mke_4a

Reetkasti nosai u prostoruNapomene o numerikim metodama

METODA KONANIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Briemail: [email protected]

Departman za Tehnike naukeDravni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Bri Metoda konanih elemenata


Sadraj

1 Reetkasti nosai u prostoruMatrica krutosti i matrica transformacijeMatrica krutosti u globalnom sistemuFormiranje jednaina u globalnom sistemu

2 Napomene o numerikim metodamaMetoda konanih razlikaMetode teinskih ostatakaVarijacione metode



Matrica krutosti i matrica transformacijeMatrica krutosti u globalnom sistemuFormiranje jednaina u globalnom sistemu

Sadraj






Matrina analiza reetkastih nosaa u prostoru

Matrica krutosti prostog tapa u 3DKod reetkastog tapa, u ravni ili u prostoru, zbog zglobnihveza na oba kraja tapa, oznaenih sa i, k, nepoznatageneralisana pomeranja u vorovima su komponente vektorapomeranjaKod reetkastog tapa u 2D, to su pomeranja u, v u lokalnojravni x, y, a kod tapa u prostoru to su pomeranja u, v, w uodnosu na lokalne ose x, y, z, pri emu je lokalna osa tapa xu pravcu ose tpa, sa smerom i kKomponente pomeranja reetkastog tapa u prostoru suui, vi, wi u voru i, kao i komponente uk, vk, wk u voru k




Reetkasti nosaa u prostoru

Matrica krutosti prostog tapa u 3DNapisano u vektorskom prikazu, generalisana pomeranjareetkastog tapa u 3D prostoru su

q =

{qiqk

}=

uiviwiukvkwk

=

q1q2q3q4q5q6

(1)





Matrica krutosti prostog tapa u 3DOsnovna jednaina neoptereenog reetkastog tapa je vezaizmeu vornih sila i vornih pomeranja R = KqNapisana u razvijenom obliku ova veza glasi

R1R2R3R4R5R6

=E F

`

1 0 0 1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01 0 0 1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

q1q2q3q4q5q6

(2)

Matrica krutosti K u lokalnom sistemu naelno je ista kao i zatap u ravni, samo je reda 6 umesto 4




Reetkasti tap u 3D prostoru

Reetkasti tap u 3D: lokalni i u globalni koordinatni sistemi





Matrica krutosti prostog tapa u 3DKod reetkastog tapa u prostoru, sa vornim takama i i k,odn. sa takama Pi i Pk, lokalna osa x tapa je osa tapa, sasmerom i kKako je od geometrijskih karakteristika poprenog presekabitna samo povrina F , glavne centralne ose preseka nisu bitneza definisanje lokalnog sistemaMoe da se, slino kao i kod punih nosaa, lokalna ravan x, yodredi sa bilo kojom pogodno izabranom treom takom Pmizvan ose tapaU tom sluaju, lokalna osa y odreena je sa tri takePi, Pk, Pm, kao linija u ravni Pi, Pk, Pm, upravna na pravaci k





Transformacija iz lokalnog u globalni sistem

tap (reetkasti konani element) odreen je u prostoru sasvoje tri take:

- taka Pi . . . poetak tapa i- taka Pk . . . kraj tapa k- taka Pm . . . bilo koja taka u lokalnoj ravni tapa xy

Koordinate ovih taaka date su u globalnom sistemu XY Z:

Pi(Xi, Yi, Zi) Pk(Xk, Yk, Zk) Pm(Xm, Ym, Zm)

Jedinini vektor lokalne ose x odreen je sa takama Pi i Pk:

~ =

PiPk

PiPk= cos 11~I + cos 12 ~J + cos 13 ~K




Lokalni sistem tapa u prostoru

tap (gredni element) u prostoru

Poloaj tapa u prostoru odreen sa tri take i, j, k (odn. i, k,m)




Lokalni sistem tapa u prostoru

tap (gredni element) u prostoru

Poloaj tapa u prostoru odreen sa tri take 1, 2, 3 (odn. i, k,m)





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemJedinini vektor ~eim u lokalnoj ravni xy odreen je sa takamaPi i Pm:

~eim =

PiPm

PiPm

Jedinini vektor ~k lokalne ose z odreen je sa vektorskimproizvodom

~k =~ ~eimNajzad, jedinini vektor ~ lokalne ose y odreen je vektorskimproizvodom

~ = ~k ~





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemPrema tome, ortovi osa lokalnog sistema tapa odreeni su uodnosu na globalni koordinatni sistem sa tri navedene take:poetak tapa, kraj tap i bilo koja (pomona) taka u lokalnojglavnoj ravni tapa xyKoordinate ortova lokalnih osa date su sa kosinusima uglovakoje zaklapaju sa osama globalnog sistemaTakve relacije mogu da se prikau u matrinom obliku

~~~k

= cos 11 cos 12 cos 13cos 21 cos 22 cos 23

cos 31 cos 32 cos 33

~I~J~K

(3)Stanko Bri Metoda konanih elemenata





Matrica u relacijama (3) naziva se matrica rotacije

=

cos 11 cos 12 cos 13cos 21 cos 22 cos 23cos 31 cos 32 cos 33

(4)Matrica rotacije je ortogonalna matrica:

1 = T

Poloaj sistema xyz u odnosu na sistemXY Z odreen je,prema tome, matricom rotacije






Relacije izmeu ortova dva sistema (3) mogu da se napiu uobliku

~~~k

= []

~I~J~K

(5)Kako je matrica rotacije ortogonalna, onda vai

~I~J~K

= []T

~~~k

(6)






Posmatra se proizvoljan vektor ~R koji moe da se izrazi ili uglobalnom sistemu ili u lokalnom sistemuU globalnom sistemu vektor ~R oznaava se sa gornjimindeksom ()

Prikazano u matrinom obliku, isti vektor moe da se prikae ujednom ili u drugom sistemu, iji su ortovi povezanimeusobno matricom rotacije

- u globalnom sistemu

RT = {R1, R2, R3}

- u lokalnom sistemu

RT = {R1, R2, R3}Stanko Bri Metoda konanih elemenata




Transformacija iz lokalnog u globalni sistemNapisano u vektorskom obliku, isti vektor u dva prikaza R iR moe da se napie

- u globalnom sistemu

RT = R1 ~I +R2~J +R3 ~K (7)

- u lokalnom sistemu

RT = R1~+R2 ~+R3 ~k (8)





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemImajui u vidu relacije izmeu jedininih vektora lokalnog iglobalnog sistema date sa (5), odn, (6), izmeu razliitihprikaza istog vektora (7) i (8) mogu da se uspostave relacije

- vektor u lokalnom sistemu prikazan preko vektora u globalnomsistemu

R = T R (9)

- vektor u globalnom sistemu prikazan preko vektora u lokalnomsistemu

R = R (10)





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemProizvoljan vektor u dva prikaza R i R moe da bude vektorvornih sila R ili vektor generalisanih pomeranja q u voru i iliu voru kPrema tome, izmeu ovih vektora, koji mogu da se prikau ulokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije

- vorne sile (za vor i i vor k){RiRk

}=

[T

T

]{RiRk

}(11)





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemPrema tome, izmeu ovih vektora, koji mogu da se prikau ulokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije(nastavak)

- Generalisana (vorna) pomeranja (za vor i i k){qiqk

}=

[T

T

]{qiqk

}(12)

Relacije (11) i (12) mogu da se prikau skraeno u obliku kojise odnosi na oba vora (vektori i matrice su reda 6)

R = T TR q = T Tq (13)






U relacijama (13) uvedene su oznake za vektore vornih sila,generalisanih pomeranja i za transponovanu matricutransformacije

R =

{RiRk

}q =

{qiqk

}T T =

[T

T

](14)

Transponovana matrica transformacije je kvazidijagonalnamatrica koju ine transponovane matrice rotacijeKako je matrica rotacije ortogonalna, onda je i T T

ortogonalna, pa je T matrica transformacije (reda 6)

T =

[

](15)





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemKod reetkastih nosaa spoljanje optereenje inekoncentrisane sile u vorovimaPrema tome, vektor optereenja formira se neposredno uglobalnom koordinatnom sistemuKako je matrica rotacije ortogonalna, to je i matricatransformacije takoe ortogonalna matrica, pa vae relacije

R = TR q = Tq (16)

Relacije (13) pretstavljaju transformaciju iz globalnog u lokalnisistem, dok su relacije (16) transformacija iz lokalnog uglobalni sistem





Reetkasti tap u 3D: generalisane sile (pomeranja) u lokalnom i uglobalnom sistemu




Sadraj







Matrica krutosti u globalnom sistemuU osnovnu jednainu reetkastog tapa R = Kq unosi serelacija (13)/2: q = T Tq

Mnoenjem dobijene jednaine R = KT Tq sa leve strane saT , dobija se

TR = TKT Tq

Imajui u vidu relaciju (16)/1: R = TR, dobija se

R = Kq (17)





Matrica krutosti u globalnom sistemu

U jednainu (17) uvedena je oznaka K

K = TKT T (18)

koja pretstavlja matricu krutosti reetkastog tapa u globalnomsistemuImajui u vidu simetriju matrice krutosti u lokalnom sistemu,matrica krutosti K u globalnom sistemu moe da se takoeprikae i u obliku

K = T TKT (19)




Sadraj







Formiranje jednaina u globalnom sistemuZa svaki tap e reetkastog nosaa u prostoru formira se

- matrica krutosti u lokalnom sistemu Ke- matrica transformacije tapa Te- matrica krutosti u globalnom sistemu Ke

Prema globalnim brojevima vorova reetkastog nosaa uprostoru formira se globalna matrica krutosti nosaa

K =e

Ke





Formiranje jednaina u globalnom sistemuVektor optereenja S se direktno formira na osnovu zadatihspoljanjih sila koje deluju u vorovima reetkastog nosaaTime se dobijaju jednaine ravnotee sila u vorovimareetkastog nosaa u obliku

K q = S (20)

U jednaine ravnotee se takoe unose i odgovarajui graniniuslovi, tako da se dobija regularan sistem algebarskih jednainapo nepoznatim slobodnim generalisanim pomeranjimaSmatra se da su u jedn. (20) ve uneti granini uslovi popomeranjima



Metoda konanih razlikaMetode teinskih ostatakaVarijacione metode

Napomene o numerikim metodama

Opte napomene

Metoda konanih elemenata (MKE) je numeriki postupak zapriblino reavanje fizikih problema koji su definisani u oblikugraninih i/ili poetnih problemaGranini problem je definisan sa diferencijalnom jednainom uodreenom prostoru definisanosti i sa odgovarajuim graninimuslovimaPoetni problem je definisan sa diferencijalnom jednainomkoja je odreena ne samo u datom domenu (prostoru), ve i uvremenu, tako da, osim graninih uslova, moraju da budu datii poetni uslovi





Opte napomeneNajbolji nain reenja graninog ili poetnog problema jedobijanje analitikog reenjaIma puno razloga zbog ega nije mogue da se odredianalitiko reenje:

- domen definisanosti problema je suvie nepravilan ikomplikovan za analitiko opisivanje

- domen moe da bude formiran od nekoliko razliitih materijalaije podoblasti teko mogu da se matematiki opiu

- anizotropne osobine materijala su velika smetnja analitikomreavanju

- nelinearni lanovi u diferencijalnim jednainama problemaonemoguavaju nalaenje analitikog reenja





Opte napomeneU sluajevima kada ne postoji analitiko reenje, odreuje senumeriko reenje kao priblino reenje posmatranog problemaSvakako da je bolje priblino numeriko reenje problema negonikakvo reenjeNumerikim reenjima dobijaju se vrednosti u diskretnimtakama za jedan skup nezavisnih parametaraSa promenom tih nezavisnih parametara kompletna procedurareavanja se ponavlja i menjaDobijena priblina reenja u diskretnim takama ipak daju nekiuvid u prirodu ponaanja fizikog problema koji se posmatra





Opte napomeneIma vie numerikih postupaka za reavanje graninih ipoetnih problemaNumeriki postupci mogu da se svrstaju u tri osnovne grupe:

1 metoda konanih razlika (diferencni postupak, finite differencemethod)

2 metode teinskih ostataka (weighted residual methods)3 varijacione metode (variational methods)

Pri tome, svaka od navedenih metoda pretstavlja viepodgrupa (odn. varijanti) numerikih metoda




Sadraj







Opte napomene - metoda konanih razlikaMetoda konanih razlika zasniva se na aproksimaciji izvoda udiferencijalnoj jednaini graninog problemaMetoda je pogodna za 2D probleme, posebno za oblasti kojesu pravougaonog oblika (granice su paralelne sa koordinatnimosama)Ispisujui diferencijalnu jednainu u takama presekaortogonalne mree domena definisanosti problema (u vornimtakama), uz odgovarajuu aproksimaciju izvoda, dobija sesistem algebarskih jednaina po nepoznatim vrednostimatraene funkcije u vorovima





Opte napomene - metoda konanih razlikaMetoda konanih razlika zasniva se na definiciji prvog izvodafunkcije jedne promenljive f(x):

df(x)

dx= f (x) = lim

x0f(x+ x) f(x)

x

U metodi konanih razlika, koristeu malu, ali konanuvrednost x, prvi izvod se aproksimira sa izrazom:

df(x)

dx= f (x) f(x+ x) f(x)

x




Aproksimacija prvog izvoda

Aproksimacija prvog izvoda funkcije jedne promenljive





Opte napomene - metoda konanih razlikaNa primer, posmatra se diferencijalna jednaina 1. reda, datasa

f + x = 0 u domenu 0 x 1i sa graninim uslovom f(x = 0) = f(0) = A = constDiferencijalna jednaina moe da se aproksimira diferencnimpostupkom kao

f(x+ x) f(x)x

+ x = 0





Opte napomene - metoda konanih razlika

Iz ove jednaine dobija se reenje za f(x+ x):

f(x+ x) = f(x) x x

Sa ovakvim reenjem moe da se formulie rekurzivnoreavanje problemaUsvoji se neki (relativno) mali korak integracije x koji sedobija kada se domen integracije ` = 1.0 podeli na izabran brojdelova

x =1

n

gde je, na primer, n = 100





Opte napomene - metoda konanih razlikaPosmatraju se diskretne vrednosti promenljive x

xi+1 = xi + x i = 0, 1, . . . , n 1

pri emu je x0 = 0, a xn = 1Reenje za traenu funkciju f(x) dobija se u diskretnimvrednostima taaka intervala xi, primenom rekurzivnog izraza:

fi+1 = fi xi x i = 0, 1, . . . , n 1

pri emu je, zbog datog graninog uslova, f0 = A





Opte napomene - metoda konanih razlikaNaravno, diferencijalne jednaine problema su uvek sloenijeod prikazanog primeraAko se posmatra drugi izvod funkcije jedne promenljive, on seprikazuje kao prvi izvod prvog izvoda i dobija se

f (x) =f(x+ h) 2f(x) + f(x h)

h2

gde je h = x




Diferencni postupak 1D problem

Diferencijalna jednaina 2. reda jedne promenljive





Opte napomene - metoda konanih razlikaSlino se aproksimiraju trei i vii izvodiMetoda konanih razlika proiruje se na aproksimiranje funkcijadve i tri promenljive f(x, y) i f(x, y, z) (2D i 3D problemi)Reavanje diferencijalne jednaine savijanja ploa

w =q

D

primenom diferencnog postupka dugo je bio korien postupak(do pojave MKE)




Sadraj







Opte napomene - metode teinskih ostatakaNeka je posmatrani fiziki problem, u domenu , koji moe dabude 1D do 3D, definisan sa diferencijalnom jednainom

L(u) + f = 0 (21)

U jednaini (21) uvedene su oznake- L . . . odgovarajui (linearni) diferencijalni operator- u(x) . . . nepoznata funkcija problema, koja zavisi odkoordinata x untar prostora , pri emu funkcije u(x)zadovoljavaju date granine uslove na granicama domena

- f . . . vektor slobodnih lanova u jednainama





Opte napomene - metode teinskih ostatakaGranini uslovi na konturi domena mogu da budu

1 esencijalni . . . uslovi po pomeranjima (kinematiki graniniuslovi): vrednosti generalisanih pomeranja zadate su na delukonture

2 prirodni . . . uslovi po silama (naponima): vrednosti izvodageneralisanih pomeranja, kojima se prikazuju sile ili naponi,zadate su na delu konture

Nepoznata funkcija problema u(x) aproksimira se sapriblinom funkcijom u(x):

u(x) u(x) (22)

pri emu priblina funkcija u(x) zadovoljava granine uslovepo pomeranjima, ali ne mora da zadovoljava uslove po silama





Opte napomene - metode teinskih ostataka

Kako je u(x) priblino reenje jednaine (21), unoseipriblino reenje, jednaina (21) nee da bude zadovoljenaDrugim reima, unosei priblino reenje u (21) dobija seostatak ili rezidijum:

L(u) + f = R(u) 6= 0 (23)

Kako je jedn. (21) sistem jednaina, odn. matrina jednaina,to je rezidijum R(u) vektorNaravno, kada bi u(x) bilo tano reenje, onda bi vektorostatka R(u) bio jednak nultom vektoru





Opte napomene - metode teinskih ostatakaIdeja metode je da se trai da se vektor greke, odn. vektorostatka R(u) prinudi (svede) na nulti vektor u prosenomsmisluNaime, izaberu se teinske funkcije, u ovom sluaju vektorteinskih funkcija, W (u) i trai se da integral skalarnogproizvoda vektora teinskih funkcija i vektora ostatka unutardomena bude jednak nuli:

I(u) =

W T (u) R(u) d =

=

W T (u) (L(u) + f) d = 0

(24)





Opte napomene - metode teinskih ostataka

Pri tome teinske funkcije u vektoru W (u) moraju dazadovoljavaju granine uslove po pomeranjima (esencijalneuslove)Skalarni proizvod dva vektora (u Euklidskom 2D/3D prostoru)jednak je nuli ukoliko su ti vektori meusobno ortogonalniIsto vai i u n-dimenzionalnom prostoru: ako su dvan-dimenzionalna vektora meusobno ortogonalna, onda jenjihov skalarni proizvod jednak nuliPrema tome, integralna jednaina (24) pretstavlja uslovortogonalnosti projekcije vektora ostatka na izabrani vektorteinskih funkcija





Opte napomene - metode teinskih ostatakaMetode rezidijuma, ili Metode teinskih ostataka sastoje se unalaenju funkcija u za koje e integralna jednaina (24) dabude zadovoljenaAko je jednaina (24) zadovoljena za bilo koji vektor teinskihfunkcija, onda e vektor ostatka R(u) da se pribliava nultomvektoruNa taj nain, priblino reenje u(x) aproksimira nepoznatotano reenje u(x)Sva reenja u(x) koja zadovoljavaju (21) moraju dazadovoljavaju i (24) bez obzira na izbor teinskih funkcija





Opte napomene - metode teinskih ostatakaDimenzija vektora teinskih funkcija jednaka je brojunepoznatih (odn. broju stepeni slobode) datog problemaTeinske funkcije moraju da budu diferencijabilne i da imajunulte vrednosti na granicama konture gde su zadati graniniuslovi po pomeranjima (moraju da zadovoljavaju esencijalnegranine uslove)U zavisnosti od izbora teinskih funkcija postoje raznevarijante Metode teinskih ostataka





Opte napomene - metode teinskih ostatakaOsnovne varijante Metode teinskih ostataka, za minimizacijurezidijuma, su

1 Metoda kolokacije (collocation method)2 Metoda podoblasti (sub-domain method)3 Metoda najmanjih kvadrata (least square method)4 Galerkinova metoda (Galerkins method)

Najvie se koristi Galerkinova metoda teinskih ostataka(posebno kao osnov za formulaciju MKE)





Opte napomene - Galerkinova metoda teinskih ostatakaGalerkinova varijanta metode teinskih ostataka prikazae sena primeru skalarne diferencijalne jednaine jedne promenljive(obina dif. jed.):

L[y(x)] + f(x) = 0 a x b (25)

Sa L(. . .) oznaen je (linearni) diferencijalni operatorU zavisnosti od reda diferencijalne jednaine dati su iodgovarajui granini uslovi





Opte napomene - Galerkinova metoda teinskih ostataka

Jednaina (25) mnoi se sa proizvoljnom funkcijom w(x) iintegrali u granicama a i b: b

aw(x) (L[y(x)] + f(x)) dx = 0 (26)

Jednaine (25) i (26) su meusobno ekvivalentne jer je w(x)proizvoljna funkcijaNepoznata funkcija y(x) koja pretstavlja reenje diferencijalnejednaine (25) trai se u obliku priblinog reenja kao linearnakombinacija izabranih probnih funkcija i(x) i nepoznatihkoeficijenata ci






Dakle, nepoznata funkcija y(x) trai se u obliku:

y(x) u(x) =ni=1

ci i(x)

pri emu izabrane probne (bazne) funkcije i(x) zadovoljavajuesencijalne granine uslove (u ovom sluaju uslove na konturidomena x = a i x = b)Kako je u(x) neko priblino prikazivanje nepoznate traenefunkcije y(x), unosei u(x) u dif. jedn. (25), jednaina,naravno, nee da bude zadovoljena






Unosei pretpostavljeni oblik reenja u jedn. (25) dobija seostatak (rezidijum) r(x):

r(x) = L[u(x)] + f(x) 6= 0

Ideja (cilj) metode teinskih ostataka je da se odredi priblinoreenje, odnosno nepoznati koeficijenti ci uz poznate probnefuncije, tako da ostatak r(x) bude jednak nuli u prosenomsmislu






Zato se postavlja uslov (26) u koji se unosi priblino reenjeu(x), u kojem figuriu nepoznati koeficijenti ci, kao iproizvoljna funkcija w(x): b

aw(x) r(x) dx =

baw(x) (L[u(x)] + f(x)) dx = 0

Galerkinova metoda teinskih ostataka za teinsku funkcijuw(x) usvaja probne funkcije i(x):

wi(x) = i(x) (i = 1, 2, . . . , n)





Opte napomene - Galerkinova metoda teinskih ostatakaDobija se sistem jednaina po nepoznatim koeficijentima ci: b

ai(x) [L(

nj=1

cjj(x)) + f(x)] dx = 0 (i = 1, 2, . . . , n)

Izraunavanjem integrala dobija se sistem od n jednaina ponepoznatim koeficijentima ciReavanjem dobijenog sistema i odreivanjem koeficijenata cidobija se priblino reenje za traenu funkciju y(x):

y(x) u(x) =ni=1

ci i(x)






U sluaju matrine diferencijalne jednaine, npr. (21),pretpostavljeno priblino reenje (22) je vektor sa probnimfunkcijama kao elementimaPriblina funkcija se usvaja u vidu zbira proizvoda nepoznatih(vektora) koeficijenata ci i poznatih probnih (baznih) funkcijai(x):

u(x) u(x) =i

cii(x) (27)

Probne (bazne) funkcije (trial functions) zadovoljavajugranine uslove po pomeranjima posmatranog problema





Opte napomene - Galerkinova metoda teinskih ostatakaU Galerkinovoj metodi teinskih ostataka teinske funkcije seusvajaju tako da budu jednake sa probnim funkcijama:

W (x) = {i(x)} =

1(x)

...n(x)

(28)Uslov za anuliranje vektora ostatka u prosenom smislu (a ne usvim takama domena) dat je sa integralnom jednainom (24)






Jednaina (24) u sluaju Galerkinove metode teinskihostataka glasi:

I(u) =i

ci

j(x) [L(i(x)) + f] d = 0 (29)

za j=1,2,. . . ,nGalerkinova metoda teinskih ostataka najee dovodi dosimetrinih matrica u dobijenim jednainama, pa je zatodominantna varijanta metode teinskih ostataka upravoGalerkinova metoda





Primer primene Galerkinove metode teinskih ostatakaKao ilustracija Galerkinove metode teinskih ostatakaposmatra se numeriko reavanje 1D diferencijalne jednaine

y(x) 10x2 = 5 0 x 1 (30)

sa graninim uslovima y(0) = y(1) = 0Tano (analitiko) reenje jednaine (30) moe da se dobijekao

y(x) =5

6x4 +

5

2x2 10

3x (31)





Primer primene Galerkinove metode teinskih ostataka

Prisustvo kvadratnog lana u dif. jed. (30) ukazuje da jepogodno da se za probne funkcije usvoje polinomiImajui u vidu homogene uslove na granicama x = xa ix = xb, polinomne funkcije koje zadovoljavaju homogenegranine uslove na granicama x = xa i x = xb mogu da budu

(x) = (x xa)p (x xb)q

Trai se priblino reenje samo sa jednom probnom funkcijom,pa je najjednostavnija probna funkcija koja zadovoljava dategranine uslove:

(x) = x (x 1)





Primer primene Galerkinove metode teinskih ostatakaPrema tome, priblino resenje je pretpostavljeno u obliku

y(x) = c1 x (x 1)

Prvi i drugi izvodi priblinog resenja su onda

y = c1 (2x 1) y = 2 c1Vidi se da izabrano priblino resenje ne zadovoljavadiferencijalnu jednainu, jer je dobijeno da je 2. izvodkonstantan, a u dif. jed. je kvadratna funkcija(ipak se nastavlja analiza)






Unosei dobijeni drugi izvod priblinog resenja u dif. jed. (30)dobija se ostatak (rezidijum):

R(x, c1) = 2 c1 10x2 5

Jasno se vidi da ostatak nije jednak nuliSa ovim je integral (24) dat u obliku

I =

10x (x 1) (2c1 10x2 5) dx = 0 c1 = 4

Prema tome, priblino reenje dif. jed. je funkcija

y = 4x (x 1) (32)Stanko Bri Metoda konanih elemenata





Uporedni prikaz tanog i priblinog reenja sa jednom probnomfunkcijom





Primer primene Galerkinove metode teinskih ostatakaPosmatra se priblino reenje sa dve probne funkcije u obliku:

1(x) = x(x 1) 2(x) = x2(x 1)

Prema tome, priblino reenje trai u se obliku

y(x) = c1 x(x 1) + c2 x2(x 1)

Drugi izvod priblinog reenja dobija se kao

y = 2c1 + 2c2(3x 1)





Primer primene Galerkinove metode teinskih ostatakaUnosei drugi izvod priblinog reenja u dif. jed. dobija seostatak:

R(x, c1, c2) = 2c1 + 2c2(3x 1) 10x2 5

Jednaine za osrednjeni minimum rezidijuma sada glase

I1 =

10x(x 1)R(x, c1, c2) dx = 0

I2 =

10x2(x 1)R(x, c1, c2) dx = 0






Unosei rezidijum R(x, c1, c2) u jednaine I1 = 0 i I2 = 0dobija se

I1 =

10x(x 1) [2c1 + 2c2(3x 1) 10x2 5]dx = 0

I2 =

10x2(x 1) [2c1 + 2c2(3x 1) 10x2 5]dx = 0

Integracijom dobija se sistem jednaina po koeficijentima ci,prikazano u matrinom obliku, kao[

13

16

16

215

]{c1c2

}=

{4334

}Stanko Bri Metoda konanih elemenata




Primer primene Galerkinove metode teinskih ostatakaReenje jednaina I1 = 0 i I2 = 0 je

c1 =19

6c2 =

5

3

tako da se priblino reenje sa dve probne funkcije dobija,posle sreivanja, u obliku

y(x) =5

3x3 +

3

2x2 19

6x

Ovo reenje znatno bolje prikazuje tano reenje koje je dato sa

y(x) =5

6x4 +

5

2x2 10

3x (33)






Uporedni prikaz tanog i oba priblina reenja sa jednom i sa dveprobne funkcije




Sadraj







Opte napomene - varijacione metode

Fiziki zakoni (npr. u Mehanici) mogu da se formuliu u oblikuuslova da izvesni integrali dostignu ekstremnu vrednostVarijacione metode su zasnovane na primeni varijacionograuna, koji se bavi ekstremnim vrednostima funkcionala -funkcija drugih funkcijaPrincip o minimumu potencijalne energije je primervarijacionog principa u Mehanici:

Od svih moguih pomeranja, koja zadovoljavajugeometrijske granine uslove, stvarna pomeranja su ona zakoja ukupna potencijalna energija ima minimum






Na primer, moe da se posmatra linijski (1D) problem sadomenom definisanosti x [x1, x2]:

I(u) =

x2x1

(x, u(x),

du(x)

dx,d2u(x)

dx2, . . .

)dx

gde je (. . .) funkcional funkcija u(x), du(x)dx ,d2u(x)dx2

, . . .

Varijaciona formulacija je da se odredi ona funkcija u(x) iodgovarajui funkcional (. . .) koja daje ekstremnu vrednostfunkcionalu I(u)





Opte napomene - varijacione metodeVarijacione metode se zasnivaju na principu stacionarnostifunkcionalaUslov stacionarnosti funkcionala prikazuje se uslovom da jeprva varijacija funcionala jednaka nuli:

(x, u(x),

du(x)

dx,d2u(x)

dx2, . . .

)= 0

Moe da se pokae da je uslov stacionarnosti zavie-dimenzionalni problem (21) integralna jednaina data sa:

I(u) =

u [L(u) + f] d = 0 (34)






U jednaini (34) sa u oznaena je varijacija promenljivih uIz skupa dopustivih funkcija u, sa stanovita diferencijabilnostii zadovoljenja graninih uslova, samo one funkcije kojezadovoljavaju (21) ine funkcional stacionarnim, odnosnozadovoljavaju uslov (34)AKo se uporede uslovi (34) i (24) vidi se da pretstavljaju,formalno gledano, isti uslov ako je

W (u) = u

Najpoznatija varijaciona metoda je metoda Ritz-a, koji je iotac varijacionog rauna


Reetkasti nosaci u prostoruMatrica krutosti i matrica transformacijeMatrica krutosti u globalnom sistemuFormiranje jednacina u globalnom sistemu

Napomene o numerickim metodamaMetoda konacnih razlikaMetode teinskih ostatakaVarijacione metode

mke_4a

Documents

Transcript of mke_4a