MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 67

Osnovne karakteristike turbulentnih strujanja fluida

Turbulentno strujanje je kaotično strujanje fluida u kojem sve promjenjive veličine pokazuju slučajne promjene po vremenskoj i prostornim koordinatama, pri čemu je moguće razlučiti njihove statistički osrednjene vrijednosti.

Turbulentno strujanje je izrazito nestacionarno strujanje, karakterizirano intenzivnim miješanjem fluida na razini većih ili manjih čestica. Intenzivno miješanje na nivou čestica daje turbulentnom strujanju difuzijski karakter s logičnom posljedicom povećanja disipacije energije.

1) Nestacionarnost:

Donja slika shematski prikazuje granični sloj uz ravnu ploču. Na samom početku razvija se laminarni granični sloj, koji pri određenoj vrijednosti (kritičnoj vrijednosti) Reynoldsova

broja 5 6krkr 3 10 do 3 10v xRe

ν∞ ⋅= ≈ ⋅ ⋅ postaje nestabilan. U presjeku krx x= periodički se i

relativno rijetko u prostoru pojavljuju nestabilnosti strujanja (pulsacije brzine i tlaka). Daljnjim udaljavanjem od tog presjeka u smjeru strujanja pulsacije postaju sve češće, i sve gušće u prostoru, tako da nakon nekog presjeka govorimo o potpuno razvijenom turbulentnom strujanju.

v∞

x

A B C

Dd(x)

Laminarno Tranzijentno Razvijeno turbulentno

Sljedeća slika shematski prikazuje rezultate mjerenja tlaka u točkama A i B, od kojih je točka A u laminarnom dijelu graničnog sloja, a točka B u prijelaznom (tranzijentnom) području. U točki B je tlak u nekim vremenskim periodima približno stalan (za vrijeme dok se u točki ne nalazi poremećaj), a u nekim periodima nestacionaran (za vrijeme dok nestabilnost prolazi točkom).

p p

t t"A" - laminarno strujanje

"B" - tranzijentno strujanje

Shematski prikaz rezultata mjerenja tlaka u točki C, koja se nalazi u području razvijene turbulencije i točki D koja se nalazi također u području razvijene turbulencije, ali pri rubu graničnog sloja, dan je na sljedećoj slici. U razvijenom turbulentnom strujanju tlak u točki C

krx

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 68

će stalno pokazivati slučajne pulsacije, dok će u točki D postojati vremenski periodi s bitno smanjenim pulsacijama tlaka, što svjedoči o nestalnosti ruba graničnog sloja (ako se o rubu graničnog sloja uopće može govoriti u smislu ruba u laminarnom strujanju). Naime rub graničnog sloja poput ostalih veličina također će pokazivati slučajne promjene i u svakom trenutku će izgledati drukčije. U tom smislu točka D će se u jednom trenutku nalaziti unutar graničnog sloja, a u nekom drugom izvan. Tada ugovorimo da se u točki D pojavljuje intermitirajuća turbulencija.

pp

tt"C" - razvijeno turbulentno strujanje

"D" - intermitentno strujanje

U primjeru turbulentnog strujanja u cijevima također se može govoriti o nestacionarnosti turbulentnog strujanja. Slike dolje lijevo kvalitativno prikazuju rezultate mjerenja jedne komponente brzine u točki prostora tijekom vremena. U laminarnom stacionarnom strujanju vrijednost ostaje stalna u vremenu, a u nestacionarnom brzina je glatka funkcija vremena. U turbulentnom strujanju pojavljuju se slučajne brzine oko statistički osrednjene vrijednosti (govorimo o vremenskim pulsacijama). Ako je statistički osrednjena vrijednost stalna u vremenu turbulentno strujanje nazivamo kvazistacionarnim (ne možemo ga zvati stacionarnim jer je ono izrazito nestacionarno).

v

v

t

t

stacionarno

turb. kvazistac ionarno

nestac ionarno

turb. nestac ionarno

Laminarno

Turbulentno

U TO KIČ U PRESJEKU

t = t1

t = t2

Gledano po presjeku cijevi trenutni profil brzine u turbulentnom strujanju ne bi bio gladak, i u svakom vremenskom trenutku bi drukčije izgledao. Statistički osrednjena vrijednost profila je međutim glatka funkcija, a slučajna odstupanja vrijednosti brzine od statistički osrednjene vrijednosti u promatranoj točki presjeka nazivamo pulsacijom, koja se ovdje prikazuje po presjeku. 2) Difuzijski karakter turbulentnog strujanja

Prijenos fizikalne veličine u strujanju fluida odvija se putem konvekcije (uslijed strujanja fluida - tj. čestica fluida kao nositelj fizikalnog svojstva svojim premještanjem prenosi i fizikalno svojstvo) i putem difuzije. Difuzija je posljedica kaotičnog gibanja atoma, odnosno

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 69

molekula, putem kojeg se fizikalno svojstvo širi po prostoru. Makroskopski gledano difuzija će se manifestirati za slučaj postojanja gradijenta fizikalnih veličina. Difuzijske procese nazivamo i spontanim procesima, jer se odvijaju sami od sebe, sve dok postoji gradijent fizikalne veličine. Primjer difuzijskog procesa je provođenje topline, iz područja s višom prema području s nižom temperaturom. Sljedeća slika daje primjer dvaju paralelnih strujanja istom brzinom u , različitih temperatura 1T i 2T . Ako je strujanje laminarno (dakle svaka čestica se giba u svom sloju) čestice će se gibati pravocrtno, a dvije čestice fluida iz dvije struje različite temperature koje su istovremeno izašle iza pregrade ostat će sve vrijeme susjede. Konvekcijom se toplina može prenijeti samo u smjeru gibanja, a ako nema toplinske provodnosti, neće biti izmjene (difuzije) topline među česticama i one će zadržati svaka svoju temperaturu, a profil temperature će ostati nepromijenjen (na slici je to slučaj označen s

0λ = , lam.). S obzirom da uvijek postoji toplinska provodnost doći će do prijelaza topline s toplije na hladniju česticu, i što god su čestice dulje u kontaktu to će više topline biti izmijenjeno. Kao posljedica toga profil temperature će težiti izjednačavanju, kao što prikazuje slika (slučaj označen s 0λ ≠ , lam.).

u

u

T1

T2

l = 0lam.

l = 0lam.

l = 0turb.

Da bismo ilustrirali turbulentnu difuziju ponovo ćemo promatrati toplinski nevodljiv fluid. U turbulentnom strujanju čestice fluida se gibaju kaotično u svim smjerovima (pri čemu je globalno strujanje u desno statistički osrednjenom brzinom, npr. brzinom u ). Prema tome u turbulentnom strujanju će čestice toplijeg fluida ulaziti među čestice hladnijeg fluida, i obrnuto, doći će do prodora hladnijih čestica među toplije čestice. Ovo miješanje imat će za posljedicu profil temperature sličan onome iz laminarnog strujanja s toplinskom provodnošću, pa govorimo o turbulentnoj difuziji. Iz rečenog je jasno da turbulentna difuzija ima porijeklo u konvektivnom prijenosu fizikalnog svojstva uslijed gibanja čestica u poprečnom smjeru u odnosu na smjer glavnog strujanja. U realnim strujanjima imamo i molekularnu difuziju (uslijed toplinske provodnosti) i turbulentnu difuziju (uslijed turbulentnog miješanja čestica fluida – možemo govoriti i o turbulentnoj provodnosti). U razvijenom turbulentnom strujanju (pri intenzivnom miješanju čestica fluida) turbulentna difuzija može biti puno jača od molekularne.

Ako je toplinska provodnost fluida koeficijent difuzije (u Fourierovom zakonu toplinske provodnosti) za difuziju topline, onda je viskoznost koeficijent difuzije za količinu gibanja. Naime u laminarnom strujanju, u kojem se čestice gibaju pravocrtno, količina gibanja se putem konvekcije prenosi samo u smjeru strujanja. Uslijed viskoznosti među slojevima fluida se pojavljuje smično (viskozno) naprezanje, putem kojeg se količina gibanja prenosi s bržeg na sporiji sloj (brži slojevi povlače za sobom sporije). Naravno, ako se radi o turbulentnom strujanju brže čestice će "uskakati" među sporije čestice i time im povećavati količinu gibanja, a "uskakanje" sporijih čestica među brže čestice će im smanjivati količinu gibanja. Taj proces prijenosa količine gibanja putem turbulentnog miješanja čestica fluida se naziva turbulentna difuzija. Molekularna viskoznost, definira viskozna naprezanja, odnosno molekularnu difuziju količine gibanja. Možemo govoriti da je za turbulentnu difuziju količine gibanja odgovorna turbulentna viskoznost, koja uzrokuje turbulentna naprezanja. Jasno je da je molekularna viskoznost fizikalno svojstvo fluida, a turbulentna viskoznost ne. Turbulentna viskoznost je posljedica režima strujanja, a u laminarnom strujanju je jednaka nuli.

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 70

Iz rečenog je jasno da će u uvjetima veće difuzije i profil brzine u strujanju kroz okruglu cijev biti ujednačeniji (jer difuzija ima tendenciju ujednačavanja profila). To se lijepo vidi iz sljedećeg dijagrama (dolje, lijevo), u kojem su nacrtana dva profila brzine svedena na istu srednju brzinu.

1u u/ sr u u/ sr

laminarno

turbulentno

Re=104

Re=106

Dijagram desno kvalitativno prikazuje utjecaj Reynoldsova broja. Može se zaključiti da s povećanjem Reynoldsova broja, prema očekivanju, raste utjecaj turbulentne difuzije.

3) Povećana disipacija energije

Iz dijagrama na slici gore lijevo, na kojem su prikazani profili brzine u laminarnom i turbulentnom strujanju, tako da su svedeni na jednaku srednju brzinu, očito je da će gradijent brzine na stijenci cijevi biti veći u turbulentnom nego u laminarnom strujanju, što znači da će biti i veće smično naprezanje. Veće smično naprezanje označuje veću disipaciju energije (bržu pretvorbu mehaničke u unutrašnju energiju – koju u strujanju u cijevima nazivamo i gubitkom mehaničke energije). O tome se lako osvjedočiti i iz Darcy-Weissbachovog izraza za pad tlaka (pad tlaka mjeri gubitak energije, a razmjeran je smičnom naprezanju na stijenci cijevi) za strujanje u cijevima, koji glasi

2sr

2L vpD

λ ρΔ = ⋅ ⋅ ⋅

U laminarnom strujanju je faktor trenja sr

64 64Re v D

υλ = = , pa će pad tlaka biti linearno razmjeran

srednjoj brzini strujanja. U turbulentnom strujanju, u režimu potpuno izražene turbulencije faktor trenja je konstantan (sjetimo se Moodyeva dijagrama), što znači da će pad tlaka biti razmjeran kvadratu srednje brzine.

Slična je situacija i pri optjecanju tijela, gdje definiramo koeficijent otpora

21

2

DD

FCv Sρ ∞

=

koji govori o sili otpora, odnosno o snazi potrebnoj za gibanje tijela kroz mirujući fluid (to je snaga potrebna za svladavanje sile otpora, koja se predaje fluidu, a u konačnici se pretvara u unutarnju energiju fluida, što nazivamo disipacijom energije). Pri optjecanju bilo kojeg tijela za slučaj niskih vrijednosti Reynoldsova broja (slučaj laminarnog strujanja) koeficijent otpora

je oblika konst.DC

Re= , gdje vrijednost konstante zavisi od oblika tijela. U tom je slučaju sila

otpora razmjerna brzini optjecanja tijela. Za slučaj razvijenog turbulentnog strujanja koeficijent otpora je približno konstantan, što znači da je sila otpora razmjerna kvadratu brzine optjecanja.

410Re= 610Re=

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 71

Statističko opisivanje turbulencije Kao što je rečeno, turbulentno strujanje je izrazito nestacionarno strujanje, koje se zbog svoje stohastičke prirode ne može opisati analitički. Turbulencija je to izraženija što je veći Reynoldsov broj. U razvijenom turbulentnom strujanju sve veličine pokazuju slučajne pulsacije u širokom spektru frekvencija (gledano vremenski) i u širokom spektru valnih duljina (gledano prostorno). Pri numeričkom rješavanju Navier-Stokesovih jednadžbi za slučaj razvijenog turbulentnog strujanja diskretizacija područja proračuna (geometrijska mreža) bi morala biti tako sitna da se obuhvate i najmanje amplitude pulsacija, a vremenski korak integracije bi morao biti tako mali da se obuhvate i najviše frekvencije turbulentnih pulsacija, što je vrlo zahtjevno sa stajališta kapaciteta i brzine računanja računala. Rezultat takva rješavanja bi bio skup numeričkih vrijednosti traženih polja fizikalnih veličina (u nestlačivom strujanju bi to bila polja brzine i tlaka) u velikom broju prostornih točaka za veliki broj vremenskih trenutaka. Ono što zanima inženjera su obično neke integralne veličine poput protoka, ukupne sile tlaka, ukupne viskozne sile na neku površinu i sl. Te integralne veličine također pokazuju slučajne promjene u vremenu, a inženjera će zanimati ne neka trenutna vrijednost, nego prosječna vrijednost i eventualno amplituda odstupanja od te prosječne vrijednosti. Dakle, ako bi inženjeru dali numeričko rješenje u velikom broju vremenskih koraka, on bi te rezultate uprosječio po vremenu, pa se nameće sama po sebi ideja da se prije rješavanja Navier-Stokesovih jednadžbi, sve veličine u tim jednadžbama uprosječe, te da se rješavaju jednadžbe za uprosječene veličine, koje inženjera i zanimaju. Time se značajno olakšava zadaća numeričkog rješavanja tih jednadžbi, jer koraci prostorne i vremenske diskretizacije više ne moraju biti onako mali. Danas se najčešće koristi vremensko uprosječenje (Reynoldsovo osrednjavanje). Ako je f neka veličina u turbulentnom strujanju, ona se može prikazati zbrojem vremenski osrednjene vrijednosti f i pulsirajućeg dijela f ′ ( 'f f f= + ). Vremenski osrednjena vrijednost f u razdoblju 0T je po definiciji

0

0

2

02

1( , ) ( , )

T

i iT

f x t f x t dT

τ τ−

= ⋅ − ⋅∫

gdje 0T mora biti odabrano tako da vrijedi f f= . Jasno je da kada se radi o kvazistacionarnom turbulentnom strujanju ( f nije funkcija vremena), razdoblje osrednjavanja može težiti u beskonačno. Dakle potez nad veličinom označuje vremensko osrednjavanje koje je definirano integralom, a za integriranje vrijedi da je integral zbroja jednak zbroju integrala. Dvostruki potez, npr f označuje osrednjavanje osrednjene veličine. Za dobro odabrano razdoblje osrednjavanja, dakle vrijedi

' 0f f f f f f f= − = − = − = Ili riječima: Vremenski osrednjena vrijednost pulsirajućeg dijela bilo koje fizikalne veličine jednaka je nuli. Osrednjena vrijednost prostorne derivacije (gradijenta) veličine f je

0 0

0 0

2 2

0 02 2

( , )1 1 ( , )

T T

ii

T Ti i i i

f x tdf fd f x t ddx T x x T x

τ τ τ τ− −

⎛ ⎞∂ − ∂ ∂⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 72

Za osrednjenu vrijednost vremenske derivacije, vrijedi analogno 0 0

0 0

2 2

0 02 2

( , )1 1 ( , )

T T

ii

T T

f x tdf fd f x t ddt T t t T t

τ τ τ τ− −

⎛ ⎞∂ − ∂ ∂⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

Ili riječima: Osrednjena vrijednost derivacije jednaka je derivaciji osrednjene vrijednosti.

Ako su f i g dvije veličine u kvazistacionarnom turbulentnom strujanju, pri čemu je 'f f f= + i 'g g g= + , vrijede sljedeće relacije

' ' 0f g f g⋅ = ⋅ =

( )' 'f g f g g f g f g f g⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅

( ) ( )' ' ' 'f g f f g g f g f g⋅ = + ⋅ + = ⋅ + ⋅

Valja primijetiti da osrednjena vrijednost umnoška dvaju pulsirajućih dijelova fizikalnih veličina nije jednaka nuli1. U konzervativnom obliku jednadžbe količine gibanja pojavljuje se umnožak i jv v čija osrednjena vrijednost je

' 'i j i j i jv v v v v v= +

Član ' 'i jv v označuje dvostruku korelaciju brzina2 u točki, a fizikalno gledano će taj član opisivati turbulentnu difuziju količine gibanja, odnosno prijenos količine gibanja uslijed miješanja čestica fluida. Kontrakcijom indeksa u gornjem izrazu i njegovim dijeljenjem s dva dobije se

22 21 1 1 '

2 2 2i i i

a b c

v v v= +

Ako sliku strujanja u turbulentnom strujanju gledamo kao zbroj vremenski osrednjenog (glavnog strujanja) opisanog poljem brzine iv i pulsirajućeg strujanja opisanog poljem brzine

iv′ , tada je fizikalno tumačenje članova u gornjoj jednakosti sljedeće

a) Osrednjena vrijednost ukupne specifične kinetičke energije strujanja b) Specifična kinetička energija glavnog (osrednjenog) strujanja c) Osrednjena vrijednost kinetičke energije pulsirajućeg strujanja ili kinetička energija

turbulencije (označava se s / 2i ik v v′ ′= )

1 Na temelju toga umnoška se može govoriti o korelaciji dviju veličina, koja se izražava koeficijentom korelacije

f gRf f g g

′ ′⋅=

′ ′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅

Apsolutna vrijednost gore definiranog koeficijenta je u granicama od nula do jedan. Vrijednost koeficijent korelacije jednaka nuli kazuje da su pulsacije veličina potpuno nezavisne, a vrijednost koeficijenta korelacije jednaka jedan da među njima postoji jednoznačna veza. 2 To je tenzorska veličina. Ako se njena vrijednost ne mijenja pri zakretanju koordinatnog sustava govorimo o izotropnoj turbulenciji, a ako se njena vrijednost ne mijenja pri translaciji koordinatnog sustava govori se o homogenoj turbulenciji.

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 73

Vremenski osrednjene jednadžbe za slučaj nestlačivog strujanja Promatrat ćemo nestlačivo turbulentno strujanje ( ρ =konst.), u kojem ćemo zanemariti utjecaj masenih sila ( 0if ≡ ). Takvo je strujanje opisano jednadžbom kontinuiteta i jednadžbom količine gibanja u kojima su nepoznanice komponente polja brzine iv i polje tlaka p . Ove ćemo veličine prikazati zbrojem osrednjene vrijednosti i pulsirajućeg dijela i i iv v v′= + i p p p′= + 1. Jednadžba kontinuiteta za nestlačivo strujanje je

0=∂∂

j

j

xv

ili ( )

0j j

j

v vx

′∂ +=

∂

Gledano u svjetlu prikaza strujanja zbrojem osrednjenog i pulsirajućeg strujanje, gornja jednadžba kontinuiteta vrijedi za ukupno strujanje, a čijim se osrednjavanjem dobije jednadžba kontinuiteta za osrednjeno strujanje

0=∂∂

j

j

xv

Ako se od jednadžbe kontinuiteta za ukupno strujanje oduzme jednadžba kontinuiteta za osrednjeno strujanje, dobit će se jednadžba kontinuiteta za pulsirajuće strujanje

0j

j

vx′∂=

∂

Očito da u slučaju linearne jednadžbe kontinuiteta vrijedi princip superpozicije (zbroj dvaju rješenja jednadžbe je također rješenje jednadžbe), pa su jednadžbe kontinuiteta za osrednjeno i pulsirajuće strujanje istovjetne jednadžbi za ukupno strujanje. S obzirom da nas zanima samo vremenski osrednjeno strujanje, jednadžbu kontinuiteta za pulsirajuće strujanje nećemo promatrati. 2. jednadžba količine gibanja za nestlačivo strujanje je

( ) ji ij i

j i j j i

vv p vv vt x x x x x

ρ ρ μ⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ = − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

ili u prikazu s pomoću osrednjenih i pulsirajućih dijelova polja brzine i tlaka

( )( )[ ] ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

′∂+

∂′∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂

′−∂−=′+′+

∂∂

+∂

′+∂

i

j

j

il

i

j

j

il

iiiijj

j

ii

xv

xv

xv

xv

xxppvvvv

xtvv μμρρ )(

Vremenskim osrednjavanjem jednadžbe količine gibanja (uvažavajući prije definirana pravila) dobije se jednadžba količine gibanja za osrednjeno strujanje, koja glasi

( ) ji ij i i j

j i i j i

vv p vv v v vt x x x x x

ρ ρ μ ρ⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′+ = − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Skup vremenski osrednjenih jednadžbi kontinuiteta i količine gibanja se naziva Reynoldsovim jednadžbama. Jednadžba količine gibanja za pulsirajuće strujanje bi se dobila oduzimanjem jednadžbe količine gibanja za osrednjeno strujanje od jednadžbe količine gibanja za ukupno strujanje, no ta nam jednadžba ne treba jer nam je ideja gledati samo osrednjeno strujanje. Iz gornje jednadžbe je jasno da nećemo moći gledati samo osrednjeno strujanje, ne vodeći računa o pulsirajućem strujanju, jer se u jednadžbi količine gibanja (zbog nelinearnog konvektivnog člana, u kojem se pojavljuje umnožak j iv v ) pojavljuje predstavnik pulsirajućeg

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 74

strujanja, član i jv vρ ′ ′− . Taj član označuje turbulentnu difuziju količine gibanja, a budući da

molekularna difuzija odgovara viskoznim naprezanjima, to će se član i jv vρ ′ ′− nazivati turbulentnim ili Reynoldsovim naprezanjima. Tenzor Reynoldsovih naprezanja je simetričan tenzor u kojemu je šest nepoznanica

1 1 1 2 1 3

2 2 2 3

3 3

simetričnoi j

v v v v v v

v v v v v v

v v

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ

′ ′ ′ ′ ′ ′− − −

′ ′ ′ ′ ′ ′− = − −

′ ′−

Jasno je da Reynoldsove jednadžbe sadrže više nepoznanica, nego što ima jednadžbi, pa takav sustav nema jednoznačno rješenje. Mogli bismo izvesti i jednadžbu za Reynoldsova naprezanja (dvojnu korelaciju brzina). U jednadžbi za dvojnu korelaciju pojavile bi se trojna korelacija i j kv v v′ ′ ′ i još neke nove nepoznate korelacije. Za sve ove korelacije, polazeći od N-S jednadžbi, također se mogu izvesti pripadne jednadžbe u kojima bi se zbog nelinearnosti N-S jednadžbi pojavljivale nove i nove nepoznate korelacije, tako da bi broj nepoznanica brže rastao od broja jednadžbi. Stohastičku prirodu turbulentnog strujanja prikazali smo vremenski osrednjenim poljima brzine i tlaka, te time izgubili dio informacija koje sadrže N-S jednadžbe. Da bi povratili izgubljene informacije potrebno je poznavati beskonačno mnogo korelacija brzina i tlaka. S druge strane, iskustvo pokazuje da je dovoljno poznavati konačan broj korelacija da bi se proračunale karakteristike polja interesantne sa stajališta inženjerske prakse, i na toj se činjenici temelje modeli turbulencije. Zadatak modela turbulencije je usklađivanje broja jednadžbi i broja nepoznatih polja, zaustavljajući se na određenoj korelaciji. Sve više korelacije modeliraju se pomoću nižih koje su obuhvaćene modelom turbulencije. Opći zahtjevi koji se postavljaju pred model turbulencije su: univerzalnost, točnost, mogućnost ekonomičnog rješavanja i jednostavnost.

Model turbulencije

Modeli turbulencije dijele se s obzirom na red korelacije brzina za koju se rješava transportna jednadžba na: modele prvog, drugog i trećeg reda. U modelima prvog reda, koji su najjednostavniji, modelira se već dvojna korelacija brzina, odnosno tenzor Reynoldsovih naprezanja i to uglavnom prema hipotezi Boussinesqa u obliku:

t23

jii j ij

j i

vvv v kx x

ρ μ ρ δ⎛ ⎞∂∂′ ′− = + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

gdje je tμ koeficijent turbulentne viskoznosti koji nije fizikalno svojstvo fluida već funkcija uvjeta strujanja, a u laminarnom strujanju jednak je nuli. Član s kinetičkom energijom turbulencije / 2i ik v v′ ′= dodan je u cilju zadovoljavanja gornje jednadžbe za slučaj kontrakcije indeksa. S obzirom na analogiju gornjeg izraza s Newtonovim zakonom viskoznosti, modeli koji se temelje na toj pretpostavci nazivaju se newtonovskim modelima turbulencije. Hipotezom Boussinesqa šest komponenti tenzora Reynolsovih naprezanja modelirano je jednim nepoznatim poljem koeficijenta turbulentne viskoznosti. Postoji više načina modeliranja koeficijenata turbulentne viskoznosti, a mi ćemo se zadržati na najjednostavnijem prema analogiji s kinetičkom teorijom plinova.

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 75

Prandtlova hipoteza puta miješanja Boussinesqova ideja da turbulentna naprezanja (koja su posljedica kaotičnog turbulentnog miješanja čestica fluida) modelira slično viskoznim naprezanjima (koja su posljedica kaotičnog gibanja atoma i molekula unutar čestica fluida), direktno vodi k Prandtlovom modelu turbulentne viskoznosti koji se temelji na analogiji s molekularnom viskoznošću, koja je definirana kinetičkom teorijom plinova. Prema kinetičkoj teoriji plinova viskoznost fluida je manifestacija molekularnog gibanja, kojeg opažamo u makrosvijetu. Po toj teoriji viskoznost fluida je razmjerna gustoći fluida, slobodnoj putanji molekula i karakterističnoj brzini molekula. Analogno tome se definira turbulentnu viskoznost u obliku t m tl vμ ρ= gdje su: ml - duljina puta miješanja čestica fluida u turbulentnom strujanju tv - karakteristična brzina turbulentnih pulsacija Prema tome turbulentna viskoznost je definirana s dvije karakteristične veličine u turbulentnom strujanju, a gornja relacija čini osnovu za veći broj modela turbulencije, koji se razlikuju po definiciji te dvije karakteristične veličine u turbulenciji. Proučavajući strujanje u graničnom sloju Prandtl je predložio sljedeću relaciju između puta miješanja i karakteristične brzine turbulencije

1t m

2

vv lx∂

=∂

što uvršteno u gornju relaciju, daje konačni izraz za koeficijent turbulentne viskoznosti

2 1m

2t

vlx

μ ρ ∂=

∂

u kojem se pojavljuje samo nepoznata duljina puta miješanja ml . Ova se duljina propisuje algebarskim relacijama na temelju eksperimentalnih mjerenja. Naravno da je to nedostatak ovog modela jer je primjenjiv samo u situacijama za koje već postoje eksperimentalna mjerenja temeljem kojih se može propisati put miješanja. Uvrštavanjem hipoteze Boussinesqa u Reynoldsove jednadžbe one prelaze u oblik

0=∂∂

j

j

xv

( ) ( )

efektivnitlak

fektivnaviskoznost

t

23

e

ji ij i

j i j j i

p k vv vv vt x x x x x

ρρ ρ μ μ

⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂ +⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎢ ⎥∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+ = − + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Očito je da Reynoldsove jednadžbe koje opisuju vremenski osrednjeno turbulentno strujanje fluida imaju isti oblik kao i polazne Navier.Stokesove jednadžbe, koje opisuju ukupno strujanje, s razlikom da se u Reynoldsovim jednadžbama pojavljuju vremenski osrednjene veličine, umjesto tlaka se pojavljuje efektivni tlak, a umjesto viskoznosti fluida efektivna viskoznost. Iz toga se dade zaključiti da će i von Kármánova impulsna jednadžba za turbulentno strujanje fluida imati isti oblik kao i za laminarno strujanje s tim da će se u njoj pojavljivati vremenski osrednjene veličine.