Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody...
Transcript of Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody...
![Page 1: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/1.jpg)
Metody rozwiązania równania Schrödingera
• Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne
• Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni
potencjału
• Problem rozwiązania równania Schrödingera dla układu ze
zmienną masą
• Metoda różnicowa pozwalająca wyznaczyć strukturę pasmową
dla skończonej studni potencjału
![Page 2: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Mechanika klasyczna - mechanika kwantowa
1. Druga zasada dynamiki Newtona: pęd, operator, potencjał, energia
kinetyczna, energia potencjalna
2. Równanie Schrödingera
- swobodny elektron
- elektron w studni potencjału: potencjał !!!
Fizyczna realizacja studni (jamy) potencjału
![Page 3: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera
Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi
- metody macierzowe znane również jako metody globalne
- metody strzałów (metoda Numerowa)
Metody wariacyjne
Metody elementów skończonych
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
![Page 4: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Operator drugiej pochodnej w ‘postaci numerycznej’
![Page 5: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Równanie Schrödingera z ‘numerycznym’ operatorem drugiej pochodnej
![Page 6: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Idea rozwiązania równania Schrödingera metodą strzałów (Numerowa)
Warunki brzegowe:
Przykładowe warunki startowe:
![Page 7: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Postać ‘bezwymiarowa’ równania Schrödingera
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
![Page 8: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Bezwymiarowa postać równania Schrödingera z ‘numerycznym’ operatorem drugiej pochodnej
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
![Page 9: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
![Page 10: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
Algebraiczne zagadnienie własne dla dyskretnego operatora energii
![Page 11: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Rozwiązanie przy pomocy metody z Lapacka
Nagłówek procedury służącej do obliczania wartości własnych symetrycznej
Macierzy (procedura była omawiana)
Uwaga! Sprowadzenie macierzy do bezwymiarowej postaci nie jest konieczne
jednak jest bardzo wygodne
![Page 12: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Algorytm Martina-Deana
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
![Page 13: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Kwantowanie energii elektronów – nieskończona studnia potencjału (przypomnienie)
Funkcja próbna:
Z0 d
Z warunków brzegowych mamy:
![Page 14: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Kwantowanie energii elektronów – skończona studnia potencjału (przypomnienie)
W barierze funkcja falowa zanika wykładniczo
Funkcja falowa praz jej pierwsza pochodna jest ciągłą na całym obszarze
Brak rozwiązania analitycznego dla tego zagadnienia
…
![Page 15: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Skończona studnia potencjału
Warunek brzegowy:
Rozwiązanie postaci:
Oznaczenia:
Otrzymujemy równanie:
![Page 16: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Skończona studnia
Rozwiązanie równania Schrödingera dla
skończonej studni potencjału sprowadza się do
numerycznego wyznaczenia zera funkcji.
![Page 17: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Ruch elektronu w ciele stałym – masa efektywna
1. Struktura krystalograficzna (twierdzenie Blocha)
2. Struktura pasmowa ciała stałego: metale, półprzewodniki (dielektryki?)
3. Pojęcie masy efektywnej
![Page 18: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą
Gdzie pojawia się problem przy masie zmiennej z położeniem?
Operator pędu zakłada, że masa efektywna nie zmienia się z
położeniem co nie prawdą w przypadku studni kwantowych
realizowanych w strukturach półprzewodnikowych.
![Page 19: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą
Literatura: W. Salejda, et al. Acta Physica Pollonica A 95, 881 (1999).
![Page 20: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą
Literatura: W. Salejda, et al. Acta Physica Pollonica A 95, 881 (1999).
g0:=2.62452e-4
![Page 21: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą
w-jest to odwrotność masy efektywnej wyznaczona na siatce
punktów pośrednich
Algebraiczne zagadnienie własne można sprowadzić do postaci:
Gdzie:
Algebraiczne zagadnienie własne można rozwiązać przy pomocy algorytmu
Martina-Deana lub przy pomocy zewnętrznej funkcji diagonalizującej macierz
Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania
równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.
![Page 22: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Metoda różnic skończonych do wyznaczenia struktury pasmowej studni kwantowej
Równanie Schrödingera
Zakładamy Hamiltonian postaci:
Operator:
Rozkładamy Hamiltonian ze względu na potęgę przy kz.
A,B,C macierze odpowiadające metodzie np. 8kp.
![Page 23: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/23.jpg)
Zapewnienie ciągłości funkcji falowej na interfejsach oraz hermitowskość
macierzy gwarantują następujące dyskretyzację operatorów
![Page 24: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Otrzymujemy następujące równanie macierzowe:
Rząd macierzy N=n*Nz
Nz- pokrojenie w przestrzeni rzeczywistej
![Page 25: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Oznaczenia
Mi,j to macierze:
gdzie 𝐴 jest macierzą współczynników stojących przy wyrazach 𝑘𝑧2,
𝐵 jest macierzą współczynników stojących przy wyrazach 𝑘𝑧a 𝐶 jest macierzą niezależną od wyrazów 𝑘𝑧. Każda z macierzy jest rozmiaru 𝑛×𝑛 gdzie 𝑛 oznacza liczbę funkcji bazowych
(rodzaj modelu kp np.:8)
Indeks i numeruje macierze w zależności od położenia
![Page 26: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/26.jpg)
26
• Tworzymy macierze A, B i C, dla konkretnych wartości kx, ky. Na zadane siatce punktów w przestrzeni rzeczywistej. Na podstawie hamiltonianu odpowiadającemu metodzie kp, grupujemy człony ze względu na kz.
• Tworzymy macierz N-rzędu n*Nz i ją diagonalizumemy. Możemy od razu uzyskać funkcję falową.
• Proces powtarzamy dla zadanego punktu w przestrzeni k (np. [100])
Metoda różnic skończonych do wyznaczenia struktury pasmowej
![Page 27: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/27.jpg)
27
• Musimy wybrać ilość fal płaskich i dokonać transformaty Fouriera dla wszystkich wielkości zależnych od położenia
• Szybkość metody zależy od ilości fal płaskich i czas obliczeń wzrasta wykładniczo wraz z ilością fal płaskich
• Dokładność metody zależy od ilości fal płaskich
• Przy optymalnym doborze parametrów metoda szybka
• Punktem wyjścia jest dyskretyzacja wszystkich wielkości w przestrzeni rzeczywistej
• Dokładność metody zależy od pokrojenia w przestrzeni rzeczywistej
• Szybkość metody zależy od liczby punktów w przestrzeni rzeczywistej
• Metoda stosunkowo wolna
Metoda Fal płaskich vs. Metoda Elementów skończonych
Metoda rozwinięcia na fale płaskie Metoda elementów skończonych
![Page 28: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Porównanie metody fal płaskich(PWE) i metody elementów skończonych(FDM)
![Page 29: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Jeszcze raz o falach płaskich
Fala płaska – jest to fala, której powierzchnie falowe tworzą równoległe do siebie linie proste, gdy fala rozchodzi się po powierzchni, lub płaszczyzny, gdy rozchodzi się w przestrzeni trójwymiarowej.
Równanieopisujące falę płaską:
Fala płaska w
1D
Przedstawiając daną wielkość w
bazie fal płaskich musimy znaleźć
układ ortonormalny o węzłach
odpowiadających pokojeniu w Kz
𝑢 𝑧 = 𝐴𝑒−2𝜋𝑖𝑘(𝑧+𝑑𝑧)
Fala płaska rozchodząca się w
Kierunku z w periodycznej sieci
(niezależna od czasu)
𝑘 =𝜋 ∗ 𝑛
𝐿
![Page 30: Metody rozwiązania równania Schrödingeragladys/Prezentacja2.pdf · 3 Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022041102/5edce4f3ad6a402d6667c54c/html5/thumbnails/30.jpg)
30
• W rzeczywistości jako produkt transformaty Fouriera powstają macierze 2Nx2N. Z wielkości które były wektorami zależnymi od z (położenie) powstały macierze kwadratowe.
Transformata Fouriera
𝐴𝐹 = න0
𝐿 𝑧𝑖 ∙ 𝐿
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑛∙A(z) ∙ 𝑒−2𝜋𝑧𝑖/𝐿∙𝑛∙𝑑𝑧 − 1 ∙ 𝑒−2𝜋𝑧𝑖/𝐿∙𝑛∙𝑧
i==-N..Nj=-N..Nn=i-j𝑛 ≠ 0
𝑛 = 0
AF=0𝐿𝐴 𝑧 / 𝐿𝑑𝑧
Dla wybranej siatki punktów w przestrzeni rzeczywistej
i dla danego N(liczba fal płaskich dokonujemy transformaty)
𝐾𝑧 =𝜋 ∗ (𝑖 + 𝑗)
𝐿
Oznaczenia zi=i(zespolone)