MITŐL TANULUNK MEG GONDOLKODNI (HA MEGTANULUNK)?

Sokan ismerjük hallomásból a magoltatós iskolát, ahol a tanár egy-egy

feladat megoldásához előírja az egyedül üdvözítő algoritmust, amelyet a

gyerek, ha rákerül a sor, köteles szó szerint felidézni. És sokan hallottunk már

amerikai iskolákról, ahol a tanár rábízza a gyerekre, hogy addig próbálkozzék,

amíg maga rá nem jön egy-egy feladat megoldására.

A két iskola – akár tudja ezt a tanára, akár nem – megfelel annak a két

válasznak, amelyet a viselkedés-pszichológia ad arra a kérdésre, hogy hogyan

tanuljuk meg a problémák megoldását. Az egyik válasz szerint a kiindulás

mindig valamilyen ingerhez szilárdan hozzákapcsolt aktus, ami azután az

aktust egyre újabb ingerekhez kapcsolhatja, az ingerhez pedig újabb

aktusokat. A másik válasz szerint viszont az aktusok véletlenszerűen állnak elő

s ezeket az ingerek utólag szortírozzák olyanokra, amelyek kipróbálásuk során

beváltak, és olyanokra, amelyek nem.

Kérdés, persze, mihez kezd a gyerek akár az egyik, akár a másik

iskolában, ha feladják neki a következő feladatot:

“Az ABCD zárt mértani síkidom egy trapéz. Bizonyítandó, hogy az AC és

a BD átlók, továbbá az AB és a CD oldalak által képezett

ABO és CDO háromszögek területe egyenlő.”

A gyerek e feladat által provokálva, úgy tűnik, nem a viselkedés-

pszichológia leírásának megfelelően jár el, mert akár próbálkozásba fog, akár

pedig a járt úton indul el, vielkedését kétségtelenül meghatározza, hogy nem

egyszerűen ingerek egy halmazához idomul, hanem olyanokhoz, amelyeknek

jelentése van: trapéz, meg háromszög, továbbá terület, meg egyenlő, s

amelyeket ez a jelentés az őt hordozó jellé szervez.

Ilyen jelentést hordozó jel irányítja a gyermek cseppet sem vak

próbálkozását, amelyet például annak érdekében tesz, hogy az ABO és a BDO

háromszögek területét

a háromszög területével kapcsolatos tudásának megfelelően ugy számítsa ki,

hogy AB alapnak Ox magassággal, illetva CD alapnak Oy magassággal való

szorzatát felezze. Minthogy itt a kérdéses alapokról, illetve magasságokról

mitsem lehet tudni, ezért a próbálkozás – bármily kevéssé hasonlít is a

viselkedéspszichológia által leírt vakpróbálkozáshoz – nem vezet sehová.

Miután ez kitetszik, igen nagy a valószínüsége, hogy a gyerek most például

arra tesz kísérletet, hogy

BO alap és Ax magasság, illetve CO alap és Dy magasság tekintetében

végezze el ugyanazokat a müveleteket, s a próba itt ugyanazt a kudarcot

eredményezi. Biztos továbbá, hogy a következő zsákutcától, amelyben BO

helyett AO, CO helyett pedig DO alapokkal s az ezekhez tartozó

magasságokkal (amelyek, mellesleg, azonosak az előző megoldási kísérletben

tekintetbe vett magasságokkal) próbálkozik csak egy olyan belátás menthetné

meg, hogy ez utóbbi eljárásnak a logikája ugyanaz lenne, mint az előbbié. Az

ilyen logikai belátás azonban semmiképpen sem illeszkedik bele a próba-

szerencse tanulás viselkedéspszichológiai mintájába, amelynél a megoldási

kísérlet teljes információ-hiány mellett indul.

Azonban nem jobban illeszkedne bele a belátás mozzanata a másik

viselkedés-lélektani paradigmába sem, amelynél a gyerek olyan ingert kapna,

amely magába foglalná a teljes információt:

"Hasonlítsd össze ABD és ACD háromszögeket, amelyek

l., egyenlőek, mert

AD alapjuk közös, az egyiknek Bx magassága pedig egyenlő a másiknak Cy

magasságával, minthogy mindkettő a trapéz magassága;

2., ha kivonod belőlük közös részüket, az AOD háromszöget, megkapod

maradékként a kérdéses AOB, illetve COD háromszögeket, amelyek

egyenlősége ilymódon bizonyítást nyert."

Ha (vagy amikor) a megadott inger tényleg a teljes információt hordozza,

akkor nincs szó gondolkodásról (mert nincs szükség rá), csak az ingerre történő

reagálásról. Ha viszont tényleg teljes információ-hiány állna fenn, akkor

gondolkodás helyett (amelyre ezúttal lehetőség nem volna) valóban vak-

próbálkozás forogna fenn. Gondolkodásra valójában olyankor kerül sor, amikor

e két szélsőség között szituálja az embert az a tény, hogy részleges információ

áll rendelkezésére részleges információ-hiánnyal: a gondolkodás az ezzel

kapcsolatos probléma megoldását nyújtja, a belátásnak abban a pillanatában,

amikor az ember maga jön rá arra, amit – példánknál maradva – a fenti

idézőjelbe tett közlés tartalmaz.

Nem csoda, ha a gyereknek a spontán próbálkozás felelősségteljes

örömét nyújtó iskolában a matematika-oktatás ugyanazt a 10%-os hatásfokot

nyújtja, mint ott, ahol – akár magoltatással, akár szemléltetéssel – a gyereket a

tanártól kapott ingerre történő reagálásra kárhoztatják.

*

A helyzet az, hogy az akadály és az eszköz technikailag határozzák meg,

hogy mit lehet, illetve hogy mit szükséges tennie az egyednek: amerre akadály

van, arra nem lehet haladnia a cél felé, amerre viszont eszköz van az akadály

leküzdésére, arról nem szükséges kerülőútra térnie. Az ember viszont

azonkívül, hogy egy célt adott úton el lehet-e érni, számol azzal is, hogy egy

eszközt adott módon fel szabad-e használni, s hasonlóképpen amellett, ami

miatt az akadályt adott esetben szükséges kikerülni, számol azzal is, ami miatt

érintetlenül kell hagyni, ami tiltva van. A cél, az akadály és az eszköz mellett

az embernél a tabu a tárgyi tevékenység szerkezetének negyedik összetevöje,

amely azon keresztül, hogy mit szabad és hogy mit kell, szociálisan

szabályozza a tevékenységet.

A gondolkodást általában a problémahelyzet technikai meghatározóival

szokták összefüggésbe hozni, s ha valaki szociális tekintetben rosszul old meg

egy problémát, akkor általában nem a gondolkodását hibáztatják. Igy nem

gondolkodási hibáért ítélte el például annak idején egy francia bíróság azt az

embert, akinek éhsége csillapításához rendelkezésére állt tojás, zsiradék, só s

egy serpenyö, a rántotta megsütéséhez hiányzó eszközt pedig az Étoile-on, a

Diadalív alatt, az Ismeretlen Katona Sírján lobogó örökmécsesnél találta meg,

amelynek lángja technikailag tényleg alkalmas volt e táplálék elkészítéséhez.

Azonban a tevékenység szociális összetevöje bármikor beléphet a

gondolkodás meghatározói közé, méghozzá anélkül, hogy az ember

észrevenné. Ez történt például a következő esetben, amelynek finom

megfigyelését és leírását egy franciaországi diákom által készített egyetemi

esettanulmánynak köszönhetem:

A diák: húszéves lány, aki nyáron elszegödik egy távoli rokonához, egy

tükörkészítő kisiparoshoz dolgozni. A mühelyben patriarchális viszonyok

uralkodnak s a tényleges fönök a könyvelö: ő tartja számon a különböző

dolgokat, ráadásul valamikor matematika-tanárnő volt, tehát a kisujjában

vannak a számítások. Vitás helyzetben mindenki az ő véleményét várja hát, s

ha ez elhangzik, mindenki öreá hallgat.

Történt egy alkalommal, hogy egy új ügyfél 5cm x 7cm nagyságú tükröt

rendelt, s amíg a fökönyvelönő tudata egyebütt volt lekötve, a diáklány már ki

is számította, hogy az 35cm2. Erre aztán felfigyelt a fökönyvelönő és

helyesbített: 3,5cm2. A diáklány gondolta, hogy még mindig nincs ott a volt

matematika-tanárnak a feje, s emlékeztette rá, hogy 5 x 7 = 35. A nő erre

nem az egyedül adekvát választ adta – "Ja, tényleg!", – hanem pedagógushoz

méltó buzgalommal elmagyarázta, hogy 5cm = 0,05m, hasonlóképpen 7cm

= 0,07m, márpedig lévén 0,05m x 0,07m = 0,035m2, a kérdéses eredmény

3,5cm2.

Mindeközben a vita tanúi, akik annak elején világosan látták, hogy a

lánynak van igaza, ezen a ponton éppolyan világosan belátták a fökönyvelő i-

gazát. Persze, ha a diákom sorra félrevonta volna a kollégáit és megkérdezte

volna mindegyiktől: "Magunk között, mennyi ötször hét?" – akkor valameny-

nyien tudták volna a helyes választ, amelynek megtalálása technikai kérdés.

De ilyen vagy olyan számítást végezni, ez nem csak egy feladat technikai

lefuttatását jelenti, hanem egyszersmind szociálisan minösíti azt, aki végzi.

Például megmondani, mennyi ötször hét, olyan müvelet, amelyet bárki el tud

végezni, tehát olyan, amelynek elvégzése az embert mint bárkit minösíti. Ezzel

szemben átszámítani a cm-t m-re, ez utóbbiból kiindulva m2-t számítani, végül

ezt átszámolni cm2-re – olyan operáció, mely alkalmas arra, hogy valakit mint

számtantanárt minösítsen. S az iskolát járó vagy már kijárt személyek ama

90%a számára, amely a matematikát értök 10%-ával áll szemben, a

számtantanár szociális funkciója az iskola mai struktúrájában a következö: ő az

a személy, aki kellő magabiztossággal okoskodik, sokkal bonyolultabb nála

minden, mintsem követni lehetne, de úgyis neki van igaza.

Mármost a számtantanárból lett könyvelő pontosan ennek a képnek

megfelelöen járt el. Persze, a lónak kétszer annyi lába van, mint a

számtantanárnak, mégis botlik: ki tudja azt pontosan megítélni, hogy ha nullát

is tartalmazó tizedesszámot szoroz össze nullát is tartalmazó tizedesszámmal,

akkor az eredménynek több vagy kevesebb vagy ugyanannyi nullát kell-e

tartalmaznia. Az egészben pszichológiai jelenségként nem is ez az érdekes,

hanem az, hogy a technikai müvelet szociális szituálása nemcsak azokat

fosztja meg attól a lehetöségtöl, hogy az egyszerüen átlátható

összefüggéseket illetöen belátásra jussanak, akik tisztán technikai oldaláról

tekintve képtelenek a mennyiségtani okoskodásra, hanem maga a volt

számtantanárnő is képtelen korrigálni a hibáját, amelyröl azért

feltételezhetjük, hogy véletlen volt.

Lehetséges tehát, hogy a gondolkodás képessége arra, hogy a dolgok

összefüggéseit helyesen rendezze struktúrába, ne nyilvánulhasson meg olyan-

kor, ha magának a valóságos tárgyi tevékenységnek a célok, akadályok, eszkö-

zök és tabuk körül szervezödő struktúrája ezt valamiképpen gátolja. S ha ez így

van, akkor megfogalmazható a feltevés, mely szerint annál a 90%-nál, amely-

nél iskolás korban ki sem alakulnak az egzakt gondolkodás struktúrái, a

tevékenység egyszerre technikai és szociális struktúrájával van valamilyen

hiba.

Milyen hibáról lehet szó?

A Vigotszkij iskola, mindenekelött pedig olyan képviselöje, mint Galperin

azt találta, hogy a hiba azé a módé, ahogyan a tevékenység struktúrája

illeszkedik a tárgyakéhoz.

Tegyük fel, hogy a gyereknek meg akarjuk tanítani, hogy 3 + 5 = 8. El-

járhatunk úgy, ahogyan az a lelkes pedagógus, aki a Szovjetúnió Honvédő Há-

borújának idején valahol a hátországban, az Ural tájékán próbálta rávenni a

gyerekeket, hogy a matematikával megbarátkozzanak s a majd valamikor húsz

év múlva megállapításra kerülő 10%-os statisztikát javítsák. Ennek érdekében

otthon éjszaka rajzolt egy gyönyörü tankot, ötágú csillaggal és géppuskával,

sokszorosította. Másnap aztán minden gyereknek osztott vagy egy tucatot e

remekbe szabott tanügyi segédeszközböl, s a gyereknek nem 3 koronghoz

kellett hozzátenni 5 korongot, hogy ezen unalmas kincstári tárgyak összegét

leszámlálja, hanem megannyi tankot, amelyek egyből lekötötték a gyermekek

figyelmét. Hiszen ki tud ellenállni tankoknak, amikor éppen háború van és

abban élünk, hogy jön az ellenség és akkor a mi tankjaink… Miközben a tanár

mondta: "Akkor vegyetek három tankot…", a gyerekek meg is állapították,

hogy ezek közül egyik sem fasiszta tank, mert mindhármon rajta van az ötágú

csillag. Hát még amikor a tanár újabb felszólítására vettek még öt tankot, s az

egyik gyerek felfedezte, hogy nemcsak ötágú csillag van rajtuk, de még egy

ágyú is. Az semmi, kiáltott fel egy másik gyerek, amikor a tanár tudakozódott,

hogy akkor mennyi is lesz a három tank meg az öt tank összesen, itt még egy

géppuska is van, csak rosszul látni… S így végül a gyerekek mindent tudtak,

amit e szemléltető oktatás alapján a tankokról tudni lehet, s csak azt nem

tudták, hogy mennyi 3 + 5, mert tevékenységükbe a meghatározó

tárgyegyüttes úgy kapcsolódott bele, hogy három tank meg öt tank, nem

pedig úgy, mint három tank meg öt tank.

Mint fentebb már mondtam, nem arról van szó, hogy a lélek struktúrája

szemben állna egy tárgy struktúrájával, s a gondolkodás képességének meglé-

te vagy hiánya attól függne, megfelel-e egymásnak e két sorsszerűen adott

struktúra (például a matematikai összefüggések srófjára jár-e az ember agya)

vagy sem. Hanem arról van szó, hogy a gyereknek van egy materiális tevé-

kenysége és ezt a tevékenységet – ha tetszik, ha nem – a külső tárgyi világ i-

rányítja. A külső tárgyi világ azonban többértelmü és a felnőtt arra jó (többre

nem, de arra igen), hogy megpróbálja a külső tárgyi világot így és nem más-

képp tagolni a gyermek tevékenysége számára. A gondolkodás ideális tevé-

kenységében pedig attól függően alakul ki ilyen vagy olyan struktúra, hogy a

materiális tevékenység mire irányul a tárgyban. Esetünkben: arra-e, hogy

tank, vagy pedig arra, hogy három, meg hogy öt van belőle.

Ha mármost ezt tudja az ember, akkor mesterségesen kialakítandó eljá-

rással úgy intézheti, hogy a tevékenység a maga struktúrájával éppen azt ké-

pezze le a tárgyból, ami ennek struktúrájában az adott (például a matematikai)

összefüggésben lényeges. Igy ha lehelyezünk a gyerek elé három meg öt szál

gyufát, rávehetjük öt, hogy rábökjön mindegyikre, sorrendben nevezve meg a

természetes számok neveit, s ez a tevékenység valamiképpen megfelel annak,

hogy 8, amiröl mi tudjuk, hogy ennyi 3 + 5. Ám milyen tevékenység

feleltethető meg annak, hogy a nyolc így van tagolva?

Vegyenek két gyufásdobozt és kérjék meg a gyereket, hogy tegyen be az

egyikbe három, a másikba öt gyufát. Kérdezzék meg mennyi van egyikben is,

másikban is. Az elsöosztályos vagy éppenséggel óvodás gyerek megnevezi

mindkét számot, s tanúságként le is számlálja: egy – kettő – három; egy – kettő

– három – négy – öt. Ezek után kérdezzék meg, mennyi van összesen: a gyerek

a megtanult technikával végigszámolja: egy – kettő – három – négy – öt – hat –

hét – nyolc.

Ez még nem összeadás, ez még nem matematikai gondolkodás.

A matematikai gondolkodás ott kezdődik, amikor megkérik a gyereket,

fogja a gyufásdobozt, amelyikbe három gyufát tett és csukja be. "Hány szál

gyufa van benne?" "Három" – mondja a gyerek rövid gondolkodás után,

amelynek során önök látják, ahogy a gyerek újja csökevényesen követi a

gondolatot, amely leszámláltatja vele a szeme elöl eltünt gyufákat.

Ismételtessék meg ugyanezt a müveletet az öt gyufát tartalmazó dobozzal. Ha

ezek után megkérdezik a gyereket, hány gyufásdoboza van, egy pillanatig

habozik ugyan, mert váratlanul éri a kérdés (eladdig a gyufaszálak számát

tudakolták töle), de valószínüleg csak alig fogja az ujját mozgatni, hogy

összeszámolja: "Kettő". "És hány szál gyufa van benne?" Rövid gondolkodás,

csökevényes ujjmozgatással, amely a gyufásdobozok határán egy pillanatra

megtorpan, de folytatja, nem pedig újrakezdi az útját: "Nyolc".

S emögött a válasz mögött már matematikai gondolkodás van, a

megfelelöen struktúrált tevékenységben megszületett számfogalommal.

Amelyhez éppúgy hozzátartozik, hogy kettő van neki valamiböl, mint hogy

nyolc van neki valamiböl, minthogy az elöbbi valamiböl az első az utóbbi

valamiböl hármat, a második meg ötöt tartalmaz, és csak így áll elö, hogy

3 + 5 = 8.

S azokban az óvodai csoportokban és iskolai osztályokban, ahol a tár-

gyak halmazelméleti összefüggéseivel ismerkedő gyermeknél ma már az ezek-

hez illeszkedő tevékenység-struktúra alakítja a gondolkodást, eltünik a határ,

amely a legkülönfélébb iskolák tanulóinak 90%-át egykor reménytelenül

kirekesztette azok köréből, akik valaha is megérthetik a matematikát.

*

Jogos azonban feltenni a kérdést, hogy ha sem a magoltatás, sem a

szemléltetés, sem a gyermek saját aktív próbálkozásaira építő módszer nem

alkalmazta a tárgyi struktúra és a gondolkodás struktúrája között nélkülözhe-

tetlen közvetítést – az elöbbi által megfelelöen struktúrált s az utóbbit

megfelelően struktúráló tevékenységet – akkor hogyan állt elő annak idején az

a tíz százalék, amely mindennek ellenére mégis értette a matematikát.

E ponton vissza kell emlékezni arra, hogy az ember értelmes tevé-

kenységét abban láttuk különbözönek az állatok értelmes tevékenységétől,

hogy nem csak a biológiai faj által az egyedre eleve rákényszerített célok,

továbbá akadályok és eszközök mentén technikailag, hanem ugyanakkor tabuk

mentén szociálisan is szerveződik. S a gyermek mindennapi tevékenységének

szociális szerveződése során spontán módon előállhatnak azok a szerkezetek,

amelyek elemi logikai viszonyok szerkezetének felelnek meg s kialakíthatják az

ezeknek megfelelő gondolkodást:

A gyerek szívesen kezdeményez rituális játékokat, amelyben ugyanazon

szereplőknek ugyanazon személyek vonatkozásában mindig hasonló módon

kell megnyilvánulnia. Amikor a kisgyerek ragaszkodik hozzá, hogy az esti

lefektetést az anyja mindig hasonló szertartásokkal végezze, s például hogy

ugyanazt a tárgyat (babát, kispárnát stb.) helyezzen a kezeügyébe, akkor

nemcsak mentálhygiénés jogos önvédelmét látja el, hanem egy elemi viszony

logikailag is fontos állandóságát is biztosítja:

A → B = A → B

Amikor a gyermek ragaszkodik hozzá, hogy testvérével azonos

elbánásban részesüljön, akkor azon felül, hogy arra neveli magát, hogy ne

tudja elviselni majd a Nagy Francia Forradalom eszméivel oly kevés

összhangot mutató felnött életet, még a következő logikai viszonyra is

ráhangolja a gondolkodását:

A → B = A → C.

Amikor pedig utánoz, akkor nem csak azt az ügyességet tanulja el,

amelyet éppen leutánoz, hanem még azt a logikai struktúrát is elsajátítja,

amely nem változik attól, hogy benne a logikai állítmányt más logikai alanyhoz

illesztik:

A → C = B → C.

Különösen fontos a gyerek logikus gondolkodásának kialakulásához az a

tevékenység, amelyet a gyerek úgy les el például egy felnöttöl, hogy a maga

tárgyán végzi, amit az a magáén müvelt. Bármiféle aránypár késöbbi

megértése lehetetlen, amíg a gyerek ezt a struktúrát valóságos szociális

tevékenységében el nem sajátítja:

A → BA= C → DB.

A tevékenység szociális szerkezete lehet olyan is, hogy a gyerek

visszafordítja arra a személyre, aki azt rajta mint a tevékenység tárgyán

végezte. S ez ismét nem csak a gyerek morális fejlődéséhez fontos, mint olyan

forma, amelyben a hála és a bosszú tettei megvalósulnak:

A → B = B → A.

Hanem annak a logikai összefüggésnek az elsajátításához is, amely e-

gyebek között az abszolut érték fogalmának megértéséhez nélkülözhetetlen.

Éppilyen fontos a gyerek morális fejlődéséhez két másik szerkezet. Az,

amelyben alanyává teszi magát olyan tevékenységnek, amelynek korábban a

tárgya volt (például a babáját eteti ugyanúgy, ahogy az anyja őt etette):

A → B = B → C.

Továbbá az a másik, amelyben elfogadja, hogy tárgyává tegyék olyan

tevékenységnek, amelynek korábban ő volt a kezdeményező alanya:

B → C = A → B.

Ezekben a szerkezetekben éli meg a gyerek az egyenlöséget egy kategó-

ria valamennyi egyede között, tekintet nélkül arra, hogy ő-e az vagy valaki

más, ami az alapja minden erkölcsi viszonynak. De ezen felül ezekben az alak-

zatokban olyan logikai viszonyt sajátít el a gyerek, amilyen a tranzitivitásé.

Minél rugalmasabbak azok a társadalmi viszonyok, amelyekben az ember

leéli a gyerekkorát, minél kevésbé akadályozzák a tabuk a fentebbi

transzpozíciókat, annál nagyobb a gyerek esélye, hogy a matematika-oktatás

iskolai módszerétöl függetlenül e tevékenység szerkezete kialakítsa benne a

matematikai gondolkodás szerkezetét.

Garai László