mke_5a

MKE - gredni konani elementi u ravniGalerkinova metoda teinskih ostataka

METODA KONANIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Briemail: [email protected]

Departman za Tehnike naukeDravni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Bri Metoda konanih elemenata


Sadraj

1 MKE - gredni konani elementi u ravniVarijacioni postupak - savijanje u ravniVarijacioni postupak - aksijalno naprezanjeNapomene o varijacionim metodama

2 Galerkinova metoda teinskih ostatakaMetoda teinskih ostatakaAksijalno naprezanjeSavijanje u ravni



Varijacioni postupak - savijanje u ravniVarijacioni postupak - aksijalno naprezanjeNapomene o varijacionim metodama

Sadraj






Metoda konanih elemenata

Varijacioni postupak - savijanje u ravniPosmatra se diferencijalno mali element dx izdvojen iz pravogtapa u ravni x, yDiferencijalne jednaine ravnotee sila koje deluju na izdvojenielement su

dN

dx+ px = 0

dT

dx+ py = 0

dM

dx T +mz = 0 (1)

Uz zanemarenje raspodeljenih momenata savijanja mz,diferenciranjem po x tree od jedn. (1) i uzimanjem u obzirdruge jednaine, dobija se

d2M

dx2+ py(x) = 0





Varijacioni postupak - savijanje u ravniMomenat savijanja moe da se izrazi preko krivine tapa, odn.preko drugog izvoda ugiba po koordinati x,

M(x) = EJzv(x)

(moe i M = EJv), tako da je diferencijalna jednainasavijanja tapa u ravni data u obliku

EJzd4v

dx4+ py(x) = 0 (2)





Varijacioni postupak - savijanje u ravniPosmatra se konani element grednog tapa u ravni sa dvevorne take 1 i 2 na krajevima elementaDuina konanog elementa je `, momenat inercije preseka jeJz, a modul elastinosti EPomeranja taaka ose tapa upravno na osu, ugibi v(x),izraavaju se preko vornih pomeranja i obrtanja kao

v(x) =

4i=1

Ni(x)qi

= N1(x)v1 +N2(x)1 +N3(x)v2 +N4(x)2

(3)





Varijacioni postupak - savijanje u ravni

U jedn. (3) Ni(x) su Ermitovi kubni polinomi 1. vrste, dok suqi pomeranja i obrtanja vornih taakaVarijacioni postupak zasniva se na stacionarnostiodgovarajueg funkcionalaU formulaciji MKE na bazi deformacija (pomeranja) tajfunkcional je potencijalna energijaPotencijalna energija konanog elementa jednaka je zbirupotencijalne energije deformacije (deformaciog rada) ipotencijala spoljanjih sila, odn. negativnog rada spoljanjihsila

= Ue Rs






Za sluaj savijanja konanog elementa (bez aksijalnih sila)deformacioni rad dat je sa

Ue =1

2EJz

`0

(v)2 dx

Kako su samo interpolacione funkcije u izrazu (3) za ugib v(x)zavisne od koordinate x, to je Ue dato sa

Ue =1

2EJz

`0

[4i

N i (x)qi

]2dx





Varijacioni postupak - savijanje u ravniKvadrat drugog izvoda ugiba moe da se prikae kao

(v)2 = v v

odnosno, kao dvostruka suma

(v)2 =

(4i=1

N i (x)qi

) 4j=1

N j (x)qj

=

4i=1

4j=1

N i (x)Nj (x) qi qj





Varijacioni postupak - savijanje u ravniSa ovim, izraz za potencijalnu energiju deformacije konanogelementa moe da se prikae kao

Ue =1

2

4i=1

4j=1

[EJz

`0N i (x)N

j (x) dx

]qi qj

ili skraeno, kao kvadratna forma generalisanih koordinata

Ue =1

2

4i=1

4j=1

kij qi qj (4)






U izrazu (4) uvedena je oznaka za elemente matrice krutostikonanog elementa

kij = kji = EJz

`0N i (x)N

j (x) dx (i, j = 1, . . . , 4) (5)

Potencijalna energija deformacije konanog elementa data sa(4) moe da se prikae u matrinom obliku kao

Ue =1

2qT K q gde je K = [kij ] (6)

(uoiti analogiju sa potencijalnom energijom elastine opruge = 12kx

2)






Rad spoljanjih sila konanog elementa (rad generalisanih silana krajevima elementa R, kao i rad ekvivalentnog optereenjana krajevima elementa Q) jednak je

Rs = qT R+ qT Q (7)

Potencijalna energija konanog elementa jednaka je zbirupotencijalne energije deformacije i negativnog rada spoljanjihsila:

= Ue Rs = 12qT K q qT R qT Q (8)





Varijacioni postupak - savijanje u ravniPotencijalna energija deformacije konanog elementa izloenogsavijanju bez aksijalne sile, data je kao kvadratna funkcija(forma) generalisanih koordinata

Ue = Ue(q1, q2, q3, q4)

Stacionarnost potencijalne energije data je kao matrinajednaina:

qT= 0 R = K q Q (9)

Ova jednaina pretstavlja osnovnu jednainu optereenogkonanog elementa





Varijacioni postupak - savijanje u ravniZa odreivanje elemenata matrice krutosti konanog elementa,date sa (5), potrebni su drugi izvodi interpolacionih funkcijapo x:

N 1 (x) = 6

`2+

12x

`3

N 2 (x) = 4

`+

6x

`2

N 3 (x) =6

`2 12x

`3

N 4 (x) = 2

`+

6x

`2






Unoenje drugih izvoda interpolacionih funkcija u integrale (5),posle integracije dobija se matrica krutosti grednog konanogelementa sa dva vora, optereenog na savijanje, bezaksijalnog naprezanja:

K =EJz`3

12 6` 12 6`6` 4`2 6` 2`212 6` 12 6`6` 2`2 6` 4`2

(10)





Varijacioni postupak - savijanje u ravniVektor ekvivalentnog optereenja posmatranog konanogelementa dobija se iz uslova da je rad ekvivalentnogoptereenja jednak radu spoljanjih uticaja koji deluju nakonani elementNa primer, ako na konani element deluje raspodeljenooptereenje py(x), onda je rad jednak

QTq =

`0py(x) v(x) dx






Kako je v(x) = N(x)q, to je unoenjem ugiba v(x) u integrali skraivanjem sa q, dobija se vektor ekvivalentnogoptereenja:

QT =

`0py(x)N(x) dx

gde je N(x) matrica interpolacionih funkcijaPosmatra se ravnomerno optereenje du konanog elementapy(x) = p0 = const




Vektor ekvivalentnog optereenja grednogkonanog elementa

vorovi i i k su vorne take 1 i 2






Interpolacione funkcije Ni(x) su Ermitovi kubni polinomiDobija se integracijom vektor ekvivalentnog optereenja:

Q = p0

`0

N1(x)N2(x)N3(x)N4(x)

dx =p0`

2

1`61

`6

Za sluaj linearno promenljivog optereenja py(x) = p0x/`dobija se vektor ekvivalentnog optereenja

QT =p0 `

20[ 3 2`3 7 ` ]




Sadraj







Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakPosmatra se diferencijalno mali element dx izdvojen iz pravogtapa u ravni x, yDiferencijalna jednaina ravnotee sila koje deluju u pravcu oseizdvojenog elementa je

dN

dx+ px = 0 (11)

Normalna sila, u skladu sa Hukovim zakonom, data je sa

N = EF ( t) = EF

ako se ne posmatra uticaj temperature u osi tapa





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakDilatacija ose tapa data je sa

=du

dx

gde je u pomeranje taaka ose tapa u pravcu ose tapa x,tako da je

N = EF = EFdu

dx

Prema tome, diferencijalna jednaina aksijalnog naprezanjapravog tapa, izraena preko pomeranja, data je u obliku

EFd2u

dx2+ px = 0 (12)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak

Posmatra se (prav) gredni konani element sa dve takeizloen aksijalnom naprezanjuDuina konanog elementa je `, povrina preseka F , dok jemodul elastinosti materijala EGeneralisane koordinate za aksijalno naprezanje su pomeranjavorova 1 i 2 u pravcu lokalne ose x: u1 i u2Kako je diferencijalna jednaina aksijalnog naprezanja tapa(12) drugog reda, opti integral homogene dif. jednaine jelinearni polinomPrema tome, raspodela aksijalnog pomeranja taaka osekonanog elementa prikazuje se u obliku linearnog polinoma

u(x) = a0 + a1x (13)Stanko Bri Metoda konanih elemenata





Linearni polinom (13) sa nepoznatim konstantama moe da seprikae u matrinom obliku kao

u(x) = P T (x)a = [ 1 x ]

{a0a1

}(14)

Sa P (x) oznaen je vektor iji su elementi baze polinoma:1, x, x2, . . . , xn (u ovom sluaju do prvog stepena: n = 1)Sa a oznaen je vektor sa nepoznatim konstantama(koeficijenti uz baze polinoma)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakPolinom stepena n klasino se prikazuje u obliku

pn(x) = a0 + a1x+ a2x2 + + anxn =

ni=0

ai xi (15)

ali moe da se prikae i u matrinom obliku kao

pn(x) = PTn (x)a = [ 1 x x

2 xn ]

a0a1a2...an





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakNa primer, kod grednog konanog elementa izloenogsavijanju, aproksimacija pomeranja v(x) unutar konanogelementa prikazuje se u obliku kubnog polinoma

v(x) = P T (x)a = [ 1 x x2 x3 ]

a0a1a2a3

Nepoznate konstante a0 i a1 u (14) odreuju se iz graninihuslova:

u(x)|x=0 = u1 u(x)|x=` = u2 (16)






Granini uslovi (16) mogu da se napiu u matrinom obliku kao{u1u2

}=

[1 01 `

]{a0a1

}ili, u skraenom obliku, kao

q = Ca

Reenje se dobija kao a = C1q, odnosno u razvijenom obliku{a0a1

}=

[1 01` 1`

]{u1u2

}





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakPrema tome, aproksimacija aksijalnog pomeranja unutarelementa data je sa (14)

u(x) = P Ta = P TC1q = [ 1 x ][

1 01` 1`

]{u1u2

}ili, posle mnoenja P TC1,

u(x) =[

1 x` x`]{ u1

u2

}(17)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakAlternativa: Nepoznate konstante a0 i a1 odreuju se izgraninih uslova:

u(x)|x=0 = u1 u(x)|x=` = u2Dobija se

u(x = 0) = u1 = a0 u(x = `) = u2 = a0 + a1`

Reenje za konstante ai je:

a0 = u1 a1 =u2 u1

`





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakPrema tome, raspodela aksijalnog pomeranja du osekonanog elementa data je u obliku

u(x) = u1 +u2 u1

`x

odnosno, sreivanjem,

u(x) =(

1 x`

)u1 +

x

`u2 (18)

Relacija (18) prikazuje se u obliku

u(x) = N1(x)u1 +N2(x)u2 (19)

gde su N1(x) i N2(x) funkcije oblika za aksijalno naprezanjeStanko Bri Metoda konanih elemenata





Relacija (17), odn. (18), moe da se napie u obliku

u(x) = N(x) q (20)

gde su

N = [ N1(x) N2(x) ] =[

1 x` x`]

qT = { q1 q2 } = { u1 u2 }

Sa N1(x) i N2(x) oznaene su funkcije oblika za aksijalnonaprezanje




Linearne interpolacione funkcije

N1(x) = 1 x` N2(x) = x`





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakDeformacioni rad aksijalno napregnutog konanog elementaduine ` dat je sa

Ue =1

2

`0Ndx

gde je N normalna sila, a dilatacijaKako je

N = F = EF kao i =du

dx

to se dobija

Ue =EF

2

`0

(du

dx

)2dx (21)






Imajui u vidu relaciju (17), odn. (18), kao i to da su samointerpolacione funkcije Ni(x) funkcije koordinate x, prvi izvodpomeranja po koordinati x dat je sa

du

dx= u(x) = [ N 1(x) N 2(x) ]

{q1q2

}Imajui u vidu interpolacione funkcije, dobija se

du

dx= u(x) = [ 1` 1` ]

{q1q2

}=q2 q1`

(22)






Unosei relaciju (22) u izraz (21) za deformacioni rad, dobijase

Ue =EF

2

`0

(q2 q1)2`2

dx (23)

Integracijom se dobija (podintegralni izraz nezavistan je od x):

Ue =EF

2`(q21 2q1q2 + q22) (24)

Rad generalisanih sila koje deluju na krajevima konanogelementa je jednak

Rs = R1u1 +R2u2 = R1q1 +R2q2 = RTq (25)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakPotencijalna energija konanog elementa data je kao razlikapotencijalne energije deformacije i rada spoljanjih sila:

= Ue Rs = EF2`

(q21 2q1q2 + q22)R1q1 R2q2 (26)

Potencijalna energija je kvadratna funkcija generalisanihkoordinata: = (q1, q2)Uslov stacionarnosti potencijalne energije dat je sa

q1= 0

q2= 0






Imajui u vidu potencijalnu energiju datu sa (26), dobija se

q1= 0 EF

`(q1 q2)R1 = 0

q2= 0 EF

`(q1 + q2)R2 = 0

Dobijene dve jednaine pretstavljaju osnovnu jednainuneoptereenog konanog elementa{

R1R2

}=EF

`

[1 11 1

]{q1q2

}(27)






Kompaktniji oblik jednaine (27) je standardni oblik, koji je poformi isti i za druge oblike naprezanja:

R = Kq (28)

Sa K oznaena je matrica krutosti za aksijalno napregnutkonani element u ravni

K =EF

`

[1 11 1

]





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupakVektor ekvivalentnog optereenja moe da se dobije iz uslovada je rad ekvivaentnog optereenja jednak radu stvarnograspodeljenog optereenja du ose konanog elementa

QTq =

`0px(x)u(x)dx

Unosei u integral relaciju (20): u(x) = N(x)q, dobija se(posle skraivanja sa q)

QT =

`0px(x)N(x)dx (29)






Na primer, za ravnomerno optereenje px(x) = p0 = constdu konanog elementa dobija se

QT = p0

`0

[ (1 x` ) x` ]dx =p0`

2[ 1 1 ]

Takoe, ako je aksijalno optereenje du konanog elementalinearno promenljivo: p(x) = p0x/`, dobija se

QT = p0

`0

x

`[ (1 x` ) x` ]dx =

p0`

6[ 1 2 ]





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerPosmatra se primer konzolnog tapa duine L, poprenogpreseka povrine F i modula elastinosti E, koji je optereenlinijski promenljivim aksijalnim optereenjem q(x) = cx





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerPrimenom Rayleigh-Ritz-ovog varijacionog postupka treba dase odredi rapodela aksijalnog pomeranja i napona uposmatranom tapuU klasinom Rayleigh-Ritz-ovom varijacionom postupkuprobne funkcije kojima se aproksimira nepoznata funkcijaproblema definisane su unutar celog domena problemaU Rayleigh-Ritz-ovom varijacionom postupku u MKE domendefinisanosti probnih funkcija je unutar svakog konanogelemeta





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: Primer

Diferencijalna jednaina aksijalnog naprezanja data je sa (12):

EFd2u

dx2+ cx = 0 x [0, L] (30)

Prema varijacionom postupku nepoznata funkcija problemau = u(x) aproksimira se sa probnom funkcijom u(x) koja jedopustiva, to znai da zadovoljava uslove kompatibilnosti iesencijalne granine usloveU ovom sluaju aksijalnog naprezanja esencijalni granini uslovje u(x)|x=0 = 0






Probna funkcija se usvaja u obliku polinoma pn(x) (15), ali uovom sluaju, zbog graninog uslova po pomeranju u(0) = 0,konstanta uz nulti lan polinoma se odbacuje: a0 = 0Najjednostavniji polinom je polinom sa jednim lanom:

u(x) = a1 x

Potencijalna energija posmatranog aksijalno optereenog tapadata je sa = Ue Rs:

=EF

2

L0

(u)2 dx L

0q(x)u(x) dx (31)






Unosei probnu funkciju u(x) = a1x u potencijalnu energiju(31), imajui u vidu da je u = a1, kao i da je q(x) = cx,dobija se

=EF

2

L0

(a1)2dx

L0cx a1x dx = EF

2La21

cL3

3a1

Nepoznata konstanta odreuje se iz uslova stacionarnostipotencijalne energije:

a1= 0 EFLa1 cL

3

3= 0






Iz uslova /a1 = 0 dobija se nepoznata konstanta

a1 =cL2

3EF

Prema tome, priblino reenje za aksijalno pomeranje dutapa je jednako

u(x) u = a1x = cL2

3EFx (32)

Sa ovim se dobija priblina raspodela normalnih napona

x = E Eu = cL2

3F(33)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerPosmatra se priblino reenje sa dva lana u polinomu:

u(x) u = a1x+ a2x2

Prvi izvod u je jednak

u = a1 + 2a2x

Potencijalna energija sada je priblino data kao

=EF

2

L0

(a1 + 2a2x)2dx

L0cx (a1x+ a2x

2)dx





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerIntegracijom se dobija potencijalna energija u obliku

=EF

2(a21L+ 2a1a2L

2 +4

3a22L

3) ca1L3

3 ca2L

4

4

Uslovi stacionarnosti potencijalne energije dati su sa

a1= 0 EFLa1 + EFL2a2 cL

3

3= 0

a2= 0 EFL2a1 + 4

3EFL3a2 cL

4

4= 0





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerMatrini prikaz uslova stacionarnosti je pogodniji:

EF

L

[1 LL 43L

]{a1a2

}=cL3

12

{4

3L

}Reenje ovih jednaina dobija se kao{

a1a2

}=

cL

12EF

{7L3

}





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerPrema tome, dobijeno je priblino reenje sa dva anapolinoma u obliku

u(x) u = a1x+ a2x2 = cL12EF

(7Lx 3x2) (34)

Sa ovim se dobija priblina raspodela normalnih napona

x = E Eu = cL2

12F(35)

Kao to se vidi, dobijeno reenje ne zadovoljava nidiferencijalnu jednainu problema (30), kao ni granini uslovpo silama x|x=L = 0





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerNaime, prvi i drugi izvodi priblinog reenja sa dva lanapolinoma su

u =cL

12EF(7L 6x) u = cL

2EF

Kada se to unese u dif. jed. (30), dobija se ostatak

R(u) = cL2

+ cx 6= 0

dok su normalni naponi x dobijeni kao konstantni du tapa





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerDiferencijalna jednaina problema je data sa

EFd2u

dx2+ cx = 0 x [0, L] (36)

kao i sa graninim uslovima:- esencijalnim (po pomeranjima) . . .u(x)|x=0 = 0- prirodnim (po naponima/silama) . . .x|x=L = 0

Tano reenje diferencijalne jednaine problema dobija se kao:

u(x) =c

6EF(3L2x x3) (37)




Tano i priblino reenje

Poreenje tanog i priblinog reenja sa polinomimatano reenje . . .u(x) = c6EF (3L

2x x3)jedan lan polinoma . . . u(x) = cL

2

3EF x

dva lana polinoma . . . u = cL12EF (7Lx 3x2)





Aksijalno naprezanje - varijacioni postupak: PrimerAko se trai priblino reenje kao kubni polinom:

u(x) u(x) = a1x+ a2x2 + a3x3

posle formiranja potencijalne energije = (a1, a2, a3) ipostavljanja uslova stacionarnosti ai = 0 (i = 1, 2, 3),dobijaju se konstante

a1 =cL2

2EFa2 = 0 a3 = c

6EF

Ovakvo priblino reenje se poklapa sa tanim




Sadraj







Napomene o varijacionim metodamaFunkcionali su integralni izrazi koji su funkcije drugih funkcija,dakle integrali u kojima je podintegralni izraz zavistan od nekefunkcije jedne ili vie nezavisnih prostornih koordinataTrai se da se variranjem funkcija u funkcionalu odrede onefunkcije za koje funkcional ima ekstremnu vrednost (minimumili maksimum)Uslov za ekstremnu vrednost funkcionala iskazan je relacijomda je prva varijacija funkcionala jednaka nuli





Napomene o varijacionim metodamaFunkcional je integralni izraz koji u sebi implicitno sadridiferencijalnu jednainu posmatranog problemaFormulacija problema u obliku diferencijalne jednaine iodgovarajuih graninih (eventualno i poetnih) uslova nazivase jaka formulacija (strong formulation)Integralna formulacija istog problema preko funkcionala koji usebi implicitno sadri diferencijalnu jednainu problema nazivase slaba formulacija (weak formulation)





Napomene o varijacionim metodamaIzrazi jaka i slaba formulacija implicitno asociraju nainferiornost slabe u odnosu na jaku formulacijuMeutim, jaka i slaba formulacija su meusobno potpunoekvivalentneJaka formulacija iskazuje uslove i relacije koji moraju da buduzadovoljeni u svakoj taki domena posmatranog problemaSlaba formulacija iskazuje uslove i relacije koji moraju da buduzadovoljeni u prosenom, odn. u integralnom smislu





Napomene o varijacionim metodama

Najpoznatiji varijacioni postupak je Rayleigh-Ritz-ov (ili samoRitz-ov) postupak, posebno u Teoriji konstrukcijaTo je zbog toga to u Teoriji konstrukcija (posebno u linearnimteorijama) postoji funkcional u obliku potencijalne energijeVarijacioni Princip o minimumu potencijalne energije koji seodnosi na stabilnu ravnotenu konfiguraciju nosaa, pretstavljapolazite formulacije u MKE





Napomene o varijacionim metodamaRayleigh-Ritz-ov postupak sastoji se u aproksimaciji funkcijeproblema u posmatranom funkcionalu preko probnih funkcija(trial functions)Probne funkcije su pogodno izabrane funkcije koje spadaju udopustive funkcije (admissible functions)To znai da probne funkcije zadovoljavaju uslove kontinuiteta(odn. diferencijabilnosti) i esencijalne granine uslove(geometrijske uslove, uslove po pomeranjima)Pogodne probne funkcije su polinomi u 1D, 2D ili 3D:pn(x), pn(x, y), pn(x, y, z), a mogue i trigonometrijskefunkcije





Napomene o varijacionim metodamaPrincip o stacionarnosti potencijalne energije glasi:

Od svih dopustivih konfiguracija konzervativnog sistema, ukonfiguraciji u kojoj su zadovoljeni uslovi ravnotee,ukupna potencijalna energija je stacionarna u odnosu namale dopustive varijacije pomeranja

Ako je stacionarnost potencijalne energije relativni minimum,ravnotena konfiguracija je stabilnaPrincip vai i kada veza optereenje - pomeranje nije linearna






Ritz-ov postupak ima dve varijante (oblika)- klasian oblik . . . probne funkcije su definisane u celom domenuproblema

- oblik u MKE . . . probne funkcije su definisane unutar domenakonanog elementa

Probne funkcije se izraavaju preko usvojenih baznih funkcija(npr. lanova polinoma) i nepoznatih koeficijenata (odn.stepena slobode ili DOF) posmatranog problema





Napomene o varijacionim metodamaU klasinom Ritz-ovom postupku stepeni slobode ne moraju daimaju jasno fiziko znaenjeU Ritz-ovom postupku u MKE koeficijenti (DOF) u probnimfunkcijama pretstavljaju vorne vrednosti nepoznatihpomeranja, a mogue i obrtanja, dok su probne funkcijefunkcije oblikaFunkcional (potencijalna energija) se izraava preko integrala ucelom domenu (odn. u konanom elementu u MKE)






Unosei pretpostavljene probne fukcije (sa nepoznatimkoeficijentima) u funkcional, posle integracije funkcionalpostaje algebarska funkcija konanog broja DOF (nepoznatihkoeficijenata):

= (a0, a1, a2, . . . , an)

Uslov stacionarnosti fukcionala za bilo koju malu dopustivuvarijaciju konfiguracije glasi

= 0 = a0

a0 +

a1a1 + +

anan = 0






Kako su a0, a1, . . . , an meusobno nezavisni parametri (stepenislobode problema), onda se = 0 svodi na uslove

ai= 0 (i = 0, 1, . . . , n)

to pretstavlja sistem algebarskih jednaina po nepoznatimkoeficijentima (generalisanim DOF)





Napomene o varijacionim metodamaProbne funkcije moraju da budu dopustive, ali i dovoljnojednostavne za upotrebu, tako da su polinomi najbolji izbor (aponekad i trigonometrijske funkcije)Kako da se proceni koliko lanova reda i koji stepen polinomada se usvoji za priblino reenje?Postavlja se pitanje kako da se proceni kvalitet priblinogreenja ako se nema tano reenjeOvakva pitanja postoje i u klasinom Ritz-ovom postupku, kaoi u MKE





Napomene o varijacionim metodamaU odreivanju to tanijeg priblinog reenja pretpstavlja se daje odreeno vie varijanti priblinog reenja, u svakom reenjuje dodat po jedan lan vie (kao u primeru)Znai, generisan je niz priblinih reenja i postavlja se pitanjekonvergencije ka nepoznatom tanom reenjuOekuje se konvergencija ka tanoj potencijalnoj energiji, katanim pomeranjima i ka tanim naponima





Napomene o varijacionim metodamaNeophodan uslov za konvergenciju priblinog reenja jekompletnost probnih funkcijaKompletnost probnih funkcija se realizuje ukoliko tanapomeranja i izvodi pomeranja koji se javljaju u mogu dabudu predstavljeni (reprodukovani) proizvoljno dobro probnimfunkcijama, ukoliko ima dovoljno lanova u pretpostavljenomreenjuKompletnost zahteva da se u probnim funkcijama buduukljueni najnii lanovi dopustivih funkcija





Napomene o varijacionim metodamaNa primer, ako se koriste 3 lana polinoma, onda to treba dabudu lanovi po redu a0 + a1x+ a2x2, a nea0 + a1x+ a3x

3, ili a0 + a1x+ a4x4

Dve grupe graninih uslova se javljaju- esencijalni (po pomeranjima, geometrijski)- prirodni (ne-esencijalni, po silama ili naponima)

Uprkos terminologiji, obe grupe graninih uslova su znaajneU jakim formulacijama, zasnovanim na reavanjudiferencijalnih jednaina, koriste se obe grupe graninih uslova





Napomene o varijacionim metodamaU slabim formulacijama, zasnovanim na integralnimjednainama, koriste se esencijalni uslovi, a prirodni (ponaponima ili silama) su (obino) iskorieni u samoj formulacijiintegralne jednaine (parcijalnom integracijom)Ako je 2m najvii red izvoda promenljive u diferencijalnojjednaini problema, onda se u integralnoj formulaciji problemajavljaju izvodi reda m i niiEsencijalni granini uslovi odnose se na izvode do reda m 1,gde je nulti red izvoda sama promenljivaPrirodni granini slovi ukljuuju izvode reda m i vie, do reda2m 1



Metoda teinskih ostatakaAksijalno naprezanjeSavijanje u ravni

Sadraj







Metoda teinskih ostatakaMetoda konanih elemenata u primeni na linijske nosae moeda se direktno formulie, kao proirenje matrine analizekonstrukcijaU drugim oblastima Primenjene mehanike, ali ukljuujui ilinijske nosae, MKE moe da se formulie i primenomPrincipa virtuelnih pomeranja, ili na bazi varijacionih principa,primenjenih na funkcional kao to je potencijalna energijaU nekim oblastima ne moe da se definie (ne postoji)varijacioni princip i odredi odgovarajui funkcional





Metoda teinskih ostataka

esto je na raspolaganju samo diferencijalna jednaina (ilijednaine) problema i odgovarajui granini usloviMetoda teinskih ostataka je u takvim sluajevima pogodannain za formulaciju numerikog reenja primenom MKEMetoda teinskih ostataka pretstavlja slabu formulaciju uMKE, slino kao i varijacione formulacijeOd razliitih oblika Metode teinskih ostataka metodaGalerkina (odn. Bubnov-Galerkin-a) najvie je u primeni





Metoda teinskih ostatakaNepoznata funkcija u diferencijalnoj jednaini problemaaproksimira se priblinim renjem prikazanim u vidusuperpozicije proizvoda poznatih probnih (baznih) funkcija inepozntih koeficijenata (ili generalisanih stepeni slobodeproblema)Sve probne funkcije moraju da budu dopustive, odn. dazadovoljavaju esencijalne granine uslove i da budukontinualne, odn. diferencijabilne do potrebnog nivoa u skladusa d.j. problemaUnoenjem pretpostavljenog priblinog reenja u diferencijalnujednainu problema, jednaina nee da bude zadovoljena, vee da postoji neka funkcija ostatka





Metoda teinskih ostatakaFunkcija ostatka jednaka je nuli samo za tano reenjeproblemaU metodi teinskih ostataka, funcija ostatka minimizuje se(svodi na nulu) u prosenom, integralnom smisluNaime, funkcija ostatka mnoi se sa izabranim teinskimfunkcijama i integrali unutar domena problema (ili domenakonanog elementa), pa se dobijeni izrazi izjednaavaju sanulomNa taj nain postie se da je funkcija ostatka izjednaena sanulom u prosenom smislu





Metoda teinskih ostatakaRazne varijante Metode teinskih ostataka razlikuju semeusobno prema izboru teinskih funkcijaMetoda Galerkina je specifina po tome to se za teinskefunkcije biraju bazne funkcije kojima je aproksimirano traenoreenje (bez koeficijenata)Bazne (probne) funkcije pretstavljaju jedan od oblikanepoznatog reenja, dok su koeficijenti uz bazne funkcije (iligeneralisani stepeni slobode) amplitude u tim oblicima reenjaKonano reenje dobija se superpozicijom funkcija oblika(probnih funkcija) skaliranih sa odgovarajuim generalisanimDOF





Metoda teinskih ostatakaBroj teinskih funkcija jednak je broju probnih funkcija, odn.broju generalisanih DOF, tako da je broj integralnih jednainaproizvoda teinskih funkcija i funkcije ostatka jednak brojugeneralisanih DOFDrugim reima, dobija se sistem algebarskih jednaina ponepoznatim koeficijentima, odn generalisanim DOFPri tome, u integralu proizvoda teinske funkcije i funkcijeostatka vri se parcijalna integracija (ukoliko je reddiferencijalne jednaine paran)





Metoda teinskih ostatakaAko su u(x) i v(x) funkcije jedne promenljive x, onda vai

d(u v) = u dv + v du

Integracijom ovog diferencijala sloene funkcije dobija seu dv = uv

v du ili

bau dv = uv|ba

bav du

to pretstavlja parcijalnu integraciju





Metoda teinskih ostatakaSmisao parcijalne integracije u integralu proizvoda teinskefunkcije i funkcije ostatka je u tome da se izvodi probnihfunkcija (posle unoenja u d.j. problema) prebace na teinskefunkcijePri tome se javljaju i konturni lanovi, koji se anuliraju zboggraninih uslova po silama (naponima), kao i zbog graninihuslova po pomeranjima (esencijalnih uslova)Esencijalni granini uslovi moraju da budu zadovoljeni vesamim izborom probnih funkcija, a granini uslovi po silama seprirodno pojavljuju u parcijalnoj integraciji, pa se zato i zovuprirodni granini uslovi





Metoda teinskih ostatakaAko je d.j. problema parnog reda, recimo reda 2m, onda separcijalnom integracijom red izvoda u probnim funkcijamasmanji sa 2m na m, dok se kod teinskih funkcija poveasa 0 na mKako su u Galerkinovoj metodi teinske funkcije jednake saprobnim, posledica je da se dolazi do simetrinih matricakoeficijenata u jednainama po nepoznatim generalisanim DOFU Teoriji konstrukcija diferencijalne jednaine su esto drugogili etvrtog reda, tako da je to pogodno za parcijalnuintegraciju i simetriju matrica





Galerkinova metoda teinskih ostatakaGalerkinova varijanta metode teinskih ostataka prikazae sena primeru skalarne diferencijalne jednaine jedne promenljive(obina dif. jed.):

L[y(x)] + f(x) = 0 a x b (38)

Sa L(. . .) oznaen je (linearni) diferencijalni operatorU zavisnosti od reda diferencijalne jednaine dati su iodgovarajui granini uslovi





Galerkinova metoda teinskih ostatakaJednaina (38) mnoi se sa proizvoljnom funkcijom w(x) iintegrali u granicama a i b: b

aw(x) (L[y(x)] + f(x)) dx = 0 (39)

Jednaine (38) i (39) su meusobno ekvivalentne jer je w(x)proizvoljna funkcijaNepoznata funkcija y(x) koja pretstavlja reenje diferencijalnejednaine (38) trai se u obliku priblinog reenja kao linearnakombinacija izabranih probnih funkcija i(x) i nepoznatihkoeficijenata ci





Galerkinova metoda teinskih ostatakaDakle, nepoznata funkcija y(x) trai se u obliku:

y(x) u(x) =ni=1

ci i(x)

pri emu izabrane probne (bazne) funkcije i(x) zadovoljavajuesencijalne granine uslove (u ovom sluaju uslove na konturidomena x = a i x = b)Kako je u(x) neko priblino prikazivanje nepoznate traenefunkcije y(x), unosei u(x) u dif. jedn. (38), jednaina,naravno, nee da bude zadovoljena





Galerkinova metoda teinskih ostatakaUnosei pretpostavljeni oblik reenja u jedn. (38) dobija seostatak (rezidijum) r(x):

r(x) = L[u(x)] + f(x) 6= 0

Ideja (cilj) metode teinskih ostataka je da se odredi priblinoreenje, odnosno nepoznati koeficijenti ci uz poznate probnefuncije, tako da ostatak r(x) bude jednak nuli u prosenomsmislu





Galerkinova metoda teinskih ostatakaZato se postavlja uslov (39) u koji se unosi priblino reenjeu(x), u kojem figuriu nepoznati koeficijenti ci, kao iproizvoljna funkcija w(x): b

aw(x) r(x) dx =

baw(x) (L[u(x)] + f(x)) dx = 0

Galerkinova metoda teinskih ostataka za teinsku funkcijuw(x) usvaja probne funkcije i(x):

wi(x) = i(x) (i = 1, 2, . . . , n)





Galerkinova metoda teinskih ostatakaDobija se sistem jednaina po nepoznatim koeficijentima ci: b

ai(x) [L(

nj=1

cjj(x)) + f(x)] dx = 0 (i = 1, 2, . . . , n)

Izraunavanjem integrala dobija se sistem od n jednaina ponepoznatim koeficijentima ciReavanjem dobijenog sistema i odreivanjem koeficijenata cidobija se priblino reenje za traenu funkciju y(x):

y(x) u(x) =ni=1

ci i(x)





Galerkinova metoda teinskih ostataka - primerPosmatra se aksijalno optereena konzola duine L, povrinepreseka A i modula elastinosti Etap je optereen celom duinom linearno promenljivimaksijalnim optereenjem q(x) = cx, kao i koncentrisanomsilom P na slobodnom krajuNai priblino numeriko reenje primenom metode Galerkina





Galerkinova metoda teinskih ostataka - primer

(a) Aksijalno optereen tap (b) Dif. jednaina problema






Ako je sa u(x) oznaeno aksijalno pomeranje ose tapa,diferencijalna jednaina tapa data je sa

EAu(x) + c x = 0 (40)

Granini uslovi su- esencijalni (po pomeranjima) . . .u(0) = 0- prirodni (po silama) . . .AEu(L) = P

Tano reenje diferencijalne jednaine moe da se dobije kao

u(x) =P

AEx+

cL2

2AEx c

6AEx3 (41)






Neka je u(x) priblino reenje za nepoznato pomeranje u(x)Ako se sa Wi(x) oznae teinske funkcije, onda je Galerkinovmetod dat u obliku L

0Wi

(u +

cx

AE

)dx = 0 (42)

Prvi lan u integralu moe da se parcijalno integraliAko je u = Wi, kao i dv = udx, onda je (sa oznakama zaparcijalnu integraciju)

du = W idx v = u





Galerkinova metoda teinskih ostataka - primerPrema tome, parcijalnom integracijom prvog lana u jedn.(42) dobija se L

0

(W i u +Wi

cx

AE

)dx+ (Wi u

)|L0 = 0 (43)

Za priblno reenje posmatramo polinom sa dva lana

u(x) u(x) = a1x+ a2x2 (44)

U polinom u(x) nije ukljuen nulti lan a0, jer time ne bi biozadovoljen esencijalni granini uslov u(0) = 0






Imajui u vidu probnu funkciju u(x), koja zadovoljavaesencijalni uslov (uslov po pomeranju za x = 0), odgovarajueteinske funkcije su:

W1(x) = x W2(x) = x2 W 1 = 1 W 2 = 2x

Teinske funkcije su izvedene iz probne funkcije, pa, prematome, i teinske funkcije zadovoljavaju esencijalni graniniuslov u(0) = 0To znai da je konturni lan u jedn. (43) za donju granicujednak nuli zbog Wi(0) = 0





Galerkinova metoda teinskih ostataka - primerZa gornju granicu x = L aplicira se granini uslov po sili

u =P

AE

Imajui sve ovo u vidu, mogu da se piu dve jednaine (43):

i = 1 :

L0

[(1)(a1 + 2a2x) + x cx

AE

]dx+ L

P

AE= 0

i = 2 :

L0

[(2x)(a1 + 2a2x) + x2 cx

AE

]dx+ L2

P

AE= 0

(45)






Jednaine (45) postaju:

i = 1 :

L0

(a1 2a2x+ c

AEx2)dx+

PL

AE= 0

i = 2 :

L0

(2a1x 4a2x2 + c

AEx3)dx+

PL2

AE= 0

(46)

Dobijaju se reenja

a1 =P

AE+

7cL2

12AEa2 = cL

4AE






Prema tome, priblino reenje za aksijalno pomeranje u(x)dobijeno je kao

u(x) u = PAE

x+7cL2

12AEx cL

4AEx2 (47)

Raspodela normalnih napona x(x) = Eu data je sa

x(x) =P

A+

7cL2

12A cL

2Ax (48)





Galerkinova metoda teinskih ostataka - primerAko se odredi potencijalna energija za posmatrani primer, zaneku probnu funkciju u(x), dobija se

=

L0

[1

2AE(u)2 cxu

]dx Pu|L (49)

Ukoliko moe da se konstruie funkcional koji odgovaradiferencijalnoj jednaini problema, onda Galerkinov metodteinskih ostataka i Rayleigh-Ritz-ov varijacioni postupak dajuiste rezultate ako koriste iste probne funkcijePotencijalna energija (49) odgovara diferencijalnoj jednaini(40), pa ako se probna funkcija usvoji u oblikuu(x) = a1x+ a2x

2 dobija se isto reenje kao i (47)




Sadraj







Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjePosmatra se linijski konani element duline ` sa dve vornetake 1 i 2Povrina poprenog preseka je A, a modul elastinostimaterijala je EDu ose konanog elementa deluje raspodeljeno aksijalnooptereenje px(x)Diferencijalna jednaina aksijalnog naprezanja elementa je

EAu + px(x) = 0 x [0, `] (50)





Galerkinova metoda - aksijalno naprezanje

Priblina raspodela nepoznatog pomeranja u(x) prikazuje se uobliku

u(x) = [ N1(x) N2(x) ]

{u1u2

}= N(x)q

gde su Ni(x) interpolacione funkcije (linearni polinomi)

N1(x) = 1 x`

N2(x) =x

`

dok su ui aksijalna pomeranja vornih taaka

q =

{u1u2

}Stanko Bri Metoda konanih elemenata




Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjeKonani element tapa u ravni, duine `, koji je izloenaksijalnom naprezanju, sa dve vorne take na krajevima






Prvi izvod aksijalnog pomeranja du konanog elementa u(x)dat je sa

u(x) = N (x)q = [ N 1(x) N 2(x) ]{u1u2

}Imajui u vidu funkcije oblika Ni(x), prvi izvodi su jednaki

N 1(x) = 1

`N 2(x) =

1

`





Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjeDilatacija take na osi konanog elementa jednaka je prvomizvodu pomeranja

x = u(x) =

d

dxu(x) = LN(x)q = Bq

Sa L oznaen je odgovarajui diferencijalni operator, napisan umatrinom obliku, (iako je samo jedan element)

L = [d

dx]

dok je B = LN(x) matrica koja povezuje dilatacije ipomeranja





Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjeNajzad, konstitutivne relacije za linearno elastian materijalkonanog elementa date su u obliku

x = Ex

to moe da se napie u matrinom obliku (iako su vektori imatrice samo sa po jednim lanom, u ovom sluaju):

= D

Sa D oznaena je konstitutivna matrica (matrica elastinosti)

D = [E]





Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjeImajui u vidu diferencijalnu jednainu aksijalnog naprezanja(50), Galerkinova formulacija za konani element duine ` glasi

`0Ni(EAu

+ px) dx = 0 (i = 1, 2)

gde su za teinske funkcije usvojene funkcije oblika Ni(x)Parcijalnom integracijom prvog lana u jednaini dobija se

NiAE u|`0

`0N i AE u

dx+ `

0Ni px dx = 0 (51)






Jednaina (51) moe da se napie u obliku

NiAE u|`0 =

`0N i AE u

dx `

0Ni px dx (i = 1, 2) (52)

U jedn. (52) unosi se priblian izraz za u (napisan uskalarnom obliku)

NiAE u|`0 =

`0N i AE

2j=1

N j qj dx `

0Ni px dx (53)

za (i = 1, 2)






Kako su funkcije oblika takve da je N1(0) = 1, N1(`) = 0, kaoi N2(0) = 0, N2(`) = 1, to se za konturni lan dobija

- za i = 1:N1AE u

|`0 = R1- za i = 2:

N2AE u|`0 = R2

Drugi integral na desnoj strani jedn. (53) pretstavlja vektorekvivalentnog optereenja `

0Ni px dx = Qi (i = 1, 2)






Prvi integral na desnoj strani jedn. (53) pretstavlja matricukrutosti konanog elementa pomnoenu sa vornimnepoznatim (kada se napie za i, j = 1, 2) `

0N i AE

2j=1

N j qj dx =[k11 k12k21 k22

]{q1q2

}= Kq

gde su kij elementi matrice krutosti konanog elementaizloenom aksijalnom naprezanju, dati sa

kij = kji =

`0N i(x)AEN

j(x) dx





Galerkinova metoda - aksijalno naprezanjeImajui u vidu prve izvode interpolacionih funkcija

N 1(x) = 1

`N 2(x) =

1

`

dobija se matrica krutosti aksijalno napregnutog konanogelementa:

K =AE

`

[1 11 1

]Prema tome, primenom Galerkinovog postupka, dobija seosnovna jednaina jednog konanog elementa u obliku

R = K q Q (54)




Sadraj







Galerkinova metoda - savijanje u ravniPosmatra se linijski konani element duline ` sa dve vornetake 1 i 2Povrina poprenog preseka je A, moment inercije je Jz, amodul elastinosti materijala je EDu ose konanog elementa deluje raspodeljeno poprenooptereenje py(x)Diferencijalna jednaina savijanja u lokalnoj ravni xy elementaje

EJz v(x) py(x) = 0 x [0, `] (55)





Galerkinova metoda - savijanje u ravni

Priblina raspodela nepoznatog ugiba v(x) prikazuje se prekoErmitovih kubnih polinoma kao interpolacionih funkcija ivornih nepoznatih: ugiba i obrtanja (nagiba) u vornimtakama

v(x) = [ N1(x) N2(x) N3(x) N4(x) ]

v11u22

ili u skraenom obliku

v(x) = N(x)q (56)






Ni(x) su interpolacione funkcije (kubni Ermitovi polinomi) kojipretstavljaju tano reenje homogene diferencijalne jednainesavijanja

EJzvIV (x) = 0

za granine uslove koji odgovaraju jedininim pomeranjimageneralisanih vornih pomeranja:

v(x)|x=0 = v1 v(x)|x=0 = 1v(x)|x=` = v2 v(x)|x=` = 2






Interpolacione funkcije Ni(x) su kubni Ermitovi polinomi prvevrste:

N1(x) = 1 3x2

`2+

2x3

`3

N2(x) = x 2x2

`+x3

`2

N3(x) =3x2

`2 2x

3

`3

N4(x) = x2

`+x3

`2

(57)





Galerkinova metoda - savijanje u ravniKonani element tapa u ravni xy, duine `, koji je izloensavijanju u ravni, bez aksijalnog naprezanja, sa dve vornetake na krajevima, ima etiri vorne generalisane koordinate






Imajui u vidu diferencijalnu jednainu savijanja (55),Galerkinova formulacija za konani element duine ` glasi `

0Ni[EJz v

(x) py(x)] dx = 0 (i = 1, . . . , 4)

gde su za teinske funkcije usvojene funkcije oblika Ni(x)kojima se prikazuju pomeranja unutar elementaParcijalnom integracijom prvog lana u jednaini dobija se

NiEJz v|`0

`0N i EJz v

dx `

0Ni py dx = 0 (58)





Galerkinova metoda - savijanje u ravniNovom parcijalnom integracijom prvog integrala u jednaini(58) dobija se

NiEJz v|`0 N iEJzv|`0+

+

`0N i EJz v

dx `

0Ni py dx = 0

(59)

Prva dva konturna lana, dobijena parcijalnim integracijama,uvode prirodne granine uslove (granine uslove po silama)Kao to je poznato, drugi i trei izvod ugiba su momenatsavijanja i transverzalna sila:

M(x) = EJz v(x) T (x) = EJz v(x) (60)






Prvi izvodi interpolacionih funkcija Ni(x) (57) jednaki su:

N 1(x) = 6x

`2+

6x2

`3

N 2(x) = 14x

`+

3x2

`2

N 3(x) =6x

`2 6x

2

`3

N 4(x) = 2x

`+

3x2

`2

(63)





Galerkinova metoda - savijanje u ravniPrvi konturni lan, sa treim izvodom, odnosi se natransverzalne sile na jednom i na drugom kraju konanogelementaDrugi konturni lan, sa drugim izvodom ugiba, odnosi se namomente savijanja na krajevima konanog elementaVodei rauna o znacima, o konvenciji vornih sila kodkonanog elementa i o inenjerskoj konvenciji o znacima T iM , kao i o vrednostima Ni i N i na krajevima konanogelementa, konturni lanovi (62), napisani zajedno za sve 4Galerkinove jednaine (i = 1, 2, 3, 4), mogu da se napiu kaovektor vornih sila R:

RT = { R1 R2 R3 R4 }Stanko Bri Metoda konanih elemenata




Galerkinova metoda - savijanje u ravniElementi vektora R: R1 i R3 su vorne transverzalne sile, doksu R2 i R4 vorni momenti savijanjaDrugi integral na desnoj strani jednaine (61), napisan za sveetiri Galerkinove jednaine, pretstavlja vektor ekvivalentnogoptereenja Q konanog elementa:

QT = { Q1 Q2 Q3 Q4 } `

0Ni py dx = Qi






Posmatra se prvi integral na desnoj strani jednaine (61)Imajui u vidu prikazivanje ugiba u obliku (56), dobija se `

0N i EJz v

dx = `

0N i EJz

4j=1

N j qj dx

U integralu su samo izvodi interpolacionih funkcija zavisni odx, dok je krutost na savijanja EJz konstanta, jer se smatra dakonani element ima konstantan popreni presek





Galerkinova metoda - savijanje u ravniMoe da se uvede oznaka

kij = kji =

`0N i EJz N

j dx i, j = 1, . . . , 4 (64)

Sa ovim, prvi integral na desnoj strani jednaine (61) moe dase napie u matrinom obliku (za sve i, j) kao proizvodkvadratne matrice i vektora

K q

gde je K matrica krutosti konanog elementa, dok je q vektorvornih nepoznatih





Galerkinova metoda - savijanje u ravniIzraz Kq za posmatrani konani element moe da se prikae urazvijenom obliku

K q =

k11 k12 k13 k14k21 k22 k23 k14k31 k32 k33 k34k41 k42 k43 k44

q1q2q3q4

Imajui sve ovo u vidu, Galerkinove jednaine (61) mogu da senapiu u obliku

R = K q Q (65)koji pretstavlja osnovnu jednainu optereenog konanogelementa






Drugi izvodi interpolacionih funkcija Ni(x) (57) dobijaju sediferenciranjem prvih izvoda (63):

N 1 (x) = 6

`2+

12x

`3

N 2 (x) = 4

`+

6x

`2

N 3 (x) =6

`2 12x

`3

N 4 (x) = 2

`+

6x

`2

(66)






Unoenjem drugih izvoda interpolacionih funkcija (66) u izrazza elemente kij , dobija se matrica krutosti konanog elementau ravni sa 4 stepena slobode:

K =EJz`3

12 6` 12 6`6` 4`2 6` 2`212 6` 12 6`6` 2`2 6` 4`2

(67)


MKE - gredni konacni elementi u ravniVarijacioni postupak - savijanje u ravniVarijacioni postupak - aksijalno naprezanjeNapomene o varijacionim metodama

Galerkinova metoda teinskih ostatakaMetoda teinskih ostatakaAksijalno naprezanjeSavijanje u ravni

mke_5a

Documents

Transcript of mke_5a