7=1=8D8ED

5DT8+5=13T13DT

ET7+7=14

Sheet2

Sheet3

Sheet1


1OA2A2OA

2OC4C4OC

AB2+2=4B4AB

AD2+7=9

3BE4+3=7E7BE

CE4+4=8

AD2+7=9

4BD4+4=8D8BD

ED7=1=8D8ED

5DT8+5=13T13DT

ET7+7=14

Sheet2

Sheet3

Sheet1


1OA2A2OA

2OC4C4OC

AB2+2=4B4AB

AD2+7=9

3BE4+3=7E7BE

CE4+4=8

AD2+7=9

4BD4+4=8D8BD

ED7=1=8D8ED

5DT8+5=13T13DT

ET7+7=14

Sheet2

Sheet3

Sheet1


1OA2A2OA

2OC4C4OC

AB2+2=4B4AB

AD2+7=9

3BE4+3=7E7BE

CE4+4=8

AD2+7=9

4BD4+4=8D8BD

ED7=1=8D8ED

5DT8+5=13T13DT

ET7+7=14

Sheet2

Sheet3

Sheet1


1OA2A2OA

2OC4C4OC

AB2+2=4B4AB

AD2+7=9

3BE4+3=7E7BE

CE4+4=8

AD2+7=9

4BD4+4=8D8BD

ED7=1=8D8ED

5DT8+5=13T13DT

ET7+7=14

Sheet2

Sheet3

Sheet1


1OA2A2OA

2OC4C4OC

AB2+2=4B4AB

AD2+7=9

3BE4+3=7E7BE

CE4+4=8

AD2+7=9

4BD4+4=8D8BD

ED7=1=8D8ED

5DT8+5=13T13DT

ET7+7=14

Sheet2

Sheet3

Solucin en EXCEL

Variables de decisin

Solucin en Excel SEERVADA PARK Ruta Ms Corta

SEERVADA PARK

Problema Seervada Park pg 406

DesdeHastaRutaDistanciaNodosFlujoOrigen /Demanda

OA1201=1

OB05A0=0

OC04B0=0

AB12C0=0

AD07D0=0

BC01E0=0

BD14T-1=-1

BE03

CB01

CE04

DE01

DT15

ED01

ET07

DISTANCIA TOTAL13

SEERVADA PARK

Problema Seervada Park pg 406


OA1201=1

OB05A0=0

OC04B0=0

AB12C0=0

AD07D0=0

BC01E0=0

BD14T-1=-1

BE03

CB01

CE04

DE01

DT15

ED01

ET07

DISTANCIA TOTAL13

Problema del rbol de expansin mnima

Se considera una red no dirigida y conexa en la que la informacin dada incluye alguna medida de longitud positiva (distancia, costo, tiempo) asociada con cada ligadura. Seleccionar un conjunto de ligaduras con la longitud total ms corta entre cada par de nodos.Planteamiento

Red no conexa. No es rbolRed con ciclos. No es rbol de expansinEjemplos

A

O

B

D

T

E

C245247rbol de expansin

n nodosn-1 arcos

Diseo de redes de telecomunicaciones. Diseo de redes de transporte par minimizar el costo toatl de proporcionar las ligaduras. Red de transmisin de energa de alto voltaje. Diseo de red de tuberas para conectar varias localidades

Algunas aplicaciones

Se selecciona de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto ms cercano.Se identifica el nodo no conectado ms cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos estn conectados.Si hay empates se elige cualquiera de forma arbitraria.Algoritmo

254754134172Aplicacin del algoritmo al problema de SEERVADA

254754134172Aplicacin del algoritmo al problema de SEERVADA. Empezando por otro nodo

Problema del flujo mximo

Problema del flujo mximo para Seerveda Park574394154162

Solucin factible 5 viajes

1 viaje

1 viaje

Invalidada

Todo flujo a travs de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente y termina en otro nodo llamado destino (O y T resp para S. Park)Los nodos restantes son de transbordo (A,B,C,D,E para S. Park)Se permite el flujo a travs de un arco slo en la direccin indicada por la flecha, donde la cantidad mxima de flujo est dada por la capacidad del arco.El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalente, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.Planteamiento

Maximizar el flujo a travs de la red de distribucin de la compaa de sus fbrica a sus clientes.Maximizar el flujo a travs de la red de suministros de la compaa de los proveedores a las fbricas.Maximizar el flujo de petrleo por un sistema de tuberas.Maximizar el flujo de agua a travs de un sistema de acueductos.Maximizar el flujo de vehculos por una red de trasnporte.Aplicaciones

Solucin en EXCEL

Solucin en Excel SEERVADA PARK Flujo Mximo

Ruta ms Corta

Problema Seervada Park Ruta Ms Corta pg 406 fig 9.1


OA1201=1

OB05A0=0

OC04B0=0

AB12C0=0

AD07D0=0

BC01E0=0

BD14T-1=-1

BE03

CB01

CE04

DE01

DT15

ED01

ET07

DISTANCIA TOTAL13

Flujo Mximo

Problema Seervada Flujo Mximo pg 421 fig 9.6

DesdeHastaRutaFlujo mxNodosFlujoOrigen /Demanda

OA3

Solucin ptima 7 viajes

Ejemplos

La Wisman Candy Co. fabrica diversas golosinas. Se utilizan camiones de la compaa para entregar en forma directa los pedidos a los expendios. Determine la ruta ms corta para un camin que debe hacer entregas partiendo del nodo 1 al 11.

Problema 8 Planteamiento

Problema 8 pg 407 Wisman Candy Formalizacin

Problema 8 Pag 407 Wisman Candy Solucin ExcelRuta 1-4-3-8-10-11

Ruta ms Corta Preg. 8

Problema 8 Ruta Ms Corta pg 407


120211=1

130620=0

141330=0

150740=0

230450=0

280460=0

320470=0

340280=0

381190=0

4312100=0

460611-1=-1

4704

5905

6406

6702

6903

611010

7301

7404

7602

7801

71004

711010

8204

8301

8701

81012

9505

9603

91104

10704

10802

101117

DISTANCIA TOTAL15

Flujo Mximo 9.5-4

Problema 9.5-4 Flujo Mximo pg 454


TxNo11

Problema 8 Wisman Candy Sol.

Cul es el Flujo Mximo en este sistema de carreteras de Albany? (flujos de vehculos por hora en miles)

Problema 16 Carreteras de Albany pag 41136343032022023426000

Problema 16 Carreteras de AlbanySol EXCEL

Ruta ms Corta Preg. 8

Problema 8 Ruta Ms Corta pg 407


120211=1

130620=0

141330=0

150740=0

230450=0

280460=0

320470=0

340280=0

381190=0

4312100=0

460611-1=-1

4704

5905

6406

6702

6903

611010

7301

7404

7602

7801

71004

711010

8204

8301

8701

81012

9505

9603

91104

10704

10802

101117

DISTANCIA TOTAL15

Flujo Mximo Preg. 16

Problema 16 pg 411


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