RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Transcript of RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
2
Definicja
Układem równań różniczkowych rzędu pierwszego w postaci normalnej nazywamy układ równań
),,,,('
),,,,('
),,,,('
21
2122
2111
nnn
n
n
yyytfy
yyytfy
yyytfy
o niewiadomych y1, y2, … , yn , (n > 1), t – zmienna niezależna.
Uwaga
Jeżeli n = 2, to zazwyczaj piszemy x, y zamiast y1, y2 oraz f, g zamiast f1, f2
(jeżeli n = 3, to piszemy x, y, z zamiast y1, y2, y3 oraz f, g, h zamiast f1, f2, f3).
Układy równań różniczkowych
3
W notacji wektorowej układ równań różniczkowych ma postać
),(' yfy t ,
gdzie
),,,,(
),,,,(
),,,,(
),(
'
'
'
'
21
212
211
2
1
2
1
nn
n
n
nn yyytf
yyytf
yyytf
t
y
y
y
y
y
y
yfyy
Układy równań różniczkowych
4
Definicja
Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) układu równań nazywamy ciąg funkcji
(y1(t), y2(t), ... , yn(t)) określonych i różniczkowalnych na przedziale (a, b), które zamieniają
wszystkie równania tego układu w tożsamości
))(,),(),(,()('
))(,),(),(,()('
))(,),(),(,()('
21
2122
2111
tytytytfty
tytytytfty
tytytytfty
nnn
n
n
na przedziale (a, b).
Układy równań różniczkowych
5
Definicja
Układ równań różniczkowych
),,,,('
),,,,('
),,,,('
21
2122
2111
nnn
n
n
yyytfy
yyytfy
yyytfy
oraz układ warunków
00
0202
0101 )(,,)(,)( nn ytyytyyty
nazywamy zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem początkowym).
Liczby 00
2010 ,,,, nyyyt nazywamy wartościami początkowymi.
W notacji wektorowej zagadnienie Cauchy’ego ma postać
00)(),,(' yyyfy tt.
Układy równań różniczkowych
6
Definicja
Ciąg funkcji (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego jeżeli jest
rozwiązaniem układu równań na pewnym przedziale zawierającym punkt t0 i spełnia warunki
początkowe.
Interpretacja geometryczna zagadnienia Cauchy’ego
Rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego polega na wyznaczeniu krzywej w przestrzeni
n + 1 – wymiarowej, o przedstawieniu parametrycznym y = y(t), przechodzącej przez punkt
o współrzędnych ),,,,( 002
010 nyyyt .
Jeżeli dla n = 2 zmienna niezależna t reprezentuje czas, to układ równań opisuje wektor prędkości
punktu poruszającego się w płaszczyźnie fazowej xOy.
Krzywa będąca rozwiązaniem układu, to trajektoria toru ruchu punktu.
Układy równań różniczkowych
7
Twierdzenie
Jeśli prawa strona f(t,y) w równaniu różniczkowym
))(,(
)(tt
dt
tdyf
y
, (*)
jest ciągła ze względu na zmienne t i y oraz ze względu na zmienną y spełnia
warunek Lipschitza, tzn.
2121
21
),(),( ,[,]
yyyfyfyyR
Ltt
RbatL n .
to dla zadanego warunku początkowego y(t0) = y0 istnieje otoczenie t0,
w którym równanie (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
( - jest symbolem normy)
Układy równań różniczkowych
8
Definicja Rodzinę funkcji wektorowych
),,,,(
),,,,(
),,,,(
),,,,(
21
212
211
21
nn
n
n
n
CCCty
CCCty
CCCty
CCCt
y,
zależnych od parametrów rzeczywistych C1, C2, ..., Cn nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu
równań jeżeli:
każda funkcja wektorowa z tej rodziny jest rozwiązaniem szczególnym układu,
dla każdego układu warunków początkowych ),( 00 yt , dla którego rozwiązanie istnieje i jest
jednoznaczne, można dobrać stałe C1, C2, ..., Cn tak, aby 0210 ),,,,( yy nCCCt .
(Każda funkcja wektorowa otrzymana z rozwiązania ogólnego przy ustalonych wartościach
parametrów C1, C2, ..., Cn jest rozwiązaniem szczególnym układu równań.)
Układy równań różniczkowych
9
Jedną z metod rozwiązywania układów równań różniczkowych jest metoda eliminacji.
Polega ona na sprowadzeniu układu n równań pierwszego rzędu do równania różniczkowego rzędu n.
Przykład
Rozwiązać układ równań
xdt
dy
ydt
dx
z warunkami początkowymi 1)0(,0)0( yx .
Różniczkujemy pierwsze równanie
dt
dy
dt
xd
2
2
Wstawiamy do drugiego równania
02
2
xdt
xd
Stąd .sincos',cossin 2121 tCtCxytCtCx
Uwzględniając warunki początkowe .cos,sin tytx
Układy równań różniczkowych
10
Przykład
Rozwiązać układ równań
Różniczkujemy pierwsze równanie
dt
dy
dt
xd
2
2
Wstawiamy do drugiego równania
x
x
x
x
x
x
dt
xd '
'
")'( 2
2
2
Całkując obustronnie dostajemy
||ln||ln|'|ln 1Cxx czyli xCx 1'
Stąd tCtC eCCyeCx 11
212 ,
x
y
dt
dy
ydt
dx
2
Układy równań różniczkowych
11
Układy równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu
Definicja
Układem równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci
)()()()('
)()()()('
)()()()('
2211
222221212
112121111
tbytaytaytay
tbytaytaytay
tbytaytaytay
nnnnnnn
nn
nn
Jeżeli wszystkie funkcje )(,...),(),( 21 tbtbtb n są równe zeru, to układ nazywamy jednorodnym.
W przeciwnym przypadku układ nazywamy niejednorodnym.
Układy równań różniczkowych
12
W notacji wektorowej układ równań przyjmuje postać
)()(' tt byAy
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
'
'
'
2
1
2
1
21
22221
11211
2
1
tb
tb
tb
y
y
y
tatata
tatata
tatata
y
y
y
nnnnnn
n
n
n
Jeżeli współczynniki macierzy A(t) są stałe to układ nazywamy układem równań
różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach.
Układ równań różniczkowych liniowych o ciągłych funkcjach aij oraz bk ma jednoznaczne
rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego.
)()(' tt byAy
Układy równań różniczkowych
13
Twierdzenie Jeżeli funkcje wektorowe y1, y2, … , yn, są rozwiązaniami układu liniowego jednorodnego,
to ich kombinacja liniowa
y = C1y1 + C1y2 + … + Cnyn,
jest też rozwiązaniem tego układu. Jeżeli dodatkowo są liniowo niezależne (tworzą układ fundamentalny rozwiązań), to ich kombinacja liniowa jest rozwiązaniem ogólnym układu równań.
Twierdzenie Rozwiązania y1, y2, … , yn, tworzą fundamentalny układ rozwiązań, jeżeli wyznacznik
(wrońskian)
0
...
...
...
...
|,...,|
21
22221
11211
21
nnnn
n
n
n
yyy
yyy
yyy
W yyy
jest różny od zera na przedziale określoności równania.
Układy równań różniczkowych
14
Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań metodą Eulera
Rozważamy układ równań
Ayy ' (ma on rozwiązanie zerowe!)
Szukamy rozwiązań niezerowych w postaci
RRet nt ,,)( vvy
Wstawiając do równania dostajemy
0)( vIAvAv tt ee
Otrzymany układ równań posiada rozwiązanie niezerowe, gdy wyznacznik macierzy głównej układu jest równy zeru tzn.
0)det( IA
jest to tzw. równanie charakterystyczne układu (macierzy), jego rozwiązania,
to wartości własne macierzy A, a odpowiadające im wektory v, to wektory własne
macierzy.
Równanie to ma dokładnie n pierwiastków zespolonych. Ich znajomość umożliwia
konstrukcję układu fundamentalnego rozwiązań.
Układy równań różniczkowych
15
Konstrukcja układu fundamentalnego zależy od następujących przypadków:
pierwiastki równania charakterystycznego są różne i rzeczywiste,
pierwiastki równania charakterystycznego są różne, ale są wśród nich pierwiastki zespolone,
wśród pierwiastków równania charakterystycznego występują pierwiastki wielokrotne.
Układy równań różniczkowych
16
Przykład (różne, rzeczywiste wartości własne)
Rozwiązać układ równań
yxy
yxx
43'
2'
Macierz układu
43
21A
Równanie charakterystyczne
023043
210)det( 2
IA
Wartości własne 1 = 1, 1 = 2. Wyznaczamy wektory własne:
Dla 1 = 1,
1
1
033
022
1
1
21
21
21
v
vvv
vv
vvv
Stąd pierwsze rozwiązanie szczególne
tt eyex ,
Układy równań różniczkowych
17
Przykład (c. d.)
Dla 1 = 2,
3
223
023
02321
21
21vvv
vv
vv
Drugie rozwiązanie szczególne
tt eyex 22 3,2
Rozwiązanie ogólne układu
tt
tt
eCeCy
eCeCx2
21
221
3
2
Układy równań różniczkowych
18
Związek pomiędzy równaniem rzędu n i układem równań pierwszego rzędu
Równanie rzędu n w postaci normalnej
n
nn
yyyy
yyyytfy
321
)1()( ),...,",',,(
jest równoważne układowi równań rzędu pierwszego
),...,,,(
...
21'
3'2
2'1
nn yyytfy
yy
yy
(związek ten jest wykorzystywany przy rozwiązywaniu równań wyższego rzędu metodami numerycznymi)
Układy równań różniczkowych