Modelli di sistemi di produzione II

Metaeuristiche: Rollout eVNS

Ing. Michele Ciavotta

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Sommario

Introduzione: complessità e Metaeuristiche Uno strumento flessibile: Rollout, Rollout

Modificato Un esempio applicativo : scheduling di macchine

parallele. Euristiche usate: MJS Euristiche usate: Delta VNS Mosse ed Vicinati proposti Utilizzo della VNS nell’esempio applicativo Esercizio: Rollout

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Introduzione

Analisi complessità

Problemi Facili Problemi Difficili

Rilassamenti Algoritmi esatti o euristici

Algoritmi approssimati

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Rollout

Il Rollout è un metodo costruttivo cioè realizza iterativamente una soluzione per il problema.

E’ applicabile a quelle classi di problemi la cui soluzione può essere rappresentata da una o può sequenze di componenti.

Un esempio è costituito dai problemi di scheduling.

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L’idea base della metaeuristica di ROLLOUT è quella di utilizzare q euristiche costruttive (H1, H2, H3,…., Hq), q≥1, per potenziarne l’effetto nella costruzione di una buona soluzione.

Una soluzione s = (s1, s2, s3,…, sm-1, sm) viene prodotta in modo sequenziale, fissando una componente per volta.

Definiamo k-stato (Sk) una soluzione parziale in cui sono state fissate le prime k componenti: Sk = (s1, s2, s3,…, sk-1, sk), k≤m.

Definiamo Hi(Sk-1 ,sk) il costo della soluzione ottenuta dall’euristica Hi, applicata a partire dallo stato Sk = (Sk-1 ,sk).

Data una soluzione “parziale” Sk-1, e detto σk l’insieme dei possibili valori della k-esima componente sk, definiamo:

C(Sk)= min {Hi(Sk-1 ,sk), i=1,..q, sk in σk } il costo delle sequenze ottenute dalle q euristiche, partendo da Sk-1 e per ogni possibile scelta della k-esima componente.

Ad ogni iterazione, si fissa la componente sk che ha prodotto il costo C(Sk), cioè Sk = (Sk-1 ,argmin{C(Sk)}).

Rollout

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Sia J l’insieme di tutte le componenti e σk l’insieme delle componenti direttamente schedulabili (non soggette a vincoli di precedenza) e sia H l’insieme delle euristiche utilizzate dal rollout.

Il rollout può essere schematizzato nel modo seguente:

Per ogni ji appartenente a σk si applicano tutte le euristiche in H sull’insieme J - {ji}.

Si valutano quindi le soluzioni { ji,Hk(J - {ji}) } per ogni k e si aggiunge alla soluzione parziale ji per cui si ottiene la soluzione migliore.

Si elimina quindi da J tale elemento e si aggiorna σk. Si prosegue cosi fino a che non rimangono elementi in

J.

Rollout

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S0 = ØWhile(J != Ø){

For any ji in σk

{ for(k=0;k<num_eur;k++)

{sol(i,k) = { ji, Hk(J-{ji})}

}}(i’.k’) = arg min {sol(i.k)}Sp = (Sp-1 , ji’),p++σk =update(σk , ji’)J=J\{ji}

}

Rollout

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Jn

Euristica provata

Euristica migliore

Rollout

J2

J1

H1

H2

Hq

H1

H2

Hq

H1

H2

Hq

H2

J1

J3

Jn

H1

H2

Hq

H1

H2

HqH1

H2

Hq

H2

J3

J4

J4

H1

H2

Hq

H1

H2

Hq H1

H2

Hq

H1H1

J6J8 … Jp

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E’ una versione semplificata del Rollout che permette di ridurre il tempo di calcolo complessivo.

L’idea è di sostituire alla formula

C(Sk)= min {Hi(Sk-1 ,sk), i=1,..q, sk in σk } La formula semplificata

C(Sk)= min {Hi(Sk-1), i=1,..q}

Rollout Modificato

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Rollout Modificato

S0 = Ø

While(Jtot != Ø)

{for(k=0;k<num_eur;k++){

sol(k) = { Hk(Jtot)}

}k’ = arg min {sol(k)}Sp = (Sp-1 , {H(k’)0}),p++

Jtot=Jtot\{ji}

}

Primo elemento della soluzione Trovata dalla k-esimaeuristica

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Rollout ModificatoS0 = ØWhile(J != Ø){

For any ji in σk

{ for(k=0;k<num_eur;k+

+){

sol(i,k) = { ji, Hk(J-{ji})} }

}(i’.k’) = arg min {sol(i.k)}Sp = (Sp-1 , ji’),p++σk =update(σk , ji’)J=J\{ji}

}

S0 = Ø

While(Jtot != Ø)

{for(k=0;k<num_eur;k++){

sol(k) = { Hk(Jtot)}

}k’ = arg min {sol(k)}Sp = (Sp-1 , {H(k’)0}),p++

Jtot=Jtot\{ji}

}

Complessità O(n*q)

Complessità O(n2*q)

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H11(s)

H12(s)

H13(s)

H1q(s)

J1

H21(s)

H22(s)

H23(s)

H2q(s)

J2

H31(s)

H32(s)

H33(s)

H3q(s)

J3

H41(s)

H42(s)

H43(s)

H4q(s)

J4

H51(s)

H52(s)

H53(s)

H5q(s)

J5

H61(s)

H62(s)

H6q(s)

H63(s)J6

J7

J8

J9 Jn

Euristica provata

Euristica migliore

H13(s)

H22(s)

H32(s)

H42(s)

H712(s)

H53(s)

H63(s) H8

1(s)

H925(s) Hn

q(s)

Rollout Modificato

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Caso di studio:Dispensa e Counting

Counting

ManifatturaDispensa

Confezionamento

Uno schedulatore di dettaglio deve:

• sequenziare i JOB in ogni Work-Center, assegnando la relativa tempistica e le risorse umane

• determinare le date di transito tra le aree

Nell’abito di studio sono presenti 4 work-center ognuno addetto ad un particolare compito all’interno della produzione di farmaci:•Dispensa•Manifattura•Counting•Confezionamento

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Caso di studio:Dispensa e Counting

In particolare ci riferiamo ai dipartimenti di Dispensa e Counting.

Il dipartimento di Dispensa ha il compito di rilasciare le varie quantità di prodotti chimici che andranno a costituire i farmaci.

Il dipartimento di Counting ha il compito di rilasciare i materiali di assemblaggio utilizzati dal dipartimento di Confezionamento.

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Caso di studio:Dispensa e Counting Il dipartimento di Dispensa è costituito da 2 macchine

parallele identiche gestite da turni di operai specializzati. Tali turni implicano delle indisponibilità programmate con incidenza giornaliera e settimanale.

Lo stesso discorso vale anche per il dipartimento di Counting, costituito però da 3 macchine parallele.

Entrambi i dipartimenti processano job caratterizzati da un tempo di rilascio e da una duedate o deadline.

Il dipartimento di dispensa è costretto a pagare un setup ogni volta vi è un cambio di tipo di job in processamento.

In tale dipartimento sono anche previste dimensioni massime per le campagne di produzione

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Indici di prestazione

nLLL ,...,max 1max

iii dCL ove

nCCC ,...,max 1max

Massima Lateness

Makespan

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Modello (α|β|γ) di Lawler-Graham

Per classificare i problemi di schedulazione abbiamo usato la codifica a tre campi (α|β|γ) di Lawler-Graham.

Configurazione delle macchine

Presenza di eventuali vincoli da rispettare

Misure di prestazione

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Esempio applicativo: il Modello (α|β|γ)

Campo α: Macchine Parallele Identiche (Pm)

Campo β: Release time (ri) Due-date (di) Deadline (Di) Set-up: C_Min (si può considerare inglobato al tempo di processo) e

C_Maj Preemption non ammessa Possibilità di indisponibilità di macchine. Limite sul Max numero di OP per campagna: dipende da OP

Campo γ: Si individua Lmax come principale funzione obiettivo da minimizzare Secondarie funzioni obiettivo sono Cmax ed il numero di Tardy Job Si utilizza un approccio multiobiettivo di tipo lessicografico.

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Caso di StudioCome detto il rollout è un algoritmo costruttivo, ovvero un algoritmo che, se

applicato allo scheduling, costruisce una schedula aggiungendo un job alla volta, seguendo un insieme di regole che si propongono di salvaguardare l’ammissibilità e la qualità della soluzione.

Ammissibilità: un job è schedulabile dopo il suo rilascio nessun job è schedulabile su una macchina indisponibile una macchina può processare un solo job alla volta un job è schedulabile su una macchina in grado (per tipologia,

attrezzaggio e disponibilità) di eseguire le operazioni richieste da esso.

Qualità di seguire una sequenza di lavorazione specifica (es. earliest due date

(EDD) per minimizzare Lmax); di seguire una particolare sottosequenza o successione di job per

ridurre i tempi di setup (migliorando Cmax).

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Euristiche usate nel Rollout

TL : istante di tempo al quale si libera la prima macchina.

RJD: insieme dei job rilasciati al tempo TL con deadline

RJd: insieme dei job rilasciati al tempo TL senza deadline

RJ: insieme totale dei job rilasciati al tempo TL

(RJ =RJD U RJd)

ML: insieme delle macchine libere al tempo TL

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Euristiche usate nel Rollout:Modified Jackson Schedule

Modified Jackson Schedule (MJS)Input: un insieme P di ordini di produzione;t = min{ri : i in P}, S = Ø;While (P != Ø){

R = {i in P : ri ≤ t}if (c’è un job in R con deadline){scegli un job j in R con la più piccola deadline}else if (c’è un job in R con duedate){scegli un job j in R con la più piccola duedate}else {t = min{ri : i in P}, R = {i in P : ri ≤ t} }if (un job è stato selezionato) {assegno j alla macchina che può completarlo per

primo,tenendo in conto i setup, le campagne e la disponibilità della macchina

S = S U {j}, P = P \ {j}aggiorna t al più piccolo completion time di tutte le macchine disponibili}

}

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Euristiche usate nel Rollout:Delta

Schedulare i job di RJ secondo le seguenti regole:

Step 1. ordinare RJ per duedate crescenti;

Step 2. individuare i sottoinsiemi di job di RJ con duedate compresa tra d e d+ e aggiornare d

Step 3. ordinare RJ per Deadline crescenti;

Step 4. Per ciascun job di RJD, scegliere la macchina presente in ML il cui ultimo job schedulato è della stessa tipologia del job considerato, altrimenti schedulare il job sull’ultima macchina dell’insieme ML, aggiornare RJ e ML e reiterare il passo 4 finchè min{ # RJD, # ML}=0;

Step 5. Per ciascun job di RJd, scegliere la macchina presente in ML il cui ultimo job schedulato è della stessa tipologia del job considerato, altrimenti schedulare il job sull’ultima macchina dell’insieme ML, aggiornare RJ e ML e reiterare il passo 5 finchè min{ n RJd, n ML }=0;

Step 6. vengono quindi aggiornati TL, RJD, RJd e ML e la procedura viene reiterata dal passo 4 finché non sono stati schedulati tutti i job.

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Euristiche usate nel Rollout:Delta

L’insieme delle due date dei job rilasciati all’istante TL viene diviso in intervalli di ampiezza .

Ad ogni job viene assegnata una nuova due date “fittizia”, il cui valore è un multiplo di , a seconda dell’intervallo in cui cade.

Tale procedimento consente di creare famiglie di job con due date coincidenti per le quali sono meglio gestibili i tempi di setup (ad esempio formando delle campagne).

Ogni euristica è caratterizzata da un diverso valore di .

d2 d3d7d5 dnd6d4d1 d8 t

d2 d3d7d5 dnd6d4d1 d8 t

grande

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Variable Neighborhood Search

La VNS è un algoritmo che applica strategie di ricerca locale per individuare miglioramenti alle soluzioni ottenute nel primo livello.

La ricerca viene effettuata su opportuni

intorni adoperando adeguate “mosse”.

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Variable Neighborhood Search

N3

N2

N1

VNS:Algoritmo di ricerca locale che si basa su vicinati sempre più ampi.Ogni volta viene individuata una soluzione migliore rispetto a quella candidata l’algoritmo riprende l’esplorazione a partire dal vicinato più piccolo.

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Variable Neighborhood Search

N3

N2

N1

N3

N2

N1

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Mosse Proposte

J1 Jk-1 Jk Jk+1 Jn

J1 Jk-1 Jk Jk+m Jn

SHIFT

MOVE

Mosse per la ricerca locale sulla sequenza delle singole macchine

SWAP J1 Jk-1 Jk Jk+m Jn

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Mosse

M-MOVE

M-SWAP

J1 Jk-1 Jk Jk+1 Jn

J1 Js-1 Js Js+1 Jn

Macchina A

Macchina B

J1 Jk-1 Jk Jk+1 Jn

J1 Js-1 Js Js+1 Jn

Macchina A

Macchina B

Mosse per la ricerca locale sull’assegnazione alle macchine

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Esempio Applicativo: VNS Variable Neighborhood

Search (VNS)

La metaeuristica opera in 3 intorni di ricerca N1, N2 ed N3 associati a tre diverse “mosse” applicabili.

L’euristica compie un’esplorazione dell’intorno, se trova una mossa che migliora la soluzione esegue nuovamente la ricerca altrimenti passa all’intorno successivo.

Ogni volta che viene trovata una mossa “migliorante” si riparte dall’esplorazione dell’intorno N1.

La procedura termina quando non vengono più trovate mosse “miglioranti”.

Data una soluzione inizialebegindo{cerca una mossa migliorante in N1if mossa trovata then applica la mossa in N1else begin { cerca una mossa migliorante in N2 if mossa trovata then applica la mossa in N2 else begin { cerca una mossa migliorante in N3 if mossa trovata then applica la mossa in N3 end } end }}while una mossa viene eseguitaend

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Vicinati Di Ricerca

Primo intorno di ricerca (N1)Si applica la mossa SHIFT solo per spostare un JOB di un posto indietro in una data sequenza. E’ applicata ai JOB in ordine decrescente di Lateness.

Secondo intorno di ricerca (N2)Si applica lal mossa MOVE ai JOB che violano le deadline (in ordine decrescente) scegliendo il parametro m in modo da anticipare il JOB alla prima posizione utile affinché rispetti il suo tempo di consegna.

Terzo intorno di ricerca (N3)Si applica la mossa SHIFT 2 per spostare un JOB di un posto in avanti nella schedula, ritardandone quindi l’esecuzione.

Mosse di ricerca locale implementate

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Esercizio: Rollout

Applicheremo l’algoritmo del rollout su una istanza caratterizzata dalla presenza di una macchina singola e da relazioni di precedenza tra i job.

1

2

3 4

5

Ji pi di wi

1 4 5 3

2 1 10 2

3 3 11 1

4 4 11 4

5 2 4 1Funzione obiettivo: ΣwiTi

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Esercizio: Rollout

Useremo per il rollout due semplici euristiche :

EDD : Erliest DueDate (H1)

SPT : Shortest Processing Time (H2)

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Esercizio: Rollout

Al primo passo del rollout σ1={1,5} quindi

il primo elemento proposto sarà 1.

H1(2,3,4,5)= 5, 2, 3, 4 -> 1, 5, 2, 3, 4

H2(2,3,4,5)= 2, 5, 3, 4 ->1, 2, 5, 3, 4

Ji pi di wi

1 4 5 3

2 1 10 2

3 3 11 1

4 4 11 4

5 2 4 1

Job 1 5 2 3 4 tot

c.T 4 6 7 10 14 14

wt 0 2 0 0 12 14

Job 1 2 5 3 4 tot

c.T 4 5 7 10 14 14

wt 0 0 3 0 12 15

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Esercizio: Rollout

Al primo passo del rollout σ1={1,5} quindi

il secondo elemento proposto sarà 5.

H1(1,2,3,4)= 1, 2, 3, 4 -> 5, 1, 2, 3, 4

H2(1,2,3,4)= 1, 2, 3, 4 ->5, 1, 2, 3, 4

Ji pi di wi

1 4 5 3

2 1 10 2

3 3 11 1

4 4 11 4

5 2 4 1

Job 5 1 2 3 4 tot

c.T 2 6 7 10 14 14

wt 0 3 0 0 12 15

Job 5 1 2 3 4 tot

c.T 2 6 7 10 14 14

wt 0 3 0 0 12 15

35

Esercizio: Rollout

Al primo passo del rollout si fissa 1, al secondo σ2={2,3,5} quindi

il primo elemento proposto sarà 2.

H1(3,4,5)=5, 3, 4 -> 1, 2, 5, 3, 4

H2(3,4,5)= 5, 3, 4 ->1, 2, 5, 3, 4

Ji pi di wi

1 4 5 3

2 1 10 2

3 3 11 1

4 4 11 4

5 2 4 1

Job 1 2 5 3 4 tot

c.T 4 5 7 10 14 14

wt 0 0 3 0 12 15

Job 1 2 5 3 4 tot

c.T 4 5 7 10 14 14

wt 0 0 3 0 12 15

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Esercizio: Rollout

Al primo passo del rollout si fissa 1, al secondo σ2={2,3,5} quindi

il secondo elemento proposto sarà 3.

H1(2,4,5)=5, 2, 4 -> 1, 3, 5, 2, 4

H2(2,4,5)= 2, 5, 4 ->1, 3, 2, 5, 4

Ji pi di wi

1 4 5 3

2 1 10 2

3 3 11 1

4 4 11 4

5 2 4 1

Job 1 3 5 2 4 tot

c.T 4 7 9 10 14 14

wt 0 0 5 0 12 17

Job 1 3 2 5 4 tot

c.T 4 7 8 10 14 14

wt 0 0 0 6 12 18

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Esercizio: Rollout

Al primo passo del rollout si fissa 1, al secondo σ2={2,3,5} quindi

il terzo elemento proposto sarà 5.

H1(2,3,4)=2, 3, 4 -> 1, 5, 2, 3, 4

H2(2,3,4)= 2, 3, 4 ->1, 5, 2, 3, 4

Ji pi di wi

1 4 5 3

2 1 10 2

3 3 11 1

4 4 11 4

5 2 4 1

Job 1 5 2 3 4 tot

c.T 4 6 7 10 14 14

wt 0 2 0 0 12 14

Job 1 5 2 3 4 tot

c.T 4 7 8 10 14 14

wt 0 2 0 0 12 14

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Esercizio: Rollout

Al secondo passo del rollout si fissa 5, al terzo σ3={2,3} quindi

il primo elemento proposto sarà 2.

H1(3,4)= 3, 4 -> 1, 5, 2, 3, 4

H2(3,4)= 3, 4 -> 1, 5, 2, 3, 4

Ji pi di wi

1 4 5 3

2 1 10 2

3 3 11 1

4 4 11 4

5 2 4 1

Job 1 5 2 3 4 tot

c.T 4 6 7 10 14 14

wt 0 2 0 0 12 14

Job 1 5 2 3 4 tot

c.T 4 7 8 10 14 14

wt 0 2 0 0 12 14

39

Esercizio: Rollout

Al secondo passo del rollout si fissa 5, al terzo σ3={2,3} quindi

il secondo elemento proposto sarà 3.

H1(2,4)= 2, 4 -> 1, 5, 3, 2, 4

H2(2,4)= 2, 4 -> 1, 5, 3, 2, 4

Ji pi di wi

1 4 5 3

2 1 10 2

3 3 11 1

4 4 11 4

5 2 4 1

Job 1 5 3 2 4 tot

c.T 4 6 9 10 14 14

wt 0 2 0 0 12 14

Job 1 5 3 2 4 tot

c.T 4 6 9 10 14 14

wt 0 2 0 0 12 14

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Esercizio: Rollout

Al terzo passo del rollout si fissa 3, al terzo σ3={2,4} quindi

il primo elemento proposto sarà 2.

H1(4)= 4 -> 1, 5, 3, 2, 4

H2(4)= 4 -> 1, 5, 3, 2, 4

Ji pi di wi

1 4 5 3

2 1 10 2

3 3 11 1

4 4 11 4

5 2 4 1

Job 1 5 3 2 4 tot

c.T 4 6 9 10 14 14

wt 0 2 0 0 12 14

Job 1 5 3 2 4 tot

c.T 4 6 9 10 14 14

wt 0 2 0 0 12 14

41

Esercizio: Rollout

Al terzo passo del rollout si fissa 3, al terzo σ3={2,4} quindi

il secondo elemento proposto sarà 4.

H1(2)= 2 -> 1, 5, 3, 4, 2

H2(2)= 2 -> 1, 5, 3, 4, 2

Ji pi di wi

1 4 5 3

2 1 10 2

3 3 11 1

4 4 11 4

5 2 4 1

Job 1 5 3 4 2 tot

c.T 4 6 9 13 14 14

wt 0 2 0 8 8 18

Job 1 5 3 4 2 tot

c.T 4 6 9 13 14 14

wt 0 2 0 8 8 18

42

Esercizio: Rollout

Al quarto passo del rollout si fissa 2, e quindi 4

La soluzione finale sarà:

1,5,3,2,4 con funzione obiettivo pari a 14