mke_3

Reavanje jednaina ravnotee u MKEMatrina analiza linijskih nosaa u prostoruTransformacija iz lokalnog u globalni sistem

Oslobaanje veza na krajevima tapova

METODA KONANIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Briemail: [email protected]

Departman za Tehnike naukeDravni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Bri Metoda konanih elemenata



Sadraj

1 Reavanje jednaina ravnotee u MKEReavanje sistema jednainaPrimeri ulaza i izlaza

2 Matrina analiza linijskih nosaa u prostoruLinijski nosai u 3DMatrica krutosti punih nosaa

3 Transformacija iz lokalnog u globalni sistemLokalni i globalni sistemFormiranje jednaina u globalnom sistemu

4 Oslobaanje veza na krajevima tapovaRedukcija matrice krutosti i vektora Q




Reavanje sistema jednainaPrimeri ulaza i izlaza

Sadraj









Reavanje jednaina ravnotee u MKE

Reavanje sistema jednainaJednaine ravnotee koje se odnose na posmatrani raunskimodel linijskog nosaa (u ravni) imaju oblik

Kq = S (1)

Matrica koeficijenata K uz nepoznati vektor q je globalnamatrica krutosti sistema tapovaVektor slobodnih lanova S je vektor optereenja koji jeposledica spoljanjih sila koje su koncentrisane u vorovimanosaa, kao i optereenja koje deluje du pojedinih tapova ikoje je zamenjeno ekvivalentnim vornim optereenjem






Reavanje sistema jednainaMatrica koeficijenata K moe da bude redukovana matricakrutosti, dobijena posle izbacivanja vrsta i kolona kojeodgovaraju spreenim pomeranjima oslonakih vorova, ilitransformisana matrica krutosti, dobijena kada se elementimaglavne dijagonale koji odgovaraju spreenim pomeranjimaoslonaih vorova dodaju jako veliki brojeviU svakom sluaju, matrica koeficijenata K je regularnamatrica i sistem uslovnih jednaina ravnotee (1) moe da serei (postoji inverzna matrica)






Reavanje sistema jednaina

Osnovne osobine matrice koeficijenata u jednainama (1) susledee:

1 matrica koeficijenata je simetrina2 matrica koeficijenata je retka matrica trakaste strukture (ima

puno elemenata koji su = 0, a irina trake zavisi od strukturenosaa i od usvojene numeracije vorova i tapova)

3 matrica koeficijenata je pozitivno definitna

Ove osobine su znaajne i uslovljavaju nain reavanjadobijenih jednainaRaunski modeli formirani primenom MKE mogu da budu jakoveliki (n 106 nepoznatih), pa je nain reavanja jednainaosnovni problem







Neka je data kvadratna matrica A = [aij ], (i, j = 1, 2, . . . , n),kao i vektor x = {xi} reda n, sa elementima u skupu realnihbrojevaMatrica A je simetrina ukoliko vai:

A = AT ili aij = aji (2)

Matrica A je pozitivno definitna ukoliko vai:

xTAx > 0 ilii

j

aijxixj > 0 (3)

za bilo koji vektor x 6= 0Stanko Bri Metoda konanih elemenata





Reavanje sistema jednainaKvadratna matrica koja je simetrina i pozitivno definitnanaziva se normalna matricaReenje jednaina (1) dobija se (formalno napisano) kao

Kq = S q = K1S (4)

Inverzna matrica kvadratne regularne matrice A definisana jerelacijom

AA1 = A1A = I

gde je I jedinina matrica reda n






Reavanje sistema jednainaInverzna matrica moe da se dobije kao

A1 =1

detAadjA

Sa adjA i detA oznaeni su adjungovana matrica matrice A ideterminanta matrice AMeutim, osim izuzetno, jednaine ravnotee ne reavaju seodreivanjem inverzne matrice i njenim mnoenjem savektorom optereenja, prema (4)






Reavanje sistema jednainaPostupci za reavanje linearnih algebarskih jednaina dele sena dve generalne grupe:

1 direktni postupci reavanja jednaina2 iterativni postupci reavanja jednaina

Za reavanje linearnih algebarskih jednaina normalneveliine (to je rastegljiv pojam!) efikasniji su direktni postupciZa nesimetrinu matricu koeficijenata najefikasniji je postupakLU dekompozicije (u varijantama Crout-a ili Doolittle-a)Nesimetrine matrice koeficijenata (matrice krutosti) javljajuse u analizi fluida i problemima interakcije fluida i konstrukcija






Reavanje sistema jednainaZa simetrinu matricu koeficijenata najefikasniji je postupakoleskog (Cholesky method - varijanta LU dekompozicije zasimetrine matrice)Iterativni postupci reavanja linearnih algebarskih jednaina(razne varijante gradijentnih postupaka) efikasniji su za jakovelike sisteme jednainaOsnovne varijante gradijentnih iterativnih postupaka reavanjalinearnih algebarskih jednaina su:

- metoda najmanjeg pada- metoda konjugovanih gradijenata






Reavanje sistema jednainaLU dekompozicija matrice znai da se regularna kvadratnamatrica A transformie u obliku proizvoda dve matrice:

A = LU (5)

gde su L i U donja i gornja trougaona matrica, redomDonja trougaona matrica L je kvadratna matrica kod koje susvi elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuliSlino, gornja trougaona matrica U je kvadratna matrica kodkoje su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli







Ako se izvri LU dekompozicija (5) matrice koeficijenatasistema jednaina Ax = b, dakle kada je A = LU , dobija se

LU x = b

Ovakva jednaina moe da se posmatra kao dva povezanasistema jednaina:

Ly = b

Ux = y

Oba sistema se trivijalno reavaju, jer su matrice koeficijenatatrougaone strukture






Reavanje sistema jednainaPrvi sistem jednaina, po privremeno nepoznatom vektoru y,reava se zamenom unapred, polazei od prve jednaine, pazatim redom:

y1 =b111

yi =1

ii(bi

i1j=1

ijyj) (i = 2, 3, . . . , n)






Reavanje sistema jednainaPri tome su sa ij obeleeni elementi matrice L:

L =

11 0 0 . . . 021 22 0 . . . 0...

......

. . ....

n1 n2 n3 . . . nn






Reavanje sistema jednainaSa dobijenim reenjem za yi jednaine Ux = y reavaju sezamenom unazad (polazei od poslednje jednaine):

xn =ynnn

xi =1

ii(yi

nj=i+1

ijxj) (i = n 1, n 2, . . . , 1)






Reavanje sistema jednainaSa ij obeleeni su elementi gornje trougaone matrice U :

U =

11 12 13 . . . 1n0 22 23 . . . 2n...

......

. . ....

0 0 0 . . . nn






Reavanje sistema jednainaU LU dekompoziciji za nesimetrinu regularnu matricuCrout-ov algoritam je tako formulisan da se elementi ij i ijefikasno odreuju bez dodatnih memorijskih zahteva(operacije u mestu)Algoritam oleski za simetrine matrice je jo efikasniji i tu seusvaja da je (zbog simetrije matrice A)

L = UT

Ako su elementi matrice koeficijenata A oznaeni sa aij , priemu je matrica simetrina: aij = aji, onda se u metodioleskog dobijaju sledei izrazi za elemente ij matrice U






Reavanje sistema jednainaelementi prvog reda matrice U

11 =a11, 1j =

a1j11

(j = 2, 3, . . . , n)

ostali elementi (za i = 2, 3, . . . , n)

ii =

aii i1k=1

2ki

ij =1

ii(aij

i1k=1

kikj) (j = i+ 1, i+ 2, . . . , n)






Reavanje sistema jednainaPrema tome, ako broj nepoznatih u jednainama nije suvieveliki, jednaine ravnotee se lako ree i dobija se vektornepoznatih generalisanih pomeranja u globalnom sistemu q

Iz dobijenog vektora pomeranja q izdvajaju se vektorigeneralisanih pomeranja za svaki tap: qj , izraeni uglobalnom sistemuIzdvajanje vornih pomeranja pojedinih tapova iz ukupnogvektora vornih pomeranja za ceo nosa vri se analognoprocesu sabiranja matrica krutosti, samo u suprotnom smeru







vorna pomeranja pojedinih tapova u lokalnom sistemudobijaju se iz vornih pomeranja tapa u globalnom sistemuprema relaciji

qj = T j qj

gde je T j matrica transformacije za tap jNajzad, vorne sile na krajevima tapova, izraene u lokalnomsistemu, dobijaju se na osnovu osnovne jednaine optereenogtapa

Rj = Kj qj Qj





Analiza linijskih nosaa

Konvencije o pozitivnim smerovima

- sile na krajevima tapa Rj pozitivne su prema konvenciji umatrinoj analizi (u + smerovima lokalnih osa)

- sile na krajevima tapa N,T,M imaju drugu konvenciju opozitivnim smerovima






Reavanje sistema jednainaImajui u vidu:

- dobijene sile na krajevima tapova,- relacije izmeu sila Rj i sila u preseku N,T,M na krajevima,- mogue spoljanje optereenje du ose tapa

za svaki tap mogu da se odrede sile u preseku i nacrtajuodgovarajui dijagrami sila u presekuvorna generalisana pomeranja q su osnovne nepoznate uposmatranoj matrinoj analizi nosaaSile u presecima prikazane u vidu dijagrama sila u presekupretstavljaju glavne nepoznate u analizi nosaaTakoe, raspodela ugiba (pomeranja upravno na osu nosaa)du svakog od tapova posmatranog nosaa pretstavljajueljeni rezultat analize






Reavanje sistema jednainaImajui sve ovo u vidu osnovne faze matrine analizekonstrukcija (odn. osnovne faze MKE) su

1 unos podataka i defnisanje raunskog modela (pre-processing)2 formiranje i reavanje sistema jednaina (solution)3 obrada dobijenih rezultata (post-processing)

Prvi raunarski programi kojima je implementirana matrinaanaliza konstrukcija (napisani u Fortran-u) imali su tekstuelnuulaznu datoteku i tekstualnu izlaznu datotekuNajbolji takav program bio je STRESS (napravljen na MIT-u)za statiku analizu linijskih nosaa u ravni i prostoru





Generalna struktura programa na bazi MKE

Unos podataka Reavanje jednaina Obrada rezultata





Sadraj









Program STRESS

Primer ulazne datoteke za program STRESS

STRU PRIMER PRORACUNA RAVNOG OKVIRATYPE PLANE FRAMENUMB OF JOINT 8NUMB OF MEMB 9NUMB OF SUPP 2NUMB OF LOAD 4JOINT COOR1 0 . 0 . S2 12 . 0 . S3 3 . 4 .4 6 . 4 .5 9 . 4 .6 12 . 4 .7 6 . 8 .8 12 . 8 .





Program STRESS


MEMB PROP PRISM1 THRU 3 AX 0 .1 IZ 0 .0014 THRU 7 AX 0 .2 IZ 0 .0028 THRU 9 AX 0 .3 IZ 0 .003MEMB INCI1 2 62 6 83 4 74 1 35 3 76 7 87 5 68 3 49 4 5





Program STRESS


MEMB RELE1 END MOME Z2 START MOME Z END MOME Z4 END MOME Z5 START MOME ZCONST E 20000000. ALLTABU ALLLOAD 1 OPTERECENJE MEMB LOAD4 FORCE X UNIF 4 .84 FORCE Y UNIF 6.45 FORCE X UNIF 4 .85 FORCE Y UNIF 6.4JOINT LOAD8 FORCE Y 50. MOME Z 100.





Program STRESS


LOAD 2 POMERANJE OSLONCA JOINT DISPL2 DISPL Y 0.02LOAD 3 TEMPERATURNA PROMENA MEMB TEMP CHAN 0.000017 THRU 9 20 .LOAD 4 TEMPERATURNA RAZLIKA MEMB END LOAD3 START MOME Z 100 . END MOME Z 100.SOLVEPROBLEM CORRECTLY SPECIFIED , EXECUTION TO PROCEED





Program ALIN - MKE

Analiza LInijskih Nosaa (MKE)

Program ALIN za analizu linijskih nosaa zasnovan na MKE(napisan u jeziku C++)Namena (osnovne mogunosti) programa ALIN:

- analiza linijskih nosaa u ravni i u prostoru- vrsta analize: statika, dinamika, stabilnost- statika analiza: Teorija I reda i Teorija II reda- analiza stabilnosti: odreivanje kritinog optereenja- dinamika analiza: problem svojstvenih vrednosti i odgovor zadinamiku pobudu

- dinamika pobuda: vremenska funkcija optereenja ili zadatiakcelerogram





Program ALIN - MKE

Analiza LInijskih Nosaa (MKE)

Vrste (linijskih) konanih elemenata implementiranih uprogram ALIN:

- reetkasti nosai (Truss)- puni nosai (Beam)- tankozidni nosai (TWBeam)- kablovski nosai (Cable)

Predefinisane karakteristike materijala za Beton i elikMogunost automatskog unoenja sopstvene teineNeki oblici poprenih preseka: pravougaoni, kruni, I, T, optipresek





Program ALIN - MKE

Deo jedne od datoteka: Enums.h

// g e n e r a lenum SPACE {s2D = 2 , s3D = 3} ;enum ANALYSIS {STATIC , DYNAMIC, STABILITY } ;enum OBJECT {SIMPLE , CST_BRIDGE, BUILDING , TOWER} ;// dynamicsenum DYNA_TYPE {EIGEN , RESPONSE} ;enum DYNA_SOLU {MODAL, DIRECT} ;enum DYNA_LOAD {TIME_FORCE, ACCELEROGRAM} ;// s t a b i l i t yenum STAB_ANAL {SECOND, CRITICAL , POSTCRIT} ;enum STAB_STIFF {EXACT, GEOMETRIC} ;enum STAB_LOAD {FIXED , VARIABLE} ;





Program ALIN - MKE

Deo jedne od datoteka: Enums.h

// s t r u c t u r e and f i n i t e e l ement senum STRUCTURE {TRUSS, FRAME, TWBEAM, CABLE, MIXED} ;enum ELEMENTS {TRUSS_ELE, BEAM_ELE, TWBEAM_ELE, CABLE_ELE, MIXED_ELE} ;enum PLANE_STIFF {FOUR, SIX } ;// ma t e r i a l and c r o s s s e c t i o n senum MATERIAL {CONCRETE, STEEL , OTHER, MIXED_MAT} ;enum SECTION {FULL , THIN_WALLED, BOTH} ;enum FULL_SECTION {RECT, CIRC , T_SEC, I_SEC , GEN_SEC, MIXED_SEC} ;enum TW_SECTION {OPENED, CLOSED, CLOSED_OPENED} ;// cab l es t a y ed b r i d g eenum INIT_SHAPE {LINEAR , NONLINEAR} ;enum AFTER_ISHAPE {NO, ADD_LOAD, DYNAMIC_EIG, DYNAMIC_RESP} ;enum TYPE_CABLE {BAR, ERNST, KAROUMI, BAR_SW, ERNST_SW, KAROUMI_SW} ;





Okvir u ravni - Teorija II reda: Program ALIN

Analiza obostrano ukljetenog dvospratnog okvira po Teoriji II reda





Okvir u ravni - Teorija II reda

Program ALIN: deo ulazne datoteke






Program ALIN: deo izlazne datoteke






Poreenje dobijenih rezultata





Stabilnost - Prvi Ojlerov sluaj

Stabilnost proste grede

Materijal: beton MB30 (E = 31.5 107 kPa), Presek: 10/10cm(J = 8.33 106m4)






Stabilnost proste grede - ulazni podaci






Deo izlazne datoteka: Ojler-1.txt






Stabilnost proste grede - kritina silaKao to se vidi, dobijen parametar optereenja je = 1.911Kako je sila pritiska definisana kao P = 150 kN, to je kritinasila Pcr jednaka

Pcr = P = 1.911 150 = 286.65 kN

Tana vrednost Ojlerove kritine sile za prostu gredu je

Pcr,Eu =pi2

`2EJ =

pi2

323.15 107 8.33 106 = 287.748 kN

Dobijena relativna greka je

=Pcr Pcr,Eu

Pcr,Eu 100 = 0.38%




Linijski nosai u 3DMatrica krutosti punih nosaa

Sadraj









Matrina analiza nosaa u prostoru

Linijski nosai u 3D prostoruLinijski nosa je prostorni nosa:

- ukoliko se tapovi nosaa nalaze u 3D prostoru- ako nosa pripada jednoj ravni, ali postoji optereenje koje je na ravan nosaa

Ako se posmatra linijski nosa u 3D prostoru razumno je da seglobalni kordinatni sistem OXY Z usvoji na standardni nainNa primer, da XY ravan bude horizontalna, a osa Zvertikalna, sa smerom na goreNa taj nain smer gravitacije je jasno definisan, odn. sopstvenateina nosaa moe lako da se automatski uzme u obzir






Linijski nosai u 3D prostoruProstorni nosai, slino kao i nosai u ravni, mogu da budureetkasti i/ili puni, u zavisnosti od naina veze tapova uvorovimaKod reetkastih 3D nosaa sve veze u vorvima su zglobne, asve spoljanje veze i spoljanje sile deluju samo u vorovima(odn. zglobovima)Kod punih 3D nosaa mora da postoji barem jedan vor sakrutom vezom, a optereenje moe da deluje proizvoljno dutapova






Linijski nosai u 3D prostoruAnaliza nosaa u prostoru pretstavlja generalizacijurazmatranja nosaa u ravniOsnovne relacije za tap, transformacije iz lokalnog u globalnikoordinatni sistem, nain formiranja jednaina za sistemtapova, kao i unoenje graninih uslova i reavanje jednainaravnotee, formalno su isti kao i za nosae u ravniRazlika je u poveanju dimenzije prostora, a time i poveanjebroja statiko-kinematikih veliina koje ulaze u analizu






Linijski nosai u 3D prostoru

Sa poveanjem broja nepoznatih u vorovima tapa (konanogelementa) poveavaju se dimenzije matrica krutosti i vektoraTime se i ukupan broj nepoznatih veliina poveava (naravno,zavisi od sloenosti raunskog modela)U zavisnosti od problema koji se posmatra: linearan /nelinearan, statiki / dinamiki, samo reavanje sistemaalgebarskih jednaina ili problema svojstvenih vrednosti moeda bude prilino zahtevno po pitanju vremena rada procesora imemorijskih zahteva





Sadraj









Matrina analiza punih nosaa u prostoru

Matrica krutosti punih nosaa u 3D

tap nosaa u prostoru (linijski element u 3D) ima dva vorana svojim krajevima (dve vorne take), oznaene sa ikU svakom voru nepoznate veliine su komponente vektorapomeranja i vektora rotacije voraZa prostorni nosa svaki od ovih vektora ima po 3 koordinatePrema tome, broj nepoznatih generalisanih pomeranja usvakom voru je 3+3=6Ukupan broj nepoznath veliina za jedan tap (gredni element)je 6+6=12






Matrica krutosti punih nosaa u 3DVektori vornih pomeranja i vornih sila izraavaju se u odnosuna lokalni koordinatni sistem xyzLokalni koordinatni sistem xyz tapa ima poetak u voru i, aosa x je u pravcu tapa, sa smerom i kLokalne ose yz su u ravni poprenog preseka i one su glavnecentralne ose inercije poprenog presekaKomponente vektora pomeranja i rotacije u voru i, u odnosuna lokalni koordinatni sistem, date su sa:

ui =

uiviwi

i =

xiyizi

(6)Stanko Bri Metoda konanih elemenata





Matrica krutosti punih nosaa u 3DKomponente vektora pomeranja i rotacije u voru k, u odnosuna lokalni koordinatni sistem, date su slino:

uk =

ukvkwk

k =

xkykzk

(7)Ukupan vektor generalisanih pomeranja za vor i ine vektoripomeranja i rotacije:

qTi =

{uii

}T={ui vi wi xi yi zi

}(8)






Matrica krutosti punih nosaa u 3DUkupan vektor generalisanih pomeranja za vor k je,analogno,:

qTk =

{ukk

}T={uk vk wk xk yk zk

}(9)

tako da je ukupan vektor generalisanih pomeranja za tap datsa

qT =

{qiqk

}T={ui zi uk zk

}(10)






Matrica krutosti punih nosaa u 3DSlino su date i komponente vektora sila i spregova u voru i,u odnosu na lokalni koordinatni sistem:

Fi =

NiTyiTzi

Mi =

MxiMyiMzi

(11)odnosno u voru k:

Fk =

NkTykTzk

Mk =

MxkMykMzk

(12)Momenti Mxi, odn. Mxk su momenti torzije Mti, odn. Mtk






Matrica krutosti punih nosaa u 3DUkupan vektor vornih sila za vor i ine vektori sila i spregova:

RTi =

{FiMi

}T={Ni Tyi Tzi Mxi Myi Mzi

}(13)

Slino je i za vor k:

RTk =

{FkMk

}T={Nk Tyk Tzk Mxk Myk Mzk

}(14)






Matrica krutosti punih nosaa u 3DUkupan vektor vornih sila R za ceo tap je dat kao vektor sa12 elemenata

RT =

{RiRk

}T={Ni Mzi Nk Mzk

}(15)

Prema tome, gredni element u prostoru ima dve vorne take i12 vornih nepoznatih veliina





Generalisane sile i pomeranja na krajevima tapa

Generalisane sile i pomeranja na krajevima tapa u prostoru -lokalne koordinate






Matrica krutosti punih nosaa u 3DKao i u sluaju grednih elemenata u ravni, veza izmeu vornihsila i vornih pomeranja, odn. osnovna relacija neoptereenogtapa, data je sa

R = Kq (16)

gde je K matrica krutosti tapaMatrica krutosti tapa u prostoru je kvadratna, simetrina,singularna matrica reda 12Elementi matrice krutosti prostornog tapa mogu da se odredena isti nain kao i za tap u ravni (jedino je to znatno sloenijei tee)






Matrica krutosti punih nosaa u 3DMeutim, u linearnoj teoriji tapa matrica krutosti prostornogtapa moe da se (relativno) lako odredi primenom principasuperpozicijeNa osnovu principa superpozicije, koji vai u linearnoj teoriji,opti sluaj prostornog naponskog stanja tapa moe da serazdvoji na:

- aksijalno naprezanje (u pravcu ose x)- savijanje u ravni xy (oko ose z)- savijanje u ravni xz (oko ose y)- torziju (oko ose x)

Za vektore vornih sila, pomeranja i matrice krutosti koji seodnose na pojedinana naponska stanja koriste se oznake(indeksi), redom: a, sz, sy, t





Matrina analiza linijskih nosaa u prostoru

Aksijalna matrica krutosti

Veza (16) za izdvojeno aksijalno naprezanje moe da se prikaekao

Ra = Ka qa (17)

Matrica krutosti za aksijalno naprezanje Ka data je sa

Ka =E F

`

[1 11 1

](18)

dok su vektori vornih sila i pomeranja dati sa

Ra =

{NiNk

}qa =

{uiuk

}(19)






Matrica krutosti za savijanje u ravni xy

U izrazu (18) za matricu krutosti Ka sa E,F i ` oznaeni sumodul elastinosti materijala, povrina poprenog preseka iduina tapaVeza (16) za izdvojeno savijanje u ravni xy (oko ose z) data jesa

Rsz = Ksz qsz (20)

Matrica krutosti za savijanje u ravni xy Ksz data je sa

Ksz =E Jz`3

12 6` 12 6`6` 4`2 6` 2`212 6` 12 6`6` 2`2 6` 4`2






vorne sile i pomeranja za savijanje u ravni xyVektori vornih sila i vornih pomeranja za savijanje u ravni xydati su sa

Rsz =

TyiMziTykMzk

qsz =

vizivkzk

(22)U izrazu (21) E i ` su modul elastinosti i duina tapa, dok jeJz moment inercije oko glavne centralne ose inercije preseka y






Matrica krutosti za savijanje u ravni xz

Veza (16) za izdvojeno savijanje u ravni xz (oko ose y) data jesa

Rsy = Ksy qsy (23)

Matrica krutosti za savijanje u ravni xz Ksy data je sa

Ksy =E Jy`3

12 6` 12 6`6` 4`2 6` 2`212 6` 12 6`6` 2`2 6` 4`2

(24)






vorne sile i pomeranja za savijanje u ravni xzVektori vornih sila i vornih pomeranja za savijanje u ravni xzdati su sa

Rsy =

TziMyiTzkMyk

qsy =

wiyiwkyk

(25)U izrazu (24) Jy je moment inercije oko glavne centralne oseinercije preseka z






vorne sile i pomeranja za torziju

Posmatra se torzija tapa (slobodna, neograniena torzija)Parametri pomeranja u vorovima tapa su uglovi rotacije okoose tapa xi i xktap ima dva stepena slobode, po jedan u svakom voru (kao iaksijalno naprezanje)Generalisane sile u vorovima su momenti torzije Mxi i Mxk





Torziono napregnut tap

Generalisane sile i pomeranja na krajevima tapa u prostoru zasluaj torzije






Matrica krutosti za torziju

Za tap izloen slobodnoj torziji (Saint Venant-ova torzija)veza izmeu momenta torzije i ugla obrtanja tapa data je sa

Mx =GJ

` (26)

gde su- G . . . modul klizanja materijala tapa- J . . . torziona konstanta poprenog preseka tapa

Matrica krutosti pri torziji dobija se na osnovu veze (26) iznaenja koeficijenata matrice krutosti (reakcije vezaobostrano ukljetenog tapa za jedinina generalisanapomeranja)






Matrica krutosti za torzijuDobija se sledea matrica krutosti za torziju tapa:

Kt =GJ

`

[1 11 1

](27)

Vektori vornih sila i vornih pomeranja za torziju dati su sa

Rt =

{MxiMzk

}qt =

{xixk

}(28)






Torziona konstanta JTorziona konstanta J zavisi od oblika poprenog preseka tapaU tehnikoj teoriji tapa torziona konstanta se odreuje uzpretpostavku o slobodnoj Saint Venant-ovoj torzijiTo znai da se zanemaruje deplanacija poprenog presekatokom torzijeKod tankozidnih tapova takva pretpostavka ne vai






Torziona konstanta JZa tap sa krunim poprenim presekom, sa prenikom d,torziona konstanta jednaka je polarmom momentu inercijepreseka:

J =pi d4

32

Za tapove pravougaonog preseka, sa irinom t i sa visinom h,torziona konstanta moe da se odredi prema izrazu:

J =h t3

3

[1 0.630 t

h+ 0.052

(t

h

)5](h t) (29)






Torziona konstanta JIzraz (29) moe da se pie u obliku

J =h t3

3

gde je koeficijent koji se izraunava za razliite odnose h/t imoe da se tabulieKada je pravougaoni presek dovoljno uzan, odn. u graninomsluaju h/t, dobija se izraz za torzionu konstantu

J =1

3h t3






Matrica krutosti za torzijuMatrica krutosti tapa optereenog na torziju po strukturi jeista kao i matrica krutosti za aksijalno naprezanjeDovoljno je da se E F u matrici Ka zameni sa GJ i dobija sematrica krutosti KtVektor ekvivalentnog optereenja za sluaj torzije odreuje seslino kao i vektor ekvivalentog optereenja za aksijalnonaprezanjeRazlika je, naravno, u razliitom znaenju elemenata ovihvektora (momenti torzije i aksijalne sile na krajevima tapa)






Matrica krutosti punih nosaa u 3DZa svako od nezavisnih naponskih stanja odgovarajua matricakrutosti, odn. submatrica ukupne matrice krutosti tapa,odreuje se posebno, tako da veza (16) moe da se prikae uobliku:

RaRszRsyRt

=Ka

KszKsy

Kt

qaqszqsyqt

(30)Meutim, takav redosled i grupisanje vornih sila i pomeranjanije praktian






Matrica krutosti punih nosaa u 3DOvakav kvazidijagonalan oblik matrice krutosti tapa uprostoru je pogodan i kompaktanMeutim, to je matrica krutosti u lokalnom sistemu, a prilikomtransformacije iz lokalnog u globalni sistem takav oblik se gubiZato se generalisane sile i generalisana pomeranja prikazuju udrugaijem redosledu: prvo za vor i, pa zatim za vor kTo dovodi do odgovarajue promene poloaja pojedinih vrsta ikolona u matrici krutosti datoj sa (30)





Generalisane sile i pomeranja na krajevima tapa

Generalisane sile ili pomeranja na krajevima tapa u prostoru -lokalne koordinate u pogodnom redosledu





Submatrice krutosti tapa u prostoru

Poloaj vrsta/kolona submatrica krutosti u ukupnoj matrici krutostitapa u prostoru





Elementi matrice krutosti tapa u prostoru






Matrica krutosti za aksijalno naprezanje

Statiko znaenje elemenata matrice krutosti Kaza aksijalno naprezanje






Matrica krutosti za savijanje u xy ravni

Statiko znaenje elemenata matrice krutosti Kszza savijanje u ravni xy






Matrica krutosti za savijanje u xz ravni

Statiko znaenje elemenata matrice krutosti Ksyza savijanje u ravni xz






Matrica krutosti za torziono naprezanje

Statiko znaenje elemenata matrice krutosti Kaza torziono naprezanje






Vektori ekvivalentnog optereenjaVektor ekvivalentnog optereenja Q kod nosaa u 3D prostorujednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca obostranoukljetenog tapaVektor ekvivalentnog optereenja kod nosaa u 3D prostoruodreuje se, u principu, na isti nain kao i kod nosaa u ravni -posebno za svaki sluaj optereenja:

- aksijalno- savijanje u xy ravni- savijanje u xz ravni- torzija

Koriste se isti izrazi kao i za nosa u ravni, uz odgovarajuemomente inercije






Vektori ekvivalentnog optereenjaKao i kod nosaa u ravni, vektor ekvivalentnog optereenjapretstavlja vektor ekvivalentnih sila u vorovima koje upotpunosti zamenjuju spoljanje optereenje du tapaOsnovna jednaina optereenog tapa data je, po formi, istokao i kod nosaa u ravni:

R = Kq Q (31)

Razlika u odnosu na tap u ravni je u veliini matrica i vektora:u ravni 6, u prostoru po 12 elemenataRelacija (31) je u lokalnom sistemu tapa




Lokalni i globalni sistemFormiranje jednaina u globalnom sistemu

Sadraj










Transformacija iz lokalnog u globalni sistemKao i kod nosaa u ravni, osnovne relacije o tapu izvode se ulokalnom koordinatnom sistemu xyz koji je definisan u odnosuna tap: osa x je u pravcu ose tapa, sa smerom i k, dok suose yz glavne centralne ose poprenog presekaU sistemu tapova koji ini posmatrani nosa u prostorupoloaj svakog tapa odreen je u odnosu na globalnikoordinatni sistem XYXKoordinatni poetak globalnog sistema je pogodno izabranataka O(0, 0, 0), dok je koordinatni poetak lokalnog sistemaza svaki tap definisan u kraju tapa koji je usvojen za vor i






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemU odreivanju relacija izmeu vektora prikazanih u lokalnom iliu globalnom sistemu, posmatra se sluaj kada se koordinatnipoeci lokalnog i globalnog sistema poklapajuOrtovi osa globalnog sistema XY Z su, redom, ~I, ~J, ~KOrtovi osa lokalnog sistema xyz su, redom, oznaeni sa ~,~,~kNeka su uglovi izmeu osa globalnog i lokalnog sistema dati saij (i, j = 1, 2, 3)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistem

tap (gredni konani element) odreen je u prostoru sa svojetri take:

- taka Pi . . . poetak tapa i- taka Pk . . . kraj tapa k- taka Pm . . . bilo koja taka u lokalnoj ravni tapa xy

Koordinate ovih taaka date su u globalnom sistemu XY Z:

Pi(Xi, Yi, Zi) Pk(Xk, Yk, Zk) Pm(Xm, Ym, Zm)

Jedinini vektor lokalne ose x odreen je sa takama Pi i Pk:

~ =

PiPk

PiPk= cos 11~I + cos 12 ~J + cos 13 ~K





Lokalni sistem tapa u prostoru

tap (gredni element) u prostoru

Poloaj tapa u prostoru odreen sa tri take i, j, k (odn. i, k,m)





Lokalni sistem tapa u prostoru

tap (gredni element) u prostoru

Poloaj tapa u prostoru odreen sa tri take 1, 2, 3 (odn. i, k,m)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemJedinini vektor ~eim u lokalnoj ravni xy odreen je sa takamaPi i Pm:

~eim =

PiPm

PiPm

Jedinini vektor ~k lokalne ose z odreen je sa vektorskimproizvodom

~k =~ ~eimNajzad, jedinini vektor ~ lokalne ose y odreen je vektorskimproizvodom

~ = ~k ~






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemPrema tome, ortovi osa lokalnog sistema tapa odreeni su uodnosu na globalni koordinatni sistem sa tri navedene take:poetak tapa, kraj tap i bilo koja (pomona) taka u lokalnojglavnoj ravni tapa xyKoordinate ortova lokalnih osa date su sa kosinusima uglovakoje zaklapaju sa osama globalnog sistemaTakve relacije mogu da se prikau u matrinom obliku

~~~k

= cos 11 cos 12 cos 13cos 21 cos 22 cos 23

cos 31 cos 32 cos 33

~I~J~K







Matrica u relacijama (32) naziva se matrica rotacije

=

cos 11 cos 12 cos 13cos 21 cos 22 cos 23cos 31 cos 32 cos 33

(33)Matrica rotacije je ortogonalna matrica:

1 = T

Poloaj sistema xyz u odnosu na sistemXY Z odreen je,prema tome, matricom rotacije







Relacije izmeu ortova dva sistema (32) mogu da se napiu uobliku

~~~k

= []

~I~J~K

(34)Kako je matrica rotacije ortogonalna, onda vai

~I~J~K

= []T

~~~k

(35)







Posmatra se proizvoljan vektor ~R koji moe da se izrazi ili uglobalnom sistemu ili u lokalnom sistemuU globalnom sistemu vektor ~R oznaava se sa gornjimindeksom ()

Prikazano u matrinom obliku, isti vektor moe da se prikae ujednom ili u drugom sistemu, iji su ortovi povezanimeusobno matricom rotacije

- u globalnom sistemu

RT = {R1, R2, R3}

- u lokalnom sistemu

RT = {R1, R2, R3}Stanko Bri Metoda konanih elemenata





Transformacija iz lokalnog u globalni sistemNapisano u vektorskom obliku, isti vektor u dva prikaza R iR moe da se napie

- u globalnom sistemu

RT = R1 ~I +R2~J +R3 ~K (36)

- u lokalnom sistemu

RT = R1~+R2 ~+R3 ~k (37)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemImajui u vidu relacije izmeu jedininih vektora lokalnog iglobalnog sistema date sa (34), odn, (35), izmeu razliitihprikaza istog vektora (36) i (37) mogu da se uspostave relacije

- vektor u lokalnom sistemu prikazan preko vektora u globalnomsistemu

R = T R (38)

- vektor u globalnom sistemu prikazan preko vektora u lokalnomsistemu

R = R (39)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemProizvoljan vektor u dva prikaza R i R moe da bude vektorsila F ili vektor momenata M u voru i ili u voru kTakoe, to moe da bude vektor pomeranja u ili vektorrotacije u voru i ili kPrema tome, izmeu ovih vektora, koji mogu da se prikau ulokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije

- vorne sile (za vor i ili k){Fi,kMi,k

}=

[T

T

]{F i,kMi,k

}(40)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemPrema tome, izmeu ovih vektora, koji mogu da se prikau ulokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije(nastavak)

- vorna pomeranja (za vor i ili k){ui,ki,k

}=

[T

T

]{ui,ki,k

}(41)

Relacije (40) i (41) mogu da se prikau skraeno u obliku

Ri,k = tTRi,k qi,k = t

Tqi,k (42)







U relacijama (42) uvedene su oznake

Ri,k =

{Fi,kMi,k

}qi,k =

{ui,ki,k

}tT =

[T

T

](43)

Ako se napiu relacije za oba vora i i k, dobija se

R = T TR q = T Tq (44)

gde je T matrica transformacije reda 12

T =

[tt

](45)






Transformacija iz lokalnog u globalni sistemAnalogno, i za vektor ekvivalentog optereenja Q vai istatransformacija:

Q = T TQ (46)

Kako je matrica rotacije ortogonalna, to je i matricatransformacije takoe ortogonalna matrica, pa vae relacije

R = TR q = Tq Q = TQ (47)

Relacije (44) i (46) pretstavljaju transformaciju iz globalnog ulokalni sistem, dok su relacije (47) transformacija iz lokalnog uglobalni sistem






Generalisane sile (pomeranja) u lokalnom i u globalnom sistemu





Sadraj










Osnovna jednaina optereenog tapa

Posmatra se osnovna jednaina optereenog tapa (31)

R = Kq Q (48)

U jedn. (48) unosi se (44) za vektor q, pa se zatim jednainamnoi sa leve strane sa matricom T :

TR = TKT Tq TQ

Imajui u vidu relacije (47), dobija se

R = Kq Q (49)






Formiranje jednaina u globalnom sistemu

Relacija (49) je osnovna jednaina optereenog tapa uglobalnom koordinatnom sistemuMatrica K je globalna matrica krutosti tapa u prostoru, reda12

K = TKT T (50)

Kao i u sluaju tapa u ravni, matrica krutosti tapa uglobalnim koordinatama je kvadratna, simetrina i singularnamatricaSabiranje matrica krutosti K tapova nosaa u prostoru vrise, naelno, isto kao i kod nosaa u ravni





Analiza nosaa u prostoru

Formiranje jednaina u globalnom sistemuKao rezultat, dobija se jednaina ravnotee sistema, uglobalnom koordinatnom sistemu

Kq = S (51)

Matrica K je matrica krutosti sistema tapova, vektor q jevektor pomeranja vorova nosaa, dok je S vektoroptereenja (vektor slobodnih lanova u jednainama)U jednainu ravnotee (51) unose se granini usloviredukcijom, ili, bolje, transformacijom matrice krutostiSmatra se da su ve uneti granini uslovi, tako da je matricaK u jedn. (51) regularna matrica




Redukcija matrice krutosti i vektora Q

Sadraj










Oslobaanje veza na krajevima tapovaKod nosaa u prostoru, ukoliko nisu u pitanju prostornereetke, tapovi su obino kruto vezani na oba kraja (tapovitipa k)Meutim, mogue je da su neke od veza na jednom kraju (iliba oba) ukinute, odn. mogue je da su jedna ili vie vornihsila jednake nuliU takom sluaju mora da se koriguje matrica krutosti ulokalnom sistemu







Posmatra je osnovna jednaina optereenog tapa (48)

R = Kq Q (52)

Za tap u prostoru vektori i matrica u jedn.(52) su reda n = 12Jednaina (52) moe da se prikae u skalarnom obliku:

Ri =

nj=1

kij qj Qi (i = 1, 2, . . . , 12) (53)

gde su kij elementi matrice krutosti tapa K






Oslobaanje veza na krajevima tapovaNeka je element broj k vektora vornih sila jednak nuli(ukunuta je veza broj k):

Rk =

nj=1

kij qj Qk = 0

Iz ovog uslova dobija se vorno pomeranje broj k u obliku

qk = 1kkk

nj=1,j 6=k

kkj qj +1

kkkQk (54)







Relacije (53), odn. komponente vornih sila na krajevimamogu da se napiu i u obliku

Ri =

nj=1,j 6=k

kij qj + kik qk Qi (i = 1, 2, . . . , 12) (55)

Ako je vorna sila broj k jednaka nuli, Rk = 0, u jedn. (55)unosi se vorno pomeranje qk prema (54):

Ri =

nj=1,j 6=k

kij qj kikkkk

nj=1,j 6=k

kkj qj Qi + kikkkk

Qk (56)







Jednaine (56) mogu da se napiu u obliku

Ri =

nj=1,j 6=k

krij qj Qri (57)

gde je (za i = 1, 2, . . . , n),

krij = kij kikkkjkkk

(j = 1, 2, k 1, k + 1, . . . , n) (58)

kao i

Qri = Qi kikkkk

Qk (i = 1, 2, . . . , n) (59)






Oslobaanje veza na krajevima tapovaGornji indeks r ukazuje na redukovane elemente matricekrutosti i vektora ekvivalentnih silaU izrazu za redukovan element matrice krutosti (58) dobija seza j = k:

krik = kik kikkkkkkk

= 0 (i = 1, 2, . . . , n) (60)

Prema tome, u jednaine (57) moe da se ukljui i lan saindeksom j = k, tako da se dobija

Ri =nj=1

krij qj Qri (61)







U jednaini (61) redukovani elementi matrice krutosti dati susa

krij = kij kikkkjkkk

(i, j = 1, 2, . . . , n) (62)

Kao to se vidi, red lokalne matrice krutosti ostaje n = 12, priemu su elementi u redu i koloni matrice krutosti kojiodgovaraju broju k ukinute vorne sile, Rk = 0, jednaki nuliRedukovan vektor ekvivalentnih vornih sila dat je sa (59)






Oslobaanje veza na krajevima tapovaZa svako oslobaanje veza na krajevima vri se redukcijakoeficijenata matrice krutosti tapa u lokalnom sistemu, prema(62), kao i redukcija elemenata vektora ekvivalentnogoptereenja prema (59)Za tap u prostoru kod koga je izvreno oslobaanje nekih vezana krajevima, osnovna jednaina optereenog tapa data je sa

R = Krq Qr (63)


Reavanje jednacina ravnotee u MKEReavanje sistema jednacinaPrimeri ulaza i izlaza

Matricna analiza linijskih nosaca u prostoruLinijski nosaci u 3DMatrica krutosti punih nosaca

Transformacija iz lokalnog u globalni sistemLokalni i globalni sistemFormiranje jednacina u globalnom sistemu

Oslobaanje veza na krajevima tapovaRedukcija matrice krutosti i vektora Q

mke_3

Documents

Transcript of mke_3