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Ing. Michele Leccese
Modelli matematici applicati all’inquinamento delle acque sotterranee
(elementi teorici)
Ing. Michele LecceseDott.ssa Annalisa Di Fazio
D.I.T.S. Università degli Studi di Roma “La Sapienza”
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2Ing. Michele Leccese
Modelli matematici
2. Campo delle velocità (fluidodinamico)
Equazione generale delle acque filtrantiEquazione generale delle acque filtranti
v=v(x,y,z,t)v=v(x,y,z,t)
2. Campo delle concentrazioni
Equazione del trasporto e della diffusioneEquazione del trasporto e della diffusione
c=c(x,y,z,t)c=c(x,y,z,t)
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3Ing. Michele Leccese
Il moto delle acque nelle faldeL’equazione generale delle acque filtranti
),,( tyxwthS
zhK
xyhK
xxhK
x szzyyxx +∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−
w(x,y,t) [1/T]In presenza di scambi idrici esterni dovuti a:
Ricarica superficiale da corpi idrici o precipitazione (+)Evapotraspirazione (-)
Ss [1/L]Coefficiente di immagazzinamento
Ricarica da corpo idrico
Ricarica da infiltrazione
evaporazione
precipitazioni
falda
ruscellamento
Ricarica da corpo idrico
Ricarica da infiltrazione
evaporazione
precipitazioni
falda
ruscellamento
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4Ing. Michele Leccese
Il moto delle acque nelle falde
),,( tyxwthS
zhK
xyhK
xxhK
x szzyyxx +∂∂
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−
Soluzione dell’equazione generale delle acque filtranti
Obiettivo:Determinare l’andamento della superficie piezometrica:
Regime transitorio
Regime stazionario
),,,( tzyxh),,( zyxh
Metodi:Integrazione analitica
Integrazione numerica
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5Ing. Michele Leccese
Il moto delle acque nelle faldeSoluzione dell’equazione generale delle acque filtranti
Definizione e discretizzazione del dominio
∆x, ∆y, ∆z, ∆txmin, xmax, …, tmin, tmax
Definizione dei parametri
K, Ss, …
Definizione delle condizioni al contorno e iniziali:
1. Limiti a potenziale controllato h(x,y,z,t)=h*2. Limiti a flusso imposto ∂h/ ∂x=j* (si impone il gradiente)3. Limiti a flusso controllato(ricarica) w(x,y,t)
x
y
z∆y
∆x
∆z
x
y
z
x
y
z∆y
∆x
∆z∆y
∆x
∆z
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6Ing. Michele Leccese
Il moto delle acque nelle faldeSoluzione dell’equazione generale delle acque filtranti
Esempio di risultato
Andamento della superficie piezometrica h(x,y)
Rappresentazione bidimensionale per curve a carico costante (isopieze)
Rappresentazione tridimensionale (3D)
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7Ing. Michele Leccese
Il moto delle acque nelle faldeDeterminazione del campo fluidodinamicoCalcolo delle velocità v=v(x,y,z,t)
sm
mm
sm
DHKu 8105
100510 6
2
22 −⋅=⋅=
∆−= −
hKu ∇⋅−=
Linea equipotenziale h=145 m
La velocità è proporzionale al gradiente del carico idraulico che risulta sempre ortogonale alle linèe equipotenziali
u1>>u2
150
140145
135
x
y
130 125
u1
u2
D2=100 m
D1=50 mK=10-6 m/s
sm
mm
sm
DHKu 7101
50510 6
1
11 −⋅=⋅=
∆−= −
esempio
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8Ing. Michele Leccese
Il trasporto e la diffusione dei contaminanti
I fenomeni che contribuisco alla dispersione delle sostanze nel suolo e nelle acque di falda sono:
trasporto convettivo che dipende esclusivamente dal moto d’insieme del fluido. Esso è il più importante processo che forza lo spostamento dei contaminanti nel sottosuolo ed è caratterizzato dalla velocità media del flusso, determinata mediante la legge di Darcy
dispersione idrodinamica che risulta dal mescolamento meccanico causato dalle variazioni locali della velocità attorno al valore della velocità media del flusso e dalla diffusione molecolare
reattività chimica, fisico-chimica o biologica (in funzione delle caratteristiche reattive delle singole sostanze)
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9Ing. Michele Leccese
Il trasporto e la diffusione dei contaminantiEquazione del trasporto e della diffusione
( ) ( ) ∑+∇⋅⋅∇=⋅∇+∂∂
iiidro RCDCu
tC
Variazione nel tempo
Trasporto convettivo
Dispersioneidrodinamica
Reattività
Equazione che descrive l’andamento della concentrazione dei contaminati in funzione dello spazio e del tempo:
Incognita→ c=c(x,y,z,t)
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10Ing. Michele Leccese
Il trasporto e la diffusione dei contaminantiDescrizione degli effetti della convezione, dispersione
Concentrazione c
Distanza x
c0 Immissione di una sostanza nel sistema (t=t0)
Concentrazione c
c0
X1=ut1
cmax < c0
Concentrazione c
Distanza x
c0
X1=ut1
Distribuzione dell’inquinante al tempo t1>t0 in presenza di sola Convezione
Distribuzione dell’inquinante al tempo t1>t0 in presenza di Convezione + Dipsersione
Distanza x
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11Ing. Michele Leccese
La diffusione molecolare (DM)Movimento dovuto ai moti browniani che è regolato dal gradiente di concentrazione
Gradienti di velocità all’interno dei singoli pori in funzione della distanza
differenza di ruvidità e di area delle pareti dei diversi pori (diversa velocità del bulk dalla soluzione)
tortuosità e ramificazioni dei pori, che provocano fluttuazioni dei corsi d’acqua rispetto alla direzione media del flusso (dispersione longitudinale e trasversale).
velocità
distanza
velocità
distanza
La dispersione meccanica (DMecc)
Il trasporto e la diffusione dei contaminanti
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12Ing. Michele Leccese
Il trasporto e la diffusione dei contaminanti
MeccMidro DDD +=
È una grandezza tensoriale
Mecczz
Meccyy
Meccxx
Mecc
Mecczz
Mecczy
Mecczx
Meccyz
Meccyy
Meccyx
Meccxz
Meccxy
Meccxx
Mecc
DD
DD
DDDDDDDDD
D00
0000
=⇒=
Dipende solo dall’interazione sostanza-fluido
Dipende dall’interazione del sistema sostanza fluido e dalle caratteristiche
del mezzo poroso
La dispersione idrodinamica
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13Ing. Michele Leccese
Il trasporto e la diffusione dei contaminantiLa dispersione idrodinamicaLa dispersione meccanica è legata alla velocità
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅==
⋅==
⋅==
zMeccvert
Mecczz
yMecctrasv
Meccyy
xMecclong
Meccxx
uDD
uDD
uDD
α
α
αDispersività [m]Coefficienti di
proporzionalità
Relazioni empiriche
longitudinale (ax) 1. αx =cost pari al 10% della lunghezza stimata del plume.2. αx = f(x) = 0.1* x (Pickens and Grisak, 1981)
trasversale (ay) Può essere indicata in rapporto ad αx(αy/αx = 0.10)Può essere indicata in rapporto ad αx (αz/ αx = 0.001)verticale (az)
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14Ing. Michele Leccese
processi chimico-fisici:
Adsorbimento/DesorbimentoTrasferimento di massa del contaminante, dovuto ad interazioni di natura fisica e/o chimica all’interfaccia tra una fase fluida ed una fase solida del suolo.VolatilizzazioneTrasferimento di massa da una fase condensata alla fase gassosa del suolo.
processi biologici:
Biodegradazione Trasformazione biologica di contaminanti in altre sostanze, più, meno od ugualmente tossiche rispetto ai substrati di partenza.
I fenomeni di trasformazione dei contaminantiIl trasporto e la diffusione dei contaminanti
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15Ing. Michele Leccese
I fenomeni di trasformazione dei contaminantiIl trasporto e la diffusione dei contaminanti
processi chimici (1):Scambio ionico
Trasferimento di contaminante in forma ionica da una fase fluida ad una fase solida del suolo.
Idrolisi e sostituzione
Reazione con acqua o suoi ioni costituenti (idrolisi) o con altri ioni (sostituzione), che trasformano il contaminante in un’altra specie chimica.
Precipitazione/Dissoluzione
Rimozione dalla o aggiunta alla soluzione del suolo di soluto per formazione/dissoluzione di solidi.
Acido/Base
Reazione con trasferimento di protoni, che determina ionizzazione e variazione di concentrazione di concentrazione di soluto in funzione del pH.
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16Ing. Michele Leccese
Il trasporto e la diffusione dei contaminantiI fenomeni di trasformazione dei contaminanti
processi chimici (2):ComplessazioneCombinazione con cationi o anioni per formare aggregati ionici detti complessi (aumenta la solubilità di metalli non fortemente adsorbiti).Ossido-riduzione.Reazione con trasferimento di elettroni, che coinvolge elementi ai quali sia accessibile più di uno stato di ossidazione che possono determinare la precipitazione di alcuni metalli, ritardandone il trasporto. Le condizioni sono spesso ossidanti o parzialmente riducenti nel mezzo non saturo e nelle zone di alimentazione delle acque sotterranee, ma diventano riducenti in condizioni di saturazione quando si ha un eccesso di materia organica.Decadimento radioattivoDecremento irreversibile dell’attività di un radionuclide dovuto a reazione nucleare; diventa significativo se il tempo di dimezzamento non supera il tempo di residenza del flusso della fase liquida nel sistema.
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17Ing. Michele Leccese
Il trasporto e la diffusione dei contaminantiSoluzione dell’equazione del trasporto e della diffusione dei contaminati nelle acque di falda
Obiettivo:
Determinare l’andamento della concentrazione:
Regime transitorio
Regime stazionario
),,,( tzyxc),,( zyxc
Metodi:Integrazione analitica
Integrazione numerica
( ) ( ) ( ) ∑+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
iizyxx R
zCuD
zyCuD
yxCuD
xxCu
tC ααα 000
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18Ing. Michele Leccese
Il trasporto e la diffusione dei contaminantiSoluzione dell’equazione del trasporto e della diffusione dei contaminati nelle acque di falda
Definizione e discretizzazione del dominio
∆x, ∆y, ∆z, ∆t
xmin, xmax, …, tmin, tmax
Definizione dei parametri
D0, αx, αy, αz, eventuali parametri reattivi …
Definizione delle condizioni al contorno e iniziali:
1. Limiti a concentrazione costante c(x,y,z,t)=c*
2. Limiti a flusso imposto ∂c/ ∂x=j* (si impone il gradiente)
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19Ing. Michele Leccese
Il trasporto e la diffusione dei contaminantiSoluzione dell’equazione del trasporto e della diffusione dei contaminati nelle acque di falda
Esempio di risultato - Andamento della concentrazione
x
1 00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
13.00
y
2000ft 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Curve a concentrazione costante (isoconcentrazione) c(x,y,t*)=c*
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20Ing. Michele Leccese
Case study – sito contaminato
PZ1PZ2
Nord
256 m
315 m
PZ1PZ2
PZ1PZ2
Nord
256 m
315 m
Sorgente di contaminazione:
• Serbatoi interrati perdenti TCE
• Durata del rilascio: 10 gg• Concentrazione: 250 mg/l
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21Ing. Michele Leccese
Case study – sito contaminatoStratigrafia (p.c. 146 mslm)
Prof. dal p.c Litologia Idrogeologia Colonna stratigrafica
Da 0 a 2m Materiale di riporto
Non saturo, mediamente permeabile
Da 2 m a 11m Sabbia e limo
talora ghiaiosa
Saturo, mediamente permeabile,
sede di un acquifero freatico
Da 11m a 13 m Argilla gialla
talora ghiaiosa
Non saturo, impermeabile
-2 m
-11 m
-13 m
Piano campagna
Argilla gialla talora ghiaiosa
Sabbia e limo talora ghiaiosa
Materiale di riporto
-2 m
-11 m
-13 m
Piano campagna
Argilla gialla talora ghiaiosa
Sabbia e limo talora ghiaiosa
Materiale di riporto
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22Ing. Michele Leccese
Case study – sito contaminatoCaratteristiche idrogeologiche:conducibilità idraulica (kx, ky, kz)porositàcoefficienti di immagazzinamento
Parametro Unità 1 LAYER 2 LAYER 3 LAYER
Conducibilità idraulica Kx Ky Kz
(m/sec) (m/sec) (m/sec)
1.0x10-5
1.0x10-5
1.0x10-6
4.0x10-3
4.0x10-3
1.0x10-4
2.0x10-6
2.0x10-6
1.0x10-7
Ss (1/m) 0.0001 0.0082 0.0001
Sy (-) 0.05 0.3 0.3
Porosità (n) % 0.45 0.35 0.40
Porosità effettiva (neff) % 0.40 0.3 0.40
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23Ing. Michele Leccese
Case study – sito contaminatoCondizioni al contorno:
direzione media della falda: NSgradiente medio della falda: 0.00255H misurato in PZ1 -2.405 m dap.c.
PZ1PZ2
Nord
256 m
315 m
PZ1PZ2
PZ1PZ2
Nord
256 m
315 mx
y
zHm
HPZ1=143.595 mslm
64 m192 mL1 L2
Hm=HPZ1+L1*j=144.08 mslmHv
Hv=HPZ1-L2*j=143.43 mslm
y
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24Ing. Michele Leccese
Case study – sito contaminatoParametri idrodispersivi dell’acquifero:conducibilità idraulica (kx, ky, kz)porositàcoefficienti di immagazzinamento
Parametro Unità Valore
Dispersività longitudinale αx (m) 15
Rapporto αy /αx (-) 0.1
Rapporto αz /αx (-) 0.001
Coefficiente di diffusione molecolare m2/giorno 0
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25Ing. Michele Leccese
Riferimenti bibliografici
Bear J. - “Dynamics of fluid in porous media” - Amer. Elsevier Env. Sci
G.P. Beretta (1992) - “Idrogeologia per il disinquinamento delle acque sotterranee” – Pitagora Editrice
Gilbert Castany (1985) – “Idrogeologia: principi e metodi “ – Dario Flaccovio Editore
Henderson-Sellers – “Environmental lymnology”
Hillel, D. (1982). Introduction to Soil Physics. Academic Press.
Hillel D. – “Application of soil physics” – Academic Press
Viotti P. (1999) “Dispense del Corso di Dinamica degli Inquinanti” –D.I.T.S. – Università degli Studi di Roma “La Sapienza” (disponibili sul web http://w3.uniroma1.it/dits/docenti/viotti/viotti.htm)
Wang H.F. and M.P. Anderson – “Introduction to groundwater modeling” – W.H. Freeman and Co.