mke_2a

Matrina analiza linijskih nosaa u ravniAnaliza linijskih nosaa

METODA KONANIH ELEMENATAOsnovne akademske studije, VI semestar

Prof dr Stanko Briemail: [email protected]

Departman za Tehnike naukeDravni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Bri Metoda konanih elemenata


Sadraj

1 Matrina analiza linijskih nosaa u ravniPuni tapovi u lokalnom sistemuPuni tapovi u globalnom sistemu

2 Analiza linijskih nosaaJednaine ravnotee sistemaFormiranje globalne matrice krutostiUnoenje graninih uslova



Puni tapovi u lokalnom sistemuPuni tapovi u globalnom sistemu

Sadraj






Matrina analiza linijskih nosaa u ravni

Puni tapovi u lokalnom sistemuPosmatra se puni tap tipa k u ravni OXY , dakle tap koji jekruto vezan na svojim krajevima i, kLokalni sistem tapa u ravni nosaa je xy, pri emu jekoordinatni poetak u (prvom) voru i, a lokalna osa x je upravcu ose tapa, sa smerom i kKao to je reeno, nepoznate veliine su vorna pomeranja:

- u voru i . . .ui, vi, i, ili, alternativno q1, q2, q3- u voru k . . .uk, vk, k, ili, alternativno q4, q5, q6

Dakle, tap tipa k (beam), kao deo nosaa u ravni, raspolaesa 6 stepeni slobode (6 dof)





Puni tapovi u lokalnom sistemu: vorne sile i pomeranja

tap tipa k je duine ` i od materijala sa konstantnimmodulom elastinosti EPopreni presek je konstantnog oblika sa karakteristikama:

- povrina preseka . . .F- momenat inercije . . . J





Puni tapovi u lokalnom sistemu

tap tipa k, koji je kruto vezan na oba kraja, osnovni jeelement punog nosaa u ravnitap tipa k moe da bude izloen

- aksijalnom naprezanju- savijanju

U linearnoj teoriji tapa (koja se usvaja), takva dva naprezanjasu meusobno nezavisna i mogu da se posmatraju posebnoIstovremeni uticaji aksijalnog naprezanja i savijanja dobijaju sesuperpozicijom





Puni tapovi u lokalnom sistemu

Vektori vornih pomeranja i vornih sila (u lokalnom sistemu)imaju po 6 elemenata sa utvrenim redosledom, prvo za vor i,pa za vor k:

q =

q1q2q3q4q5q6

=

uiviiukvkk

R =

R1R2R3R4R5R6

=

NiTiMiNkTkMk

Sa u i v su oznaene komponente pomeranja u pravcima osa xi y, dok je obrtanje oko ose z





Razdvajanje naprezanja kod punih tapova

Aksijalno naprezanje i savijanje su meusobno nezavisni ulinearnoj teoriji tapaZa istovremeno delovanje aksijalnih uticaja i savijanja koristi seprincip superpozicije





Puni tapovi u lokalnom sistemuMatrica krutosti i odgovarajue relacije za tap izloenaksijalnom naprezanju su iste kao to je prikazano urazmatranju reetkastih tapovaPosmatra se tap tipa k izloen savijanjuZa savijanje relevantna su vorna pomeranja

- u voru i . . . vi, i- u voru k . . . vk, k

kao i vorne sile- u voru i . . .Ti,Mi- u voru k . . .Tk,Mk





Analiza savijanja kod punih tapova

U nezavisnom posmatranju savijanja tapa ima po dvenepoznate u svakom voruRadi jednostavnijeg pisanja, u analizi savijanja koriste seoznake q1, q2, q3, q4, za vorna pomeranja, kao iR1, R2, R3, R4 za vorne sileKada se objedinjuje savijanje i aksijalno naprezanje vodi serauna o redosledu nepoznatih





Puni tapovi u lokalnom sistemu - savijanjePoto se savijanje posmatra odvojeno od aksijalnognaprezanja, vorne sile i vorna pomeranja, kao i drugeveliine, oznaavaju se sa gornjim indeksom sVektori vornih pomeranja i vornih sila (u lokalnom sistemu)imaju po 4 elementa:

qs =

q1q2q3q4

Rs =

R1R2R3R4




Puni tapovi u lokalnom sistemu - savijanje

Matrica krutosti tapa tipa kMatrica krutosti za sluaj savijanja Ks moe da se izvede nabazi fizikog znaenja elemenata matrice krutosti:

Koeficijent matrice krutosti kij pretstavlja vornu silu Riobostrano ukljetenog tapa usled jedininog vornogpomeranja qj = 1, pri emu su sva ostala pomeranjaqi = 0 jednaka nuli, i 6= j

Reakcije veza obostrano ukljetene grede za jedininapomeranja i obrtanja krajeva mogu da se odrede metodom sila




Matrica krutosti tapa tipa k, za q1 = 1

Obostrano ukljetena greda je dva puta statiki neodreena(trea nepoznata, sila u pravcu ose tapa, jednaka je nuli zasluaj savijanja)Osnovni sistem je prosta greda i nepoznate su spregovi nakrajevima tapa




Uticaji u osnovnom sistemu




Dobijene reakcije vezaza za q1 = 1

Reakcije veza za q1 = 1: elementi prve kolone matrice krutosti




Matrica krutosti tapa tipa k

Reakcije veza za svako od jedininih pomeranja pretstavljajuodgovarajuu kolonu matrice krutosti Ks

Isprekidanom linijom prikazana je elastina linija tapa (ugibi)





Matrica krutosti tapa tipa kMatrica krutosti Ks je kvadratna, simetrina i singularnamatrica reda 4Elementi matrice krutosti dati su sa

Ks =EJ

`3

12 6` 12 6`6` 4`2 6` 2`212 6` 12 6`6` 2`2 6` 4`2

(1)





Vektor ekvivalentnog optereenjaVektor ekvivalentnog optereenja usled savijanja Qs ulokalnom sistemu, dat je kao vektor sa 4 elementa

Qs =

Q1Q2Q3Q4

Elementi vektora ekvivalentog optereenja jednaki sunegativnim vrednostima reakcija obostrano ukljetene gredeusled zadatog optereenja




Vektor ekvivalentnog optereenja

Za jednostavna optereenja postoje gotova reenja za reakcijeveza obostrano ukljetene gredeZa proizvoljno optereenje py(x) reakcije veza se odreujuprimenom metode sila (za dva puta statiki neodreen nosa)





Vektor ekvivalentnog optereenja za jednakopodeljenooptereenje py(x) = p = const





Vektor ekvivalentnog optereenjaVektor ekvivalentnog optereenja usled savijanja Qs ulokalnom sistemu, za sluaj jednakopodeljenog opterenjapy(x) = p = const dat je sa:

Qsp =

p`2p`2

12p`2

p`212

=p`

2

1`61

`6





Vektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa k usledtemperaturne razlike t





Vektor ekvivalentnog optereenjaVektor ekvivalentnog optereenja Qs u lokalnom sistemu, zasluaj temperaturne razlike t dat je sa:

Qst = E J tt

h

0101

Sa t je oznaen koeficijent temperaturne dilatacije, dok je hvisina preseka nosaa





Matrice krutosti za aksijalno naprezanje Ka i za savijanje Ks

odreuju se nezavisnoUkupna matrica krutosti tapa tipa k je kvadtratna matricareda 6Elemeti matrica krutosti Ka i Ks smetaju se naodgovarajue pozicije




vorna pomeranja i vorne sile tapa tipa k




Vektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa k




Vektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa k

Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno optereenjekonstantnih intenziteta





Vektor ekvivalentnog optereenjaVektor ekvivalentnog optereenja usled savijanja Qs ulokalnom sistemu, za sluaj jednako-podeljenog aksijalnogopterenja px(x) = const, kao i istovremenogjednako-podeljenog transverzalnog opterenja py(x) = const,dat je sa:

Qsp =

px`2py`2

py`2

12px`2py`2

py`212





tap tipa gPosmatra se tap tipa g, dakle, tap koji je na jednom kraju, uvoru i, kruto vezan, a na drugom kraju, vor g, zglobno vezanPrema tome, takav tap ima 5 stepeni slobode: 3 u krutomvoru i, i 2 nepoznate u zglobu g (obrtanje g nije nepoznataveliina, jer moe da se odredi iz uslova Mg = 0)





tap tipa gDakle, vektori vornih pomeranja i vornih sila, u lokalnimkoordinatama, imaju po pet elemenata:

q =

q1q2q3q4q5

=

uiviiugvg

R =

R1R2R3R4R5

=

NiTiMiNgTg

Kao i kod tapova tipa k, u linearnoj teoriji aksijalnonaprezanje je nezavisno od savijanja




Razdvajanje aksijalnog naprezanja i savijanja

U linearnoj teoriji tapa aksijalno naprezanje (kao i torzija za 3D) jenezavisno od savijanja





Matrica krutosti tapa tipa gBez obzira na redosled u ukupnom vektoru vornih nepoznatih,u razdvojenom posmatranju aksijalnog naprezanja i savijanja, uanalizi savijanja tri nepoznate se oznaavaju sa q1, q2 i q3





Matrica krutosti tapa tipa gMatrica krutosti za aksijalno naprezanje Ka je ista kao i zareetkasti tapMatrica krutosti za savijanje Ks odreuje se direktnim putem,na osnvu fizikog znaenja koeficijenata matrice krutostiKoeficijent kij matrice krutosti za savijanje tapa tipa g jereakcija Ri jednostrano ukljetenog tapa sa pokretnimosloncem na drugom kraju, usled jedininog pomeranja qj = 1




Matrica krutosti tapa tipa g

Elementi matrice krutosti Ks tapa tipa g su reakcijejednostrano ukljetenog tapa, sa zglobnom vezom na drugomkraju, usled jedininih vornih pomeranjaIsprekidanom linijom je prikazana odgovarajua elastina linija(ugib)





Matrica krutosti tapa tipa gElementi matrice krutosti pri savijanju tapa tipa g dobijaju seu obliku:

Ks =E F

`3

3 3` 33` 3`2 3`3 3` 3

Kao to se vidi, matrica krutosti za savijanje tapa tipa g jekvadratna, simetrina i singularna matrica reda 3





Vektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa gVektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa g izloenogsavijanju ima tri elementa u lokalnom sistemu

Q =

Q1Q2Q3

Elementi vektora ekvivalentnog optereenja su jednakinegativnim vrednostima reakcija jednostrano ukljetene grede izglobno vezane na drugom kraju, usled zadatog optereenja




Vektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa g

Elementi vektora ekvivalentnog optereenja su jednakinegativnim vrednostima reakcija veza usled posmatranogoptereenja





Elementi vektora ekvivalentnog optereenja zajednakopodeljeno optereenje py(x) = p = const





Vektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa gVektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa g za uticajjednakopodeljenog optereenja py(x) = p = const dobija se uobliku:

Qp =

58p`18p`

2

38p`

= 18p `

5`3





Elementi vektora ekvivalentnog optereenja za temperaturnupromenu t





Vektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa gVektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa g za uticajtemperaturne promene t dobija se u obliku:

Qt = 1.5E J tt

h

1`11`





Matrice krutosti za aksijalno naprezanje Ka i za savijanje Ks

odreuju se nezavisnoUkupna matrica krutosti tapa tipa k je kvadtratna matricareda 5Elemeti matrica krutosti Ka i Ks smetaju se naodgovarajue pozicije





Istovremeno ravnomerno aksijalno i transverzalno optereenjekonstantnih intenziteta





Vektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa gVektor ekvivalentnog optereenja tapa tipa g za uticajjednako-podeljenog optereenja u pravcu ose tapapx(x) = const, kao i jednako-podeljenog optereenja upravnona tap py(x) = const, dobija se u obliku:

Q =

12px`58py`18py`

2

12px`38py`




Sadraj






Puni tapovi u globalnom sistemu

Transformacija koordinata za tap tipa k

tap tipa k, u sastavu nosaa u ravni, zauzima proizvoljanpoloaj u odnosu na globalni koordinatni sistemPoloaj tapa u posmatranom nosau, koji pripada globalnojravni OXY , odreen je sa poloajem prvog vora i tapai k, kao i orjentisanim uglom = (X,x) koji zaklapalokalna osa tapa x prema globalnoj osi XTransformacije vektora iz lokalnog u globalni sistem i obrnutoodreene su matricom transformacije T




Globalni i lokalni sistem

vorna pomeranja i vorne sile tapa tipa k u lokalnom i globalnomsistemu





Transformacija koordinata za tap tipa kVektori vornih pomeranja i vornih sila imaju po 6 koordinata,koje se u vektore unose u istom redosleduVektori izraeni u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks(..) u svojoj oznaci:

q =

q1q2...q6

R =

R1R2...R6

q =

q1q2...q6

R =

R1R2...R6




Globalni i lokalni sistem

Prikazi vektora vornih pomeranja i vornih sila tapa tipa k ulokalnom i globalnom sistemu





Transformacija koordinata za tap tipa kMatrica transformacije tapa tipa k dobija se kada se, npr.,vorne sile u lokalnom sistemu Ri izraze preko vornih sila uglobalnom sistemu RiImajui u vidu da je = (X,x), dobijaju se sledee relacije,posmatrajui vorne sile u voru i:

R1 = R1 cos+R

2 sin

R2 = R1 sin+R2 cosR3 = R

3

(2)






Prikazano u matrinom obliku, relacije (2) mogu da se napiukao

R1R2R3

= cos sin 0 sin cos 0

0 0 1

R1R2R3

(3)Relacije (3) mogu da se napiu u skraenom obliku:

Ri = tRi (4)





Transformacija koordinata za tap tipa kAnalogne relacije mogu da se napiu i za sile u voru k:

Rk = tRk (5)

Matrica t je vorna matrica transformacijeRelacije (4) i (5) mogu da se zajedno napiu u obliku{

RiRk

}=

[t 00 t

] {RiRk

}(6)

ili u kompaktnijem obliku

R = T R (7)






Relacija (7) pretstavlja transformaciju vektora vornih sila izglobalnih u lokalne koordinateMatrica T je matrica transformacije za tapNapisano u razvijenom obliku, relacije (7) glase

R1R2R3R4R5R6

=

cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 00 0 0 0 0 1

R1R2R3R4R5R6

(8)





Transformacija koordinata za tap tipa kNapisana u razvijenom obliku, matrica transformacije T dataje sa

T =

cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 00 0 0 0 0 1

(9)

Matrica transformacije je simetrina kvadratna matrica reda 6





Transformacija koordinata za tap tipa kNa isti nain, vae relacije izmeu vornih pomeranja q:

q = Tq (10)

kao i izmeu vektora ekvivalentnog optereenja Q:

Q = TQ (11)

Matrica transformacije (kao matrica rotacije) je ortogonalnamatrica, odn. njena transponovana matrica jednaka jeinverznoj matrici:

T T = T1 (12)






Imajui u vidu relacije (7) i (11), kao i svojstvo ortogonalnostimatrice transformacije, vektori vornih sila i vektoriekvivalentnog optereenja, izraeni u lokalnom sistemu, moguda se izraze u globalnom sistemu:

R = T R R = T T RQ = T Q Q = T T Q (13)

Radi skraenog pisanja, koriste se oznake = cos, = sin





Transformacija koordinata za tap tipa kMatrica transformacije za vor, kao i njena inverzna matrica,date su

t =

0 00 0 1

t1 = 0 0

0 0 1

dok je matrica transformacije za tap data sa

T =

0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 1

(14)Stanko Bri Metoda konanih elemenata




Transformacija koordinata za tap tipa kAko su poznate globalne koordinate vorova i i k tapa i k:(Xi, Yi), (Xk, Yk), onda se lako izraunavaju elementi matricetransformacije i za dati tap:

` =

(Xk Xi)2 + (Yk Yi)2

=1

`(Xk Xi)

=1

`(Yk Yi)





Transformacija matrice krutosti u globalni sistemPosmatra se osnovna jednaina neoptereenog tapa

R = K q

Unosei u ovu jednainu relacije izmeu vornih sila i vornihpomeranja u lokalnim i globalnim koordnatama:

R = T R q = T q

dobija seT R = KT q (15)





Transformacija matrice krutosti u globalni sistem

Ako se jedn. (15) pomnoi sa transponovanom matricomtransformacije sa leve strane, dobija se

T T T R = T T KT q

Imajui u vidu ortogonalnost matrice transformacije,T T = T1, dobija se

R = T T KT q (16)

ili skraeno,R = K q (17)





Transformacija matrice krutosti u globalni sistem

Jednaina (17) pretstavlja osnovnu jednainu neoptereenogtapa u globalnim koordinatamaU toj jednaini matrica K pretstavlja vezu izmeu vornihsila i vornih pomeranja, u globalnim koordinatama, tako da jeK matrica krutosti tapa u globalnim koordinatama:

K = T T KT (18)




Globalni i lokalni sistem - tap tipa g

vorna pomeranja i vorne sile tapa tipa g u lokalnom i globalnomsistemu





Transformacija koordinata za tap tipa gVektori vornih pomeranja i vornih sila imaju po 5 koordinata,koje se u vektore unose u istom redosleduVektori izraeni u globalnim koordinatama imaju i gornji indeks(..) u svojoj oznaci:

q =

q1q2...q5

R =

R1R2...R5

q =

q1q2...q5

R =

R1R2...R5





Transformacija koordinata za tap tipa gVeze izmeu vektora vornih sila, pomeranja i ekvivalentnogoptereenja su, formalno, iste kao i za tap tipa k

R = TR q = Tq Q = TQ

Razlika je samo u matrici transformacije T : kako tap tipa gima 5 vornih nepoznatih, tako je i matrica transformacijekvadratna matrica reda 5Ako je vor, odn. zglob, g drugi vor, onda je momenatsavijanja u zglobu g jednak nuli i nema veze oblika R6 = R6,jer se R6 odnosi na momenat savijanja koji je u zglobu jednaknuli





Transformacija koordinata za tap tipa gPrema tome, u matrici transformacije za tap tipa k, datoj sa(9) ili sa (14), treba samo da se izbaci 6. kolona i 6. vrsta kojese odnose na momenat, odn. obrtanje u zglobu gDakle, matrica transformacije tapa tipa g ima oblik:

T =

cos sin 0 0 0 sin cos 0 0 0

0 0 1 0 00 0 0 cos sin0 0 0 sin cos

(19)





Transformacija koordinata za tap tipa gAlternativno, koristei oznake = cos, = sin, matricatransformacije tapa tipa g ima oblik:

T =

0 0 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0 0

(20)





Transformacija koordinata za tap tipa gMatrica transformacije za tap tipa g je simetrina iortogonalna matrica, pa vae iste inverzne relacije kao i zatap tipa k:

q = T Tq R = T TR Q = T TQ

Takoe, matrica krutosti tapa tipa g, izraena u odnosu naglobalne koordinate, data je na isti nain:

K = T TKT



Jednaine ravnotee sistemaFormiranje globalne matrice krutostiUnoenje graninih uslova

Sadraj






Analiza linijskih nosaa

Jednaine ravnotee sistemaOsnovna jednaina optereenog tapa u lokalnom sistemu glasi

R = Kq Q (21)

Pri tome, isti oblik jednaine (21) vai i za reetkaste tapove,kao i za tapove tipa k ili g - razlika je samo u dimenzijamamatrica i vektoraU jedn. (21) unosi se veza q = Tq, pa se zatim jednainamnoi sa leve strane sa T T :

T TR = T TKTq T TQ (22)





Jednaine ravnotee sistemaImajui u vidu veze (13), kao i izraz (18) za matricu krutosti uglobalnom sistemu, jednaina (22) moe da se prikae u obliku

R = Kq Q (23)

Jednaina (23) pretstavlja osnovnu jednainu optereenogtapa u globalnom sistemuZbog razliitih poloaja tapova u sklopu linijskog nosaa (uravni, ali i u prostoru!) neophodna je transformacija u globalnikoordinatni sistem za sve tapove nosaa





Jednaine ravnotee sistemaPosmatra se jedan od tapova u sklopu nosaa - tap j, tipa kDa se naglasi da se osnovna jednaina (23) odnosi ba na tapj, uvodi se oznaka tapa kao gornji indeks:

Rj = Kjqj Qj (24)

U jedn. (24) nepoznata su vorna pomeranja qj , dok sumatrica krutosti Kj i vektor ekvivalentnog optereenja Qj

poznati - odreuju se iz geometrije i zadatog optereenja dutapa





Jednaine ravnotee sistemaU cilju razdvajanja doprinosa svakog tapa na vorove nasvojim krajevima, vri se particija vektora vornih sila i vornihpomeranja po vorovima na kraju tapa:

Rj =

{RjiRjk

}qj =

{qjiqjk

}

Broj vektora vornih pomeranja qi jednak je broju vorova Ku posmatranom nosau: i = 1, 2, . . . ,KPri tome svaki vektor vornih pomeranja qi ima onolikokomponenti koliko ima stepeni slobode u posmatranom voru(za nosa u ravni od 0 do 3)





Jednaine ravnotee sistemaNepoznati vektori vornih pomeranja qi odreuju se iz uslovaravnotee sila u izdvojenim vorovimaU pojedinim vorovima postoje spoljanje veze kojeograniavaju pojedine stepene slobode kretanja, odn.pretstavljaju granine uslove, jer je nosa, po definiciji,nepokretan sistemPrema tome, neki od stepeni slobode kretanja su unapredpoznati, zbog postojeih graninih uslova





Jednaine ravnotee sistemaKada se postavljaju uslovi ravnotee sila u vorovima, vornesile se, prema vezama oblika (23), izraavaju preko vornihpomeranjaU takvim uslovima ravnotee sila u vorovima figuriu i vornapomeranja koja su poznata zbog datih graninih uslovaPoznata vorna pomeranja mogu da se eliminiu iz uslovaravnoteeNepoznata vorna pomeranja u posmatranom nosau odreujuse iz uslova ravnotee sila u slobodnim vorovima





Jednaine ravnotee sistemaJedino su u spoljanjem ukljetenju spreana sva vornapomeranja (ukinuta su sva 3 stepena slobode kretanja zanosa u ravni)Drugi oslonci (npr. nepokretan ili pokretan zglob) ukidajusamo neki od stepena slobode kretanjaDakle, u formiranju jednaina ravnotee sila u vorovimanosaa, mogu da se odmah eliminiu (uklone) poznatapomeranja (granini uslovi) i da se dobije sistem jednaina ukome figuriu samo nepoznata pomeranja





Jednaine ravnotee sistemaAlternativno, mogue je da se iz sistema jednaina ravnoteesila u vorovima ne uklone poznata pomeranjaU tom sluaju iz uslovnih jednaina mogu da se dobiju inepoznate reakcije veza (sile u vorovima koje odgovarajupoznatim pomeranjima)Posmatra se vor i koji je izdvojen iz nosaa (u skladu saAksiomama statike)Uticaj uklonjenih tapova u voru, npr. tapa j, zamenjen jesilama veze, odn. silama na krajevima tapova Rjm , m=1,2,3





Jednaine ravnotee sistema

Sile na kraju tapa j, Rjm , pozitivne su u pozitivnimsmerovima osa globalnog sistemaPo Principu akcije i reakcije uticaj tapa na vor je dat sa istimsilama ali suprotnih smerovaPrema tome, uticaj tapa j na vor i u kome je tap vezan,ogleda se silama Rjm , m = 1, 2, 3, koje su pozitivne unegativnim smerovima globalnih osa





Izdvojen vor i iz nosaa u ravni i sile koje deluju na vor:- uticaj uklonjenih tapova na vor- spoljanje koncentrisane sile koje deluju na vor





Jednaine ravnotee sistemaOsim sila koje sa uklonjenih tapova deluju na vor, na vormogu da deluju i spoljanje koncentrisane sile u voruTo su sile P i koje su pozitivne u pozitivnim smerovima osaglobalnog sistemaAko je broj tapova j koji su vezani voru i jednak ni, onda suuslovi ravnotee sila u voru i dati, u vektorskom obliku, sa:

P i nij=1

Rji = 0 (25)





Jednaine ravnotee sistemaOsnovna jednaina optereenog tapa j data je sa:

Rj = Kjqj Qj (26)

Imajui u vidu vorove i i k tapa j, vri se particija vektora imatrica u jedn. (26) na subvektore i submatrice premavorovima tapa{

RjiRjk

}=

[Kjii K

jik

Kjki Kjkk

]{qjiqjk

}{QjiQjk

}(27)






Subvektori Rji i Rjk su vorne sile tapa j koje su na

krajevima tapa j ka vorovima i i kSlino, subvektori qji i q

jk su vektori pomeranja vorova, dok

su Qji i Qjk vektori ekvivalentnog optereenja tapa j koji

deluju u vorovima i i kNajzad, submatrice Kjii , K

jik i K

jkk su vorne matrice

krutosti tapa j






vorne sile tapa j u voru i, Rji , mogu da se dobiju izjednaine (27) u obliku:

Rji = Kjii q

ji +K

jik q

jk Qji (28)

Unosei ove sile u jedn. ravnotee sila u voru i (25), dobija se

P i nij=1

(Kjii qji +K

jik q

jk Qji ) = 0 (29)





Jednaine ravnotee sistemaUvode se oznake

Kii =nij=1

Kjii

Kik = Kjik (i 6= k)

Qi =nij=1

Qji

(30)

pa se jednaina ravnotee sila u voru i dobija u obliku

Kiiqi +

k

Kikqk = P

i +Q

i (31)






Matrica Kii jednaka je zbiru svih vornih matrica krutosti Kjii

tapova j koji su povezani u voru iMatrica Kik postoji samo ako su vorovi i i k meusobnopovezani i jednaka je matrici Kjik tapa j koji povezujevorove i i kVektor vornih sila Qi jednak je zbiru subvektoraekvivalentnog optereenja Qji za vor i po svim tapovima jkoji su povezani u voru i (i naravno, optereeni du tapa)





Jednaine ravnotee sistemaAko se vektori P i i Q

i saberu:

P i +Qi = S

i

jednaine ravnotee sila u voru i (31) mogu da se prikau kao:

Kiiqi +

k

Kikqk = S

i (32)

Jednaina ravnotee (32) ima onoliko koliko ima vorova:i = 1, 2, . . . ,K





Jednaine ravnotee sistemaAko se napiu sve jednaine (32), i = 1, 2, . . . ,K, mogu da seprikau kao jedna matrina jednaina:

Kq = S (33)

Matrica K je matrica krutosti sistema tapova, vektor q jevektor pomeranja vorova nosaa, dok je S vektoroptereenja (vektor slobodnih lanova u jednainama)





Jednaine ravnotee sistemaMatrica krutosti sistema tapova je kvadratna matrica sa Ksubmatrica Kik, (i, k = 1, 2, . . . ,K), gde je K ukupan brojvorova nosaa:

K =

K11 K12 K1k K1KK21 K22 K2k K2K...

......

...Ki1 K

i2 Kik KiK

......

......

KK1 KK2 KKk KKK

(34)





Jednaine ravnotee sistemaDijagonalni blokovi (submatrice) Kii su uvek razliiti od nule,dok vandijagonalni blokovi Kik postoje samo ako su vorovi i ik meusobno povezani, inae su Kik nulti blokoviPrema tome, matrica krutosti sistema tapova nije punamatrica, ve je trakaste strukture koja zavisi od topologijenosaa, kao i od naina numerisanja vorova nosaaRed matrice krutosti K zavisi od broja stepeni slobode usvakom voru: maksimalno je 3KNapominje se da u jednainu (34) nisu uneti granini uslovi





Jednaine ravnotee sistemaVektori vornih pomeranja q i vornih sila S imaju po Ksubvektora qi i Si, (i = 1, 2, . . . ,K), od kojih svakisubvektor ima onoliko elemenata koliko ima stepeni slobode uposmatranom voru i (maksimalno po 3):

q =

q1q2...qi...qK

S =

S1S2...Si...SK

(35)





Jednaine ravnotee sistemaOsnovne osobine matrice krutosti K su sledee:

- matrica K je kvadratna matrica reda N , gde je N 3K ipretstavlja ukupan broj stepeni slobode (broj generalisanihkoordinata, odn. pomeranja vorova nosaa)

- matrica K je simetrina- matrica K je trakaste strukture- matrica K je singularna

Kako su sve vorne matrice krutosti, kao i matrice krutostipojedinih tapova, simetrine, to je i matrica K simetrina,jer se dobija sabiranjem i rasporeivanjem vornih matricakrutosti





Jednaine ravnotee sistemaTrakasta struktura matrice krutosti je zavisna od topologijeposmatranog nosaa, kao i od naina numeracije vorovanosaaMatrica krutosti sistema tapova K je singularna, odn. rangmatrice krutosti je manji od reda matrice N i ne postojiinverzna matricaNeki od redova (ili kolona) matrice krutosti su meusobnozavisni, jer u jednaine ravnotee (33) nisu uneti odgovarajuigranini uslovi po pomeranjimaZnai, odgovarajua pomeranja oslonakih vorova su poznata(obino su jednaka nuli)





Jednaine ravnotee sistemaTo to u matricu krutosti K nisu uneti granini uslovi popomeranjima znai da su u vektoru pomeranja q sadrana ipomeranja nosaa kao krute ploe (kao krute figure) u ravni,tako da poloaj nosaa nije definisanDa bi se odredio poloaj sistema u ravni, neophodno je da sezadaju konturni uslovi, odn. da se unesu uslovi oslanjanjanosaaZa unutranje kinematiki stabilne ravne sisteme minimalanbroj konturnih uslova je tri, poto sistem, kao kruto telo uravni, raspolae sa tri stepena slobode kretanja




Sadraj






Analiza linijskih nosaa u ravni

Formiranje globalne matrice krutosti

Matrice krutosti tapova (punih i reetkastih) u lokalnimkoordinatama zavise od

- duine tapa . . . `- geometrijskih karakteristika poprenog preseka . . .F, J- karakteristika materijala . . .E

Matrice krutosti tapova u globalnim koordinatama zavise jo iod

- poloaja tapa u odnosu na globalni sistem . . . ugao = (X,x)





Ulazni podaci o raunskom modelu (text file)

Ulazni podaci koji definiu raunski model posmatranog nosaasastoje se iz sledeih celina:

- opti podaci o raunskom modelu (naziv, vrsta analize, . . . )- podaci o topologiji nosaa: koordinate vorova i povezanosttapova

- podaci o poprenim presecima i o materijalima- podaci o graninim uslovima- podaci o optereenju: osnovni sluajevi optereenja ikombinacije optereenja

U posmatranom nosau (u ravni, ali i u 3D) svaki vor i svakitap imaju svoj jedinstveni identifikacioni broj






Numeracije vorova, kao i tapova, meusobno su nezavisne ipoinju sa 1,2,3,. . .Za svaki vor unose se koordinate taaka (u globalnomsistemu)Za svaki tap unose se globalni brojevi prvog i drugog vora(i, k), pri emu je lokalna x osa orjentisana od i ka kFormiraju se liste razliitih poprenih preseka i razliitihmaterijala u modelu nosaaUnose se podaci o graninim uslovima: koji vor je granini ikakvi su granini uslovi






Unose se podaci o osnovnim sluajevima optereenja:- naziv sluaja optereenja (eventualno i redni broj)- podaci o koncentrisanim silama i spregovima u vorovimanosaa

- podaci o raspodeljenim optereenjima du osa tapova:konstantna, trougaona ili trapezna raspodeljena optereenja

- podaci o koncentrisanim optereenjima du ose tapa(mada je mogue da se tap podeli na 2 dela na mestukoncentrisanih uticaja, pa da uticaji budu u novom voru)

- podaci o temperaturnim uticajima du ose tapa

Podaci o kombinacijama osnovnih sluajeva optereenja





Formiranje globalne matrice krutostiU fazi uitavanja i analize ulaznih podataka svakom vorunosaa dodeljuju se globalni brojevi za vorna pomeranja utom voruTi globalni brojevi vornih pomeranja pretstavljaju rednebrojeve (redosled) nepoznatih generalisanih pomeranja uukupnom vektoru generalisanih pomeranja q

Za svaki tap time su odreeni globalni brojevi vornihpomeranja njegovih vornih taaka i i kZa sve tapove koji su vezani u zajednikoj vornoj takiglobalni brojevi vornih pomeranja u zajednikom voru su isti





Formiranje globalne matrice krutostiPrema tome, svaki tap, recimo tipa k, ima svojih 6 lokalnihstepeni slobode (ui, vi, i, uk, vk, k) i svaka od tihgeneralisanih koordinata ima svoj jedinstven globalni redni brojGlobalni redni brojevi vornih nepoznatih nazivaju se kodnibrojeviZa svaki tap se formira odgovarajua matrica krutosti, prvo ulokalnom sistemu, a zatim i u globalnom sistemuMatrica krutosti tapa j u globalnom sistemu ima razdvojenesubmatrice koje odgovaraju njenim vorovima i i k:kjii ,k

jik ,k

jki = k

jik ,k

jkk (vorne matrice krutosti)





Formiranje globalne matrice krutostiPosle toga vri se sabiranje matrica krutosti po svimelementima (assembly)Prvo se alocira memorijski prostor za globalnu matricu krutostinosaa K i svi elementi se iniciraju sa nulomZatim se redom, za svaki tap j, u globalnu matricu krutostinosaa unose vorne matrice krutosti kjii ,k

jik ,k

jki ,k

jkk, pri

emu se vorne matrice unose u pozicije globalne matrice kojeodgovaraju globalnim brojevima vornih pomeranjaposmatrane vorne matrice (postupak kodnih brojeva)





Formiranje globalne matrice krutostiKada se na istoj poziciji nau vorne matrice krutosti dva ilivie tapova, elementi matrica vornih krutosti se sabirajuKada se saberu matrice krutosti svih tapova, odn. unesuvorne krutosti svih tapova na odgovarajue pozicije globalnematrice krutosti, formirana je matrica krutosti sistema tapovau globalnom sistemu K





Formiranje vektora slobodnih lanovaZatim se vri formiranje vektora slobodnih lanova u globalnimkoordinatama S

Vektor slobodnih lanova ine spoljanje sile koje su direktnokoncentrisane u vorovima nosaa, P , kao i vektorekvivalentnog optereenja koji pretstavlja uticaj spoljanjegoptereenja du tapova nosaa R:

S = P +R





Formiranje globalne matrice krutostiZa svaki tap koji je optereen du svoje ose formira se vektorekvivalentnog optereenja, prvo u lokalnom, a zatim uglobalnom sistemuVektor ekvivalentnog optereenja pripada vorovima i i ktapa na kome se nalazi raspodeljeno optereenjePri tome se zna koji su globalni brojevi (kodni brojevi)nepoznatih pomeranja u posmatranom voruAko je vie optereenih tapova vezano u istom voru,odgovarajue komponente vektora ekvivalentnog optereenja utom voru se sabiraju





Formiranje globalne matrice krutostiNa slian nain se formira i vektor slobodnih lanova, koji jedat kao odgovarajui zbir vektora koncentrisanih sila uvorovima nosaa, kao i vektora ekvivalentog optereenja kojipotie od optereenja du tapovaTako dobijen sistem jednaina

Kq = S

ne moe da se rei, jer je matrica krutosti sistema tapovasingularna matrica - nisu uneti granini uslovi




Sadraj







Unoenje graninih uslovaU vektoru vornih pomeranja q vei deo su nepoznatageneralisana pomeranja, a jedan deo su poznata pomeranjaoslonakih vorovaAko se nepoznata vorna pomeranja oznae sa qf , a poznatavorna pomeranja sa qb , onda je mogue da se izvri particija:

q ={qfqb

}





Unoenje graninih uslova

Takoe, mogue je da se jednaine ravnotee (33) prikau udekomponovanom obliku koji odgovara razdvajanju nepoznatihi poznatih pomeranja:[

Kff Kfb

Kbf Kbb

]{qfqb

}=

{SfSb

}(36)

Jednaina (36) moe da se napie u vidu dve jednaine:

Kffqf +K

fbq

b = S

f

Kbfqf +K

bbq

b = S

b

(37)






Iz prve od jednaina (37) dobija se vektor nepoznatih vornihpomeranja:

qf = K1ff (S

f Kfbqb ) (38)

Imajui u vidu da je

Sb = Rb +Q

b

iz druge od jednaina (37) dobja se vektor nepoznatih reakcijaoslonaca:

Rb = Kbfq

f +K

bbq

b Qb (39)





Unoenje graninih uslovaGranini uslovi mogu da budu:

- homogeni . . . qb = 0- nehomogeni . . . qb 6= 0

U sluaju homogenih graninih uslova dobija se:1 vektor nepoznatih vornih pomeranja

qf = K1ff S

f

2 vektor nepoznatih reakcija veza

Rb = Kbfq

f Qb = KbfK1ff Sf Qb






U sluaju nehomogenih graninih uslova (zadata pomeranjaoslonaca), koriste se izrazi (38) i (39)Meutim, u realnoj implementaciji matrine analize linijskihnosaa, odn. u izradi odgovarajuih raunarskih programa,koriste se drugi pristupi unoenja graninih uslova:

1 redukcija matrice krutosti2 transformacija matrice krutosti

Svaki stepen slobode kretanja, odn. svaka komponentapomeranja, nepoznatog ili zadatog graninim uslovima, imasvoj jedinstven redni broj, prema kome se i unosi u matricukrutosti





Unoenje graninih uslovaRedukcija matrice krutosti znai sledee:

- neka je, npr. m redni broj stepena slobode koji je poznat, odn.zadat graninim uslovom (jednak je nuli)

- vrsta broj m i kolona broj m uklone se iz matrice krutosti,ukljuujui i element m u vektoru slobodnih lanova (unesu senulte vrednosti)

- sve vrste (redovi) matrice krutosti ispod reda m translatornose pomere na gore za jedan red, tako to red m+ 1 dospe upoziciju reda m i tako to poslednji red N dospe u pozicijureda N 1

- sve kolone matrice krutosti desno od kolone m translatorno sepomere levo za jednu kolonu, tako to kolona m+ 1 dospeva ukolonu m, a poslednja kolona N dolazi u poloaj kolone N 1






Redukcija matrice krutosti znai sledee (nastavak):- na taj nain, za jedan granini uslov matrica krutosti se smanjiza jedan: sa reda N na red N 1

- takva redukcija matrice krutosti, kao i vektora slobodnihlanova, vri se redom za sve granine uslove po generalisanimpomeranjima

- time se dobija redukovana matrica krutosti koja se odnosisamo na nepoznata generalisana pomeranja, kao i redukovanvektor slobodnih lanova

- tako dobijena redukovana matrica krutosti je regularnakvadratna simetrina matrica koja ima inverznu matricu





Unoenje graninih uslovaTransformacija matrice krutosti znai sledee:

- neka je zadat granini uslov po pomeranjima: qm = 0, gde jem globalni broj promenljive (generalisanog pomeranja) q

- u matrici krutosti postojeem elementu na glavnoj dijagonalina mestu (m,m), dakle elementu kmm koji odgovara vornompomeranju qm, dodaje se jako veliki broj

- jako veliki broj se dobija kada se najvei broj u matricikrutosti (to je, obino, neki od elemenata na glavnojdijagonali) pomnoi sa, recimo, 106






Transformacija matrice krutosti znai sledee (nastavak):- isto se uradi i sa svim ostalim zadatima graninim uslovima:na glavnoj dijagonali matrice krutosti, na mestima zadatih(homogenih) graninih uslova dodaju se veliki brojevi

- takvom transformacijom matrice krutosti ne menja se redmatrice, jedino se glavnoj dijagonali, na mestima kojaodgovaraju zadatim graninim uslovima, dodaju veliki brojevi

- posledica takve transformacije matrice krutosti je da supromenjeni elementi na glavnoj dijagonali matrice krutosti kojiodgovaraju rednim brojevima vornih pomeranja koja suzadata graninim uslovima (jednaka su nuli)






Transformacija matrice krutosti znai sledee (nastavak):- tako transformisana matrica krutosti nije vie singularna (imainverznu matricu) i sistem jednaina moe da se rei

- zbog unetih jako velikih brojeva na glavnu dijagonalu matricekrutosti ne mestima koja odgovaraju zadatim graninimuslovima, u reenju se dobijaju nule za vorna pomeranja kojasu zadata homogenim graninim uslovima (jer se deli sa jakovelikim brojem)

Metoda transformacije matrice krutosti vie je u upotrebi odmetode redukcije jer se lake implementira u programu


Matricna analiza linijskih nosaca u ravniPuni tapovi u lokalnom sistemuPuni tapovi u globalnom sistemu

Analiza linijskih nosacaJednacine ravnotee sistemaFormiranje globalne matrice krutostiUnoenje granicnih uslova

mke_2a

Documents

Transcript of mke_2a